数形结合理解整式的乘法公式

数形结合理解整式的乘法

我们已经学习了整式的乘法和乘法公式，并且都知道了字母表示的法则，那么你能了解这些法则的几何意义吗？会验证这些法则吗？为了帮助同学们能熟练掌握，现逐一验证如下，供参考：

一、单项式乘以多项式

如图1，大长方形的面积从整体看为S=m （a +b +c ），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S ＝S 1+S 2+S 3＝ma +mb +mc ；于是有m （a +b +c ）＝ma +mb +mc 。从而验证了单项式与多项式相的法则。

二、多项式乘以多项式

如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b ）（m+n ），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S ＝S 1+S 2+S 3+S 4＝ma +mb +na +nb ；于是有（a+b ）（m+n ）＝ma +mb +na +nb .从而验证了多项式与多项式相乘的法则。

三、平方差公式

如图3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a 2－b 2；若把小长方形S 4旋转到小长方形S 3的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S 1+S 2+ S 3＝(a +b )(a －b )。从而验证了平方差公式(a +b )(a －b )＝a 2－b 2。

如图5：将边长为b 的小正方形放到边长为a 的正方形的一角，空白部分的面积从整体计算为a 2－b 2；而如果从局部考试，其面积可以看作为两个梯形S 1+S 2之和，其面积为()()()()))((2

2b a b a b a b a b a b a -+=-++-+。从而也验证了平方差公式(a +b )(a －b )＝a 2

－b 2。

四、完全平方公式

如图5，大正方形的面积从整体可以表示为(a +b )2，从局部可以表示为也可以表示为S ＝S 1+ S 2+ S 3+S 4，同时S ＝a 2+ab +ab +b 2＝a 2+2ab +b 2，从而验证了完全平方公式(a +b )2＝a 2+2ab +b 2。

五、一般公式的推理

如图6，从整体看，这个图形的面积为（a+b）（a+2b），从局部我们可以看出，它分为6部分，这6部分的面积之和为a2+3ab+2b2，所以（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2。

数形结合是一种重要的数学方法，亲爱的同学们，你能利用之种方法把算式(2a+b)(a+2b)的合理性解释清楚吗？

初中数学七年级下册第2章整式的乘法2.2乘法公式作业设计

2.2 乘法公式 一．选择题（共6小题） 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（） A．（p+q）（﹣p﹣q）B．（p﹣q）（q﹣p） C．（5x+3y）（3y﹣5x）D．（2a+3b）（3a﹣2b） 2．计算（1﹣a）（a+1）的结果正确的是（） A．a2﹣1 B．1﹣a2C．a2﹣2a﹣1 D．a2﹣2a+1 3．如果多项式y2﹣4my+4是完全平方式，那么m的值是（） A．1 B．﹣1 C．±1D．±2 4．用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用a，b分别表示矩形的长和宽（a＞b），则下列关系中不正确的是（） （第4题图） A．a+b=12 B．a﹣b=2 C．ab=35 D．a2+b2=84 5．已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（） A．0 B．1 C．2 D．3 6．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（） A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．1或﹣3 二．填空题（共4小题） 7．已知m2﹣n2=16，m+n=6，则m﹣n= ． 8．若m为正实数，且m﹣=3，则m2﹣= ． 9．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

（第9题图） 根据前面各式的规律，则（a+b）6= ． 10．已知a2+b2=4，则（a﹣b）2的最大值为． 三．解答题（共30小题） 11．（1）计算并观察下列各式： 第1个：（a﹣b）（a+b）= ； 第2个：（a﹣b）（a2+ab+b2）= ； 第3个：（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= ； …… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律． （2）猜想：若n为大于1的正整数，则（a﹣b）（a n﹣1+a n﹣2b+a n﹣3b2+……+a2b n﹣3+ab n﹣2+b n﹣1）= ； （3）利用（2）的猜想计算：2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+……+23+22+1= ． （4）拓广与应用：3n﹣1+3n﹣2+3n﹣3+……+33+32+1= ． 12．计算： （1）20132﹣2014×2012；

数形结合是一种非常重要的数学思想

数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。 数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中随处可见。有些情况下，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题。本单元的例1以及相关练习就属于这种情况。例如，第109页第2题（如下图），使学生通过观察，发现第2个图比第1个图增加2个小圆，第3个图比第2个图增加3个小圆，第4个图比第3个图增加4个小圆……这样依次下去，各个图形中的小圆个数分别是1，3，6，10，…，即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…如果是第个图，小圆的个数是。等学生将来学习了等 差数列的有关知识，就知道第个图形中小圆的个数是。 而有些情况下，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤其是对于小学生，其思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。例如，利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等。

