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概率论与数理统计习题一

·1·

习题一

1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；

（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；

（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；

（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；

（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。

解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。

（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。

（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}

{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。

2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：（1）仅A 发生；

（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。解（1）ABC

（2）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ；

（3）A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；

·2·

（4）ABC ABC ABC ；

（5）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ；

3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。

解（1）123A A A ；（2）123A A A ；（3）123123123A A A A A A A A A ；

（4）121323A A A A A A 。

4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。解设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则

4126()0.50410250

P P A ===

5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有两只坏的的概率。解（1）设A =‘5只全是好的’，则

540

()0.662C P A C = ；

（2）设B =‘5只中有两只坏的’，则

337

()0.0354C C P B C = . 6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求（1）3个球的最小号码为5的概率；（2）3个球的最大号码为5的概率. 解（1）设A =‘最小号码为5’，则

253101()12

C P A C ==；

（2）设B =‘最大号码为5’，则

43101

()20

C P B C ==.

7．（1）教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率. 解（1）设A =‘他们的生日都不相同’，则

365

()365

P P A =；（2）设B =‘至少有两个人的生日在同一个月’，则

21222321

4121141241212

41()1296

C C P C C C P C P B +++==；或

·3·

412

441()1()11296

P P B P B =-=-=.

8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.

解设A =‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则

676

(22)

()0.011077C P A -==.

9．将,,,,,,C C E E I N S 等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率是多少？

解1 设A =‘恰好排成SCIENCE ’

将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：

字母C 在7个位置中占两个位置，共有2

7C 种占法，字母E 在余下的5个位置中占两个位置，共有25C 种占法，字母,,I N C 剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为22753!1260C C ??=，而A 中的基本事件只有一个，故

227511

()3!1260

P A C C ==

??；解2 七个字母中有两个E ，两个C ，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n 个元素，其中第一种元素有1n 个，第二种元素有2n 个…，第k 种元素有k n 个

12()k n n n n +++= ，将这n 个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为

12!

!!!

k n n n n ，

对于本题有

141

()7!7!12602!2!

P A =

. 10．从0,1,2,,9

等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.

解 3813107

()15

C P A C ==.

333998233310101014

()15

C C C P A C C C =+-=，

或

182231014

()1()115

C P A P A C =-=-=，

2833107

()30

C P A C ==.

11．将n 双大小各不相同的鞋子随机地分成n 堆，每堆两只，求事件A =‘每堆各成一双’的概率.

·4·

解 n 双鞋子随机地分成n 堆属分组问题，不同的分法共(2)!(2)!

2!2!2!(2!)

n n = ‘每堆各成一双’共有!n 种情况，故

()(2)!

n n P A n ?=

12．设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，求()P AB 与()P A B 解 ()1()1()()0.3P A B P A B P A P B =-=--= 因为,A B 不相容，所以A B ?，于是

()()0.6P A B P A ==

13．若()()P AB P AB =且()P A P =，求()P B . 解 ()1()1()()()

P A B P A B P A P B P A B =-=--+ 由()()P AB P AB =得

()1()1P B P A p =-=-

14．设事件,A B 及A B 的概率分别为,,p q r ，求()P AB 及()P A B 解 ()()()()P AB P A P B P A B p q r =+-=+-

()()()()()1()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P AB =+-=+--+ 11q p q r p r =-++-=+-.

15．设()()0.7P A P B +=，且,A B 仅发生一个的概率为0.5，求,A B 都发生的概率。解1 由题意有

0.5()()()P AB AB P AB P AB =+=+ ()()()()P A P AB P B P AB =-+- 0.72()P AB =-，所以

()0.1P AB =.

解2 ,A B 仅发生一个可表示为A B AB - ，故

0.5()()()()2(),P A B P AB P A P B P AB =-=+- 所以

()0.1P AB =.

16．设()0.7,()0.3,()0.2P A P A B P B A =-=-=，求()P AB 与()P AB .

