高中数学解析几何大题专项练习

解析几何解答题

1、椭圆G ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知

F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25

（1）求此时椭圆G 的方程；

（2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于

过点P （0，

3

3）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．

2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆221x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值；

（Ⅱ）记直线11PA 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗？证明你的结论.

3、已知抛物线2:C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、

B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线

C 的方程。

（2）证明：点F 在直线BD 上；

（3）设8

9

FA FB ?= ，求BDK ?的面积。．

4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1

2

，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值．

5、设椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，直线l ：2

a x =

交x 轴于点A ，且12

2AF AF =

． （Ⅰ）试求椭圆的方程；

（Ⅱ）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点

（如图所示），若四边形D M E N

的面积为

27

7

，求DE 的直线方程．

6、已知抛物线P ：x 2=2py (p >0)．

（Ⅰ）若抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离为3．

（ⅰ）求抛物线P 的方程；

（ⅱ）设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线P 的切线，求此切线方程；

（Ⅱ）设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长分别交抛物线的准线于C ，D

两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．

7、在平面直角坐标系xOy 中，设点(,),(,4)P x y M x -，以线段PM 为直径的圆经过原点O . （Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；

（Ⅱ）过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ，点A 关于y 轴的对称点为'A ，试判断直线'A B 是否恒过一定点，并证明你的结论.

8、已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形

周长为246+．

（Ⅰ）求椭圆M 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ， 求ABC ?面积的最大值．

9、过抛物线C:22(0)y px p =>上一点2(,)p

M p 作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A 、B 两点。 （1）求证：直线AB 的斜率为定值；

（2）已知,A B 两点均在抛物线C ：()220y px y =≤上，若△MAB 的面积的最大值为6，求抛物线的方程。

10、已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点(,0)F c -是长轴的一个四等分点，点A 、B 分别为椭圆的左、右

顶点，过点F 且不与y 轴垂直的直线l 交椭圆于C 、D 两点，记直线AD 、BC 的斜率分别为12,.k k （1）当点D 到两焦点的距离之和为4，直线l x ⊥轴时，求12:k k 的值； （2）求12:k k 的值。

11、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)，其焦点在圆x 2+y 2=1上．

(1)求椭圆的方程；

(2)设A ，B ，M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使

cos sin OM OA OB θθ=+ ． (i)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；

(ii)求OA 2+OB 2．

12、已知圆2

2

222251

:(,:(1616

M x y M N x y ++=

+=的圆心为圆的圆心为N ，一动圆与圆M 内切，与圆N 外切。

（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程；

（Ⅱ）（Ⅰ）中轨迹上是否存在一点Q ，使得MQN ∠为钝角？若存在，求出Q 点横坐标的取值范围；若不存在，

说明理由．

13、已知点F 是椭圆)0(1122

2

>=++a y a

x 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=?NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2．

(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程；

(Ⅱ)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、

OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ?

是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

14、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆B ：22(1)16x y -+=与点(1,0)A -，P 为圆B 上的动点，线段PA 的垂直

平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C 。 （1）求曲线C 的方程；

（2）曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为M ，N ，连结

QM ，QN ，分别交直线(x t t =为常数，且2x ≠）于点E ，F ，设E ，F 的纵坐标分别为12,y y ，求12y y ?的值（用t 表示）。

答案： 1、解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心

…………………1分 故该椭圆中,22c b a ==

即椭圆方程可为22222b y x =+ ………3分

设H （x,y ）为椭圆上一点，则

b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222…………… 4分

若30<

++b b

…………………5分

由25350962

±-==++b b b 得（舍去）(或b 2

+3b+9<27,故无解)…………… 6分

若182||,3,322+-=≥b HN y b 有最大值时当…………………7分

由16501822

2

==+b b 得∴所求椭圆方程为

116

322

2=+y x ………………… 8分 （1） 设),(),,(),,(002211y x Q y x F y x E ，则由 ???????=+=+116

32116

322

2222

121y x y x 两式相减得

0200=+ky x ……③又直线PQ ⊥直线m ∴直线PQ 方程为3

3

1+

=

x k y 将点Q （00,y x ）代入上式得，3

3

100+

-

=x k y ……④…………………11分 由③④得Q （

3

3

,332-

k ）…………………12分 而Q 点必在椭圆内部116

322

20<+∴

y x ， 由此得2

94

00294,0,2472

<

<<<-∴≠<

k k k k 或又,故当 )2

94,0()0,294(?-

∈k 时，E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称 14分 2、解：（Ⅰ）l 与圆相切

,1∴=

22

1m k ∴=+ ……①

由22

1

y kx m x y =+??