还有的时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可用“形”来解决“数”的问题。例如，解析几何中，函数图象与方程、方程组互为工具，互为解释，有机融合。小学中的正比例关系和反比例关系图象也很好地反映了这样的思想。 本单元教材以“”“”为例，引导学生认识利用数和形的结合解决一些有趣的数学问题。 一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》，下同）的主要区别 新教材把《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》上册的“鸡兔同笼”问题移至四年级下册，新编“数形结合”的内容。本册的数学广角，编排了一个新的内容──数与形。 二、教材例题分析 例1：连续奇数的等差数列之和等于某平方数。 本例让学生计算从1开始的连续若干奇数之和。在计算时，即使不借助图形，也可以通过，，…发现规律：从1开始，连续个奇数之和，就是的平方。但把图形与算式对应起来，更具直观性，更能让学生体会到数学之美。图中有的规律显而易见（每个图都是一个大的正方形，第个图形中，大正方形的每行、每列都有个小正方形，因此，小正方形的总数是）,有的规律相对比较隐蔽(从左下角到右上角，每个“┓”形的小正方形的个数分别是1，3，5，7，…)。每个图中都“隐藏”着一个等式，如第个图中的等式就是。从图形的角度直观理解“正方形数”或“平方数”的特点，显然，使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点得到关于数的规律。 例2：等比数列之和等于1。

整式的乘法完全平方公式

完全平方公式 一、填空题： () 22)(9 1291=+ -a a （2）1-6a+9a 2 =( )2 22)(4 1 ) 5(=++x x （6）x 2 y 2 -4xy+4=( ) 2 (7)x 2+( )+9y 2=(x+ )2 (8)(a+b)2-( )=(a-b)2 (9)(5x+3)2(3-5x)2=_______________________ (10)若(x-3y)2+K=x 2-5xy+8y 2,则K=_________ 二、选择题： （1）已知4x 2+kx+9是一个完全平方式，那么k 值为 （ ） （A ）12 （B ）±18 （C ）±12 （D ）±6 (2)下列多项式中，是完全平方式的为（ ） （A ）1-4m+2m 2 （B ）a 2+2a+4 () ab b a C 34 192 2-+ （D ）x 2+2xy+1 二、 1、计算 （1）(3a+2b)2 （2）(5x-y)2 （3）(-4x+3a)2 （4）(-y-6)2 2、计算 （1）99.82 (2）20052 （3）1042 （4）982

3、计算 (1)(2x-3)(3-2x) (2) (5a-4b) (-5a+4b) (3) (2m2+3n) (2m2-3n) (4) (2m2+3n) (-2m2-3n) 四、填空 (1)(x-y)(x+y)=________ (2)(x-y)(x-y)=________ (3)(-x-y)(x+y)=________ (4)(-x-y)(x-y)=________ (5)(a-1)·( )=a2-1 (6) (a-1)·( )=a2-2a+1 (7)(a+b)2-( a-b)2=________ (8)(a+b)2+( a-b)2=________ 五、计算 （1）（a-2b-3c）2(2)(x+y-2)(x-y+2) (3)(a+2b-3c) (a-2b+3c) (4) (a+2b-3c) (a-2b-3c) (5)(2a+b-5c)(2a-b-5c）(6)(2a+b+5c)(-2a-b+5c）

小学数学总结_数形结合

数形结合总结 数形结合之规律 【典型例题】 例1 观察下列算式： , 65613,21873,7293,2433, 813,273,93,338 7 6 5 4321======== …… 用你所发现的规律写出20043的末位数字是__________。 例2 观察下列式子： 326241?==+?；4312252?==+?；5420263?==+?；6530274?==+?…… 请你将猜想得到的式子用含正整数n 的式子表示来__________。 例4 图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。 …… (1)将下表填写完整 （2）在第n 个图形中有____________________个三角形（用含n 的式子表示）。 例6．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为21的矩形，接着把面积为21的矩形等分成两个面积为4 1 的正方形，再把面积为 41的矩形等分成两个面积为8 1 的矩形，如此进行下去，试利用图形提示的规律计算： =+++++++256 11281641321161814121 例7．把棱长为a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正 方体的个数是 例8.观察下列图形并填表。 ① ② ③ 1 1

例9．把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。 （1） 当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？ （2） 当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？ 200 199198197196 19528272625242322212019181716151413121110987654321Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ ΛΛΛΛΛ 例10．将1至1001个数如下图的格式排列。用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等于（1）1986；（2）2529；（3）1989是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。 1001 10009999989979969952827262524232221 2019181716151413121110987 654321ΛΛΛΛΛΛΛ 例11.把2012个正整数1，2，3，4，…，2012按如图方式排列成一个表． （1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x ，则另三个数用含x 的式子表示出来，从小到大依次是______，______，______． （2）由（1）中能否框住这样的4个数，它们的和会等于244吗？若能，则求出x 的值；若不能，则说明理由． 例12. 把2011个正整数1，2，3，4，…，2010，2011按如图方式排列成一个表．

