求线面角的三种常见思路方法
求线面角的三种常见思路方法
舒云水
本文以2009年湖南卷理18题为例，介绍求线面角的三种常见思路方法，并对这三种方法作比较分析﹒
如图1，在正三棱柱
111ABC A B C -中，1AB =，点D 是11A B 的中
点，点E 在11AC 上，且
DE AE ⊥． （I ）证明：平面ADE ⊥平面11ACC A ；
（II ）求直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明略．
下面主要谈（Ⅱ）小题的解法﹒ 思路1：直接作出线面角求解﹒
分析：因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点D 在特殊位置上——线段11B A 的中点，所以本题比较容易作出线面角﹒如图2，取AB 的中点F ，连结DF ，1DC ，F C 1，则面⊥1DFC 面1ABC ，过D 作F C DH 1⊥于H ，则⊥DH 面1ABC ，连结AH ，则HAD ∠是AD 和平面1ABC 所成的角﹒
解法1 如图2，设F 是AB 的中点，连结DF ，1DC ，1C F ．由正三棱柱111ABC A B C -的性质及D 是11A B 的中点知，111A B C D ⊥，11A B DF ⊥． 又1C D DF D =，所以11A B ⊥平面1C DF ． 而11AB A B ∥，
所以AB ⊥平面1C DF ．又AB ?平面1ABC ，故 平面1ABC ⊥平面1C DF ． 过点D 作DH 垂直1C F 于点H ， 则DH ⊥平面1ABC ．
连结AH ，则HAD ∠是直线AD 和平面1ABC 所成的角．
由已知1AB =
，不妨设1AA ，则2AB =
，DF =
1DC
1C F =
AD =
=
11·5DF DC DH C F =
==
．
所以sin 5
DH HAD AD ∠=
=． 即直线AD 和平面1ABC
．
思路2：用等体积法求出点D 到面1ABC 的距离h ，AD
h
为所求线面角的正弦值．
分析 如图3，连结D C 1，BD ，即得四棱锥1ABC D -．用等体积法，即D AB C ABC D V V --=1
1
，容易求出点D 到平面1ABC 的距离h ，
AD
h
为所求线面角的正弦值．
解法2：如图3，连结D C 1，BD ．因为平面⊥111C B A 平面1AB ，
D C 1⊥11B A ，所以D C 1⊥平面1AB ．
不妨设1AA =则2AB =，1DC 611==BC AC ，BD AD ==3. 易求2=?AD B S ，51
=?ABC S ．
设D 在平面1ABC 内的射影为H ，h DH =，连结AH ，则HAD ∠是直线AD 和平面1ABC 所成的角．
因为D AB C ABC D V V --=1
1
，所以有
ABD ABC S D C S h ????=??13
1
311， 65=h ， 5
30
=
h ．
所以sin DH HAD AD ∠=
=
即直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值为5
． 思路3：坐标向量法．
解法3 如图4，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直
角坐标系，不妨设1AA =2AB =，相关各点的坐标分别是
(010)A -，，，0)B ，，1C ，12D -?．
易知AB =
（1，0），1AC =（0，2
，AD =12?，，． 设平面1ABC 的一个法向量为n =
（x ，y ，z ），则有
1020.
n AB y n AC y ?=+=??=+=??
·，
·
解得3
x y =-
，z =．
故可取(1n =
．
所以cos ||||
n AD
n AD n AD <>=
·，
·5=
=-． 由此即知，直线AD 和平面1ABC
． 评析：上题图形比较特殊，容易作出线面角，三种方法中解法1解法最简洁，解法1是首选．上题容易建立空间直角坐标系，容易求点的坐标，解法3也是不错的选择．方法2相对来说计算稍复杂一些，是最后的选择．
下面对上题的“Ⅱ小题”作两种变式，并对三种解法作比较评析． 变式1：如图5，将题设条件“点D 是11A B 的中点”改为“点D 是棱11A B 上一点，1114
1
B A D A =”，其他不变．
解法1：
如图6，分别取11C A ，AC 的中点M ，N ，设MN 与1AC 交与点G ，在
AB
上取点F ，使AB AF 4
1=，连结DF ，FN ，FG ．
易证AB FN ⊥，AB DF ⊥，又F DF FN =?，所以⊥AB 平面MNFD ，又
?AB 平面1ABC ，所以平面MNFD ⊥平面1ABC ，过D 作FG DH ⊥于H
，
则DH ⊥平面1ABC ，连结AH ，则HAD ∠是直线AD 和平面1ABC 所成的角．
不妨
设1AA ，则2AB =
，DF =，2
22
11=
=CC GN ，22AF AN FN -=23411=-
=，25
432122=
+=+=FN GN GF ， 2
34122121=+
=+=D A AA AD ． 5
10
sin =
=
∠GF GN GNF ， 515
5101cos )90sin(sin 2
=???
