极限与连续的62个典型习题
极限与连续的62个典型习题
习题1 设m i a i ,,2,1,0 =>，求 n
n m n
n
n a a a 1
21)(lim +++∞
→ . 解 记},,,m ax {21m a a a a =，则有
a a a a a n
n n n
m n n =≥+++1121)()( ，a a n =∞
→lim .另一方面
n
n n
n n
m n n m a ma a a a 11121)()()(?=≤+++ .
因为 1)lim (lim 11==∞→∞→n n n n m m ，故 a m a n
n =?∞→1lim .利用两边夹定理，知 a a a a n
n
m n
n
n =+++∞
→121)(lim ，其中 },,m ax {21m a a a a =.
例如 9)9531(lim 1
=+++∞
→n
n
n
n
n . 习题2 求 )2211(
lim 222n
n n n
n n n n n +++++++++∞
→ .
解
n n n n n n n n n n n n +++++++++<+++++2222221121 1
212
+++++ , 即 n n n n n n n n n n n n +++++++++<++22222211)2(2)1( ) 1(2) 1(2 +++ 1421 1lim 421lim )2(2)1(lim 2=++ =++=++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n . 2 122211lim )1(2)1(lim 2 2=+++ =+++∞→∞→n n n n n n n n n . 利用两边夹定理知 21 )2211( lim 222=+++++++++∞ →n n n n n n n n n . 习题3 求n n n n )) 1(1321211(lim +++?+?∞→ . 解 n n n n ))1(1321211(lim +++?+?∞ → n n n n ))1 11()3121()211((lim +-++-+-=∞→ 1)1()111(lim )111(lim -+∞→∞ →+-=+- =n n n n n n 1 1)111()111(lim -+∞→+-?+-=n n n n 1 1)1()1 11(lim ]))1(11([lim -∞→-+-∞ →+-?+-+ =n n n n n 111--=?=e e 习题4 求 ),(11lim 1 N n m x x m n x ∈--→. 解（变量替换法）令mn x t =，则当1→x 时，.1→t 于是, 原式n m t t t t t t t t t t n m t n m t =++++-++++-=--=--→→)1)(1()1)(1(lim 11lim 121211 . 习题5 求x x x x )1 ( lim -+∞ →. 解（变量替换法）令+∞→+∞→=t x t x ,,， 原式t t t t t t t t t t )11(lim )1(lim 22+?-=-=∞→∞→t t t t ])11()11[(lim 11--∞→-?+= t t t t t --∞→-?+=)1 1()11(lim 101==?=-e e e . 习题6 求 x x x x e sin 1 0)23(lim +-→ (∞1型)。 为了利用重要极限，对原式变形 x x x e e x x x o x x x o x x x o x x x x e x x e x x x e sin 1 2112sin 1sin 1])211[(lim )212(lim )23(lim ?+----+→→→+--+ =+--++=+- 12 2 sin 1 212])211[(lim --?+----+→==+--+=e e x e x x x x x e x x x o x x 习题7 求 2 2 11lim x x x x --++→. 解 原式 ) 211() 211)(211(lim 2 +-+++-++--++=→x x x x x x x x ) 211(41211lim 2 20 +-++--+-++=→x x x x x x x ) 11)(211() 11(2lim 2 2 20 +-+-++--=→x x x x x x ) 11)(211(2 lim 20 +-+-++-=→x x x x 4 1 242-=?-= . 习题8 求 2 35 64lim 2-++∞ →x x x x . 解 由于 32235 64lim 2 35 64lim 2 2=- ++ =-+++∞→+∞ →x x x x x x x x . 而) 23()5 64(lim 2 35 64lim 222 x x x x x x x x x x -++ =-++-∞→∞ -→ 3 2) 23() 564(lim )23()564(||lim 22-=-++-=-++=-∞→-∞ →x x x x x x x x x x 23564lim 23564lim 22-++≠-++-∞→+∞ →x x x x x x x x .故 2 3564lim 2-++∞→x x x x 不存在。 习题9 研究下列极限 （1）x x x sin lim ∞ →. ∵ 原式x x x sin 1lim ?=∞→，其中01lim =∞ →x x ，1|sin |≤x . ∴ 上式极限等于0，即0sin lim =∞→x x x .（2）x x x 1 sin lim 0?→. 因为 1|1sin |≤x ，0lim 0=→x x , 所以 01 sin lim 0 =?→x x x . （3）x x x 1sin lim ?∞→. 原式111sin lim 11sin lim 01===→∞→x x x x x x . 习题10 计算)1,0(,)(lim 10≠>+→a a a x x x x . 解 原式x x x xa a 10 )1(lim -→+=x x a xa x x xa a --?-→+=1 0) 1(lim x x x a xa x x xa a -→--→+?=0 lim 1 ] ) 1(lim [ae e a =?=1. 习题11 1 ln ln 1lim 11lim 11lim ln 1ln 11-?-=--=--→→→x x x e x e x x x x x x x ααααα αααααα=??=--+?-=→-→111)] 1(1ln[lim ln 1lim 0)1(ln 0ln x x x e x x x . 习题12 已知 51lim 21=-++→x c bx x x ，求c b ,的值。 解 首先01lim 21 =++=++→c b c bx x x ，∴c b --=1 原式51)]([lim ) 1() )(1(lim 11 =-=--=----=→→c c x x c x x x x ， ∴ 6=c ，而 7)61()1(-=+-=+-=c b . 习题13 下列演算是否正确？ 01sin sin 1lim sin 1 sin lim 20220 1 =??=↓ ↓→→有界 x x x x x x x x x . 习题14 求)sin 1(sin lim x x x -++∞→. 解 原式2 1cos 21sin 2lim x x x x x ++?-+=+∞ → 21cos ) 1(21sin lim 2x x x x x ++?++=+∞ →0=. 习题15 求 1 sin lim 2 3 2+?∞ →x x x x . 解 ∵01 11 lim 1lim 3 3 2 =+=+∞→∞→x x x x x x ，1|sin |2≤x ，原式 = 0. 习题16 证明 )()( lim n m k b x k x e n x m x -+∞ →=++（b k n m ,,,为常数） 。 证 b x k x b x k x n x n m n x n x m x +∞→+∞ →+-++=++) )((lim )( lim （令y n x 11=+） b n y k y b kx y y n m n x m x +-∞→+∞ →-+=++=)() 1(lim )( lim b n k n m y n m k y y n m +--?