数学建模万能模板
“中国矿大出版杯”
第五届苏北数学建模联赛
题 目 A 题：私家车保有量增长及调控问题
摘 要
私人汽车保有量与社会经济发展有着密切的联系，然而，私人汽车保有量的
剧增给能源、环境带来了巨大的压力，因此调控汽车保有量显得尤为重要。本文通过对已有数据的统计分析，根据相关的数学建模知识，解决了题目要求的实际问题。
针对问题一，通过建立并求解熵值法确定了汽车保有量的影响因素。并以此
分别建立了灰色预测模型、BP 神经网络模型，在这两种模型的基础上，进行了优化处理，建立了灰色-神经网络组合模型，并求解出2008-2010年的预测值（见
得知加息、上调存款准备金率对私人汽车保有量的影响是温和轻微的。
针对问题三，根据汽车尾气的排放情况，分析了两类汽车的数量、运营里程
与废气排放之间的关系，建立了LEAP 模型，并提出可行性方案。在理想的排放尾气状况下，得到了合理的调控汽车保有量方案。
随后给出了模型的改进方案，并指出模型的优缺点。最后，结合本文的优越
性，我们给政府和消费者提出了一些建议。
关键词： 汽车保有量预测 熵值法 灰色-神经网络 权系数
Logistic 关系 LEAP 模型
参赛队号 1503
目录
一、问题的提出 (2)
二、背景简述 (2)
三、基本假设与符号说明 (3)
3.1. 基本假设 (3)
3.2. 符号说明 (4)
四、问题分析与建模流程 (4)
4.1. 问题一的分析 (4)
4.2. 问题二、三的分析 (5)
五、数学模型的建立与求解 (6)
5.1. 确定影响因素模型（熵值法）的建立 (6)
5.2. 影响因素的确定 (7)
5.3. 私人汽车保有量预测模型的建立 (9)
5.4. 私人汽车保有量的预测 (16)
5.5. 升息等因素对汽车保有量的影响 (18)
5.6. 调控汽车保有量 (21)
六、模型的改进 (27)
七、模型的评价 (28)
八、相关建议 (28)
参考文献 (29)
附录 (30)
一、问题的提出
我国经济的快速发展为私人汽车提供了巨大的发展空间。据中国汽车工业协会估算，截止到2006年底，中国私人汽车保有量约为2650万辆，占全国汽车保有量的60%左右。在2006年，我国汽车销量为710多万辆，私人购买比例超过77%，中国已经成为仅次于美国的全球第二大新车市场。
据世界银行的研究，汽车保有量 (尤其是私人汽车)与人均国民收入成正比。2003年，我国国内人均GDP首次突破1000美元，这预示着中国汽车开始进入家庭消费阶段。而事实表明，随着中国人均GDP的稳健增长，近年来，我国的家用汽车销量以两位数的增速急剧扩大。汽车特别是用于消费的私人汽车保有量的多少，与经济发展程度、居民收入以及道路建设等有着密切的联系。随着私人汽车消费时代的到来，汽车保有量上升的一个重要因素就是国内汽车消费的快速增长。消费者购买力的增强和个体私营经济的快速发展，也带动了私人汽车的大发展。私人汽车保有量与一个国家或地区的社会经济发展的有关数据有着密切关系。附表提供了我国某一经济发达地区的一些相关统计数据。
然而，当我们快速迈进以私人汽车为主体的汽车社会的时候，也面临着新的考验，除了能源紧缺、燃油价格上涨、土地资源有限等诸多不利因素对汽车发展带来巨大的压力外，环境污染也对汽车工业的发展提出了严格的要求。我国于上世纪1999年对生产的小汽车废气CO、HC、NOX和PM允许排放量制订了国家标准(相当于欧洲标准)。规定生产的汽车从2000年1月1日起实施国Ⅰ排放标准，从2005年1月1日起实施国Ⅱ排放标准，从2007年7月1日起实施国Ⅲ排放标准，从2010年1月1日起实施国Ⅳ和国Ⅴ排放标准(实现基本与欧洲标准同步)。据有关资料介绍，在城市交通中，小汽车与公共汽车相比，单位小汽车排放的污染物比公共汽车高9倍。如果对这种快速增长不从战略的高度加以科学引导和调整，汽车的迅猛增长将不再单纯体现经济建设成就，巨大的负面效应也将成为社会发展的阻碍因素。
请研究下述问题：
问题1：根据附表中【附录1】的相关数据建立数学模型，分析影响该地区私人汽车保有量的因素，并预测到2010年该地区私人汽车保有量有多少？
问题2：自2007年以来，CPI指数累创新高，为了稳定宏观经济，控制投资与物价的过快上涨，防止过大的资产价格泡沫和过度的投机, 政府决定自去年开始及今后一段时期内采取从紧的货币政策，如，加息、提高人民币存款准备金等等. 据统计, 2007年政府5次升息，9次上调存款准备金率，分析这些措施对该地区私人汽车保有量有什么样的影响？
问题3：假设私人汽车的年运行公里数是公交车年运行公里数的五分之一。按
（要求CO排放量每公里不超过2.3克，HC+NOX 照汽车废气国III排放标准（欧III）
排放量每公里不超过0.56克，PM排放量每公里不超过0.05克）, 如何根据该地区的汽车废气的排放情况，来调控公交车和私人汽车保有量？
二、背景简述
改革开放以来,我国的国民经济取得了巨大发展,工业化进程不断加快,经济结构发生了重大变化,人民生活水平得到了显著提高,与人民生活密切相关的交通也取得了长足的发展,我国的汽车工业也呈现出一片繁荣景象,并将逐步成为国民经济的支柱产业之一。
中国汽车工业走过了四十年的发展历程,特别是改革开放以来,更是取得了蓬勃发展。我国经济的快速发展为汽车工业提供了巨大的发展空间,同时也提供了巨大的市场。从我国汽车工业的现状和世界汽车工业发展水平来看,我国汽车发展的销售市场在较长一段时间内将以国内市场为主,这就需要对影响国内汽车市场发展的各个因素进行分析,对国内市场需求作出科学预测,合理的制定长期和短期发展计划。
而且随着我国人均GDP的稳健增长，近年来，我国的家用汽车销量以两位数的增速急剧扩大。汽车特别是用于消费的私人汽车保有量的多少，与经济发展程度、居民收入以及道路建设等有着密切的联系。随着私人汽车消费时代的到来，汽车保有量上升的一个重要因素就是国内汽车消费的快速增长。消费者购买力的增强和个体私营经济的快速发展，也带动了私人汽车的大发展。私人汽车保有量与一个国家或地区的社会经济发展的有关数据有着密切关系。
汽车工业是我国工业的支柱产业,建立我国汽车保有量的预测模型对制定我国汽车工业发展的政策,对我国公路交通事业的规划以及环保与综合交通运输方面相关政策的制定能提供更多的信息。1985年,有关专家应用灰色理论,以我国历年汽车产量为依据,经过累加生成时间序列,用微分方程拟合建立了我国汽车保有量的预测模型。但该预测模型没有考虑影响汽车产业的各因素,仅作为一般时间序列问题来建模,因而其精确度并不令人满意,尤其对预测中长期我国汽车的保有量误差较大。通常由于下列原因,在汽车保有量的预测建模方面往往难以取得令人满意的结果。
1、汽车保有量的预测是一个多变量非线性预测问题,而在多变量非线性的预测建模方面,目前多采用统计方法。
2、汽车保有量的预测具有一定程度的不确定性,这使得一些建模与预测的结果往往难如人意。
3、汽车保有量的预测因素间的相关性错综复杂,主次关系变化不定,数量关系难以提取及定量分析。
4、汽车保有量的预测所处理的数据量往往十分庞大,同时对算法的要求较高。
三、基本假设与符号说明
3.1. 基本假设
结合本题实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些未知因素的干扰，提出了以下几点假设：
1、附件中提供的数据都是真实可靠的或所给的数据都在误差允许范围之内；
2、在预测期内影响汽车保有量的因素不会发生突变，也不会出现其他新的影响
汽车保有量的因素；
3、消费者购车的意向是独立的，其相互之间的影响可以忽略不计；
4、政府采用的升息、上调存款准备金率等措施是合理的，其它措施不直接影响
私人汽车保有量；
5、2008-2010年升息、上调存款准备金率与2007年相似，其波动变化不会太大；
6、各辆车严格按照汽车废气国III排放标准（欧III），在理想条件下，是符合
环境需求的，不会过大地造成环境污染；
7、题目给出的单位小汽车排放的污染物比公共汽车高9倍、私人汽车的年运行
公里数是公交车年运行公里数的五分之一等条件是客观合理的。
3.2. 符号说明
为了便于问题的求解，我们给出了以下符号说明：
符号 符号意义
0x
原始数列
()i x
累加序列 (1)(1)i Q + 一次累加序列(1)Q 的预测值
(0)(1)i Q
+ 一次累减得原始数列(0)Q 的预测值 []s j x 网络中s 层第j 年的输出预测值
[]s j W 网络中s 层第j 年相关的影响因素
[1]
s j x - 网络中(1)s -层第j 年的输入实际值
j Q 网络中各层第j 年的实测系统漏失量
t x 第t 个年的实际值
()1,2it Y i = 第i 种方法第t 个年的预测值
it A
it Y 在时刻t 的预测精度 ()it A σ 预测方法i Y 的有效度指标
()1,2i k i = 第i 种预测方法的加权系数
t Y 组合预测方法的预测值
t A 组合预测在t 时刻的预测精度
S 组合预测的有效度指标 ()t A σ