? ??-=∠=∠-?=∠GFN GFN DFH ． 5
305152sin =?
=∠=DFH DF DH ．
sin 15
DH HAD AD ∠=
=． 即直线AD 和平面1ABC
解法
2：如图7，连结BD ，取11B A 的中点F ，连结F C 1，则⊥F C 1
11B A ，⊥F C 1平面DAB ．
不妨设1AA =2AB =，31=F C ，2
32121=+=D A AA AD ． 易求2=?AD B S ，51
=?ABC S ．
设D 在平面1ABC 内的射影为H ，h DH =，连结AH ，则HAD ∠是直线AD 和平面1ABC 所成的角．
因为D AB C ABC D V V --=1
1
，所以有
ABD ABC S F C S h ????=??13
1
311， 65=h ， 5
30
=
h ．
所以sin DH HAD AD ∠=
=
即直线AD 和平面1ABC
解法3：如图8，同原题解法3建立空间直角坐标系，
设1AA =点A ，B ，1C ，AB ，1AC 及平面1ABC 的法向量n 的坐标同前面解法3．
不同的是：
344D ?- ?，AD
=144? ?，，． 所以cos ||||n AD
n AD n AD <>=
·，
·2
=
=． 由此即知，直线AD 和平面1ABC
所成角的正弦值为
15
． 评析：与原题解法1比较，变式1的解法1的作图与运算明显要
复杂一些．比较变式1的三种解法，解法2和解法3比解法1要简单一些，解法1是最后的选择．
变式2：原题题设不变，将结论改为“求直线AE 和平面1ABC 所成角的正弦值”．
解法1：点E 不是特殊点，它在平面1ABC 内的射影不好定位．可利用垂面法，作出点E 在平面1ABC 内的射影．如图9，过E 作1AC EF ⊥于F ，在平面1ABC 内过F 作1AC FG ⊥交1BC 于G ，连结EG ，则1AC ⊥平面EFG ，又?1AC 平面1ABC ，所以平面EFG ⊥平面1ABC ．再过E 作
EH ⊥FG 于H
，则⊥EH 平面1ABC ，连结AH ，则H A E ∠是直线AE 和平
面1ABC 所成的角．这样虽然作出了线面角，但要求出EH 运算很复杂，决定放弃此法．
解法2：如图10，不妨设
1AA =，则2AB =，
23212
1=
+=
E A AA AE ， 212111==D A E A ，2
3
1=EC ． 取AC 的中点F ，连结BF ，易知⊥BF 平面1AEC ，3=BF ．
易求4
2
31
=
?AEC S ，51=?ABC S ．
设E 在平面1ABC 内的射影为H ，h EH =，连结AH ，则HAE ∠是直线AE 和平面1ABC 所成的角．
因为1
1
AEC B ABC E V V --=，所以有
113
1
3
1
A E C
A B C S BF S h ????=
??，
4
6
35=h ， 20
30
3=
h ．
所以sin EH HAE AE ∠=
=
． 即直线AE 和平面1ABC
所成角的正弦值为
10
． 解法3：如图4，同原题解法3建立空间直角坐标系，
设1AA =点A ，B ，1C ，AB ，1AC 及平面1ABC 的法向量n 的坐标同原题解法3．
不同的是：
12D ?- ?0，，AE
=12? ?0，．
所以cos ||||n AE n AE n AE <>=
·，
·232
==． 由此即知，直线AE 和平面1ABC
所成角的正弦值为
10
． 评析：解法1的作图与运算很复杂，不可取．选择解法2和解法3比较合适．
综观原题与它们的两种变式的三种解法，各有千秋，都应掌握好.对于一道具体的题目来说究竟选择哪一种方法更好？具体问题具体
分析，需要根据题目所给的图形特征来确定：若几何体容易作出线面角，解法1是最佳选择；若几何体不容易作出线面角，而比较容易建立坐标系和求相关点的坐标，向量法是最佳选择；若几何体不容易作出线面角，但能构造四面体用等体积法求斜线上一点到平面的距离，解法2也是比较不错的选择．
线面角地求法总结材料41837
线面角的三种求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5 图2 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2 已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则 直线AB 是斜线在平面α的射影。设AC 是平面α的任意一条直线，且 BC AC ⊥，垂足为C ，又设AO 与AB 所成角为1θ，AB 与AC 所成角为 2θ，AO 与AC 所成角为θ，则易知： 1||||cos AB AO θ=，212||||cos ||cos cos AC AB AO θθθ== 又∵||||cos AC AO θ=， θ θ2 θ1 O C B A α
线面角的求法总结