八上整式的乘法与乘法公式

八年级上数学《整式的乘法与乘法公式》测试题 (100分) 班级__________ 姓名______________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列计算中正确的是（ ） A ．5322a b a =+ B ．44a a a =÷ C ．842a a a =? D ．()632a a -=- 2．下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有（ ） ① ()523623x x x -=-?； ② ()a b a b a 22423-=-÷； ③ ()523a a =； ④ ()()23a a a -=-÷- A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3. 若()()b ax x x x ++=+-2 32，则a, b 的值分别为（ ） A ．a=5, b=6 B ．a=1, b= -6 C ．a=1, b=6 D ．a=5, b= -6 4．()()22a ax x a x ++-的计算结果是（ ） A ．3232a ax x -+ B ．33a x - C ．3232a x a x -+ D ．322322a a ax x -++ 5．已知210x y -=,则24y x -的值为 ( ) A ．10 B ．20 C ．-10 D ．-20 6.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ） A.))((b a b a -+- B.)2)(2(x x ++ C.)31)(31(x y y x - + D.)1)(2(+-x x 7. 我们约定1010a b a b ?=?,如23523101010?=?=,那么48?为 ( ) A. 32 B.3210 C. 1210 D. 1012 8．若153=x ，53=y ，则y x -3等于（ ） A. 5 B. 3 C. 15 D. 10 9. 13+m a 可写成（ ） A. (a 3)m+1 B. (a m )3+1 C. a ·a 3m D. (a m )2m+1 10. 如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A. –3 B. 3 C. 0 D. 1

找规律 数形结合

计算部分 1.2464850 +++++ L 2.13579111315131197531 ++++++++++++++ 3.123495049321 +++++++++ L L 4.11111 2481632 ++++ 5.1111 248256 ++++ L 6. 1111111111 1 2481632641282565121024 ----------

1.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个 小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈……按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为______。 …… ①②③ 2.根据图中的规律，照这样画下去，第10个图形有______个圆圈。 …… 3.下列图中有大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅 图中有5个，则第5幅图中有______个，第n幅图中有______个。 …… 123n

4.小明按照如图的方式用黑色和白色正方形摆图形。 ……（1）当中间摆20个黑色正方形时，四周共需要摆______个白色正方形。 （2）如果中间摆n个黑色正方形，四周共需要摆______个白色正方形。 5.下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸，则第5个图 中所贴剪纸“〇”的个数为______，第n个图中所贴剪纸“〇”的个数为______。 …… 第1个图第2个图第3个图 6.用黑白两色的正六边形按如图所示的规律拼成若干个图案。 …… 第1个第2个第3个 （1）拼第4个图案需要______个白色的正六边形。 （2）拼第n个图案需要______个白色的正六边形。

整式的乘法和乘法公式(普通难度教师版)

整式的乘法和乘法公式 一、单选题（共7题；共14分） 1.计算的结果为 A. B. C. 1 D. 【答案】C 2.已知，则的值为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 3.若，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】A 4.将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（） A. （x+2）2＝3 B. （x+4）2＝3 C. （x+2）2＝﹣3 D. （x+2）2＝﹣5 【答案】A 5.下列运算正确的是（） A. （﹣2a3）2＝4a5 B. （a﹣b）2＝a2﹣b2 C. D. 【答案】 D 6.（﹣5a2+4b2）（）=25a4﹣16b4，括号内应填（） A. 5a2+4b2 B. 5a2﹣4b2 C. ﹣5a2﹣4b2 D. ﹣5a2+4b2 【答案】C 7.如图1，从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是( ) A. ． B. . C. . D. . 【答案】B 二、填空题（共4题；共4分） 8.当x________时，(x－4)0＝1.

【答案】x ≠4 9.计算的结果是________. 【答案】 10.计算：________． 【答案】9 11.已知三角形的底边是cm，高是cm，则这个三角形的面积是________ cm ．【答案】 三、计算题（共1题；共10分） 12.计算： （1） （2） 【答案】（1）解： = = = （2）解： = = = 四、解答题（共3题；共15分） 13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14，C＝10，求Rt△ABC的面积. 【答案】解：∵a+b=14 ∴（a+b）2=196 ∵C＝10, ∴a2+b2=c2=100 ∴2ab=（a+b）2-（a2+b2）=196 -100=96， ∴ab=48，