组合预测精度序列均方差 ()12cov ,t t A A 协方差
()1,2i i σ= 预测方法()1,2i Y i =与实际值的均方差
四、问题分析与建模流程
4.1. 问题一的分析
在问题一中，目前采用的私家车保有量预测的常规方法(数理统计方法),要求
有较多的统计数据,并且要求统计数据有较好的分布规律，此外人均国内生产总值、全社会消费品零售总额、全社会固定资产投资总额、运营公交车辆数、公交营运总数、城市交通干线噪音均值、公交车营运总里程、道路总长、居民人均可支配收入、居民储蓄款余额、汽油(93号)年均价等对私家车保有量的预测也有一定的影响，由于受客观条件的限制,各种因素对私家车保有量的定量影响难以准确地给出。从系统论角度来看待汽车市场系统,不难看出这个系统中既存在着已知信息（即我们已经得到的最近十二年的私家车保有量统计数据），又存在着如上面提到的大量不确定的信息。可以看出汽车市场系统中既有“黑色”参数,又有“白色”参数,是一个本征灰色系统。既然影响私家车保有量的个别因素的作用效果我们难以求出,我们就力图通过对原始数据的处理,削弱随机因素的影响,使其内在的规律体现出来，而这正是灰色预测的基本思想。对私家车保有量来说,由于存在大量的不确定性因素,因而采用灰色系统预测方法进行分析就很有实用价值，这里我们首先考虑用灰色预测方法进行建模。
考虑到灰色预测方法在私家车保有量预测问题上忽略了众多的不确定因素，又考虑到这些不确定因素是非线性的，受多种复杂因素制约与影响。因此我们引入人工神经网络理论建立预测模型，该模型可以客观地描述这种复杂的因果关系。
然而私家车保有量的变化是一个指标和影响因素繁多的复杂系统,对其系统结构及输入和输出的模拟、预测和调控采用单个预测模型或部分因素和指标仅能包含或体现该系统的局部,若采用多个不同的预测模型并加以适当的有效组合或多个变量的科学综合,则可以充分地利用各种信息达到提高预测精度的目的。
这里针对私家车保有量的预测特点,建立了以预测方法有效度为优化指标的求解组合预测权重系数的优化模型,并对灰色-神经网络二元组合预测模型采用简化方法进行求解。其大体流程为图4.1。
图4.1 问题一的求解流程
4.2. 问题二、三的分析
解决问题二时，为了定量分析利息、存款储备金率的增长幅度对私家车保有量的影响，可建立Logistic模型，可求解出利息、存款准备金率的调整时间的
调整幅度，依次与实际情况进行对比，方可得出升息、上调存款准备金率等措施
对私人汽车保有量的影响。面对问题三，为了根据汽车废气的排放情况，来调控
公交车和私人汽车保有量。首先可以分析两类汽车的排放情况、以及车辆总数与
营运总里程之间的关系，接着可以根据此建立调控汽车保有量的数学模型，提出
解决问题的相关方案，并以此解决问题，得到调控公交车和私人汽车保有量之间
的关系。其大体流程为图4.2。
图4.2 问题二、三求解流程
五、数学模型的建立与求解
经过以上的分析与准备，我们将逐步建立以下的数学模型，进一步阐述模型
的实际建立过程。
5.1. 确定影响因素模型（熵值法）的建立
5.1.1. 熵值法[1]的基本原理
在信息论中，熵是对不确定性的一种度量。信息量越大，不确定性就越小，熵也
就越小；信息量越小，不确定性越大，熵也越大。根据熵的特性，我们可以通过
计算熵值来判断一个事件的随机性及无序程度，也可以用熵值来判断某个指标的
离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大。
5.1.2. 熵值法的步骤
（1）选取m 个影响因素，n 个年份的数据，则(1,...,1,...,)ij x i m j n ==；为第i 个
影响因素的第j 年的数值。
（2）指标的标准化处理:异质指标同质化：
由于各项指标的计量单位并不统一,因此在用它们计算综合指标前,我们先要对
它们进行标准化处理,即把指标的绝对值转化为相对值,并令ij ij x x =，从而解决
各项不同指标值的同质化问题。而且,由于正向指标和负向指标数值代表的含义
不同(正向指标数值越高越好,负向指标数值越低越好) ,因此,对于高低指标我
们用不同的算法进行数据
标准化处理。其具体方法如下:
12'1212min(,,...,)100max(,,...,)min(,,...,)ij j j nj ij j j nj j j nj x x x x x x x x x x x ??-=???-???
?正向指标：
12'1212max(,,...,)100max(,,...,)min(,,...,)j j nj ij ij j j nj j j nj x x x x x x x x x x x ??-=???-???
?负向指标： 则'(1,...,1,...,)ij
x i m j n ==；为第i 个影响因素的第j 年的数值。为了方便起见，仍记数值'ij ij x x =。
（3）计算第j 项指标下第i 个因素占该指标的比重：
1(1,2...,;1,2...,)
(5.1.1)ij ij m ij i X p i m j n X
====∑
（4）计算第j 年的熵值：
1ln()
(5.1.2)m j ij ij i e k p p ==-∑
式(5.1.2)中，0,1/ln(),0j k k m e >=≥。
（5）计算第j 年的差异系数。对第j 年，指标值的差异越大，对方案评价的左
右就越大，熵值就越小，定义差异系数：
1(5.1.3)j j e e g n E -=
-，
式(5.1.3)中11
,01,1n n e j j j j j E e g g ===≤≤=∑∑。
（6）求权系数值：
1
(1)
(5.1.4)j
j n j j g w j n g
==≤≤∑ （7）计算各个影响因素的综合得分：
1(1,2,...,)(5.1.5)n i i ij
j s w p i m ==?=∑
5.2. 影响因素的确定
通过上述过程建立了相应的数学模型，现在我们开始对影响因素的确定进行
相关的求解。
对私家车保有量增长的预测问题是一个影响因素繁多的复杂系统，若对其系
统结构及输入和输出的模拟、预测和调控采用部分因素仅能包含或体现该系统的
局部，预测结果往往误差较大。结合本题实际，我们得知：影响汽车市场最直接
的因素是经济发展水平，因而科学地分析各项影响因素对汽车保有量增长和调控是十分必要的。
由本题给出的相关数据，经标准化处理得【附录2】。再通过上网搜集资料，我们知道影响私家车保有量的影响因素大概有人均国内生产总值、道路总长、居民人均可支配收入等。于是将一些无关数据剔除，如：运营公交车辆数、公交营运总数等，并将2007年四季度的数据进行相关处理，得出了1996-2007年各年的数据（见表5.2.1），这些数据可能是影响汽车保有量的影响因素。
（1）人均国内生产总值：一个地区的国内生产总值直接反映经济发展状况，汽车保有量的变化与国内生产总值的增长情况密切相关。
（2）全社会消费品零售总额：汽车类贸易在社会消费品零售总额中占有重要的份额，因此可以认为该项数据与汽车保有量有密切关系。
（3）全社会固定资产投资：当前，我国在大力发展汽车及其相关产业，因此固定资产投资额与汽车保有量之间也有着相应的关系。
（4）城市交通干线噪音均值：噪音是一类引起人烦躁、或音量过强而危害人体健康的声音。而在各种噪音中，最难应付的就是汽车噪音，
（5）公路里程：近年来，我国一直加大公路交通网的建设，无论是公路里程长度还是公路等级都有了明显的进步。这也为我们驾车出行提供了可能和便利，因而也推动了私人汽车的消费。
（6）居民人均可支配收入：居民收入的高低对于私人车辆的购买有着直接的影响，目前我国私人购买车辆逐年增多，与居民收入的提高有着直接的关系。故该项数据与汽车保有量的相关性更高。
（7）居民年底储蓄余额：我国的居民储蓄水平一直居高不下，居民存款的目的一方面是为了子女教育、防病养老，另一方面就是为升级消费做准备。在家电普
及之后，汽车消费成为目前消费的一个热点。因此，储蓄水平在一定程度上也反映着购买汽车的经济能力。
（8）汽油价格：汽油广泛应用于汽车，使其高速运行。汽油具有很强的挥发性，容易污染环境，且价格较高。
我们对以上各种数据利用MATLAB【附录3】进行分析，结果见【附录4】。从【附录4】中，我们可以得知：除了城市交通干线噪音均值这一因素在68.2-69.7分贝中变化，变化梯度较小，且变化无序，其他各种因素基本呈线性递增，再联系1996-2007年和2007年1季度-2008年1季度的汽车保有量（图5.2.1），所以我们首先排除城市交通干线噪音均值这一因素的影响，认为它并不是影响私家车保有量的因素。
图5.2.1 私家车保有量曲线图
于是，我们运用5.1建立的熵值法对模型进行求解，利用MATLAB得出相关影响因素的综合得分为（见表5.2.2）：
素，影响私家车保有量的相关因素依次为：人均国内生产总值、全社会消费品零售总额、居民人均可支配收入、全社会固定资产投资总额、居民储蓄款余额、道路总长、汽油年均价等七个因素。
5.3. 私人汽车保有量预测模型的建立
