2019年全国高考理科数学分类汇编——解析几何
1.(2019北京理科)已知椭圆22
22 1x y a b
+=(a >b >0)的离心率为12,则
A. a 2=2b 2
B. 3a 2=4b 2
C. a =2b
D. 3a =4b
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2
221,2
c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识?基本运算能力的考查.
2.(2019北京理科)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C :2
2
1||x y x y +=+就是其中之一(如图).给出下列三个结论:
①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线C ; ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中,所有正确结论的序号是 A. ① B. ②
C. ①②
D. ①②③
【答案】C 【解析】 【分析】
将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数,结合均值不等式可得曲线上的
点到坐标原点距离的最值和范围,利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【
详
解】由
221x y x y
+=+得,
22
1y x y x -=-,
2
222
||3341,10,2443x x x y x ??-=-- ?
?
?厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线2
2
:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由2
2
1x y x y +=+得,22
2
2
12
x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到
. 结论②正确.
如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13
111122
ABCD S =
??+?=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.
故选C.
【点睛】本题考查曲线与方程?曲线的几何性质,基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识?基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.
3.(2019北京理科)已知抛物线C :x 2
=?2py 经过点(2,?1).
(Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程;
(Ⅱ)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y =?1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.
【答案】(Ⅰ) 2
4x y =-,1y =;
(Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程,进一步可得准线方程;
(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程,结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径,从而确定圆的方程,最后令x =0即可证得题中的结论.
【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程:()2
221p =?-可得:2p =,
故抛物线方程为:2
4x y =-,其准线方程为:1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在,焦点坐标为()0,1-,
设直线方程为1y kx =-,与抛物线方程2
4x y =-联立可得:2440x kx +-=. 故:12124,4x x k x x +=-=-
设22
1212,,,44x x M x N x ????-- ? ??
???,则12,44OM ON x x k k =-=-,
直线OM
方程为1
4x y x =-
,与1y =-联立可得:14,1A x ??- ???,同理可得24,1B x ??- ???
, 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为:1222,1x x ??+- ???,圆的半径为:1222
x x -, 且:()1212122222x x k x x x x ++
==,
12
222x x -==
则圆的方程为:()()(
)
2
2
2
2141x k y k -++=+,
令0x =整理可得:2
230y y +-=,解得:123,1y y =-=,
即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.
【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定,直线与抛物线的位置关系,圆的方程的求解及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.(2019全国1卷理科)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足
.
的
,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是
.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是
A. 165 cm
B. 175 cm
C. 185 cm
D. 190cm
【答案】B 【解析】 【分析】
理解黄金分割比例的含义,应用比例式列方程求解.
【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ,肚脐至腿根的长为y cm ,则
26261
1052
x x y +==+,得42.07, 5.15x cm
y cm ≈≈.又其腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为26cm ,所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm .故选B . 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取类比法,利用转化思想解题.
5.(2019全国1卷理科)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于
A ,
B 两点.若222AF F B =││││,1AB BF =││││,则
C 的方程为
A. 2
212
x y +=
B. 22
132x y +=
C. 22
143
x y +=
D.
22
154
x y += 【答案】B
【解析】 【分析】
可以运用下面方法求解:如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.
在12AF F △和12BF F △中,由余弦定理得222122
2144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?
,又2121,A F F B F F ∠∠互补,2121c o s c o s 0A F F B F F ∴∠+∠=,
两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,,得223611n n +=,
解得2
n =
.22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22
132
x y +=,故选B . 【详解】如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有
121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在1A F B △中,由余弦定理推论得
22214991cos 2233
n n n F AB n n +-∠==??.在12
AF F △中,由余弦定理得22
14422243n n n n +-???=,
解得n =
.
2
2
2
24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22
132
x y +=,
故选B .
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.
6.(2019全国1卷理科)已知双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1,
F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB =,120F B F B ?=,则C 的离心率为____________. 【答案】2. 【解析】 【分析】
通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥,得到1AOB AOF ∠=∠,结合双曲线的渐近线
可得21,BOF AOF ∠=∠0
2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由
0tan 60b
a
==可求
离心率. 【详解】如图,
由1,
F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线,即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =,得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠,
又OA 与OB 都是渐近线,得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=,得
02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=.又渐近线OB 的斜率为
0tan 60b
a
==所以该双曲
线的离心率为2c e a =
===. 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养.采取几何法,利用数形结合思想解题.
