初中几何常考模型汇总(完整版)

O

D C

B

A

第01讲 8字模型与飞镖模型

模型1 角的“8”字模型

如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。

模型分析

8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。

模型实例

观察下列图形，计算角度：

（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；

（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。

图1

2

图E

A

B

C

D

E

F

D C

B

A

热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。

O

O

图1

2

图E

A

B

C D

E

D

C

B

A

2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。

H

G E

F D

C

B

A

D C B A 105

O

O

120D

C B A 模型2 角的飞镖模型

如图所示，有结论：

∠D=∠A+∠B+∠C 。

模型分析

飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。

模型实例

如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。

M

D

C

B

A

热搜精练

1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ；

O

135

E

F

D

C B

A

2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O

D

C

B

A

O

D

C

B

A

O

C

B A

O

C

B

A 模型3 边的“8”字模型

如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。

模型实例

如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ；

（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.

模型4 边的飞镖模型

如图所示有结论：AB+AC>BD+CD 。

模型实例

如图，点O 为三角形内部一点。 求证：（1）2（AO+BO+CO ）>AB+BC+AC ；

（2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.

E D C B A 热搜精练

1．如图，在△ABC 中，D 、E 在BC 边上，且BD=CE 。 求证：AB+AC>AD+AE 。

2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。

（1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，请比较BP+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；

（2）如图②，将（1）中的点P 移至△ABC 内，请比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由； （3）图③将（2）中的点P 变为P 1、P 2，请比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。

2

1

P A

B

C

P 图3

A

B

C P

图2

1

图P

B

A

B D

C

A

P

第02讲 角平分线四大模型

模型1 角平分线上的点向两边作垂线

如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。 结论：PB=PA 。

N

M O

A

B

P

模型分析

利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型实例

（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D 到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4. 求证：AP 平分∠BAC.

2

图4

32

1

A

C

P B

D A

B

C

图1

热搜精练

1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。

2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

P

O N M B A 模型2 截取构造对称全等 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。 结论：△OPB ≌△OPA 。

模型分析

利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型实例

（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与

AB+AC 的大小，并说明理由；

（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较PC?PB 与AC?AB 的大小，并说明理由。

图

2

D

P

A B

C

D

C

1

图

P

B

A

热搜精练

1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8. 求线段BC 的长.

A

B

C

D

2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC. 求证：BC=AB+CD.

A

B

C

D

3．如图所示，在△ABC 中，∠A=100°，∠A=40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，DE=AD. 求证：BC=AB+CE.

E

D

A

P

O N M

B A

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形

如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B.

结论：△AOB 是等腰三角形。

模型分析

构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型实例 如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为E. 求证：BD=2CE.

E D

C

B

A

热搜精练

1．如图，在△ABC 中，BE 是角平分线，AD ⊥BE ，垂足为D. 求证：∠2=∠1+∠C.

2

1

E D

C

B

A

2．如图，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于点E. 求证：BE=

1

2

（AC?AB ）. E

C

B

A

Q

P O N M

模型4 角平分线+平行线

如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q.

结论：△POQ 是等腰三角形. 模型分析

有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系.

模型实例

解答下列问题：

（1）如图①所示，在△ABC 中，EF ∥BC ，点D 在EF 上，BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB ，写出线段EF 与

BE 、CF 有什么数量关系；

（2）如图②所示，BD 平分∠ABC 、CD 平分∠ACG ，DE ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，线段EF 与BE 、CF

有什么数量关系？并说明理由.

（3）如图③所示，BD 、CD 分别为外角∠CBM 、∠BCN 的平分线，，DE ∥BC 交AB 延长线于点E ，交AC 延长线

于点F ，直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？

F

A

E B

C D 2

图

A E B

D

F

C

1

图

F G

E 图

3

D C

N

B

A

A E

B

C N

M D A E

B

C

热搜精练

1． 如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作EF ∥BC ， 交AB 于点M ，交AC 于点N 。若BM+CN=9，则线段MN 的长为 .

2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点E 、F 分别在BD 、AD 上，EF ∥AB ，且DE=CD. 求证：EF=AC.

F

D

A E B

C

3． 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在CD 上，且AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC.

求证：AD=AB?BC .