5.3.1. 灰色预测模型[2]
5.3.1.1. 灰色预测模型的原理
灰色系统理论将任何随机过程看作是在一定时空区域内变化的灰色过程，将随机变量看成是灰色量；认为无规则的离散时空数列是潜在的有归序列。灰色系统理论通过关联分析等措施提取建模所需变量，并在研究离散函数性质的基础上，对离散数据建立微分方程的动态模型，从而获得变量的时间响应函数。实践证明，灰色建模所需的信息比较少，精度较高，能较好地反映系统的实际。
从系统理论角度来看待私家车保有量系统，不难看出这个系统中既存在着部分由检测设备给出的已知信息，又存在着大量不确定的信息，是一个本征灰色系
统。既然影响私家车保有量的个别因素的作用效果让我们难以求出，那么我们就
力图通过对原始数据的处理，削弱随机因素的影响，与常规方法相比，灰色系统
分析方法有其独特的优点：
1、建模所需信息少，通常只需4个以上数据即可进行灰色建模；
2、灰色分析方法不必知道原始数据分布的先验特征，通过有限次的生成便
可将无归序列转化为有归序列；
3、由于所建模型是常系数性质的，其参数分布是“灰色”的，因此可保持
原系统的特征，能较好地反映系统的实际情况，建模精度较高。
对于私家车保有量来说，由于私家车保有量序列记录时间从1996年至2008
年1季度，时间较长，而且存在大量的不确定因素，因而采用灰色系统预测方法
进行分析很有实用价值。
5.3.1.2. 灰色预测模型的建立
(1,1)GM 模型是灰色预测的基础，其建立过程及求解方法为：
首先对原始数列0x 进行一次累加(1)AGO -生成一次累加序列(1)x ，然后对
一次累加序列(1)x 建立以下形式的一阶微分方程：
(1)(1)(5.3.1)d a u dt Q
Q +=
式(5.3.1)中：Q 为年私人汽车拥有量；a 为系统的发展灰数；u 为系统的内生控
制因素。即参数列为：
(5.3.2)a a u ∧??=????
可按最小二乘法求a ∧：
1(1)(1)11(1)(1)11(1)(1)11()1((1)(2))21(5.3.3)((2)(3))21((1)())2T T N a B B B y Q Q B Q Q Q n Q n ∧-??=????-+??????
=-+????????--+????
(0)(0)(0)(2),(3),,()(5.3.4)T N y Q Q Q N ??=??
而式(5.3.1)是一个关于x 的一阶微分方程模型，故记为(1,1)GM 。其解即为一次
累加序列(1)Q 的预测值：
(1)(0)(1)(1)(5.3.5)ak u u i Q e a a Q -??+=-+????
经一次累减拟运算即得原始数列(0)Q 的预测值：
(0)(1)(1)(1)(1)()(5.3.6)i i i Q Q Q +=+-
而式(5.3.5)和式(5.3.6)即为私人汽车保有量预测(1,1)GM 模型的时间响应函数，
即灰色模型(1,1)GM 预测的计算公式。该方法适用于计算机编程求解，根据上述
建模机理及求解方法编制了预测计算应用程序（见图5.1.1）。
图5.1.1 灰色预测模型求解流程图
5.3.2. BP 神经网络模型[3]
5.3.2.1. BP 神经网络模型的原理
人工神经网络计算模型中，在工程界应用最为广泛的为反向传播模型，即
BP 网络模型。该模型不仅能够训练出线性可分的处理单元
(Pr sin ,oces g Element 简称PE ),而且对于复杂的非线性分类，则以多层网络隔
开，对PE 加以修正，得到满意的输出结果。BP 网络计算方式不仅具有输入输出
层，而且有一层或多层隐含神经元，经过各神经元特性为Singmoid 型作用函数
运算后，把隐含神经元的信息传递到输出神经元，最后输出结果。
在私家车保有量预测问题上，存在着输入与输出的对应关系。这种对应关系
并非线性类型，而是受多种复杂因素约束与影响。因此，称私家车保有量预测问
题是“多变量非线性离散排布”的因果关系。用人工神经网络理论建立预测模
型，可以客观地描述这种复杂的因果关系。但是BP 算法是一种简单的最速下降
静态寻优算法，其主要缺点表现在一下几方面：
1、采用残差平方和最小作为目标函数，会过分地突出极大值的影响；
2、由于采用基于梯度的搜索方法，需要很好定义的可微分面，难以解决具
有局部最小的复杂欺骗性问题，尤其当求取一般非凸目标函数的全局最优解；
3、学习算法的收敛速度很慢，通常需要较长时间才能收敛。
5.3.2.2. BP 神经网络模型的建立
鉴于BP 神经网络模型存在以上3个缺点，于是我们对BP 算法作了一定的优
化处理，采用遗传算法进行网络权系数值修正。其具体步骤是将BP 算法由遗传
算法来代替。
改进后的网络权系数的遗传进化步骤如下：
1、给定网络的输入/输出样本集，/,1,2,......p p p n u b =；
2、确定网络权系数的编码方式，个体位串的长度，一组权系数值（权值和
阈值）与遗传方法空间的个体位串的关系是由编码映射决定的；
3、选定遗传方法操作、决定遗传操作参数及自适应调整算法等；
4、以确定的种群规模N ，随机产生初始种群；
5、译码种群中的每一个体位串，求得N 组网络权系数值，得到具有相同结
构参数的N 个网络；
6、由输入样本集，经前向传播算法，求得N 组网络输出(1,2,......,)pj j N y =；
7、设定网络的目标函数，将其转换成适应度，对N 个网络进行评价；
8、依据适应度在遗传网络空间进行选择；
9、按选定的交叉、变异及有关算法、参数进行相应的操作，得新一代种群；
10、返回步骤5直到得到满足要求，得到一组优化的权系值。
我们应用以上优化方式对模型进行相应的建立：
一般地，在BP 网络算法中，对于任意给定的函数12(,,,)n f x x x 和误差精
度0ε>，总存在一个网络的总输入输出关系12(,,,)n Y f x x x = 均能以规定的精
度逼近任意给定的函数12(,,,)n f x x x 。在此，将已有的实际私人汽车保有量序
列以及人均国内生产总值、道路总长、居民储蓄款余额等影响因素定义为输入数
据12,,,n x x x ，经过反复的训练，得到一个网络，寻求出往来的总输入与输出的关系12(,,,)n F f x x x = 。在规定的私家车保有量预测精度ε内，预测出
12(,,,)n f x x x 的私家车保有量序列。这种运算过程用数学模型表示如下：
[][][][](5.3.7)s s s j j j j f W Q x
x =-∑ 式(5.3.7)中：[]s j x 为网络中s 层第j 年的输出预测保有量；[]s j W 为网络中s 层第j 年相关的人均国内生产总值、道路总长、居民储蓄款余额等的影响因素；[1]s j x -为网络中(1)s -层第j 年的输入实测保有量；j Q 为网络中各层第j 年的实测系统漏
失量。
11[](5.3.8)s s j I j j f T Q O x -+=-∑
式(5.3.8)中：I O 为网络最终预测保有量；1s j T +为网络最终第j 年输出预测保有量修正值；[]
s j x 为网络中s 层第j 你那的输出预测保有量；j Q 为网络中各层第j 年的实测系统漏失量。
()1(5.3.9)p k k C c ε
==<∑
式(5.3.9)中：()k c 为第k 个样本系统误差；()()()
1n
k k k I I I c t O ==-∑；C 为网络最终输出系统误差；p 为保有量实测样本数；ε为系统误差允许值；()
k I t 为网络最终输出期望值；()k I O 为网络最终预测保有量；n 为网络节点数。
5.3.3 灰色-神经网络组合模型
私人汽车保有量增长的变化是一个指标和影响因素繁多的复杂系统，对其系统结构及输入和输出的模拟、预测和调控采用单个预测模型或部分因素和指标仅能包含或体现该系统的局部，若采用多个不同的预测模型并加以适当的有效组合或多个变量的科学综合，则可以充分地利用各种信息达到提高预测精度的目的。于是，我们综合以上两种模型，建立了灰色-神经网络组合模型。以下是我们的具体思路。
5.3.3.1. 预测模型有效度的定义
设()1,2,...,t x t N =为t 时刻私家车保有量的实际观测值，12,(1,2,...,)t t Y Y t N =分别为(1,1)GM 灰色模型、BP 神经网络模型在t 时刻的预测值，12,(1,2,...,)t t A A t N =为12,t t Y Y 在t 时刻的预测精度，则： ()(1,2.1,2,...,)(5.3.10)1/it t it t x i t N A Y x ===--
由it A 构成预测值it A 的序列，该序列的均值与均方差分别为：
()11(5.3.11)N it it t E A A N
==∑ ()1/2221111(5.3.12)N N it it it t t A A A N N σ==????=-?? ???????∑∑
则预测值i A 的有效度指标定义为：
()()1(5.3.13)i it it S E A A σ=-????
