复数的几何意义导学案

第5课 3. 3复数的几何意义

班级：高二（）班姓名：____________

教学目标：

1．了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

2．通过建立复平面上的点与复数的一一对应关系，自主探索复数加减法的几何意义．

教学重点：复数的几何意义,复数加减法的几何意义．

教学难点：复数加减法的几何意义．

教学过程：

一、问题情境

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示．那么，复数是否也能用点来表示呢？

二、学生活动

问题1任何一个复数a＋b i都可以由一个有序实数对（a，b）惟一确定，而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么我们怎样用平面上的点来表示复数呢？

问题2平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点，A为终点的向量是

一一对应的，那么复数能用平面向量表示吗？

问题3任何一个实数都有绝对值，它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离．任何一个向量都有模，它表示向量的长度，那么相应地，我们可以给出复数的模（绝对值）的概念吗？它又有什么几何意义呢？

问题4复数可以用复平面的向量来表示，那么，复数的加减法有什么几何意义呢？它能像向量加减法一样，用作图的方法得到吗？两个复数差的模有什么几何意义？

三、建构数学

1．复数的几何意义：在平面直角坐标系中，以复数a＋b i的实部a为横坐标，虚部b为纵坐标就确定了点Z（a，b），我们可以用点Z（a，b）来表示复数a＋b i，这就是复数的几何意义．

2．复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面．其中x轴为实轴，y轴为虚轴．实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．因为复平面上的点Z（a，b）与以原点O为起点、Z为终点的向量一一对应，所以我们也可以用向量OZ来表示复数z＝a＋b i，这也是复数的几何意义．

4．复数，复平面的点和平面向量之间的关系：见课本P67图3-3-3．5．复数的模：向量的模叫做复数的z的模，记作│z│或│a＋b i│．由模

的定义可知│z│＝│a＋b i│

离．

6．复数加减法的几何意义可由向量加减法的平行四边形法则得到．两个复

数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．同时，复数加减法的法则与平面向量加减法的坐标形式也是完全一致的．

四、数学应用

例1在复平面内，分别用点和向量表示下列复数4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．

练习课本P78练习3，4（口答）．

思考

1．复平面内，表示一对共轭虚数的两个点具有怎样的位置关系？

2．如果复平面内表示两个虚数的点关于原点对称，那么它们的实部和虚部分别满足什么关系？

3．“a＝0”是“复数a＋b i(a, b∈R)是纯虚数”的__________条件．

4．“a＝0”是“复数a＋b i(a, b∈R)所对应的点在虚轴上”的_____条件．

例2已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围．

例3已知复数

134i

z＝＋，

215i

z＝－＋，试比较它们模的大小．思考任意两个复数都可以比较大小吗？

例4设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）│z│＝2；（2）2＜│z│＜3．

四川省岳池一中数学(人教A)选修2-2学案 复数的几何意义

§3.1.2 复数的几何意义 学习目标 ： 1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2．掌握实轴、虚轴、模等概念. 3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 学习重点：复数的几何意义，理解复数相关概念． 学习难点：复数的几何意义，理解复数相关概念的运用． 课前预习案 教材助读： 阅读教材的内容，思考并完成下列问题： 1．复数的几何意义 (1)复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x 轴叫做______，y 轴叫做______．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． (2)复数与点、向量间的对应 ①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 复平面内的点______； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量___________． 2．复数的模 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ → 的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ _________. 一、新课导学： 探究点一 复数与复平面内的点 问题1：实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 问题2：判断下列命题的真假： ①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；

②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； ③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限． 探究点二复数与向量 问题1：复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？ 问题2：怎样定义复数z的模？它有什么意义？ 二、合作探究 例 1：在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点 (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围． 例2：已知复数z＝3＋a i，且|z|<4，求实数a的取值范围． 三、当堂检测 1. 在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 2．实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i (1)对应的点在x轴上方；(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上． 四、课后反思 课后训练案 1. 当2 3

3.1.3 导数的几何意义(优秀经典公开课比赛教案及联系解答)

3.1.3导数的几何意义 教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数. 教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义 教学过程： 情景导入：如图,曲线C 是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C 上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P 邻近一点,PQ 为C 的割线,PM//x 轴,QM//y 轴,β为PQ 的倾斜角. .tan , ,:β=???=?=x y y MQ x MP 则 展示目标：见学案 检查预习：见学案 合作探究：探究任务：导数的几何意义 问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化 趋是什么？ y x ??请问：是割线PQ 的什么?

