圆锥曲线经典题型总结(含答案)

圆锥曲线整理

1．圆锥曲线的定义：

(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；

(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .

圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时

要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22

22b

x a y +＝1

（0a b >>）。

%

（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22

22b x a y -＝1（0,0a b >>）。

（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2

2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。

2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

椭圆：由x

2

,y 2

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

双曲线：由x 2

,y 2

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222

c a b =+。

|

3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2

b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可．

4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系．

解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标．

(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式．

(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．

—

5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ，

则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝

1＋1

k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法，

通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x 1－x 2|＝x 1＋x 2

2－4x 1x 2，|y 1

－y 2|＝

y 1＋y 2

2－4y

1y 2.

6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系

(2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤：

①将两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程．

②作差消去常数项后分解因式得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式．

③应用斜率公式及中点坐标公式求解． —

特别提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问

题时，务必别忘了检验0?>！

6．求曲线方程的基本方法有：

(1)直译法：建系、设动点、列式、化简、证明(可以省略)，此法适用于较简单的问题；

(2)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出轨迹方程；

(3)相关点法(坐标代换法)：若动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 1，y 1)，而Q (x 1，y 1)又在某已知曲线上，则可先写出关于x 1，y 1的方程，再根据x 1，y 1与x ，y 的关系求出P (x ，y )的轨迹方程；

(4)待定系数法：若已知曲线的形状(如椭圆、双曲线等)，可用待定系数法； (5)点差法：求与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，可以设出两个端点坐标，并将其代入圆锥曲线方程，再作差；

(6)交轨法：先根据条件求出两条动曲(直)线的交点，然后消去其中的参数即得轨迹方程.

-

7.常见类型转化：

①“以弦AB 为直径的圆过点0”

?OA OB ⊥ ?121K K ?=-（提醒：需讨论K 是否存在）?0OA OB ?= ? 12120x x y y +=

②“点在圆内、圆上、圆外问题”?“钝角、直角、锐角问题”?“向量的数量积小于、等于、大于0问题”?1212x x y y +<0；1212x x y y +=0; 1212x x y y +>0 ③“等角、角平分、角互补问题”?斜率关系（120K K +=或12K K =）； 例如： EF 平分AEB ∠?0AE BE K K +=

一、圆锥曲线的定义及标准方程，性质及应用 .

例1. (1)如图，已知圆O 的方程为x 2+y 2=100,点A 的坐标为(-6,0),M 为圆O 上的任意一点,AM 的垂直平分线交OM 于点P,则点P 的轨迹方程（ ）

A.x 225 +y 2

16 =1 B. x 225 －y 2

16 =1 C.(x+3)225 + y 2

16 =1

D. (x+3)225 - y 2

16 =1

解：由于

P

为

AM

的垂直平分线上的点，|PA|=|PM|所以

|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6根据椭圆的定义知:P 点轨迹方程为x 2

25 +y 2

16 =1.所以选A

(2)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝

0，则|FA

→|＋|FB →|＋|FC →|＝( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．3 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，

抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.

·

由已知得x 1＋x 2＋x 3＝3，y 1＋y 2＋y 3＝0， 而|FA |＝x 1－(－1)＝x 1＋1， |FB |＝x 2－(－1)＝x 2＋1， |FC |＝x 3－(－1)＝x 3＋1， ∴|FA |＋|FB |＋|FC |

＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝(x 1＋x 2＋x 3)＋3＝3＋3＝6.

例2.(1)若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值

范围为( )

A ．(1,2)

B ．(1,2]

C ．(1，5)

D ．(1，5]

@

(2)函数y ＝3－34x 2

的图象上至少存在不同的三点到(1,0)的距离构成等比数列，则公比的取值范围是________．

（3）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） （A 2 （B 3 （C ）

312 （D ）51

2

（4）椭圆22

221()x y a b a b

+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆

上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）*s

5* o*m （A ）20,

?

??

（B ）10,2?? ???

（C ）

)21,1?-?

（D ）1,12??

????