5.3.3.2. 组合预测模型的建立
以预测模型有效度为指标建立求解组合预测加权系数k 的优化模型。 设12,k k 为两种预测模型的加权系数，则1122t t t Y k Y k Y =+为组合优化模型在t 时刻的预测值；t A 为组合优化模型在t 时刻的预测精度，则由式(5.3.10)得：
112211(1,2,...,)(5.3.14)t t t t t t t t x Y x k Y k Y A t N x x ---=-=-=
由式(5.3.13)可知，该组合预测的有效度指标为：
()()1(5.3.15)t t S E A A σ=-????
因此S 越大，说明该组合预测方法越有效，则以式(5.3.15)为目标函数，考虑加权系数的规范性约束，可以得到如下的优化模型：
()()2111/22222211111max 11111111(5.3.16)
N it t t i t i t N N it it i i t i t i t t A S S E A A k N x A A k k N x N x σ======??==-=--?? ??? ??
??????????? ?=----?? ??? ? ?????????????∑∑∑∑∑∑ 式(5.3.16)中 211,0i i i k k ==≥∑
5.3.3.3. 模型的近似最优解 在只有(1,1)GM 灰色模型和BP 神经网络组合模型的情况下，令1k k =，则21k k =-。通过数学分析，可知()()t t t A E A A σ、、与组合权系数k 之间存在如下几个近似关系：
（1）组合预测精度t A 与组合权系数k 的近似关系：
()121(5.3.17)t t t
A kA k A =--
（2）组合预测精度序列均值()t E A 与权系数k 的近似关系：
()()()()121(5.3.18)t t t E A kE A k E A =--
（3）组合预测精度序列均方差()t A σ与权系数的近似关系为：
()()()()()1min
1min min 10min 0000(5.3.19)
111t t t t A A A k A k k k k k k σσσσσσσσ---=+-=+---()()()()()
21120221212cov ,(5.3.20)2cov ,t t t t t t t A A A k A A A A σσσ-=+-
式(5.3.20)中()12cov ,t t A A 为序列12t t A A 、的协方差： ()()()()()1/22222min 010********cov ,(5.3.21)t t t t k A k A k k A A σσσ??=+-+-?? 将式(5.3.18),(5.3.19)代入优化模型(5.3.16)中得到求解权系数近似解的简化模型为：
()()()()()1min min 101200max /1(5.3.22)11t t t t A A k S E A k E A k k k σσσσ--????=-+--????--??
式(5.3.22)中：01k k ≤≤，令0dS dk
=，使S 达到最大值的最优解为： ()()()()()()min 1021min 12111(5.3.23)2t t t t t A k E A k A E A E A σσσσ??---??????=-??--????
当由式(5.3.23)确定的k 值不在[]0,1k 之间时，应对其进行修正，设1σ、2σ分别为预测值12t t A A 、与实际值的均方差，则有：
()
212/(5.3.24)k k σσσ==+修正
5.3.3.4. 组合预测的基本步骤 ①分别用(1,1)GM 灰色模型和BP 神经网络模型进行预测，得到预测序列12t t Y Y 和；
②由式(5.3.11),(5.3.12)计算()1t E Y 、()2t E Y 、()1t Y σ、()2t Y σ；
③由式(5.3.20),(5.3.21)求出0min k σ、；
④当01k =，则1k =，转为步骤⑥，否则转为步骤⑤；
⑤由式(5.3.23),(5.3.24)求出权系数k ，转为步骤⑥；
⑥计算组合预测序列t Y ，结束计算。
5.4. 私人汽车保有量的预测
5.4.1. 预测模型的求解
考虑到以上七个因素的影响，于是我们用该地区1996-2007年的私人汽车保有量（表5.4.1）进行模型的解答。
首先，在灰色预测模型中有(1)(1)
/d dt a u Q Q +=，于是我们利用1996-2003年的数据经过MATLAB 求解出：
0.4608, 5.0093a u =-= 所以灰色预测模型为：
(1)0.4608(0)(1)(0)(1)123.870910.8709(1)(1)()
k Q k e Q k Q k Q k ?+=-??+=+-?? 由于考虑到数据变化较大的作用，在求解模型时，我们分别以前5年的数据来预测第6年的数据。
其次，在BP 神经网络模型中，人工神经网络采用应用广泛的反向传播BP 模型，以人均国内生产总值、全社会消费品零售总额、居民人均可支配收入、全社会固定资产投资总额、居民储蓄款余额、道路总长、汽油年均价等作为影响因素，故BP 网络的拓扑结构可确定为4个输入层神经元、7个隐含层神经元，1个输出层神经元。
于是，分别用灰色预测模型、BP 神经网络模型对1996-2007年的数据用MATLAB 【附录5】求解出相应的预测数据及预测数据和实际数据间的误差。
接着，在灰色-神经网络组合预测模型中，我们通过模型系数的求解，得出了加权系数k=0.431，我们同样一次求解出组合预测模型的预测数据及预测数据和实际数据间的误差。此三种模型的求解结果（见表5.4.2）。
从表5.4.2中可以看出：组合预测的精度比其它两种预测模型都要高，于是我们运用1996-2007年的数据作为基础，再分别用这三中模型进行预测，得除了2008-2010年的私人汽车保有量（见表5.4.3）。
为检测组合优化模型预测效果的好坏，将表5.4.2中实际值与组合预测值如图5.4.1方式处理。
图5.4.1：实际值与组合预测值的比较
根据上图，可按照整体评价方法的原则和惯例，采用以下指标来评价：
① 平均绝对误差
11(5.4.1)N i
i i M Y x N ==-∑
② 平均绝对百分比误差
11(5.4.2)N i i i i Y x MP N x =-=∑
③ Theil 系数
1log (5.4.3)N i i i i i i i Y x Y x T x k x =--=?∑
式(5.4.3)中，T 越小，精确度越高，T 越大，精确度越低。评价结果见表5.4.4。
由表5.4.2和图5.4.1可知：组合优化模型的单个预测误差达到了需求预测的精度要求。且由表5.4.4得出：灰色-神经网络组合优化预测的三项指标均优于灰色预测和神经网络预测，充分显示了该方法的优势，更适合于私家车保有量预测。用MATLAB处理组合预测值，得到图5.4.2，预测更具有直观性。
图5.4.2 私人汽车保有量在组合预测的变化曲线
5.5. 升息等因素对汽车保有量的影响
5.5.1. 对供应者和消费者的影响分析
首先，根据题目的要求，通过上网查资料，我们对CPI指数进行了了解。CPI指数：即消费者物价指数(Consumer Price Index)，英文缩写为CPI，是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。
自2007年以来，CPI指数累创新高，为了稳定宏观经济，控制投资与物价的过快上涨，防止过大的资产价格泡沫和过度的投机, 政府决定自去年开始及今后一段时期内采取从紧的货币政策，如，加息、提高人民币存款准备金率等等。据统计，2007年政府5次升息，9次上调存款准备金率，但是这些措施对汽车私人消费的影响是很小的。首先是我国私人汽车消费信贷自2004年至今，几乎处于萎缩、停滞状态，目前通过信贷方式购车的比例很低。一方面由于车价连年下降，消费者如果买车，宁可一次性付款，也不愿贷款支付“冤枉”的车价及其衍生的利息。在十分激烈的市场竞争中，一些厂家用“车贷贴息”、甚至“零利率贷款”等手段促销，使得消费者即使接受汽车消费信贷，也无需承担或承担较少的贷款利息。
尽管如此，我们还是可以清楚看到加息、提高存款储备金率等措施对私人汽车保有量的影响，其具体的流程图大体见图5.5.1。
图5.5.1 加息等措施对私人汽车的影响
政府加息的主要目的是为了控制通货膨胀和物价上涨，提高经济运行的质量。这无疑会对投资和消费产生一定影响。
5.5.1.1. 加息、提高存款储备金率对供应者的影响：
加息、提高存款储备金率将对汽车行业生产厂商和经销商产生较大的影响。 由于汽车制造是比较典型的资本密集型行业，通常需要较为雄厚的资本支撑，因而汽车制造商的资产负债率往往较高。对于汽车经销商而言多是依靠银行贷款建立的，经销商要承担着很重的还本付息压力，汽车销售的火爆会使汽车经销商的资金快速回笼，及时还贷，但在汽车市场低迷的情况下，不少汽车经销商都会遇到卖车难的问题，车辆积压较为严重。
5.5.1.2. 加息、提高存款储备金率对消费者的影响：
对于消费者而言，银行加息、提高存款储备金率在客观上会抑制其消费行为。 首先，银行加息降低了人们的消费欲望。加息后，潜在消费者的消费行为会更加谨慎，一些人的消费行为可能会延迟或取消。其次，银行加息增加了人们的购车成本。要多增加一些贷款利息支付，增加了消费者的购车成本，导致部分消费者放弃购车或推迟购车的时间，进一步加剧了消费者持币观望的心态，使加息对消费者的心理影响会更明显、更直接。
但其影响应是间接和辐射性的，抑制作用不是很大。我国通过汽车信贷买车在购车者中的比例并不是很大，大约是1O ％左右，而且对于那些真正想购车的用户，每个月增加1O 多元，影响也不会很大。
5.5.2. Logistic 模型[4]的建立与求解
为了定量分析利息、存款储备金率的增长幅度对私家车保有量的影响，我们定义以下关系：
01012exp())(5.5.1)Q Q Q Q A A P =+=+-?