数形结合找规律

数形结合找规律 华南实验学校杭雅琴 课型：思维训练课 教学目标： 1．让学生在生动有趣的活动中观察、寻找图形的特点，结合图形从不同的角度观察得出不同的数学规律。 2．应用“数形结合”，训练和培养学生数学直觉思维能力、发散思维能力和创造性思维能力。 3．通过以形助数的直观生动性，体会数形结合，感受数学的趣味性。 教学过程： 一、导入： 同学们有没有学过这样一首诗（出示: 题西林壁：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。）这首诗什么意思？（从不同地角度看庐山，庐山的模样各不相同。） 师：其实在数学学习中也是如此，对待同一个问题，如果从不同地角度去观察、去思考，得出的结论、规律也就会不同。 （设计意图：从学生比较熟悉的古诗导入新课，非常简明；以此迁移到数学学习中也要善于从不同角度观察和思考问题，为后面新知的学习作了伏笔。） 二、新授： 1、依次出示图1、图 2、图3，分别说说是由几个小圆点组成的。想像一下图4会是什么样子的？一共有多少个圆点？ 图图图图 图1 图2 图3 图4 2、你是怎么想到图4会有16个小圆点的？仔细观察这组图，你还有什么发现呢？（学生畅谈自己的发现.） 3、同学们不仅能用一个数表示每幅图的圆点数，而且还能用算式来表示这组图的规律，真了不起。根据这个规律，想一想第5个图形是怎样的？一共有多少个圆点？第8幅图呢？第100幅图呢？第N幅图呢？

4、通过刚才的观察，我们发现每幅图的圆点总数都可以看作是两个相同的数相乘的积，这些算式还可以用平方数的形式来表示。那刚才我们是怎样观察的？（横着观察的） （设计意图：数形结合方法之一是借助“形”的生动和直观性认识“数”。通过观察前3个图，使得学生从整体上对图形的圆点排列特点；然后，想像一下图4会是什么样子的？一共有多少个圆点？进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论，训练了学生数学直觉思维能力。） 5、如果我们换个角度观察，直接出示“”划分的。要求每幅图的圆点总数又可以列成怎样的算式？ 6、这些式子也是表示每幅图圆点的总数，和刚才的算式等不等？（板书） 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 7、仔细观察这些等式，左边的式子有什么特征？右边呢？左右联系起来看你又有什么发现？ 8、汇报，得出：从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方。 9、要求连续奇数的和只要知道什么？你会求吗？ （1）1+3+5+7+9+11 （2）1+3+5+7+9+11+13+15+17 （3）3+5+7+9+11+13+15+17+19 10、小结：刚才我们对于同一组图，从不同的角度观察，找到了这么多不同的规律。同学们真了不起。杭老师想告诉大家，早在2000多年前，古希腊的数学家们就是借助这些小圆点，找到了这些规律。我觉得我们班的同学已经超过了古希腊的数学家，已经具有了未来数学家的风范。 师：我们再回忆一下，刚才我们是怎样找到这些规律的？和什么结合起来找的？（揭题：数形结合找规律）数形结合是一种特别重要的数学思想方法，我国著名的数学家华罗庚曾说过这样一句话：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。什么意思？希望同学们在以后的学习中经常使用数形结合的思想方法，帮助我们解决一些实际问题。

数形结合找规律试题集锦

4=1+3 9=3+6 16=6+10 图7 … 数形结合找规律试题集锦 1 如图所示，每个正方形点阵均被一直线分成两个三角形点阵，根据图中提供的信息，用含n 的等式表示第n 个正方形点阵中的规律____________________。 2古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而 把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1 的“正方形数”都可以看作两个相邻 “三角形数”之和．下列等式中，符 合这一规律的是（ ） A ．13 = 3+10 B ．25 = 9+16 C ．36 = 15+21 D ．49 = 18+31 3 如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四 边形共有_______个． 4 (08河北)有一个四等分转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、“志”、“成”、“城”四个字牌，如图5-1．若将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转90，则完成一次变换．图5-2，图5-3分别表示第1次变换和第2次变换．按上述规则完成第9次变换后，“众”字位于转盘的位置是（ ） A ．上 B ．下 C ．左 D ．右 第（4）题 图5-1 图5-2 图5-3 …

5 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的 圆共有个. 6把长方形的纸条对折一次可得1条折痕，对折两次可得3条折痕，那么对折6次可得条折痕。对折n次可得条折痕。 7如图第二个三角形是由第一个三角形连接三边的中点而得到的，猜想第四个图形中有个三角形，………，第n个图形共有个三角形 （1 ）（ 2 ）（ 3 ）这n个图形共有个三角形。 8 一块正方形的地板，由相同的小正方形瓷砖铺满，若地板对角线上的瓷砖是黑色的，其余瓷砖是白色的，如果用了黑色瓷砖101块，那么白色瓷砖的总数是 块。 9 （2008年山东省临沂市）如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1 ，再以等腰直角三角形ABA 1 的斜边为直角边向外作第3个等 腰直角三角形A 1 BB 1 ，……，如此作下去，若OA＝OB＝1，则第n个等腰直角三角形 的面积S n ＝________。 B1 B2 A1 A O B