-=? , 得 222

(1)2(1)0k x mkx m ---+=,

22222222

1221044(1)(1)4(1)8010

1k m k k m m k m x x k ??-≠??

∴?=+-+=+-=>??+??=

, 21,k ∴<11k ∴-<<,故k 的取值范围为(1,1)-.

由于1221221mk x x x x k +=

∴-===- 201k ≤< ∴当2

0k =时，21x x -

取最小值. 6分

（Ⅱ）由已知可得12,A A 的坐标分别为(1,0),(1,0)-，

121212,11y y k k x x ∴=

=+-， 121212(1)(1)y y k k x x ∴?=+-1212()()(1)(1)

kx m kx m x x ++=+- 22

12121221()()1k x x mk x x m x x x x +++=+-

-22

222221211

m mk

k mk m k k +?-?+=--

22222222=

22

=， 由①，得 2

2

1m k -=，

12(3k k ∴?==-+为定值. 12分

3、解：（1） 24y x = 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，11(,)D x y -，l 的方程为1(0)x my m =-≠． （2）将1x my =-代人2

4y x =并整理得2

440y my -+=， 从而 12124, 4.y y m y y +==

直线BD 的方程为 21

2221

()y y y y x x x x +-=

?--，

即 2

22214

()4

y y y x y y -=?--令120, 1.4y y y x ===得

所以点(1,0)F 在直线BD 上

（3）由①知，21212(1)(1)42x x my my m +=-+-=-

1212(1)(1) 1.x x my my =--=因为 11(1,),FA x y =-uu r 22(1,)FB x y =-uu r

，

212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ?=--+=-+++=-uu r uu r

故 2

8

849

m -=

，解得 43m =±

所以l 的方程为3430,3430x y x y ++=-+= 又由①知 121643

y y m +==

故12111616

22233S KF y y ?=?+=??=

4、解：（I ）设椭圆的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，

则22

1

2491a b =?

?+=??，得216a =，212b =. 所以椭圆的方程为

22

11612

x y +=.…………………3分 设直线AB 的方程为y kx t =+(依题意可知直线的斜率存在)，

设1122(,),(,)A x y B x y ，则由22

11612x y y kx t ?+

=???=+?

，得

()2

2

23484480

k x

ktx t +++-=,由

?>，得

22

1216b k <+，

122

2

12283444834kt x x k t x x k ?

+=-??+?-?=?+?，设()00,T x y 00

2243,3434kt t

x y k k =-

=++,易知00x ≠，

由OT 与OP 斜率相等可得

003

2

y x =，即12k =-，

所以椭圆的方程为

22

11612

x y +=，直线AB 的斜率为12-.……………………6分 （II ）设直线AB 的方程为1

2

y x t =-

+，即220x y t +-=，

由22

12 1.1612

y x t x y ?=-+????+=??， 得2

2

120x tx t -+-=，

224(12)0t t ?=-->，44t -<<.………………8分

122

12,12.

x x t x x t +=???=-?

.||AB === 点P 到直线AB

的距离为d =

于是PAB ?的面积为

122PAB S ?=

=10分 设3()(4)(123)f t t t =-+，2'()12(4)(2)f t t t =--+，其中44t -<<.