新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线 割线的斜率是：n k = 当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数 就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x ?→+?-'==? 新知： 函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 精讲精练： 例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况. 解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.(2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) <0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减.(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) <0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减.从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明 h(t) 曲线在 l1 附近比在 l2 附近下降得缓慢。 例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)

复数几何意义的应用学案.

复数几何意义的应用学案 一、复数相关知识 1.复数z a bi (a,b R)的几何意义是什么？ 2. I z I的几何意义是什么？ 3. 复数z1,z 2差的模I Z1-Z 2 I的几何意义是什么？ 二、轨迹问题 (一)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 设Z(x,y)以Z0(x0, y0)为圆心，r(r 0)为半径的圆上任意一点，则点 Z(x,y)满足ZZ o r (r0) 1. 该圆向量形式的方程是什么 2. 该圆复数形式的方程是什么 3.该圆代数形式的方程是什么(二)椭圆的定义：平面内与两定点Z1,Z2的距离的和等于常数(大于乙Z2 ) 的点的集合(轨迹) 设Z(x, y)是以Z i(x i, y2)Z2(X2,y2)为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任 意一点，则点Z(x, y)满足ZZ1ZZ22a (2a 乙Z?) 1.该椭圆向量形式的方程是什么

2.该椭圆复数形式的方程是什么 变式(1)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ 变式(2)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ (三)双曲线的定义：平面内与两定点Z1, Z2的距离的差的绝对值等于 常数(小于乙Z2 )的点的集合(轨迹) 设Z(x, y)是以Z i(x i, y2)Z2(X2, y2)为焦点，2a为实轴长的椭圆的上 任意一点，则点Z(x, y)满足ZZ1ZZJ 2a （2a 乙Z2） 1.该双曲线向量形式的方程是什么 2.该双曲线复数形式的方程是什么 变式(1)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a Z1Z2"那么点Z的轨 迹是什么？ 变式(2)：在上面方程中若把"2a乙Z2"改为"2a 0"那么点Z的轨迹是什么？

导数的几何意义的教学设计

导数的几何意义 【教学目标】 1.理解切线的定义 2.理解导数的几何意义 3.学会应用导数的几何意义。 【教学重点与难点】 重点：理解导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义。 【教学过程】

第二步：求瞬时变化率()0000 () ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?. （即0x ?→，平均变化率趋近．．于的确定常数．．．．就是该点导数．． ） (2) 类比平均变化率得出导数，同样我们可以利用平均变化率的几何意义，得出导数的几何意义，我们观察函数()y f x =的图象，平均变化 率()00() f x x f x y x x +?-?=?? 的几何意义是什么 生：平均变化率表示的是割线n PP 的斜率 教师板书，便于学生 数形结合探究导数的几何意义。 突破平均变化率的 几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么 二、引导探究、获得新知 1.得到切线的新定义 要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究0x ?→，割线的变化趋势．．．．．．． ， ◆多媒体显示： 曲线上点P 处的切线PT 和割线n PP ，演示点n P 从右边沿着曲线逼近点P ,即0x ?→，割线n PP 的变化趋势。 教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢 生：先观察后发现，当0x ?→，随着点n P 沿着曲线逼近点P ，割 以求导数的两个步骤为．．．．．．．．． 依据．． ，从平均变化率的几何意义入手探索导数的几何意义，抓住0x ?→的联系，在图形上从割线入手来研究问题。 用逼近的方法体会割线逼近切线。