线面角的求法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
线面角的三种求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5 A 1 C 1 D 1 H 4 C 1 2 3 B A D 图2 ∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2 （如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角， B α O A C 图3
高中数学线面角与线线角例题、习题-学生
线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】 1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2π θ∈； （2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]o o ；（3）求法； 【典型例题】 例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角 （2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ） A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个 （3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ） A ．90o B ．60o C ．45o D ．30o （4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。 （5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___. 例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。 （I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1； （II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。 例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB; (Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB; (Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C D P
线面所成角的求法
★线面所成角的求法：［。勺 1?作图一一证明一一计算 求角的关键在于找出平面的垂线及斜线的射影。一般地通过斜线上某个特殊点 作出平面的垂线来找角。角的计算一般是把已知条件归结到同一个或归结到几个有 关的三角形中，从而把空间的计算转变为平面图形内的解直角三角形或斜三角形的 边长相等，则AB i 与侧面ACC i A i 所成角的正弦值等于 A 亞 B 血 C 边 A. 4 B. 4 C. 2 4.如图，在长方体 ABCD — A i B i C i D i 中，AB = BC = 2, 7 僅― A a 问题。 A i D
n 与BC i所成的角为2,则BC i与平面BB I D I D所成角的正弦值为()代￡B? C.^5 D￥ 5..正四棱锥S-ABCD中，0为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO =0D，则直线BC与平面PAC所成的角是 _____________ . 6. 如图，已知点P在正万体ABC B A B‘ C D的对角线BD上，/ PDA F60° . (1)求DP与CC所成角的大小； ⑵求DP与平面AA D D所成角的大小. 1 7. 已知三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC, AB丄AC，PA= AC= qAB, N为 AB上一点，AB = 4AN，M，S分别为PB、BC的中点. “ (1)证明：CM丄SN; ⑵求SN与平面CMN所成角的大小. ' ； 8 如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA丄平面ABCDE，AB - // CD， AC// ED，AE // BC，/ ABC = 45°, AB = 2迈，BC = 2AE = 4,三角形FAB 是等腰三角形. (1)求证：平面PCD丄平面PAC; ⑵求直线PB与平面PCD所成角的大小； (3)求四棱锥P-ACDE的体积.