式(5.5.1)中0Q 为购车者本意买车的数量，12exp())A A P -?表示加息、提高存款储备金率的影响，购车者会放弃购车或推迟购车的时间。
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摘 认真书写摘要（注意篇幅不能超过一页，但要充分利用本页），勿庸置疑，摘要 在整个数模论文中占有及其重要的地位，它是评委对你所写论文的第一印象，因此在这一部分的写作上一定要花大功夫， 千万不能马虎。摘要是论文是否取得好名次的决定性因素，评委们通过你的摘要就决定是否继续阅读你的论文。换句话说，就算你的论文其他方面写得再好，摘要不行，你的论文也不会得到重视。我认为在写摘要时应包括6个方面：对问题稍做描述（问题的研究有什么意义），用了什么方法，建立了什么样的模型（线性规化模形），针对所建立的模型用什么算法、软件解的，得到什么结论，模型、结论有什么特色。 简而言之，摘要应该体现你用什么方法，解决了什么问题，得出了什么结论。另外，好的摘要都包含了两个共同的特点：简要simple 和明确clear 。 学术论文要求：括地陈述论文研究的目的、方法、结果、结论，要求200～300字．应排除本学科领域已成为常识的内容；不要把应在引言中出现的内容写入摘要，不引用参考文献；不要对论文内容作诠释和评论．不得简单重复题名中已有的信息．用第三人称，不使用“本文”、“作者”等作为主语．使用规范化的名词术语，新术语或尚无合适的汉文术语的，可用原文或译出后加括号注明．除了无法变通之外，一般不用数学公式和化学结构式，不出现插图、表格．缩略语、略称、代号，除了相邻专业的读者也能清楚理解的以外，在首次出现时必须加括号说明．结构严谨，表达简明，语义确切。 摘要是论文的门面，摘要写的不好评委后面就不会去看了，自然只能给个成功参赛奖。摘要首先不要写废话，也不要照抄题目的一些话，直奔主题，要写明自己怎样分析问题，用什么方法解决问题，最重要的是结论是什么要说清楚，在中国的竞赛中结论如果正确一般得奖是必然的，如果不正确的话评委可能会继续往下看，也可能会扔在一边，但不写结论的话就一定不会得奖了，所以要认真写。摘要至少需要琢磨两个小时，不要轻视了它的重要性。很有必要多看看优秀论文的摘要是如何写的，并要作为赛前准备的内容之一。 关键词：关键词1；关键词2；关键词3用的方法中的重要术语） 其它汉字 小四号宋字，行距用单倍行距（由于数学论文中通常有汉字和公式，建议行距用固定行距22磅。）
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K：学科评价模型 学科的水平、地位是高等学校的一个重要指标，而学科间水平的评价对于学科的发展有着重要的作用，它可以使得各学科能更加深入的了解本学科(与其他学科相比较)的地位及不足之处，可以更好的促进该学科的发展。因此，如何给出合理的学科评价体系或模型一直是学科发展研究的热点问题。现有某大学（科研与教学并重型高校）的13个学科在一段时期内的调查数据，包括各种建设成效数据和前期投入的数据。 1、根据已给数据建立学科评价模型，要求必要的数据分析及建模过程。 2、模型分析，给出建立模型的适用性、合理性分析。 3、假设数据来自于某科研型或教学型高校，请给出相应的学科评价模型。
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学科评价 摘要 （一）对问题的基本认识或处理整个问题的基本框架，思路（简明扼要，重点，亮点突出）研究目的，意义要求）本文研究。。。。问题。。即数学类型的归纳 （一）（建模思路） （1.每题数据性质等粗略分析）首先，本文分别分析每个小题的特点：。。。。。 （2.建立模型的思路：） 针对第一问。。。问题，本文建立。。。模型；在第一个。。。模型中，本文对。。。。。 问题进行简化，利用。。。。什么知识建立什么模型；在对。。。。。模型改进的基础上建立了。。。。模型Ⅱ。 针对第二。。。。。。 针对第三。。。。。。。 （三）算法思想，求解思路，使用方法，程序） 1）针对模型求解，(设计。。。求解思路)。本文使用。。。什么算法，。。软件工具，对附件中所给的数据进行筛选，去除异常数据，对残缺数据进行适当的补充，求解出什么问题，进一步求解出。。。什么结果。（方法，软件，结果清晰写出来） 2）建模特点，模型检验）对模型进行合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为。。。。。 模型优点。。。，建模思想方法。。。。，算法特点。。。。。，结果检验。。。。，。。。。，模型检验。。。。从中随机抽取了3组（每组8个采样）对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。等等 3）在模型的检验模型中，本文分别讨论了以上模型的精度，稳定性，灵敏度等分析。。（四）（数据结果，结论，回答所问道所有问题）最后，归纳全文，突出亮点，指出不足，提出本文通过改进或扩展。。。。。，得出什么。。。。模型。 （注意：1.具体的方法，结果，软件，名称，思想，亮点，明确详细写出来 2.不要写废话，不要照抄题目的一些话，直奔主题 3.不写结论一定不会获奖） 关键字：结合问题方法理论概念等 1
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2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填 写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的 话）： 所属学校（请填写完整的全 名）： 参赛队员 (打印并签名) ： 1. 2.