22222

2251(0,0)-,0)(0)9

1

,(),2

x y a a b F c c x y a b E FE OE OF OP -=>>>+=∈

=+（）过双曲线的左焦点（作圆的切线，切点为直线交双曲线右支于点P ，若则双曲线的离心率为（）

17 17 10

5 (6)一只双曲线22

12221(0,0),.x y a b F F a b -=>>的左右焦点分别为O 为双曲线的中心，P

是双曲线右支上的点，

12PF F ?的内切圆的圆心为I,且圆I 与x 轴相切与点A,过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若双曲线的离心率3,则( )

A.3OB OA =

B.3OA OB

C.OA OB =

D.OA OB 与关系不确定

（

[解析] (1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b

a x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交

点，则直线y ＝3x ，应在两渐近线之间，所以有b

a ≤3，即

b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，

c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1

(2)函数y ＝3－34x 2可变为x 24＋y 2

3＝1(y ≥0)，(1,0)为椭圆的右焦点，上半椭圆上点到右焦点距离的最大值和最小值分别为3和1.此数列为正项数列；要使等比数列公比最大，只要首项最小，末项最大即可，所以公比最大值为3，要使等比数列

公比最小，只要首项最大，末项最小即可，所以最小值为3

3.

（3）【解析】选 D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：

2222

1(0,0)x y a b a b -=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：b c -，()1b b

a c

∴?-=-，2b ac ∴=

220c a ac --=， 即e 2-e -1=0,所以15e +=

15

e -=（舍去） （4）解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，

即F 点到P 点与A 点的距离相等w_w w. k# o*m

!

而|FA |＝

22

a b

c c c

-= *s 5* o*m |PF |∈[a －c ,a ＋c ]

于是2

b c

∈[a －c ,a ＋c ]

即

ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2

（5）答案：B (6) 答案：C

解析：依题意设内切圆与1212PF ,PF ,F F 的切点分别为M,N,A.

122,PF PF a -=

且1122,,,PM PN FM F A F N F A ===12122PF PF F A F A a ∴-=-=。 ~

设A 的横坐标为x ，可得c+x-(c -x )=2a,即x=a,所以OA a =；

延长21,F B PF Q 交于则B 为2F Q 中点，O 为12F F 的中点，又因为

121

2,PF PF FQ a -==,OB a OA OB ∴=∴= 三、直线与圆锥曲线的位置关系

例3 .过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )

D ．22

变式题 过抛物线y 2＝2px 焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形 ）

C ．不确定

D ．钝角三角形 例3[答案] C

[解析] 如图，设A (x 0，y 0)(y 0<0)．易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1，故由抛物线的定义得|AF |＝x 0－(－1)＝3，解得x 0＝2，所以

y 0＝－22，故点A (2，－22)．则直线AB 的斜率为k ＝－22－0

2－1＝－22，直线

AB 的方程为y ＝－22x ＋22，联立???

y ＝－22x ＋22，

y 2＝4x ，

消去y 得2x 2－5x ＋2

＝0，由x 1x 2＝1，得A ，B 两点横坐标之积为1，所以点B 的横坐标为1

2.再由抛物线

的定义得||BF ＝12－()－1＝32，||AB ＝||AF ＋||BF ＝3＋32＝9

2. 又因为点O 到直线AB 的距离为d ＝22

3，

所以S △AOB ＝12×92×223＝32

2. 变式题 [答案] D

[解析] 设点A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则OA →·OB →＝(x 1，y 1)·

(x 2，y 2)＝x 1x 2

＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3

4p 2<0，所以∠AOB 为钝角，故△OAB 一定为钝角三角形．

五、圆锥曲线背景下的定点问题 &

[例5](2012年·福建卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点

为F 2，离心率e ＝1

2.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程； (2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．

[解析] (1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8. 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， …

所以4a ＝8，a ＝2.

又因为e ＝12，即c a ＝1

2，所以c ＝1，

所以b ＝a 2－c 2＝ 3.

故椭圆E 的方程是x 24＋y 2

3＝1.

(2)由????

?y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23

＝1，消去y 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.

