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二次函数、圆、相似、反比例函数、三角函数、投影总复习(一)

A B O

二次函数、圆、相似、反比例函数、三角函数、投

影总复习（一）

一、选择题（30分）

1、已知二次函数c

=2，且0

a，0

-c

a，则一定有（）

A. 0

-ac

b B. 0

-ac

b C. 0

-ac

b D. ac

2-≤0

2、二次函数2

(2+

y的最小值是（）

A. 2-

B. 2

C. 1-

D. 1

3、如图，在⊙O中，50

ABC

∠=，则AOC

∠等于（

）

．50B．

80C ．90D．100

4、已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则?O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

5、已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是15πcm2，则这个圆锥底面圆的半径是

（）

A．1.5cm B．3cm C．4cm D．6cm

6、如图，反比例函数4

=-的图象与直线

y x

=-的交点为A，B，过点A作y轴

的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则ABC

△的面积为（）

C．4 D．2

=y x

都随的增大而增大，则k的值可以是（）A．1-B．0 C．1 D．2

8、如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）

A．11 B．10 C．9D． 8

9、如图，在?ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=..

10、如图1是空心圆柱体在指定方向上的视图，正确的是（）

二、填空题（30分）

11、在平行投影中，两人的高度和他们的影子.

12、一个物体由几块相同的正方体叠成,它的三个视图如图8所示，则①该物体共有______层；

10题图

11题图

②最高部分位于_________；③一共需要

_______个小正方体.

正视图

侧视图俯视图

13、如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB

⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上。若测得BE=20m ，EC=10m ，CD=20m ，则河的宽度AB 等于（）

A. 60m

B. 40m

C. 30m

D. 20m

14、如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为．

、在△ABC 中，2AB =，AC =，B ∠=30o，则 ∠

BAC 的度数是． 16、计算：100245sin 251-+?-+-=

17、如图，已知双曲线)0k (x

k y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________．

18、反比例函数y 1＝ k

x 与一次函数y 2＝－x ＋b 的图象交于点A (2，3)和点B (m ，2)．由图象可知，对于同一个x ，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是．

19、如图，已知弦DC 、FE 的延长线相交于O ⊙外一点P ，PAB 经过圆心O 分别交O ⊙于A B 两点，请你添加一个条件，使FPB DPB ∠=∠．

20、如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器台．3

三、解答题（60分） 21、计算（6分）

60cos 30cos 60tan 30tan 45sin 30sin 2222+?++

图8

22、（10）如图9为住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m ，两楼间的距离AC=30m ，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况，（1）当太阳光与水平线的夹角为30°角时，求甲楼的影子在乙楼上有多高（精确到0.1m ，=3 1.73）；（2）若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳与水平线的夹角为多少度？ 23、（10分）如图,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,求AD 的长

24、（12分）如图，是的内接三角形，点是优弧AB 上的一点（不与A,B 重合），设α=∠OAB ， β=∠C ．

（1）当?=35α时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．

25、（10分）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元，

则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x

30250)55(102

+--=x 当55=x ，30250max

=y （元）

答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额． 26、（12）如图，△ABC 内接与⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC 交AC 于AC 点E ，交PC 于点F ，连接AF ．

（1）判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若⊙O 的半径为4，AF=3，求AC 的长．

图9

解：（1）AF为圆O的切线，理由为：连接OC，

∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC，∴∠OCP=90°，∵OF∥BC，∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，

∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠AOF=∠COF，∵在△AOF和△COF中，

，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF=∠OCF=90°，则AF为圆O的切线；

（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF，∵OA=OC，

∴E为AC中点，即AE=CE=AC，OE⊥AC，∵OA⊥AF，

∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=5，

∵S△AOF=?OA?AF=?OF?AE，∴AE=，则AC=2AE=．

二次函数与相似三角形问题(含答案)

y x E Q P C B O A 综合题讲解函数中因动点产生的相似三角形问题练习1、如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。练习2、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，，，及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？

练习3 、如图所示，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．练习4、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点 A 在点 B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，．（1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．得抛物线的解析式为2 23y x x =-++）（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，，（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．

