(整套)(苏教版)高中数学选修1-1精品学案全集(vip专享)
（苏教版）高中数学选修1-1（全册）精品
学案汇总
_1.1命题及其关系
1．1.1四种命题
命题的概念
观察下列语句的特点:
(1)这幅画真漂亮！
(2)求证3是无理数;
(3)菱形是平行四边形吗？
(4)等腰三角形的两底角相等;
(5)x>2 012;
(6)若x2＝2 0122, 则x＝2 012.
问题: 在这些语句中哪些能判断出真假, 哪些不能判断出真假．
提示: (1)(2)(3)(5)不能判断真假; (4)(6)能判断真假．
1．能够判断真假的语句叫做命题．
2．命题?
????
真命题：判断为真的命题.
假命题：判断为假的命题.
观察下列四个命题:
(1)若两个三角形全等, 则这两个三角形相似; (2)若两个三角形相似, 则这两个三角形全等; (3)若两个三角形不全等, 则这两个三角形不相似; (4)若两个三角形不相似, 则这两个三角形不全等．
问题: 命题(1)与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间分别有什么关系？ 提示: 命题(1)的条件是命题(2)的结论, 且命题(1)的结论是命题(2)的条件．
对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定;
对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．
1．四种命题的概念
(1)如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件, 那么这两个命题叫做互逆命题．
(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 那么这两个命题叫做互否命题．
(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 那么这两个命题叫做互为逆否命题．
2．命题的四种形式
原命题: 若p , 则q ; 逆命题: 若q , 则p ;
否命题: 若非p , 则非q ; 逆否命题: 若非q , 则非p . 3．四种命题之间的关系
四种命题真假之间的关系
观察下列命题, 回答后面的问题:
(1)如果两个三角形全等, 那么它们的面积相等;
(2)如果两个三角形的面积相等, 那么它们全等;
(3)如果两个三角形不全等, 那么它们的面积不相等;
(4)如果两个三角形面积不相等, 那么它们不全等．
问题1: 若把命题(1)看作原命题, 这四个命题之间有什么关系？
提示: (1)与(2)、(3)与(4)为互逆关系; (1)与(3)、(2)与(4)为互否关系; (1)与(4)、(2)与(3)为互为逆否关系．
问题2: 判断四个命题的真假．
提示: 命题(1)(4)是真命题; 命题(2)(3)是假命题．
1．四种命题的真假性
原命题逆命题否命题逆否命题
真真真真
真假假真
假真真假
假假假假
2．四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题, 它们有相同的真假性．
(2)两个命题互为逆命题或否命题, 它们的真假性没有关系．
1．原命题是相对其他三种命题而言的．事实上, 可以把任意一个命题看成原命题, 来研究它的其他形式的命题．
2．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时, 大前提仍作大前提．
3．若两个命题互为逆否命题, 则它们有相同的真假性, 即它们同真同假．所以, 当一个命题的真假不易判断时, 可以通过对其逆否命题的真假的判断来判断原命题的真假．
[对应学生用书P3]
命题的概念及其判断
[例1]判断下列语句是否为命题？若是命题, 则判断其真假:
(1)2是无限循环小数;
(2)x2－3x＋2＝0;
(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
(4)一个等比数列的公比大于1时, 该数列为递增数列;
(5)当x＝4时, 2x＋1>0;
(6)把门关上．
[思路点拨]首先判断是不是命题, 如果是, 然后再判断它是真命题还是假命题．
[精解详析](1)能判断真假, 是命题, 是假命题．
(2)不是命题, 因为语句中含有变量x, 在没给变量x赋值前, 无法判断语句的真假(这种语句叫“开语句”)．
(3)不能判断真假, 不是命题．
(4)是命题, 当等比数列的首项a1<0, 公比q>1时, 该数列是递减数列, 因此是一个假命题．
(5)能判断真假, 是命题, 是真命题．
(6)因为没有作出判断, 所以不是命题．
[一点通]
(1)判断一个语句是不是命题, 关键是看能不能判断真假．
(2)判定一个命题是真命题时, 一般需要经过严格的推理论证, 论证要有推理依据, 有时应综合各种情况作出正确的判断; 而判定一个命题为假命题时, 只需举出一个反例即可．
1．下列语句:
(1)2＋2 2是有理数;
(2)1＋1>2;
(3)2100是个大数;
(4)968能被11整除;
(5)非典型性肺炎是怎样传播的？
其中是命题的是________．
解析: (1)能判断真假, 是命题, 是假命题;
(2)能判断真假, 是命题, 是假命题;
(3)不能判断真假, 不是命题;
(4)是命题, 是真命题;
(5)不能判断真假, 不是命题．
答案: (1)、(2)、(4) 2．判断下列命题的真假:
(1)函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π; (2)斜率相等的两条直线平行;
(3)不等式|3x －2|>4的解集是(－∞, －2
3)∪(2, ＋∞);
(4)平行于同一平面的两条直线平行．
解: (1)y ＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x , 显然其最小正周期为π, 故(1)为真命题．
(2)斜率相等的两条直线有可能平行, 也有可能重合, 故(2)是假命题． (3)由|3x －2|>4得, 3x －2>4或3x －2<－4, ∴x >2或x <－2
3
,
∴|3x －2|>4的解集是(－∞, －2
3)∪(2, ＋∞)．
故(3)为真命题．
(4)平行于同一平面的两条直线可能平行, 可能相交, 可能异面, 故(4)为假命题.