小学数形结合的规律

2016小学数形结合的规律 一．选择题（共30小题） 1．（2016春?灵武市期末）摆一个三角形用3根小棒，摆两个三角形是5根，摆9个三角形要（）根小棒． A．15 B．17 C．19 2．（2016春?盐都区期末）用火柴按照如图的方法摆正方形（每条边摆1根火柴），照这样，摆15个正方形共需要（）根火柴． A．45 B．46 C．60 3．（2015?如皋市模拟）下面的三角形是用小棒拼成的，根据图形排列的规律，第100个图形要（）根小棒． A．300 B．299 C．201 D．240 4．（2015?永宁县模拟）小明用小棒搭房子，他搭的三间房子用了13根小棒．搭10间房子用（）根小棒．

A．40 B．41 C．45 D．50 5．（2015秋?扬中市校级期末）按下面点阵中的规律继续画，第11个点阵应该画（）个点． A．64 B．81 C．100 D．121 6．（2015秋?海淀区校级期末）木材厂将木头按下图堆放，第五堆有（）个． A．15 B．21 C．28 D．34 7．（2015春?博罗县期末），第8个点阵中的点数是（） A．12 B．14 C．16 D．18

8．（2015秋?宜兴市校级月考）根据下面几幅图的排列规律，第四幅图是（） A．B．C．D． 9．（2014?公安县）按下列规律印刷笑脸图案，第8幅图案有（）个笑脸． A．8 B．32 C．36 10．（2014?石家庄）古希腊着名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）

推荐--1整式的乘法(六)——乘法公式二

（八年级数学）整式的乘法（六）——乘法公式（2） 第 周星期 班别 姓名 学号 一、学习目标： 自主探索总结出两数和的平方与两数差的平方规律，并能正确运用完全平方 公式进行多项式的乘法。 二、问题情境 问题1：街心花园有一块边长为a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向 要加长2米，东西向也要加长2米。问改造后的长方形草坪的面积是多少？ 解： 问题2：== 问题3：将2改为b ，结果如何？即 三、结论： 完全平方和公式： ① 两数和的平方，等于它们的 加上它们 的2倍。 猜想: ② 比较①、②两个公式： 2(2)a +)2)(2++a a （2()a b +=______________))((=++b a b a 2()a b +=_______________________)(2=-b a

1、 计算结果只有___________与______________符号不同 2、 计算结果:右边中间项的符号都与左边___________符号相同 四、练习（A 组） 1、判断下列各式是否正确。如果错误，请改正在横线上。 （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ） 2、你准备好了吗？请对照平方差公式完成以下练习： （1） （2） （3） （4）= （5） 3.请用公式写出以下多项式乘以多项式的结果： 222() a b a b +=+2 22()2a b a ab b +=++222()a b a b -=-22(2)4x x -=-222()2a b a a b b += + + 222(21)()2()()()a += + + ==+-=-222)())((2)()2(y x 222(32)()2()()()x y += + + =222)())((2)()21+-=-y （2221(3)()2()()()2 a b += + + =

整式的乘法和乘法公式练习题资料讲解

整式的乘法和乘法公 式练习题

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 整式的乘法乘法公式复习题 一．选择题 1.下列各式计算正确的是（ ） A 、()66322b a b a =- B 、()5252 b a b a -=- C 、124341b a ab =??? ??- D 、462239131b a b a =??? ??- 2.()()1333--?+-m m 的值是（ ）A 、1 B 、－1 C 、0 D 、()13+-m 3下列各式中，正确的是（ ）A 、m 2·m 3＝m 6 B 、(－a ＋b)(b －a)＝a 2－b 2 C 、25a 2－2b 2＝(5a ＋2b)(5a －2b) D 、(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)＝x 3－y 3 4.与(x 2＋x ＋1)(x －1)的积等于x 6－1的多项式是（ ） A 、x 2－1 B 、x 3－1 C 、x 2＋1 D 、x 3＋1 5.已知5x ＝3，5y ＝4，则25x+y 的结果为（ ） A 、144 B 、24 C 、25 D 、49 6.x 为正整数，且满足3x+1·2x －3x 2x+1＝66，则x ＝（ ） A 、2 B 、3 C 、6 D 、12 7.若m 2＋m －1＝0，则m 3＋2m 2＋3＝（ ） A 、2 B 、4 C 、－2 D 、－4 8.不等式(x －1)2－(x ＋1)(x －1)＋3(x ＋1)＞0的正整数解为（ ） A 、1, 2 B 、1, 2, 3 C 、1, 2, 3, 4 D 、任意正整数 9.a 4+(1－a )(1+a )(1+a 2)的计算结果是( ) A.－1 B.1 C.2a 4－1 D.1－2a 4 10.下列各式运算结果是x 2－25y 2的是( ) 11. A.(x +5y )(－x +5y ) B.(－x －5y )(－x +5y ) C.(x －y )(x +25y ) D.(x －5y )(5y －x ) 12.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) A.(x +y )(－x －y ) B.(2x +3y )(2x －3z ) C.(－a －b )(a －b ) D.(m －n )(n －m ) 13..下列计算正确的是( ) A.(2x +3)(2x －3)=2x 2－9 B.(x +4)(x －4)=x 2－4 C.(5+x )(x －6)=x 2－30 D.(－1+4b )(－1－4b )=1－16b 2 14.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a －b )(－b +a ) B.(xy +z )(xy －z ) C.(－2a －b )(2a +b ) D.(0.5x －y )(－y －0.5x ) 15.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）

