2020年中考数学全等三角形专题复习讲义(含答案)

2020年中考数学全等三角形专题复习讲义

一、基础达标训练

1. 下列说法正确的是()

A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形

B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形

C. 两个等边三角形是全等三角形

D. 全等三角形是指两个能完全重合的三角形

2. 如图，在△AB C和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，补充下列哪一条件后，

能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF()

第2题图

A. ∠A＝∠D

B. ∠ACB＝∠DFE

C. AC＝DF

D. BE＝CF

3.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠F AB ＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠F AC，其中正确结论的个数是()

第3题图第4题图

4.如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的

周长为18，OE ＝1.5，则四边形EFCD 的周长为( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 10

5.如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，已知FB ＝CE ，AC ∥DF ，请你添加一个适当的条件________使得△ABC ≌△DEF .

第5题图 第6题图

6. 如图，Rt △ABC ≌Rt △DCB ，两斜边交于点O ，如果AC ＝3，那么OD 的长为________．

7.△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是________．

第8题图

8. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中：①∠ABC ＝∠ADC ；②AC 与BD 相互平分；③AC ，BD 分别平分四边形ABCD 的两组对角；④四边形ABCD 的面积S ＝1

2AC ·BD . 正确的是__________．(填写所有正确结论的序号)

9.如图，点E 、C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ＝DE ，AC ＝DF . 求证：∠ABC ＝∠DEF .

第9题图

10. 如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E，F，DE＝CF，AE＝BF.求证：AC∥BD.

第10题图

11. 已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别为边AB、AC的中点．

求证：BE＝CD.

第11题图

12.已知△ABN和△ACM位置如图，AB＝AC＝3，BD＝CE＝2，∠B＝∠C.

(1)求证：∠1＝∠2；

(2)若CM∥A B，求线段CM的长度．

第12题图

13. 如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.

(1)求证：△AEC≌△BED；

(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．

第13题图

14.如图，在?ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.

(1)求证：△ADE≌△FCE；

(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B的度数．

第14题图

15. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE ＝DF.

(1)求证：AE＝CF；

(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．

第15题图

16. 如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别是AC、BC上的两点，AD ＝CE，且AE与BD交于点P，BF⊥AE于点F.

(1)求证：△ABD≌△CAE；

(2)若BP＝6，求PF的长．

第16题图

二、能力提升训练

1. 在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA 的延长线于点F，若BF＝12，则△FBC的面积为()

A. 40

B. 46

C. 48

D. 50

第1题图第2题图

2. 如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC 交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法中正确的个数有()

①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠DAP＝∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE＝30°，则∠AEB＝80°.

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

3. 如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM＝PN恒成立；(2)OM＋ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为()

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

第3题图

4.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE.

(1)如图①，若AB＝42，BE＝5，求AE的长；

(2)如图②，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD，CF.当AF＝DF时，求证：DC＝BC.

第4题图

5. 注重开放探究(9分)已知四边形ABCD中，AB＝AD, AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过点A作AH⊥CD于H，交BE于F.

(1)如图①，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；

(2)如图②，当E不在CD的延长线上时，BF＝EF还成立吗？请证明你的结论．

第5题图

三、拓展培优训练

如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B＝35°，BC＝AI＋AC，则∠B A C的度数为________．

第1题图

参考答案

1. D

2. D

3. C

4. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AD ∥BC ，∴∠DAC

＝∠ACB ，在△OAE 和△OCF 中，???∠DAC ＝∠ACB OA ＝OC

∠AOE ＝∠COF

，∴△OAE ≌△OCF (ASA )，∴CF ＝AE ，OE ＝OF ，∵OE ＝1.5，∴EF ＝2OE ＝3，∵?ABC D 的周长为18，∴AD ＋DC ＝9，∴四边形EFCD 的周长＝DE ＋EF ＋CF ＋C D ＝DE ＋AE ＋CD ＋EF ＝AD ＋CD ＋EF ＝9＋3＝12.

5. AC ＝DF (答案不唯一) 【解析】∵FB ＝CE ，∴B C ＝EF ，∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ，由三角形全等的判定定理可知添加的条件为：AC ＝DF (SAS )或∠B ＝∠E (ASA )或∠A ＝∠D (AAS )．

6. 1.5 【解析】如解图，连接AD ，∵Rt △ABC ≌Rt △DCB ，∴∠ABC ＝∠BCD ＝90°，且AB ＝CD ，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是矩形，∴OD ＝12BD ＝12AC ＝1.5.