[例2] 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断其真假: (1)若实数a , b , c 成等比数列, 则b 2＝ac ;
(2)函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0, ＋∞)上是减函数时, log a 2<0.
[思路点拨] 先分清所给命题的条件和结论, 再按要求写出逆命题、否命题和逆否命题, 并做出真假判断．
[精解详析]
(1)原命题可以写成: 若实数a , b , c 成等比数列, 则b 2＝ac , 为真命题． 逆命题: 若实数a , b , c 满足b 2＝ac , 则a , b , c 成等比数列, 为假命题． 否命题: 若实数a , b , c 不成等比数列, 则b 2≠ac , 为假命题．
逆否命题: 若实数a , b , c , 满足b 2≠ac , 则a , b , c 不成等比数列, 为真命题
(2)原命题可以写成: 若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0, ＋∞)上是减函数, 则log a 2<0, 为真命题．
逆命题: 若log a 2<0, 则函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0, ＋∞)上是减函数, 为真命题． 否命题: 若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0, ＋∞)上不是减函数, 则log a 2≥0, 为真命题． 逆否命题: 若log a 2≥0, 则函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0, ＋∞)上不是减函数, 为真命
题．
[一点通]
(1)四种命题进行转化时应首先找出原命题的条件和结论, 然后利用四种命题的概念直接转化即可．
(2)对于命题的真假判断, 当直接判断有难度时, 可以通过判断它的逆否命题的真假来判断．
3．把下列命题改写成“若p, 则q”的形式, 并判断命题的真假:
(1)等腰三角形的两个底角相等;
(2)当x＝2或x＝4时, x2－6x＋8＝0;
(3)已知x、y为正整数, 当y＝x＋1时, y＝3, x＝2.
解: (1)原命题可改写成: 若一个三角形是等腰三角形, 则两个底角相等, 真命题．
(2)原命题可改写成: 若x＝2或x＝4, 则x2－6x＋8＝0, 真命题．
(3)原命题可改写成: 已知x、y为正整数, 若y＝x＋1, 则y＝3, x＝2.假命题．
4．写出下列原命题的其他三种命题, 并分别判断其真假:
(1)在△ABC中, 若a>b, 则∠A>∠B;
(2)正偶数不是质数;
(3)若x∈A则x∈(A∪B)．
解: (1)原命题: 在△ABC中, 若a>b, 则∠A>∠B, 真命题;
逆命题: 在△ABC中, 若∠A>∠B, 则a>b, 真命题;
否命题: 在△ABC中, 若a≤b, 则∠A≤∠B, 真命题;
逆否命题: 在△ABC中, 若∠A≤∠B, 则a≤b, 真命题．
(2)原命题: 若一个数是正偶数, 则它一定不是质数, 假命题, 例如2;
逆命题: 若一个数不是质数, 则它一定是正偶数, 假命题, 例如9;
否命题: 若一个数不是正偶数, 则它一定是质数, 假命题, 例如9;
逆否命题: 若一个数是质数, 则它一定不是正偶数, 假命题, 例如2.
(3)原命题: 若x∈A, 则x∈(A∪B), 真命题;
逆命题: 若x∈(A∪B), 则x∈A, 假命题;
否命题: 若x?A, 则x?(A∪B), 假命题;
逆否命题: 若x?(A∪B), 则x?A, 真命题.
[例3]证明: 已知函数f(x)是(－∞, ＋∞)上的增函数, a, b∈R, 若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋
f (－b ), 则a ＋b ≥0.
[思路点拨] 根据原命题与逆否命题的等价性, 先证逆否命题即可．
[精解详析] 法一: 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞, ＋∞)上的增函数, a , b ∈R , 若a ＋b <0, 则f (a )＋f (b ) 证明如下: 若a ＋b <0, 则a <－b , b <－a . 又∵f (x )在(－∞, ＋∞)上是增函数, ∴f (a ) 法二: 假设a ＋b <0, 则a <－b , b <－a . 又∵f (x )在(－∞, ＋∞)上是增函数, ∴f (a ) 这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾． 因此假设不成立, 故a ＋b ≥0. [一点通] 由于原命题与它的逆否命题具有相同的真假性, 所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时, 可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题． 5．已知c >0, 设p : 函数y ＝c x 在R 上单调递减, q : 不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R , 如果p 和q 有且仅有一个正确, 求c 的取值范围． 解: 函数y ＝c x 在R 上单调递减?0 不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ?函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1. ∵x ＋|x －2c |＝? ???? 2x －2c ，x ≥2c ， 2c ，x <2c ， ∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c . ∴不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ?2c >1?c >1 2. 记Q ＝? ?? ? ??c | c >12. 如果p 正确, 且q 不正确, 借助数轴得0 2. 如果p 不正确, 且q 正确, 借助数轴得c ≥1. ∴c 的取值范围为????0，1 2∪[1, ＋∞)． 6．证明: 若a 2－4b 2－2a ＋1≠0, 则a ≠2b ＋1. 证明: “若a 2－4b 2－2a ＋1≠0, 则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1, 则a 2－4b 2 －2a ＋1＝0”． ∵a ＝2b ＋1, ∴a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1 ＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1 ＝0. ∴命题“若a ＝2b ＋1, 则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题． 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知, 结论正确． 1．写四种命题时, 可以按下列步骤进行: (1)找出原命题的条件p 和结论q ; (2)写出条件p 的否定非p 和结论q 的否定非q ; (3)按照四种命题的概念写出所有命题． 2．判断命题的真假时, 可以根据互为逆否的命题的真假性相同来判断, 这也是反证法的理论基础． [对应课时跟踪训练(一)] 1．给出下列语句: ①空集是任何集合的真子集; ②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数; ④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x ∈R , 则x 2＋4x ＋5>0.其中为命题的序号是________, 为真命题的序号是________． 解析: ①是命题, 且是假命题, 因为空集是任何非空集合的真子集; ②该语句是疑问句, 不是命题; ③是命题, 且是假命题, 因为数0既不是正数, 也不是负数; ④该语句是感叹句, 不是命题; ⑤是命题, 因为x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1>0恒成立, 所以是真命题． 答案: ①③⑤ ⑤ 2．设a , b 是向量, 命题“若a ＝－b , 则|a |＝|b |”的逆命题是________________________． 答案: 若|a |＝|b |, 则a ＝－b 3．命题“对于正数a , 若a >1, 则lg a >0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________． 解析: 逆命题: 对于正数a , 若lg a >0, 则a >1. 否命题: 对于正数a , 若a ≤1, 则lg a ≤0. 逆否命题: 对于正数a , 若lg a ≤0, 则a ≤1. 根据对数的性质可知都是真命题． 答案: 4 4．命题“若α＝π 4, 则tan α＝1”的逆否命题是________． 解析: 将条件与结论分别否定, 再交换即可． 答案: 若tan α≠1, 则α≠π 4 5．给出下列命题: ①“若x 2＋y 2≠0, 则x , y 不全为零”的否命题; ②“若{a n }既是等差数列, 又是等比数列, 则a n ＝a n ＋1(n ∈N *)”的逆命题; ③“若m >1, 则不等式x 2＋2x ＋m >0的解集为R ”的逆否命题． 