解 0.3

()()()0.7(P A B P A P A B P A B

=-=-=-，所以

()0.4P AB =，故

()0.6P AB =；

0.2()()()0.4P B P AB P B =-=-. 所以

()0.6P B =

()1()1()()()0.1P AB P A B P A P B P AB =-=--+=

·5·

17．设AB C ?，试证明()()()1P A P B P C +-≤ [证] 因为AB C ?，所以

()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-

故

()()()1P A P B P C +-≤. 证毕. 18．对任意三事件,,A B C ，试证

()()()()P AB P AC P BC P A +-≤.

[证] ()()()()()()P AB P AC P BC P AB P AC P ABC +-≤+-

()P AB AC = {()}()P A B C P A =≤ . 证毕.

19．设,,A B C 是三个事件，且1

()()(),()()04P A P B P C P AB P BC =====，1()8

P AC =，求,,A B C 至少有一个发生的概率。解 ()()()()()()()(P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C

++---+ 因为 0()()0P A B C

P A B ≤≤=，所以()0P ABC =，于是 315

()488

P A B C =-=

．随机地向半圆0y <<

（a 为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概

率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于/4π的概率. 解：半圆域如图

设A

=‘原点与该点连线与x 轴夹角小于/4π’

由几何概率的定义

2221142()12

a a A P A a ππ+==的面积半园的面积112π=+ 21．把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 解1 设A =‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,x y a x y --，则

0x y a

<+<，不等式构成平面域S . A 发生0,0,

222

a a a

x y x y a ?<<<<<+< 不等式确定S 的子域A ，所以

()4

A P A ==的面积S 的面积

解2 设三段长分别为,,x y z ，则0,0,0x a y a z a <<<<<<且 S .

A 发生x y z ?+> x z y +> y z x +>

不等式确定S 的子域A ，所以

·6·

()4

A P A =

=的面积S 的面积.

22．随机地取两个正数x 和y ，这两个数中的每一个都不超过1，试求x 与y 之和不超过1，积不小于0.09的概率.

S . A =‘1,0.09x y xy +≤≥’则A 发生的充要条件为01,10.09x y xy ≤+≤≥≥不等式确定了S 的子域A ，故

0.90.10.9

()(1)A P A x dx x ==--?的面积S 的面积

0.40.18ln 30.2=-=

23．（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离(0)a a >的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长()l l a <的针，求针与任一平行线相交的概率.

解设A =‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，设x 为针的中点到最近的一条平行线的距离。

?为针与平行线的夹角，则 0,02

x ?π<<

<<，不等式确定了平面上的一个区域S . A 发生sin 2L

x ??≤，不等式确定S 的子域A

故 0

2()sin 22

L L

P A d a a π

??π

习题二

1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.

解设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为

13133()

(|)()

P A A P A A P A =，

因为 312

A A A =+

·7·

所以 312()()()0.60.30.9

P A P A P A =+=+= 131()()0.

6P A A P A == 故

1362

(|)93

P A A =

=. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

解设A =‘所取两件中有一件是不合格品’

i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则

12A B B =+

112

464

122

21010

()()()C C C P A P B P B C C =+=+，所求概率为

242112

464()1

(|)()5

P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.

解设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+，所求概率为

6113333

611511/()()2

(|)()()//3

C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率. 解设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =，则

345A B B B =++，所求概率为

555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++5

1332415

133********

1686

C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -. 解 ()()()() 1.1()(|) 1.10

P A B P A P B P A B P A P B A =+

-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.

6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。

解设A =‘从乙袋中取出的是白球’，i B =‘从甲袋中取出的两球恰有i 个白球’

0,1,2i =. 由全概公式

001122()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++

·8·

1122

23222

2555416131021025

C C C C C C C =?+?+?=. 7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。解设A =‘第二次取出的均为新球’，

i B =‘第一次取出的3个球恰有i 个新球’0,1,2,3.i = 由全概公式

00112

233()()(|)

()(|)()(|)()(|)

P A P B P A B P B P A B P B P A B P B P A B =++

+ 3312321333

6996896796

333

333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =?+?+?+? 528

0.0895915

≈. 8．电报发射台发出‘·’和‘–’的比例为5:3，由于干扰，传送（·）时失真的概率为2/5，传送‘–’时失真的概率为1/3，求接受台收到‘·’时发出信号恰是‘·’的概率。解设A =‘收到‘·’’，B =‘发出‘·’’，由贝叶斯公式

()(|)385(|)5331()(|)()(|)4

8583

P B P A B P B A P B P A B P B P A B ?

