2018最新中考数学总复习 全部导学案

初一至初三数学全部知识点梳理及配套练习

汇编全书

第1课时 实数的有关概念

【知识梳理】

1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限 环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.

2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一

一对应.

3. 绝对值：在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫数a 的绝对值，记作∣a ∣，正

数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a 的相反数是-a ，

0的相反数是0.

5. 有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有

的数字,都叫做这个近似数的有效数字. 6. 科学记数法：把一个数写成a×10n 的形式(其中1≤a<10,n 是整数),这种记数法叫

做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 7. 大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.

8. 数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.

9. 平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a

的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 10. 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．

11. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a,即x 2=a ，那么这个正数x

就叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0．

12. 立方根：一般地，如果一个数x 的立方等于a,即x 3=a ，那么这个数x 就叫做a

的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．

13. 开立方：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方． 【思想方法】

数形结合，分类讨论

【例题精讲】 例1.下列运算正确的是（ ）

A ．33--=

B ．3)

3

1(1

-=-

C 3=±

D 3=-

例 ）

A ．

B

C ．2-

D ．2

例3.2的平方根是（ ）

A ．4

B

C ．

D ．

例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）

A ．10

7.2610? 元

B ．9

72.610? 元

C ．110.72610? 元

D ．11

7.2610?元

例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示， 则必有（ ）

A ．0a b +>

B ．0a b -<

C ．0ab >

D ．0a

b

< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使：

a ⊕

b = n (n 为常数)时，得

（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3

现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ． 【当堂检测】

1.计算3

12??

- ???

的结果是（ ）

A ．

16

B ．16-

C ．18

D ．1

8

-

2.2-的倒数是（ ） A ．1

2

-

B ．

12

C ．2

D ．2-

3.下列各式中，正确的是（ ）

A ．3152<<

B ．4153<<

C ．5154<<

D ．161514<< 4.已知实数a

在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（

A ．1

B ．1-

C ．12a -

D ．21a -

5.2-的相反数是（ ） A ．2

B ．2-

C ．

12

D ．12

-

6.-5的相反数是____,-

1

2

的绝对值是=_____.

7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 . 8.如果2

()13?-=，则“

”内应填的实数是（ ）

A ． 32

B ．

23

C ．2

3-

D ．3

2

-

第4题图

a 0 例5图

第2课时 实数的运算

【知识梳理】

1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数． 2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

3

．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0．

4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数． 5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 如果有括号，先算括号里面的． 6．有理数的运算律：

加法交换律：a+b=b+a(a b 、为任意有理数) 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)

【思想方法】

数形结合，分类讨论

【例题精讲】

例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.

例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17

日上午9时应是( )

A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.

B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.

C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .

D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.

例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆

组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________个圆组成.

0 -4 国际标准时间（时） -5 例2图

……

例3图

思考与收获

例4.下列运算正确的是（ ） A ．523=+

B ．623=?

C ．13)13(2

-=- D ．353522-=-

例5.计算： (1) 9

11)1(8302

+

-+--+-π

(2)0

(tan 45π--+o

(3)102)21()13(2-+--；

(4)2008011(1)()3

π--+-+

【当堂检测】

1.下列运算正确的是（ ）

A ．a 4×a 2=a 6

B ．22532a b a b -=

C ．32

5

()a a -= D ．23

36

(3)9ab a b =

2.某市第一季度财政收入为76.41

表示为( )

A ．81041?元

B ．9101.4?元

C ．9102.4?元

D ．8107.41?元 3.估计68的立方根的大小在( )

A.2与3之间

B.3与4之间

C.4与5之间

D.5与6之间 4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ） A

B ．

C ． 3.2-

D ．5.计算：

(1)02200960cos 16)2

1

()1(-+--- （2）

)

1

112-??

- ???

第4题图

第3课时 整式与分解因式

【知识梳理】

1.

即n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数）底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n

n

n

b a ab =)(（n 为正整数）零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a

a 1

=

-（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法:

(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.

(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.

(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即2

2

))((b a b a b a -=-+；

(6)它们的积的2倍，即2

2

2

2)(b ab a b a +±=±

3.式．

4.分解因式的方法：

⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，式法．

⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±

5先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：

⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）

A. a ＋2a=3a 2

B. 3a －2a=a

C. a 2

?a 3

=a 6 D.6a 2

÷2a 2

=3a 2

【例2】（茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的

结果是（ ）

A ．m

B ．m

C ．m +1

D ．m -1

【例3】若2

320a a --=，则2

526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( )

A ．22

()()x y x y x y -=+- B ．22

69(3)x x x ++=+ C ．2

()x xy x x y +=+

D ．2

2

2

()x y x y +=+

【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是

________

【例6】给出三个多项式：

21212x x +-，21412x x ++，21

22

x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．

【当堂检测】

1.分解因式：39a a -= ， _____________22

3=---x x x 2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“?”：（a ，b ）?（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）?（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6?109，b=4?103，则a 2÷2b=( )

A. 2?107

B. 4?1014

C.3.2?105

D. 3.2?1014 ． 4.先化简，再求值：2

2

()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中

2332a b =-=，．

5．先化简，再求值：2

2

()()()2a b a b a b a +-++-，其中133

a b ==-，．

思考与收获

第4课时 分式与分式方程

【知识梳理】

1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式

B

A

叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算

4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．

5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】

1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）

2.检验

【例题精讲】

1．化简：222211

1x x x x x x

-+-÷-+

2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --??