-∞→-+=)()1(lim b n k y n m k n m y y y n m y n m +-∞→--∞→-+?-+=)1(lim ])1[(lim )()()(1n m k n m k e e --=?=. 习题17 求 x x x 30)sin 1(lim -→. 解 原式3sin 3sin 10 ))sin (1(lim -?-?-→=-+=e x x x x x . 习题18 求 a x a x a x --→ln ln lim . 解 (连续性法) 原式a x a x a x a x a x a x -→→=-=1 )ln(lim ln 1lim a a x a a x a a x a a x a a x a a x 1 1 ])1(lim ln[]1ln[lim -→?-→-+=-+= a e a e a 1 ln 1ln 1 ===. 习题19 试证方程 b x a x +=sin （其中0,0>>b a ）至少有一个正根，并且它不大于b a +. 证 设x b x a x f -+=sin )(，此初等函数在数轴上连续，∴)(x f 在 ],0[b a +上必连续。∵,0)0(>=b f 而 0]1)[sin()()sin()(≤-+=++-+=+b a a b b a b a a b a f 若0)(=+b a f ， 则b a +就是方程b x a x +=sin 的一个正根。 若0)(<+b a f ，则由零点存在定理可知在),0(b a +内至少存在一点),0(b a +∈ξ，使0)(=ξf .即.sin b a +=ξξ 故方程 b x a x +=sin 至少有一正根，且不大于b a +. 习题21 求x x x cos 110 ) (cos lim -→. 解 原式11 1cos 1 })] 1(cos 1{[lim ---→=-+=e x x x . 习题20 设}{n x 满足0>n x 且 .1lim 1 <=-∞→r x x n n n 试证.0lim =∞→n n x 证 ,1lim 1<=-∞ →r x x n n n 取,,02 1N r ?>-=ε使得当N n >时有 ,211r r x x n n -=<--ε即,212101+=-+<<-r r r x x n n 亦即,12 10-+< n n n n x r x r x r x -<<--++<+< <)2 1()21(210...221 ,0)2 1(lim ,121=+∴<+-∞→N N n n x r r 从而由两边夹准则有 .0lim =∞→n n x 习题22 用定义研究函数 ??? ??≤>-+=0 011)(x x x x x f 的连续性。 证 首先，当x x x f x 11)(, 0-+= >是连续的。同理，当 )(,0= ),0(00lim )(lim 00f x f x x ===- - →→ ).0(01 1lim )(lim 0 f x x x f x x ==-+=+ +→→ ).0()(lim 0 f x f x =→所以 故.),()(∞+-∞∈C x f 习题23 求证 1 2642)12(531lim =??-??∞ →n n n n . 证 ∵12642) 12(53121 n n n ，而 =?=∞→∞ →n n n n n n n 121lim 21lim 11 1 11lim 21lim =?=?∞→∞→n n n n n .由两边夹定理知，原式成立. 习题24 设.52),1(,2)(),(2 +-=-= y y y F x x y f y x F 任取,00>x 记 ),...2,(),...,2,(1001n n n x x F x x x F x ==+ 试证 n n x ∞ →lim 存在，并求极限值。 证 ],9)[(21522)1(),1(22+-=+-=-= x y y y y f y F .9)()(,9)1()1(22+-=-∴+-=-∴ x y x y f y y f 故 .29 )(),(2x x y y x F +-=由题设 ,2929)2(02002001x x x x x x +=+-=...,29,...,292 11212n n n x x x x x x +=+=+ 由于 1)3 9 1(21)91(21,39)9(212211=+≤+==?≥+=++n n n n n n n n x x x x x x x x .1n n x x ≤∴+故}{n x 单调有下界，故有极限。设,lim A x n n =∞ → 由,29 29221A A A x x x n n n +=?+=+解出3=A （舍去3-=A ） 。 习题25 设 ,...,2,1,11,010=++=>+n x x x x n n n 求.lim n n x ∞→ 解 显然}{.211,010n n n n x x x x x ∴<++ =>+有上界2，有下界.0 ,111102 000001x x x x x x x x +-+=-++=-当 25100+≤ 00≥-+x x 即,01x x ≥假设,1->n n x x 则 .0) 1)(1(1111 111>++-=+-+= -----+n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 故}{n x 单增。n n x ∞→∴lim 存在。设,lim A x n n =∞ →则由n n n n n x x x ++=∞→+∞→1lim 1lim 1得,11A A A ++=即 251,012+= ∴=--A A A （舍去负值）。当2 510+>x 时，有,01x x < 用完全类似的方法可证}{n x 单减有下界0，同理可证 .2 5 1lim += ∞ →n n x 习题26 设数列}{n x 由下式给出 ,...2,1,1 2,211=+ ==+n x x x n n 求 .lim n n x ∞ → 解 }{n x 不是单调的，但}{12-n x 单增，并以3为上界，故有极限。设.lim 12B x n n =-∞ →}{2n x 单减，并以2为下界，设 .lim 2C x n n =∞ →在等式 n n x x 121+ =+两边按奇偶取极限，得两个关系 B C C B 12,12+=+=，解出.C B =由于的奇数列与偶数列的极限存在且相等，因此} {n x 的极限存在，记.lim A x n n =∞ →于是).12(lim lim 1n n n n x x +=∞ →+∞→故有,1 2A A +=解出,21+=A （舍去负值21-） 习题27 设,1 2 ,011++= >+n n n x x x x 试证}{n x 收敛，并求极限。 证 显然,0>n x 假设,lim A x n n =∞ →则由∞→++= +n x x x n n n 令1 2 1，可解出2=A （舍去 2-） 。下面证明}{n x 收敛于.2由于 2)12(1 ) 2)(12(2111--<+--= ----n n n n x x x x ， 递推可得 2)12(...2)12(21122--<<--<---x x x n n n .0)12(lim 1=-∴-∞ →n n 由两边夹可得.02lim =-∞ →n n x 故.2lim =∞ →n n x 习题28设.) (1) (2)(,0)()(2 211t f t f t f t f t f n n n +=>=+试证 （1）)(lim ,t f t n n ∞→?存在；（2）当1)(≥t f 时，;1)(lim =∞ →t f n n 当1)( ;0)(lim =∞ →t f n n 证 ,n ?显然有,0)(≥t f n 又.0) (1]1)([)()()(2 2 1≤+--=-+t f t f t f t f t f n n n n n )(,t f t n ?∴单减有下界。∴收敛。