7.(2019全国1卷理科)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3
2
的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .
(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若3AP PB =,求|AB |. 【答案】(1)12870x y --=;(2
【解析】 【分析】
(1)设直线l :
3
y =x m 2
+,()11,A x y ,()22,B x y ;根据抛物线焦半径公式可得121x x =+;联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理可构造关于m 的方程,解方程求得结果;(2)设直线l :2
3
x y t =
+;联立直线方程与抛物线方程,得到韦达定理的形式;利用3AP PB =可得123y y =-,结合韦达定理可求得12y y ;根据弦长公式可求得结果.
【详解】(1)设直线l 方程为:3
y =
x m 2
+,()11,A x y ,()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知:12342AF BF x x +=++= 125
2
x x ∴+=
联立232
3y x m y x
?
=+???=?得:()229121240x m x m +-+= 则()2
212121440m m ?=--> 1
2m ∴<
1212125
92m x x -∴+=-=,解得:78
m =-
∴直线l 的方程为:37
28
y x =
-,即:12870x y --= (2)设(),0P t ,则可设直线l 方程为:2
3
x y t =+
联立223
3x y t y x
?
=+???=?得:2230y y t --= 则4120t ?=+> 1
3
t ∴>-
122y y ∴+=,123y y t =-
3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-
,13y = 123y y ∴=-
则AB ==
=
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题,涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立,通过韦达定理构造等量关系.
8.(2019全国2卷理科)若抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y p
p
+
=的一个焦点,
则p = A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】D 【解析】 【分析】
利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程,即可解出p ,或者利用检验排除的方法,如2p =时,抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(±2,0),排除A ,同样可排除B ,C ,故选D .
【详解】因为抛物线2
2(0)y px p =>的焦点(,0)2
p
是椭圆
2231x y p p +=的一个焦点,所以23()2
p
p p -=,解得8p =,故选D .
【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养.
9.(2019全国2卷理科)设F 为双曲线C :22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标
原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2
交于P 、Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为
A.
B.
C. 2
D.
【答案】A 【解析】
【分析】
准确画图,由图形对称性得出P 点坐标,代入圆的方程得到c 与a 关系,可求双曲线的离心率.
【详解】设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ x ⊥轴,
又
||PQ OF c ==,||,2
c
PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径,
A ∴为圆心||2
c
OA =.
,22c c P ??
∴ ???
,又P 点在圆222x y a +=上,
22244c c a ∴+=,即2222
2,22c c a e a
=∴==.
e ∴=A .
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾,运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.
10.(2019全国2卷理科)已知点A (?2,0),B (2,0),动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为?
1
2
.记M 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交C 于P ,Q 两点,点P 在第一象限,PE ⊥x 轴,垂足为E ,
连结QE 并延长交C 于点G . (i )证明:PQG 是直角三角形;
(ii )求PQG 面积的最大值.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】 【分析】
(1)分别求出直线AM 与BM 的斜率,由已知直线AM 与BM 的斜率之积为?1
2
,可以得到等式,化简可以求出曲线C 的方程,注意直线AM 与BM 有斜率的条件;
(2)(i )设出直线PQ 的方程,与椭圆方程联立,求出P ,Q 两点的坐标,进而求出点E 的坐标,求出直线QE 的方程,与椭圆方程联立,利用根与系数关系求出G 的坐标,再求出直线PG 的斜率,计算PQ PG k k 的值,就可以证明出PQG 是直角三角形;
(ii )由(i )可知,,P Q G 三点坐标,PQG 是直角三角形,求出,PQ PG 的长,利用面积公式求出PQG 的面积,利用导数求出面积的最大值. 【详解】(1)直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+,直线BM 的斜率为(2)2
y x x ≠-,由题意可知:
221
24,(2)222
y y x y x x x ?=-?+=≠±+-,所以曲线C 是以坐标原点为中心,焦点在x 轴上,不包括左右两顶点的椭圆,其方程为()22
1,242
x y
x +=≠±;
(2)(i )设直线PQ 的方程为y kx =,由题意可知0k >,直线PQ 的方程与椭圆方程
2224x y +=联立,
即22
,2 4.x y kx x y y ?=?=?????+=??=??
或x y ?
=??
??=??
,点P 在第一象
限,所以P Q ,因此点E
的坐标为
直线QE 的斜率为2QE k k =
,可得直线QE
方程:2k y x =