最优化理论与算法(第十章)

第十章 罚函数法

罚函数是利用目标函数与约束函数一起构成的具有惩罚性质的函数。当约束条件被破坏时，施以惩罚，可以想象，当这种惩罚很大时，将迫使迭代点趋于可行点。

§10.1 外罚函数法

对一般非线性规划问题：

1min ()()01,,. ()0

,,i e i e f x c x i m s t c x i m m

+==??

≥=? （10.1）

定义违反约束度函数：

()()()1,i i e c x c x i m -== （10.2） ()1()min{0,()} ,m i i e c x c x i m -+== 。 （10.3）

罚函数一般表示为： ()

()()(())P x f x h c x -=+ （10.4）

其中()

(())h c

x -是惩罚项，这个函数一般具有

(0)0h =，lim ()c h c →+∞

=+∞。

较常用的形式为： ()

()()()

P x f x c x α

σ-=+ （0σ>称为罚因子） （10.5）

注：1) 在上式中，范数常取为2 ，若取为∞ 或1 会导致()P x 不光滑。

2) 当取2 和1α>时，()P x 的光滑性可由

()22(())(min{0,()})i c x c x -=

直接验证。事实上，在“转折点”处，可证得左、右导数均为0，由此可得()

2(())c

x -光滑性，从而

()P x 光滑。

Courant 函数是最早使用的罚函数，也是最方便最重要的一种罚函数。其形式为

2

()

2

(,)()()p x f x c x σσ-=+

1

2

21`

()()(min{0,()})e e m m

i i i m f x c x c x σσ+==++∑∑ （10.6）

以下考虑一般的罚函数问题

()

(,)()()p x f x c x α

σσ-=+ （10.7）

并且以后总用()x σ表示罚问题

()min n

x R

P x σ∈ 的解。

引理1 设210σσ>>，则必有

21(())(())f x f x σσ≥ ()()21(())(())c x c x σσ--≤。

注：随着罚因子的增大，惩罚的力度加大，()x σ将越来越靠近可行域（相当于取点范围不断减小），自然(())f x σ会不断增加。 引理2 令()

(())c

x δσ-=，则()x σ是约束问题

()

min ().. ()n

x R

f x s t c x δ

∈-≤ （10.8）

的最优解。

证明：用反证法证明。若不然，容易构造出一个关于罚函数问题更好的解，导致矛盾。

由于原问题等价于

()

min ().. ()0

n

x R

f x s t c x ∈-= （10.9）

而当δ很小时，（10.8）是（10.9）的近似，从而()x σ可看成是原问题的近似解。特别地，当

()(())0c x σ-= 时，()x σ是原问题的精确解。

罚函数法的基本思想是：每次迭代增大罚因子σ，直到()

()c

x - 缩小到给定的范围内。由于

要求解一系列无约束问题，故也称为SUMT 外点法(Sequential Unconstrained Minimization Technique)。

外罚函数算法

1） 给出1n

x R ∈，10σ>，0ε≥，1k =。

2） 利用初始值k x ，求解无约束问题（罚函数问题）min ()n

k x R

P x σ∈得到()k x σ。

3） 若()

(())k c

x σε-≤ ，停止，得近似解()k x x σ*=；否则 1()k k x x σ+=；110k k σσ+=；

1k k =+；转2）

关于此算法有如下收敛性结果： 定理10.1 若算法中允许误差ε满足

()min ()n

x R

c x ε-∈> 则算法必有限终止。

证明：若定理不成立，则必有k σ→+∞，且对一切k 都有

()

()()k c

x σε-> （10.10）

而由定理条件，存在?n x

R ∈，使得 ()

?()c

x

ε-< （10.11） 由于 ()

()??()()(())(())k k k k f x c x

f x c x αασσσσ--+≥+ ()

1(())(())k k f x c x ασσσ-≥+

[]()()11

??0()(())(())()0k k

c x

c x f x f x

αασσσ--≥-≥-→ 这与（10.10），（10.11）两式矛盾，原定理得证。

注：由此定理知，若问题有可行点，则对任给的0ε>，算法都必有限终止于问题的解，且

()(())k c x σδε-=≤ 。

定理10.2 如果算法不有限终止，则必有()

min ()n

x R

c x ε-∈≥ ，且

()()

lim (())min ()n

k k x R

c x c x σ--→∞

∈= 而{}()k x σ的任何聚点x *

都是问题

()()

min ().. ()min ()n

n

x R

y R

f x s t c x c y ∈--∈= （10.12）

的解。

由上述两定理直接得到如下推论：

推论 设原问题有可行解，则算法或有限终止于一个近似解，或产生的点列{}k x 其任何聚点都是原

问题的解。

定理10.3 若对某个确定的0σ>，无约束问题的最优解()x X σ∈，则()x σ必为原问题的最优解。 注：序列罚函数方法得到的点列{}k x 是从可行域X 的外部逐渐靠近X ，一旦进入可行域X ，算法即终止，因此该方法称为SUMT 外点法或外罚函数法。