令),()(lim t F t f n n =∞ →在原式两边取 极限得.) (1) (2)(22t F t F t F += 由此可解出0)(=t F 或.1)(=t F 当1)(≥t f 时，.1)(2)(2)(1)(2)(2 221212=≥+=t f t f t f t f t f 归纳假设,1)(≥t f k 则,1)(2 ≥t f k 而n t f t f t f t f t f k k k k k ?∴=≥+=+,1) (2) (2)(1)(2)(22221，有.1)(≥t f n 因此1)(≥t f 时 .1)(=t F 即1)((,1)(lim ≥=∞ →t f t f n n 时）。 当1)( →t f n n （当1)( x x x 2sin sin 21 2202sin sin 1 0)2sin 1sin 1(lim )2cos cos (lim --=→→ .) 2sin 1()sin 1(lim 43 14 1)cos (2sin 1 2 cos 41 sin 1 20 22 e e e x x x x x x x ==--=-- -?--? -→ 习题30 若}{n x 收敛，则.0! )(lim =∞→n x n n n 证 }{n x 收敛，设.lim A x n n =∞ →故}{n x 必有界。设 ,...2,1,=≤n B x n 因此,!!)(0n B n x n n n ≤≤ 而,0!→n B n .0!)(lim =∴∞ →n x n n n 习题31 求 .!lim 2n n n ∞→ ∴ n n n n n n )0! lim 2=∞→n n n 变量替换求极限法 （为求),(lim x F a x →有时可令),(y x ?=而)]([)(y F x F ?=） 习题32 求 x x x 1 )1(lim 1 0-+→βα （β为自然数） 解 令,1)1(1 y x =-+β α则,] 1)1[(α β-+= y x 因此 α αββ1)1(lim 1)1(lim 01 0-+=-+→→y y x x y x 11 (i) 1 110 -++++=--→y c y c y y y βββββα ....lim 2 110 β α βα βββ= +++=--→ y y c y y 习题33 求.111lim 2 x x m x m x - -+→ 解 令,1)1(,11-+=?=-+m m y x y x 且当0→x 时,0→y 故 原式 .21...... 21lim ]1)1[(]1)1[(1lim 2222020 m m y m y m y y m y y m m y --=++--=-+-+-=→→ 习题34 求.0),(lim 12>-+∞ →a a a n n n n 解 先求),(lim 12+∞ +→-x x x a a x 令 ,1t x = 则上式 2 2 02 10211 0) ln 1exp(1lim 1lim lim 2t a t t t a a t a a t t t t t t t t +--=-? =-=+ ++→+-→+→ .ln ln 1lim 22 0a t a t t t =+=+→ 故原式.ln a = 用等价无穷小替换求极限 习题35 求).(cos 1lim 2 N ∈-→n n n ? ? ? 解 记).0(1,cos →→=??x n x n 则 原式=2 0201210cos 1lim 1lim )...1()...1)(1(lim ???????n n n x x x x x x n n n -=-=++++++-→→--→ = )2 1~cos 1,0(2)(21 lim 222 0u u u n n n -→=→当??? 习题36 设)(x f 与x 是等价无穷小，,)(x x f ≠求证 （1）;1)]([lim 0=+→x x x f （2）.1)()]([lim 0=--+ →x x f x x f x x x 证 ,~)(x x f 即 ),(1)(),0(1)(x x x f x x x f α+=∴→→ 其中).0()](1[)(00)(→+=→→x x x x f x 当，即，当αα故 x x x x x x x x x x x x x x f )](1[lim lim )](1[lim )]([lim 0 αα+=+=++++→→→→ .1)] (1[lim 10)() (1 ==+?=?→+ e x x x x x ααα （2）x x f x x f x x x f x e x x x f x x f x x x f x x x x x -???-?=--++→→)() (ln )(ln 1lim )()]([lim ])(ln[ 00 . 1111)()]([lim .1ln ])(1[lim ln ])(1ln[lim ])(1ln[)(lim )(ln )(ln lim )()(ln lim . 1) (ln 1lim )(ln 1lim )(ln 1lim . 1lim lim lim 0)(0)(0000)(ln 0)(ln )(ln 0])(ln[ 0011ln lim 11ln ln 0 0=??=--?==-+=-+=-+?-=--?=-?=?-=?-=?-=====++++ ++ +++ + →+++→-→-→→→→→→→--→→→x x f x x f e x x x f x x x f x x x f x x f x x x f x x x f x x x f x x f x x x f x e x x f x e x x f x e e e e e x x x x x x f x x x x f x x x x x x x f x x x f x x x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x 习题37 设)2(],,0[)(≥∈n n n C x f 为自然数，).()0(n f f =试证 ],,0[1,n ∈+?ξξ使).1()(+=ξξf f 证 （分析：要证],,0[1,n ∈+?ξξ使).1()(+=ξξf f 即要证)()1()(x f x f x g -+=有根ξ） 令)()1()(x f x f x g -+=，显然在]1,0[-n 上 连 续，于 是 . 1,...,1),()1()(-=-+=n i i f i f i g 记 )},({max )},({min 1 01 0i g M i g m n i n i -≤≤-≤≤==则 ,)(11 M i g n m n i ≤∑≤-=又.0)0()()(10=-=∑-=f n f i g n i 对函数)(x g 应用介值定 理，知],1,0[-∈?n ξ使,0)(1)(1 0=∑=-=i g n g n i ξ即存在],1,0[1,-∈+n ξξ使).()1(ξξf f =+ 习题38 设,],,[)(b d c a b a C x f <<<∈且证明],,[b a ∈?ξ 使).()()()(d f c f f βαξβα+=+ 证 （分析：将结果变形μβ αβαξ? =++= )()()(d f c f f ） 记)},({max )},({min ] ,[] ,[x f M x f m b a x b a x ∈∈==则],[,)(b a x M x f m ∈≤≤ 于是 M d f c f m )()()()(βαβαβα+≤+≤+ 或 M d f c f m ≤++≤ β αβα) ()( 由介值定理知 ，使β αβαξξ++= ∈?) ()()(],,[d f c f f b a 即 ).()()()(d f c f f βαξβα+=+ 习题39 设),()(+∞-∞∈C x f 且.)]([x x f f =证,ξ?使.)(ξξ=f 证 反证法。若不存在点ξ使.)(ξξ=f 即),(+∞-∞∈?x 均有 )(.)(x f x x f ≠连续，不妨设恒有.)(x x f >于是.)()]([x x f x f f >>此 与x x f f =)]([矛盾。故,ξ?使.)(ξξ=f 习题40 设),()(b a C x f ∈且.0)(>x f 又,...21b x x x a n <<<<<证明至少有一点),,(b a ∈ξ使.)