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不定积分的概念和性质教案13

dx=

dx=ln|x| a x dx=

=arctanx

=arcsinx 3 求∫(3e

定积分的概念(教学内容)

授课题目定积分的概念课时数1课时教学目标理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。重点与难点重点：定积分的基本思想方法，定积分的概念形成过程。难点：定积分概念的理解。学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。教材分析本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习，定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺垫，起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变代变”的基本思想。所以无论从内容还是数学思想方面，本次课在教材中都处于重要的地位。教学方法根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。

教学手段传统教学与多媒体资源相结合。课程资源同济大学《高等数学》（第七版）上册教学内容与过程一、定积分问题举例 1、曲边梯形的面积设)(x f y =在区间],[b a 上非负连续。由)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的图形称为曲边梯形（见下图），求其面积A ，具体计算步骤如下：（1）分割：在区间],[b a 中任意插入1-n 个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ 把],[b a 分成n 个小区间 ],[,],,[],,[12110n n x x x x x x -Λ 它们的长度依次为：n x x x ???,,,21Λ （2）近似代替：区间],[1i i x x -对应的第i 个小曲边梯形面积,)(i i i x f A ?≈?ξ ]).,[(1i i i x x -∈?ξ （3）求和：曲边梯形面积∑∑==?≈?=n i i i n i i x f A A 1 1 )(ξ （4）取极限：曲边梯形面积,)(lim 10∑=→?=n i i i x f A ξλ其中 }.,,m ax {1n x x ??=Λλ 2、变速直线运动路程设物体做直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的非负连续函数，计算这段时间内物体经过的路程s ，具体计算步骤与上相似 x a b y o 1x i x 1-i x i ξ

第五章_第一节_不定积分的概念、性质.

经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念不定积分的几何意义基本积分表不定积分的性质小结思考题经济数学——积分二—原函数与不定积分的概念定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节五、

定理原函数存在定理：如果函数八X)在区间内连续, 那么在区间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分关于原函数的说明: (1) (2) 证说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或经济数学一微积分

经济数学——微积分不定积分（indefinite integral ）的定义：在区间/内，函数/（兀）的带有任意常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋心& =皿2 被积函数『积分号积分变量寒积表达式 F(x)

高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质

高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第5章定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义；【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质；【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2学时【教学过程】：案例研究引例5.1.1 曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边梯形的面积．分析由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间 [,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间 [,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边图5-1 图5-2

梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . （1）分割在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形；（2）取近似在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点 1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=，（3）求和把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ，将其作为曲边梯形面积的近似值，即 11()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑；（4）取极限当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ （max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即 01lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 5.1.1 定积分的定义定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --，各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的乘积),,2,1()(n i x f i i =?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i =，当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区

定积分的概念(教案)

1.5.3．定积分的概念一、复习回顾： 1．回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤： 2．上述两个问题的共性是什么？二、新知探究 1．定积分的概念注：说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为 ()b a f x dx ?，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：（3）曲边图形面积：变速运动路程：变力做功：例1：利用定积分的定义,计算 dx x ?102 、 dx x ?1 03 的值.

2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 ?b a dx x kf )(= ；性质2 dx x g x f b a ?±)]()([= 性质3 ??=c a b a dx x f dx x f )()( + 3．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b a f x dx ?表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分 ()b a f x dx ?的几何意义。思考：（1）在[,]a b 上0)(≥x f ，()b a f x dx ?= （2）在[,]a b 上0)(≤x f ，()b a f x dx ?= （3）在[,]a b 上)(x f 变号，()b a f x dx ?=

⑤ 练习： 1、利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。（1） dx x ?20sin π （2）dx x ?-212 （3）dx x ?-1 23 2、利用定积分的几何意义，说明下列各式成立（1） 0sin 22=?-dx x π π ， 0sin 20=?dx x π （2）dx x dx x ??=200sin 2sin π π 3、计算下列定积分（1）dx b a ?1 （2）11x dx -?．（3） 5 0(24)x dx -? （4） dx x ?-1021 （5）120(2)x x dx -? 三、课堂小结： ①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义

曲线积分与曲面积分备课教案

第十章曲线积分与曲面积分一、教学目标及基本要求： 1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。 5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。二、教学内容及学时分配：第一节对弧长的曲线积分2学时第二节对坐标的曲线积分2学时第三节格林公式及其应用4学时第四节对面积的曲面积分2学时第五节对坐标的曲面积分2学时第六节高斯公式通量与散度2学时第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时三、教学内容的重点及难点： 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用五、思考题与习题第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5 第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数）第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7 第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8 第五节习题10-5 167页：3（单数）、4 第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数）第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4 第一节对弧长的曲线积分一、内容要点由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量