因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且Δ＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0. (*) 所以P (－4k m ，3

m )． $

由???x ＝4，y ＝kx ＋m ，

得Q (4，4k ＋m )

假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．

设M (x 1，0)，则0MP MQ ?=对满足(*)式的m ，k 恒成立．

因为MP =(－4k m －x 1，3

m )，MQ =(4－x 1，4k ＋m )， 由0MP MQ ?=，得 －16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12k m ＋3＝0，

整理，得(4x 1－4)k

m ＋x 21－4x 1＋3＝0.

(* *) 由于(* *)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，

；

所以???4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，

解得x 1＝1.

故存在定点M (1，0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M . 跟踪练习

22221(0)(10),-12

17

QB 16

x y C a b F a b l x QA +=>>?=-已知椭圆：的右焦点，且点（，（）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线过点F,且与椭圆C 交于A,B 两点，试问轴上是否存在定点Q,使得恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由

解析：（1）由题意知，c=1

根据椭圆定义得，22

a a ==即所以2

211b =-=，所以椭圆C 的标准方程为2

212

x y +=

/

（2）假设在x 轴上存在定点Q （m,0）,使得7

16

QA QB ?=-

恒成立。

当直线70(,0)(,0)16

l A B m m ?=-

的斜率为时， 解得54

m =±

当直线(122

l B -的斜率不存在时，A(1,

，

由于

5575

1+1+,4242164

m ?≠-≠-（，（，-所以 当直线(1)l l y k x =-的斜率存在且不为0时，设直线的方程为 与椭圆方程联立得2222(12)4220k x k x k +-+-=

21222212k x x k -=+ 2122412k x x k +=+ 2

122

12k y y k

-=+ *

22

42257121616

k QA QB k --∴?=+=-+

法二：

假设存在，设Q (t,0)则1122()()QA QB x ty x ty ?=-?-

2222

1212122

(14)27

()1216

t t k t x x t x x t y y k -++-=-+++==-+ 221425214

t t t t -+∴=?=-

六、圆锥曲线背景下的定值问题

例6：(2012·湖南卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2

＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．

(1)求曲线C 1的方程； ，

(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．

解：(1)方法1：设M 的坐标为(x ，y )，由已知得 |x ＋2|＝x －52＋y 2－3，

易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧， 于是x ＋2>0，所以x －52＋y 2＝x ＋5. 化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .

方法2：由题设知，曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离，因此，曲线C 1是以(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线，故其方程为y 2＝20x .

(2)证明：当点P 在直线x ＝－4上运动时，P 的坐标为(－4，y 0)，又y 0≠±3，则过P 且与圆C 2相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y －y 0＝k (x ＋4)，即kx －y ＋y 0＋4k ＝0.

|

于是

|5k ＋y 0＋4k |

k 2＋1

＝3.整理得

72k 2＋18y 0k ＋y 20－9＝0. ①

设过P 所作的两条切线PA ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1，k 2是方程①的两个实根，故

k 1＋k 2＝－18y 072＝－y 0

4. ②

由???

k 1x －y ＋y 0＋4k 1＝0，y 2＝20x ，

得k 1y 2－20y ＋20(y 0＋4k 1)＝0. ③ 设四点A ，B ，C ，D 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3，y 4，则y 1，y 2是方程③的两个实根，所以

y 1·y 2＝20y 0＋4k 1

k 1

. ④ 同理可得 y 3·y 4＝20y 0＋4k 2

k 2. ⑤ !

于是由②，④，⑤三式得

y 1y 2y 3y 4＝400y 0＋4k 1y 0＋4k 2

k 1k 2 ＝400[y 20＋4k 1＋k 2y 0＋16k 1k 2]k 1k 2

＝400[y 20－y 20＋16k 1k 2]

k 1k 2

＝6 400. 所以，当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6 400.

跟踪训练

已知双曲线C ：x 2－y

22＝1，过圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点作圆的切线l ，若l 交双曲线于A ，B 两点，证明：∠AOB 的大小为定值．

…

证明当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝± 2.当x＝2时，代入双曲线方程，得y＝±2，

即A(2，2)，B(2，－2)，此时∠AOB＝90°.

同理当x＝－2时，∠AOB＝90°.