反比例函数、三角函数练习题

反比例函数、三角函数练习题一．填空题 1.若反比例函数y= k x 经过点(-1,2),则一次函数y=-kx+2的图象一定不经过第_____象限. 2.已知α为锐角，且sin α =cos500 ，则α ＝ . 3.已知tan α＝5 12 ，α是锐角，则sin α＝ . 4.如图，在坡度为1:2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米。 5.在ABC Rt ?中，∠C=90° ，CD 是AB 边上的中线，BC=8，CD=5，则=∠ACD tan 。二．选择题 1.已知y 与x 2成反比例,并且当x=-1时,y=2,那么当x=4时,y 等于( ) A.-2 B.2 C. 1 2 D.-4 2.已知关于x 的函数y=k(x-1)和y=-k x (k ≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是下图中的( ) 3.若tan(α +10°)=3，则锐角α的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50° 4.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8，则AC 等于（） A ．6 B ． 32 3 C ．10 D ．12 5.当锐角α>30°时，则cos α的值是（） A ．大于 12 B ．小于1 2 C ． D ． 6.一段公路的坡度为1︰3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（） A.30米 B.10米 C.1030米 D. 1010米三．解答题 1、计算 (1) 4sin30°－2cos45°＋3tan60° (2) tan30°sin60°＋cos 230°－sin 2 45°tan45° （3）2020 020 cos 30sin 60tan 60tan 30+?+tan60° 2.如图,一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y= m x 的图象交于A 、B 两点:A(-2,1),B(1,n). (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围. 3.已知反比例函数y= 12 x 的图象与一次函数y=kx+4的图象相交于P 、Q 两点,并且P 点的纵坐标是6. (1)求这个一次函数的解析式; (2)求△POQ 的面积. 4.如图，在某建筑物AC 上，挂着“美丽家园”的宣传条幅BC ，小明站在点F 处，看条幅顶端B ，测的仰角为0 30，再往条幅方向前行20米到达点E 处，看到条幅顶端B ，测的仰角为0 60，求宣传条幅BC 的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米） y O x B y O x A y O x y O x C y O x B A y Q O x P

2018中考复习——二次函数和相似三角形

2018数学中考复习 ——二次函数与相似三角形二次函数中因动点问题产生的相似三角形的解题方法一般有以下三种： 1．如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)． (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式； (2)设直线BC 交y 轴于点E ，连接AE ，求证：AE=CE; (3)设抛物线与y 轴交于点D ，连接AD 交BC 于点F ，试问以A 、B 、F ，为顶点的三角形与△ABC 相似吗请说明理由． 2、如图，已知抛物线过点A （0，6），B （2，0），C （7， 5 2 ）. 若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称. （1）求抛物线的解析式；（2）求证：∠CFE=∠AFE ；（3）在y 轴上是否存在这样的点P ，使△AFP 与△FDC 相似，若有，请求出所有合条件的点P 的坐标；若没有，请说明理由. O A B E D F C x N M

3.如图，已知抛物线的方程C1:y=-(x+2)(x-m)(m>0)与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C 1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE 的面积． (3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH+EH 最小，并求出点H 的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由． 4. 如图，已知抛物线与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点 B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点 C . ⑴点B 的坐标为，点C 的坐标为（用含b 的代数式表示）； ⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； ⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△ QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. 5．如图已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三 x y P O C B A

二次函数与相似三角形结合问题

琢玉教育个性化辅导讲义教师学科上课时间年月日学生年级讲义序号课题名称教学目标1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度； 2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式； 3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题；教学重点难点1.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法； 2.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□建议_______________________________ 教学容知识结构：一.二次函数知识点梳理：下图中0 a≠二.特殊的二次函数：下图中0 a≠

3 4 y x =与BC边交于D点．（1）求D点的坐标；（2）若抛物线2 y ax bx =+经过A、D两点，求此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出符合条件的点P．方法总结： 1.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数c bx x y+ + - =2 3 1 的图像经过点 A（－1，1）和点B（2，2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略： 1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度； 2.待定系数法求解相关函数的解析式； 3.相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段）； 4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解； 5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想； 6.注意利用好二次函数的对称性； 7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。