===+?+?.

9．在第6题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率. 解事件如第6题所设，所求概率为

1123251111

/()(|)

152(|)13

()

C C C P B P A B P B A P A ?

10．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。解设A =‘任取一产品，经检查是合格品’， B =‘任取一产品确是合格品’，则

A BA BA =+

()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ 0.960.980.040.050.9428=?+?=，所求概率为

()(|)0.960.98

(|)0.998()0.9428

P B P A B P B A P A ?=

==.

11．假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次

·9·

取出的零件仍然是一等的概率.

解设i A =‘第i 次取出的零件是一等品’，1,2i =. i B =‘取到第i 箱’，1,2i =. 则

（1）1111212()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+1132

()2555

=+=. （2）121211222111()()

(|)()()P A A P A A B A A B P A A P A P A +==

112121221()(|)()(|)

()

P B P A A B P B P A A B P A +=

182250301295140.4856249295

C C C C ??+??????==+= ???

12．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率α；

（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率β. 解设A =‘顾客买下该箱’，

B =‘箱中恰有i 件残次品’，0,1,2i =，

（1）001122()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B α==++

1918

442020

0.80.10.10.94C C C C =+?+?≈；

（2）00()0.8

(|)0.85()0.94

P AB P B A P A β==

=≈.

13．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份（1）求先取到的一份为女生表的概率p ；

（2）已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q . 解设A =‘先取到的是女生表’， B =‘后取到的是男生表’，

i C =‘取到第i 个地区的表’，1,2,3.i =

（1）112233()(|)()(|)()(|)p P C P A C P C P A C P C P A C =++ 137529

310152590

??=

++=????；（2）因为先取出的是女生表的概率为

2990，所以先取出的是男生表的概率为61

，按抓阄问

·10·

题的道理，后取的是男生表的概率61()90

P B =. 于是

（2）123()

()(|)()()

P ABC ABC ABC P AB q P A B P B P B ++==

1231

[(|)(|)(|)]3()

P AB C P AB C P AB C P B ++=

1377852020

310915142524616190

?+?+?????==.

14．一袋中装有m 枚正品硬币，n 枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取

一枚，已知将它投掷r 次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？解设A =‘任取一枚硬币掷r 次得r 个国徽’， B =‘任取一枚硬币是正品’，则

A BA BA =+，所求概率为

()(|)

(|)()(|)()(|)

P B P A B P B A P B P A B P B P A B =

122

12r

m m

m n m n m n

m n m n

?+??

+???+ ?

++??. 15．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.

解设A =‘目标被击中’，i B =‘第i 个人击中’ 1,2,i = 所求概率为

11111212()()()

(|)()()1()P B A P B P B P B A P A P B B P B B ===

+- 0.6

0.7510.40.5

=-?. 16．三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是111

,,534

，求他们将此密码译出的

概率.

解1 设A =‘将密码译出’，i B =‘第i 个人译出’ 1,2,3.i = 则

1231231213()()()()()()()P A P B B B P B P B P B P B B P B B =++=++--

·11·

23123111111111()()534535434

P B B P B B B -+=++-?-?-? 1113

0.65345

+??

==.

解2 事件如上所设，则

1234233

()1()1()10.65345

P A P A P B B B =-=-=-??==.

17．甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为0.4，0.5，0.7。设飞机中一弹而被击落的概率为0.2，中两弹而被击落的概率为0.6，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率.

解设A =‘飞机被击落’，i B =‘飞机中i 弹’ 1,2,3i =.