当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋b，

则|b|

1＋k2

＝2，即b2＝2(1＋k2)．

由直线方程和双曲线方程消掉y，

得(2－k2)x2－2kbx－(b2＋2)＝0，

【

由于直线l与双曲线交于A，B两点，故2－k2≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋

x2＝

2kb

2－k2，x1x2＝

－(b2＋2)

2－k2，

y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝－k2b2－2k2

2－k2＋

2k2b2

2－k2＋

2b2－k2b2

2－k2＝

2b2－2k2 2－k2，故x1x2＋y1y2＝

－b2－2

2－k2＋

2b2－2k2

2－k2＝

b2－2(1＋k2)

2－k2.

由于b2＝2(1＋k2)，

故x1x2＋y1y2＝0，即OA

→

·OB

→

＝0，∠AOB＝90°.

综上可知，若l交双曲线A，B两点，∠AOB的大小为定值．

七、圆锥曲线背景下的最值问题

例7 已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过点M(2,4)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆T：

x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点.

/

(1)求椭圆T的方程;

(2)若直线l与椭圆T相交于P，Q两不同点，直线l方程为y＝kx＋3(k>0)，O 为坐标原点，求△OPQ面积的最大值.

解：(1)由题意：一条切线方程为x＝2，设另一条切线方程为y－4＝k(x－2)，则

|4－2k|

k2＋1

＝2，解得k＝

3

4，此时切线方程为y＝

3

4x＋

5

2，切线方程与圆方程联立得：x＝－

6

5，y＝

8

5，则直线AB的方程为x＋2y＝2.

令x＝0，解得y＝1，∴b＝1；令y＝0，得x＝2，∴a＝2.

故所求椭圆方程为

x2

4＋y2＝1.

(2)联立

?

?

?y＝kx＋3，

x2

4＋y2＝1.

整理得(1＋4k2)x2＋83kx＋8＝0，

Δ＝(83k)2－32(1＋4k2)>0，即2k2－1>0.

、

令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝

－83k

1＋4k2，x1x2＝

8

1＋4k2，

原点到直线l的距离为d＝

3

1＋k2

，|PQ|＝1＋k2|x1－x2|，

∴S

△OPQ ＝

1

2|PQ|·d＝

3

2|x1－x2|＝

3

2x1＋x22－4x1x2

＝26·2k2－1

1＋4k22＝26·

2k2－1

42k2－12＋122k2－1＋9

＝26·

1

42k2－1＋12＋9

2k2－1

≤1.

当且仅当k＝

5

2时取等号，则△OPQ面积的最大值为1.

变式：在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点．

`

(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．(1)设直线AB的斜率为k，A(x1，y1)B(x2，y2)，由题意知：C(0，p)，N(0，－p)，则l的方程为y＝kx＋p，与x2＝2py联立消去y得，x2－2pkx－2p2＝0.

所以x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2………………………………2分

又因为S△ANB＝S△ANC＋S△BNC，CN＝2p.

所以S△ANB＝

1

2×2p|x1－x2|＝p(x1＋x2)2－4x1x2＝2p2k2＋2.…………4分

"

所以，当k＝0时，(S△ABN)min＝22p2.…………………………6分

(2)易得以AC为直径的圆的方程为(x－0)(x－x1)＋(y－p).(y－y1)＝0 (8)

分

假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，代入圆的方程，整理得

x2－x1x＋(a－p)(a－y1)＝0.

设直线l与圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)．由弦长公式并结合根与系数的关系，得PQ＝|x3－x4|＝4(a－

p

2)y1＋4a(p－a)＝

2

(a －p

2)y 1＋a (p －a ).……………………………12分

由此知，当a ＝p 2时，PQ ＝p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝p

2. 九．与圆的综合应用

已知直线l 1:4x:-3y+6=0和直线l 2x=-p/2:.若拋物线C:y 2=2px 上的点到直线l 1和直

线l 2的距离之和的最小值为2.

,

(I ) 求 抛 物 线C

的方程；

(II)若以拋 物 线上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N ，试问在x 轴上是否存 在定点Q ，使Q 点在以MN 为直径的圆上，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由.

解: （Ⅰ）由定义知2l 为抛物线的准线，抛物线焦点坐标)0,2

(

p

F 由抛物线定义知抛物线上点到直线2l 的距离等于其到焦点F 的距离.