()...()()(21n n x f x f x f f =ξ 证 ),,()(1n x x C x f ∈ 故)(x f 在],[1n x x 上有最大值M 和最小值m ,使 .,...,2,1,)(0n i M x f m i =≤≤< 于是 M x f x f x f m n n ≤≤)()...()(21由介 值定理，知),,(],[1b a x x n ?∈?ξ使.)()...()()(21n n x f x f x f f =ξ 习题41 证明方程12=?x x 至少有一个小于1的正根。 证 设,12)(-?=x x x f 显然],1,0[)(C x f ∈但 , 01)0(<-=f ),1,0(,0112)1(0∈?∴>=-=x f 使,012)(000=-?=x x x f 即 方程12=?x x 至少有一个小于1的正根0x 存在。 习题42 设1 lim )(2212+++=-∞→n n n x bx ax x x f 连续，求.,b a 解 ??? ? ?? ???????-=+--=++>=+++<+=--∞→1,211,211 ,1111lim 1 ,)(21 2222x b a x b a x x x x b x a x x bx ax x f n n n n 故.1)01(,)01(,)01(,1)01(-=---=+-+=-=+f b a f b a f f 由于)(x f 在=1，-1处连续，所以.1,01 1 ==??? ?-=-=+b a b a b a 习题43 试证方程x x xe x 2 cos π +=至少有一个实根。 证 做函数.2 cos )(x x xe x f x π --= 显然 ),1,0(,01)1(,01)0(∈?∴>-=<-=ξe f f 使.0)(=ξf 即x x xe x 2 cos π +=在 )1,0(内必有实根。 习题44 求3 2 1)(x x x x f --= 的连续区间。 （解：先改写为分段函数，结论为：)),1()1,0()0,(+∞-∞ 习题45 求b 为何值时，函数???≤<-≤≤-=3 2,22 0,1)(2x bx x x x f ，在]3,0[上处 处连续。 只需讨论分段点处的连续性：),2(3)1(lim )02(22f x f x ==-=-- → ),2(22)2(lim )02(2 f b bx f x =-=-=++→要在2=x 处连续，必有 .2 5 ,322=?=-b b 习题46 设0,01>>x a ，定义 ,...2,1),3(4 131=+=+n x a x x n n n 求 n n x ∞→lim 解 }{.)(4 1 4 43 31n n n n n n n n n n x a x a x x x x a x x x x ∴=???≥+ ++=+有下界.4a 即,N n ∈?有.4a x n ≥又 1)3(41)3(4141=+≤+=+a a x a x x n n n ，即}{n x 单减有下界，故有极限。设A x n n =∞ →lim 且.04>≥a A 有)3(lim 4 1 lim 31n n n n n x a x x +=∞ →+∞→有43)3(41a A A a A A =?+= （舍去负根）（注意：先证明极限的存在是必要的。） 习题47 . ,...,,,0,1121n n x a x x a a a x a x a +=+=+==>+设.lim ,..2,1n n x n ∞ →=求 （解： }{n x 单增有上界a +1，可解出极限2 411a A ++= ） 习题48 设],1,0[)(C x f ∈且,1)(0≤≤x f 证明],1,0[∈?ξ使 .)(ξξ=f 证 若,0)0(=f 则取.0=ξ若,1)1(=f 则可取.1=ξ ,0)0(>f ,1)1( ),1,0(∈?ξ使,0)(=ξg 即.)(ξξ=f 习题49 (选择题)设)(),(x x f ?在),(+∞-∞内有定义，)(x f 连续且 )(,0)0(x f ?≠有间断点，则 (A) )]([x f ?必有间断点，(B) 2)]([x ?必有间断点， (C) )]([x f ?必有间断点，(D) ) () (x f x ?必有间断点. 解 选[D]（(A) 因)(x f 的值域可能很小。 (B)反例?? ?=≠=0 ,00 ,1)(x x x ? 而1)]([2≡x ?无间断点。 (C) )(x ? 总有定义。 习题50 证明方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过.b a + 证 设],,0[)(),,()(,sin )(b a C x f C x f x b x a x f +∈∴+∞-∞∈-+= 而 . 0]1)[sin() ()sin()(,0)0(≤-+=+-++=+==b a a a b b b a a b a f b f 如果,0)(=+b a f 则b a +即为)(x f 的零点.如果,0)(<+b a f 则由介值定理知),,0(b a +∈?ξ使,0)(=ξf 即ξ为所求,故原命题成立. 习题51 若函数)(x f 可以达到最大值和最小值，求证 ).(min )](max[x f x f -=- 证 设),()(min 0x f x f =则对任意x 有),()(0x f x f ≥或有 )).(m in )(()(0x f x f x f -=-≤-由x 的任意性，可知 ).(m in )()](m ax [0x f x f x f -=-=- 习题52 设],[)(b a C x f ∈且恒大于零，证明 ) (1 x f 在],[b a 上连续. 证 任取],[0b a x ∈由于)(x f 在0x 处连续且大于,0,01>?∴δ使当 ,10δ<-x x 时（若a x =0为左端点，则应为,01δ<-≤a x 类似处理 )0b x =有 (*)..........0)(2 1 )(0>> x f x f ,2 ) (,002εεx f 对>?可找到,02>?δ使当,20δ<-x x 时有 (**).......... 2 ) ()()(020ε x f x f x f <- 取},,m in{21δδδ=则当δ<-0x x 时，有 .)]([2 1)]([21)]([2)()()()()()()(1 )(12020200000εε=?<-<-=-x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 故知 )(1x f 在0x x =处连续。由0x 的任意性，知) (1 x f 在],[b a 上连续. 习题53 设?????≤+>=, 0,, 0,1sin )(x e x x x x f x βα 试讨论)(x f 在0=x 处的连续性. 解,1)00(,1)0(ββ+=-+=f f 而 ?? ?≤>=?=++→0 0, 01sin lim )00(0 ααα不存在，x x f x 10-=>∴βα，当时，)(x f 在0=x 处连续， 10-≠>βα，当时， 0=x 为)(x f 的跳跃间断点（第一类间断点). 当，0≤α时0=x 为第二间断点。 习题54 设函数?????>≤-=0 ,2sin 0,cos 5)(x x tg x x x e x f x α 问当?,=α)(x f 在0=x 处连续。 解 .2 2lim 2sin lim )00(,4)00(,415)0(00 α αα===+=-=-=++ →→x x x tg x f f f x x ，当)0(0)0(0)-0(f f f =+=∴即 2 1 ,42 = =αα 时，)(x f 在0=x 处连续。 习题55 求函数x x x f πsin 1 )(2-=的间断点，并判定其类型. 解 因当n x =（n 为任一整数）时，n x x =∴=,0sin π是)(x f 的间断 点。再细分，当1±≠n 时，,sin 1 lim 2∞=-→x x n x π 不存在，故除1±处的 任何整数都是)(x f 的第二类间断点。因 . 