求线面角的三种常见思路方法
求线面角的三种常见思路方法 舒云水 本文以 2009年湖南卷理 18 题为例，介绍求线面角的三种常见思路方法，并对这三种方法作比较分析﹒ 如图 1，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB 2AA1，点 D是A1B1的中点，点 E 在A1C1上，且DE⊥ AE． （I）证明：平面ADE 平面ACC1A1 ； （ II ）求直线 AD和平面ABC1所成角的正弦值． （Ⅰ）证明略．下面主要谈（Ⅱ）小题的解法﹒思路 1：直接作出线面角求解﹒ 分析：因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点 D 在特殊位置上——线段A1B1的中点，所以本题比较容易作出线面角﹒如图 2，取AB的中点F ，连结DF ，DC1 ， C1F ，则面DFC1 面ABC1，过D作DH C1F于H ，则DH 面ABC1 ，连结AH，则HAD是AD和平面ABC1 所成的角﹒
解法 1 如图 2，设 F 是 AB 的中点，连结 DF ， DC 1 ， C 1F ．由正 三棱柱 ABC A 1B 1C 1的性质及 D 是A 1B 1的中点知， A 1B 1 ⊥ C 1D ，A 1B 1⊥ DF ． 又C 1D DF D ，所以 A 1B 1 ⊥平面C 1DF ． 而 AB ∥ A 1B 1， 所以 AB⊥平面C 1DF ．又 AB 平面ABC 1 ，故 平面 ABC 1 ⊥平面C 1DF ． 过点 D 作DH 垂直C 1F 于点 H ， 则 DH ⊥ 平面 ABC 1 ． 连结 AH ，则 HAD 是直线 AD 和平面 ABC 1 所成的角． 由已知 AB 2AA 1，不妨设 AA 1 2，则 AB 2，DF 2， DC 1 3， 所以 sin HAD D A H D 15 思路 2：用等体积法求出点 D 到面 ABC 1的距离h ，A h D 为所求线 面 C 1F 5， AD AA 12 A 1D 2 3， DF ·DC 1 2 3 30 DH C 1F 55 即直线 AD 和平面 ABC 1所成角的正弦值为 10 ．
线面角及二面角的求法
第9节线面角及二面角的求法 【基础知识】 求线面角、二面角的常用方法: (1) 线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解. (2) 二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量. :] 【规律技巧】 平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法?注意利用等腰、等边三角形的性质. 【典例讲解】 【例1】如图，在四棱锥 P-ABCD中，FA丄底面ABCD , AB⊥ AD , AC⊥ CD, ∠ ABC =60 ° , PA = AB = BC, E 是 PC 的中点. P (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； ⑵证明：AE丄平面PCD ; ⑶求二面角 A — PD — C的正弦值. (1)解在四棱锥P — ABCD中， 因FA丄底面 ABCD , AB?平面 ABCD , 故PA⊥ AB.又AB⊥ AD , FA ∩ AD = A, 从而AB丄平面PAD, 故PB在平面PAD内的射影为FA, 从而∠ APB为PB和平面PAD所成的角. 在Rt△ PAB 中,AB= FA,故∠ APB = 45° 所以PB和平面PAD所成的角的大小为 45 ⑵证明在四棱锥P— ABCD中， 因FA丄底面 ABCD, CD?平面ABCD, 故CD丄FA.由条件 CD丄AC , PA ∩ AC= A , ??? CD丄平面PAC. 又 AE?平面 FAC,??? AE丄CD.
由FA= AB = BC,∠ ABC = 60° ,可得 AC = PA. ??? E 是 PC 的中点，???AE⊥ PC. 又PC∩ CD = C,综上得AE⊥平面PCD. 【变式探究】如图所示，在四棱锥P — ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD丄底 面ABCD , PD = DC.E是PC的中点，作 EF丄PB交PB于点F. ⑴证明PA//平面EDB ; ⑵证明PB⊥平面EFD ; (3) 求二面角 C — PB— D的大小. ⑴证明如图所示，连接 AC, AC交BD于0,连接EO. ???底面ABCD是正方形， ?点0是AC的中点. 在厶PAC中，EO是中位线， ? PA // E0. 而E0?平面EDB且PA?平面EDB , ? PA //平面 EDB. 【针对训练】 1.如图，四棱锥 P — ABCD中，底面 ABCD为菱形，PA丄底面ABCD , AC = 2,2, FA =2, E 是PC 上的一点，PE= 2EC. (1)证明：PC⊥平面BED ; ⑵设二面角A — PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.
用向量法求直线与平面所成的角教案
用向量法求直线与平面所 成的角教案 Prepared on 24 November 2020
第二讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法.