定积分的概念与性质练习

第一节定积分的概念与性质一、选择题 1. A ； 2. C . 二、填空题 1. （1）1; （2）0; （3）4 π. 2. （1）1 2 x dx ? > 1 30 x dx ? ，（2）2 1ln xdx ? > () 2 2 1ln x dx ?，（3） 20 xdx π ? < 20 sin xdx π ? ，（4）4 3 ln xdx ? < () 4 2 3ln x dx ?. 三、解由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分2 21 x dx -? 是存在的，且它与分法无关，同时也与点的取法无关. 将区间[]0,1n 等分，得1 i x n = ，取() 1,2,, i i i n n ξ== 作和 ()2 3 2 1 1 13 344 0001114 n n n n i i i i i n n i S x i n n n n ξ---===+??==== ???∑∑∑ 于是 1 lim 4n n S →∞= 即 13 014 x dx =?. 四、细棒的质量()0 l x dx ρ?. 五、 1 13 x e dx -+? 311 x e dx +-=-?. 设()()1 1,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加，从而 ()()()13f f x f -≤≤，即1 41x e e +≤≤. 于是 3 141 44x e dx e +-≤≤? 从而 1 4 13 44x e e dx -+-≤ ≤-? . 六、设()()2 21,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点1 4 x = . ()17101,,1482f f f ???? === ? ????? .所以 min ()f x =1, max ()f x =78. 1≤≤ 由定积分性质，得 1 2012≤≤ ?.

(完整版)定积分教案

《数学分析》之九第九章定积分（14+4学时）教学大纲教学要求： 1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义 2．了解上和与下和及其有关性质 3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类 4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式 5．了解积分第一中值定理 6．掌握变上限积分及其性质 7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法教学内容：问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。第页

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第页

=i 1 。则称函数)(x f 在[b a .]上可积或黎曼可积。数J 称为函数)(x f 在[b a .]上的定积分或黎曼积分，记作： ?=b a dx x f J )( 其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，[b a .]称为积分区间，dx x f )(称为被积式，b a ,分别称为积分的下限和上限。定积分的几何意义；连续函数定积分存在（见定理9.3）三、举例: 例1 已知函数在区间上可积 .用定义求积分 . 解取等分区间作为分法 n b x T i = ?, 取 .= . 由函数)(x f 在区间],0[b 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 . 例2 已知函数2 11 )(x x f += 在区间]1,0[上可积 ,用定义求积分 . 解分法与介点集选法如例1 , 有 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分

人教课标版高中数学选修2-2：《定积分的概念》教案-新版

1.5.3 定积分的概念一、教学目标 1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力. 2．学习目标（1）借助几何直观体会定积分的基本思想；（2）初步了解定积分的概念. 3．学习重点定积分的概念与定积分的几何意义 4．学习难点定积分的概念二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务:预习教材P 45—P 48,完成相应练习题 2．预习自测 1.设 f (x )＝????? x 2(x ≥0)，2x (x <0)，则??－1 1f (x )dx 等于（） A ．??－11x 2dx B ．??－1 12x d C ．??－10x 2dx ＋??012x dx D ．??－102x dx ＋??01x 2dx 答案：D 2.定积分?1 3 (－3)dx 等（）

A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 答案：A 3.已知t >0，若??0t (2x －2)dx ＝8，则t ＝（） A ．1 B ．－2 C ．－2或4 D ．4 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾求曲边梯形面积的步骤 ①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值； ③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞ =（S 即为曲边梯形的面积） 2．问题探究问题探究一什么是定积分？学生活动：阅读课本相应内容，找到定积分的定义，并概括出求定积分的基本步骤：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<< <<< <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点()12i i ,,...,n ξ=，作和式1 1 ()()n n i i i i b a f x f n ξξ==-?=∑∑ ，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()b a f x dx ?.