复数的概念与几何意义

1 第三章第一节 数系的扩充与复数的概念 学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。 自学探究 问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么？ 方程x 2 +1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能 设想一种方法，使这个方程有解吗？ 问题2.复数的概念是什么？ 问题3.若复数a+bi=c+di ，则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件？ 问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。 练习题： （一）完成课本104页1，2，3 （二）1.实数m 取何值时，复数z=m+1+(m-1)i 是实数？虚数？纯虚数？ 2.已知i 是虚数单位，复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ，当m 取何实数时，Z 是：（1）实数 （2）纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？ 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根，试求：,,a b k 的值。 [思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？ 第三章第二节 复数的几何意义 学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想； 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。 自学探究 问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？ 问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈（ 可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？ 问题3.怎样求一个复数的模？ 练习题： （一）完成课本105页1，2，3；106页A 组全做 （二） 1.若复数12z i =+，求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+，223z i =，332z i =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 试 判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论. 第三章第三节 复数代数形式的加减运算及其几何意义 1.会进行复数的代数形式的加、减运算，了解其几何意义； 2.通过复数加法几何意义的探究渗透数形结合、类比的数学思想。 自学探究 问题1.复数与复平面内的向量有一一对应的关系，类比向量加法，你能得出复数的加法运算法则吗？ 复数加法的几何意义呢？ 问题2.复数的加法满足交换律、结合律吗？请结合复数加法运算法则证明。 问题3.若复数z 1+z 2=z 3,你能否用z 2和z 3表示出z 1 ？请画图说明。 你能因此得出复数减法法则及其几何意义吗？ 练习题： （一）完成课本109页1，2 （二）计算 （1）(56)(2)(34)i i i -+---+ （2）5i -(-2+3i )+(4-7i ) 2 . 已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求： （1）AO 表示的复数； （2）CA 表示的复数； （3）B 点对应的复数. 3.ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数. 4. 当2 13 m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 第三章第四节 复数代数形式的乘除运算 学习目标 1. 理解共轭复数的概念； 2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算，从中体会类比数学思想。 自学探究 问题1.类比(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,你能得出(a+bi)(c+di)=? 问题2.复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？请举例说明。 问题3.复数34i +与3-4i 有何关系？a bi +的共轭复数是什么？bi 的共轭复数是什么？ 思考：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系如何？ （2）12z z ?是一个怎样的数？有何特征？ 问题4.类比实数的除法是乘法的逆运算，请探究（1+2i ）Z =4+3i 中的复数Z =？ 你能得出复数除法运算法则吗？ 练习题： （一）完成课本111页1，2，3；112页A 组1至6题;116页A 组全做，B 组1，2题。 （二）1. 复数5 2 i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -- D ．2i - 2.如果复数212bi i -+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ） A 2 B ．-2 C ．23- D ．2 3 3. 若12z i =，则22z z -的值为 4. 计算 （1）13()(1)2i -+； （2）3113 ()()22-- 5. 若复数z 满足11z i z -=+，则|1|z +的值为 第三章 数系的扩充与复数的引入（复习课） 1. 设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 2(1)i i -?等于（ ） A ．22i - B ．22i + C ．2- D ．2 3. 复数21 (1)i +的值是（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-

《导数的几何意义》教学设计

《导数的几何意义》教学设计 安徽省宿州市宿州学院附属实验中学罗风云 一、教材依据 导数的几何意义是北京师范大学出版社出版的普通高中课程标准实验教科书选修1-1第三章第二节的内容。 二、设计思想 教材分析： 导数是微积分的重要部分，是从生产技术和自然科学的需要中产生的；同时，又促进了生产技术和自然科学的发展。它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 本节内容分了两部分也即两个课时，一是导数的概念；二是导数的几何意义。之前学习的瞬时变化率是为了引出导数的概念，介绍导数的几何意义，是为了加深对导数概念的理解。教材中利用逼近方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为曲线的切线，这种定义才反映了切线的真正本质，在教学中应使学生了解“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并使之确定起来”（恩格斯语）的微积分思想，让学生反复通过图形（数与形的结合）去认识和感受导数的几何意义——切线的斜率，并且注重引导他们学会数学思考的一种方式——几何直观，从而加深对导数概念的认识和理解。

学情分析： 设计理念： 学生为本，重视思维发生的过程，重视切线定义的形成过程，激发学生的学习兴趣，有意识培养学生的学习毅力。让学生学习有趣的数学，学习有用的数学，充分体现数学的应用价值、思维价值和人文价值。 三、教学目标 1.知识与技能目标： （1）使学生掌握切线的形成过程，理解函数)(x f 在0x x =处的导 数()0/x f 的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线的斜率。 （数形结合），即：()()x x f x x f x f x ?-?+=→?)(lim 0000/＝切线的斜率； （2）会利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线方程，体会“数形结合”的数学思想方法。 （3）通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应