其中所有真命题的序号是________． 解析: ①的否命题为“若x 2＋y 2＝0, 则x , y 全为零”是真命题; ②的逆命题为“数列{a n }中, 若a n ＝a n ＋1(n ∈N *), 则数列{a n }既是等差数列, 又是等比数列”是假命题, 如0,0,0……; 对于③当m >1时, Δ＝4－4m <0恒成立, x 2＋2x ＋m >0的解集为R 是真命题．因此逆否命题是真命题． 答案: ①③ 6．把下列命题写成“若p , 则q ”的形式, 并判断真假． (1)奇函数的图像关于原点对称; (2)当x 2－2x －3＝0时, x ＝－3或x ＝1; (3)a <0时, 函数y ＝ax ＋b 的值随x 值的增大而增大． 解: (1)若一个函数是奇函数, 则它的图像关于原点对称, 是真命题． (2)若x 2－2x －3＝0, 则x ＝－3或x ＝1, 是假命题． (3)若a <0, 则函数y ＝ax ＋b 的值随着x 值的增大而增大, 是假命题． 7．证明: 若m 2＋n 2＝2, 则m ＋n ≤2. 证明: 将“若m 2＋n 2＝2, 则m ＋n ≤2”视为原命题, 则它的逆否命题为“若m ＋n >2, 则m 2＋n 2≠2”． 由于m ＋n >2, 则m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>1 2×22＝2, 所以m 2＋n 2≠2. 故原命题的逆否命题为真命题, 从而原命题也为真命题． 8．判断下列命题的真假, 并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断其真假． (1)若四边形的对角互补, 则该四边形是圆的内接四边形; (2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中, b2－4ac<0, 则该函数图像与x轴有交点． 解: (1)该命题为真． 逆命题: 若四边形是圆的内接四边形, 则四边形的对角互补, 为真． 否命题: 若四边形的对角不互补, 则该四边形不是圆的内接四边形, 为真． 逆否命题: 若四边形不是圆的内接四边形, 则四边形的对角不互补, 为真． (2)该命题为假． 逆命题: 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有交点, 则b2－4ac<0, 为假． 否命题: 若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0, 则函数图像与x轴无交点, 为假．逆否命题: 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无交点, 则b2－4ac≥0, 为假． 1．1.2充分条件和必要条件 充分条件和必要条件 如图: p: 开关A闭合, q: 灯泡B亮． 问题1: p与q有什么关系？ 提示: 命题p成立, 命题q一定成立． p: 两三角形相似, q: 对应角相等． 问题2: p与q有什么关系？ 提示: 命题p成立, 命题q一定成立． 一般地, 如果p?q, 那么称p是q的充分条件, q是p的必要条件． 充要条件 已知p: 整数x是6的倍数; q: 整数x是2和3的倍数． 问题1: “若p, 则q”是真命题吗？ 提示: 是． 问题2: “若q, 则p”是真命题吗？ 提示: 是． 问题3: p是q的什么条件？ 提示: 充要条件． 1．如果p?q, 且q?p, 那么称p是q的充分必要条件．简称p是q的充要条件, 记作p?q. 2．如果p?q, 且q?/ p, 那么称p是q的充分不必要条件． 3．如果p?/ q, 且q?p, 那么称p是q的必要不充分条件． 4．如果p?/ q, 且q?/ p, 那么称p是q的既不充分又不必要条件． 原命题“若p, 则q”, 逆命题为“若q, 则p”, 则p与q的关系有以下四种情形: 原命题逆命题p、q的关系 真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件 假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件 真真p与q互为充要条件 假假p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件 [对应学生用书P6]充分条件和必要条件的判断 [例1]对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0), 下列结论正确的是________． ①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件; ②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件; ③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件; ④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件． [思路点拨]逐一分析Δ, 根据二次函数与Δ的关系, 判断结论是否正确． [精解详析] ①是正确的, 因为Δ＝b2－4ac≥0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根?f(x)＝ax2＋bx＋c 有零点; ②是正确的, 因为Δ＝b2－4ac＝0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根, 因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点, 但是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时, 有可能Δ>0; ③是错误的, 因为函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时, 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根, 但未必有Δ＝b2－4ac>0, 也有可能Δ＝0; ④是正确的, 因Δ＝b2－4ac<0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根?函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)无零点． [答案]①②④ [一点通]充分、必要条件判断的常用方法: (1)定义法: 分清条件和结论, 利用定义判断． (2)等价法: 将不易判断的命题转化为它的等价命题判断． 1．从“?”、“?/ ”与“?”中选出适当的符号填空: (1)x>1________x>0; (2)a>b________a2>b2; (3)a2＋b2＝2ab________a＝b; (4)A??________A＝?. 解析: (1)由于命题“若x>1, 则x>0”为真命题, 则x>1?x>0; (2)由于命题“若a>b, 则a2>b2”为假命题, 则a>b?/ a2>b2; (3)由于命题“若a2＋b2＝2ab, 则a＝b”为真命题, 且逆命题也为真命题, 故a2＋b2＝2ab?a＝b; (4)由于命题“若A??, 则A＝?”为真命题, 且逆命题也为真命题, 故A???A＝?. 答案: (1)?(2)?/ (3)?(4)? 2．(福建高考改编)已知集合A＝{1, a}, B＝{1,2,3}, 则“a＝3”是“A?B”的________条件． 解析: 因为A＝{1, a}, B＝{1,2,3}, 若a＝3, 则A＝{1,3}, 所以A?B; 若A?B, 则a＝2或a＝3, 所以A?B?/ a＝3, 所以“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．答案: 充分不必要 3．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选一个作答): (1)p: x－3＝0, q: (x－2)(x－3)＝0; (2)p : 两个三角形相似, q : 两个三角形全等; (3)p : a >b , q : a ＋c >b ＋c ; (4)p : a >b , q : ac >bc . 解: (1)x －3＝0?(x －2)(x －3)＝0, 但(x －2)(x －3)＝0?/ x －3＝0, 故p 是q 的充分不必要条件． (2)两个三角形相似?/ 两个三角形全等, 但两个三角形全等?两个三角形相似, 故p 是q 的必要不充分条件． (3)a >b ?a ＋c >b ＋c , 且a ＋c >b ＋c ?a >b , 故p 是q 的充要条件． (4)a >b ?/ ac >bc , 且ac >bc ?/ a >b , 故p 是q 的既不充分又不必要条件. 充分条件、必要条件的应用 [例2] 已知p : 2x 2－3x －2≥0, q : x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0, 若p 是q 的充分不必要条件, 求实数a 的取值范围． [思路点拨] 先利用不等式的解法确定命题p 、q 成立的条件, 再根据p 是q 的充分不必要条件确定a 的不等式组, 求得a 的范围． [精解详析] 令M ＝{x |2x 2－3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0} ＝{x |x ≤－1 2 或x ≥2}, N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0} ＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0} ＝{x |x ≤a －2或x ≥a }． 