有关二项分布的典型问题分析

高考数学复习点拨：有关二项分布的典

型问题分析

有关二项分布的典型问题分析

山东

黄丽生

二项分布是在n次独立重复试验中引入的一个概念，它是一

种常见的、重要的离散型随机变量的概率分布，引入他们实

际上是对独立重复试验从概率分布角度的进一步研究.然而

我们在利用二项分布原理解决实际问题时只注意到两点，即

解释为什么可以看成二项分布模型，其次是考虑到它的计算，却往往忽视对计算结果进行解释，造成初学者无法摆脱知识

上的种种困惑.鉴于此，我们选取几个典型案例进行剖析，

供参考.

一保险问题

例1设某保险公司有10000人参加人身意外保险.该公司规定:每人每年付公司120元，若逢意外死亡，公司将赔偿10000元.若每人每年死亡率为0.006，试讨论该公司是否会赔本，其利润状况如何.（不考虑公司的其它赔偿费用、其他开支和其它收入）

分析：在这个问题中，公司的收入是完全确定的，10000个

投保人每人付给公司120元，公司的年收入为120万元。公

司的支出取决于投保人中意外死亡的人数（这里略去有关公司日常性开支的讨论，如公司职工工资，行政开支等等），而这是完全随机的，公司无法在事前知道其确切人数。但公司可以知道死亡人数的分布.设X表示这10000人中意外死亡的人数，由于每个人的死亡率为0.006，则X服从n=10000，p=0.006的二项分布:

，k=0,1,2, (10000)

死亡X个人时，公司要赔偿X万元，此时公司的利润为（120-X）万元。尽管我们无法事前知道这利润的确切值，但由上述分布可知，公司赔本的概率为≈0即公司几乎不会赔本（这里的计算量很大，可设计算法程序来计算，体会算法的重要性）。类似地，可以计算，例如公司利润不少于40万元的概率即公司有99.5%的概率能赚到40万元以上。则不难讨论公司获利的其它情形.

这个例子告诉我们，面对随机现象，了解分布非常有意义，我们不能保证公司的利润一定不少于40万元，完全可能出现例外的情况.这是随机现象的本性所决定的.但是上述的结果对保险公司确有指导的意义.

二需要多少条外线

例2 某电话交换台有1000个用户，在任何时刻各用户是否需要通话是独立的，且每个用户需要需要通话的概率为.问该交换台最少需要多少条外线才能保证各用户在任何时刻同

时使用通畅的概率不小于99%？

分析：也许，你马上得到需要1000×99%=990条外线，是这

样吗？不妨计算一下，将每一个用户需要通话与否看成一个

子试验，因此用户需要使用电话可以看成是p=的1000重独

立试验模型.设X表示给定时刻需要通话的用户数.按照题意，就是求满足下列不等式的n，，因为可计算得：

n202526272830

P（X≤n） 0.82970.98040.98860.99350.99650.9995

所有最少需要27条外线.

上面的例子表明，了解随机现象发生的规律是非常有意义的.为了用户能以99%的概率要通外线，我们无须保留1000条外线中的99%（1000×99%=990），10%（100条）也用不到，原来线路的5%（50条）就已足够了.只要我们在允许的范围内

稍做一些"牺牲"（用户要不通外线的可能性为1%），就能大大降低成本.

三药品检验

例3.某地区羊患某种病的概率是0.25，且每只羊患病与否

是彼此独立的.今研制一种新的预防药，任选12只羊做实验，结果这12只羊服用此药后均未患病.问此药是否有效.

分析：初看起来，会认为这药一定有效，因为服药的羊均未

患病.但细想一下，会有问题，因为大部分羊不服药也不会

患病，患病的羊只占0.25左右.这12只羊都未患病，未必是

药的作用.分析这问题的一个自然想法是：若药无效，随机

抽取12只羊都不患病的可能性大不大.若这件事发生的概率

很小，几乎不会发生，那么现在我们这几只羊都未患病，应

该是药的效果，即药有效.