第一节二重积分的概念及性质教案

第九章重积分第一节二重积分的概念及性质一．二重积分的概念 1．引例引例1 曲顶柱体的体积设有一立体的底是xy 面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，顶是有二元非负连续函数),(y x f z = 所表示的曲面，如图9—1所示，这个立体称为D 上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。图9—1 图9—2 图9—3 解对于平柱体的体积底面积高?=V ，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下 (1)分割把区域D 任意划分成n 个小闭区域n σσσ???,,,2 1 ，其中i σ?表示第i 个小闭区域，也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，如图9—2所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体。 (2)近似在每一个小闭区域i σ?上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，i σ?为底的平顶柱体的体积i i i f σηξ?),(近似代替第i 个小曲顶柱体的体积。

i i i f V σηξ?≈?),( (3)求和这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值 ∑=?≈?=n i i i i f V V 1),(σηξ (4)取极限将区域D 无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。即 ∑=→?=n i i i i f V 10 ),(lim σηξλ 其中λ表示这n 个小闭区域i σ?直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间的距离）。引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xy 面上的有界闭区域D ，它的密度为D 上的连续函数 ),(y x z ρ=，试求平面薄片的质量。解对于均匀平面薄片的质量薄片面积密度?=m ，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下 (1)分割将薄片（即区域D ）任意划分成n 个小薄片n σσσ???,,,2 1 ，其中i σ?表示第i 个小小薄片，也表示它的面积，如图9—3所示。 (2)近似在每一个小薄片i σ?上任取一点),(i i ηξ，以),(i i ηξρ为其密度，当i σ?很小时，认为小薄片是均匀的，则i i i σηξρ?),(近似代替第i 个小薄片的质量。即 i i i m σηξρ?≈?),( (3)求和这n 个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值

高等数学教案22定积分的概念与性质

第5章定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义；【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质；【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2学时【教学过程】：案例研究引例曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边梯形的面积．分析由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间[,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间[,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . 图5-1 图5-2

（1）分割在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x --ΛΛ，它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形；（2）取近似在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=，（3）求和把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ，将其作为曲边梯形面积的近似值，即 1 1 ()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑；（4）取极限当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ（max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即 0 1lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 定积分的定义定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --，各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的乘积),,2,1()(n i x f i i Λ=?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i Λ=，当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区间[,]a b 上可积，并将此极限值称为函数()y f x =在[,]a b 上的定积分，记为 ?b a dx x f )(. 即 ∑?=→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ，其中x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式， a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间，符号?b a dx x f )(读作函数()f x 从

二重积分的概念与性质教案

7.1二重积分的基本概念（教案）主讲人：孙杰华教学目的：理解二重积分的概念、性质教学重难点：二重积分的概念、二重积分的几何意义. 教学方法：讲授为主教学内容：一、二重积分的概念 1．曲顶柱体的体积设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =，称这种立体为曲顶柱体. 与求曲边梯形的面积的方法类似，我们可以这样来求曲顶柱体的体积V : (1)用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ?，2σ?，，n σ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1?Ω，2?Ω，，n ?Ω. （假设i σ?所对应的小曲顶柱体为i ?Ω,这里i σ?既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值.)，从而1 n i i V ==?Ω∑．图7.1 (2)由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大．因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是

(,),((,))i i i i i i i f ξησξησ?Ω≈??∈?. (3)整个曲顶柱体的体积近似值为 1 (,)n i i i i V f ξησ=≈?∑. (4)为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩．为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者. 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零. 设n 个小区域直径中的最大者为λ,则 1 lim (,),(,)n i i i i i i i V f λξησξησ→==??∈?∑. 2．二重积分的定义设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域 12,,,,n σσσ??? 其中,i σ?既表示第i 个小区域,也表示它的面积, i λ表示它的直径. 1max{}(,)i i i i i n λλξησ≤≤=?∈?，作乘积(,)(1,2 ,)i i i f i n ξησ?=，作和式 1 (,)n i i i i f ξησ =?∑，若极限()0 1 lim ,n i i i i f λξησ →=?∑存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,记作 (),D f x y d σ??.即 (),D f x y d σ=??()0 1 lim ,n i i i i f λξησ →=?∑．其中:(),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素, ,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域. V n

定积分的概念说课稿教案教学设计

定积分的概念教学目标： 1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征. 2. 理解定积分及几何意义. 3. 掌握定积分的基本性质及其计算教学重点与难点： 1. 定积分的概念及几何意义 2. 定积分的基本性质及运算教学过程： 1. 定积分的定义： 2. 怎样用定积分表示： x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？ t =0，t =1，v =0及v =-t 2-1所围成图形的面积？ 31)(102 1 01??===dx x dx x f S 35)2()(102102??=+-==dt t dt t v S 3. 你能说说定积分的几何意义吗？例如 ?b a dx x f )(的几何意义是什么? 梯形的面积所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f b a ==≠==? 4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？思考：试用定积分的几何意义说明 1.?-2 024dx x 的大小由直线x =0，x =2，y =0及24x y -=所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的41，.4202π=-∴? dx x 2. 011 3=?-dx x 5. 例：利用定积分的定义，计算01 03=?dx x 的值.

