一、逆矩阵与逆变换

逆 矩 阵 与 逆 变 换

教学目标

1.逆矩阵的概念；

2.逆矩阵的性质。

教学过程

探究：对于一个线性变换ρ，是否存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ？对于一个二阶矩阵A ，是否存在一个二阶矩阵B,使得BA=AB=E 2？

变换ρ：将向量α沿逆时针方向绕原点旋转30°；变换σ：将向量α沿顺时针方向绕原点旋转30°，则任意向量经上述两种变换后，仍得其本身。

1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得

σρ＝ρσ＝I ，（I 是恒等变换），则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。 若变换变换ρ和变换σ对应的矩阵分别为A 、B ，则有BA=AB=E 2

2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。

符号、记法：1A -，读作Ａ的逆。

一般地，设A 是一个二阶可逆矩阵，对应的线性变换为ρ，由矩阵与线性变换的对应关系可以看出，A 的逆矩阵就是ρ的逆变换所对应的矩阵。

3.逆矩阵的性质:

性质1:若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。

性质2：设A 、B 是二阶矩阵，如果A 、B 都可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=。 课堂练习：

1.下列变换不存在逆变换的是 （ ）

A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。

B.60o R 变换。

C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的

两倍的切变变换。 D.以y 轴为反射变换

2.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ）

A.111()AB A B ---=

B. 111()AB B A ---=

C.11

()A A --= D. 2112()()A A --= 3.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是

4.矩阵0111?? ???

的逆矩阵为

5.A ＝1101-?? ???13223122??- ? ? ? ??

?，则1A -=

答案：1.A 2. A 3.

10

01

??

?

-

??

4.

11

10

-??

?

??

5.

113

22

313

22

??

+

?

?

?

-

- ?

??

逆变换与逆矩阵 (6)

2.4.1 逆矩阵的概念 1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件. 2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB )－1＝B －1A －1等简单性质. 3.会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵. [基础·初探] 1.逆变换 二阶矩阵A 对应着平面上的一个几何变换，它把点(x ，y )变换到点(x ′，y ′).反过来，如果已知变换后的结果(x ′，y ′)，有的变换能“找到回家的路”，让它变回到原来的(x ，y )，我们称它为原变换的逆变换. 2.逆矩阵 对于二阶矩阵A ，B ，若AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记作：A －1＝B . 3.逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是惟一的. (2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1 . (3)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝ C . 4.逆矩阵的求法 一般地，对于二阶矩阵A ＝?? ?? ?? a b c d ，当ad －bc ≠0，矩阵A 可逆，且它的逆

矩阵 A － 1＝ ????? ???d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . [思考·探究] 1.2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什么？ 【提示】 恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射. 2.是否每个二阶矩阵都可逆？ 【提示】 不是，只有当?? ????a b c d 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝??????1 00 0，因为1×0－0×0＝0， 找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立， 故A ＝?? ?? ?? 1 00 0不可逆. 3.若二阶矩阵A ，B ，C 都是可逆矩阵，如何求(ACB )－1? 【提示】 根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得： (ACB )－1＝ [] （AC ）B －1 ＝B －1(AC )－1＝B －1C －1A －1. [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3：

推荐高中数学2-4逆变换与逆矩阵2-4-1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4_2

2．4.1 逆矩阵的概念 1．逆矩阵的定义 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为A －1 . 2．逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1 ＝B －1A －1 . (2)已知A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，若A 存在逆矩阵，则B ＝C . 3．逆矩阵的求法 (1)公式法：对于二阶矩阵A ＝???? ??ab cd ，若ad －bc ≠0，则A 必可逆，且A －1 ＝ ????????d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (2)待定系数法． (3)逆变换法． [对应学生用书P30] [例1] 求矩阵A ＝?? ?? 3 22 1的逆矩阵． [思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解． [精解详析] 法一：待定系数法：设A －1 ＝??????xy zw ， 则??????3 22 1??????xy zw ＝???? ??1 00 1. 即????3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝??? ?1 00 1， 故? ?? ?? 3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，? ?? ?? 3y ＋2w ＝0， 2y ＋w ＝1， 解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，