现假设药无效，在此假设下，令x表示任取12只羊中患病的头数，则x服从n=12,p=0.25的二项分布，即，

k=0,1,...,12. 12只羊都不患病的概率是.

这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在它确实发生了，说明我们的假设不对，药是有效的.这里的分析思想有些像

反证法，但并不相同.给定假设后，我们发现，一个概率很

小几乎不会发生的事件却发生了，从而否定我们的"假设".

四买奖券问题

例4 试分析：中奖率为的彩票，买1000张一定中奖吗？

分析：在奖券抽奖时，试发行了N张奖券，其中M张能中奖，那么买一张的中奖率是,买n张奖券，令X为n张奖券中能中奖的张数，则X服从超几何分布.

,k=0,1,...,min（M,n）

中奖的概率是，

假定发行的奖券数量巨大，可近似认为每张奖券是否中奖是

相互独立的，中奖率不变，令X为n张奖券中能中奖的张数，则X可看作服从二项分布

，k=0,1,2...,n. 换句话说，当N很大时，参数为N，M,n的

超几何分布可用参数为n，p=的二项分布来近似.

如果一次抽奖活动中的中奖率为，令X为n张奖券中能中奖

的张数，可以近似认为X服从二项分布.，k=0,1,2...,n.

中奖的概率记为Pn，有.表中给出了数值的结果：

n100020003000 40005000

Pn0.6320.8650.9500.9820.993

我们看到中奖率为千分之一的奖券并非买1000张就能中奖，买1000张中奖的概率约为63%，尽管平均买1000张奖券中

就有1张能中奖，但如果把"买1000张奖券"看成一次试验，在众多的买1000张奖券的人中，有不中的，有中1张的，也有中2张的，...其中不中奖的约占1－63%=37%.上表还告诉我们，买3000张奖券中奖的概率为95%，再多买2000张，

即买5000张，中奖的概率只提高了4.3%，这一事实对如何

购买奖券无疑是有参考价值的.

通过上述几个实例，主要对初学者学习此内容的困难进行了

分析，帮助他们逐渐熟悉随机变量的思想和语言，进一步认

识二项分布的特点，提高他们识别模型和解释结果的能力.

高中数学选择性必修三 7 4 1 二项分布 导学案

7.4.1 二项分布 1.理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念,掌握随机变量服从二项分布的有关计算; 2.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差; 重点：n重伯努利实验，二项分布及其数字特征； 难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布. 1.伯努利试验 在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征： (1）同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同） (2) 各次试验的结果相互独立. 2.二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0

3.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p). 一、问题探究 做一做:问题1.下面3个随机试验是否为n重伯努利试验? 如果是,那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少？ 1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次. 2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. 3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. 探究1 ：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同? 问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 探究2：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列. 思考1：二项分布与两点分布有何关系? 思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？ 二、典例解析 例1 ：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：

高中数学选修2-3《2.2二项分布及其应用》测试卷解析版

高中数学选修2-3《2.2二项分布及其应用》测试卷解析版一．选择题（共6小题） 1．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为且是互相独立的，按图种方式接入电路，电路正常工作的概率是（） A．B．C．D． 【分析】电路正常工作的条件是T1必须正常工作，T2，T3至少有一个正常工作，由此利用相互独立事件乘法公式和对立事件概率公式能求出电路正常工作的概率． 【解答】解：∵三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为且是互相独立的，图种方式接入电路， ∴电路正常工作的条件是T1必须正常工作，T2，T3至少有一个正常工作， ∴电路正常工作的概率： P＝（1﹣）＝． 故选：C． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件乘法公式和对立事件概率计算公式的合理运用． 2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B关系是（） A．互斥事件B．对立事件 C．相互独立事件D．不相互独立事件 【分析】由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B是相互独立的，从而得出结论． 【解答】解：由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B 是相互独立的，