黑龙江省哈尔滨市六年级上册期末复习14：数学广角——数形结合规律

黑龙江省哈尔滨市六年级上册期末复习14：数学广角——数形结合规律姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、选择题 (共8题；共16分) 1. （2分） (2021五上·海安期末) 根据规律算一算：2+4=2×3 2+4+6=3×4 2+4+6+8=4×5 …… 2+4+6+……+20=（） A . 7×8 B . 8×9 C . 9×10 D . 10×11 【考点】 2. （2分）按如图点阵中的规律继续画，第10个点阵应画（）个点． A . 90

B . 110 C . 132 【考点】 3. （2分），第8个点阵中的点数是（） A . 12 B . 14 C . 16 D . 18 【考点】 4. （2分）下图的阶梯有三级，是由6个长方体砖组成的，若组成类似的八级台阶，需要（）个长方体。 A . 8 B . 14 C . 36 D . 64 【考点】

5. （2分）按规律：上要画的图是（）。 A . B . C . D . 【考点】 6. （2分） (2021六上·海安期末) 按如图规律摆放三角形则第⑥个图三角形的个数为（）。 A . 15 B . 17 C . 20 D . 24 【考点】 7. （2分）…，第五个点阵中，点的个数是（）

A . 1+4×3=13 B . 1+4×4=17 C . 1+4×5=21 D . 1+4×6=25 【考点】 8. （2分） (2019二下·历城期末) 按照这样的规律摆下去，第27个图形是（）。 A . B . C . 【考点】 二、判断题 (共5题；共10分) 9. （2分） (2020二下·英山期末) 按照“ ”的规律摆图形，第29个是三角形。（） 【考点】 （） 10. （2分） (2020二下·涧西期末) 按规律往下画，第19个图形是。

山东省淄博市小学数学六年级上册专项复习八：数形结合规律

山东省淄博市小学数学六年级上册专项复习八：数形结合规律 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、选择题 (共3题；共6分) 1. （2分） (2020一上·景县期末) 接着摆什么？（） A . B . C . 2. （2分）下面各图是由棱长为1厘米的正方体拼成的，根据前三个图形表面积的排列规律，第五个图形的表面积是（）平方厘米。 A . 20 B . 22 C . 24 3. （2分） (2019三下·东莞期中) 按照“ ”的规律画图形，第830个图形是（）。

A . B . C . D . 二、填空题 (共9题；共14分) 4. （1分）如图是用棋子按某一规律摆出来的一行“广”字，按这种规律，第2013个“广”字中的棋子数为________个． 5. （2分）(2018·江苏模拟) 观察下图中每一个大三角形中白色的三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有________个。 6. （1分）下面是一连串用正方形和正八边形组成的图形。 正八边形的个数正方形的个数 14 27

310 413 问题1：按照这个规律继续下去，当图形中有6个正八边形时，正方形有________个。 问题2：按照这个规律继续下去，当图形中有100个正方形时，正八边形有________个。 问题3：x表示正八边形的个数，y代表正方形的个数，请用字母表示两者的关系：________。 7. （1分）(2010·安徽) 仔细观察： 图四 （1）你发现规律了吗？照样子在横线上写出第4个等式，并画出第4个图形； （2）用含n的式子表示出第n个等式________；

数形结合理解整式的乘法公式

数形结合理解整式的乘法 我们已经学习了整式的乘法和乘法公式，并且都知道了字母表示的法则，那么你能了解这些法则的几何意义吗？会验证这些法则吗？为了帮助同学们能熟练掌握，现逐一验证如下，供参考： 一、单项式乘以多项式 如图1，大长方形的面积从整体看为S=m （a +b +c ），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S ＝S 1+S 2+S 3＝ma +mb +mc ；于是有m （a +b +c ）＝ma +mb +mc 。从而验证了单项式与多项式相的法则。 二、多项式乘以多项式 如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b ）（m+n ），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S ＝S 1+S 2+S 3+S 4＝ma +mb +na +nb ；于是有（a+b ）（m+n ）＝ma +mb +na +nb .从而验证了多项式与多项式相乘的法则。 三、平方差公式 如图3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a 2－b 2；若把小长方形S 4旋转到小长方形S 3的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S 1+S 2+ S 3＝(a +b )(a －b )。从而验证了平方差公式(a +b )(a －b )＝a 2－b 2。 如图5：将边长为b 的小正方形放到边长为a 的正方形的一角，空白部分的面积从整体计算为a 2－b 2；而如果从局部考试，其面积可以看作为两个梯形S 1+S 2之和，其面积为()()()()))((2 2b a b a b a b a b a b a -+=-++-+。从而也验证了平方差公式(a +b )(a －b )＝a 2 －b 2。 四、完全平方公式 如图5，大正方形的面积从整体可以表示为(a +b )2，从局部可以表示为也可以表示为S ＝S 1+ S 2+ S 3+S 4，同时S ＝a 2+ab +ab +b 2＝a 2+2ab +b 2，从而验证了完全平方公式(a +b )2＝a 2+2ab +b 2。 五、一般公式的推理