从而A 的逆矩阵为A －1 ＝?? ??－122－3. 法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0， ∴A －1 ＝???? ??－122－3. 用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1 ，再由AA －1 ＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1 . 1．(江苏高考)已知矩阵A ＝?? ????－1002，B ＝???? ??1206，求矩阵A －1 B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为??????ab cd ，则?? ????－1 0 0 2??????ab cd ＝?????? 1 00 1，即??????－a －b 2c 2d ＝???? ??1 00 1 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12 ，从而A 的逆矩阵为A －1＝???????? －1 0 0 12， 所以A －1 B ＝? ?? ?? ??? －1 0 0 12?????? 1 20 6＝???? ??－1 －2 0 3. 2．已知矩阵M ＝???? 21 －3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标． 解：由M ＝????21 －3 －1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0， 故M －1 ＝????－1－1 32. 从而由????21 －3－1????x y ＝???? 13 5得 ????x y ＝????－1－1 32????13 5＝????－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝??? ? 2－3， 故? ?? ?? x ＝2，y ＝－3，即A (2，－3)为所求．

2.4逆变换和逆矩阵

2.4逆变换和逆矩阵 第一课时 逆变换与逆矩阵 [教学目标] 一、知识与技能：会用代数或几何方法判断一个二阶矩阵是否存在逆矩阵，存在情况下，会求逆矩阵 二、过程与方法：讲练结合法 三、情感态度和价值观：体会问题的探究与深入方法 [教学难点、重点]求二阶逆矩阵 [教学过程] 一、问题情景 ?? ????y x 1 T 变换??????//y x ?? →?2 T 变换??? ???y x （1）这个对应终归是什么对应？ ?? ????y x →?? ????y x （2）这个对应是否一定可以实现？在学过的恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换中，哪些可以实现，那些不能？由此得到能实现此这种变换的条件是什么？（不一定能实现；恒等、伸压、反射、旋转、切变可以实现，投影不能实现；是一一对应的变换可以实现，不是一一对应的不能实现） （3）对应的矩阵如何表示？若T 1对应变换矩阵为A ，T 2对应的变换矩阵为B ，BA=E 二、问题的深入 1、相关定义 以上变换T 2、T 1称作对方的逆变换，T 1、T 2称互逆的 相应的矩阵A 、B 满足：AB=BA=E ，称A 是可逆的，B 称A 的逆矩阵 例1、A=??????-0112,B=??????-2110,C=?? ? ???-2110,问B 、C 是否为A 的逆矩阵？ 解答：B 不是，C 是 思考1：一个矩阵A 存在逆矩阵，逆矩阵唯一吗？ 从直观角度上看，逆变换是唯一的，逆矩阵也应该唯一；可以进行验证：设A 的逆矩阵为B 1、B 2，则有：B 1=B 1E=B 1（AB 2）=（B 1A ）B 2=EB 2=B 2 这样，一个矩阵A 存在逆矩阵，则其逆矩阵唯一，记为A -1 思考2：如何判断一个二阶矩阵存在逆矩阵，又如何求呢？ 从几何角度是一个办法，但不是最家办法，因为许多矩阵不能看出是什么变换。所以从一般的角度加以考虑。首先，零矩阵一定没有逆矩阵 设二阶非零矩阵???? ??d c b a 的逆矩阵为?? ? ???2121 y y x x ，则

逆变换与逆矩阵 (3)

学业分层测评(六) [学业达标] 1.已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转，再作关于x轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵. 【解】　这个变换的逆变换是作关于x轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转变换，其矩阵 ＝. 2.求矩阵的逆矩阵. 【导学号：30650038】【解】　法一　待定矩阵法：设矩阵的逆矩阵为，则＝， 即＝，所以 解得 故所求逆矩阵为. 法二　A＝中，0×1－1×1＝－1≠0， ∴A－1＝＝. 3.已知A＝，B＝，求证B是A的逆矩阵. 【证明】　因为A＝，B＝， 所以AB＝＝， BA＝＝， 所以B是A的逆矩阵. 4.已知M＝，N＝，求矩阵MN的逆矩阵. 【解】　因为M＝，N＝， 所以MN＝＝. 设矩阵MN的逆矩阵为，则 ＝，即＝，所以 解得故所求的逆矩阵为. 5.已知变换矩阵A把平面上的点P(2，－1)，Q(－1，2)分别变换成点P1(3，－4)，Q1(0，5). (1)求变换矩阵A；