则

112233()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++ 1230.2()0.6()()P B P B P B =++ 设 i C =‘第i 个人命中’，1,2,3i =，则

1123123123()()()()P B P C C C P C C C P C C C =++

0.40.50.30.60.50.70.60.50.30.36=??+??+??=， 212323123()()()()P B P C C C P CC C P C C C =++

0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.41=??+??+??=， 3123()()0.40.50.70.14P B P C C C ==??=，所以

()0.20.360.60.410.140.458P A =?+?+=.

18．某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率.

解1 设A =‘该生能借到此书’，i B =‘从第i 馆借到’1,2,3.i = 则

123()()()P B P B P B P ===(第i 馆有此书且能借到) 111

224

?=， 121323111()()(),4416

P B B P B B P B B ===?= 1231111()44464

P B B B =

??=. 于是

1231231213()()()()()()()P A P B B B P B P B P B P B B P B B =++=++-- 2312333137()()4166464

P B B P B B B -+=

-+=. 解2 3

123337()1()1()1464P A P A P B B B ??

=-=-=-= ???

·12·

解3 事件如解1所设，则 112123A B B B B B B =++，故

112123()()()()P A P B P B B P B B B =++

1313313744444464

=+?+??=. 19．设()0,()0P A P B >>，证明A 、B 互不相容与A 、B 相互独立不能同时成立.

证若A 、B 互不相容，则AB φ=，于是()0()()0P AB P A P B =≠>所以A 、B 不相互

独立.

若A 、B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，于是AB φ≠，即A 、B 不是互不相容的.

注：从上面的证明可得到如下结论：

1）若A 、B 互不相容，则A 、B 又是相互独立的()0P A ?=或()0P B =. 2）因A BA BA =+，所以()()()P A P BA P BA =+ 如果 ()1P B =，则()0P BA =，从而

()()()()P AB P A P A P B ==

可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立.

如果()0P B =，则()0()()P AB P A P B ==，即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立。

20．证明若三事件,,A B C 相互独立，则A B 及A B -都与C 独立。

证 {()}()()()(P A B C P A C B C P A C P B C p A B C

==+- ()()()()()()()P B P C P B P C P A P B P C =+- [()()()]()P A P B P AB P C =+- ()()P A B P C = 即A B 与C 独立. {()}()()()()()()

P A B C P A B C P A P B P C P A B P C -=

== ()()P A B P C =- 即 A B -与C 相互独立.

21．一个教室里有4名一年级男生，6名一年级女生，6名二年级男生，若干名二年级女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生应为多少名？

解设还应有N 名二年级女生，A =‘任选一名学生为男生’，B =‘任选一名学生为一年级’，则

10()16P A N =

+，10()16P B N =+，1044

()161016

P AB N N =?=++，

·13·

欲性别和年级相互独立，即

()()()P AB P A P B =，

41010

161616

N N N =?+++

所以9N =，即教室里的二年级女生应为9名。

22．图中1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为p ，且设各继电器闭合与否相互独立，求L 至R 是通路的概率.

解设A =‘L R -是通路’，i B =‘第i 个接点闭合’ 1,2,3,4,5i =，则 1245135432A B B B B B B B B B B = 1245135432234512()()()

()()()()P A P B B P B B P B B B P B B B P B B B B P B B B B

=+++-- 12451235134512345()()()()P B B B B P B B B B P B B B B P B B B B B ---- 123451234512345()()()P B B B B B P B B B B B P B B B B B +++ 23451234512345()()2252.P B B B B B P B B B B B p p p p +-=+-+

23．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率。

解设该射手的命中率为p ，由题意

4801(1)81p =--，41

(1)81

p -=，113p -=

所以 2

p =

. 24．设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有一个次品和恰有两个次品的概率。

解 1

44(1)(0.01)(0.99)0.0388P C ==. 2

44(2)(0.01)(0.99)0.000588P C ==.

25．考试时有四道选择题，每题附有4个答案，其中只有一个是正确的。一个考生随意地选择每题的答案，求他至少答对三道题的概率。解答对每道题的概率为

，所求概率为 3

3444

13113(3)(4)444256P P C ????

+=+= ? ?????