故选：C． 【点评】本题主要考查相互独立事件的定义，属于基础题． 3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（） A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45 【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p＝0.6，由此解得p的值． 【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p＝0.6，解得p＝0.8， 故选：A． 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题． 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（） A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312 【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可． 【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6）， 该同学通过测试的概率为＝0.648． 故选：A． 【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查． 5．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε＝3）等于（） A．C32（）2×（）B．C32（）2×（） C．（）2×（）D．（）2×（） 【分析】根据题意，P（ε＝3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε＝3）即第3次首次取到正品的概率； 若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，

9二项分布及其应用-简单难度-讲义

二项分布及其应用 引入 姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0．8，假设他每次命中率相同,请问他4投3中的概率是多少? 问题1：在4次投篮中姚明恰好命中1次的概率是多少? 问题2：在4次投篮中姚明恰好命中2次的概率是多少? 问题３：在4次投篮中姚明恰好命中3次的概率是多少? 问题4：在4次投篮中姚明恰好命中4次的概率是多少？ 问题5：在n 次投篮中姚明恰好命中k 次的概率是多少? 解读 1、条件概率 （1）条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号“(|)P B A ”来表示． （2）条件概率公式：()()() P A B P B A P A = I 其中()0P A A B >I ，称为事件A 与B 的积或交（或 积）． 把由事件A 与B 的交（或积），记做D A B =I （或D AB =）． （3）条件概率的求法： ①利用定义，分别求出()P A 和()P B A ，得()()() P A B P B A P A = I ． ②借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数，即()n A 再求事件()n A B I ，得()()() n A B P B A n A = I ． 2、相互独立事件同时发生的概率 （1）事件的独立性 ：如果事件A (或B )是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，(|)()P B A P B =，这时，我们称两个事件A ，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．

如果事件A 与B 相互独立，那么事件A B g 发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即()()()P A B P A P B =g g ． 如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的 积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯I I L I L ，并且上式中任意多个事件i A 换成其对立事件后等式仍成立． （2）“相互独立”与“事件互斥” 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥． 3、二项分布 （1）独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复 试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =L ． （2）二项分布 若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为1q p =-，那么在n 次独立重复试验 中，事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q -==，其中0,1,2,,k n =L ．于是得到X 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110()C C C C n n n k k n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++L L 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作~(,)X B n p ．

高考数学一轮复习专题01 二项分布(解析版)

概率与统计 专题一：二项分布 一、知识储备 一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p (01p <<)， 用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为()(1)k k n k n P X k C p p -==-（0,1,2, k n =） 如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布（binomial distribution ），记作(,)X B n p 。 二、例题讲解 1．（2022·全国高三其他模拟）羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为3 4 ，乙选手在每回合中得分的概率为14． （1）在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求在经过4回合比赛甲获胜的概率； （2）在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ． 【答案】（1）81 256 ；（2）分布列见解析；期望为3． 【分析】

（1）可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，进而根据独立重复试验的概率公式即可求出结果； （2）求出X 的取值，进而求出对应的概率，列出分布列，利用二项分布的期望即可求出结果． 【详解】 （1）记在经过4回合比赛，甲获胜为事件A ， 可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以2 2333181 ()C 444256 P A ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）易知X 的取值为0，1，2，3，4，且3~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 404 11(0)C 4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3 14133(1)C 4464P X ⎛⎫==⨯ = ⎪⎝⎭ ， 222 4 1327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫ ==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，3 341327(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4 44 381(4)C 4256P X ⎛⎫ === ⎪⎝⎭ ， 所以X 的分布列为： 数学期望3 ()434 E X np ==⨯ =． 2．（2022·青铜峡市高级中学高三开学考试（理））设甲､乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为2 3 .假定甲､乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （1）用X 表示甲同学上学期间的每周五天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件M ，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：103 ；（2）802187. 【分析】 （1）由题意可得2 (5,)3 X B ，然后利用二项分布的概率公式求对应的概率，从而可列出分布列， （2）设乙同学上学期间的五天中7：30之前到校的天数为Y ，由题意可知2 (5,)3 Y B ，且