3

2H

A B F

E

1G E F D C B A 第03讲 截长补短

模型 截长补短

如图①，若证明线段AB 、CD 、EF 之间存在 EF=AB+CD ，可以考虑截长补短法。

截长法：如图②，在EF 上截取EG=AB ，再证明 GF=CD 即可。

补短法：如图③，延长AB 至H 点，使BH=CD ， 再证明AH=EF 即可。

模型分析

截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。

模型实例

例1．如图，已知在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D. 求证：AB=AC+CD.

D

C

B

A

例2．如图，已知OD 平分∠AOB ，DC ⊥OA 于点C ，∠A=∠GBD. 求证：AO+BO=2CO.

O

G

A B

C

D

热搜精练

1．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 是∠BAC 的平分线，且AC=AB+BD. 求∠ABC 的度数.

A

B

C

D

2．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB. 求证：AC=AE+CD.

O

E

A B

C

D

3．如图，∠ABC+∠BCD=180°，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD. 求证：AB+CD=BC.

E

A B

C

D

4．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，∠C=30°，BE ⊥AD 于点E. 求证：AC?AB=2BE . E

A

B

C

D

5．如图，Rt △ABC 中，AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，CE ⊥AD 交AD 于F 点，交AB 于点E. 求证：AD=2DF+CE.

F

E

A

B

C

D

6．如图，五边形ABCDE 中，AB=AC ，BC+DE=CD ，∠B+∠E=180°. 求证：AD 平分∠CDE.

E

A

F G H

D

E

C B A 第04讲 手拉手模型

模型 手拉手

E

A

D

B

C

E

A

D

B

C

E

D

C B

A

图

3

图

2

1

图

如图，△ABC 是等腰三角形、△ADE 是等腰三角形，AB=AC ，AD=AE ， ∠BAC=∠DAE= 。

结论：△BAD ≌△CAE 。 模型分析

手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现。

模型实例

例1．如图，△ADC 与△EDC 都为等腰直角三角形，连接AG 、CE ，相交于点H ，问：（1）AG 与CE 是否相等？ （2）AG 与CE 之间的夹角为多少度？

O

H G

A

B

C

D

例2．如图，直线AB 的同一侧作△ABD 和△BCE 都为等边三角形，连接AE 、CD ，二者交点为H 。求证： （1）△ABE ≌△DBC ； （2）AE=DC ；

（3）∠DHA=60°； （4）△AGB ≌△DFB ； （5）△EGB ≌△CFB ； （6）连接GF ，GF ∥AC ；

（7）连接HB ，HB 平分∠AHC 。

F E C

B

A H D

E C

B A

M P

D

E C B A

热搜精练

1．如图，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在 BC 上，且AE=CF. （1）求证：BE=BF ； （2）若∠CAE=30°，求∠ACF 度数.

2．如图，△ABD 与△BCE 都为等边三角形，连接AE 与CD ，延长AE 交CD 于点H ．证明： （1）AE=DC ；

（2）∠AHD=60°； （3）连接HB ，HB 平分∠AHC.

3．在线段AE 同侧作等边△CDE （∠ACE<120°），点P 与点M 分别是线段BE

和AD 的中点. 求证：△CPM 是等边三角形.

4．将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图①方式放置，∠A=90°，AD 边与AB 边重合，AB=2AD=4. 将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°<α>180°），BD 的延长线交CE 于P. （1）如图②，证明：BD=CE ，BD ⊥CE ；

（2）如图③，在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长.

B

A D

C

P

E 3

图B

D

A E

C

图21

图

P

D

E

C

B

A

D E B

A 第05讲 三垂直全等模型

模型 三垂直全等模型

如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BCD ≌Rt △CAE 。

模型分析

说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解. 图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.

图2

1

图

4

图B

A

E C

D

图3

C D

E

B

A

三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的. 模型实例

例1．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE=DE. 求证：AB+CD=BC.

C

D

E

B

A

例2．如图，∠ACB-90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点D ，AD=2.5cm ，BE=0.8cm. 求DE 的长.