6.由定积分的定义可得到哪些性质？常数与积分的关系 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( 和差的积分推广到有限个也成立 ???±=±b a b a b a dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121 区间和的积分等于各段积分和 )()()()(b c a dx x f dx x f dx x f b c c a b a <<+=???其中 7练习：计算下列定积分?-3 12)2(dx x x

浅析反常积分与定积分的定义与性质

浅析反常积分与定积分的定义与性质浅析反常积分与定积分的定义与性质浅析反常积分与定积分的定义与性质刘汉兵1，刘树兵2 （1.中国地质大学（武汉）数理学院，湖北武汉430074；2.湖北省鄂州市第二中学，湖北鄂州436001）摘要：积分学是微积分理论中的一个重要部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类。这两类积分各自具备一些性质，而这些性质常常被拿来相互比较。本文将从定义出发，结合一些反例，深入剖析定积分和反常积分的性质差异及其原因。关键词：反常积分与定积分；性质差异；定义作者简介：刘汉兵（1985-），男（汉族），湖北鄂州人，博士，讲师，研究方向：微分方程的最优控制理论；刘树兵（1982-），男（汉族），湖北鄂州人，本科，高中教师，研究方向：数学教学教育。积分学是微积分理论中的一个重要组成部分。一元函数的积分学主要包括定积分和反常积分两大类，反常积分又包含了无穷积分与瑕积分，它们可以看作是定积分的推广，是定积分的某种意义下的极限形式。粗略来看，反常积分是更为一般的积分，定积分作为更为特殊的积分，应该具备反常积分所具备的性质。但

是在这部分内容的学习过程中，可以看到反常积分与定积分的一些性质有所区别，甚至从表面上看，反常积分的一些性质，定积分并不具备。本文将从定义出发，剖析这些性质的差异及其原因，以更加准确深刻的理解定积分和反常积分的异同。一、无穷积分与定积分的定义与性质我们知道对于无穷积分，有如下的一个重要性质。这显然是不合情理的，因为无穷积分是定积分的推广，定积分是更为特殊的积分。仔细分析会发现，上述两个命题中第二个命题即为定理2的结论，是真命题，而命题一看似定理1的结论，但是它与定理1的描述相比，去掉了一个非常重要的条件：“f在任何有限区间[a，u]上可积”，所以命题一是错误的。实际上，我们上述定义的函数E（x）可以更直接的说明命题一是不对从定理的证明我们也可以进一步认识到A、B两部分内容的差异对定理结论的影响。定理1的两个证明都是围绕积分上限趋于正无穷时，变上限积分极限的存在性展开的，而定理2的证明则是依赖于有限区间上的可积性定理，即证明当划分足够细时，Daboux大和与Daboux小和收敛到同一个极限，这是完全不同的两个对象。另一方面，我们从证明里面看到，定理1确实是依赖于条件A的。在定理1的证明里，我们用到了f（x）在任一有限区间上的定积分，如果没有条件A，这些定积分是不存在的，这也说明了为什么不能运用定理1的证明方法得到定积分的类似性质。

定积分的概念的教学设计

《1.5.3定积分的概念》教学设计 1．教材分析 1．1课标要求分析从教材上的要求来看，要求学生认识定积分的知识背景，理解背景中两个典型问题的解决思想，并能概括它们的共同特征从而引入定积分概念，理解定积分的含义和其符号的含义，明白定积分的几何意义和基本性质。我个人认为由两个实例引入定积分概念这步很重要，能让学生理解定积分这一抽象的概念，并理解定积分的用途。 1．2教学内容分析 1．2．1内容背景分析本节内容是人教A版选修2—2的1.5.3的内容，前面两节学习了如何解决“求曲边梯形面积”和“求变速运动路程”两个经典问题，在这两个问题的知识背景下这节课很自然地引入了定积分的概念。这样能让学生充分理解定积分的由来和用途。 1．2．2教学内容的分析人教版的这节课的内容比较简短，要求掌握的层次也比较低。主要通过前面两个实例的解决思路进行概括引入定积分的概念，明白积分的概念，积分符号的含义，了解定积分的几何意义和几个基本性质。通过例1让学生进一步熟悉定积分的定义，熟悉计算定积分的“四步曲”。 2．学情分析我上这堂课的班级是高二（3）班，这个班在高二四个班中属于中等水平，上课思维不大活跃，不分学生接受能力还可以，但后进生比较多，这些学生基础较为薄弱，而且定积分的概念较为抽象，在引入的过程中包含了数列求和，求极限等复杂的知识内容。作为引入定积分概念的课，推导的计算过程简单带过就好，不宜把知识点挖得太深。我把这节课的重点放在让学生了解定积分概念的由来，明白定积分符号的含义、定积分的集合意义和一些基本性质，让学生掌握用定义求定积分的步骤。 3．教学目标 1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景； 2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分； 3.理解掌握定积分的几何意义． 4．教学重点和难点重点：理解定积分的概念、定积分的几何意义及基本性质，能用定义求简单的定积分．难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 5．教学过程 1．创设情景复习： 1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决思路，解决步骤：求曲边梯形面积: 分割→以直代曲→求和→取极限（逼近）求汽车路程:分割→以不变代变→求和→取极限（逼近） 2．思考一下解决前面两个问题的共同特点： 2．新课讲授