二项分布与泊松分布公式概览与解析

二项分布与泊松分布公式概览与解析二项分布和泊松分布是统计学中常用的概率分布模型。它们在实际 问题中的应用十分广泛，并在很多领域发挥着重要的作用。本文将概 览和解析二项分布与泊松分布的公式，以及它们在实际问题中的应用。 一、二项分布概览 二项分布是指在给定的n个独立重复试验中，成功事件发生k次的 概率分布。它的概率质量函数可以表示为： P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) 其中，P(X=k)代表成功事件发生k次的概率，C(n,k)表示从n次试 验中选择k次成功事件的组合数，p表示每次试验中成功事件发生的概率，(1-p)表示每次试验中失败事件发生的概率。 二项分布的期望和方差分别为： E(X) = np Var(X) = np(1-p) 其中，E(X)代表二项分布的期望，Var(X)代表二项分布的方差，n 代表试验次数，p代表每次试验中成功事件发生的概率。 二、泊松分布概览 泊松分布是指在一定时间或空间范围内，事件发生次数的概率分布。它的概率质量函数可以表示为：

P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k! 其中，P(X=k)代表事件发生k次的概率，λ代表单位时间或空间内事件的平均发生率，e为自然对数的底，k!表示k的阶乘。 泊松分布的期望和方差均为λ。 三、二项分布与泊松分布的联系 当试验次数n趋向无穷大，成功事件发生的概率p趋向于0，同时np保持不变时，二项分布逼近于泊松分布。也就是说，当二项分布中的n很大，p很小时，可以用泊松分布来近似计算。 四、二项分布与泊松分布的应用 1. 二项分布的应用 二项分布常用于描述二元事件的发生情况，如抛掷硬币时正面朝上的次数、某种产品合格品的个数等。在实际应用中，可以利用二项分布计算概率，进行成本控制、质量管理等方面的决策。 2. 泊松分布的应用 泊松分布常用于描述事件发生的数量，如单位时间内电话的呼入次数、单位空间范围内的交通事故次数等。在实际中，可以利用泊松分布进行风险评估、资源分配等方面的分析和决策。 总结： 二项分布与泊松分布是统计学中重要的概率分布模型。二项分布描述了在给定的n次独立重复试验中成功事件发生k次的概率分布，而

知识讲解_高考总复习：二项分布与正态分布(基础)

高考总复习：二项分布与正态分布 【考纲要求】 一、二项分布及其应用 1、了解条件概率和两个事件相互独立的概念； 2、理解n次独立重复试验的模型及二项分布； 3、能解决一些简单的实际问题。 二、正态分布 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、条件概率 1．条件概率的定义 设A、B为两个事件，且P（A）＞0，称P（B|A）=P（AB）/P（A）为在事件A发生的条件下，事件B 发生的条件概率。 要点诠释： 条件概率不一定等于非条件概率。若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。 2．条件概率的性质 ①0≤P（B|A）≤1； ②如果B、C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）。 考点二、独立重复试验及其概率公式 1．事件的相互独立性 设A、B为两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。 2.判断相互独立事件的方法 (1)利用定义: 事件A、B相互独立，则P(AB)=P(A)·P(B)；反之亦然。

(2)利用性质:A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B , A 与B 也都相互独立. (3)具体模型 ①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的. ②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验. 要点诠释： 要明确“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的含义。已知两个事件A 、B ，则 A 、 B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； A 、B 都发生的事件为AB ； A 、B 都不发生的事件为AB ； A 、 B 恰有一个发生的事件为AB ∪AB ； A 、 B 中至多有一个发生的事件为AB ∪AB ∪AB 。 3．独立重复试验 （1）独立重复试验 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用(1,2,,)i A i n =表示第i 次试验结果， 则123 123()()()()() n n P A A A A P A A A A = （2）独立重复试验的概率公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为： ()(1)k k n k n n P k C P p -=-。 令0k =得，在n 次独立重复试验中，事件A 没有发生的概率为．．．．．．．．00(0)(1)(1)n n n n P C p p p =-=- 令k n =得，在n 次独立重复试验中，事件A 全部发生的概率为．．．．．．．． 0()(1)n n n n n P n C p p p =-= 要点诠释： 1．独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。 2．独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样。