二次函数与相似三角形综合

第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题? 二次函数中因动点产生的相彳以三角形问题一般有三个解题途径： ①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。例题1：已知抛物线的顶点为A （2, 1）,且经过原点O,与X轴的另一个交点为B. 1 2 y = --x~ +x （1）求抛物线的解析式：（用顶点式求得抛物线的解析式为 4 ）（2）连接OA、AB.如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得二OBP与二OAB 相似？若存在，求出P点的坐标：若不存在，说明理由。解：如图2,由抛物线的对称性可知:AO=AB二AOB=CABO. 若二BOP与匚A0B相似，必须有二POB = OBOA =匚BPO 设0P交抛物线的对称轴于A?点，显然AX2-1） 1 y = --x 二直线OP的解析式为2 一一x =一一x? + 由2 4 得x 1 = 0, x 2 =6 -JP(6,~3) 过P 作PE二x 轴，在RtZBEP 中,BE=2,PE=3, 二PB=厢拜. 二PB=OB,HBOP* 二BPO、 ZOPB0与匚BAO不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该抛物线上不存在点R使得ZBOP与ZAOB相似.

例题2：如图所示，已知抛物线与兀轴交于A、B两点，与y轴交于点c. （1）求A、B、C三点的坐标. （2）过点A作APZCB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积. （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点过M作MG丄兀轴于点G, 使以A、M. G 三点为顶点的三角形与APCA相似.若存在，请求岀M点的坐标; 解：（1）令尸°,得?-1=0 解得“±1 令x=o,得〉‘=一1 二A（70）B（I，°）c（°，j）（2）匚OA=OB=OC= 1 □ ZBAC=厶ACO= ZBCO= 45 ZAPZCB, E Z PAB=45 过点P作PE丄x轴于E,则△ APE为等腰直角三角形令OE=" > 贝iJPE=Q + l + 0 ::点p在抛物线上“+1=/_i 解得5=2,心=一1 （不合题意，舍去）二PE=3 1 1 1 「1 ———x2xl + —x2x3 = 4 二四边形ACBP的而积S = 2 A B?OC+ 2 A B?PE=2 2 (3).假设存在二Z PAB= Z BAC =45 匚PA 丄AC ZMG丄 * 轴于点G, □ Z MGA= Z PAC = 90 在Rt 二AOC 中，OA=OC= 1 二AC=Q 在Rt 二PAE 中， AE=PE= 3 ZAP= 3^2 设M点的横坐标为m ,则M(加，m~ -1) □点M在y轴左侧时，贝0VT 图2

反比例与三角函数

反比例函数与三角函数试题一、选择题 1.如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=900，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（） A ． sin A = B ．1tan 2 A = C ．cos B = D ．tan B = 所示，则 tan α 的值是 2．如图三角形在方格纸中的位置如图（）A ． 34 B ．43 C ．35 D ．45 3．将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（） A cm C ．2cm 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB= 3 2 ，则△ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定 5．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tanA?的值为（）． A ．34 B ．43 C ．35 D ．4 5 6．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1 2，则sinA+tanA 等于（）． A ． 1 .2 B C D + 7．若（ 3 tanA-3）2 +│2cosB- 3 │=0，则△ABC （）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形 C ．是含有60°的任意三角形 D ．是顶角为钝角的等腰三角形 8.已知30°<α<60°，下列各式正确的是（） A. B. C. D. 9.如图2，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（） A ．500sin55°米 B. 500cos55°米 C ．500tan55°米 D ．500tan35°米 10．函数 ()922 2--+=m m x m y 是反比例函数，则m 的值是（） A. 24-==m m 或 B.4=m C. 2-=m D. 1-=m 11、反比例函数x k y =的图象如图所示，点M 是该函数图象上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果S △MON ＝2，则 k 的值为（） A 2 B -2 C 4 D -4 12、如图,一次函数ｙ1=ｘ－1与反比例函数ｙ2= x 2 的图像交于点A (2,1), B (－1,－2),则使ｙ1＞ｙ2的ｘ的取值范围是（） A. ｘ＞2 B. ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0 C. －1＜ｘ＜2 D.ｘ＞ 2 或ｘ＜－1

09三角函数在单位圆的表示方法

09三角函数在单位圆的表示方法 1 在理解任意角三角函数定义的基础上，理解三角函数在单位圆上的表示方法，理解正弦线、余弦线，并能由图象讲出三角函数的值域和已知三角函数值作出对应的角。三角函数(正弦、余弦)在单位圆的表示已知三角函数值作出对应的角。讲授与讨论相结合