E

D C

B

A

例3．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标。

A

B C O

x

y

(-1,0)(0,3)

(0,3)(-2,0)y

x

O

C B

A

E

D

C

B

A P

H

F

G

E

D C

B

A

热搜精练

1．如图，正方形ABCD ，BE=CF. 求证：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF. A

B

C

D

E

F

2．直线l 上有三个正方形a 、b 、c ， 若a 、c 的面积分别是5和11，则b 的面积是 。

c

b

a

A

B

C

D

E

3．已知，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点P 为BC 上一动点（BP

（1）求证：EF =CF?BE ；

（2）若P 为BC 延长线上一点，其它条件不变，则线段BE 、CF 、EF 是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.

P

A B

C

E F

4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=3，设∠BCD=α， 以D 为旋转中心，将腰DC 绕点D 逆时针旋转90°至DE. （1）当α=45°时，求△EAD 的面积； （2）当α=30°时，求△EAD 的面积；

（3）当0°<α<90°时，猜想△EAD 的面积与α

大小有无关系？若有关，写出△EAD 的面积S 与α的关系式；若无关，请证明结论.

5．如图，向△ABC 的外侧作正方形ABDE 、正方形ACFG ，

过点A 作AH ⊥BC 于H ，AH 的反向延长线与EG 交于

点P 。求证：BC=2AP 。

第06讲将军饮马

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

P

E

D

C

B A E

D

C

B

A

模型实例

例1．如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，

在对角线AC 上有一点P ，则PD+PE 的最小值为 .

例2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P 为CD 上的动点，

则

PA PB -的最大值是多少？

P

D

C

B

A

热搜精练

1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点， 则EC+ED 的最小值是 .

2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值。

A （3

3．如图，正方形ABCD 中，AB-7，M 是DC 上的一点，且DM-3，N 是AC 上的一动点，求DN MN -的最小值

与最大值。

M

N

D C

B

A

模型2 角到定点

模型实例

例1．如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且OP=10，在OA 上有一点Q ，OB 上有一点R 。若△PQR 周长最小，则最小周长是多少？

O

O

N

B

热搜精练

1．如图，∠MON=40°，P 为∠MON 内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点，当△PAB 的周长取最小值时： （1）找到A 、B 点，保留作图痕迹；

（2）求此时∠APB 等于多少度. 如果∠MON= ，∠APB 又等于多少度？

O N

2．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时∠AMN+∠ANM 的度数.

C

D

M

N

B

A

3．如图，在x 轴上找一点C ，在y 轴上找一点D ，使AD+CD+BC 最小，并求直线CD 的解析式及点C 、D 的坐标。

4．如图∠MON=20°，A 、B 分别为射线OM 、ON 上两定点，且OA=2，OB=4， 点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段 AQ+PQ+PB 的最小值是多少？

F C D O

y

x

E B

A

C

D

O y

x B A

模型3 两定点一定长

2

1

2

1

模型实例

例1．在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，且OA=6，OC=4，D 为OC 中点，点E 、F 在线段OA 上，点E 在点F 左侧，EF=2。当四边形BDEF 的周长最小时，求点E 的坐标.

热搜精练

1．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在， x 轴、y 轴的正半轴上，A （3，0），B （0，4），D 为边OB 的中点.

（1）若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；

（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF 的周长最小时，

求点E 、F 的坐标.

中考数学常见几何模型简介教学总结

初中几何常见模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有

（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）

模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。（3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③.

?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？

初中中考数学常见几何模型简介

几何问题 初中几何常见模型解析 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②；③平分。（3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②；③平分。?

（1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③；④；⑤连接AD、BC，必有 ； ⑥（对角线互相垂直的四边形） ?

（1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明；?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）；②；③此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。

（2）全等型-120° ?条件：①；②平分； ?结论：①；②；③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 ?当的一边交AO的延长线于点D时（如上图右）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②；③ . ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 ◇请思考初始条件的变化对模型的影响。

? 如图所示，若将条件“平分”去掉，条件①不变，平分，结论变化如下： 结论：①；②；③.