(2)判断变换矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A－1；如不可逆，请说明理由. 【解】　(1)设A＝，依题意，得＝，＝，即解得所以A＝. (2)变换矩阵A是可逆的. 设矩阵A的逆矩阵为， 则由＝， 得 解得故矩阵A的逆矩阵为A－1＝. 6.已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B. 【导学号：30650039】【解】　设矩阵A的逆矩阵为， 则·＝， 即＝， 故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝， 从而A的逆矩阵为A－1＝， 所以A－1B＝＝. 7.已知矩阵A＝，B＝，求满足AX＝B的二阶矩阵X. 【解】　因为A＝， 所以A－1＝.因为AX＝B，所以A－1(AX)＝A－1B.又因为(A－1A)X＝A－1(AX)，所以(A－1A)X＝A－1B， 所以X＝A－1B＝＝. [能力提升] 8.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1) 与(0，－2). (1)求矩阵M的逆矩阵M－1； (2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x－y＝4，求l的方程. 【解】　(1)设M＝，则有＝，＝， 所以且解得 所以M＝，从而M－1＝. (2)设直线l上任意一点(x，y)，在变换M作用下对应直线m上任意一 点(x 2，y 2)，因为＝＝

用矩阵的初等变换求逆矩阵

2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E)，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即 211211111111 12112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?L L L L L 11121m R R R A E ---=L 111121m R R R A ----=L ()()122n n n n A E E A -???????→ 1*1A A A -=()()()1111A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----=L ()()111121m R R R A E E A ----=L

北师大版高中数学选修4-2逆变换与逆矩阵教案

逆变换与逆矩阵 教学目标 1.理解逆矩阵的概念，了解逆变换的概念 2.能判断一个矩阵是否存在逆矩阵，掌握六种变换除了投影变换不存在逆变换，其他的都有逆变换的结论 3.能求一个二阶矩阵以及两个二阶矩阵乘积的逆矩阵 4.理解二阶矩阵消去律的条件 一．回顾复习，引入新课 1.矩阵乘法的简单性质 2.矩阵乘法的几何意义 3.初等变换，初等变换矩阵，初等变换的复合 问题：对于下列给出的变换对应的矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换（先A T 后B T ）的结果与恒等变换的结果相同？ （1）以y 轴为反射轴作反射变换； （2）绕原点逆时针旋转 30作旋转变换； （3）纵坐标不变，沿x 轴方向将横坐标压缩为原来的 2 1 作伸压变换；

（4）沿x 轴方向，将y 轴作投影变换； （5）横坐标x 不变，纵坐标依横坐标的比例增加，且)2,(),(y x x y x +→作切变变换. 二．建构数学，新授内容 1.逆变换 2.逆矩阵 3.相关结论 （1） （2） （3） 思考：M 的逆矩阵M 1-和函数)(x f y =的反函数)(1 x f y -=有什么异同？ 三．应用示例，例题分析 例 1.用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由. （1）A ??????-=1001；（2）B ??????=3001；（3）C ??? ???=1000；（4）D ??? ?????=12101 例2.求矩阵A ?? ????=1223的逆矩阵. 例3.求下列矩阵AB 的逆矩阵. （1）A ??????=2001，B ??? ?????=10211 ；（2）A ??????=0211，B ???? ?????? -=02 1210.