2 sin 1lim ,2)sin 2sin (lim )sin cos cos sin 2(lim ))1(sin 2(lim sin 1lim 2 120 2020121π ππππππππππ=--=-- =++=++=--→→→→+=→x x t t t t t t t t t t t x x x t t t t x x 同理 亦即1±=x 是)(x f 的第一类（可去）间断点. 习题56 求函数??? ???? >-≤+=o x x x x x x x f ,4sin 0,2cos )1()(2 ππ的间断点并判定其类 型。 解 )(x f 的分段点为 .0=x .02 cos )1(lim )(lim 00=+=- - →→x x x x f x x π 0.2 1)4sin(4sin lim )(lim 2 =∴-=-=-=-+→→x x x f x x ππ 是)(x f 的第一类（跳跃）间断点。当0 cos )1()(x x x x f π += 在点 ,...)2,1,0),...(12(,...,5,3,1=+----=k k x 处，)(x f 无意义，故),...12(,...,5,3,1+----=k x 是)(x f 的间断点。因为 1 ,2 ) 12(2sin lim 2 cos )1(lim )(lim 0) 1(2 1 1 -=∴- =-?=+=→+=-→-→x u u u x x x x f u x u x x π π ππ π 是第一类（可去）间断点。显然,...5,3--=x 都是极限为∞的第二 类间断点。当0>x 时，,4 sin )(2 -=x x x f 在点2=x 时，)(x f 没定义，故2=x 是)(x f 的间断点。又,4 sin lim 22-→x x x 不存在，故为第二类 间断点。 习题57 设函数),,0[)(∞+∈C x f 且,)]()1([lim A x f x f x =-++∞ →试证 .) (lim A x x f x =+∞ → 证 因为连续，所以)(),,0[,x f b a +∞∈?在),0[],[+∞?b a 上有界。又因为 ,)]()1([lim A x f x f x =-++∞ → 所以,,01K ?>?ε 当1K x >时，恒有 ,3 )()1(ε < --+A x f x f 取,11+>K x 则存在自然 数n 使得11+<-≤n K x n .记n K x l --=1，则,10<≤l 且,1n l K x ++= 于是 .)(])()([)(111A x l K x l K f A n l K f x f x n A x x f +-++-+-=-下面估计上式右边三项的绝对值。 （1） A n l K f x f A n l K f x f x n x n -+-≤-+-∴≤)()(])()([,111 = A n l K f n l K f -+-++) ()(11 ∑=--++-++=n i A i l K f i l K f n 1 11 ])1()([1 .3 31)1()(1111εε=?<--++-++≤∑=n n A i l K f i l K f n n i （2）因为)(x f 在]1,[11+K K 上有界，即,0>?M 使M x f ≤)(.故 ,32ε M K = ?当2K x >时，恒有 .3 )(21ε =<+K M x l K f （3）因为,0lim 1=++∞ →A x l K x 故,03>?K 使当3K x >时恒有.3)(1ε <+A x l K f 综合（1），（2），（3）,0>??ε取 },,1m ax {321K K K K +=，则当K x >时，恒有 .)(lim ,)(A x x f A x x f x =∴<-+∞→ε 习题68 若)(x ?和)(x ψ为连续周期函数，当+∞<<∞-x 时，有定义，且,0)]()([lim =-∞ →x x x ψ?证明).()(x x ψ?≡ 证 先证明)(x ?和)(x ψ有相同周期。设)(x ?的周期为p ,则 ),()(x p x ??=+由于当∞→x 时, ,0)()(→+-+p x p x ψ?即得 0)]()([lim =+-∞ →p x x x ψ?，以及 )]()([lim p x x x +-∞ →ψψ=)]()([lim p x x x +-∞ →ψ?.....(*)..........0)]()([lim =--∞ →x x x ψ? 现在说明)(x ψ的周期也是p 。若不然，则至少存在一个,0x 使 ).()(00p x x +≠ψψ设)(x ψ的周期为N q ,为任意正整数， ,0Nq x x +=以及,0)()(00>+-=p x x ψψα此时恒有 )()()()(00p Nq x Nq x p x x ++-+=+-ψψψψ αψψ=+-=)()(00p x x . 但由（*），对充分大的,x 必成立,)()(αψψ<+-p x x 这显然矛盾（矛盾于α=）.q p =∴下面证明).()(x x ψ?≡若结论不真，则至少存在一个,1x 使).()(11x x ψ?≠记,0)()(11>-=x x ψ?β则,1Np x x +=?恒有 ,)()(βψ?=-x x 这与,0)]()([lim =-∞ →x x x ψ?矛盾。于是).()(x x ψ?≡ 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f 高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ 切线长定理典型练习题 一、填空题 1、如图AB 为⊙O 的直径，CA 切⊙O 于点A ，CD=1cm ，DB=3cm ，则AB=______cm 。 2、已知三角形的三边分别为 3、 4、5，则这个三角形的内切圆半径是 。 3、三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是 。 二、选择题 1、△ABC 内接于圆O ，AD ⊥BC 于D 交⊙O 于E ，若BD=8cm ， CD=4cm ，DE=2cm ，则△ABC 的面积等于（ ） A.248cm B.296cm C.2108cm D.232cm 2、正方形的外接圆与内切圆的周长比为（ ） A. 1:2 B. 2：1 C. 4：1 D. 3：1 3、在三角形内，与三角形三条边距离相等的点，是这个三角形的 （ ） A.三条中线的交点， B.三条角平分线的交点， C.三条高的交点， D.三边的垂直平分线的交点。 4、△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，则∠FDE 与∠A 的关系 是 （ ） A. ∠FDE=21∠A B . ∠FDE+21∠A=180° C . ∠FDE+2 1∠A=90° D . 无法确定 三、解答题： 1、如图，AB 、CD 分别与半圆O 切于点A 、D ，BC 切⊙O 于点E ，若AB ＝4，CD ＝9，求⊙O 的半径。 2、等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10 cm ，求它的内切圆的半径。 3、如图，在△ABC 中，∠C=90°，以BC 上一点O 为圆心，以OB 为半径的圆交AB 于点M ，交BC 于点N 。 （1）求证：B A ·BM=BC ·BN ； （2）如果CM 是⊙O 的切线，N 为OC 的中点。当AC=3时，求AB 的值。 最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1) 法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0< 而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以 关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成 《切线性质与判定》练习题 一．选择题（共12小题） 1．如图，AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，若∠PAB=40°，则∠AOB=（） A．