. 26．设在伯努里试验中，成功的概率为p ，求第n 次试验时得到第r 次成功的概率.

解设A =‘第n 次试验时得到第r 次成功’，则

·14·

A =‘前1n -次试验，成功1r -次，第n 次试验出现成功’，所以

()P A P =（前1n -次试验，成功1r -次）P （第n 次试验成功）

11111(1)(1)

r r n r r r n r n n C p p p C p p -------=-?=-. 27．设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品，不能出厂。现该厂生产了(2)n n ≥台仪器（假定各台仪器的生产过程相互独立）。求（1）全部能出厂的概率α；（2）其中恰有两台不能出厂的概率β；（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ。

解设A =‘任取一台可以出厂’，B =‘可直接出厂’，C =‘需进一步调试’。则

A BA CA =+，

()()(|)()(|)0.70.30.80.94P A P B P A B P C P A C p =+=+?== 将n 台仪器看作n 重伯努里试验，成功的概率为p ，于是（1）(0.94)n α=，

（2）222(0.06)(0.94)n n C β-=，

（3）11(0.94)(0.06)(0.94)n n n θ-=--??。 28．设昆虫产k 个卵的概率为!

k p e k λλ-=

，又设一个虫卵能孵化成昆虫的概率为p ，若卵

的孵化是相互独立的，问此昆虫的下一代有L 条的概率是多少？

解设A =‘下一代有L 条’，K B =‘产k 个卵’,1,,k L L =+ 则 ()()(|)(1)!k

L k L k

k L k L

P A P B P A B e C

p p k λλ∞∞

-===

=-∑∑

()[(1)](1)

!()!!()!k L

L k L

k L

e p p p p e L k L k k L λλλλλ--∞

∞--==-=

-=--∑∑

(1)()()!!

L L p p

p p e e e L L λλλλλ---=

=. 29．一台仪器中装有2000个同样的元件，每个元件损坏的概率为0.0005，如果任一元件损坏，则仪器停止工作，求仪器停止工作的概率.

解考察一个元件，可视为一次贝努里试验，2000个元件为2000重贝努里试验。1np =，利用泊松逼近定理，所求概率为

2000

20001

1()0.63216!

k k p p k e k -===

=≈∑∑

. 30．某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已经用完，如果最初两盒中各有n 根火柴，求这时另一盒中还有r 根的概率。

·15·

解设A =‘发现一盒已经用完另一盒还有r 根’。 B =‘发现甲盒已经用完乙盒还有r 根’。则

()2()P A P B =

B 发生?甲盒拿了1n +次，乙盒拿了n r -次，共进行了21n r +-次试验，而且前2n r -次试验，甲发生n 次，第21n r +-次试验甲发生。故

2211()22

n r

n n r P B C --??=? ?

从而

221()2()2n r

n r P A P B C --??== ?

概率论与数理统计期末试卷+答案

一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

概率论与数理统计学1至7章课后标准答案

第五章作业题解 5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白细胞平均数是7300, 标准差是700. 使用切比雪夫不等式估计正常男性成人每毫升血液中含白细胞数在5200到9400之间的概率. 解：设每毫升血液中含白细胞数为，依题意得，7300)(==X E μ，700)(==X Var σ 由切比雪夫不等式，得 )2100|7300(|)94005200(<-=<

概率论与数理统计习题及答案

习题二 3.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】故X 的分布律为（2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 4.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为分布函数 5.（1）设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知即 1a =. 6.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率;

（2）甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 7.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 8.已知在五重伯努利试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）. （1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32 (0)e P X -== (2) 52 (1)1(0)1e P X P X - ≥=-==- 11.设P {X =k }=k k k p p --22) 1(C , k =0,1,2 P {Y =m }=m m m p p --44) 1(C , m =0,1,2,3,4 分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=5 9 ，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥= ，故4(1)9 P X <=. 而 2 (1)(0)(1)P X P X p <===-

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。

华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题

华东师范大学期末试卷概率论与数理统计一．选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、

A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案一、单选题 1. 在下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（）成立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）．