第6题解图

7. 1＜m ＜4 【解析】如解图，延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∵在△ABD 和△ECD 中，BD ＝CD ，DE ＝AD ，∠ADB ＝∠EDC ，∴△ABD ≌△ECD ，∴AB ＝EC ，∴在△AEC 中，AC ＋EC ＞AE ，且EC －AC ＜AE ，即AB ＋AC ＞2AD ，AB －AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4，即1＜m ＜4.

第7题解图

8. ①④ 【解析】在△ABC 与△ADC 中，???AB ＝AD

BC ＝DC AC ＝AC

，∴△ABC ≌△A D C(SSS )，

∴∠ABC ＝∠ADC ，故①正确；∵△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∠BCA ＝∠DCA ，∴AC 平分∠BAD 和∠BCD ，而AB 与BC 不一定相等，∴BD 不一定平分∠ABC 和∠ADC ，故③错误；又∵AB ＝AD ，∠BAC ＝∠CAD ，∴OB ＝OD ，∴AC ，BD 互相垂直，但不互相平分，故②错误；∵AC ，BD 互相垂直，∴四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·B O ＋12AC ·OD ＝1

2AC ·BD .故④正确，综上所述，

正确的结论是①④. 9. 证明：∵BE ＝CF ，

∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF ， 在△ABC 和△DEF 中，

???AB ＝DE

BC ＝EF AC ＝DF

， ∴△ABC ≌△DEF (SSS ) ∴∠ABC ＝∠DEF .

10. 证明：∵DE ⊥AB ，CF ⊥AB ， ∴∠AFC ＝∠BED ＝90°， 又∵AE ＝BF ，

∴A E ＋EF ＝BF ＋EF ， ∴AF ＝BE ，

在△ACF 和△BDE 中，

???AF ＝BE

∠AFC ＝∠BED CF ＝DE

， ∴△ACF ≌△BDE (SAS )， ∴∠A ＝∠B ， ∴AC ∥BD .

11. 证明：∵∠ABC ＝∠ACB ， ∴AB ＝AC ，

∵点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点， ∴BD ＝12AB ，CE ＝1

2AC ， ∴BD ＝CE ，

又∵∠ABC ＝∠ACB ，BC ＝CB ， ∴△CBE ≌△BCD (SAS )， ∴BE ＝CD .

12. (1)证明：在△ABD 与△ACE 中，

???AB ＝AC ∠B ＝∠C BD ＝CE

， ∴△ABD ≌△ACE(SAS )， ∴∠1＝∠2； (2)解：∵CM ∥AB ， ∴∠M ＝∠1， 又∵∠C ＝∠B ，

∴△AMC ∽△DAB ， ∴MC AB ＝AC BD ， ∴MC ＝AB·AC BD ＝9

2.

13. (1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ， ∴∠AOD ＝∠BOE ，

在△AOD 和△BOE 中，∠A ＝∠B ， ∴∠BEO ＝∠2， 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO ， ∴∠AEC ＝∠BED ， 在△AEC 和△BED 中，

???∠A ＝∠B

AE ＝BE

∠AEC ＝∠BED

， ∴△AEC ≌△BED (ASA )； (2)解：∵△AEC ≌△BED ， ∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE ，

∵在△EDC 中，EC ＝ED ，∠1＝42°， ∴∠C ＝∠EDC ＝69°， ∴∠B D E ＝∠C ＝69°.

14. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠CFE ，

又∵∠A E D ＝∠FEC ，DE ＝CE ，

∴△ADE ≌△FCE (AAS )； (2)解：由(1)知，△ADE ≌△FCE ， ∴AD ＝FC ，

∵在?ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝2BC ， ∴AB ＝FB ，

∴∠BAF ＝∠F ＝36°， ∴∠B ＝180°－2×36°＝108°.

15. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ， ∴在△ABE 与△CDF 中，

???AB ＝CD

∠ABE ＝∠CDF BE ＝DF

， ∴△ABE ≌△CDF (SAS )， ∴AE ＝CF ；

(2)解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AO ＝OB ， ∵∠COD ＝60°， ∴∠AOB ＝60°， ∴△AOB 为等边三角形， ∴AO ＝AB ＝6， ∴AC ＝12，

在Rt △ABC 中，由勾股定理可得 BC ＝AC 2－AB 2＝63，

∴矩形ABCD 的面积＝AB ·BC ＝6×63＝36 3. 16. (1)证明：∵△ABC 是等边三角形，

∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠C ， 在△ABD 和△CAE 中，

???AB ＝CA

∠BAD ＝∠C AD ＝CE

， ∴△ABD ≌△CAE (SAS )； (2)解：∵△ABD ≌△CAE ， ∴∠ABD ＝∠CAE ，

∴∠APD ＝∠ABP ＋∠PAB ＝∠BAC ＝60°， ∴∠BPF ＝∠APD ＝60°， ∴在Rt △BFP 中，∠PBF ＝30°， ∴PF ＝12BP ＝12×6＝3. 能力提升训练