由已知p ?q 且q ?/ p , 得M N . ∴????? a －2≥－12，a <2，或????? a －2>－12， a ≤2 ?32≤a <2或3 2 2 ≤a ≤2. 即所求a 的取值范围是[3 2 , 2]． [一点通] 根据充分条件或必要条件求参数范围: (1)记集合M ＝{x |p (x )}, N ＝{x |q (x )}; (2)若p 是q 的充分不必要条件, 则M N , 若p 是q 的必要不充分条件, 则N M , 若p 是q 的充要条件, 则M ＝N ; (3)根据集合的关系列不等式(组); (4)求参数范围． 4．已知p : 关于x 的不等式3－m 2 2, q : x (x －3)<0, 若p 是q 的充分不必要条件, 求 实数m 的取值范围． 解: 记A ＝? ?????x 3－m 2 3＋m 2, B ＝{x |x (x －3)<0}＝{x |0 (1)若A ＝?, 即3－m 2≥3＋m 2, 求得m ≤0, 此时A B , 符合题意; (2)若A ≠?, 即3－m 2<3＋m 2 , 求得m >0, 要使A B , 应有??? 3－m 2 >0，3＋m 2<3，m >0 解得0 综上可得, 实数m 的取值范围是(－∞, 3)． 5．已知条件p : x 2＋x －6＝0, 条件q : mx ＋1＝0, 且q 是p 的充分不必要条件, 求m 的值． 解: 由题意得p : A ＝{x |x ＝－3或x ＝2}, 当m ＝0时, p ＝B ＝?, 当m ≠0时, P : B ＝? ?? ? ??x | x ＝－1m . ∵q 是p 的充分不必要条件, ∴B A . 易知m ＝0适合题意． 当－1m ＝－3或－1m ＝2, 即m ＝13或m ＝－1 2时, 也适合题意． ∴m 的值为－12或1 3或0. 求充要条件 [例3] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0, p ≠1), 求数列{a n }是等比数列的充要 条件． [思路点拨] 根据数列的前n 项和S n 与数列通项a n 的关系, 先求出数列的通项a n , 根据数列{a n }为等比数列, 探求q 所满足的条件, 同时要注意充分性的证明． [精解详析] a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时, a n ＝S n －S n －1＝p n － 1(p －1), ∵p ≠0, p ≠1, ∴p n (p －1) p n －1(p －1)＝p . 若{a n }为等比数列, 则a 2a 1＝a n ＋1 a n ＝p , ∴ p (p －1) p ＋q ＝p , ∵p ≠0, ∴p －1＝p ＋q , ∴q ＝－1.∴{a n }为等比数列的必要条件是q ＝－1. 下面证明q ＝－1是{a n }为等比数列的充分条件． 当q ＝－1时, S n ＝p n －1(p ≠0, p ≠1), ∴a 1＝S 1＝p －1; 当n ≥2时, a n ＝S n －S n －1＝p n －p n － 1＝p n － 1(p －1), ∴a n ＝(p －1)p n － 1(p ≠0, p ≠1), a n a n －1＝(p －1)p n －1 (p －1)p n －2 ＝p 为常数, ∴q ＝－1时, 数列{a n }为等比数列．即数列{a n }是等比数列的充要条件为q ＝－1. [一点通] 求充要条件一般有两种方法: (1)等价转化法．将原命题进行等价变形或转化, 直至获得其成立的充要条件, 求解的过程同时也是证明的过程, 因为求解的过程的每一步都是等价的, 所以不需要将充分性和必要性分开来证． (2)非等价转化法．先寻找必要条件, 即将求充要条件的对象视为结论, 寻找使之成立的条件; 再证明此条件是该对象的充分条件, 即从充分性和必要性两方面说明． 6．使函数f (x )＝|x －a |在区间[1, ＋∞)上为增函数的充分不必要条件为________． 解析: 由函数f (x )＝|x －a |的图像知, 函数f (x )＝|x －a |在区间[1, ＋∞)上为增函数的充要条件为a ≤1, 所以使“函数f (x )＝|x －a |在区间[1, ＋∞)上为增函数”的充分不必要条件即求使“a ≤1”成立的充分不必要条件, 即填写形如a ≤p , 且p <1即可, 故答案不唯一, 可填a ≤0. 答案: a ≤0 7．设n ∈N *, 一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 解析: 由于方程都是正整数解, 由判别式“16－4n ≥0”得“1≤n ≤4”, 逐个分析, 当n ＝1、2时, 方程没有整数解; 而当n ＝3时, 方程有正整数解1、3; 当n ＝4时, 方程有正整数解2. 答案: 3或4 1．关于充分条件、必要条件、充要条件以及既不充分又不必要条件的关系有如下四种情形: (1)若p q , 则p 是q 的充分不必要条件; (2)若q p , 则p 是q 的必要不充分条件; (3)若p ＝q , 则p 是q 的充分必要条件, 既充要条件; (4)若p ?q , 且q ?p , 则p 是q 的既不充分又不必要条件． 2．根据充分条件、必要条件、充要条件的关系求参数的取值范围, 往往运用等价转化的思想, 利用互为逆否命题的等价性来解决． [对应课时跟踪训练(二)] 1．(安徽高考改编)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的________条件． 解析: 由(2x －1)x ＝0可得x ＝12或x ＝0, 因为“x ＝1 2或x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分 条件, 所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件． 答案: 必要不充分 2．已知直线l 1: x ＋ay ＋6＝0和l 2: (a －2)x ＋3y ＋2a ＝0, 则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________. 解析: 由1×3－a ×(a －2)＝0, 得a ＝3或－1, 而a ＝3时, 两条直线重合, 所以a ＝－1. 答案: －1 3．对任意实数a , b , c , 给出下列命题: ①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件; ②“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件; ③“a <5”是“a <3”的必要条件; ④“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件． 其中真命题的序号为________． 解析: ①“a ＝b ”是ac ＝bc 的充分不必要条件, 故①错, ②a >b 是a 2>b 2的既不充分也不必要条件, 故②错．③④正确． 答案: ③④ 4．(北京高考改编)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的________条件． 解析: 由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z ), 此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件, 故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件． 答案: 充分不必要 5．若p : x (x －3)<0是q : 2x －3 , 若p 是q 的充分不必要条件, 则3＋m 2≥3, 即m ≥3. 答案: [3, ＋∞) 6．求证: 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明: (1)必要性: 因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根, 所以Δ＝b 2－4ac >0, x 1x 2 ＝c a <0(x 1, x 2为方程的两根), 所以ac <0. (2)充分性: 由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a <0(x 1, x 2为方程的两根)．所以方程 ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根, 且两根异号, 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根． 综上所述, 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 7．求直线l : ax －y ＋b ＝0经过两直线l 1: 2x －2y －3＝0和l 2: 3x －5y ＋1＝0交点的充要条件． 解: 由? ???? 2x －2y －3＝0，3x －5y ＋1＝0，得交点P (174, 114)． 