初中数学9大几何模型

初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O C D E 图 1 图 2

二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEA=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BE=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 2 1 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- O C O C D E O B C D E O C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4

初中几何模型及常见结论的总结归纳

初中几何模型及常见结论的总结归纳 三角形的概念 三角形边、角之间的关系：①任意两边之和大于第三边（任意两边之差小于第三边）；②三角形内角和为0180（外角和为0 360）；③三角形的外角等于不相邻的两内角和。 三角形的三线：(1)中线（三角形的顶点和对边中点的连线）;三角形三边中线交于一点（重心） 如）；DE 之到?S 如图，已知AB ，AC 的长，求AF 的取值范围时。我们可以通过倍长 中线。利用三角形边的关系在三角形ABD 中构建不等关系。（AC AB AF AC AB +- 2）. (2)角平分线（三角形三内角的角平分线）；三角形的三条内角平分线交于一点（内心）

如等 OE ； r = 2

（3）垂线（三角形顶点到对边的垂线）；三角形三条边上的高交于一点（垂心） 如图，O为三角形ABC的垂心，我们可以得到比较多的锐角相等如 COD ABC ACO ABO∠ = ∠ ∠ = ∠；等。因此垂线（或高）这样的条件在题目中出现，我们往往可以得出比较多的锐角相等。（等角或同角的余角相等），此外，如果要求垂线段的长度或与垂线段有关的长度问题，我们通常用面积法求解。在上图中，若已知CE AC AB， ，的长度，求BE的长。 特别注意：在等腰三角形中，我们通常所指的三线合一就是指中线、角平分线、高线。三线合一：已知三角形三线中的任意两个条件是重合的，那么就可以得出第三条线也是重合的。在具体运用时，我们往往时把三线合一的等腰三角形补充完整再加以运用。 三角形全等 三角形全等我们要牢记住它的五个判定方法。（SSS,SAS,ASA,AAS,HL） 在具体运用时，我们需要找出判定三角形全等的各种条件，不外乎是关于边相等或相等的问题。 对于寻找角相等：常有四种方法：①两条平行线被第三条直线所截得出的“三线八角”的结论；②对顶角相等；③锐角互余；④三角形的外角等于不相邻的两内角和。 对于寻找边相等：常有三种方法：①特殊图形中隐含的条件（如等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形。。。。。）；②利用三线合一的正逆定理；③通过已有的全等三角形性质得出。对于证明角相等，证明边相等，我们都要优先考虑边或角所在的三角形全等。（一定要注意对应）如果不能直接通过全等证明，我们就要转化角或转化边（用上面的几种方法）然后再考虑全等。 全等三角形的基本图形： 平移类全等；对称类全等；旋转类全等；

初中几何常见九大模型解析(完美版)

初中几何常见九大模型解析(完美版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中几何常见九大模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有

（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②； ③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③

?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？ 模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°-1 ?条件：①正方形；②； ?结论：①；②的周长为正方形周长的一半； 也可以这样： ?条件：①正方形；② ?结论：

初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型 、手拉手模型----旋转型全等 (1)等边三角形 【条件】：△ OAB^H A OCD均为等边三角 形; D AED 【结论】：①厶OA3A OBD②/ AEB=60 :③OE平分/ 【条件】：△ OAB^H A OCD均为等腰直角三角 形; 【结论】：①厶OA3A OBD②/ AEB=90 :③OE平分/ AED E D

【结论】：①右图中△ OC3A OAB>n A OAS A OBD ②延长AC交BD于点E,必有/ BECN BOA ③ AC OD tan/OCD④BD±AC ⑤连接AD BC,必有AD2 BC2 AB 2 三、模型三、对角互补模型 (1)全等型-90 ° 【条件】：①/ AOB=/ DCE=90 :②0C平分/ AOB 【结论】：①CD=CE②OD+OE= 2 OC③S^DCE S A OCD s CD :⑥ S^BCD 证明提示: ①作垂直，如图2,证明△ CDM^A CEN ②过点C作CF丄OC 如图3,证明△FEC ※当/ DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）: 以上三个结论：①CD=CE ② OE-OD=''2 OC ③ S A OCE S A OCD