所以抛物线上的点到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为焦点F 到直线1l 的距离.……2分 所以5

622+=

p ，则p =2,所以，抛物线方程为x y 42

=.………………4分

（Ⅱ）设M ),(00y x ，由题意知直线l 斜率存在，设为k,且0k ≠,所以直线l 方程为

)x -(-00x k y y =,

代入x y 42

=消x 得：.0-44-2

002

=+ky y y ky

由2

000

2

16-4(4-)0,.k y ky k y ?===

得………………6分 所以直线l 方程为)x -(2-000x y y y =，令x=-1,又由02

04x y =得)24-,1(0

20y y N - 设)0,1x Q （则)24

-,-1(-),,-(02

01010y y x y x x ==由题意知0,QM QN ?=……8分

20011-4-)(-1-)02y x x x +=即（，把02

4x y =代入左式, 得：

02-x x )x -112

101=++x （，……………10分 因为对任意的0x 等式恒成立， 所以12

111-0,

x x -20.

x =??

+=? 所以11=x 即在x 轴上存在定点Q （1,0）在以MN 为直径的圆上.……………12分

跟踪训练：设圆F 以抛物线P ：2

4y x =的焦点F 为圆心，且与抛物线P 有且只有一个公共点． （I ）求圆F 的方程；

（Ⅱ）过点M （-1，0）作圆F 的两条切线与抛物线P 分别交于点A ，B 和C ，D ，求经过A ，

B ，

C ，

D 四点的圆

E 的方程．

解：（Ⅰ）设圆F 的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2（r ＞0）．

将y 2＝4x 代入圆方程，得(x ＋1)2＝r 2，所以x ＝－1－r （舍去），或x ＝－1＋r ． 圆与抛物线有且只有一个公共点，当且仅当－1＋r ＝0，即r ＝1． 故所求圆F 的方程为(x －1)2＋y 2＝1． …4分 （Ⅱ）设过点M (－1，0)与圆F 相切的斜率为正的一条切线的切点为T ． 连结TF ，则TF ⊥MT ，且TF ＝1，MF ＝2，所以∠TMF ＝30°． …6分 直线MT 的方程为x ＝3y －1，与y 2＝4x 联立，得y 2－43y ＋4＝0． 记直线与抛物线的两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝4，x 1＋x 2＝3(y 1＋y 2)－2＝10． …8分 从而AB 的垂直平分线的方程为y －23＝－3(x －5)．

令y ＝0得，x ＝7．由圆与抛物线的对称性可知圆E 的圆心为E (7，0)． (10)

分

|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝(1＋3)[(y1＋y2)2－4y1y2]＝82．

又点E到直线AB的距离d＝7－0＋1

2＝4，所以圆E的半径R＝(42)2＋42＝43．

因此圆E的方程为(x－7)2＋y2＝48．

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，

圆锥曲线基本题型总结

锥曲线基本题型总结: 提纲: 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1.定义法求标准方程： （1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）

1?设F-F2为泄点,∣F1F2∣=6 ,动点M满足IMF I I+∣M F2I= 6 ,则动点M的轨迹是（） 1/1 C.圆 D.线段【注:2a>|Fi F2I是椭圆，2a=∣Fι F2 I是线段】 2.设％4, O), C(4,0) ,KZLlSC的周长等于18侧动点/1的轨迹方程为() A.5J+= 1 (yH0) - B.+ ? f ( X2,9)=1 (yH 0 ) C错误!-错误!=1 G?≠ 0) °D?错误! + = 1 (y≠0)【注:检验去点】 3.已知力(0, — 5)、B(0,5),昭I 一砂∣=2α,当α=3或5时，P点的轨迹为() A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线【注:2a<|F I F2∣是双曲线，2a=∣ F1F2∣?射线，注意一支与两支的判断】 4?已知两左点巧(一 3,0),尸2(3.0),在满足下列条件的平而内动点P的轨迹中,是双曲线的是() A↑?PF i?-?PF2 I |=5 B.∣ I PFll-I PF2? I =6 C.∣∣PF1∣-∣PF2∣∣=7 D.∣ I PF1?-?PF2? I =0 【注ι2a<∣Fι F2∣是双曲线】 5?平而内有两个泄点Fι(-5,0)和F2( 5 ,0),动点P满足IPF I l-I PF沪6 ,则动点P的轨迹方程是() A.? f(x2, 1 6)- 错误! = l(xW-4) " B.错误!?=l(xW?3)