北师大版数学高二-选修1学案 导数的几何意义

第二章 变化率与导数 第三课时 3.2.2 导数的几何意义 一、教学目标： 1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义； 2、理解曲线在一点的切线的概念； 3、会求简单函数在某点处的切线方程。 二、教学重点： 了解导数的几何意义 教学难点：求简单函数在某点出的切线方程 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程： 复 习 回 顾 1.平均变化率 . ],[)()()(0)(00000的平均变化率在为函数称时，比值 当及其附近有定义，在点已知函数x x x x f x x f x x f x y x x x x f y ?+?-?+=??≠?== 2.瞬时变化率 . )() ()(0x 000的瞬时变化率在点则这个常数称为函数常数， 时，平均变化率 当x x f x x f x x f →?-?+→? 3.导数的定义 x x f x x f x f y x f x x x f x x x x ?-?+='''=→?=) ()(( lim )(|)()(000 00000，故或记作处的导数在为的瞬时变化率，就定义函数在 4.点斜式直线方程： y-y 0=k(x-x 0) 曲线的切线 y=f(x) y 0=f(x 0)， y 1=f(x 1)

当自变量从x0变化到x1时，相应的函数值从f(x0)变化到f(x1) 自变量的增量△x= x1- x0 函数值的增量△y= f(x1)- f(x0) Q(x0+ △x,y0+ △y) △y=f(x0+ △x)-f(x0) 曲线在某一点处的切线的定义 设曲线C是函数y=f(x)的图象，在曲线C上取一点(x0,y0)及邻近一点(x0+△x,y0+△y) 过P,Q两点作割线当点Q沿着曲线无限接近于点P即△x→0时, 如果割线PQ有一个极 限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在点P处的切线。

3.1.2复数的几何意义(学、教案)

3. 1.2复数的几何意义 课前预习学案 课前预习： 1、复数与复平面的点之间的对应关系 1、复数模的计算 2、共轭复数的概念及性质 4、 提出疑惑： 通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 学习目标： 1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系 2.理解复数的几何意义 并掌握复数模的计算方法 3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简单性质 学习过程 一、自主学习 阅读 课本相关内容，并完成下面题目 1、复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是 的 2、 叫做复平面， x 轴叫做 ，y 轴叫做 实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示 3、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数 ←???→一一对应复平面内的点 ←???→一一对应 平面向量 4、共轭复数 5、复数z =a +bi (a 、b ∈R )的模 二、探究以下问题 1、实数与数轴上点有什么关系？类比实数，复数是否也可以用点来表示 吗？ 2、复数与从原点出发的向量的是如何对应的？ 3、复数的几何意义你是怎样理解的？ 4、复数的模与向量的模有什么联系？ 5、你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗？ 三、精讲点拨、有效训练 见教案

反思总结 1、你对复数的几何意义的理解 2、复数的模的运算及含义 3共轭复数及其性质 当堂检测 1、判断正误 （1） 实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数 （2） 若|z 1|=|z 2|，则z 1=z 2 （3） 若|z 1|= z 1，则z 1>0 2、()12m z i =当＜时，复数＋m-1在复平面上对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3、已知a ，判断z=i a a a a )22()42(22+--+-所对应的点在第几象限 4、设Z 为纯虚数，且|z+2|=|4-3 i |，求复数Z

模式一1.1.3导数的几何意义

1. 1.3导数的几何意义 课前预习学案 一． 预习目标 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题。 二． 预习内容 1.曲线的切线及切线的斜率 （1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时, 即0→?x 时,割线n PP 趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT 称为 . （2）割线n PP 的斜率是00 ()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时, n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ,即k = = 2.导数的几何意义 函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率, 即0()f x '= . 三．提出疑惑 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一． 学习目标 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题 二． 学习过程 （一）。复习回顾 1．平均变化率、割线的斜率 2。瞬时速度、导数 （二）。提出问题，展示目标 我们知道,导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率,反映了函数)(x f y =在

0x x =附近的变化情况,导数0()f x '的几何意义是什么呢？ （三）、合作探究 1.曲线的切线及切线的斜率 （1）如图3.1-2,当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时,割线n PP 的变化趋势是什么？ （2）如何定义曲线在点P 处的切线？ (3)割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ (4)切线PT 的斜率k 为多少？ 说明: (1)当0→?x 时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义 （1）函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义是什么？ （2）将上述意义用数学式表达出来。 （3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程？ 3.导函数 （1）由函数)(x f y =在0x x =处求导数的过程可以看到,当0x x =时,0()f x '是一个确定的数,那么,当x 变化时, ()f x '便是x 的一个函数,我们叫它为)(x f 的导函数. 注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. （2）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系是什么？ 区别： 联系： （四）。例题精析 例1 求曲线1)(2+==x x f y 在点)2,1(P 处的切线方程. 解: 变式训练1 求函数23x y =在点(1,3)处的切线方程. 例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++, 根据图像,请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况. 解: 我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线, 刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当0t t =时,曲线()h t 在0t 处的切线0l 的斜率 , 所以,在0t t =附近曲线比较平坦,几乎没有升降.