1. C 【解析】∵CE ⊥BD ，∴∠BEF ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠CAF ＝90°，∴∠F AC ＝∠BAD ＝90°，∠ABD ＋∠F ＝90°，∠ACF ＋∠F ＝90°，∴∠ABD ＝

∠ACF ，∵在△ABD 和△ACF 中，???∠BAD ＝∠CAF AB ＝AC ∠ABD ＝∠ACF

，∴△ABD ≌△ACF (ASA )，

∴AD ＝AF ，∵AB ＝AC ，D 为AC 中点，∴AB ＝AC ＝2AD ＝2AF ，∵BF ＝AB ＋AF ＝12，∴3AF ＝12，∴AF ＝4，∴AB ＝AC ＝2AF ＝8，∴△FBC 的面积＝1

2×BF ×AC ＝1

2×12×8＝48.

2. C 【解析】∵△DAC 、△ECB 都是等边三角形，∴AC ＝CD ，BC ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ADC ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACE ＝∠BCD ，∵∠DCE ＝60°，∴AD ∥CE ，∴∠DAP ＝∠PEC ，故③正确；在△ACE 与△DCB 中，

???AC ＝CD

∠ACE ＝∠BCD CE ＝CB

，∴△ACE ≌△DCB (SAS )，∴∠C A E ＝∠CDB ，又∵∠PMD ＝∠AMC ，∴∠DPM ＝∠ACM ＝60°，故②正确；在△ACM 与△DCN 中，

???∠CAM ＝∠CDN

AC ＝CD

∠ACM ＝∠DCN ＝60°

，∴△ACM ≌△DCN (ASA )，故④正确；∴CM ＝CN ，∴△CMN 是等边三角形，∴∠CMN ＝60°，∴∠CMN ＝∠ACD ，∴MN ∥AB ，故①正确；∵∠DBE ＝30°，∠BPE ＝∠APD ＝60°，∴∠AEB ＝90°，故⑤错误．综上所述，正确的个数是①②③④，共4个．

第3题解图

3. B 【解析】如解图，过点P 分别作OA 、OB 的垂线PC 、PD ，根据角平分线的性质可得PC ＝PD ，∵OP 为定值，∴OC ＝OD ，∵∠AOB 为定角，∠MPN 与∠AOB 互补，∴∠MPN 也为定角，∵∠CPD 与∠AOB 也互补，∴∠MPN ＝∠CPD ，∴∠MPC ＝∠NPD ，∴△MPC ≌△NPD ，∴CM ＝DN ，MP ＝NP ，故(1)正确；∵OM ＋ON ＝OC ＋CM ＋OD －DN ，∴OM ＋ON ＝OC ＋OD ，∵OC ＝OD 为定长，∴OM ＋ON 为定长，故(2)正确；∵△MPC ≌△NPD ，∴S 四边形MONP ＝S △CMP ＋S 四边形CONP ＝S △NPD ＋S 四边形CONP ＝S 四边形CODP ，∴四边形MONP 面积为定值，故(3)正确；∵Rt △MPC 中，MP 为斜边，CP 为直角边，∴可设MP ＝k ·CP ，∴PN ＝k ·DP ，∵∠MPN ＝∠CPD ，∴△MPN ∽△CPD ，其相似比为k ，∴MN ＝k ·CD ，当点M 与点C 重合，点N 和点D 重合时，MN ＝CD ，当点M 与点C 不重合，点N 与点D 不重合时，MN ≠CD ，∴MN 的长度在发生变化，故(4)错误．

4. (1)解：在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝45°， ∴AC ＝BC ＝AB ·sin45°＝4，

∴在Rt △BCE 中，CE ＝BE 2－BC 2＝3， ∴AE ＝AC －CE ＝4－3＝1；

(2)证明：如解图，过C 点作CM ⊥CF 交BD 于点M ，

第4题解图 ∴∠FCM ＝90°， ∴∠FCA ＝∠MCB ， ∵AF ⊥BD ， ∴∠AFB ＝90°， ∴∠AFE ＝∠ACB ， ∵∠AEF ＝∠BEC ， ∴∠CAF ＝∠CBM ， 在△ACF 和△BCM 中，

???∠FCA ＝∠MCB

AC ＝BC

∠CAF ＝∠CBM

， ∴△ACF ≌△BCM (ASA )， ∴FC ＝MC ， 又∵∠FCM ＝90°， ∴∠CFM ＝∠CMF ＝45°，

∴∠AFC ＝∠AFB ＋∠CFM ＝90°＋45°＝135°，

∠DFC ＝180°－∠CFM ＝180°－45°＝135°， ∴∠AFC ＝∠DFC ， 在△ACF 和△DCF 中，

???AF ＝DF

∠AFC ＝∠DFC CF ＝CF

， ∴△ACF ≌△DCF (SAS )， ∴AC ＝DC ， ∵AC ＝BC ， ∴DC ＝BC .