在区间(2,4)-内，'()0f t <，()f t 是减函数；在区间(4,2)--内，'()0f t >，()f t 是增函数.所以()f t 的最大值为4(2)6f -=.于是PAB S ?的最大值为18.…………………12分

5、解：（Ⅰ）由题意，2

12||22,(,0)FF c A a ==∴ -------1分

1222 A F A F F =∴

为1AF

的中点------------2分

2,322==∴b a

即：椭圆方程为.12

32

2=+y x ------------3分 （Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，3

4

2||2=

=a b DE ，此时322||==a MN ， 四边形DMEN 的面积||||

42

DE MN S ?=

=不符合题意故舍掉；------------4分 同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积不符合题意故舍掉；

------------5分

当直线，MN 均与x 轴不垂直时，设DE :)1(+=x k y ，

代入消去

y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k ------------6分

设??????

?+-=+-=+,3263,326),,(),,(22

2122212211k k x x k k x x y x E y x D 则 ------------7分

所以 2

31

344)(||2

2212

2121++?=-+=-k k x x x x x x ， ------------8分 所以 2

2212

32)1(34||1||k

k x x k DE ++=-+=， ------------9分

同理2222

11

)1]1)

||.1323()2k k MN k k -++==+-+ ------------11分

所以四边形的面积2

22

232)11(3432)1(34212||||k k k k MN DE S ++?++?=?=13)1(6)21(242222

++++=k k k k

由227

27

S k k =?=?= ------------12分

所以直线0DE l y -=

或0DE l y +=

或20DE l y -=

或20DE l y += ---------13分

6、解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离与到准线距离相等，即(,2)

M m 到2

p

y =-

的距离为3； ∴ 232

p

-

+=，解得2p =． ∴ 抛物线P 的方程为2

4x y =． 4分 （ⅱ）抛物线焦点(0,1)F ，抛物线准线与y 轴交点为(0,1)E -，

显然过点E 的抛物线的切线斜率存在，设为k ，切线方程为1y kx =-．

由241

x y y kx ?=?=-?， 消y 得2440x kx -+=， 6分 216160k ?=-=，解得1k =±． 7分

∴切线方程为1y x =±-． 8分

（Ⅱ）直线l 的斜率显然存在，设l ：2

p y kx =+

， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，

由222

x py p y kx ?=??=+?? 消y 得 2220x pkx p --=． 且0?>． ∴ 122x x pk +=，212x x p ?=-；

∵ 11(,)A x y ， ∴ 直线OA ：1

1

y y x x =

， 与2p y =-

联立可得11(,)22px p C y --， 同理得22(,)22

px p

D y --． 10分 ∵ 焦点(0,

)2

p

F ， ∴ 11(,)2px FC p y =-- ，22

(,)2px FD p y =-- ， 12分

∴ 1212(,)(,)22px px FC FD p p y y ?=--?-- 22

212121212

224px px p x x p p y y y y =+=+

244222

12222

12120422p x x p p p p p x x x x p p p

=+=+=+=- ∴ 以CD 为直径的圆过焦点F ． 14分

7、解：（I ）由题意可得OP OM ⊥， 2分

所以0OP OM ?=

，即(,)(,4)0x y x -= 4分

即2

40x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为2

4x y = 5分 （II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -.

由244y kx x y

=-??=?消y 整理得24160x kx -+=， 6分 则2

16640k ?=->，即||2k >. 7分

12124,16x x k x x +==. 9分

直线21

2221

':()y y A B y y x x x x --=

-+

21

22

21

222

2122122

2212

122

2112

()1()4()41

444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=

-++-∴=-++--∴=

-+-∴=+

12分

即21

44

x x y x -=

+ 所以，直线'A B 恒过定点(0,4). 13分

8、解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，

所以24622+=+c a ， 1分

又椭圆的离心率为

3

，即3c a =

，所以3

c a =， 2分 所以3a =

，c =分

所以1b =，椭圆M 的方程为19

22

=+y x . 5分 （Ⅱ）方法一：不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1

--

=x n

y . 由22

(3),

1

9

y n x x y =-???+=??得0196)91(2222=-+-+n x n x n ， 6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，因为222819391n x n -=+，所以193

27222+-=n n x ， 7分

同理可得2

2

19327n

n x +-=， 8分 所以196

1||22

++=n n BC ，2

2

2961||n

n n n AC ++=， 10分 9

64)1()

1

(2||||2

12+

++=

=?n n n n AC BC S ABC ， 12分 设21≥+=n

n t ，则2223

899t S t t t

==≤++

， 13分

当且仅当38=t 时取等号，所以ABC ?面积的最大值为8

3

. 14分

方法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+.