3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。
摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。 一、问题的重述 数学建模竞赛要求解决给定的问题，所以一般应以“问题的重述”开始。 此部分的目的是要吸引读者读下去，所以文字不可冗长，内容选择不要过于分散、琐碎，措辞要精练。 这部分的内容是将原问题进行整理，将已知和问题明确化即可。 注意： 在写这部分的内容时，绝对不可照抄原题！
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一、摘要 内容： （1）用1、2句话说明原问题中要解决的问题； （2）建立了什么模型（在数学上属于什么类型），建模的思想（思路），模型特点； （3）算法思想（求解思路），特色； （4）主要结果（数值结果，结论）；（回答题目的全部“问题”） （5）模型优点，结果检验；模型检验，灵敏度分析，有无改进，推广 要求 （1）特色和创新之处必须在这里强调； （2）长度 （3）要确保准确、简明、条理、清晰、突出特色和创新点； 二、问题的提出 内容： 用自己的语言阐述背景，条件，要求；重点列出‘问题’也即要求； 要求： （1）不是题目的完整拷贝 （2）根据自己的理解，用自己的语言清楚简明的阐述背景、条件和要求； 三、条件假设 内容 （1）根据题目中的条件做出假设 （2）根据题目中的要求做出假设； 要求 （1）合理性最重要； （2）假设合理且全面，但不欣赏罗列大量的无关假设，关键性假设不能缺； （3）合理假设作用： 简化问题，明确问题，限定模型的适用范围 四、符号约定 五、问题分析 1．名词解释 2．问题的背景分析 3．问题分析 六、模型建立 抽象要求 （1）模型的主要类别：初等模型、微分方程模型、差分方程模型、概率模型、统计预测模型、
优化模型、决策模型、图论模型等 （2）几种常见的建模目的：（对应相对（1）的方法） 描述或解释现实世界的各类现象，常采用机理型分析方法，探索研究对象的内在规律性； 预测感兴趣的时间爱你是否会发生，或者事物的房展趋势，常采用数理统计或模拟的方法； 优化管理、决策或者控制事物，需要合理地定义可量化的评价指标及评价方法； （3）建模过程常见的几个要点： 模型的整体设计、合理的假设、建立数学结构、建立数学表达式； （4）模型的要求： 明确、合理、简洁、具有一般性； 例如：有些论文不给出明确的模型，只是就赛题所给的特殊情况，用凑得方法给出结果，虽然结果大致对，但缺乏一般性，不是建模的正确思路；（（与第三点对应）） （5）鼓励创新，特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理 （6）避免出现罗列一系列的模型，又不做评价的现象； 具体要求： （1）基本模型：首先要有数学模型：数学公式、方案等；基本模型，要求完整，正确，简明（2）简化模型：要明确说明，简化思想，依据；简化后的模型尽可能给出； 七、模型求解 每一块内容包括：计算方法设计或选择、算法设计或选择、算法思想依据、步骤及实现、计算框图、所采用的软件名称 写作要求： 1、需要建立数学命题时：命题叙述要符合数学命题的表述规范，尽可能论证严密 2、需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称 3、计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出 4、设法算出合理的数值结果 5、最终数值结果的正确性或合理性是第一位的 6、对数值结果或模拟结果进行必要的检验。结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因，对算法、计算方法、或模型进行修正、改进 7、题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出 8、列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据 9、结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析 ▲数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式 ▲求解方案，用图示更好 10、必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。最后结论要明确 内容 （1）算法设计或选择，算法的思想依据，步骤； （2）引用或建立必要的数学命题和定理； （3）在不能给出精确解的情况下，需要给出不知一种解法（算法），并进行测试比较，给出
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The Keep-Right-Except-To-Pass Rule Summary As for the first question, it provides a traffic rule of keep right except to pass, requiring us to verify its effectiveness. Firstly, we define one kind of traffic rule different from the rule of the keep right in order to solve the problem clearly; then, we build a Cellular automaton model and a Nasch model by collecting massive data; next, we make full use of the numerical simulation according to several influence factors of traffic flow; At last, by lots of analysis of graph we obtain, we indicate a conclusion as follow: when vehicle density is lower than 0.15, the rule of lane speed control is more effective in terms of the factor of safe in the light traffic; when vehicle density is greater than 0.15, so the rule of keep right except passing is more effective In the heavy traffic. As for the second question, it requires us to testify that whether the conclusion we obtain in the first question is the same apply to the keep left rule. First of all, we build a stochastic multi-lane traffic model; from the view of the vehicle flow stress, we propose that the probability of moving to the right is 0.7and to the left otherwise by making full use of the Bernoulli process from the view of the ping-pong effect, the conclusion is that the choice of the changing lane is random. On the whole, the fundamental reason is the formation of the driving habit, so the conclusion is effective under the rule of keep left. As for the third question, it requires us to demonstrate the effectiveness of the result advised in the first question under the intelligent vehicle control system. Firstly, taking the speed limits into consideration, we build a microscopic traffic simulator model for traffic simulation purposes. Then, we implement a METANET model for prediction state with the use of the MPC traffic controller. Afterwards, we certify that the dynamic speed control measure can improve the traffic flow . Lastly neglecting the safe factor, combining the rule of keep right with the rule of dynamical speed control is the best solution to accelerate the traffic flow overall. Key words：Cellular automaton model Bernoulli process Microscopic traffic simulator model The MPC traffic control
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Haozl觉得数学建模论文格式这么样设置 版权归郝竹林所有，材料仅学习参考 版权：郝竹林 备注☆ ※§等等字符都可以作为问题重述左边的。。。。。一级标题 所有段落一级标题设置成段落前后间距13磅 图和表的标题采用插入题注方式题注样式在样式表中设置居中五号字体 Excel中画出的折线表字体采用默认格式宋体正文10号 图标题在图上方段落间距前0.25行后0行 表标题在表下方段落间距前0行后0.25行 行距均使用单倍行距 所有段落均把4个勾去掉 注意Excel表格插入到word的方式在Excel中复制后，粘贴，word2010粘贴选用使用目标主题嵌入当前 Dsffaf 所有软件名字第一个字母大写比如E xcel 所有公式和字母均使用MathType编写 公式编号采用MathType编号格式自己定义
农业化肥公司的生产与销售优化方案 摘 要 要求总分总 本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法问题，运用二重积分法和最小二乘法建立了储油罐的变位识别与罐容表标定的计算模型，分别对三种不同变位情况推导出的油位计所测油位高度与实际罐容量的数学模型，运用matlab 软件编程得出合理的结论，最终对模型的结果做出了误差分析。 针对问题一要求依据图4及附表1建立积分数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。我们作图分析出实验储油罐出现纵向倾斜 14.时存在三种不同的可能情况，即储油罐中储油量较少、储油量一般、储油量较多的情况。针对于每种情况我们都利用了高等数学求容积的知识，以倾斜变位后油位计所测实际油位高度为积分变量，进行两次积分运算，运用MATLAB 软件推导出了所测油位高度与实际罐容量的关系式。并且给出了罐体倾斜变位后油位高度间隔为1cm 的罐容标定值（见表1），最后我们对倾斜变位前后的罐容标定值残差进行分析，得到样本方差为4103878.2-?，这充分说明残差波动不大。我们得出结论：罐体倾斜变位后，在同一油位条件下倾斜变位后罐容量比变位前罐容量少L 243。 表 1.1 针对问题二要求对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。我们根据实际储油罐的特殊构造将实际储油罐分为三部分，左、右球冠状体与中间的圆柱体。运用积分的知识，按照实际储油罐的纵向变位后油位的三种不同情况。利用MATLAB 编程进行两次积分求得仅纵向变位时油量与油位、倾斜角α的容积表达式。然后我们通过作图分析油罐体的变位情况，将双向变位后的油位h 与仅纵向变位时的油位0h 建立关系表达式01.5(1.5)cos h h β=--，从而得到双向变位油量与油位、倾斜角α、偏转角β的容积表达式。利用附件二的数据，采用最小二乘法来确定倾斜角α、偏转角β的值，用matlab 软件求出03.3=α、04=β α=3.30，β=时总的平均相对误差达到最小，其最小值为0.0594。由此得到双向变位后油量与油位的容积表达式V ，从而确定了双向变位后的罐容表(见表2)。 本文主要应用MATLAB 软件对相关的模型进行编程求解，计算方便、快捷、准确，整篇文章采取图文并茂的效果。文章最后根据所建立的模型用附件2中的实际检测数据进行了误差分析，结果可靠，使得模型具有现实意义。 关键词：罐容表标定；积分求解；最小二乘法；MATLAB ；误差分