80° B．60° C．40° D．20° 2．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（） A．20° B．30° C．35° D．40° 第1题图第2题图第3题图 3．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=25°，则∠D等于（）A．20° B．30° C．40° D．50° 4．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是⊙O上不同于A、B的任一点，则∠ACB等于（） A．80° B．50°或130° C．100° D．40° 第4题图第5题图第6题图 5．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（2，0），N（0，8）两点，则点P的坐标是（） A．（5，3） B．（3，5）C．（5，4）D．（4，5） 6．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，割线PAB过圆心O，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为（） A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，在同心圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，AB=8，则圆环的面积是（） A．8 B．16 C．16π D．8π 8．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别是A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若∠APB=60°，则∠COD的度数（） A．50° B．60° C．70° D．75° 9．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（） A．AB=4，AT=3，BT=5 B．∠B=45°，AB=A T C．∠B=55°，∠TAC=55° D．∠A TC=∠B 第7题图第8题图第9题图 11．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论正确的个数是（） ①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线． 第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε，有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注2 若n n x ∞ →lim 存在，则对于每一个正数ε，总存在一正整数N 与之对应，但这种N 不是 唯一的，若N 满足定义中的要求，则取Λ,2,1++N N ，作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N ． 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是：对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ，在{}n x 中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入),(εa U ． 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε，有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列，记为{} k n x ，其中k n 表示k n x 在原数列中的项数，k 表示它在子列中的项数． 注1 对每一个k ，有k n k ≥． 注2 对任意两个正整数k h ,，如果k h ≥，则k h n n ≥．反之，若k h n n ≤，则k h ≤． 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε，有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ，若0>?M ，使得对N n >?，有M x n ≤，则称数列{}n x 为有界数列． 4.无穷大量 对数列{}n x ，如果0>?G ，N n N >?N ∈?,，有G x n >，则称{}n x 为无穷大量，记 作∞=∞ →n n x lim ． 求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 1 0)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+? 切线长定理—知识讲解 【学习目标】 1.了解切线长定义,掌握切线长定理； 2.了解圆外切四边形定义及性质； 3. 利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 要点二、圆外切四边形的性质 1.圆外切四边形 四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形. 2.圆外切四边形性质 圆外切四边形的两组对边之和相等. 【典型例题】 类型一、切线长定理 1．（2015秋?湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D． （1）若PA=6，求△PCD的周长． （2）若∠P=50°求∠DOC． 【答案与解析】 解：（1）连接OE， ∵P A、PB与圆O相切， ∴PA=PB=6， 同理可得：AC=CE，BD=DE， △PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12； （2）∵PA PB与圆O相切， ∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°， ∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°， 在Rt△AOC和Rt△EOC中， ， ∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL）， ∴∠AOC=∠COE， 同理：∠DOE=∠BOD， ∴∠COD=∠AOB=65°． 【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键． 2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点. 求证：DE是⊙O切线. 【答案与解析】 连结OD、CD，AC是直径，∴OA=OC=OD，∴∠OCD=∠ODC， ∠ADC=90°，∴△CDB是直角三角形. ∵E是BC的中点，∴DE=EB=EC，∴∠ECD=∠EDC，∠ECD+∠OCD=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD⊥ED， ∴DE是⊙O切线. 【总结升华】自然连接OD，可证OD⊥DE. 举一反三： 【变式】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥于点D.求证：DA为⊙O的切线. F C F C 【答案】连接AO. ∵ AO BO =，∴ 23 ∠=∠. 第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设 解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定 函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1 ．