(2) 全等型-120 【条件】：①/ AOB=N DCE=120 :②。。平分/ AOB ：3 【结论】：① CD=CE ②OD+OE=OC ③ S^CE S ^OCD S ^OCE — OC 2 4 证明提示：①可参考“全等型 -90。”证法一； ②如右下图：在 OB 上取一点F ,使OF=OC 证明△ OCF 为等边三角形。 【条件】：①/ AOB=2i,/DCE=18O-2a;②CD=CE 【结论】：①OC 平分/ AOB ②OD+OE=2OCcos a; ③ S A DCE S A OCD S A OCE OC sin a cos a ※当/ DCE 的一边交AO 的延长线于 D 时(如右下图)： 原结论变成：① ______________________________________________________ ② ________________________________________________________ ； ③ ________________________________________________________ 。 (3)全等型-任意角a 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 A D

初中数学常用几何模型及构造方法大全

初中数学常用几何模型及构造方法大全几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间… 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 角分线模型 往角两边作垂线 往角两边截取等线段 过角分线某点作垂线 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称 共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。

模型变换 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

20182019学年九年级数学初中常见几何模型汇总

初中常见几何模型汇总 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称

共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。 模型变换

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 中点旋转：

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。 几何最终模型 对称最值(两点间线段最短)

初中数学几何经典模型

初中数学几何模型 中点模型 【模型1】倍长 1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交 E D A B C F D A B C E 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点，连接GC、GE． （1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长； （2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗写出你的猜想，并给予证明. 图3 图2 图1 G F D C G F D C G F D C A B E E B A E B A 【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE=AF，BAF DAE∠ = ∠． (1)求证：CE=CF； (2)若? = ∠120 ABC，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG上GE． 【例3】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD中点，BA交EF延长线于G，CD交EF 于H．求证：∠BGE=∠CHE． H G E F A B D C

E A B C O D E A B C O D B O A C 角平分线模型 【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形 【例4】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为. H G F E A D B C 手拉手模型 【条件】OA OB OC OD AOB COD ==∠=∠ ，， 【结论】OAC OBD ?；AEB OAB COD ∠=∠=∠（即都是旋转角）；OE AED ∠ 平分； - 【例5】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为. 【例6】如图，ABC中，90 BAC? ∠=，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE，AG⊥BE 于F，交BC于点G，求DFG ∠ G F D C B A E

初中数学几何必杀技八大模型(pdf)

如果您喜欢这份文档，欢迎下载! 精品文档，名师推荐！ 初中几何必杀技一一八大模型 MH）手拉手模型一旋转型全等 1.等边三角形 条件:如图1,AOAB,△OCD均为等边三角形. 结论:①左OAC^AOBD；②ZAEB= 60°；③EO平分匕AED. 2.等腰直角三角形 条件:如图2.AOAB,△OCD均为等腰直角三角形. 结论:①左QAC丝△OBD ；②ZAEB= 90°；③EO平分/AED. 3.任意等腰三角形 条件:如图3,AQAB,AOCD均为等腰三角形,OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD. 结论:①左OAC^/\OBD；② ZAEB=ZAOB；③ EO 平分/AED. 模型二）手拉手模型一旋转型相似 1.一般情况 条件:如图4,CD//AB,将△OCD旋转至右图位置. 结论:右图中①左OCDw AOAB, AOACco AOBD；②延长AC交BD于点E,必有ZBEC=ZBOA. 2.特殊情况 条件:如图5,CD//AB,ZAOB=90°,将△OCD旋转至右图位置. 结论:右图中①左OCD GO AOAB, AOACco AOBD,②连接AC,BD交于点E,必有ZBEC=ZBOA；?|^ = ^ = ^ = tanZOCD；@BD±AC;⑤连接 AD,BC,必有AD2 +BC2=AB2+CD2；⑥S mABCD = yACX BD（对角线互相垂直的四边形）. 对角互补模型 1.全等型一90° 条件:如图6①，①ZAOB = ZDCE= 90°；②OC平分ZAOB. 结论：?CD=CE；② OD+OE=7^OC；③=扌8气 证明提示： ①过点C作CM丄OA于点M,CN丄OB于点N,如图②，证明△ CDM^ △ CEN； ②过点C作CF丄。C,如图③，证明△ ODC^AFEC. 当ZECD的一边交A。的延长线于点D时，如图④， 结论：（DCD=CE（不变）；②OE— OD=72OC；③ S ACCE—S A0CD =yOC2. 以上结论证明方法与前一种一致,可自行尝试. A 图4 图6