数据分析知识：数据分析中的二项式分布

数据分析知识：数据分析中的二项式分布 二项式分布是统计学中的一种概率分布，它是对二项试验所得结 果的离散分布。在数据分析领域中，二项式分布是非常重要的概率分布，因为它可以用来描述一些实际问题的概率分布情况，比如投硬币、掷骰子等问题。本文将通过介绍二项式分布的概念、特点、应用等方面，深入探究二项式分布在数据分析领域中的重要性。 一、二项式分布的概念及特点 1、概念：二项式分布是指，在n次独立重复试验中，若每次试验 的成功概率为p，则在n次试验中获得k次成功的概率分布，称为二项分布，符号为B（n , p）。 2、特点：二项分布的特点在于它是一种离散型概率分布，即只有 整数取值。同时，在二项分布中，每次试验的成功概率总是相等的， 且每次试验之间是独立的。通过这两个特点，我们可以轻松地求得二 项分布的期望值和方差，以及二项分布的概率密度函数和累积分布函数。 二、二项式分布的应用

1、实际问题的模拟 二项式分布可以用来模拟一些实际问题的概率分布情况。比如，我们可以用二项式分布来模拟掷硬币的结果，即当掷硬币10次时，出现正面朝上的次数为k的概率。同样地，我们可以用二项式分布来模拟其他类似的问题，如掷骰子、抛骰子等。 2、市场研究 在市场研究中，二项式分布可以用来描述顾客购买某个产品或服务的概率分布情况。比如，一个公司想要知道其新产品在市场上的潜在销售情况，可以采用调查的方式得到一定数量的样本数据，并根据这些数据计算出二项式分布的概率分布情况。然后，该公司就可以根据得到的概率分布情况来制定相应的营销策略，从而提高销售量和利润。 3、生物学研究 在生物学研究中，二项式分布可以用来描述遗传实验结果的概率分布情况。比如，在通过杂交实验来研究某个遗传特征的时候，我们可以用二项式分布来描述杂交中出现某个特征的概率分布情况。通过

有关二项分布的典型问题分析

高考数学复习点拨：有关二项分布的典 型问题分析 有关二项分布的典型问题分析 山东 黄丽生 二项分布是在n次独立重复试验中引入的一个概念，它是一 种常见的、重要的离散型随机变量的概率分布，引入他们实 际上是对独立重复试验从概率分布角度的进一步研究.然而 我们在利用二项分布原理解决实际问题时只注意到两点，即 解释为什么可以看成二项分布模型，其次是考虑到它的计算，却往往忽视对计算结果进行解释，造成初学者无法摆脱知识 上的种种困惑.鉴于此，我们选取几个典型案例进行剖析， 供参考. 一保险问题 例1设某保险公司有10000人参加人身意外保险.该公司规定:每人每年付公司120元，若逢意外死亡，公司将赔偿10000元.若每人每年死亡率为0.006，试讨论该公司是否会赔本，其利润状况如何.（不考虑公司的其它赔偿费用、其他开支和其它收入） 分析：在这个问题中，公司的收入是完全确定的，10000个 投保人每人付给公司120元，公司的年收入为120万元。公

司的支出取决于投保人中意外死亡的人数（这里略去有关公司日常性开支的讨论，如公司职工工资，行政开支等等），而这是完全随机的，公司无法在事前知道其确切人数。但公司可以知道死亡人数的分布.设X表示这10000人中意外死亡的人数，由于每个人的死亡率为0.006，则X服从n=10000，p=0.006的二项分布: ，k=0,1,2, (10000) 死亡X个人时，公司要赔偿X万元，此时公司的利润为（120-X）万元。尽管我们无法事前知道这利润的确切值，但由上述分布可知，公司赔本的概率为≈0即公司几乎不会赔本（这里的计算量很大，可设计算法程序来计算，体会算法的重要性）。类似地，可以计算，例如公司利润不少于40万元的概率即公司有99.5%的概率能赚到40万元以上。则不难讨论公司获利的其它情形. 这个例子告诉我们，面对随机现象，了解分布非常有意义，我们不能保证公司的利润一定不少于40万元，完全可能出现例外的情况.这是随机现象的本性所决定的.但是上述的结果对保险公司确有指导的意义. 二需要多少条外线 例2 某电话交换台有1000个用户，在任何时刻各用户是否需要通话是独立的，且每个用户需要需要通话的概率为.问该交换台最少需要多少条外线才能保证各用户在任何时刻同

