2019年全国高考理科数学数学分类汇编---解析几何

2019年全国高考理科数学分类汇编——解析几何

1.（2019北京理科）已知椭圆22

22 1x y a b

+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则

A. a 2=2b 2

B. 3a 2=4b 2

C. a =2b

D. 3a =4b

【答案】B 【解析】 【分析】

由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2

221,2

c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识?基本运算能力的考查.

2.（2019北京理科）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：2

2

1||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ②

C. ①②

D. ①②③

【答案】C 【解析】 【分析】

将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的

点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【

详

解】由

221x y x y

+=+得,

22

1y x y x -=-,

2

222

||3341,10,2443x x x y x ??-=-- ?

?

?厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线2

2

:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.

由2

2

1x y x y +=+得,22

2

2

12

x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到

. 结论②正确.

如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13

111122

ABCD S =

??+?=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.

故选C.

【点睛】本题考查曲线与方程?曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识?基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.

3.（2019北京理科）已知抛物线C ：x 2

=?2py 经过点（2，?1）．

（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；

（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =?1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．

【答案】(Ⅰ) 2

4x y =-，1y =；

(Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；

(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.

【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2

221p =?-可得：2p =，

故抛物线方程为：2

4x y =-，其准线方程为：1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，

设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程2

4x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-

设22

1212,,,44x x M x N x ????-- ? ??

???，则12,44OM ON x x k k =-=-，

直线OM

方程为1

4x y x =-

，与1y =-联立可得：14,1A x ??- ???，同理可得24,1B x ??- ???

， 易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ??+- ???，圆的半径为：1222

x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++

==，

12

222x x -==

则圆的方程为：()()(

)

2

2

2

2141x k y k -++=+，

令0x =整理可得：2

230y y +-=，解得：123,1y y =-=，

即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.

【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4.（2019全国1卷理科）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足

.

的

，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是

．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是

A. 165 cm

B. 175 cm

C. 185 cm

D. 190cm

【答案】B 【解析】 【分析】

理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．

【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则

26261

1052

x x y +==+，得42.07, 5.15x cm

y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．

5.（2019全国1卷理科）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于

A ，

B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则

C 的方程为

A. 2

212

x y +=

B. 22

132x y +=

C. 22

143

x y +=

D.

22

154

x y += 【答案】B

【解析】 【分析】

可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．

在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122

2144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?

，又2121,A F F B F F ∠∠互补，2121c o s c o s 0A F F B F F ∴∠+∠=，

两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，

解得2

n =

．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22

132

x y +=，故选B ． 【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有

121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得

22214991cos 2233

n n n F AB n n +-∠==??．在12

AF F △中，由余弦定理得22

14422243n n n n +-???=，

解得n =

．

2

2

2

24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22

132

x y +=，

故选B ．

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．

6.（2019全国1卷理科）已知双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为F 1，

F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ?=，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】 【分析】

通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线

可得21,BOF AOF ∠=∠0

2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由

0tan 60b

a

==可求

离心率. 【详解】如图，

由1,

F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，

又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得

02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为

0tan 60b

a

==所以该双曲

线的离心率为2c e a =

===． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．

7.（2019全国1卷理科）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为3

2

的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．

（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2

【解析】 【分析】

（1）设直线l ：

3

y =x m 2

+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得121x x =+；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：2

3

x y t =

+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果.

【详解】（1）设直线l 方程为：3

y =

x m 2

+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 125

2

x x ∴+=

联立232

3y x m y x

?

=+???=?得：()229121240x m x m +-+= 则()2

212121440m m ?=--> 1

2m ∴<

1212125

92m x x -∴+=-=，解得：78

m =-

∴直线l 的方程为：37

28

y x =

-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：2

3

x y t =+

联立223

3x y t y x

?

=+???=?得：2230y y t --= 则4120t ?=+> 1

3

t ∴>-

122y y ∴+=，123y y t =-

3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-

，13y = 123y y ∴=-

则AB ==

=

【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.

8.（2019全国2卷理科）若抛物线y 2

=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y p

p

+

=的一个焦点，

则p = A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

【答案】D 【解析】 【分析】

利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．

【详解】因为抛物线2

2(0)y px p =>的焦点(,0)2

p

是椭圆

2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2

p

p p -=，解得8p =，故选D ．

【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．

9.（2019全国2卷理科）设F 为双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标

原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2

交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为

A.

B.

C. 2

D.

【答案】A 【解析】

【分析】

准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．

【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，

又

||PQ OF c ==，||,2

c

PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，

A ∴为圆心||2

c

OA =．

,22c c P ??

∴ ???

，又P 点在圆222x y a +=上，

22244c c a ∴+=，即2222

2,22c c a e a

=∴==．

e ∴=A ．

【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．

10.（2019全国2卷理科）已知点A (?2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为?

1

2

.记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，

连结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG 是直角三角形；

（ii ）求PQG 面积的最大值.

【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】

（1）分别求出直线AM 与BM 的斜率，由已知直线AM 与BM 的斜率之积为?1

2

，可以得到等式，化简可以求出曲线C 的方程，注意直线AM 与BM 有斜率的条件；

（2）（i ）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，求出P ，Q 两点的坐标，进而求出点E 的坐标，求出直线QE 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出G 的坐标，再求出直线PG 的斜率，计算PQ PG k k 的值，就可以证明出PQG 是直角三角形；

（ii ）由（i ）可知,,P Q G 三点坐标，PQG 是直角三角形，求出,PQ PG 的长，利用面积公式求出PQG 的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】（1）直线AM 的斜率为(2)2y x x ≠-+，直线BM 的斜率为(2)2

y x x ≠-，由题意可知：

221

24,(2)222

y y x y x x x ?=-?+=≠±+-，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为()22

1,242

x y

x +=≠±；

（2）（i ）设直线PQ 的方程为y kx =,由题意可知0k >,直线PQ 的方程与椭圆方程

2224x y +=联立,

即22

,2 4.x y kx x y y ?=?=?????+=??=??

或x y ?

=??

??=??

,点P 在第一象

限，所以P Q ，因此点E

的坐标为

直线QE 的斜率为2QE k k =

，可得直线QE

方程：2k y x =