最新圆锥曲线题型总结

圆锥曲线题型总结

直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点 1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则 1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ≠（，且，如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2）

高考圆锥曲线题型归类总结(可编辑修改word版)

1 2 圆锥曲线的七种常考题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1） 椭圆 （2） 双曲线 （3） 抛物线 2、定义的应用 （1） 寻找符合条件的等量关系 （2） 等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例 1、动圆 M 与圆 C ： ( x +1)2 + y 2 = 36 内切,与圆 C ： ( x -1)2 + y 2 = 4 外切,求圆心 M 的 轨迹方程。 例 2、 = 8 表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由 x 2、y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由 x 2、y 2 系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 x 2 例 1、已知方程 + y 2 2 - m = 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是 例 2、k 为何值时,方程 x 2 9 - k - y 2 5 - k = 1 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线. m -1

3 3 2 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、 PF 1 = m ，PF 2 = n ， m + n ，m - n ，mn ，m 2 + n 2 四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题 x 2 例 1、椭圆 a 2 + y 2 b 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P 与两个焦点 F 1，F 2 的张角∠F 1PF 2 =， 求?F 1PF 2 的面积。 例 2、已知双曲线的离心率为 2，F 1、F 2 是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2 = 60 ， S ?F PF = 12 ．求该双曲线的标准方程 1 2 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a ,b ,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a ,b ,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例 1、已知 F 、 F x 2 是双曲线 - y 2 = （ ）的两焦点，以线段 F F 为边作 1 2 a 2 b 1 a > 0，b > 0 1 2 正三角形 MF 1F 2 ，若边 MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 4 + 2 B. x 2 y 2 - 1 C. 3 + 1 D. + 1 2 例 2、双曲线 - a 2 b 2 = 1 (a > 0，b > 0) 的两个焦点为 F 1、F 2,若 P 为其 上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3) B. (1， 3] C.(3,+ ∞ ) D. [3, +∞) 3 3

直线和圆锥曲线题型总结

姓 名 年级 性 别 学 校 学 科 教师 上课日期 上课时间 课题 直线和圆锥曲线总结 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 :14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 题型三：动弦过定点的问题 例题3、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程； （II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任 一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭 圆的焦点？并证明你的结论

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b += (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。 题型五：共线向量问题 例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22 194 x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ ,求实数的取值范围。

(完整版)高考圆锥曲线题型归类总结(最新整理)

）直接法：直接利用条件建立之间的关系； 和直线的距离之和等于 ），端点向圆作两条切线

的距离比它到直线的距离小于 ：和⊙：都外切，则动圆圆心 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点，定点为,分所成的比为 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于

?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0； ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；?120K K +=12K K = ④“共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；?六、化简与计算；七、细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而

高考圆锥曲线解题技巧总结

第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。

圆锥曲线基本题型总结

圆锥曲线基本题型总结：提纲： 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题：

4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1. 定义法求标准方程： (1)由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：(注意细节的处 理) 1.设F1, F2 为定点，|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨 迹是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注：2a>|F1 F2| 是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】 2. 设 B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为) x2 y2 y2 x2 A.25+ -9 = i y z0) B.25^9 = 1 徉0) x2 y2 y2 x2 C.^+16= 1 y z 0) D￡+_9 = 1 y z 0) 【注：检验去点】 3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时，P点的轨迹为) A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C. 双曲线一支或一条直线

D. 双曲线一支或一条射线【注：2av|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)

高中数学 圆锥曲线题型总结

直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则 1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2） 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在， 求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

直线与圆锥曲线题型总结

直线与圆锥曲线题型总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

直线和圆锥曲线基本题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 :14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范 围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆 22 :14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m +=始 终有交点，则 14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =?消y 整理，得 2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即21 04 k << ② 由韦达定理，得：212221 ,k x x k -+=-121x x =。则线段 AB 的中点为 22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122 x k = -，则211( ,0)22 E k -