由22

,

1,9

x ky m x y =+???+=?? 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=， 6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，

则有12229km y y k +=-+，21229

9

m y y k -=+. ① 7分

因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ?=

.

由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-

，

得 1212(3)(3)0x x y y --+=. 8分 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，

得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.

将 ① 代入上式，解得 12

5

m =

或3m =（舍）. 10分 所以125m =（此时直线AB 经过定点12

(,0)5D ，与椭圆有两个交点），

所以121

||||2

ABC S DC y y ?=-

12==分 设2

11,099

t t k =

<≤+，

则ABC S ?=所以当251

(0,]2889

t =

∈时，ABC S ?取得最大值83. 14分

9、解：（1）不妨设22

12

12,),(,)22y y A y B y p p

（

21

122

2

212,122MA MB AB y y k k y y p k y y p p

-=-?+=-∴=

=--…………………………………5分 （2）AB 的直线方程为：22

1111y-y (),022y y x x y y p p

=--+--=即

点M 到AB

的距离d =

。………………………………………7分

2121122112y AB x y y y p y p =-==+?-=+……… 9分

又由122y y p +=-且[][]1211,0,2,0,,,y y y p p y t t p p ≤∈-+=∴∈-令

23111

y 422MAB

S p t t p ?=?+=-……………………… 11分

设2

3

()4f t p t t =-为偶函数，故只需考虑[]0,t p ∈，

所以[]2322()4,()420,()0p f t p t t f t p t f t '=-=->在，上递增，

当t p =时，3

32max max 13()3()322

MAB f t p S p p p ?=∴=

?= 2

3622

p p ∴

=?=。 故所求抛物线的方程为24y x =……………………13分 10、（Ⅰ）解：由题意椭圆的离心率1

2c e a ==，24a =

，所以2,1,a c b ===

故椭圆方程为22

143

x y +=， ┄┄┄┄┄┄3分 则直线:1l x =-，(2,0),(2,0)A B -，

故33(1,),(1,)22C D ---或33(1,),(1,)22

C D ---，

当点C 在x 轴上方时，1233

3122,122122

k k -

==-==--+--， 所以12:3k k =，

当点C 在x 轴下方时，同理可求得12:3k k =，

综上，12:3k k =为所求． ┄┄┄┄┄┄6分

(Ⅱ)解：因为1

2

e =

，所以2a c =

，b =， 椭圆方程为2

2

2

3412x y c +=,(2,0),(2,0)A c B c -,直线:l x my c =-，

设1122(,),(,)C x y D x y ，

由2223412,x y c x my c ?+=?=-?消x 得，222

(43)690m y mcy c +--=，

所以122

2

1226,439,43mc y y m c y y m ?+==?+?

???==-?+?

┄┄┄┄┄┄8分

故12122222

2212121228()2,34

412(),34c x x m y y c m c m c x x m y y mc y y c m ?+=+-=-??+?-??=-++=?+?

①

由

121212(2)(2)

k y x c k y x c -=

+，及222

33(2)(2)(4)44c x c x y c x -+=-=，┄┄9分 得2222121121212

222

2

122121212(2)(2)(2)42()(2)(2)(2)

42()k y x c c x c x c c x x x x c x c x k y x c c c x x x x ----++===++++++， 将①代入上式得2222

2

2

22212

22222

22

22164124363434916412443434

c c m c c k c m m k c c m c c c m m -++++===--+

++，┄┄10分 注意到12120,20,20y y x c x c ?<-<+>，得

121212(2)