《二项分布》之实例引入

《二项分布》之实例引入 在统计学中，二项分布是一种离散型概率分布，它描述了在n次独立重复的伯努利试 验中成功次数的概率分布。在实际生活中，我们常常面临这样的问题：如果进行了n次独 立的成功与失败的试验，成功的次数会是多少？这时候，我们就可以用到二项分布来解决 这个问题。 为了更好地理解二项分布，我们可以通过一些实例来引入这个概念。在现实生活中， 有很多问题都可以用二项分布来描述，比如抛硬币的问题、掷骰子的问题、抽样问题等等。下面我们就通过一些具体的实例来介绍二项分布这个概念。 例1：抛硬币的问题 假设我们有一枚硬币，抛十次看正面朝上的次数，这就是一个典型的二项分布的例子。每次抛硬币都有两种可能的结果：正面或反面。如果我们定义正面朝上为成功，反面朝上 为失败，那么在十次抛硬币的实验中，成功的次数就可以用二项分布来描述。 为了更形象化地理解，我们可以用程序模拟来完成这个实验。我们写一个简单的Python程序来模拟抛硬币的过程，然后统计十次抛硬币中正面朝上的次数。代码如下： ```python import numpy as np # 模拟抛硬币的实验 def flip_coin(n): result = np.random.randint(2, size=n) return np.sum(result) # 模拟十次抛硬币的实验 experiments = 1000 # 模拟1000次实验 n = 10 # 抛硬币的次数 count = np.zeros(n+1) # 保存每种结果的次数 通过运行这个程序，我们可以得到十次抛硬币中正面朝上0-10次的概率分布情况。这个实例可以帮助我们更好地了解二项分布的概念，也可以通过这种方式来直观地感受二项 分布的特性。

高二数学小练习(4)：二项分布与超几何分布

小练习（4）：二项分布与超几何分布 1.某校组织计算机知识竞赛，已知竞赛题目共有10道，随机抽取3道让参赛者回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，若某一参赛者只能答对其中6道，则他能通过初试的概率为_________ 2.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X< 2)等于_______ )，则P(ξ≤3)等于___________ 3.设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6,1 2 4.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少有3人被治愈的概率为(用数字作答)． 5.袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： (1)有放回抽样时，取到黑球的次数X的分布列； (2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列．

二项分布与超几何分布 一、选择题（本大题共3小题，共15.0分） 1. 某校组织计算机知识竞赛，已知竞赛题目共有10道，随机抽取3道让参赛者回答，规定至少要 答对其中2道才能通过初试，若某一参赛者只能答对其中6道，则他能通过初试的概率为( ) A. 23 B. 34 C. 14 D. 13 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查超几何分布，属于基础题． 分两种情况：只答对两道和三道都答对，再结合组合数的计算列式可求． 【解答】 解：通过初试包括两种情况，即答对其中2道或3道题目， 所以所求概率为 C 62C 41C 103+C 63C 103=23． 故选A ． 2. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P(X < 2)等于( ) A. 715 B. 815 C. 1415 D. 1 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查超几何分布，与互斥事件的概率，解题的关键是找到与每个X 的值相对应的概率P 的值． 【解答】 解：由题意，知X 取0，1，2， 则P(X =0)=C 72C 102=715， P(X =1)=C 71⋅C 31C 102=715， P(X =2)=C 3 2C 102=115．