圆锥曲线十大题型全归纳

目录 圆锥曲线十大题型全归纳 题型一弦的垂直平分线问题 (2) 题型二动弦过定点的问题 (3) 题型三过已知曲线上定点的弦的问题 (4) 题型四共线向量问题 (5) 题型五面积问题 (7) 题型六弦或弦长为定值、最值问题 (10) 题型七直线问题 (14) 题型八轨迹问题 (16) 题型九对称问题 (19) 题型十存在性问题 (21)

圆锥曲线题型全归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)， 使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

题型二：动弦过定点的问题 例题2、已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，且在x 轴上的顶点分别为 A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程； （II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

题型三：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22 221x y a b += (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是 椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3 x =对称，求直线PQ 的斜率。

圆锥曲线基本题型总结

圆锥曲线基本题型总结： 提纲： 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1.定义法求标准方程： （1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )

A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 【注：2a>|F 1 F 2|是椭圆，2a=|F 1 F 2|是线段】 2.设B －4,0)，C 4,0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为 ) A.x 225＋y 29 ＝1 y ≠0) B.y 225＋x 29＝1 y ≠0) C.x 216＋y 216＝1 y ≠0) D.y 216＋x 2 9＝1 y ≠0) 【注：检验去点】 3.已知A 0，－5)、B 0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线，2a=|F 1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】 4.已知两定点F 1－3,0)，F 23,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是 ) A.||PF 1|－|PF 2||＝5 B.||PF 1|－|PF 2||＝6 C.||PF 1|－|PF 2||＝7 D.||PF 1|－|PF 2||＝0 【注：2a<|F 1 F 2|是双曲线】 5.平面内有两个定点F 1－5,0)和F 25,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是 ) A.x 216－y 29＝1x ≤－4) B.x 29－y 216＝1x ≤－3) C.x 216－y 29＝1x ≥4) D.x 29－y 2 16＝1x ≥3) 【注：双曲线的一支】 6.如图，P 为圆B ：x ＋2)2＋y 2＝36上一动点，点A 坐标为2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程. 7.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM|＝|PA|，求动点P 的轨迹方程．

圆锥曲线经典题型总结(含答案)

圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时 要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12 222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。 （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x 2 ,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线：由x 2 ,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 3．与双曲线x 2a 2－ y 2 b 2 ＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－ y 2 b 2 ＝λ(λ≠0)， 渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－ y 2 b 2 ＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系． 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为 k ，则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|

圆锥曲线经典题型总结(含答案)

圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时 要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。 % （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。 （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线：由x 2 ,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222 c a b =+。 | 3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系． 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． — 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ， 则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法， 通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x 1－x 2|＝x 1＋x 2 2－4x 1x 2，|y 1 －y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2. 6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系 (2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤： ①将两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程． ②作差消去常数项后分解因式得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式．

高考圆锥曲线题型归类总结

圆锥曲线的七种常考题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1：()2 2 136x y ++=内切,与圆C 2：()2 2 14x y -+=外切,求圆心M 的 轨迹方程。 例2、方程() () 2 2 22668x y x y -+- ++=表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由2 2 x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由2 2 x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线.

题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、12PF m PF n ==，，2 2 m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题 例1、椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ， 求21PF F ?的面积。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ， 31221=?PF F S ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例1、已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作 正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 2 1 3+ D. 13+ 例2、双曲线)00(122 22>>=-b a b y a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其 上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3) B.(]13， C.(3,+∞) D.[)3,+∞

圆锥曲线大题题型归纳72769

圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且 12F PF ∠=120?，求12F PF ?的面积。