若直线l : ax －y ＋b ＝0经过点P , 则a ×174－11 4＋b ＝0.∴17a ＋4b ＝11. 设a , b 满足17a ＋4b ＝11, 则b ＝11－17a 4, 代入方程ax －y ＋b ＝0, 得ax －y ＋11－17a 4＝0, 整理, 得????y －114－a ??? ?x －17 4＝0. ∴直线l : ax －y ＋b ＝0恒过点???? 174，114, 此点即为l 1与l 2的交点． 综上, 直线l : ax －y ＋b ＝0经过两直线l 1: 2x －2y －3＝0和l 2: 3x －5y ＋1＝0交点的充要条件为17a ＋4b ＝11. 8．已知p : －6≤x －4≤6, q : x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0), 若q 是p 的充分不必要条件, 求实数m 的取值范围． 解: p : －6≤x －4≤6?－2≤x ≤10. q : x 2－2x ＋1－m 2≤0?[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0(m >0)?1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为q 是p 的充分不必要条件． 即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}, 如图, 故有????? 1－m ≥－2，1＋m <10，或????? 1－m >－2，1＋m ≤10， 解得m ≤3. 又m >0, 所以实数m 的范围为{m |0 _1.2简单的逻辑联结词 逻辑联结词 如图所示, 有三种电路图． 问题1: 甲图中, 什么情况下灯亮？ 提示: 开关p 闭合且q 闭合． 问题2: 乙图中, 什么情况下灯亮？ 提示: 开关p 闭合或q 闭合． 问题3: 丙图中, 什么情况下灯不亮？ 提示: 开关p 不闭合时． 这里的“或”“且”“非”称为逻辑联结词. 含有逻辑联结词的命题 如知识点一中的图, 若开关p 、q 的闭合与断开分别对应命题p 、q 的真与假, 则灯亮与不亮分别对应着p ∧q 、p ∨q 、綈p 的真与假． 问题1: 什么情况下, p ∧q 为真？ 提示: 当p 真, q 真时． 问题2: 什么情况下, p ∨q 为假？ 提示: 当p假, q假时． 问题3: 什么情况下, 綈p为真？ 提示: 当p假时． 1．一般地, 通常用小写拉丁字母p, q, r表示命题, 用联结词“或”、“且”、“非”把p, q联结起来, 就得到新命题, “p或q”、“p且q”、“非p”． “p或q”记作“p∨q”; “p且q”记作“p∧q”; “非p”记作“綈p”． 2．一般地, “p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题的真假性可以用下面表格分别表示: (1)命题p且q的真假性: (2)命题p或q的真假性: (3)p与綈p的真假性: 命题“p∧q”的真假, 概括为同真为真, 有假为假; 命题“p∨q”的真假, 概括为同假为假, 有真为真; 命题p与“綈p”的真假相反． 第一课时“且”“或”“非” [对应学生用书P8] 分析命题的结构 [例1]指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成, 并写出其中的命题p, q: (1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形; (2)方程x2－3＝0没有有理根; (3)如果xy<0, 则点P(x, y)的位置在第二或第三象限． [思路点拨]根据命题的含义, 确定逻辑联结词, 分解出命题p和q. [精解详析](1)“p且q”的形式; 其中p: 两个角是45°的三角形是等腰三角形; q: 两个角是45°的三角形是直角三角形; (2)“非p”的形式; p: 方程x2－3＝0有有理根; (3)“p或q”的形式; 其中p: 如果xy<0, 则点P(x, y)的位置在第二象限: q: 如果xy<0, 则点P(x, y)的位置在第三象限． [一点通]正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键．根据各命题的语句中所出现的逻辑联结词或语句的意义确定命题的形式．若命题中没有出现逻辑联结词, 则可根据语句的意义确定命题的构成形式． 1．分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题: (1)2既不是偶数, 也不是质数; (2)王某是体操运动员或跳水运动员; (3)正方形既是矩形, 也是菱形; (4)仅有一组对边平行的四边形是梯形或平行四边形; (5)方程2x2－x＋1＝0没有实数根． 解: (1)这个命题是“p且q”的形式, 其中p: 2不是偶数, q: 2不是质数; (2)这个命题是“p或q”的形式, 其中p: 王某是体操运动员, q: 王某是跳水运动员; (3)这个命题是“p且q”的形式, 其中p: 正方形是矩形, q: 正方形是菱形; (4)这个命题是“p或q”的形式, p: 仅有一组对边平行的四边形是梯形, q: 仅有一组对边平行的四边形是平行四边形． 高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 高二数学选修2－1知识点 第一章常用逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性： 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p、q都是真命题时，p q ∧是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p是真命题，则p ?必是假命题；若p是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示．含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题“对M中任意一个x，有() p x成立”，记作“x ?∈M，() p x”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示．含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题“存在M中的一个x，使() p x成立”，记作“x?∈M，() p x”． 10、全称命题p：x ?∈M，() p x，它的否定p ?：x?∈M，() p x ?．全称命题的否定是特称命题． 第二章圆锥曲线与方程 11、平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离之和等于常数（大于 12 F F）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质： 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形 标准方程() 22 22 10 x y a b a b +=>>() 22 22 10 y x a b a b +=>>范围a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 () 1 ,0 a A-、() 2 ,0 a A () 1 0,b B-、() 2 0,b B () 1 0,a A-、() 2 0,a A () 1 ,0 b B-、() 2 ,0 b B 轴长短轴的长2b =长轴的长2a = 焦点() 1 ,0 F c-、() 2 ,0 F c() 1 0, F c-、() 2 0, F c 焦距() 222 12 2 F F c c a b ==- 对称性关于x轴、y轴、原点对称 原命题逆命题否命题逆否命题真真真真 真假假真 假真真真 假假假假 1.1.1 命题 学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．命题的定义与分类 (1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． (2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题． (3)分类 命题? ?? ?? 真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句 思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？ (2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假． (2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题． 2．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式． 思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ [提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”． [基础自测] 1．