3.矩阵乘法的性质与逆变换、逆矩阵

第三讲矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵一、矩阵乘法的性质 1.设Ａ＝ 01 11 ?? ?? ?? ，Ｂ＝ 11 23 - ?? ?? -?? ，Ｃ＝ 01 10 ?? ?? ?? 由A、B、C研究矩阵 是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。 结论： 2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。 3.单位矩阵的性质【应用】 1.设Ａ＝ 01 11 ?? ?? ?? ，求Ａ8 2. 【练习：P41】 二、逆变换与逆矩阵 1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，（I是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。 2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。 符号、记法：1 A-，读作Ａ的逆。 【应用】 1.试寻找Ｒ30o的逆变换。

【应用】 1.A＝ 31 42 ?? ? ?? ，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1 A-。 2. A＝ 21 42 ?? ? ?? ，问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1 A-。 由以上两题，总结一般矩阵A＝ a b c d ?? ? ?? 可逆的必要条件。 三、逆矩阵的性质 1.二阶矩阵可逆的唯一性。 2.设二阶矩阵A、B均可逆，则A B也可逆，且111 () AB B A --- = 【练习：P50】

【第三讲.作业】 1.已知非零二阶矩阵A 、B 、C ，下列结论正确的是 （ ） A.AB=BA B.(AB)C=A(BC) C.若AC=BC 则A=B D. 若CA=CB 则A=B 2.下列变换不存在逆变换的是 （ ） A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。 B.60o R 变换。 C.横坐标不变， 纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。 D.以y 轴为反射变换 3.下列矩阵不存在逆矩阵的是 （ ） A. 0110?? ? ?? B. 0.5001?? ??? C. 0110-?? ??? D. 1010?? ??? 4.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ） A.111()AB A B ---= B. 111()AB B A ---= C.11()A A --= D. 2112()()A A --= 5.0110N -??= ??? ，则Ｎ2 ＝ 6. 1011?? ???1002?? ???1101?? ???0111?? ??? ＝ 7.1203?? ???2312?? ???4624-?? ?-?? ＝ 8.设1021A ??= ???，0210B ??= ???则向量11?? ?-?? 经过先Ａ再Ｂ的变换后的 向量为 经过先Ｂ再A 的变换后的向量为 9.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是 10.变换ρ将（3，2）变成（1，0），设ρ的逆变换为ρ－1，则ρ－1 将（1，0）变成点 11.矩阵0111?? ??? 的逆矩阵为 12.设ρ：''x y ?? ???＝1101-?? ?? ?x y ?? ???，点（－2，3）在ρ －1 的作用下的点 的坐标为 13.A ＝1101-?? ?? ?122122?? - ? ? ? ??? ，则1A -= 14.△ABC 的顶点A(0,0),B(2,0),C(0,1)。如果将三角形先后经过 1101?? ???和1011?? ??? 两次变换变成△A ‘B ’C ’,求△A ‘B ’C ’的面积。 15.已知A ＝122122?- ? ? ??? ，B ＝2001?? ??? ，求圆221x y +=在1()AB -变换作用下的图形。 16.已知2102A ??= ??? ，试分别计算：2A ,3A ,4A ,n A

一、逆矩阵与逆变换

逆 矩 阵 与 逆 变 换 教学目标 1.逆矩阵的概念； 2.逆矩阵的性质。 教学过程 探究：对于一个线性变换ρ，是否存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ？对于一个二阶矩阵A ，是否存在一个二阶矩阵B,使得BA=AB=E 2？ 变换ρ：将向量α沿逆时针方向绕原点旋转30°；变换σ：将向量α沿顺时针方向绕原点旋转30°，则任意向量经上述两种变换后，仍得其本身。 1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得 σρ＝ρσ＝I ，（I 是恒等变换），则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。 若变换变换ρ和变换σ对应的矩阵分别为A 、B ，则有BA=AB=E 2 2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。 符号、记法：1A -，读作Ａ的逆。 一般地，设A 是一个二阶可逆矩阵，对应的线性变换为ρ，由矩阵与线性变换的对应关系可以看出，A 的逆矩阵就是ρ的逆变换所对应的矩阵。 3.逆矩阵的性质: 性质1:若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。 性质2：设A 、B 是二阶矩阵，如果A 、B 都可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=。 课堂练习： 1.下列变换不存在逆变换的是 （ ） A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。 B.60o R 变换。 C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的 两倍的切变变换。 D.以y 轴为反射变换 2.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ） A.111()AB A B ---= B. 111()AB B A ---= C.11 ()A A --= D. 2112()()A A --= 3.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是 4.矩阵0111?? ??? 的逆矩阵为 5.A ＝1101-?? ???13223122??- ? ? ? ?? ?，则1A -=