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C和D 2015 ICM问题C 组织中的人力资本管理 构建一个组织填充好，有才华的，训练有素的人是成功的关键之一。但是这样做，组织需要做更多的招聘和雇用最好的候选人–也需要保持良好的人，让他们适当的训练并放在合适的位置，最终目标新员工来取代那些离开组织。个人发挥独特的作用，在他们的组织，正式和非正式的。因此，从组织个体离开留下重要的信息和功能组件丢失，需要更换。这是真正的运动队，商业公司，学校，政府，和几乎任何正式的团体或组织的人。 人力资源（HR）专家帮助高层领导通过改进保留和激励，管理人员协调培训，并建立良好的团队。特别是，领导人寻求建立一个有效的组织结构，人们被分配到适当的位置他们的天赋和经验，以及有效的沟通系统，以促进发展创新的理念、优质的产品（商品或服务）。这些人才管理和人力资源管理团队建设方面正在对许多现代组织。 在一个组织内人力资本的流体网络管理人员需要了解忠诚于公司和亚群；在工作场所建立信任；管理的形成，溶解和保持人与人之间的正式和非正式的关系。当人们离开其他工作或退休所取代，由此产生的湍流是统称为组织“流失”。你的团队你的人力资源经理要求在信息协同制造发展了一个理解流失的框架和模型（ICM）的370人的组织。ICM是一个高度竞争的市场，导致具有挑战性，有效地管理其人力资本的相关问题。 人力资源经理要地图人力资本在组织通过建立网络模型。这里有一些你的公司面临的问题： 1。ICM的目的是在其早期阶段的流失的风险，因为它是获得一个员工在职业生涯早期而不是提高文化一旦有了忠诚的便宜。这是更高效的开始而不是提供激励措施来阻止人们离开有一个积极的员工。 2。一个工人更容易流失，如果他或她与其他前 谁有生产员工。因此，从员工流失似乎弥漫 员工，所以识别那些可能流失是有价值的信息 防止进一步的搅动。 3。一个问题是员工人力资源匹配到正确的位置，使自己的知识和能力可以最大化。目前每个员工基于绩效的主管判断年度评估。这些评价是目前不是由人力资源办公室。
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数学建模论文标准格式 为了适应数学发展的潮流和未来社会人才培养的需要,美国、德国、日本等发达国家普遍都十分重视数学建模教学。以下是小编整理的数学建模论文标准格式，欢迎阅读。 1.数学建模简介 1985年，数学建模竞赛首先在美国举办，并在高等院校广泛开设相关课程。我国在1992年成功举办了首届大学生数学竞赛，并从1994年起，国家教委正式将其列为全国大学生的四项竞赛之一。数学建模是分为国内和国外竞赛两种，每年举行一次。三人为一队，成员各司其职：一个有扎实的数学功底，再者精于算法的实践，最后一个是拥有较好的文采。数学建模是运用数学的语言和工具，对实际问题的相关信息（现象、数据等）加以翻译、归纳的产物。数学模型经过演绎、求解和推断，运用数学知识去分析、预测、控制，再通过翻译和解释，返回到实际问题中[1]。数学建模培养了学生运用所学知识处理实际问题的能力，竞赛期间，对指导教师的综合能力提出了更高的要求。 2.数学建模科技论文撰写对学生个人能力成长的帮助 2.1.提供给学生主动学习的空间 在当今知识经济时代，知识的传播和更新速度飞快，推行素质教育是根本目标，授人与鱼不如授人与渔。学生掌握自学能力，能有效的弥补在课堂上学得的有限知识的不足。数学建模所涉及到的知识面广，除问题相关领域知识外，还要求学生掌握如数理统计、最优化、
图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学、数学软件包的使用等。多元的学科领域、灵活多变的技能方法是学生从未接触过的，并且也不可能在短时间内由老师一一的讲解清楚，势必会促使学生通过自学、探讨的方式来将其研懂。给出问题，让学生针对问题去广泛搜集资料，并将其中与问题有关的信息加以消化，化为己用，解决问题。这样的能力将对学生在今后的工作和科研受益匪浅[2]。 在培训期间，大部分学生会以为老师将把数学建模比赛所涉及到的知识全部传授给学生，学生只要在那里坐着听老师讲就能参加比赛拿到名次了。但是当得知竞赛主要由学生自学完成，老师只是起引导作用时，有部分学生选择了放弃。坚持下来的学生，他们感谢学校给与他们这样能够培养个人能力的机会，对他们今后受用匪浅！ 2.2.体验撰写综合运用知识和方法解决实际问题这一系列论文的过程 学生在撰写数学建模科技论文的时候，不光要求学生具备一定的数学功底、有良好的计算机应用能力、还要求学生具备相关领域知识，从实际问题中提炼出关键信息，并运用所学知识对这些关键信息加以抽象、建立模型。这也是教师一直倡导学生对所学知识不光要记住，而且要会运用。千万不要读死书，死读书，读书死。 2.3.培养了学生的创新意识和实践能力 在撰写过程中潜移默化的培养了学生获取新知识、新技术、新方法的能力，并在解决实际问题的过程中培养学生的创新意识和实践能
数学建模范文参考实用模板
理工大学2015年数学建模竞赛论文 (文样本) 答卷编号（竞赛组委会填写）： 题目编号：（ A ） 论文题目： 基于双种群遗传算法的公交路线查询问题 参赛队员信息(必填)：
答卷编号（竞赛组委会填写）： 评阅情况（学校评阅专家填写）：评阅1. 评阅2. 评阅3.
基于双种群遗传算法的公交路线查询问题 摘要 本文探讨的是公交路线选择而开发的查询系统.以两站点之间所花时间的最小值作为主要目标函数，利用双种群遗传算法的原理建立公交路线选择数学模型，再通过MATLAB程序来实现整个流程和迭代，最终求出全局近似最优解，即最优权重线路，以起点和终点查询到近似的最优公交路线，并进行了误差分析,模型的评价与推广. 问题一：仅考虑公汽线路，对数据进行初步分析和处理后，考虑到数据的复杂性和数据搜索围的广度，我们应用比较成熟的双种群遗传算法建立数学模型. 通过MATLAB强大的矩阵运算功能得到站点之间的邻接矩阵，用时间加权. 其流程思想为基于双种群初始群体A、B，对染色体进行整数编码，用竞争选择法选择出较优个体作为繁殖下一代的母体，依据选择性集成思想，等概率使用两点交叉法和区域交叉法对染色体进行交叉操作与使用邻居交换变异和两点交换变异进行染色体变异操作，并结合MATLAB反复迭代，最终给出了六对起始站与终点站的六条近似最优路线. 该法扩大遗传算法的搜索围，避免过早收敛. 问题二：在数据处理上用时间加权把地铁站点和汽车站点统一化，可得所有站点之间的邻接矩阵. 其求解原理与问题一相似，但由转车方式的不同生成了8种不同的适应度函数,再根据适应度函数来进行问题的求解. 问题三：我们将任意两个站点之间的步行时间作为矩阵中相应位置的权，这时构建的邻接矩阵中的权就由两站点之间公汽到公汽的时间,公汽到地铁的时间,地铁到公汽的时间,地铁到地铁的时间和两点之间的步行时间构成. 但其求解原理与问题一相似，但由转车方式的不同就会生成不同的适应度函数,再根据适应度函数来进行问题的求解. 双种群遗传算法提供了一种求解复杂系统优化问题的通用框架，它不依赖于问题的具体领域，对问题的种类有很强的鲁棒性，具有自组织、自适应和自学习性. 关键词 双种群遗传算法；竞争选择法；离散赌轮选择算子；选择性集成思想.
数学建模论文模板
（数学建模论文书写基本框架,仅供参考） 题目（黑体不加粗三号居中） 摘要（黑体不加粗四号居中） （摘要正文小4号，写法如下） （第1段）首先简要叙述所给问题的意义和要求，并分别分析每个小问题的特点（以下以三个问题为例）。根据这些特点我们对问题1用。。。。。。。。的 方法解决；对问题2用。。。。。。。。的方法解决；对问题3用。。。。。。。。 的方法解决。 （第2段）对于问题1我们用。。。。。。。。数学中的。。。。。。。。首先建立了。。。。。。。。 模型I。在对。。。。。。。。模型改进的基础上建立了。。。。。。。。。模型II。 对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约 为。。。。。。。。。，然后借助于。。。。。。。数学算法和。。。。。。软件，对附件 中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充, 并从中随机抽取了3组数据（每组8个采样）对理论结果进行了数据 模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。（方法、软件、结果 都必须清晰描述，可以独立成段，不建议使用表格） （第3段）对于问题2我们用。。。。。。。。 （第4段）对于问题3我们用。。。。。。。。 如果题目单问题，则至少要给出2种模型，分别给出模型的名称、思想、软件、结果、亮点详细说明。并且一定要在摘要对两个或两个以上模型进行比较，优势较大的放后面，这两个（模型）一定要有具体结果。 （第5段）如果在……条件下，模型可以进行适当修改，这种条件的改变可能来自你的一种猜想或建议。要注意合理性。此推广模型可以不深入研究，也可以没有具体 结果。 关键词：本文使用到的模型名称、方法名称、特别是亮点一定要在关键字里出现，5~7个较合适。 注：字数700~1000之间；摘要中必须将具体方法、结果写出来；摘要写满几乎一页，不要超过一页。摘要是重中之重，必须严格执行！。 页码：1（底居中）
全国大学生数学建模竞赛模版(完整版)
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
论文标题 摘要 内容要点： 关键词：结合问题、方法、理论、概念等
一、问题重述 内容要点： 1、问题背景：结合时代、社会、民生等 2、需要解决的问题 问题一： 问题二： 问题三： 二、问题分析 内容要点：什么问题、需要建立什么样的模型、用什么方法来求解 三、模型假设与约定 内容要点： 1、根据题目中条件作出假设 2、根据题目中要求作出假设 写作要求： 细致地分析实际问题，从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量，并简化它们的关系。将一些问题理想化、简单化。 1、论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达，使读者不致产生任何曲解 2、所提出的假设确实是建立数学模型所必需的，与建立模型无关的假设只会扰乱读者的思考 3、假设应验证其合理性。假设的合理性可以从分析问题过程中得出，例如从问题的性质出发作出合乎常识的假设，或者由观察所给数据的图象，得到变量的函数形式，也可以参考其他资料由类推得到。对于后者应指出参考文献的相关内容 四、符号说明及名词定义 内容要点：包括建立方程符号、及编程中用到的符号等
美赛-数学建模-写作模版(各部分)
摘要 第一段：写论文解决什么问题 1．问题的重述 a. 介绍重点词开头： 例1：“Hand move” irrigation, a cheap but labor-intensive system used on small farms, consists of a movable pipe with sprinkler on top that can be attached to a stationary main. 例2:……is a real-life common phenomenon with many complexities. 例3：An (effective plan) is crucial to……… b. 直接指出问题： 例1：We find the optimal number of tollbooths in a highway toll-plaza for a given number of highway lanes: the number of tollbooths that minimizes average delay experienced by cars. 例2：A brand-new university needs to balance the cost of information technology security measures with the potential cost of attacks on its systems. 例3：We determine the number of sprinklers to use by analyzing the energy and motion of water in the pipe and examining the engineering parameters of sprinklers available in the market. 例4: After mathematically analyzing the ……problem, our modeling group would like to present our conclusions, strategies, (and recommendations )to the ……. 例5：Our goal is... that (minimizes the time )………. 2．解决这个问题的伟大意义 反面说明。如果没有…… Without implementing defensive measure, the university is exposed to an expected loss of $8.9 million per year. 3．总的解决概述 a．通过什么方法解决什么问题 例：We address the problem of optimizing amusement park enjoyment through distributing Quick Passes (QP), reservation slips that ideally allow an individual to spend less time waiting in line. b．实际问题转化为数学模型 例1 We formulate the problem as a network flow in which vertices are the locations of escorts and wheelchair passengers. 例2 : A na?ve strategy would be to employ the minimum number of escorts to guarantee that all passengers reach their gates on time. c.将问题分阶段考虑 例3：We divide the jump into three phases: flying through the air, punching through the stack, and landing on the ground. 第二、三段：具体分析 1．在什么模型中/ 建立了什么模型 a. 主流模型 例1：We formulate a differential model to account for the rates of change of these uses, and how this change would affect the overall consumption of water within the studied region.