浙江省丽水市数学六年级上册专项复习八：数形结合规律

浙江省丽水市数学六年级上册专项复习八：数形结合规律 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、选择题 (共3题；共6分) 1. （2分）根据图中的信息，第六个图案所对应的式子是（） A . 7＋1 B . 62＋1 C . 72＋1 D . 82＋1 2. （2分）一个由一些小平行四边形组成的装饰链，段去了一部分，剩下的部分如图所示，则断去部分中的小平行四边形的个数可能是（） A . 9 B . 10 C . 11 D . 12 3. （2分） (2020一上·景县期末) 接着摆什么？（）

A . B . C . 二、填空题 (共9题；共14分) 4. （1分） (2019二下·苏州期末) 有一串珠子是这样排列的●●●○○●●●○○●●●○○…… 想一想，第32个珠子是________，第45个是________。 5. （2分）(2010·安徽) 仔细观察：

图四 （1）你发现规律了吗？照样子在横线上写出第4个等式，并画出第4个图形； （2）用含n的式子表示出第n个等式________； （3）请你借助发现的规律进行简便计算： ________. 6. （1分）按图中的方式摆放桌子和椅子，1张桌子旁可坐6人，2张桌子旁可坐10人……30张桌子旁可坐________人。 7. （1分） (2017六下·孝南模拟) 每三点不在同一直线上，如图，3个点可以连3条线段，4个点可以连6条线段，则5个点可以连成（________）条线段，如果n大于1，那么(n+1)个点连成的线段条数比n个点连成的线段条数多（________）。 8. （1分）观察点子图填表。 序号①②③④⑤……⑧ 点子数161528________________ 9. （2分） (2017六下·兴义期末) 有一组图形，它的排列规律如右图。第4个图形中有________个三角形，第n个图形中有________个三角形。

整式的乘法与乘法公式

1 八年级数学单元考试 （整式的乘法与乘法公式） 班级 姓名 学号 一、填空题：（每空2分，共28分） 1、计算：23x x ?=________， ()2 3x =________， ()3 2ab =________。 2、计算： ()255+-a a a =________； 3、计算： ()()3232a a -?-=________， 4、(52+x )( ) =2524x - 5、计算： (23-x )2=_______________，2)2 1(b a +=_______________。 6、()6 3 4=， ()()6 3 6 45=?-。 7、计算：()z y x xyz 2222 1 ---??? ??-=________________。 8、若103x x x x m =??，则m ＝ 。 9、（c b a -+2）=+-)2(c b a （ ）2-（ ）2。 10、多项式142+x 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方， 则加上的单项式可以是 （填一个即可） 二、选择题：（每小题3分，共18分） 1、下列计算错误的是（ ） A ．(x 2y 3)2＝x 4y 6 B ．(3a 2b 2)2＝9a 4b 4 C ．(－xy)3＝―xy 3 D ．(―m 3n 2)2＝m 6n 4 2、下列四个算式中，正确的个数有( ). ①1234a a a =? ② 1055a a a =+ ③ 2555a a a =? ④ 633)(a a = A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个 3、计算()()b a b a ---33等于（ ） A. 2269b ab a -- B. 2296a ab b -- C. 229a b - D. 229b a - 4、=?? ? ?? -?? ? ? ??-2008 2008 532135（ ） A ． B.1 C.0 D.2008 5、已知5,3==b a x x ，则 b a x 23+=（ ） A.675； B.90； C.19； D.52。 6、如果（6))(2-+=++mx x q x p x ，其中m q p ,,均为整数， 这样的m 有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 三、解答题：（共54分） 1、计算：（每小题4分，共8分） （1）()()2 233 2a a a a -+- （2）()()5235432a a a a -?-+- 2、利用乘法公式计算：（每小题5分，共10分） （1）()()()y x x y y x -+--33322

浙江省杭州市数学六年级上册专项复习八：数形结合规律

浙江省杭州市数学六年级上册专项复习八：数形结合规律 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！ 一、选择题 (共3题；共6分) 1. （2分）根据图中的信息，第六个图案所对应的式子是（） A . 7＋1 B . 62＋1 C . 72＋1 D . 82＋1 2. （2分）将一些小圆球如图摆放，第六幅图有（）个小圆球． A . 30 B . 36 C . 42 3. （2分） (2019五下·海珠期末) 有43面同样大小的红、黄、绿小旗，按l面红旗、2面黄旗、3面绿旗的顺序排列。其中黄旗占总数的几分之几?