教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：（范围：]2,0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为n ，则> 线面角的三种求法 河北 王学会 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂 线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5 A 1C 1D 1 H 4 C B 12 3B A D 图2 ∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cosθ2 （如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的 一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角， B αO A C 图3 θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cosθ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理） 例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC 所成 线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 定义法求线面角（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，则直线DE与平面ABCD 所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B与平面A1B1CD所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 3.如图，已知△ABS是等边三角形，四边形ABCD是正方形，平面ABS⊥平面ABCD， 则直线SC与平面ABCD所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 4.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则直线BC1与平面ACC1A1所成角的正切值是( ) A. B. C. D. 5.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=BC，且∠BAC=90°，则直线PA与底面ABC所成的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 7.如图，在四棱锥A-BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，则直线AE与平面ABC所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 8.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点， 则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，若M，N分别是PC，PB的中点，则CD与平面ADMN所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 直线与平面所成角复习课（2） ——线面角的三种常见求法一、教学内容解析 新课标立体几何内容较大纲教材变化大，三垂线及其逆定理作为阅读教材，对于有关线、面的垂直的求解方式方法带来很大的改变，对求解二面角及线面角的方式方法也带来很大的改变。对我校大部分学生而言，二面角求解要求属于了解层次，斜线与平面角所成的角属于理解与掌握层次，“求解线面角”变成我校学生学习立体几何有关角的计算最难的一个问题。特别是教材中对线在平面上的射影这一概念比较弱化，点面距离的概念在教材中已经退化，我校学生学习线面角主要方法就是定义法。那如何化解难点，使学生能够有条不紊的找出线面角并求解，成为这堂课的重中之重。 二、教学目标设置 1、知识与技能：正确认识直线与平面所成角的概念，能够利用面面垂直的性质找出已知平面的垂线从而找出线面角，能够利用向量法和等体积法帮助求解线面角。 2、过程与方法： （1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。 （2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线角的转化过程中，体现出转化的思想方法。 （3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。 3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和数学应用意识，提高学习数学的兴趣。 三、学生学情分析 我班学生“偏文”，尤其是女生的空间想象能力很弱，拿到立体几何题恨不得道道用向量法求解，因而忽视了定义法的重要性。学生在寻找线面角的过程中往往毫无头绪无从下手，缺少应有的逻辑推理能力和空间想象能力，不喜欢或不擅长添加复杂的辅助线帮助找角和证明。本节课旨在打开他们的解题思路，将求解过程规范化，有序化，从而能够进一步提高他们求解立体几何有关角的计算能力。 四、教学策略分析 由于这是一节复习课，所以我选择在前一节课留给他们一道简单而又经典的线面角问题，让他们自由发挥，各尽所能。然后，我挑选几位同学的做法，就他们的解题思路予以细节上的纠正和方法的总结。再之后，留给他们大段的思考整理时间，并给予一道类似但难度有所上升的题目交给他们再次求解，要求尽量用三种方法解答出来。整节课堂基本由学生们自己回忆，自己思考，自己讨论和总结。当然，线面角的方法复习并不是一蹴而就的，还需要不断地润色和努力。 五、教学过程 前情提要： 线面所成角的求法 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT ★线面所成角的求法：]2 ,0[ ⒈作图——证明——计算 求角的关键在于找出平面的垂线及斜线的射影。一般地通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线来找角。角的计算一般是把已知条件归结到同一个或归结到几个有关的三角形中，从而把空间的计算转变为平面图形内的解直角三角形或斜三角形的问题。 3.向量法： 如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的 法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |. 1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中对角线B 1D 与 平面A 1BC 1所成的角大小为 ( ) 2．如图，在棱长均为1的三棱锥S －ABC 中，E 为棱SA 的中点，F 为△ABC 的 中心，则直线EF 与平面ABC 所成角的正切值是 ( ) 3．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) 4．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1D 与 BC 1所成的角为π2 ，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( ) 5.．正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成的角是________． 6.如图，已知点P 在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°. (1)求DP 与CC ′所成角的大小； (2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小． 7．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12 AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB 、BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ； (2)求SN 与平面CMN 所成角的大小． 河北 王学会 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5线面角的三种求法
高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结
定义法求线面角(人教A版)
《直线与平面所成角复习课——线面角的三种常见求法》教案
线面所成角的求法
线面角的三种求法