初中几何常见九大模型解析(完美版)

初中几何常见九大模型解析模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?】 ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?` ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有

（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ' ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； - ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?<

?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等 边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?' ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导 ? 模型四：角含半角模型90°

初中几何常考模型汇总(完整版)

O D C B A 第01讲 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 图1 2 图E A B C D E F D C B A 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 O O 图1 2 图E A B C D E D C B A 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。 H G E F D C B A

D C B A 105 O O 120D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 M D C B A 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； O 135 E F D C B A 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O D C B A O D C B A O C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论：AB+AC>BD+CD 。 模型实例 如图，点O 为三角形内部一点。 求证：（1）2（AO+BO+CO ）>AB+BC+AC ； （2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.

初中数学九大几何模型-初中几何九大模型-初中九大几何模型

初中数学九大几何模型 结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED 条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED 3）顶角相等的两任意等腰三角形 条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 结论】：①△OAC≌△OBD； ②∠AEB=∠AOB； ③OE 平分∠AED C 条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 一、手拉手模型 -- 旋转型全等 B 图 1 D C

二、模型二：手拉手模型--- 旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD∥AB，将 △OCD 旋转至右图的位置 ②延长 AC交 BD 于点E，必有∠BEC=∠BOA； ③BD= OD= OB=tan∠OCD；④BD⊥AC；AC OC OA 2 ⑤连接AD、BC，必有AD2+ BC2= AB2+CD2；⑥S 三、模型三、对角互补模型 1）全等型-90° 结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD； 结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD； O O △BCD 条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB B

2）全等型-120° 条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③S△DCE = S△OCD + S△OCE = 3OC2 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如右下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。 3）全等型-任意角ɑ 条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE； 结论】：①OC 平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ； ③S△DCE = S△OCD + S△OCE =OC2sinαcosα ※当∠DCE 的一边交 AO的延长线于 D 时（如右下图）：原结论变成：①

初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型 Prepared on 24 November 2020

初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E O C D E 图 1图 2O C O C D E O B C D E O C D

③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- （2）全等型-120° 【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43 S S S =+= 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。 （3）全等型-任意角ɑ 【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE ； 【结论】：①OC 平分∠AOB ；②OD+OE=2OC ·cos ɑ； ③α cos αsin OC S S S 2△OCE △OCD △DCE ??=+= ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如右下图）： 原结论变成：①； ②； ③。 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4 A

初中数学经典几何模型

初中数学几何模型 【模型1】倍长 1、 倍长中线； 2、倍长类中线； 3、中点遇平行延长相交 E D A B C F D A B C E ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、 直接连接中点； 2、连对角线取中点再相连 【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB =10，BF =4，求GE 的长； （2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GC 、GE 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明； （3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明. 图3 图2图1G F D C G F D C G F D C A B E E B A E B A 中点模型

【例2】如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE=AF，BAF DAE∠ = ∠． (1)求证：CE=CF； (2)若? = ∠120 ABC，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG上GE． 【例3】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为BC、AD中点，BA交EF延长线于G，CD交EF于H．求证：∠BGE=∠CHE． H G E F A B D C 【模型1】构造轴对称 【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 角平分线模型

(完整版)初中数学常用几何模型及构造方法大全

g a t a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 初中数学常用几何模型及构造方法大全， 掌握它轻松搞定压轴题！ 几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换 平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

g a t a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。自旋转模型构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形; 遇90度旋90度，造等腰直角;遇等腰旋顶点，造旋转全等; 遇中点旋180度，造中心对称. 共旋转模型

初中数学常见几何模型解析

初中数学常见几何模型解析模型一：手拉手模型-全等 （1）等边三角形 条件：均为等边三角形 结论：①；②；③平分。（2）等腰 条件：均为等腰直角三角形 结论：①；②；③平分。（3）任意等腰三角形

条件：均为等腰三角形 结论：①；②；③平分。 模型二：手拉手模型-相似 （1）一般情况 条件：，将旋转至右图位置 结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 条件：，，将旋转至右图位置 结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；

③；④；⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° 条件：①；②OC平分 结论：①CD=CE; ②；③ 证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； 当的一边交AO的延长线于点D时：