A . B . C . D . 二、填空题 (共9题；共14分) 4. （1分）找规律。 ________ ________ 5. （2分）(2018·浙江模拟) 按如图所示用棋子摆成反写“T”字，第1个反写“T”字需要________个棋子，第4个反写“T”字需要________个棋子；按这样的规律摆下去，第20个反写“T”字需要________个棋子。 6. （1分）(2013·黔南) 一刀最多可以把一个平面切成2块，两刀最多可以切成4块，那三刀最多可以切成________块；8刀最多可以切成________块； 7. （1分）将自然数从1开始，按下图所表示的规律排列，规定图中第M行、N列的位置记作（M，N），如自然数8的位置是（2，3），则自然数78的位置记作（________）。 8. （1分） 1张饼切5刀，最多可以将饼切成________块．

整式的乘法和乘法公式练习题

整式的乘法乘法公式 一．选择题 1.下列各式计算正确的是（ ） A 、()66322b a b a =- B 、()5252 b a b a -=- C 、124341b a ab =??? ??- D 、462239131b a b a =??? ??- 2.()()1333--?+-m m 的值是（ ） A 、1 B 、－1 C 、0 D 、()13+-m 3下列各式中，正确的是（ ） A 、m 2·m 3＝m 6 B 、(－a ＋b)(b －a)＝a 2－b 2 C 、25a 2－2b 2＝(5a ＋2b)(5a －2b) D 、(x －y)(x 2＋xy ＋y 2)＝x 3－y 3 4.已知5x ＝3，5y ＝4，则25x+y 的结果为（ ） A 、144 B 、24 C 、25 D 、49 5.不等式(x －1)2－(x ＋1)(x －1)＋3(x ＋1)＞0的正整数解为（ ） A 、1, 2 B 、1, 2, 3 C 、1, 2, 3, 4 D 、任意正整数 6.a 4+(1－a )(1+a )(1+a 2)的计算结果是( ) A.－1 B.1 C.2a 4－1 D.1－2a 4 7.下列各式运算结果是x 2－25y 2的是( ) A. (x +5y )(－x +5y ) B.(－x －5y )(－x +5y ) C.(x －y )(x +25y ) D.(x －5y )(5y －x ) 8.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) A.(x +y )(－x －y ) B.(2x +3y )(2x －3z ) C.(－a －b )(a －b ) D.(m －n )(n －m ) 9.下列计算正确的是( ) A.(2x +3)(2x －3)=2x 2－9 B.(x +4)(x －4)=x 2－4 C.(5+x )(x －6)=x 2－30 D.(－1+4b )(－1－4b )=1－16b 2 10.已知x 2＋y 2=2, x ＋y =1、则xy 的值为 （ ） A.21- B.2 11- C 、－1 D 、3

小学数形结合的规律

2016小学数形结合的 规律 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2016小学数形结合的规律 一．选择题（共30小题） 1．（2016春?灵武市期末）摆一个三角形用3根小棒，摆两个三角形是5根，摆9个三角形要（）根小棒． A．15 B．17 C．19 2．（2016春?盐都区期末）用火柴按照如图的方法摆正方形（每条边摆1根火柴），照这样，摆15个正方形共需要（）根火柴． A．45 B．46 C．60 3．（2015?如皋市模拟）下面的三角形是用小棒拼成的，根据图形排列的规律，第100个图形要（）根小棒． A．300 B．299 C．201 D．240 4．（2015?永宁县模拟）小明用小棒搭房子，他搭的三间房子用了13根小棒．搭10间房子用（）根小棒． A．40 B．41 C．45 D．50 5．（2015秋?扬中市校级期末）按下面点阵中的规律继续画，第11个点阵应该画 （）个点． A．64 B．81 C．100 D．121 6．（2015秋?海淀区校级期末）木材厂将木头按下图堆放，第五堆有（）个． A．15 B．21 C．28 D．34 7．（2015春?博罗县期末），第8个点阵中的点数是（） A．12 B．14 C．16 D．18

8．（2015秋?宜兴市校级月考）根据下面几幅图的排列规律，第四幅图是（） A．B．C．D． 9．（2014?公安县）按下列规律印刷笑脸图案，第8幅图案有（）个笑脸． A．8 B．32 C．36 10．（2014?石家庄）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 （） A．13=3+10 B．25=9+16 C．36=15+21 D．49=18+31 11．（2014?深圳）观察如图所示的图形．你认为选项中与 +…+（共10个相乘），最接近的数值是 （） A．B．C．D．0.1 12．（2014?贵阳校级自主招生）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）