圆锥曲线基本题型总结

圆锥曲线基本题型总结: 提纲: 一、定义的应用: 1、定义法求标准方程: 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题: 3、焦点三角形问题: 二、圆锥曲线的标准方程: 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程(已经性质求方程) 3、各种圆锥曲线系的应用: 三、圆锥曲线的性质: 1、已知方程求性质: 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题: 四、直线与圆锥曲线的关系: 1、位置关系的判定: 2、弦长公式的应用: 3、弦的中点问题: 4、韦达定理的应用: 一、定义的应用: 1.定义法求标准方程: (1)由题目条件判断就是什么形状,再由该形状的特征求方程:(注意细节的处理) 1、设F1,F2为定点,|F1F2|＝6,动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6,则动点M的轨迹就是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注:2a>|F1 F2|就是椭圆,2a=|F1 F2|就是线段】 2、设B(－4,0),C(4,0),且△ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为()

A 、x 225＋y 29 ＝1 (y ≠0) B 、y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C 、x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D 、y 216＋x 29 ＝1 (y ≠0) 【注:检验去点】 3、已知A (0,－5)、B (0,5),|P A |－|PB |＝2a ,当a ＝3或5时,P 点的轨迹为( ) A 、双曲线或一条直线 B 、双曲线或两条直线 C 、双曲线一支或一条直线 D 、双曲线一支或一条射线 【注:2a<|F 1 F 2|就是双曲线,2a=|F 1 F 2|就是射线,注意一支与两支的判断】 4、已知两定点F 1(－3,0),F 2(3,0),在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中,就是双曲线的就是( ) A 、||PF 1|－|PF 2||＝5 B 、||PF 1|－|PF 2||＝6 C 、||PF 1|－|PF 2||＝7 D 、||PF 1|－|PF 2||＝0 【注:2a<|F 1 F 2|就是双曲线】 5、平面内有两个定点F 1(－5,0)与F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6,则动点P 的轨迹方程就是( ) A 、x 216－y 29 ＝1(x ≤－4) B 、x 29－y 216＝1(x ≤－3) C 、x 216－y 29＝1(x ≥4) D 、x 29－y 216 ＝1(x ≥3) 【注:双曲线的一支】 6、如图,P 为圆B :(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点,点A 坐标为(2,0),线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ,求点Q 的轨迹方程、

圆锥曲线基本题型总结

圆锥曲线基本题型总结： 提纲: 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程: 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程: 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用: 三、圆锥曲线的性质: 1、已知方程求性质: 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系: 1、位置关系的判定: 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用: 1.定义法求标准方程： (1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程:(注意细节的处理) 1.设F１,F2为定点,|F1Ｆ2|=６，动点M满足|MF１|＋|MＦ2|＝６,则动点M的轨迹是(）

A ．椭圆 B ．直线 C .圆 D ．线段 【注:2a>|F 1 F 2｜是椭圆，2a=|F 1 F 2｜是线段】 2．设B (-4，0)，C (4,0）,且△ABC 的周长等于1８,则动点Ａ的轨迹方程为( ) A. ｘ2 25 +＝1 (y ≠0) ??B.＋＼f （ｘ2,9)=1 (y ≠０) C.错误!+错误!=１ (y ≠０） ? Ｄ.错误!＋＝１ (y ≠０) 【注:检验去点】 3．已知Ａ(0，－５)、Ｂ(0,5)，|P A |－|PB |＝2a ,当a ＝3或5时，P 点的轨迹为( ） A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线 【注:2a<|Ｆ１ F 2|是双曲线，２a=｜Ｆ1 F 2|是射线，注意一支与两支的判断】 ４.已知两定点Ｆ1(－３,0）,Ｆ2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中,是双曲线的是( ) A.||PF １|－|ＰF 2｜|=5 Ｂ.|｜PF 1|-|ＰF 2|｜＝6 C.||PF 1|－|PF 2||=７ D.|｜PF 1|-|PF 2|｜=0 【注:2ａ<|Ｆ1 F 2|是双曲线】 5.平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(５,0)，动点P 满足|PF １|－|ＰF ２|=６,则动点P 的轨迹方程是( ) A.＼f(x 2,１6)－错误!＝1(x ≤－4) ?? ?B.错误!-＝1(ｘ≤-３) C.－＝1(x ≥４) ? D ．-错误!＝1(x ≥3） 【注：双曲线的一支】 6.如图,P 为圆B ：(ｘ+2)2+y ２ =36上一动点,点Ａ坐标为(2,０),线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ,求点Q 的轨