5. 解：(1)证明：①∵AB ⊥AD ，AE ⊥AC ， ∴∠BAD ＝∠CAE ＝90°，

∴∠BAD －∠CAD ＝∠CAE －∠CAD ， 即∠BAC ＝∠DAE ， 又∵AB ＝AD ，AC ＝AE ， ∴△ABC ≌△ADE (SAS )；

②由①知△ABC ≌△ADE ，AE ＝AC ，∠ACB ＝∠AED ， ∵AH ⊥CD ，

∴∠AED ＝∠ACD ＝45°，CH ＝HE ， ∴∠ACB ＝∠AED ＝45°，

∴∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝90°， ∴AH ∥BC ，

∴点F 是BE 的中点，即BF ＝EF ；

第5题解图

(2)成立．证明如下：如解图，过点B 作BG ∥AE ，交AH 于点G ， ∵AE ∥BG ， ∴∠AGB ＝∠GAE ，

∵∠ACH ＋∠CAH ＝90°，∠GAE ＋∠CAH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠GAE ， ∴∠AGB ＝∠ACD ，

∵∠BAG ＋∠DAH ＝90°，∠ADC ＋∠DAH ＝90°， ∴∠BAG ＝∠ADC ， 又∵AB ＝AD ，

∴△ABG ≌△DAC(AAS)， ∴BG ＝AC ， ∵AC ＝AE ， ∴BG ＝AE ， ∵BG ∥AE ， ∴∠AEF ＝∠GBF ， ∴△BFG ≌△EFA(AAS)， ∴BF ＝EF. 拓展培优训练

1. 70° 【解析】如解图①，在BC 上取CD ＝AC ，连接BI 、DI ，∵CI 平分∠ACB ，

∴∠ACI ＝∠BCI ，在△ACI 与△DCI 中，

???AC ＝CD

∠ACI ＝∠DCI CI ＝CI

，

∴△ACI ≌△DCI(SAS)，∴AI ＝DI ，∠CAI ＝∠CDI ，∵BC ＝AI ＋AC ，∴BD ＝AI ，∴BD ＝DI ，∴∠IBD ＝∠BID ，∴∠CDI ＝∠IBD ＋∠BID ＝2∠IBD ，又∵AI 、CI 分别是∠BAC 、∠ACB 的平分线，∴BI 是∠ABC 的平分线，∴∠ABC

＝2∠IBD ，∠BAC ＝2∠CAI ，∴∠CDI ＝∠ABC ，∴∠BAC ＝2∠CAI ＝2∠CDI ＝2∠ABC ，∵∠B ＝35°，∴∠BAC ＝35°×2＝70°.

【一题多解】如解图②，延长CA 到D ，使AD ＝AI ，∴∠D ＝∠AID ，∵BC

＝AI ＋AC ，∴BC ＝CD ，在△BCI 与△DCI

中，???BC ＝CD

∠BCI ＝∠DCI CI ＝CI

，

∴△BCI ≌△DCI(SAS)，∴∠D ＝∠CBI ，∵AI 、CI 分别是∠BAC 、∠ACB 的平分线，∴BI 是∠ABC 的平分线，∴∠ABC ＝2∠CBI ，又∵∠CAI ＝∠D ＋∠AID ＝2∠D ，∠BAC ＝2∠CAI ＝2∠ABC ，∵∠B ＝35°，∴∠BAC ＝2×35°＝70°.

全等三角形培优讲义

全等三角形常见辅助线作法 1 ------------------- 精准诊查 高 与三角形有关的线段 中线 角平分线 性质 直角三角形判定 多边形及其内角和 【导学】全等三角形 第一部分：知识点回顾 常见辅助线的作法有以下几种： 1） 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的 2） 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全 等变换中的“旋转” ? 3） 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中 的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4） 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻 【知识导 图】 概念 ( <~ 1 三边之和大于等于第三边 稳定性 三角形 与三角形有关的角 三角形内角和定理 三角形的外角 “对折”.