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计教学大纲

《概率论与数理统计》教学大纲一、内容简介《概率论与数理统计》是从数量侧面研究随机现象规律性的数学理论，其理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中。主要包括：随机事件和概率，一维和多维随机变量及其分布，随机变量的数字特征，大数定律与中心极限定理，参数估计，假设检验等内容。二、本课程的目的和任务本课程是理工学科和社会学科部分专业的基础课程。课程内容侧重于讲解概率论与数理统计的基本理论与方法，同时在教学中结合各专业的特点介绍性地给出在科研、生产、社会等各领域中的具体应用。课程的任务在于使学生建立随机现象的基本概念和描述方法，掌握运用概率论和统计学原理对自然和人类社会的现象进行观察、描述和预言的方法和能力。为学生树立基本的概率论和统计思维素养，以及进一步在相关方向深造，打下基础。三、本课程与其它课程的关系学生在进入本课程学习之前，应学过：高等数学、线性代数。这些课程的学习，为本课程提供了必需的数学基础知识。本课程学习结束后，学生可具备进一步学习相关课程的理论基础，同时由于概率论与数理统计的理论与方法向各基础学科、工程学科的广泛渗透，与其他学科相结

合发展成不少边缘学科，所以它是许多新的重要学科的基础，学生应对本课程予以足够的重视。四、本课程的基本要求概率论与数理统计是一个有特色的数学分支，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻。通过对本课程的学习，学生应该建立用概率和统计的语言对随机现象进行描述的基本概念，熟练掌握概率论与数理统计中的基本理论和分析方法，能熟练运用基本原理解决某些实际问题。具体要求如下：（一）随机事件和概率 1、理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系和运算。 2、理解概率的定义，掌握概率的基本性质，并能应用这些性质进行概率计算。 3、理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能应用这些公式进行概率计算。 4、理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 5、掌握伯努利概型及其计算。（二）随机变量及其概率分布 1、理解随机变量的概念 2、理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分

哈工大概率论与数理统计课后习题答案一

·1· 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：（1）仅A 发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；

概率论与数理统计习题集及答案

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= ,

(3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知 , 2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02， B 被误收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？ §1 .8 随机事件的独立性 1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。 A B L R C D 3. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，

概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后参考答案

精心整理第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1）A 发生，B ，C 都不发生；（2）A ， B ， C 都发生；（3）A ，B ，C （4）A ， B ， C 都不发生；（5）A ，B ，C （6）A ，【解】（1（B C (4)ABC B C (5)ABC ∪ABC ∪ABC ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，?B )=0.3，求P （. 【解】P 5.设A ，（A ）=0.6,P (B )=0.7, （1AB （2AB 【解】（1)()0.6AB P A ==,()P AB 取到最大值为（2）当()()()0.3P A P B P A B =+-= 6.设A ，B ，P （C ）=1/3P （AC ）至少有一事件发生的概率. )=0，由加法公式可得 =14+14+13?112=34 7.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】设A 表示“取出的13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”，则样本空间Ω中样本点总数为13 52n C =,A 中所含样本点533213131313k C C C C =,所求概率为 8. （1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故

P （A 1）= 5 17 =（17）5（亦可用独立性求解，下同）（2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故 P （A 2）=5567=(67 )5 (3)设A 3={五个人的生日不都在星期日} P （A 3）=1?P (A 1)=1?(1 7 )5 9..见教材习题参考答案. 10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计第一章概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）（2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。（1）A 发生，B 与C 不发生（2）A ，B 都发生，而C 不发生（3）A ，B ，C 中至少有一个发生（4）A ，B ，C 都发生（5）A ，B ，C 都不发生（6）A ，B ，C 中不多于一个发生（7）A ，B ，C 中不多于二个发生（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5的概率。（2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。（2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）A发生，B和C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生；（5）A、B、C不都发生；（6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则（1）事件AB表示什么？（2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？（3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？解所求的事件表示如下（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则（1） A ? B ? （4） A ? B = ，（2） AB ? ，（5） A B = ，（3） A B ? 。，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19

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