以上三个结论：①CD=CE（不变）；②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° 条件：①；②平分； 结论：①；②；③ 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。

当的一边交AO的延长线于点D时（如上图右）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 （3）全等型-任意角 条件：①；②； 结论：①平分；②； ③. 当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 请思考初始条件的变化对模型的影响。 如图所示，若将条件“平分”去掉，条件①不变，平分，结论变化如下：

中考数学常见几何模型简介

初中几何常见模型解析 ?模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 ?模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）

?模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明 ； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）；② ；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。

（2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 ?当的一边交AO的延长线于点D时（如上图右）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。

初中数学常用几何模型及构造方法大全之欧阳歌谷创编

初中数学常用几何模型及构造方法 大全， 欧阳歌谷（2021.02.01） 掌握它轻松搞定压轴题！ 几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~ 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形; 遇90度旋90度，造等腰直角; 遇等腰旋顶点，造旋转全等; 遇中点旋180度，造中心对称.共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。 模型变形 说明： 模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 中点旋转：

(完整版)初中数学九大几何模型

初中数学九大几何模型 O D E C A B AED D O E C B A B O C E C AED D 图 2 图 2 、手拉手模型 - 旋转型全等 D E ③OE 平分∠ AED 图 2 图 1 O A B D O A O ②∠ AEB=∠AOB ； 且∠ COD=∠AOB 1）等边三角形 3）顶角相等的两任意等腰三角形 2）等腰直角三角形 图 1 图 1 C 结论】：①△ OAC ≌△ OBD ； C 条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等边三角形 条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰直角三角形 条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰三角形 结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=60°；③ OE 平分∠ 结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=90°；③ OE 平分∠

、模型二：手拉手模型 -- 旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△ OCD 旋转至右图的位置 O O D E A A 结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ； ②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA 2）特殊情况 条件】：CD ∥ AB ，∠ AOB=90° 将△ OCD 旋转至右图的位置 A 结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ； ②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA ； ③ A BD C O O C D O O A B tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接 AD 、BC ，必有 AD 2 BC 2 AB 2 三、模型三、对角互补模型 1）全等型 -90 ° 条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC 平 分∠ AOB 结论】：① CD=CE ；② OD+OE= 2 OC ；③ S △DCE CD ；⑥ S △BCD 证明提示： ①作垂直，如图 2，证明△ CDM ≌△ CEN ②过点 C 作 CF ⊥ OC ， 如图 3，证明△ ODC ≌△ FEC ※当∠ DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）： S △OCD S 以上三个结论： ① CD=CE ；② OE-OD= 2 OC ； ③ S △ OCE S △ OCD

(完整版)2018年中考常见几何模型分析

中考直通车·数学广州分册 第八章专题拓展 第24讲常见几何模型

【考点解读】 常见几何模型是广州市中考的压轴题常考题型，主要以考察选择、填空最后一题和几何压轴题为主。几何模型类型较多，综合性强，属于中考中重点但同样是难点的一个考点。 【考点分析】 2011年 考查三角形全等和三角形中位线性质，标准的手拉手模型。 2014年 考查三角形全等的判断和性质，根据手拉手模型找出全等三角形，再应用其性质 2016年 本年度模型思想明显，分值占比大，主要考查三角形全等的判定及其性质、图像的旋转，利用模型思想作为解题突破口顺利完成辅助线。 【模型介绍】 手拉手模型： 1、 【条件】 如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结 AE 与CD ， 【结论】（1）DBC ABE ??? （2）DC AE = （3）AE 与DC 之间的夹角为? 60 （4）AE 与DC 的交点设为H , BH 平分AHC ∠ 2016 17 2 全等的判定及其性质、旋转模型 填空题、解答题

C D A B E F E C D B A 2、 【条件】如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 。 【结论】 （1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG =CE （3）AG 与CE 之间的夹角为ο90 （4）HD 是否平分AHE ∠？ 旋转模型： 一、邻角相等对角互补模型 【条件】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，90BAD BCD ?∠=∠= 【结论】452ACB ACD BC CD AC ? ∠=∠=+= ① ② 二、角含半角模型：全等 角含半角要旋转：构造两次全等 F E D C B A G F E D C B A A B C D E A B C D E F