转折叠” 5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明?这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目. 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答. 第二部分：例题剖析 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5 AC=3贝忡线AD的取值范围是___________________ A 例2、如图，△ ABC中，E、F分别在AB AC上，DEL DF, D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 例3、如图，△ ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.

全等三角形培优竞赛讲义(四)等腰三角形

全等三角形培优竞赛讲义（四） 等腰三角形 【知识点精读】－、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线

全等三角形的性质及判定(讲义)

全等三角形的性质及判定（讲义） ? 课前预习 1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合 吗，为什么？ ①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形； ②三棱柱上下底面的两个三角形； ③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图． ? 知识点睛 1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做 三角形．三角形可用符号“________”表示． 2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号 “_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等． 3. 全等三角形的判定定理：______________________________． ? 精讲精练 1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对 应角∠B =∠DEF ，_________，__________． F E D C B A A C B 1 2 O 第1题图 第2题图 2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________， 对应角∠1=∠2，____________，____________． 3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． 4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． E D C B A

最新全等三角形专题分类复习讲义

第三章全等三角形专题分类复习 一．考点整理 1.三角形的边角关系 2.三角形全等 3.三角形当中的三线（角平分线、中线和高线的性质） 在三角形中，三角形的三线分别交于一点。 注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳： （1） (2) __________D ∠= ___________D ∠= （3） __________D ∠= 3.尺规作图 （1）作满足题意的三角形 （2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题） 角：内角和180度，余角和90度 边：构成三角形三边的条件 （1）证三角形全等（SSS/ASA/AAS/SAS/HL ） （2）证边等或角等（证三角形全等、等量代换、证等腰三角形） （3）证“AE=BD+CE ”等（证线段之间的等量关系）类似问题（三角形全等证边等代换、截长补短） （4）证线段之间的位置关系（垂直或平行 方法：证明角等代换） A D B C A B C D A B C D

考点1：证明三角形全等 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 练习：已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD. （1）求证：△AGE ≌△DAB （2）过点E 作EF ∥DB ，交BC 于点F ，连结AF ，求∠AFE 的度数. 考点2：求证线段之间的数量关系（截长补短） 例1:如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． D A B C G E F

《全等三角形》培优题型全集

《全等三角形》培优题型全集

2 《全等三角形》培优题型全集 题型一：倍长中线（线段）造全等 1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于 F ，且 AE=EF ，求证：AC=BF A C E F 2、如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是______. D C B A 3、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7，则AB 边的取值范围是( ) A 、1

全等三角形的性质及判定(经典讲义)

全等三角形的性质及判定 1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等． （2）全等三角形的对应边上的高相等， 对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等． （3）全等三角形的周长、面积相等． 3、全等三角形判定方法： （1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ） （2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ） 专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等 例题1：下列说法，正确的是（ ） A.全等图形的面积相等 B.面积相等的两个图形是全等形 C.形状相同的两个图形是全等形 D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠=. 【仿练1】如图2，已知ABC ADE ???，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是. 【仿练2】如图 3，ABC ADE ???，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= . 、 图4 E D C B A 图2 图3 M D N B C 图1

三角形全等的判定一（SSS ） 相关几何语言考点 ∵AE=CF ∵CM 是△的中线 ∴_____________( ) ∴____________________ ∴__________（） 或 ∵AC=EF ∴____________________ ∴__________（） AB=AB （ ） 在△ABC 和△DEF 中 ∵?? ? ??___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） 例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？ 例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ． 求证△ACD ≌△CBE ． B F E C A F E D C B A C M B A B A

全等三角形讲义知识点+典型例题(完美打印版)

B P A a 专题 三角形的尺规作图 知识点解析 作三角形的三种类型： ① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA % ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS 典型例题 【例1】作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . ， 【例2】作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AOB 。 求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB 【例3】已知三边作三角形 已知：如图，线段a ，b ，c. ' 求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法： 【例4】已知两边及夹角作三角形 已知：如图，线段m ，n, ∠ .

求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n. … 【例5】已知两角及夹边作三角形 已知：如图，∠α，∠β，线段c . 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c. @ 随堂练习 1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（） A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角 C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定 2． 3．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（） A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角 # C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角 D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角 3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边 C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角 4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（） A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半 % C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线 专题利用三角形全等测距离 知识点解析

2019中考全等三角形经典培优题(教师版)

2017中考全等三角形经典培优题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C

3已知：∠1=∠2，CD=DE，EF ? = ∠90 ACB BC AC=MN C MN AD⊥D MN BE⊥E1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE+ =； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立， 请给出证明；若不成立，说明理由. 15如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证： （1）EC=BF；（2）EC⊥BF C D B A B C D P D A C B F A E D C B A P E D C B A D C B M F E C B A C B D E F A E B M C F B A C D F 2 1 E

16．如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由 17．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ． A B C D E F 图9

全等三角形证明经典（答案） 1. 延长AD到E,使DE=AD, 则三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE

全等三角形培优讲义

全等三角形培优讲义 The final edition was revised on December 14th, 2020.