思考辨析 (1)一个命题不是真命题就是假命题． ( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题． ( ) [解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3； ③一个数不是正数就是负数；④x >2； ⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！ A ．①②③ B ．①③④ 选修2-3课本例题习题改编 1.原题（选修2-3第二十七页习题1.2A 组第四题）改编1 某节假日，附中校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表. 要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁 也 不 能 相 邻 ， 则 共 有 多 少 种 不 同 的 安 排 方 法 （ ）A ．336 B ．408 C ．240 D ．264 解：方法数为：选 改编2 某地高考规定每一考场安排24名考生，编成六行四列就坐.若来自同一学校的甲、乙两名学生同 时排在“考点考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是 ( )A ． B ． C ． D ． 解：若同学甲坐在四角的某一个位置，有种坐法，此时同学乙的选择有种；若同学甲坐在四边（不在角上）的某一个位置，有种坐法，此时同学乙的选择有种；若同学甲坐在中间（不在四边、角上）的某一个位置，有种坐法，此时同学乙的选择有种；故所求概率为答 案选 2.原题（选修2-3第二十七页习题 1.2A 组第九题）改编 1 在正方体 的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成 直线，在这些直线中任取一条，它与对角线垂直的概率为_________． 解：如图，分别为相应棱上的中点，容 易证明正六边形，此时在正六边形上有条，直 线与直线垂直；与直线垂直的平面还有平面、平面、 平面、平面，共有直线条．正方体的各个顶点与各棱的中点共20个点，任取2点连成直线数为条直线（每条棱上如直线其实 为一条），故对角线垂直的概率为 改编2 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 （A ） （B ） （C ） （D ） 解：如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意 625224 6252242336,A A A A A A -+=.A ????276119272 119136119138119 42112208194211220819119 ,2423138 ?+?+?=?.D 1111ABCD A B C D -1BD ,,,,,,,,,,,E F G H I J K L M N P Q 1BD ⊥EFGHIJ 2 615C =1BD 1BD ACB NPQ KLM 11A C B 2 3412C ?=1111ABCD A B C D -22 20312(1)166C C -?-=,,AE ED AD 1BD 151227 .166166 +=1752753754 75 ???? ?B C D E F 图4 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P 2. 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ 点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ＝ρcosθ， ＝ρsinθＷ. (2)直角坐标化极坐标 2＝x2＋y2， θ＝y x（x≠0）. 三简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： -可编辑- 高中数学选修2----2知识点 第一章 导数及其应用 知识点： 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割 线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的 斜率k ，即000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ', 即0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 考点：无 知识点： 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α =,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x '= 2）导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()() [ ]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 3）复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 考点：导数的求导及运算 ★1、已知 ()22sin f x x x π=+-，则()'0f = ★2、若()sin x f x e x =，则()'f x = ★3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ， 4)1(=-'f ，则a=（ ） 3 19.3 16 .3 13.3 10.D C B A ★★4.过抛物线y=x 2上的点M )4 1,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° ★★5.如果曲线2 932 y x = +与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x = 三.导数在研究函数中的应用 知识点： 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是: (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 1. 2.1充分条件与必要条件 教学目标：正确理解充分条件、必要条件的概念；通过对充分条件和必要条件的概念理解和运用，培养学生逻辑思维能力和良好的思维品质。 教学重点：理解充分条件和必要条件的概念. 教学难点：理解必要条件的概念. 教学过程： 一、复习准备： 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假： （1）若0ab =，则0a =； （2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. 二、讲授新课： 1. 认识“?”与“”： ①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab =0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >?函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. ②练习：教材P10 第1题 2. 教学充分条件和必要条件： ①若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件. ②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若1x >，则33x -<-； （2）若1x =，则2320x x -+=； （3）若()3x f x =- ，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数. （5）若12//l l ，则12k k =. （学生自练→个别回答→教师点评） 解析: 若p q ?，则p 是q 的充分条件 解：（1）（2）（3）p 是q 的充分条件。 点评：判断p 是不是q 的充分条件，可根据若p 则q 的真假进行。 ③变式练习：P10页 第2题 ④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？ （1）若0a =，则0ab =； （2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等； （3）若a b >，则ac bc >； （4）若x y =，则22x y =. （学生自练→个别回答→教师点评） 解析: 若p q ?，则q 是p 的必要条件。 解：（1）（4）q 是p 的必要条件。 点评：判断q 是不是p 的必要条件，可根据若p 则q 的真假进行。 ⑤变式练习：P10页 第3题 ⑥例3：判断下列命题的真假： （1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件. （学生自练→个别回答→学生点评） 高中数学选修4-5知识点 1．不等式的基本性质 1．实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系． (2)设a 、b 是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A 、B .