0(2)

k y x c k y x c -=>+，┄┄11分 所以12:3k k =为所求． ┄┄┄┄┄┄12分

11、解：(1)依题意，得 c =1．于是，a

b =1． …………………2分

所以所求椭圆的方程为2

212

x y +=． ……………………………… 4分

(2) (i)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y +=①，2

2

22

12

x y +=②． 又设M (x ，y )，因cos sin OM OA OB θθ=+ ，故1212cos sin ,

cos sin .x x x y y y θθθθ=+??=+? ……7分

因M 在椭圆上，故

2

21212(cos sin )(cos sin )12

x x y y θθθθ+++=． 整理得22

222

2121212

12()cos ()sin 2()cos sin 1222

x x x x y y y y θθθθ+++++=． 将①②代入上式，并注意cos sin 0θθ≠，得 12

1202

x x y y +=． 所以，12121

2

OA OB y y k k x x =

=-为定值． ………………………………10分 (ii)22

2

2222222121212121212()()(1)(1)1()222x x x x y y y y y y y y =-=?=--=-++，故22

121y y +=． 又22

221212()()222

x x y y +++=，故22

122x x +=．

所以，OA 2+OB 2=2222

1122x y x y +++=3． ………………………16分

12、解: （Ⅰ）设动圆P 的半径为r,则151

||,||44

PM r PN r =-=+ 两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN|

由椭圆定义知，点P 的轨迹是以M 、N

为焦点，焦距为4的椭圆

其方程为

22

141

x y += …………6分 （Ⅱ）假设存在，设Q （x,y ）.则因为MQN ∠为钝角，所以0QM QN ?<

(,)QM x y =-

，,)QN x y =- ，2230QM QN x y ?=+-<

又因为Q 点在椭圆上，所以

22

141

x y += 联立两式得：22

1304

x x +-

-<化简得：283x <， 解得：13、解：(Ⅰ) 椭圆)0(1122

2

>=++a y a

x 右焦点F 的坐标为(,0)a ， ………(1分) (,)NF a n ∴=- ．(,)MN m n =-

，

∴由0=?NF MN ，得02=+am n ． ………… (2分)

设点P 的坐标为),(y x ，由+=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--，

??

???=-=.2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． ……… (4分) （Ⅱ）解法一：设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、2

22(,)4y B y a

， 则x y a y l OA 14:=

，x y a

y l OB 2

4:=． ………… (5分) 由???

??-==a x x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得22

4(,)a T a y --． ………… (7分)

214(2,)a FS a y ∴=-- ，224(2,)a FT a y =-- ，则42

12

164a FS FT a y y ?=+

． ……(8分) 由??

?=+=ax

y a ty x 4,

2

，得0442

2=--a aty y ，2124y y a ∴=-． ……… (9分)

则044)

4(164222

4

2

=-=-+=?a a a a a ． …………… (11分) 因此，FS FT ?

的值是定值，且定值为0． ……… (12分) 解法二：①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2OA l y x =， :2OB l y x =-．

由2,

y x x a

=??

=-? 得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)FS a a =-- ．

由2,

y x x a =-??=-? 得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)FT a a =- ．

(2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴?=-?-+-?=

． …………… (6分)

②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y a y A 、),4(22

2y a

y

B ，同解法一，

得42

12

164a FS FT a y y ?=+ ． … (8分)

由2(),4y k x a y ax =-??=?，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-． …………(9分) 则044)

4(1642

22

42

=-=-+=?a a a a a FT FS ． ………… (11分) 因此，FS FT ?

的值是定值，且定值为0． ………… (12分)

，所以存在。…… 13分

14、解：(1)连接RA ，由题意得，RA RP =，4RP RB +=，

所以42RA RB AB +=>=，…………………………………………………2分

由椭圆定义得，点R 的轨迹方程是22

143

x y +=.……………………………4分 (2)设M 00(,)x y ，则00(,)N x y --，,QM QN 的斜率分别为,QM QN k k ， 则0

02

QM y k x =

-，002NQ y k x =+，……………………………………………6分

所以直线QM 的方程为00(2)2y y x x =

--，直线QN 的方程0

0(2)2

y y x x =-+，8分 令(2)x t t =≠，则001200(2),(2)22

y y y t y t x x =

-=--+，……………………10分 又因为00(,)x y 在椭圆2200143x y +=，所以2

200334

y x =-， 所以2

22

022********(3)(2)34(2)(2)444

x t y y y t t x x --?=-==----，其中t 为常数.…14分

解析几何(大题)