3-1-2 复数的几何意义

基础巩固强化 一、选择题 1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3 [答案] C [解析] 由OZ →＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)， ∴OZ →对应的复数为0－3i ＝－3i.故选C. 2．复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数 D ．z 是非负实数 [答案] D [解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0. 3．已知复数z ＝a ＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的模为|z |＝2，则a 等于( ) A ．1 B ．±1 C. 3 D ．±3 [答案] D [解析] ∵|z |＝2，∴a 2＋1＝4，∴a ＝±3. 4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i

C ．2＋4i D ．4＋i [答案] C [解析] 由题意，得点A (6,5)，B (－2,3)．由C 为线段AB 的中点，得点C (2,4)， ∴点C 对应的复数为2＋4i. 5．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2或a ≠－1 C ．a ＝2或a ＝0 D ．a ＝0 [答案] C [解析] 由题意知a 2－2a ＝0， 解得a ＝0或2. 6．当2 30，m －1<0. 二、填空题 7．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是________． [答案] (1,2) [解析] 由已知，得? ???? x 2－6x ＋5<0 x －2<0，

导数学案(有答案)

3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象 上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上的平均变化率； ②在x0处的变化率； ③在x1处的变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________. 3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________. 4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________． 7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______． 8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________． 二、解答题 9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．

(完整word版)复数的概念及其几何意义练习题

一．选择题（共10小题） 1．（2015?遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（） A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i 2．（2015?安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（） A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i 3．（2015?广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 4．（2015?泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2 5．（2015?潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（） A．B．C．±1 D． 6．（2015?浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（） A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i 7．（2015?新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．（2015?南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（）A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i 9．（2015?宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（） A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i 10．（2015?上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．填空题（共5小题） 11．（2015?岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则ix+y=．12．（2015春?常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为． 13．（2015春?肇庆期末）从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有个． 14．（2015?泸州模拟）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=． 15．（2014?奎文区校级模拟）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量 对应的复数是． 三．解答题（共8小题） 17．（2015?赫章县校级模拟）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i． （1）求点C，D对应的复数； （2）求平行四边形ABCD的面积． 18．（2015春?蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：

(浙江专版)201X年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义学案 新人

3．1.2 复数的几何意义 预习课本P104～105，思考并完成下列问题 (1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？ (2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？ [新知初探] 1．复平面 2．复数的几何意义 . 3．复数的模 (1)定义：向量OZ ―→ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2 ＋b 2 (r ≥0，r ∈R)． [点睛] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是

z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数． [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ) (3)复数的模一定是正实数．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．已知复数z ＝i ，复平面内对应点Z 的坐标为( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(0,0) D ．(1,1) 答案：A 3．向量a ＝(1，－2)所对应的复数是( ) A ．z ＝1＋2i B ．z ＝1－2i C ．z ＝－1＋2i D ．z ＝－2＋i 答案：B 4．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则|z |＝________. 答案： 5 复数与点的对应关系 [典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a ＋3 ＋(a 2 －2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件： (1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方． [解] (1)点Z 在复平面的第二象限内， 则????? a 2 －a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0， 解得a ＜－3. (2)点Z 在x 轴上方， 则? ?? ?? a 2 －2a －15＞0，a ＋3≠0， 即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3. [一题多变]

1.1.3导数的几何意义-浙江省桐庐分水高级中学高中数学人教A版选修2-2学案(无答案)

导数的几何意义 高考要求：理解导数的几何意义 角度一 求切线方程 例1：曲线161sin 33++=x x y 在点（0，1）处的切线方程为_________________. 练习1：已知x x x f 3)(3-=，过点)2,2(--P 作函数)(x f y =图像的切线，则切线方程为____________________. 角度二 求切点坐标 例2：设R a ∈，函数x x e a e x f + =)(是偶函数，若曲线)(x f y =的一条切线的斜率是23 ，则切点的横坐标为______________. 练习2：曲线x e y =在A 处的切线与直线01=+-y x 平行，则点A 的坐标为_____. 角度三 求参数的值或取值范围 例3：（1）直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点)3,1(A ,则=+b a 2_______. (2)若直线b kx y +=是曲线x e y =的切线，也是曲线)2ln(+=x y 的切线， 则=k __________.