逆变换与逆矩阵 (2)

章末分层突破 一、求逆矩阵 求逆矩阵是逆变换与逆矩阵的重点内容，其方法有两种： 法一：用代数方法：即待定矩阵法和行列式法求解； 法二：从几何变换的角度求解. 　已知矩阵A＝，B＝，求(AB)－1. 【导学号：30650045】【解】　法一　∵AB＝ ＝ ＝， ∴det(AB)＝＝11－130＝－119. ∴(AB)－1＝. 法二　∵A＝，∴det(A)＝＝12＋5＝17， A－1＝； 又∵B＝，∴det(B)＝＝－1－6＝－7.∴B－1＝. ∴(AB)－1＝B－1A－1＝

＝. 二、二元一次方程组的解的情况的判定及求解方法 1.二元一次方程组的解的情况的判定. 常用两种方法：法一：利用det(A)与0的大小情况判定. 法二：从几何变换的角度判定. 2.二元一次方程组的求解常用两种方法： (1)用行列式法求解 记D＝，D x＝，D y＝， 于是方程组的解为 (2)用逆矩阵法求解 写出系数矩阵A＝， 则det(A)＝ad－bc， 若det(A)＝0，判定方程组解的情况； 若det(A)≠0，方程组有惟一解，求出A－1＝，令＝A－1，则即为方程组的解. 　解二元一次方程组： 【解】　法一　方程组可写为＝. 因为＝1×3－1×2＝1≠0， 所以方程组有惟一解. 利用矩阵求逆公式得＝. 所以原方程组的解为＝ ＝＝，即 法二　记D＝＝1×3－1×2＝1≠0， D x＝＝7×3－6×1＝15， D y＝＝1×6－2×7＝－8. ∴方程组的解为 三、函数方程思想 本章中求矩阵的逆矩阵及解二元一次方程体现了函数方程思想的广泛应用. 　已知A＝，求A－1. 【解】　法一　设A－1＝， 则＝， 即＝，

2021年高中数学.4逆变换与逆矩阵.4.1逆矩阵的概念教学案苏教版选修4

2021年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念教学案苏教版选 修4 1．逆矩阵的定义 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记为 A －1. 2．逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1. (2)已知A 、B 、C 为二阶矩阵且AB ＝AC ，若A 存在逆矩阵，则B ＝C . 3．逆矩阵的求法 (1)公式法：对于二阶矩阵A ＝?? ?? ?? a b c d ，若ad －bc ≠0，则A 必可逆，且A －1＝????? ???d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (2)待定系数法． (3)逆变换法． [对应学生用书P30] 逆矩阵的求法 [例1] 求矩阵A ＝??? ?3 2 2 1的逆矩阵． [思路点拨] 设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．

[精解详析] 法一：待定系数法：设A －1 ＝?? ?? ??x y z w ， 则??????3 22 1 ??????x y z w ＝???? ??1 00 1. 即?? ??3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝????1 00 1， 故????? 3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0， ????? 3y ＋2w ＝0， 2y ＋w ＝1， 解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3， 从而A 的逆矩阵为A －1 ＝??? ?－1 2 2 －3. 法二：公式法：ad －bc ＝3×1－2×2＝－1≠0， ∴A －1 ＝???? ?? －1 2 2 －3. 用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1 ，再由AA －1 ＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1 . 1．(江苏高考)已知矩阵A ＝?? ????－1 0 0 2，B ＝???? ?? 1 20 6，求矩阵A －1 B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为?? ???? a b c d ，则??????－1 0 0 2 ??????a b c d ＝?????? 1 00 1，即??????－a －b 2c 2d ＝???? ??1 00 1 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12 ，从而A 的逆矩阵为A －1＝???????? －1 0 0 12， 所以A －1 B ＝? ?? ?? ??? －1 0 0 12 ?????? 1 20 6＝???? ??－1 －2 0 3. 2．已知矩阵M ＝???? 21 －3－1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标． 解：由M ＝??? ?21 －3 －1，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0，