求下列极限 解：由 可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。 求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知 的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处 函数是连续的， 从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。 试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。 例 3 ．讨论函数 例 4 ．已知函数 ， ∴ f(x)在 x=1 处连续。 解析： ∴ a=1, b=0 。 例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ② 要使 存在，只需 ∴ 2k=1 ，故 时， 存在。 例7．求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ ，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。 三、训练题： 2． 的值是 3. 已知 ，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。 ，求 a 的值。 5．已知 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设 ，问常数k 为何值时，有 存在？ 解析：∵ 4．已知 解析：由 1．已知 切线长定理及其应用 一、基础知识总结 1.内切圆和内心 定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分 线的交点,叫做三角形的内心. 总结：判断一个多边形是否有内切圆，就是判断能否找到一个点到各边距离都 相等。 2.直角三角形的内切圆半径与三边关系 （１）一个基本图形； （２）两个结论： 1）四边形OECF 是正方形 2）r=(a+b-c)∕2或r=ab ∕(a+b+c) （３）两个方法 代数法（方程思想）；面积法 3.切线长定义：过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段长叫做切线长。 4.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的交角。 二、典型例题解析 【例1】如图△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相交于点D 、E 、F ，且AB=9 cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长 D E F O C B A 112 12902 a b c A B C A B C S s r p a b c p C r a b c ?∠∠∠==++∠=?=+-设、、分别为中、、的对边，面积为，则内切圆半径（），其中（）； （），则（） 【例2】如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、 E、F，如果AE＝1， CD＝2，BF＝3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r． 【例3】如图，以等腰ABC ?中的腰A B为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作⊥，垂足为E． D E A C （I）求证：D E为⊙O的切线； （II）若⊙O的半径为5，60 ∠= ，求D E的长． B A C 【例4】如上图等边三角形的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是⌒BC的中点．（1）试判断过C所作的⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；（2）设直线 CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△ BDE的面积． 知识网 数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法： (1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法. 归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法. ①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法. ②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论. (2)数学归纳法步骤: ①验证当n取第一个 n时结论 () P n成立; ②由假设当n k =（ , k N k n + ∈≥）时,结论() P k成立，证明当1 n k =+时,结论(1) P k+成立; 根据①②对一切自然数 n n ≥时，() P n都成立. 2.数列的极限 (1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即 n a a -无限地接近于),那么就说数列 {} n a以a为极限,或者说a是数列{} n a的极限.记为 lim n n a a →∞ =或当n→∞时， n a a →. (2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim n n n n a a b b →∞→∞ ==， 那么lim() n n n a b a b →∞ ±=±；lim(); n n n a b a b →∞ ?=?lim(0) n n n a a b b b →∞ =≠ 特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim n n n n n C a C a Ca →∞→∞→∞ ?=?=. ⑶几个常用极限: ①lim n C C →∞ =（C 为常数）②lim0 n a n →∞ = k （,a k 均为常数且N* ∈ k） ③ （1) 1 lim0(1) (1或1) 不存在 n n q q q q q ④首项为 1 a，公比为q（1 q<）的无穷等比数列的各项和为lim 1 n n a S q →∞ = - . 注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限. ⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. 数 学 归 纳 法 、数 列 的 极 限 与 运 算 例 1. 某个命题与正整数有关，若当) (* N k k n∈ =时该命题成立，那么可推得当 = n1 + k时该命题也成立，现已知当5 = n时该命题不成立，那么可推得（） (A)当6 = n时，该命题不成立(B)当6 = n时，该命题成立 (C)当4 = n时，该命题成立(D)当4 = n时，该命题不成立 例2.用数学归纳法证明:“)1 ( 1 1 1 2 1 2≠ - - = + + + + + +a a a a a a n n ”在验证1 = n时，左端 计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a + 1 (C)2 1a a+ + (D)3 2 1a a a+ + + 例3.2 2 21 lim 2 n n n →∞ - + 等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－ 2 1 (D) 2 1 例4. 