21．（本小题满分12分）[2017皖南八校]如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆 ()22 22:10x y C a b a b +=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线 ,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且121 4 k k =- ，AP OM ∥，BP ON ∥． （1）求椭圆C 的方程； （2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）2 2:14 x C y +=；（2）定值1． 【解析】（1）22 1,1144 2,AP BP b k k b a a ?=?=-??=??=? ，椭圆22:14x C y +=． （2）设直线MN 的方程为y kx t =+，()11,M x y ，()22,N x y ， ()222 22 , 4184401,4 y kx t k x ktx t x y =+???+++-=?+=??， 122841 kt x x k +=-+，2122 44 41t x x k -=+， ()()1212121212121211 404044 y y k k y y x x kx t kx t x x x x ?=- ??=-?+=?+++=， ()()2 2121241440k x x kt x x t ++++=， ()22 22222448414402414141t kt k kt t t k k k ?? -+-+=?-= ?++?? ， ()() ()( )2 2 2 2 1 2 1 2 1 2114MN k x x k x x x x ??= +-= ++-??

高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)

圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种： （1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ； （2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ； （3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ； （4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点

抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端 是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ； （3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ； （6）焦点： )0,2(p F ； （7）准线： 2p x - =； （8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ； （10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =； （11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=

高中数学解析几何测试题答案版(供参考)

解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l

A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22

高三数学解析几何专题

专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

解析几何大题题型总结(1)

圆锥曲线大题训练1 （求范围）例1、已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 交于M 、N 两点。 （1）求k 的取值范围； （2）若12=?ON OM ，其中O 为坐标原点，求|MN | （定值问题）例2、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的离心率为2 2，点（2，2）在C 上。 （1）求C 的方程； （2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。

例3、已知直线l 的方程为y = k ( x — 1 )（k ＞0），曲线C 的方程为 y 2 = 2x ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，O 为坐标系原点。求证：OB OA ?错误！未找到引用源。是定值 例4、已知双曲线C ：)0(122 22>>=-b a b y a x 的两条渐进线的夹角的正切值为724，点A （5，49）是C 上一点，直线l ：)4(4 5>+-=m m x y 与曲线C 交于M 、N 两点。 （1）求双曲线C 的标准方程； （2）当m 的值变化时，求证：0=+AN AM k k

例5、已知椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 过A （2，0），B （0，1）两点 （1）求椭圆C 的方程及离心率 （2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值。 （轨迹方程）例6、已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2—8y=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点。 （1）求M 的轨迹方程； （2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积。 例7、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B （0，-1），离心率为 36 （1）求椭圆的方程； （2）设过点A （0， 2 3）的直线l 与椭圆交于M 、N 两点，且|BM |=|BN |，求直线l 的方程。

高中数学解析几何常考题型整理归纳

高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2） 第一部分：复习运用的知识 （一）椭圆几何性质 椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越

(完整)高中数学解析几何解题方法

高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。

浙江高考解析几何大题

浙江高考历年真题之解析几何大题 1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)． 解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ， 则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2 222 224 a a a c c a a b c ?-=-??? =??=+??? 由题意,得 2,3,1a b c ∴=== ，22 1.43 x y +=故椭圆方程为 (Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102 F PF PF M π <∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m = +，直线2PF 的斜率0 21 y k m =-， 002122222212002||tan 1121||1 y k k F PF k k m y m y m -∴∠= =≤= +-+-?- 2 01||m y -=时，12F PF ∠最大，(2,1,||1Q m m m ∴±->