高中数学A选修4选修42第四章逆变换与逆矩阵4可逆矩阵与线性方程组试题

高中数学A 选修4选修42第四章逆变换与逆矩阵4可逆矩 阵与线性方程组 试题 2019.09 1,设直线022:=++y x l 关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆1 42 2 =+y x 的 交点为A ．B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为21 的点P 的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2,不等式0 1) 3()4)(1(2≥+---x x x x 的解集是 ； 3,若动点P 在 122 +=x y 上移动，则点P 与点Q （0，-1）连线中点的轨迹方程是 4,设实数x,y 满足 ?? ? ??≤-≥-+≤--0320420 2y y x y x ，则x y 的最大值是 5,已知P 是椭圆1342 2=+y x 上的一点，F 1．F 2是椭圆的两个焦点，且 ?=∠6021PF F ，则21PF F ?的面积是 ； 6,若方程2 12x kx -=+只有一个解，则k 的范围： ； 7,已知R 、∈βα，给出四个论断： ①||||||βαβα+=+ ②||||βαβα+≤- ③22||,22||>>βα ④5||>+βα 以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出所有正确的命题 。

8,解关于x 的不等式：)(02 R a a x a x ∈<-- 9,已知函数b kx x f +=)(的图象与x ．y 轴分别相交于A ．B ，j i AB 22+=（j i ,`分别是与x ．y 轴正半轴同方向的单位向量），函数6 2)(--=x x g x 。 （1）求b k ,的值； （2）当x 满足 ) ()(x x g f >时，求函数)()(1 x x f g +的最小值。 10,设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆的方程。 11,已知与曲线0122:2 2=+--+y x y x C 相切的直线l 与x 轴，y 轴交于A ．B ．O 为原点，A （a,0）,B(0,b),(a>2,b>2)。 （1）求证：l 与C 相切的条件是：（a-2）(b-2)=2; （2）求线段AB 中点的轨迹方程； （3）求AOB S ?的最小值。 12,设a+b+c=1，a 2+b 2+c 2 =1，且a>b>c ，求证：031 <<- c 13,已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左．右焦点分别是F 1(-c,0),F 2(c,0)，Q 是椭圆外的动点，满足a Q F 2||1=，点P 是线段F 1Q 与椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足0||,022≠=?TF TF 。 （1）设x 0为点P 的横坐标，证明0 1||x a c a F + =； （2）求点T 的轨迹c 的方程。

2021年高中数学.4逆变换与逆矩阵.4.二阶矩阵与二元一次方程组教学案苏教版选修4

2021年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组教 学案苏教版选修4 1．把?? ????a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det(A )＝???? ?? a b c d ＝ad －bc . 2．方程组?? ? ax ＋by ＝m cx ＋dy ＝n 写成矩阵形式为AZ ＝B ，其中A ＝?? ?? ?? a b c d ，称为系数矩阵，Z ＝??????x y ，B ＝???? ?? m n ，当A 可逆时，方程组有唯一解，当A 不可逆时，方程组无解或有无数组解． 3．对于方程组?? ? ax ＋by ＝m zx ＋dy ＝n ，令D ＝?? ?? ?? a b c d ，D x ＝??????m b n d ，D y ＝???? ??a m c n ，当D ≠0时，方程组有唯一组解，为x ＝D x D ，y ＝D y D . 4．对于方程组?? ? ax ＋by ＝0 cx ＋dy ＝0 ，令D ＝?? ?? ?? a b c d ，当D ＝0时，此方程组有非零解． 5．二阶矩阵A ＝?? ?? ?? a b c d 可逆的充要条件是det(A )≠0且A －1 ＝ ????? ???d det A －b det A －c det A a det A . [对应学生用书P34]