全等三角形常见辅助线作法 【知识导图】 【导学】全等三角形 第一部分：知识点回顾 常见辅助线的作法有以下几种： 1) 遇到等腰三 角形，可作底边上的高，利用“三线合 一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式 是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换 中的“平移”或“翻转折叠” 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是 将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 第二部分：例题剖析 精准诊查 概念 三边之和大于等于第三边稳定性 与三角形有关的线段 高 中线角平分线 与三角形有关的角 三角形内角和定理三角形的外角 直角三角形 性质判定 多边形及其内角和 三角形

D C B A E D F C B A E D C B A D C B A O E D C B A 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小. 例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝ AC+BD 3、如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=， 040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A 5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 应用： 三、平移变换 例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD

八年级数学上册 全等三角形讲义 (新版)苏科版

全等三角形 重难点易错点解析 题一 题面：下列说法中： ①能够完全重合的两个三角形是全等三角形； ②通过旋转得到的两个图形全等，全等的两个图形旋转后一定能重合； ③大小相同的两个图形是全等图形； ④一个图形经过平移、翻折、旋转后.得到的图形一定与原图形全等. 其中正确的个数有（）. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 全等的定义与形成 两个能够完全重合的图形叫做全等形 我们可以通过平移、翻折、旋转得到全等图形 题二 （1）已知△ABC≌△ABD，AB=6，AC=7，BC=8，则AD=（） A．5 B．6 C．7 D．8 （2）已知△ABC≌△ADC，∠BAC=60°，∠ACD=23°，那么∠D=（）A．87°B．97° C．83° D．37° 全等的性质 全等图形对应边相等，对应角相等 金题精讲 题一 题面： （1）如图，△ABC≌△DCB，若∠A=80°，∠ACB=40°，则∠ACD等于（）A．80°B．60°C．40°D．20°

E D B A C （2）如图所示，△ACE ≌△DBF ，AD =9cm ，BC =5cm ，则AB 的长是（ ）cm A ．5 B ．4 C ．2 D ．1 B F C A D E 全等图形边和角的性质 题二 题面：如果△ABC 的三边长分别为5，12，13，△DEF 的三边长分别为5，52x ，x 24，若这 两个三角形全等，则x 为 . 全等三角形对应边相等 题三 题面： （1）在平面直角坐标系中有不同的三点A 、B 、C ，其中A （4，0）、B （0，2），当△COB ≌△AOB 时，点C 的坐标为 . （2）在平面直角坐标系中有不同的三点A 、B 、C ，其中A （4，0）、B （0，2），当点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 全等时，点C 的坐标为 . 全等三角形的性质

人教版--全等三角形讲义

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全等三角形 全等三角形性质 图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．?表示，读作 ．．．．． “全等于” ．．．．． 全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEF ABC? ?和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作DEF ABC? ? ?。 F D A B C 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等； ．．．．．．．．．．．．全等三角形的对应角相等。 ．．．．．．．．．．．．1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（） A．①②③④ B．①③④C．①②④D．②③④ 2.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_______,∠BAD的对应角是______． 3.已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______． 4.如图:△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是______________,对应角是____________________． 5.已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另外两组对应角是_____． 2题3题4题5题

《全等三角形》数学培优作业

A B C D E 固始三中八年级上期《全等三角形》数学培优作业 （考查内容：边角边） 命题人：吴全胜1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF。 2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF． 求证：△ABE≌△CDF． 3、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE 4、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知：如图，AD∥BC，CB AD=。求证：CBA ADC? ? ?。 6、已知：如图，AD∥BC，CB AD=，CF AE=。求证：CEB AFD? ? ?。 7、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DB AC=，DF AE=，AD EA⊥，AD FD⊥，垂足分别是A、D。求证：FDC EAB? ? ?