2、（2006年）如图，椭圆b y a x 2 22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T ，且椭圆的 离心率e= 2 3 。 (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。 解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为 12 x y += 因为由题意得??? ????+-==+1211 2222x y b y a x 有惟一解， 即0)4 1(22222 22 =-+-+ b a a x a x a b 有惟一解, 所以22 2 2 (44)0(0),a b a b ab ?=+-=≠故442 2 -+b a =0; 又因为e 3 c =即 22234 a b a -= ， 所以2 2 4a b = ;从而得22 1 2,,2 a b == 故所求的椭圆方程为22212x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）得6c = , 所以 1266((F F ，从而M （1+4 6 ，0） 由 ?? ???+-==+1 211222 2x y y x ，解得 121,x x == 因此1(1,)2T = 因为126tan 1-= ∠T AF ，又21 tan =∠TAM ，6 2tan =∠2TMF ，得 12 6 6 1 121 62 tan -= + -= ∠ATM ，因此，T AF ATM 1∠=∠ 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2 214 x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．

高中数学解析几何题型

解析几何题型 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22 162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =， 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123 301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-? =+?，进而可求出AB 的中点11(,)22M b -- +，又由11 (,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出2 211 14(2)32AB =+-?-=． 例3．如图，把椭圆22 12516 x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆22 12516 x y +=的方程知225, 5.a a =∴= ∴1234567 7277535.2 a PF P F P F P F P F P F P F a ?++++++==?=?= 考点3. 曲线的离心率

高中数学解析几何知识点总结

高中数学解析几何知识 点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

§0 7. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是 )0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若23 2--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是23 2--=x y ，但若 )0(23 2 ≥-- =x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜 率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则 1l ∥212k k l =?，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条 件，且21C C ≠）

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解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G：1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2. （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k（k≠0）的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F 两点能否关于 过点P（0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ，动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切，且与双曲 线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1 的最小值； （Ⅱ）记直线P1A1 的斜率为k1 ，直线P2A2 的斜率为k2 ，那么，k1 k2 是定值吗？证明你的结论.

3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F，点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C 的方程。 （2）证明：点F 在直线BD 上； u u u r uu u r 8 （3）设 FA ?FB ，求BDK 的面积。．9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为中点 T 在直线OP 上，且A、O、B 三点不共线． (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率； ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．1 2 ，点 P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB 的

高中数学解析几何答题全攻略,2020高考生必看!

高中数学解析几何答题全攻略，2020高考生必看！ 解析几何由于形式复杂多样，一直是难于解决的问题，很多同学对于解析几何的把握还差很多，很多同学对此知识点提出了相应的问题。对此清华附中数学老师有针对性的回答了同学们的共性问题。下面是对本次答疑情况的汇总，希望对大家学习数学尤其是解析几何部分有所帮助。 1 考试时间分配 问题1：老师我怎么这么短时间内做几道题通解一类题目呢？解析几何也有不少类型题 老师：理解的基础上去做，不要单纯的套公式，做题一定要保证真的会了，而不是只追求数量。如果感觉自己的水平没有提高，那么问问自己错题有没有好好整理，有没有盖住答案重新做过，再做的时候能不能保证很快的就有思路，之前出过的问题有没有及时得到解决？总之刷题不能埋头死刷，要有总结和反思。如果都做到了，考试还是没有好成绩，那么看看是不是考试时过于紧张，这个时候心态也很重要！ 问题2：错题也有很多呀，怎么从错题那里去帮助学习数学呀？都抄几遍和看几遍吗？很多呀！该怎么办呢？ 老师：对待错题，不要抄也不要只是看，当做新题重新做一遍，有时候一道题我们直接去看答案，总是发现不了问题，我建议把错题的题目直接汇编在一起，不要有答案，每隔一段时间都重新做一下，如果做题的过程很肯定，没有模糊的地方，这道题才可以过。这个过程比做新题更重要。

问题3：老师我数学只有三四十分马上高考该从哪里开始复习分数会提高呢？ 老师：简单的题目模块比如复数、集合、线性规划、程序框图、三角函数与解三角形、简单的等差等比数列以及立体几何等，还有导数和圆锥曲线的第一问，找出前几年的高考题，看看都考了哪些简单模块，一个模块练几十道，绝对会有效果的，别放弃，只要努力一定能看到进步！ 问题4：三视图怎么想也想不出来！有什么好的办法呀！老师！救救我 老师：平时见到三视图的题目无论问什么，都是去画他的立体图形，训练自己。如果考试时真的想不出来了，那么看看能不能判断出这个图形是什么，比如正视图和侧视图都只有一个最高顶点，那么基本可以判断这是一个椎体，如果是求体积的题目，直接底面积乘以高除以3就可以了，但是这个方法不是所有题目都适用。还有就是如果正视侧视和俯视都和正方形或者等腰直角三角形有关，那么可以画一个正方体，去找这个立体图形的可能性。 2 解析几何如何把握