求行列式的值 [例1] 求?? ???? λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值(其中λ∈R )． [思路点拨] 利用行列式的运算转化为二次函数求最值． [精解详析] ?? ?? ?? λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8 ＝(λ－2)(5λ＋8)－(2λ－2)(3λ＋5) ＝－λ2 －6λ－6＝－(λ＋3)2 ＋3≤3， ∴???? ??λ－2 3λ＋52λ－2 5λ＋8的最大值为3. (1)矩阵A ＝?? ???? a b c d 与它的行列式det(A )＝???? ??a b c d 的意义是不同的． 矩阵A 不是一个数，而是4个数按顺序排列成的一个数表，行列式det(A )是由矩阵A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值． (2)?? ?? ??a b c d ＝ad －bc ，它是位于两条对角线上的元素的乘积之差． 1．计算下列行列式的值： (1)?????? 6 2－5 －3；(2)??????cos θ －sin θsin θ cos θ 解：(1)???? ?? 6 2－5 －3＝6×(－3)－(－5)×2＝－8； (2)?? ?? ??cos θ －sin θsin θ cos θ＝cos 2 θ－(－sin 2 θ)＝1. 2．若?????? x 2 y 2 －1 1＝???? ??x x y －y ，求x ＋y 的值． 解：x 2＋y 2 ＝－2xy ?x ＋y ＝0.

逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A (E- A )(E+A + A 2+…+ A K 1)= E-A K (E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E， 逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 . 1. 利用定义求逆矩阵 定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A 为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且 证明因为E与A可以交换，所以 因A K= 0 ,于是得 同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ， 因此E-A是可逆矩阵，且 (E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1 同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且

E-A 的逆矩阵. (E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1 . 由此可知，只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵. 例2 设 A = 00 20 00 03 ,求 0003 0000 分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K 是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 00 2 0 0 0 0 6 2 00 0 6 3 0 0 0 0 4 A 2 = ■ A 3= ， A 4 =0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 而 (E-A)(E+A+ A 2 + A 3 )=E , 所以 1 1 2 6 1 2 3 0 1 2 6 (E-A) E+A+ A 2 + A . 0 0 1 3 0 0 0 1 2. 初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 ?如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使 （1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1 右乘上式两端，得： （2） p 1 p 2 p s I= A 1 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1. 用矩阵表示（ A I ） 为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法， 它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等

逆变换与逆矩阵 (4)

学业分层测评(七) [学业达标] 1.利用行列式解方程组 【解】　先将方程组改写成一般形式 因为D＝＝1×3－2×2＝－1， D x＝＝1×3－2×4＝－5， D y＝＝1×4－2×1＝2， 所以x＝＝＝5，y＝＝＝－2， 故该方程组的解为 2.利用行列式解方程组 【解】　∵＝m2－4 D x＝＝4m－28 D y＝＝7m－4 ①当m2－4＝0时，即m＝±2，方程组无解； ②当m2－4≠0时，即m≠±2时，得x＝＝，y＝＝. 即 3.若关于x，y的二元一次方程组有惟一解，求m的取值范围. 【解】　该二元一次方程组的一般形式为 其用矩阵形式表示为＝.因为该方程组有惟一解，所以≠0，解得m≠－. 4.利用逆矩阵解下列方程组： (1)(2) 【解】　(1)原方程组用矩阵可表示为＝. 令A＝，Z＝，B＝， 因为|A|＝＝4－6＝－2≠0，则矩阵A存在逆矩阵A－1，且 A－1＝＝， 这样，Z＝A－1B＝＝，即原方程组的解为 (2)原方程组用矩阵可表示为 ＝. 同(1)，可以计算的逆矩阵为， 则＝＝，