等差数列中，若 n n S Lim ∞ → 存在，则这样的数列( ) (A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在 例5.lim(1) n n n n →∞ +-等于( ) (A) 1 3 (B)0 (C) 1 2 (D)不存在 例6.若2 012 (2)n n n x a a x a x a x +=++++， 12 n n A a a a =+++，则2 lim 83 n n n A A →∞ - = + ( ) (A) 3 1 -(B) 11 1(C) 4 1(D) 8 1 - 例7. 在二项式(13)n x +和(25)n x+的展开式中，各项系数之和记为,, n n a b n是正整 数，则 2 lim 34 n n n n n a b a b →∞ - - =. 例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N a∈ 1 ，公比为q，且 n n a a a S N q + + + = ∈ 2 1 , 1， 且3 lim= ∞ → n n S，则= + 2 1 a a_____ . 例9. 已知数列{ n a}前n项和1 1 (1) n n n S ba b =-+- + , 其中b是与n无关的常数，且0 ＜b＜1，若lim n n S →∞ =存在，则lim n n S →∞ =________． 例10.若数列{ n a}的通项21 n a n =-，设数列{ n b}的通项 1 1 n n b a =+，又记 n T是数 列{ n b}的前n项的积． （Ⅰ）求 1 T， 2 T， 3 T的值；（Ⅱ）试比较 n T与 1+ n a的大小，并证明你的结论． 例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式 =11 lim lim 2 11 11 n n n n n n →∞→∞ == ++ ++ 例6.A例7. 1 2 例8. 3 8 例9.1 例10(见后面) 极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2 =-→x x ；???≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,) ()(lim 成立此时需≠= B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim =→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim =→x x x ，e x x x =--→21 ) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3)31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： 圆的知识点总结 （一）圆的有关性质 ［知识归纳］ 1. 圆的有关概念： 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆； 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高； 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形； 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就 可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 1 推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等； 推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。 （1）平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆； （2）平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线； （3）平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。 ［例题分析］ 例1. 已知：如图1，在⊙O中，半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB ＝，ON＝1，求MN的长； ②若半径OM＝R，∠AOB＝120°，求MN的长。 解：①∵AB ＝，半径OM⊥AB，∴AN＝BN ＝ ∵ON＝1，由勾股定理得OA＝2 ∴MN＝OM－ON＝OA－ON＝1 ②∵半径OM⊥AB，且∠AOB＝120°∴∠AOM＝60° 2 初三数学 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示， 过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE = == = 32322 2 ∵，∴∠，OA OAD AD OA == =132 cos cos ∠OAE AE OA = = 22 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示， 同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ， 如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ? （1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22 求的值AD BC 分 析 ： ()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ? 则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线； （2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF ∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC 2 2 122=== 解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E ∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ? = 又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC = 12 ∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA ∴ ，即·AD DE DF AD AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21 2 ∴·，故AD BC R AD BC R 2 2 == 例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A A B CD B AB CD ..?>? ? 高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版
切线长定理典型练习题
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关于高等数学方法与典型例题归纳
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《切线性质与判定》练习题
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(完整)初三数学有关圆的经典例题
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