练习3：已知2ln 4)(x x x f -=，若曲线)(x f y =在点)1,1(-处的切线与曲线 m x x y +-=32相切，则=m ___________. 角度四 过某点的切线的条数问题 例4 若过点),a a P （与曲线x x x f ln )(=相切的直线有两条，则实数a 的取值范 围是（ ） A.),(e -∞ B.),(+∞e C.(0,)1e D. ),1(+∞ 练习4：已知nx mx x x f ++=23)(,R n m ∈, (1) 若)(x f 在1=x 处取得极大值，求实数m 的取值范围。 (2) 若0)(/=x f ，且过点)1,0(P 有且只有两条直线与曲线)(x f y =相切， 求实数m 的值。 练习5：已知b x x x x f +++=2325)(,，其图像是曲线C,若过点)0,1(P 可作曲线C 的三条切线，求实数b 的取值范围。

新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.2 复数的几何意义

7．1.2 复数的几何意义 考点 学习目标 核心素养 复平面 了解复平面的概念 数学抽象 复数的几何意义 理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系 直观想象 复数的模 掌握复数的模的概念，会求复数的模 数学运算 共轭复数 掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数 数学运算 问题导学 预习教材P70－P72的内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？ 2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是什么？ 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的两种几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应 复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →. ■名师点拨 (1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i. (2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数． (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写． 3．复数的模

复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ → 的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2． ■名师点拨 如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数 (1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． (2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z － ＝a －b i ． ■名师点拨 复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z － ＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( ) (2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( ) (3)若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( ) (4)若z 1与z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 复数1－2i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10 D ．2 2 答案：C 复数z ＝－2＋5i 的共轭复数z － ＝________． 答案：－2－5i

3.3复数的几何意义 学案(含答案)

3.3复数的几何意义学案（含答案） 3.3复数的几何意义学习目标 1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴.虚轴.模等概念. 3.理解向量加法.减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢答案任何一个复数zabi，都和一个有序实数对a，b一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二复数的几何意义1复数与点.向量间的对应关系2复数的模复数zabia，bR，对应的向量为，则向量的模叫做复数zabi的模或绝对值，记作|z|或|abi|.由模的定义可知|z||abi|.知识点三复数加.减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗答案如图，设，分别与复数abi，cdi对应，且，不共线，则a，b，c，d，由平面向量的坐标运算，得ac，bd，所以与复数acbdi 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量答案z1z2可以看作z1z2因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形

法则作出与z1z2对应的向量如图图中对应复数z1，对应复数 z2，则对应复数z1z 2.梳理1复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数 z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数2设z1abi，z2cdia，b，c，dR，则|z1z2|，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1原点是实轴和虚轴的交点2在复平面内，对应于实数的点都在实轴上3在复平面内，虚轴上的点构对应的复数都是纯虚数4复数的模一定是正实数类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数zx2x6x22x15i对应的点Z在1 第三象限；2直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6， x22x15也是实数1当实数x满足即当3x2时，点Z在第三象限 2zx2x6x22x15i对应点的坐标为Zx2x6，x22x15，当实数x满足 x2x6x22x1530，即当x2时，点Z在直线xy30上引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在1虚轴上；2 第四象限解1当实数x满足x2x60，即当x3或2时，点Z在虚轴上2当实数x满足即当2x5时，点Z在第四象限反思与感悟按照复数和复平面内所有点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部.虚部的取

导数的几何意义教学导案后附教学反思

导数的几何意义教案(后附教学反思)

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导数的几何意义教案（后附教学反思） 永嘉中学 数学组 周瑛 08.4.13 【教学目标】 知识与技能目标： （1）使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/ x f 的几何意义就是函数)(x f 的 图像在 0x x =处的切线的斜率。（数形结合），即： ()()x x f x x f x f x ?-?+=→?) (lim 000 0/＝切线的斜率 (2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。 过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。 情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。培养学生学数学，用数学的意识。 【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。 【课型】探究课 【教学重点与难点】 重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。 难点：发现、理解及应用导数的几何意义 【教学过程】 （一） 课题引入，类比探讨： 让学生回忆导数的概念及其本质。（承上启下，自然过渡）。 师：导数的本质是什么？写出它的表达式。（一位学生板书），其他学生在“学案”中写： 导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率．．．．．，即： ()()x x f x x f x f x ?-?+=→?) (lim 000 0/ （注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意