即原方程组的解为 5.设A＝，Z＝， B＝，试解方程组AZ＝B. 【导学号：30650044】【解】　∵det(A)＝＝12－(－1)×(－2)＝10≠0，所以矩阵A存在逆矩阵A－1，且 A－1＝＝， ∴Z＝A－1B＝＝. 6.已知二元一次方程组AZ＝B，其中A是可逆矩阵，B＝，试证明该方程组的解只能是. 【证明】　因为A是可逆矩阵，则原方程组的解为Z＝A－1B＝A－1，因A－1是惟一存在的，所以Z＝是原方程组的解且是惟一的. 7.试从几何变换的角度分析方程组AZ＝B解的情况，这里A＝，Z＝，B＝. 【解】　由于A对应的是沿y轴的切变变换，它有逆变换，且其对应的矩阵为，即A－1＝，于是原方程组的解Z＝为向量B＝在A－1＝作用之后的向量，即Z＝A－1B. 因为A－1是惟一存在的，因此也是惟一存在的，且有 Z＝A－1B＝＝. 故原方程组有惟一解为 [能力提升] 8.试从几何变换的角度说明方程组解的存在性和惟一性. 【解】　设A＝，X＝，B＝，则AX＝B.因为矩阵A对应的变换是切变变换，且A－1＝，所以方程组的解X＝为向量B＝在变换矩阵A－1作用之后的向量，即X＝A－1B.由于矩阵A－1是惟一存在的，因此，也是惟一存在的，且A－1B＝＝， 故方程组的解为

用矩阵的初等变换求逆矩阵资料讲解

用矩阵的初等变换求 逆矩阵

2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、 问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、 求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 1*1A A A -=

4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即 三，讲解例题 1. 求逆矩阵方法的应用之一 例 解： 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=? =?11121m R R R A E ---=1111 21m R R R A ----=()()122n n n n A E E A -???????→ 1112120,113A A -?? ?=- ? ???设求。112100120010113001A E ?? ?=- ? ??? （）2131r r r r +-112100032110001101?? ???→ ? ?-??110302030312001101?-? ??? →- ? ?-??132322r r r r --30211012010133001101??- ???→- ? ? ?-?? 313r ()()() 1111 A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----=()() 111121m R R R A E E A ----=

高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换教学案苏教选修4-2

2．2.4 旋转变换 [对应学生用书P14] 1．旋转变换 将一个图形F 绕某个定点O 旋转角度θ所得图形F ′的变换称为旋转变换．其中点O 称为旋转中心，角度θ称为旋转角． 2．旋转变换矩阵 像???? ??cos θ －sin θsin θ cos θ这样的矩阵，称为旋转变换矩阵． 旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状． [对应学生用书P14] 点在旋转变换作用下的象 [例1] 在直角坐标系xOy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转135°的变换称为旋转角是135°的旋转变换． (1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵； (2)求点A (4,8)在这个旋转变换作用下的象A ′. [思路点拨] 根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的矩阵后求解． [精解详析] (1)该变换的坐标变换公式为： ? ?? ?? x ′＝x cos 135°－y sin 135°y ′＝x sin 135°＋y cos 135°，该变换对应的矩阵为： ??????cos 135° －sin 135°sin 135° cos 135°＝ ????????－22 －2 2 22 － 22. (2)由(1)知，当x ＝4，y ＝8时， x ′＝－62，y ′＝－22， 所以点A (4,8)在这个旋转变换作用下的象为

A ′(－62，－22)． 由旋转角θ的大小，写出旋转变换矩阵???? ?? cos θ －sin θsin θ cos θ是解决这类问题的关键． 逆时针旋转时，θ为正值，顺时针方向旋转时，θ为负值． 1．求出△ABC 分别在M 1 ＝??????－1 0 0 －1，M 2 ＝??????0 －11 0，M 3 ＝ ????? ? ??22 －2222 22对应的变换作用下的图形这里A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)． 解析：在M 1下，A →A ′(0,0)，B →B ′(－2,0)，C →C ′(－1，－1)． 在M 2下，A →A ″(0,0)，B →B ″(0,2)，C →C ″(－1,1)． 在M 3下，A →A (0,0)，B →B (2，2)，C →C (0，2)． 图形分别为 2．在直角坐标系xOy 内，将每个点绕坐标原点O 按顺时针方向旋转60°的变换称为旋转角为－60°的旋转变换，求点A (－1,0)在这个旋转变换作用下得到的点A ′的坐标． 解：由题意得旋转变换矩阵为

逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证

A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使 （1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p 21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001