5.1定积分的概念与性质_习题

1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）；【解】第一步：分割在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-L ），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+，（1,2,,k n =L ），每个小区间的长度均为k b a n -?=，取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+，（1,2,,k n =L ），第二步：求和对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2 b a b a n n na n n ---=+? 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-22 2b a -=，即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。 ⑵ 1 x e dx ?。【解】第一步：分割

不定积分概念及其基本运算性质

备课本 Lesson Preparation ______--______学年第____学期 Academic Year - Semester 课程名称_______________________ Course 教材名称及版本_______________________ T extbook and Edition 授课班级_______________________ Class 教师姓名_______________________ Teacher 审核人_______________________ Approver

填写说明 1、此备课本用来书写教案，适用于所有专职教师、兼职教师和兼课教师。 2、所有承担教学任务的教师需书写纸质版教案，如因使用多媒体教学需要和教学任务繁重，可用电子版教案，但格式必须按纸质版格式，且所有教案的书写应与学期授课计划相符合。 3、备课过程中的各个环节和要素可根据实际授课内容进行填写。如：授课课题：（教学章、节、标题或项目名称）教学目标和要求：（教学目标一般说应包含知识教学、能力发展和思想教育三方面内容，教学要求是指识记、理解、简单应用、综合应用等层次）教学重点和难点：教学重点，是为了达到确定的教学目的而必须着重讲解和分析的内容；教学难点，是就学生的接受情况而言的，学生经过自学还不能理解或理解有困难的地方，即可确定为教学难点。教学方法：（讨论、启发、演示、辩论、讲练结合、案例教学、情境模拟等）教学手段：（多媒体教学、录像带、挂图、幻灯片等）授课时间：第周课时累计：教学过程：（体现教学步骤，包括时间分配和教学内容教学进程）作业布置：（含思考题、讨论题）课后反思：（因为课后反思是教案实施效果追记，课前还不能打印，只能课后用笔手写） 4、备课本的审核人为各教研室（项目中心）主任。

不定积分教案

第五章不定积分教学安排说明章节题目：5.1 不定积分的概念 5.2 不定积分的性质 5.3 换元积分法 5.4 分部积分法学时分配：共6学时。 5.1 不定积分的概念1学时 5.2 不定积分的性质1学时 5.3 换元积分法2学时 5.4 分部积分法2学时本章教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法，熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分。课堂教学方案（一）课程名称：5.1 不定积分的概念；5.2 不定积分的性质授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式，了解不定积分的基本运算法则，能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分

教学重点、难点：教学重点：原函数和不定积分的概念,不定积分的性质及几何意义，不定积分的基本公式；教学难点：不定积分的概念及几何意义和用不定积分的性质求不定积分。教学内容 5.1 不定积分的概念 1.原函数与不定积分在微分学中，我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题。但是，在科学、技术和经济的许多问题中，常常还需要解决相反的问题，也就是要由一个函数的已知导数（或微分），求出这个函数。这种由函数的已知导数（或微分）去求原来的函数的运算，称为不定积分，这是积分学的基本问题之一。定义1如果函数) F为定义在某同一区间内的函数,并且处处都有 (x f与) (x x F=或d()()d =, F x f x x f ('x ( ) ) 原函数. 则称) f的一个 (x F是) (x ．．根据导数公式或微分公式,我们很容易得出一些简单函数的原函数.如(sin='，故x ) x cos x sin是x cos的一个原函数； )1 +，故1 (sin=' x cos x x也是x sin+ cos的一个原函数； (2='，故2x是x2的一个原函数； ) x2 x (2=' +，故2x也是x2的一个原函数. x2 )2 x ．．．．．．