复变函数期中考试试题

曲 靖 师 范 学 院

2011─2012学年度上学期信息与计算科学专业

20091121班

《复变函数》期中考试试卷

任课教师： 负责人： (签字)

注意：1.本试卷共8页，请考生注意检查，有错、漏、破烂请及时报告监考教师更换。 2.考生班级、学号和姓名必须写在指定地点。

3.考试形式：闭卷；考试时间：120分钟。

一、单项选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1. 已知i z 2531+=，i z 4332-=，求z z 3

231-的值为（ B ）. A. 182-186i B. 182+186i C. 224-362i D. 224+362i 2. ()i Arg 43+-的值为（ A ）.

A. ()34

arctan 12-+πK B. ()3

4arctan 12++πK

C. ()43

arctan 12-+πK D. ()43arctan 12++πK

3. 复数有多种表示形式，i z 3-=的指数形式为（ A\D ）. A ．e

i

2

3π

- B. e i

23π

C. -e i

23π

D. e

i 2

3π

-

4. 关于聚点的说法

①0z 为E 的聚点或极限点

②0z 的任一邻域内含有E 的无穷多个点

③0z 的任一邻域内含有异于0z 而属于E 的一个点

④可从E 中取出点列12,,,,n z z z ，以0z 为极限

以上说法中等价的是（ D ）. A.①② B. ①②③

C. ②③④

D. ①②③④

5. 下列函数处处连续，又处处不可微的是( B ). A ．z e B. z C. sin z D. 21z +

6. 计算()dz i z ?++--22

2

2的值为（ D ）.

A. 3

2i

-

B. 32i

C. 3i

D. 3i -

7. 设函数()f z 在z 平面上的单连通区域D 内解析,则（ C ）.

A. 若C 为D 内任一周线时,有()0C

f z dz =?,而若C 为D 内任一闭曲线时,不

一定有()0C

f z dz =?.

B. ()f z 在D 内积分与路径有关.

C. 则函数 ()()0z

z F z f d ζζ=? ()0,z D z D ∈∈在D 内解析，且()()'F z f z =.

D. 则函数 ()()0

2z z F z f d ζζ=? ()0,z D z D ∈∈在D 内解析，且()()'F z f z =.

8. 下列论断正确的是（ D ）. A. 复数都能比较大小. B. 复数都有辐角.

C. sin 1z ≤，z 是任意的复数.

D. 区域必为开集.

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1. =3i

2. 131i

z i i

=-

-的共轭复数为 .

3.

设1Z =，则z = 2 , arg z = _________, z = __________ . 4. 函数sin z 的周期为__2π__.

5. 若函数()z f 在整个平面上处处解析，则称它是 整函数 .

6.()i x yi z f y y x x 3

2

2

3

33-

-+=,则()f z '=

.

7. 积分3z C

z e dz +? (C 为单位圆)的值为 .

8. 命C 表示连接点a 及b 的任一曲线，则=?dz z C

.

三、解答题（共4小题，每小题8分，满分32分）

1. 求复数1

1

+-z z 的实部和虚部

2. 将复数

ααsin cos 1i +- ()πα≤<0 化为指数形式.

3. 判断下列函数的可微性和解析性： （1）、()i z f y

x 2

2+

=;

（2）、()i z f y x 2

2

32+=

4. 计算积分：

?C

zdz Re ，这里的C 表示连接原点到的i +1直线段.

解：连接O 及1+i 的直线段的参数方程为： z=（1+i ）t （0≤t ≤1）,

故

2

1)1]}()1

{R e [(Re 1

i

dt i t i zdz C

+++=?? =（1+i ）?1

tdt =

2

1i

+

四、证明题（共2小题，每小题10分，满分20分）

1.证明方程t

t i

z 2

2

+

=是什么曲线.

证明：

2.试证明22

≤?

C

z

dz

.积分路径C 是连接i 和i +2的直线段.

秋风清，秋月明，

相亲相见知何日，此时此也难为情。