三角函数在单位圆的表示方法课本P14 图4-12 MP y y r y ====1sin α -1≤sin α≤1 -1≤cos α≤1 例题 OM x x r x ====1cos α 例题 P20 第2 题

一、三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”,三角函数的定义已经明确告诉角的终边上取点具有任意性，如果我们在角的终边上取适当的点，使比值中的分母为1，那末三角函数就可以用相应的一个坐标表示，这样讨论三角函数就比较方便。二、单位圆的定义在直角坐标系中，以原点为圆心，以1为半径的圆。三、角α的正弦、余弦在单位上的表示 1．作图：（课本P14 图4-12 ）此处略 …… …… ……… …… …… 设任意角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆交于P 过P(x,y)作PM ⊥x 轴于M ，简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示），“有向线段”（带有方向的线段），方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。例：有向线段OM ，OP 长度分别为y x , 当OM=x 时若0>x OM 看作与x 轴同向 OM 具有正值x 若0

《锐角三角函数》反比例函数

《锐角三角函数》水平测试一、选择题：（每题4共30分） 1．在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（） A. 2 1 B. 3 3 C. 1 D. 3 2．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（） A ．10米 B ．15米 C ．25米 D ．30米 3．若A B ∠∠、均为锐角，且2 1cos 2 1sin ==B A ，，则（）. A ．?=∠=∠60B A B ．?=∠=∠30B A C ．?=∠?=∠3060B A ， D ．?=∠?=∠6030B A ， 4. 在△ABC 中，∠C ＝90°，5 3 sin =A ，则=B tan （）． A.5 3 B.5 4 C.4 3 D.3 4 5．在ABC Rt ?中，?=∠90C ，若?=∠30A ，则三边的比c b a ：：等于（） A ．1：2：3 B ．1：3：2 C ．1：1：3 D ．1：2：2 6．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则sin AOB ∠=（）Ａ． 55 Ｂ．25 5 Ｃ．12 Ｄ．2 7．cos 245°＋tan60°?cos30°等于（）． A 、1 B 、2 C 、2 D 、3 8．如图，设，，βα=∠=∠BOC AOC P 为射线OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，则 PE PD 等于（） A ．βαsin sin B ．βαcos cos C ．βαtan tan D ．α β tan tan 9、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ’B ’C ’，那么锐角A 、A ’的余弦值的关系为（）． A 、cosA ＝cosA ’ B 、cosA ＝3cosA ’ C 、3cosA ＝cosA ’ D 、不能确定 10、化简2(tan 301)- ＝（）。 A 、313- B 、31- C 、313 - D 、31- 二、填空题：（每题4分，共32分） O 30 ° A B O

二次函数与相似三角形综合

第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径：例题1：已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。（1）求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为x x 41 y 2+-=）（2）连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。解：如图2，由抛物线的对称性可知:AO ＝AB,△AOB ＝△ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有△POB ＝△BOA ＝△BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1) △直线OP 的解析式为x 21y -= 由 x x 41 x 212+-=- , 得6x ,0x 21== .△P(6,－3) 过P 作PE△x 轴,在Rt△BEP 中,BE ＝2,PE ＝3, △PB ＝13≠4. △PB≠OB,△△BOP≠△BPO, △△PBO 与△BAO 不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP 与△AOB 相似. 例1题图图1 O A B y x O A B y x 图2 E A' O A B P y x 图2 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ② 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③ 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

三角函数单位圆的定义

§1．2．1 任意角的三角函数第一课时任意角的三角函数的定义三角函数的定义域和函数值【学习目标、细解考纲】 1、借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2、从任意角三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号。【知识梳理、双基再现】 1、在直角坐标系中，叫做单位圆。 2、设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: ⑴叫做α的正弦,记作 ,即 . ⑵叫做α的余弦,记作 ,即 . ⑶叫做α的正切,记作 ,即 . 当α=时, α的终边在y轴上,这时点P的横坐标等于 ,所以无意义.除此之外,对于确定的角α,上面三个值都是 . 所以, 正弦、余弦、正切都是以为自变量,以为函数值的函数,我们将它们统称为 .由于与之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为的函数. 3、根据任意角的三角函数定义，先将正弦余弦正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。