二项分布概率的最大值探究

二项分布概率的最值 二项分布是应用最广泛的离散型随机变量概率模型，对与二项分布有关的一些问题的探究是有意义的.设随机变量X ~()p n B ,，其中10,*<<∈p N n ，那么当k 由0增大n 时()k x p =是怎样变化的？k 取何值时()k x p =最大？ 分析：设随机变量X ~()p n B ,，则()() k n k k n p p C k x p --==1，=k 0,1,2， ，n ， 从而())1(-==k x p k x p ()()k n k k n k n k k n p p C p p C -+-----=11111111≥-=-p p C C k n k n ，所以()11--≥k n k n C p pC ， 所以()k n p k p -+-≥11，()()k p p k n -≥-+11， 所以()k p n ≥+1，即()p n k 1+≤，=k 1,2， ，n ，此时，()k x p =单调递增. (1) 当()n p n >+1时，=k 1,2， ，n ，()k x p =单调递增， ()<=0x p ()<=1x p ()<=2x p () <=3x p ()n x p =<，()0=x p 时概率最小，()n x p =时概率最大. 例如9=n ，1918=p ，()919 17119180191819=>=+，所以9≤k 时，()k x p =单调递增， 所以()<=0x p ()<=1x p ()<=2x p () <=3x p ()9=，()k x p =单调递减，此时()[]()p n x p 1+=时概率最大.

数学高考复习点拨：二项分布与超几何分布辨析

二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到 黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 3 03 1464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；1 2 131448(1)55125 P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭； 2123 1412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；30 33141(3)55125 P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 因此，X 的分布列为 2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有： 03283107(0)15C C P Y C ===；12283107 (1)15 C C P Y C ===； 21 283101 (2)15 C C P Y C ===． 因此，Y 的分布列为 辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同 的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样． 超几何分布和二项分布都是离散型分布，超几何分布和二项分布的区别： 超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布........ 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的。下面举例进行对比辨析。 1.有放回抽样:每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以 看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型。

高三数学一轮复习课时作业13：§12.5 二项分布及其应用

§12.5 二项分布及其应用 1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.16 D.18 答案 A 解析 由古典概型知P (A )＝12，P (AB )＝1 4， 则由条件概率知P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412 ＝1 2 . 2．(2018·大连模拟)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45 答案 A 解析 已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75 ＝0.8.

3．(2017·武昌模拟)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940， 则p 等于( ) A.1 10 B.2 15 C.16 D.15 答案 B 解析 由题意得18(1－p )＋⎝⎛⎭⎫1－18p ＝940， ∴p ＝2 15 ，故选B. 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.312 答案 A 解析 3次投篮投中2次的概率为 P (k ＝2)＝C 23×0.62 ×(1－0.6)， 投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63， 所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63 ＝0.648.故选A. 5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( ) A ．C 1012 ⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 B ．C 912 ⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582 C ．C 911 ⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭ ⎫382 D ．C 911 ⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭ ⎫582 答案 D 解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球， 因此P (X ＝12)＝38C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭ ⎫582 ＝C 911 ⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭ ⎫582. 6．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是1 4 .现在三人同时

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解与训练67 二项分布及其应用

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解与训练 专题67二项分布及其应用 考点知识要点 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布． 3.能解决一些简单的实际问题. 基础知识融会贯通 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A) 来表示，其公式为P(B|A)＝P AB P A(P(A)>0)． 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝n AB n A. (2)条件概率具有的性质 ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件， 则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 2．相互独立事件 (1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件． (2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)． (3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．

3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率． 重点难点突破 【题型一】条件概率 【典型例题】 某班组织由甲，乙，丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（） A．B．C．D． 【再练一题】 在由直线x＝1，y＝x和x轴围成的三角形内任取一点（x，y），记事件A为y＞x3，B为y＞x2，则P（B|A）＝（） A．B．C．D． 思维升华(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P AB P A，这是通用的求条件概率的方法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的 基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝n AB n A. 【题型二】相互独立事件的概率

2020高考数学三轮冲刺 专题 二项分布及其应用练习(含解析)

二项分布及其应用 一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 A. B. C. D. （正确答案）B 【分析】 本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题． 求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率，即可得出结论． 【解答】 解：由题意，甲获得冠军的概率为， 其中比赛进行了3局的概率为， 所求概率为， 故选B． 2. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4 个人去的景点不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则 A. B. C. D. （正确答案）A 【分析】 本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论，属于中档题． 【解答】 解：小赵独自去一个景点，有4个景点可选，则其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为种