高中数学解析几何大题专项练习

解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [

3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、

解析几何大题的解题技巧

目录 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线） (1) 一、设点或直线 (1) 二、转化条件 (2) （1）求弦长 (2) （2）求面积 (2) （3）分式取值判断 (3) （4）点差法的使用 (4) 四、能力要求 (6) 五、补充知识 (6) 关于直线 (6) 关于椭圆： (7) 例题 (7) 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线）——————————————————一条分割线——————————————— 一、设点或直线 做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。直线与曲线的两个交点一般可以设为等。对于椭圆上的唯一的动点，还可以设为。在抛物 线上的点，也可以设为。◎还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于 一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设（m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同）。如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。

一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y=kx+m或x=my+n。（注意：y=kx+m不表示平行于y轴的直线，x=my+n不表示平行于x轴的直线）由于抛物线的表达式中不含x的二次项，所以直线设为 或x=my+n联立起来更方便。 二、转化条件 有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。下面列出了一些转化工具所能转化的条件。向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于0），平行四边形斜率：平行（斜率差为0）、垂直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0，关于y=±x对称则斜率积为1（使用斜率转化一定不要忘了单独讨论斜率不存在的情况！）几何：相似三角形（依据相似列比例式）、等腰直角三角形（构造全等）有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单，三思而后行。三、代数运算转化完条件只需要算数了。很多题目都要将直线与圆锥曲线联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都需要联立。 （1）求弦长解析几何中有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式 ，设参数方程时，弦长公式可以简化为 （2）求面积 解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为AB与x轴交于D，则(d是点O到AB的距离；第三个公式教材没 有，解要用的话需要把下面的推导过程抄一下，理解一下。)。

解析几何大题带规范标准答案

三、解答题 26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过 坐标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线

. 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y

2020年高考数学(理)大题分解专题05--解析几何(含答案)

（2019年全国卷I ）已知抛物线C ：x y 32=的焦点为F ，斜率为 32 的直线l 与 C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求||AB ． 【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程； 【肢解2】若3AP PB =，求||AB ． 【肢解1】若4||||=+BF AF ，求l 的方程； 【解析】设直线l 方程为 m x y += 23 ，()11,A x y ，()22,B x y ， 由抛物线焦半径公式可知 12342AF BF x x +=++ =，所以125 2 x x +=， 大题肢解一 直线与抛物线

联立2323y x m y x ? =+???=?得0 4)12(12922=+-+m x m x ， 由0144)1212(22>--=?m m 得1 2 m <， 所以12121259 2 m x x -+=-=，解得78 m =-， 所以直线l 的方程为372 8 y x =-，即12870x y --=. 【肢解2】若3AP PB =，求||AB ． 【解析】设直线l 方程为23 x y t =+， 联立2233x y t y x ? =+???=? 得0322=--t y y ，由4120t ?=+>得31->t ， 由韦达定理知221=+y y ， 因为PB AP 3=，所以213y y -=，所以12-=y ，31=y ，所以1=t ，321-=y y . 则=-+?+=212214)(9 4 1||y y y y AB = -?-?+)3(429 4123 13 4. 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点F 的而直线交抛物线于A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p.

高中数学解析几何解题方法

解析几何常规题型及方法 核心考点 1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等） 2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等） 3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等） 4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等） 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221- =，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。

高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)

圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义： 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下： （ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。 注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义： 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<>b a ）； （2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y （0>>b a ）.

注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。 （1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设 其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-； （2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称； （3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2； （5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=； （6）准线方程：c a x 2 ± =； （7）焦准距：c b 2 ； （8）离心率： a c e = 且10<