=y sin α =y cos α =y tan α 【小试身手、轻松过关】 4、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为（） A ．－ 55 B ．－ 5 C ．552 D ．2 5 5、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（） A ．sin α B ．cos αC ．tan α D ． tan 1 α 6、已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是（） A ．25 B ．－2 5 C ．0 D ．与α的取值有关 7、α是第二象限角，P （x , 5 ）为其终边上一点，且cos α= 4 2 x ，则sin α的值为（） A ． 410 B ．46 C ．42 D ．－4 10 【基础训练、锋芒初显】 8、函数x x y cos sin -+=的定义域是（） A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈ B ．])12(,2 2[ππ π++ k k ，Z k ∈

二次函数中的相似三角形

二次函数中的相似三角形例1（2011绵阳）：已知抛物线y = x2 -2x +m -1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．（1）求m的值；（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证△ABC是等腰直角三角形；（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C’，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点。如图，请在抛物线C’上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．例1图例1（1）（2）图例1（3）图

例2：如图，抛物线y = ax2 +bx + 1与x轴交于两点A（-1，0）、B（1，0）与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．例2（1）（2）图例2（3）图

例3：已知，如图，二次函数y = ax2 - 2ax + c（a ≠ 0）的图象与y轴交于点C（0，4），与x 轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该二次函数的关系式并写出它的对称轴和顶点坐标；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标（2，0）．问：是否存在这样的直线l．使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．思考：在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BCM是直角三角形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由．例3（1）（2）图例3（3）图例3思考

三角函数典型例题剖析与规律总结

三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。分析：要求1sin 2+= y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足2 1 sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin - ≥x ①在一周期??????-23,2ππ上符合①的角为?? ????-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为?? ? ?? ? + - 672,6 2πππ πk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()() 1,0log ≠>= a a x f y a 的函数，则其定义域由()x f 确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。二．函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域例。求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2 -+= x y x 分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2） ()[].0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22 22 cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。（2）函数的最大值与最小值。例。求下列函数的最大值与最小值（1）x y sin 211- = （2）??? ??≤≤-??? ? ? +=6662sin 2πππx x y （3）4sin 5cos 22 -+=x x y （4）?? ? ? ??∈+-=32,31cos 4cos 32 ππx x x y 分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数 c bx ax x f ++=2)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。

二次函数与相似三角形

课题二次函数与相似三角形教学目标知识与技能根据条件寻找或构造相似三角形，从而得出点的坐标。过程与方法通过复习，掌握中考题型中二次函数的综合应用。情感态度与价值观培养学生的参与意识和探索精神。教学重点根据条件寻找或构造相似三角形教学难点根据条件寻找或构造相似三角形教学准备课件，活页练习教学课时1课时教学过程个案修改（手写）一、导入：我们已经学完了二次函数的基础知识，从今天开始我们要学习二次函数与其他知识的综合应用。首先，我们来学习中考中最常见的一种—— 二次韩数与相似三角形。二、复习提问： 1、二次函数的一般形式是 2、如何确定一条抛物线与X轴和y轴的交点坐标？ 3、抛物线的顶点坐标如何确定？ 4、相似三角形的判断方法有哪些？三、例题讲解： .如图，已知抛物线y=–(x–2)2+1 的图像与x轴交于A、B 两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C. （1）求点A，点B，点C的坐标;

（2）若点D是抛物线的顶点，DH垂直于x轴，垂足为H，试判断直角三角形DHA与直角三角形COB是否相似？说明理由．（3）若点M在抛物线上且在x轴上方，过点M作MG垂直于x轴，垂足为点G，是否存在M，使得△AMG与△AOC相似。若存在，求出M 点坐标；若不存在，说明理由。分析：（1）第一步是基础知识，可由学生自己解决，只对个别不会的学生加以辅导，可以由B号学生帮助解决（2）第二步要判断两个直角三角形相似，可以证明夹着直角的四条边成比例；另外，还要注意强调格式——先回答问题，再书写证明过程（3）第三步要先设出点M的坐标，进一步表示出MG和AG的长度，然后再分两种情况利用四条线段成比例得方程，从而解得点M的坐标。另外，题目中“点M在抛物线上且在x轴上方”能给我们什么信息，需要注意什么？教学组织：（1）学生自己分析题意，找出不会的地方；（2）小组内讨论，初步解决（3）汇总不能解决的问题，教师分析解决（4）书写第（3）问解答过程，A号展示四、变式练习：上题中，若点D是抛物线的顶点，点M在抛物线上且在x轴上方，