数学建模美赛论文格式中文版
你的论文需要从此开始 请居中 使用Arial14字体 第一作者，第二作者和其他（使用Arial14字体） 1.第一作者的详细地址，包括国籍和email(使用Arial11) 2.第二作者的详细地址，包括国籍和email(使用Arial11) 3.将所有的详细信息标记为相同格式 关键词 列出文章的关键词。这些关键词会被出版方用作关键词索引(使用Arial11字体） 论文正文使用Times New Roman12字体 摘要 这一部分阐述说明了如何为TransTechPublications.准备手稿。最好阅读这些用法说明并且整篇论文都是遵照这个提纲。手稿的正文部分应该是17cm*25cm（宽*高）的格式（或者是6.7*9.8英尺）。请不要在这个区域以外书写。请使用21*29厘米或8*11英尺的质量较好的白纸。你的手稿可能会被出版商缩减20%。在制图和绘表格时候请特别注意这些准则。 引言 所有的语言都应该是英语。请备份你的手稿（以防在邮寄过程中丢失）我们收到手稿即默认为原作者允许我们在期刊和书报出版。如果作者在论文中使用了其他刊物中的图表，他们需要联系原作者，获取使用权。将单词或词组倾斜以示强调。除了每一部分的标题（标记部分的标题），不要加粗正文或大写首字母。使用激光打印机，而不是点阵打印机 正文的组织： 小标题 小标题应该加粗并注意字母的大小写。第二等级的小标题被视为后面段落的一部分（就像这一大段的一小部分的开头） 页码 不要打印页码。请用淡蓝色铅笔在每一张纸的左下角（在打印区域以外）标注数字。 脚注 脚注应该单独放置并且和正文分开理想地情况下，脚注应该出现在参考文献页，并且放在文章的末尾，和正文用分割线分开。 表格 表格（如表一，表二，...）应该放在正文当中，是正文的一部分，但是，要避免文本混乱。一个描述性的表格标题要放在图表的下方。标题应该独立的放在表格的下方或旁边。 表中的单位应放在中括号中[兆伏]如果中括号不可用，需使用大括号{兆}或小括号（兆)。1.这就是脚注
数学建模优秀论文模板(全国一等奖模板)
觉得数学建模论文格式这么样设置 版权归郝竹林所有，材料仅学习参考 版权：郝竹林 备注☆※§等等字符都可以作为问题重述左边的。。。。。一级标题 所有段落一级标题设置成段落前后间距13磅 二级标题设置成段落间距前0.5行后0.25行 图和表的标题采用插入题注方式题注样式在样式表中设置居中五号字体 中画出的折线表字体采用默认格式宋体正文10号 图标题在图上方段落间距前0.25行后0行 表标题在表下方段落间距前0行后0.25行 行距均使用单倍行距 所有段落均把4个勾去掉 注意表格插入到的方式在中复制后，粘贴，2010粘贴选用使用目标主题嵌入当前 所有软件名字第一个字母大写比如 所有公式和字母均使用编写 公式编号采用编号格式自己定义
公式编号在右边显示
农业化肥公司的生产与销售优化方案 摘 要 要求总分总 本文针对储油罐的变位识别与罐容表标定的计算方法问题，运用二重积分法和最小二乘法建立了储油罐的变位识别与罐容表标定的计算模型，分别对三种不同变位情况推导出的油位计所测油位高度与实际罐容量的数学模型，运用软件编程得出合理的结论，最终对模型的结果做出了误差分析。 针对问题一要求依据图4及附表1建立积分数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1的罐容表标定值。我们作图分析出实验储油罐出现纵向倾斜 14.时存在三种不同的可能情况，即储油罐中储油量较少、储油量一般、储油量较多的情况。针对于每种情况我们都利用了高等数学求容积的知识，以倾斜变位后油位计所测实际油位高度为积分变量，进行两次积分运算，运用软件推导出了所测油位高度与实际罐容量的关系式。并且给出了罐体倾斜变位后油位高度间隔为1的罐容标定值（见表1），最后我们对倾斜变位前后的罐容标定值残差进行分析，得到样本方差为4103878.2-?，这充分说明残差波动不大。我们得出结论：罐体倾斜变位后，在同一油位条件下倾斜变位后罐容量比变位前罐容量少L 243。 表 1.1 针对问题二要求对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。我们根据实际储油罐的特殊构造将实际储油罐分为三部分，左、右球冠状体与中间的圆柱体。运用积分的知识，按照实际储油罐的纵向变位后油位的三种不同情况。利用编程进行两次积分求得仅纵向变位时油量与油位、倾斜角α的容积表达式。然后我们通过作图分析油罐体的变位情况，将双向变位后的油位h 与仅纵向变位时的油位0h 建立关系表达式01.5(1.5)cos h h β=--，从而得到双向变位油量与油位、倾斜角α、偏转角β的容积表达式。利用附件二的数据，采用最小二乘法来确定倾斜角α、偏转角β的值，用软件求出03.3=α、04=β α=3.30，β=时总的平均相对误差达到最小，其最小值为0.0594。由此得到双向变位后油量与油位的容积表达式V ，从而确定了双向变位后的罐容表(见表2)。 本文主要应用软件对相关的模型进行编程求解，计算方便、快捷、准确，整篇文章采取图文并茂的效果。文章最后根据所建立的模型用附件2中的实际检测数据进行了误差分析，结果可靠，使得模型具有现实意义。 关键词：罐容表标定；积分求解；最小二乘法；；误差分
2016年数学建模美赛A题题面及翻译
2016 MCM Problem A A Hot Bath A person fills a bathtub with hot water from a single faucet and settles into the bathtub to cleanse and relax. 一个人用一个水龙头让浴缸装满了热水，（然后？）睡进去来清洗和放松。 //那就先放到一定的程度，泡进去，然后边加水这样。 Unfortunately, the bathtub is not a spa-style tub with a secondary heating system and circulating jets, but rather a simple water containment vessel. 不幸的是，这个浴缸没有温泉热水模式，就是没有另外的加热系统和循环的喷嘴，而是个简单的水密闭容器。 After a while, the bath gets noticeably cooler, so the person adds a constant trickle of hot water from the faucet to reheat the bathing water. 不一会儿，这个水池明显的变冷了，所以这个人打开水龙头，加入了持续的细细的水，来加热这个浴缸里面的水。 The bathtub is designed in such a way that when the tub reaches its capacity, excess water escapes through an overflow drain. 这个浴缸设计成一种形式，当这个池子到达了它的容量，多余的水会通过一个溢出排水系统排出。 Develop a model of the temperature of the bathtub water in space and time to determine the best strategy the person in the bathtub can adopt to keep the temperature even throughout the bathtub and as close as possible to the initial temperature without wasting too much water. 设计一个浴缸里面的水温度关于空间和时间上的模型，去决定最好的策略，让这个人在浴缸里能够在不浪费太多的水的前提下，去尽量的靠近初始的温度。 Use your model to determine the extent to which your strategy depends upon the shape and volume of the tub, the shapeolume/temperature of the person in the bathtub, and the motions made by the person in the bathtub. 用你的模型去决定你的策略对以下因素的依赖程度（依赖关系）。因素为：缸的形状和容量，这个浴缸里面的人的形状，体积，温度，还有这个人在浴缸里面的动作。 If the person used a bubble bath additive while initially filling the bathtub to assist in cleansing, how would this affect you r model’s results? 如果这个人在一开始装满这个浴缸的时候，就加入了泡泡添加剂去帮助清洗，这个会如何影响你的模型的结果呢？ In addition to the required one-page summary for your MCM submission, your report must include a one-page non-technical explanation for users of the bathtub that describes your strategy while explaining why it is so difficult to get an evenly maintained temperature throughout the bath water. 除了已经要求的一页的总结，你的报告必须含有一页的对浴缸使用者的非技术性的解释，去描述你的策略，同时解释为什么如此难以做到保持整个洗澡水的水温是均匀的。