8、已知：如图，AC AB=，AE AD=，2 1∠ = ∠。求证：ACE ABD? ? ?。 9、如图，在ABC ?中，D是AB上一点，DF交AC于点E，FE DE=，CE AE=， AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。 10、已知：如图，DBA CAB∠ = ∠，BD AC=。求证∠C=∠D 11、已知：如图，AC和BD相交于点O，OC OA=，OD OB=。 求证：DC∥AB。 12、已知：如图，AC和BD相交于点O，DC AB=，DB AC=。求证：C B∠ = ∠。 13、已知：如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE． 求证：(1)BD=FC (2)AB∥CF 14、已知: 如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D．求证：BD=CD． 15、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证： BE=AD D C A B E

八年级数学全等三角形一对一辅导讲义

八数第二周辅导资料（TH）2016.09.10 辅导容：全等三角形（1） 知识梳理：一、全等图形（概念及其性质） 二、全等三角形（概念及其性质） 三、全等三角形的判定 （1）、判定全等三角形的方法： （2）、找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。 （1）缺个角的条件： 1、公共角 2、对顶角 3、两全等三角形的对应角相等 4、等腰三角形 5、同角或等角的补角（余角） 6、等角加（减）等角

7、平行线8、等于同一角的两个角相等（2）缺条边的条件： 9、两全等三角形的对应边相等 8、线段垂直平分线上的点 到线段两端距离相等 7、等面积法 6、等腰三角形 5、角平分线性质 4、等量差 3、等量和 2、中点 1、公共边

10、等于同一线段的两线段相等 基础测试： 1．如图（1），△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则__________≌__________． 2．斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是__________，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是__________． 3．已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB=____________，BC=____________，AC=____________． 图（1）图（2）图（3） 如图（2），AC=BD，要使△ABC≌△DCB还需知道的一个条件是__________ 如图（3），若∠1=∠2，∠C=∠D，则△ADB≌__________，理由______________________．不能确定两个三角形全等的条件是（） A．三边对应相等B．两边及其夹角相等 C．两角和任一边对应相等D．三个角对应相等

全等三角形专题培优[带答案]

全等三角形专题培优 考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟 卷I（选择题） 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可 供选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定 卷II（非选择题） 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合） ，交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得

全等三角形的讲义讲义

全等三角形 专题一 全等三角形的性质 【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。） 【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。 【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空： (1)AB 与 是对应边，BC 与 是对应边， CA 与 是对应边； (2)∠A 与 是对应角，∠ABC 与 是对应角， ∠BAC 与 是对应角 【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。 (1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。 【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ . 【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等） 【例题2】 （海南省中考卷第5题） 已知图2中的两个三角形全等，则∠ 度数是（ ） A.72° B.60° C.58° D.50° D A B C O E A B C D

【例题3】（）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则 1C ∠= ． 【练习2】 如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A 20° B ．30° C ．35° D ．40° 【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ， 且∠ABD=90°。 （1）△ABD 和△EBC 是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。 （2）若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE 的长吗？ （3）直线AD 和直线CE 有怎样的位置关系？请说明理由。 专题二 全等三角形的判定 【知识点1】SSS ：三边对应相等的两个三角形全等。 简写为“边边边”或“SSS". 【例题1】如图，AB=AD ，BC=CD 求证：∠BAC=∠DAC 。 A B C C 1 A 1 B 1 C B B ' A '

全等三角形专题分类复习讲义

第三章 全等三角形专题分类复习 一．考点整理 1.三角形的边角关系 2.三角形全等 3." 4.三角形当中的三线（角平分线、中线和高线的性质） 在三角形中，三角形的三线分别交于一点。 注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳： __________D ∠= ___________D ∠= （3） ， __________D ∠= 3.尺规作图 （1）作满足题意的三角形 （2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题） 角：内角和180度，余角和90度 边：构成三角形三边的条件

考点1：证明三角形全等 例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证： ACF BDE ???。 $ 练习：已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD. （1）求证：△AGE ≌△DAB （2）过点E 作EF ∥DB ，交BC 于点F ，连结AF ，求∠AFE 的度数. $ 考点2：求证线段之间的数量关系（截长补短） 例1:如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ． & ; D A B C % G E F

P Q C B A E D A : 例2：如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ． ? 变式： 如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=，0 40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP ； 练习：如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。

全等三角形培优竞赛讲义(二)

全等三角形培优竞赛讲义（二） 【知识点精读】 1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。 2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 4. 寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 相等的角是对应角，相等的边是对应边；相等的角所对的边是对应边，相等的边所对的角是对应边；两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。 ①翻折如图（1）?BOC≌?EOD，?BOC可以看成是由?EOD沿直线AO翻折180?得到的； ②旋转如图（2）?COD≌?BOA，?COD可以看成是由?BOA绕着点O旋转180?得到的； ③平移如图（3）?DEF≌?ACB，?DEF可以看成是由?ACB沿CB方向平行移动而得到的。 5. 判定三角形全等的方法： （1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理 （2）推论：角角边定理 6. 注意问题： （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等； （2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在