÷-- ?-+??

，其中2x =

3．先化简1

1112

-÷-+x x

x ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．

4．解下列方程（1）

013522=--+x

x x x （2）416

22222

-=-+-+-x x x x x

5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )

A. B.

C. D.

【当堂检测】

1．当99a =时，分式21

1

a a --的值是

．

2．当x 时，分式1

12

--x x

有意义；当x 时，该式的值为0．

3．计算2

2

()ab ab 的结果为

．

4. ．若分式方程

x

x k x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-2

5．若分式

3

2

-x 有意义，则x 满足的条件是：（ ）

A ．0≠x

B ．3≥x

C ．3≠x

D ．3≤x

6．已知x ＝，y ＝2009，求x y

x 4y 5x y x 4xy

5x y 2xy x 22

22-+-+÷-++的值

7．先化简，再求值：4x

x 16

x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x

8.解分式方程． (1)22011

x

x x -=+- (2)

x 2)3(x 22x x -=--；

(3) 11322x

x x -=--- (4)11

-x 1x 1x 22

=+--

第5课时 二次根式

【知识梳理】 1.二次根式：

(1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2．二次根式的化简：

3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． （2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号

4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 5．二次根式的乘法、除法公式：

（1a b=ab a 0b 0≥≥（，）（2a a

=a 0b 0b b

≥f （，）

6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根

式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③

化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 【思想方法】 非负性的应用

【例题精讲】 【例1】要使式子

1

x +有意义，x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠

B ．0x ≠

C ．10x x >-≠且

D ．10x x ≠≥-且

【例2】估计1

32202

?

+的运算结果应在（ ）． A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间

D ．9到10之间

【例3】 若实数x y ，满足2

2(3)0x y ++-=，则xy 的值是 ．

【例4】如图，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有5

23π7

-，，，四个实数，从中任取两张卡片．

A B C D

（1）请列举出所有可能的结果（用字母A ，B ，C ，D 表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率．

【例5】计算：

（1）1

03

130tan 3)14.3(27-+?---）

（π

（2）1

01(1)527232-??

π-+-+-- ???

．

【例6】先化简，再求值：)1()1112(2-?+--a a a ，其中33-=a ．

【当堂检测】

1.计算：（1）01232tan 60(12)+--+-+o ． （2）cos45°·(－

21)－2－(22－3)0＋｜－32｜＋1

21

- （3）026312()cos 304sin 6022

++-+o o

．

2.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简

222()a b a b -

第6课时 一元一次方程及二元一次方程（组）

【知识梳理】

1．方程、一元一次方程、二元一次方程（组）和方程（组）的解、解方程（组）的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题． 2．等式的基本性质及用等式的性质解方程：

等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意使性质成立的条件 ． 3．灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组．

4．用方程解决实际问题：关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时可以借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义． 【思想方法】

方程思想和转化思想

【例题精讲】

例1． （1）解方程.x x

+--=21152156

（2）解二元一次方程组 ???=+=+27271523y x y x 解：

例2．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值． 方法1 方法2

例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）

A. B. C. D. 例4．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________． 例5．已知a 、b 、c 满足?

??=+-=-+02052c b a c b a ，则a ：b ：c= ．

例6 ．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那

么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费． ①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超

过了规定的 A 度，则超过部分应该交

电费多少元（用 A 表示）？ ．

②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情

况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为 ．

【当堂检测】

1．方程x -=52的解是___ ___．

2．一种书包经两次降价10%，现在售价a 元，则原售价为_______元． 3.若关于x 的方程

x k =-1

53

的解是x =-3，则k =_________． 4．若?

??-==11

y x ，???==22y x ，???==c y x 3都是方程ax+by+2＝0的解，则c=____．

5．解下列方程（组）：

（1）()x x -=--3252； （2）....x x +=-0713715023； （3）???=+=+8

32152y x y x ； （4）x x

-+=-2114135；

?????=+=+6

5115

y x y x ???-=+=+2102

y x y x ???==+158xy y x ???=+=31

y x x 032=-+y x

6．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．

7．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？

8．甲、乙两人同时解方程组8(1)

5 (2)mx ny mx ny +=-??-=?

由于甲看错了方程①中的m ，得

到的解是42

x y =??=?，乙看错了方程中②的n ，得到的解是2

5x y =??=?，试求正确,m n

的值．

第7课时 一元二次方程

【知识梳理】

1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)

2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法 3．求根公式：当b 2-4ac≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为 4．根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．

当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根． 当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．

【思想方法】

1. 常用解题方法——换元法

2. 常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想 【例题精讲】 例1．选用合适的方法解下列方程：

a

ac b b x 242-±-=

(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；

(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 2+22x=0

例2 ．已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，

求m 的值．

例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？

例4．已知关于x 的方程x 2―(2k+1)x+4(k -0.5)=0

(1) 求证：不论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；

(2) 若等腰三角形ABC 的一边长为a=4，另两边的长b ．c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．

【当堂检测】 一、填空

1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①02x 3x

12=-+ ②01x 2=+

③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤02

1x x 243

2=--

⑥0x 22x 32=-+

2．一元二次方程3x 2=2x 的解是 ．

3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是 ． 4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ． 5．一元二次方程ax 2+bx+c=0有一根-2,则b

c a 4+的值为 ．

6．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范围

是__________．

7．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ． 二、选择题：

8．对于任意的实数x,代数式x 2－5x ＋10的值是一个( )