当点A 在点B 的左边时，a b ． (3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义) ???a >b ?a －b >0 a ＝ b ?a －b ＝0a ，<，≥，≤共5个． (2)相等关系和不等关系 任意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等．现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的，不等是普遍的、绝对的，因此绝大多数的量都是以不等关系存在的． (3)不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式． (4)不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系． 3.不等式的基本性质 (1)对称性：a >b ?b b ，b >c ?a >c ； (3)可加性：a >b ，c ∈R ?a ＋c >b ＋c ； (4)加法法则：a >b ，c >d ?a ＋c >b ＋d ； (5)可乘性：a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac 高中数学选修2-3知识点总结 第一章 计数原理 1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的 方法，在第二类办法中有M 2种不同的方 法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的 方法，那么完成这件事情共有 M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要 分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的 方法，做第二步有M 2不同的方法，……， 做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件 事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。 3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元 素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 4、排列数： ),,()! (!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ 5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个 元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。 6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ;m n n m n C C -= m n m n m n C C C 1 1+-=+ 7、二项式定理 ：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 8、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101() 9.二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变 量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n L ， （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1 2n n C -，1 2n n C +取得最大值． （3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L ， 令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++L L 第二章 随机变量及其分布 知识点： （3）随机变量：如果随机试验可能出现的结果 可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着 试验的结果的不同而变化，那么这样的变量 叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、 Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。 （4）离散型随机变量：在上面的射击、产品检 验等例子中，对于随机变量X 可能取的值， 我们可以按一定次序一一列出，这样的随机 变量叫做离散型随机变量． 1.1.1 命题 [学习目标] 1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式. 知识点一命题的定义 (1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句叫做真命题. (3)判断为假的语句叫做假命题. [思考](1)“x>5”是命题吗？ (2)陈述句一定是命题吗？ [答案](1)“x>5”不是命题，因为它不能判断真假. (2)陈述句不一定是命题，因为不知真假，只有可以判断真假的陈述句才叫做命题. 知识点二命题的结构 从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 题型一命题的判断 例1(1)下列语句为命题的是() A.x－1＝0 B.2＋3＝8 C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树 (2)下列语句为命题的有________. ①一个数不是正数就是负数； ②梯形是不是平面图形呢？ ③22 015是一个很大的数； ④4是集合{2,3,4}的元素； ⑤作△ABC≌△A′B′C′. [答案](1)B(2)①④ [解析](1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假. (2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句. 反思与感悟并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故 高中数学选修2-3知识点汇总 目录 第一章计数原理 (2) 分类加法计数原理 (2) 分步乘法计数原理 (2) 二项式定理 (2) 第二章随机变量及其分布 (3) 第三章统计案例 (6) 高中数学选修2-3知识点总结 第一章计数原理 知识点： 分类加法计数原理 做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。 分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。 3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列 4、排列数： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ; m n n m n C C -= m n m n m n C C C 1 1+-=+ 二项式定理 ()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 8、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101() 选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数，记作 0() f x '或 |x x y ='，即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时， ()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内 苏教版 -----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合 1.1集合的含义及其表示 1.2子集、全集、补集 1.3交集、并集 第2章函数 2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法 2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性 2.3映射的概念 第3章指数函数、对数函数和幂函数 3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数 3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数 3.3幂函数 3.4函数的应用3. 4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用 -----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步 1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球 1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法 1.2点、线、面之间的位置关系1. 