所以小赵独自去一个景点的可能性为种 因为4 个人去的景点不相同的可能性为种， 所以． 故选A． 3. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为 ，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是 A. B. C. D. （正确答案）C 解：一天的空气质量为优良的概率为，连续两天为优良的概率为， 设随后一天空气质量为优良的概率为p， 若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有， ， 故选：C． 设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果． 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用． 4. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A. B. C. D. （正确答案）A 解：由题意可知：同学3次测试满足X∽， 该同学通过测试的概率为． 故选：A． 判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可． 本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．

关于二项分布与超几何分布问题区别举例

关于“二项分布”与“超几何分布”问题 举例 一．基本概念 1.超几何分布 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件⎨X=k ⎬发生的概率为：P(X=k)= n N k n M N k M C C C --⋅,k= 0,1,2,3,⋯⋯,m ；其 中，m = min ⎨M,n ⎬,且n ≤ N , M ≤ N . n,M,N ∈ N * 为超几何分布；如果一个变量X 的分布列为超几何分布列，则称随几变量X 服从超几何分布.其中， EX= n ⋅ M N

2.二项分布 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中，事件A发生的概率为P,那么在n次独立重复试中，事件A恰好发生k次的概率为： P(X=k)= C n k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,3,⋯,n),此时称随机变量X服从二项分布. 记作：X ~ B(n,p),EX= np 3.“二项分布”与“超几何分布”的联系与区别 (1)“二项分布”所满足的条件 每次试验中，事件发生的概率是

相同的；是一种放回抽样. 各次试验中的事件是相互独立的；●每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生；❍随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数. (2)“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率不相同，是不放回抽样，“当样本容量很大时，超几何分布近似于二项分布; (3)“二项分布”和“超几何分布”是两种不同的分布，但其期望是相等的.即：把一个分布看成是“二项分布”或“超几何分布”时，它们的期望是相同的.事实上，对于“超几何分布”中,若

二项分布与超几何分布 (人教A版2019)(解析版)

二项分布与超几何分布 一、单选题 1．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是16 25 ，则该射手每次射击的命中率为 A ． 925 B ．2 5 C ． 35 D ． 34 【试题来源】备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用） 【答案】C 【分析】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，由 ()()2 0122016 1125 C p p C p p -+-= 可得答案． 【解析】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，则()2,X B p ， 由题可知()()160125P X P X =+==，即()()201 220161125 C p p C p p -+-=， 解得3 5 p = ．故选C ． 2．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为2 3 ，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为 A ． 2027 B ．89 C ．827 D ． 1318 【试题来源】辽宁省名校联盟2020-2021学年高三3月份联合考试 【答案】A 【分析】利用二项分布的概率公式以及概率的加法公式即可求解． 【解析】该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮， 有两天出现大潮概率为2 23214339C ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭ ，

有三天出现大潮概率为3 3328327 C ⎛⎫= ⎪ ⎝⎭， 所以至少有两天出现大潮的概率为 482092727 +=，故选A ． 3．某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为23 ，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为 A ． 1 8 B ．38 C ．78 D ． 89 【试题来源】河南省新乡市2021届高三第二次模拟考试 【答案】D 【分析】由题意，遇绿灯服从二项分布2 (4,)3 B ，结合互斥事件概率的求法，即可求同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率． 【解析】4次均不是绿灯的概率为04 0422113)381(C ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭⋅， 3次不是绿灯的概率为3 1422813381 C ⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 所以至少遇到2次绿灯的概率为188 181819 - -=．故选D ． 4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是 A ．第5次击中目标 B ．第5次未击中目标 C ．前4次均未击中目标 D ．第4次击中目标 【试题来源】【新教材精创】导学案（人教B 版高二选择性必修第二册） 【答案】C 【分析】根据击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为5ξ=，即可得到答案． 【解析】{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C ． 5．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数等于反面次数的概率为