全等三角形及三角形全等的条件一对一辅导讲义

课题全等三角形及三角形全等的条件 1、掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。 教学目的 2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。 教学内容 一、课前检测 1．如图（1），△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则__________≌__________． 2．斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是__________，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是__________． 3．已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB=____________，BC=____________，AC=____________． 图（1）图（2）图（3） 4．如图（2），AC=BD，要使△ABC≌△DCB还需知道的一个条件是__________ 5．如图（3），若∠1=∠2，∠C=∠D，则△ADB≌__________，理由______________________． 6．不能确定两个三角形全等的条件是（） A．三边对应相等B．两边及其夹角相等 C．两角和任一边对应相等D．三个角对应相等 7·△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，若△ABC≌△DEF还需要（） A．∠B=∠E B．∠C=∠F C．AC=DF D．前三种情况都可以 8·在△ABC和△A′B′C′中①AB=A′B′②BC=B′C′③AC=A′C′④∠A=∠A′⑤∠B=∠B′ ⑥∠C=∠C′，则下列哪组条件不能保证△ABC≌△A′B′C′（） A．具备①②④B．具备①②⑤C．具备①⑤⑥D．具备①②③ 参考答案：1．△ADB△ADC2．ASA（或AAS）SSS3．9 cm12 cm11 cm4．∠ACB=∠DBC或AB=CD 5．△ACB AA S 6·D 7·D 8·A 二、知识梳理 知识要点： 要点1：全等三角形的概念及其性质 （1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （2）全等三角形性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等

全等三角形培优讲义之令狐文艳创作

全等三角形常见辅助线作法 令狐文艳 【知识导图】 【导学】全等三角形 第一部分：知识点回顾 常见辅助线的 作法有以下几种： 1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用 精准诊查 概念 三边之和大于等于第三边稳定性 与三角形有关的线段 高 中线角平分线 与三角形有关的角 三角形内角和定理三角形的外角 直角三角形 性质判定 多边形及其内角和 三角形

令狐文艳

令狐文艳 040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是 BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0 180 =∠+∠C A 5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 应用： 三、平移变换 例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 例 2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD 2、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长. 五、旋转 O E D C B A D C B A

最新全等三角形证明基础知识梳理及证明

高坪剑桥英语一对一讲义：第一讲 全等三角形证明基础知识梳理及证明 一、填空题 1．_ ____的两个图形叫做全等形. 2．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质． 3．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF 的对应角是_____． 图1－1 图1－2 图1－3 4．如图1－1所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____ （2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____； （3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____． 5．如图1－2，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°． 6．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 二、选择题 7．已知：如图1－3，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（） A．DB B．BC C．CD D．AD 8．下列命题中，真命题的个数是（） ①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等 A．4B．3C．2D．1 9．如图1－4，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（） A．6 B．5C．4D．无法确定 图1-4 图1-5 图1-6 10．如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC 11．如图1－6，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25° 三、解答题 12．已知：如图1－7所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．

2020年中考数学全等三角形专题复习讲义(含答案)

2020年中考数学全等三角形专题复习讲义 一、基础达标训练 1. 下列说法正确的是() A. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 B. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 C. 两个等边三角形是全等三角形 D. 全等三角形是指两个能完全重合的三角形 2. 如图，在△AB C和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，补充下列哪一条件后， 能应用“SAS”判定△ABC≌△DEF() 第2题图 A. ∠A＝∠D B. ∠ACB＝∠DFE C. AC＝DF D. BE＝CF 3.如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠F AB ＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠F AC，其中正确结论的个数是() 第3题图第4题图 4.如图，EF过?ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若?ABCD的

周长为18，OE ＝1.5，则四边形EFCD 的周长为( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 10 5.如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，已知FB ＝CE ，AC ∥DF ，请你添加一个适当的条件________使得△ABC ≌△DEF . 第5题图 第6题图 6. 如图，Rt △ABC ≌Rt △DCB ，两斜边交于点O ，如果AC ＝3，那么OD 的长为________． 7.△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是△ABC 的中线，设AD 长为m ，则m 的取值范围是________． 第8题图 8. 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，下列结论中：①∠ABC ＝∠ADC ；②AC 与BD 相互平分；③AC ，BD 分别平分四边形ABCD 的两组对角；④四边形ABCD 的面积S ＝1 2AC ·BD . 正确的是__________．(填写所有正确结论的序号) 9.如图，点E 、C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB ＝DE ，AC ＝DF . 求证：∠ABC ＝∠DEF .