2.1平面的基本性质 1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线 1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直 1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直 1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步 2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式 3.一般式 2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离 2.1.6点到直线的距离 2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2. 3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离 -----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步 1.1算法的意义 1.2流程图1. 2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构 1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句 1.3.4循环语句 1.4算法案例 第2章统计 2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法 2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样 2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2. 3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差 2.4线性回归方程 第3章概率 3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率 3.2古典概型 3.3几何概型 3.4互斥事件 -----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数 1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制 1.2任意角的三角函数1. 2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系 1.2.3三角函数的诱导公式 1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质 1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用 第2章平面向量 2.1向量的概念及表示 2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘 2.3向量的坐标表示2. 3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算 2.4向量的数量积 2.5向量的应用 第3章三角恒等变换 3.1两角和与差的三角函数 3.1.1两角和与差的余弦 3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切 3.2二倍角的三角函数 3.3几个三角恒等式 -----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形 1．1正弦定理 1．2余弦定理 1．3正弦定理、余弦定理的应用 第2章数列 2．1数列 2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式 2.2.3等差数列的前n项和 2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式 2.3.3等比数列的前n项和 第3章不等式 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 高中数学选修2-2知识点汇总 目录 第一章导数及其应用 (2) 常见的函数导数和积分公式 (2) 常见的导数和定积分运算公式 (3) 用导数求函数单调区间的步骤 (3) 求可导函数f(x)的极值的步骤 (3) 利用导数求函数的最值的步骤 (4) 求曲边梯形的思想和步骤 (4) 定积分的性质 (4) 定积分的取值情况 (4) 第二章推理与证明 (5) 第三章数系的扩充和复数的概念 (7) 常见的运算规律 (8) 高中数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 常见的函数导数和积分公式 常见的导数和定积分运算公式 若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的 点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/ ()f x 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 双曲线及其标准方程导学案 【学习要求】 1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程. 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 【学法指导】 本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程. 【知识要点】 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2 探究点一 双曲线的定义 问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？ 问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|? 问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1） 6)5()5(2222=+--++y x y x ； （2）6)4()4(2 222=+--++y x y x （3）方程x ＝3y 2 －1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程 问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？ 问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？ 问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？ 例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和???? 94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 2 4＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程. 跟踪训练1 （1）过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程是 ( ) A ．12 122 =-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2 －y 212＝1 D ．x 212－y 2＝1或y 2 12 －x 2＝1 （2）若双曲线以椭圆x 216＋y 2 9＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______ 探究点三 与双曲线定义有关的应用问题 例2 已知双曲线的方程是x 216－y 2 8＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的 中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 2 5＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A ． 3 B ． 5 C ．5－ 3 D ．5＋ 3 例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程. 【当堂检测】 1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线 2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 2 9 ＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 4．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程. 【课堂小结】 1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.高中数学必修和选修知识点归纳总结
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