单位圆与正余弦函数的定义

精心整理图1 1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数 1.4.2单位圆与周期性主备人：刘红岩一、教学目标 1、理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念 2、通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重二、 12121、12、k Z ∈ 330（21 2在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P 的纵坐标v 叫作角 α的正弦函数，记作v=sin α;点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数,记作u=cos α. 通常，用x 表示自变量，用x 表示角的大小，用y 表示函数值，因此定义任意角的三角函数y=sinx 和y=cosx,定义域为R ，值域为[-1，1]。【设计意图】升华概念，加深对概念的理解。

3、三角函数值的符号思考：以小组为单位讨论当角的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角的正弦函数值、余【设计意图】使学生掌握根据定义，三角函数值的符号仅与点P的纵、横坐标的符号有关。sinα在一、二象限为正，三、四象限为负；cosα在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦练习1 ，使学生加深对三角函数概念的理解。的正，利用三角函数的定义求其三角函数，需要确定三到原点的距离r. 例2的正弦函数值、余弦函数值练习2:的正弦函数值、余弦函数值变式1 变式2 1． (2) 弦值sin 2．当角例3：练习3：判断下面各式的符号：sin2·cos3 【思路探究】由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号；进一步确定各式符号．【设计意图】使学生掌握一下规律：1．判断三角函数值的符号关键是看角α的终边所在的象限位置，若角α的终边位置难以判断应先利用α＝2kπ＋β(k∈Z)进行转化． 2．判断三角函数值的符号的步骤： (1)先观察角α所在终边所在象限；(2)判断角α各个三角函数值的符号；(3)给出最后的结论．高考链接：（2011江西，14）

与三角函数有关的综合题

与三角函数有关的综合题 1、（2013?贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的边AC在x轴上，边BC⊥x 轴，双曲线y=与边BC交于点D（4，m），与边AB交于点E（2，n）．（1）求n关于m的函数关系式；（2）若BD=2，tan∠BAC=，求k的值和点B的坐标． 2、（2013?巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x 轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE= （1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积． 3、（12分）（2013?湖州）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4、（2013?义乌市）如图1所示，已知y=（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C．（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2，求此时P点的坐标；（3）当点Q在线段BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长． 5、（2013山东济宁）21. 如图，反比例函数 k y x =(x＞0)的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan∠AOB=3 2 . (1)求k的值； (2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数 k y x =(x＞0)的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE的函数表达式；

专题训练二次函数与相似三角形

专题训练：二次函数与相似三角形例1、如图1，已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 ⑴求抛物线的解析式； ⑵若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； ⑶连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。例2、已知：如图，抛物线22 1 412-+= x x y 与y x 、轴分别相交于A 、B 两点，将△AOB 绕着点O 逆时针旋90°到△''A OB ，且抛物线2 2(0)y ax ax c a =++≠过点''B A 、。（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线2 2y ax ax c =++的解析式；（3）点D 在x 轴上，若以'B D 、B 、为顶点的三角形与△B B A ''相似，求点D 的坐标．图1 O A B y x O A B y x 图 2 B' A'O B A y x

例3、已知：矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，()6,0A ，()0,3C ，直线 3 4 y x = 与BC 边交于D 点．（1）求D 点的坐标；（2）若抛物线2 y ax bx =+经过A 、D 两点，求此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 是对称轴上一动点，以P 、O 、M 为顶点的三角形与△OCD 相似，求出符合条件的点P ．

例4、已知抛物线c bx x y ++=2 4 3与坐标轴交于点A,B,C 三点，A 点的坐标为)0,1(-，过点C 的直线343 -= x t y 与x 交于点,Q 点P 是线段BC 上的一个动点，过点P 作OB PH ⊥于点H ，若)10(,5<<=t t PB ，请回答下面的问题；（1）、求出抛物线的解析式（2）、求线段QH 的长，（用含有t 的式子表示）（3）、根据P 点的变化，是否存在t 的值，使得以点Q H P ,,为顶点的三角形与COQ ?相似？若存在，求出所有的t 的值，若不存在，说明理由；

人教版数学高一B版必修4自我小测单位圆与三角函数线

自我小测 1．若角α的正切线位于第一象限，则角α是( ) A ．第一象限的角 B ．第一、二象限的角 C ．第三象限的角 D ．第一、三象限的角 2．下列不等式中，成立的是( ) A ．sin 18π??- ???>sin 10π B ．cos 235π??- ???cos 12 D ．tan 75πsin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 6．利用三角函数线求cos 2 040°的函数值是__________． 7．已知集合E ＝{θ|cos θsin β－sin α．

二次函数与相似三角形结合问题

琢玉教育个性化辅导讲义教师姓名学科上课时间年月日学生姓名年级讲义序号课题名称教学目标1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度； 2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式； 3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题；教学重点难点1.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法； 2.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□建议_______________________________ 教学内容知识结构：一.二次函数知识点梳理：下图中0 a≠二.特殊的二次函数：下图中0 a≠

浅谈“单位圆”在三角函数中的应用(1)

浅谈“单位圆”在三角函数中的使用胡海光（宝鸡文理学院数学系陕西宝鸡721013）摘要：新课程用单位圆定义任意角的三角函数，提升了单位圆、三角函数线的地位，三角函数的知识结构和方法体系也发生了一些变化，利用单位圆本身直观、形象、准确、方便等特点，再结合相关的数学知识，可以使问题化难为易，化繁为简，思路清晰，方法明确。探究它在新课程三角函数公式推导和性质中的使用及解题中的使用，这样不但能使学生掌握用单位圆解题的方法,而且能激发学生的学习兴趣。关键字：单位圆；诱导公式；三角函数；使用 1.引言新课标指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自习等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探索活动，不但能让学生体验数学发现和创造的历程，培养他们的数学思维能力和创新意识，而且可以大大减少课堂的教学时间。因此，我们在教学中应充分挖掘教材的问题背景，逐渐培养学生的自主学习、自主探索等学习习惯。基于这种目的，在新课改下，我们可以将三角函数章节学习统一在单位圆和三角函数线之下，利用数形结合让学生理解知识的来龙去脉、推导过程，最主要的是使学生学会用联系的观点看三角函数，研究三角函数的定义、公式、图象和性质，明白如何用单位圆和三角函数线研究问题，动态地分析问题和解决问题。 2.单位圆的认识单位圆是新课标里刚引进的新概念，学生受老教材的影响对单位圆的认识很模糊，为了让学生能很好的利用单位圆解决三角函数问题，笔者认为首先要了解单位圆的概念、为什么用单位圆上点的坐标定义三角函数及用单位圆上点的坐标定义三角函数的意义。 2.1单位圆的定义所谓单位圆，就是在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆。如下图所示： 2.2为什么用单位圆上点的坐标定义三a

反比例函数与锐角三角函数复习题(解析)

反比例函数与锐角三角函数复习题(解析) 一、反比例函数与一次函数和几何的综合 1.已知Rt△ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （1，3）在反比例函数y = k x 的图象上，且sin∠BAC = 35 ．（1）求k 的值和边AC 的长；（2）求点B 的坐标． 1.（1）把C （1，3）代入y = k x 得k =3。设斜边AB 上的高为CD ，则sin∠BAC = CD AC =35 ∵C （1，3）∴CD=3，∴AC=5 （2）分两种情况，当点B 在点A 右侧时，如图1 有：AD=52 －32 =4，AO=4－1=3 ∵△ACD ∽ABC ∴AC 2 =AD ·AB ∴AB=AC 2 AD =25 4 ∴OB=AB －AO= 254－3=134 此时B 点坐标为（13 4 ，0）当点B 在点A 左侧时，如图2此时AO=4＋1=5 OB= AB －AO= 254－5=54 此时B 点坐标为（－5 4 ，0）所以点B 的坐标为（134，0）或（－5 4，0）． 2.如图，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数m y x = （x>0）的图象交于点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且S △DBP =27， 1 2 OC CA =。（1）求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的表达式；（3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？【答案】（1）D （0，3）（2）设P （a ，b ），则OA=a ，OC=1 3a ，得C （13 a ，0）因点C 在直线y =kx +3上，得1303 ka +=，ka =－9 DB=3－b =3－(ka +3)=－ka =9，BP=a 由1192722DBP S DB BP a ?=== 得a =6，所以32 k =-，b =－6，m =－36 一次函数的表达式为332y x =-+，反比例函数的表达式为36 y x =- （3）x >6