§10.2 内点罚函数（障碍函数法）

考虑不等式约束问题：

min ()

.. ()0(1,,)

i f x s t c x i m ≥= （10.13）

内点罚函数法的特点是：罚函数在可行域边界上的取值为无穷。如果初始点为可行域内点，则此后产生的点均为内点，罚函数相当于在约束域边界上竖起了一道墙，使迭代点一旦接近边界便碰壁而回，故也称之为障碍函数法。

障碍函数法只适合不等式约束问题，不能用于等式约束问题。常用的障碍函数主要有两种：

1

11

()()()

m

i i P x f x c x σ

-==+∑ （倒数障碍函数） （10.14） 1

1

()()ln ()m

i

i P x f x c x σ-==-∑（对数障碍函数） （10.15）

下面考虑一般内点罚函数形式：

1

1

()()(())m

i

i P x f x h c x σσ

-==+∑ （10.16）

其中0σ>称罚因子，()h c 满足：

0lim ()c h c +

→=+∞， 1212()(),h c h c c c ≥?<。

仍记()x σ为问题

min ()n

x R

P x σ∈ （10.17） 的解。由于内点罚函数方法的特点，若初始点是严格内点，则()x σ也必然是内点。

注：对内点罚函数问题min ()n

x R

P x σ∈，并不是求它在整个空间n

R 上的极小，而是求()P x σ在可行域X 的内部区域(){}

0|0,1,i X x c x i m =>= 上的极小。事实上，对数罚函数在0X 以外无意义，而倒

数罚函数除边界上无意义外，在其余处处有意义。但在0X 以外，罚函数中某些项为负，且可取绝对值任意大的负值，从而()P x σ趋于-∞，从而在全空间的极小不存在。所以以后提到障碍函数极小，总是在0X 中的极小。但由于极小点在约束域内部，因而就具有了无约束的特性：如在极小点处梯度为0；另外，由于迭代点列始终位于约束域内部，因此搜索方向的选取与无约束情形一样，只要是下降方向就是可行方向。仅有的差别是在进行一维搜索时要适当控制步长，以免迭代点跑到约束域

0X 的外面去。

类似于外罚函数法，有如下结果： 引理3 设210σσ>>，则必有

21(())(())f x f x σσ≤

2

11

1

((()))((()))m

m

i

i i i h c x h c x σ

σ==≥∑∑

直观解释：σ越大，则1

σ

-越小，实施的惩罚越小，()x σ就越能靠近边界。由于可选择的范围增大，

因而(())f x σ随着σ的增大而下降。 引理4 令1

((()))m

i

i h c x δσ==

∑，则()x σ也是问题

1min (). (())m

i i f x s t h c x δ

=≤∑ （10.19）

的最优解。

显然当δ充分大时，（10.19）是

1min ()

. (())m

i i f x s t h c x =≤+∞

∑ ?

min ()

.. ()0,(1,)

i f x s t c x i m >=

的近似。由上面的分析可以看到：1）若0σ>非常大，且1((()))m

i

i h c x δσ==

∑也非常大时，

（10.19）是原问题很好的近似，因此它的最优解()x σ可视为原问题的近似解。2）若0σ>非常大但δ有界时，由内点罚函数的定义知在()x σ附近罚函数与()f x 十分接近，于是()x σ也是原问题的近似解。

基于以上分析，有下述内点罚函数算法：

1） 给出初始内点1x ，初始罚因子10σ>，允许误差0ε≥，置:1k =。 2） 利用初始值k x 求解：0

min ()k x X P x σ∈得()k x σ，令1()k k x x σ+=。

3） 若1

1

1

(())m

k

i

k i h c x

σ

ε-+=≤∑ 则停止，1k x +为近似解；否则1:10; :1k k k k σσ+==+，转2）

。 对内点罚函数算法，有如下收敛性定理：

定理10.4 设函数()f x 在可行域X 上有下界，则算法在0ε>时必有限终止；当不有限终止时（此时0ε=），有

1

1

1

lim

(())0m

i

k k i k

h c x

σ+→∞

==∑，0

lim ()inf ()k k x X f x f x →∞

∈=。

注：1）一般地，在求解子问题min ()k P x σ时，只需近似求解即可，进而产生出基于子问题近似求解的内点罚函数方法。2）关于初始内点的求法有专门的讨论，可参见席少霖著《非线性最优化方法》。

§10.3 乘子罚函数（广义乘子法）

考察Courant 外罚函数

2()

2

()()()P x f x c x σσ-=+()

21

()(())m

i f x c

x σ-==+∑ （10.20） 若*

x 是原约束问题的K-T 点，由

()

()1()()2(())()m

i P x f x c

x c x σσ--=?=?+?∑ （10.21） 注意到*x 可行，故有*()()P x f x σ?=?。由于*

x 是K-T 点，一般不满足*

()0f x ?=。这意味着无

论σ取什么值，都不会有*

()0P x σ?=。这一结论意味着：希望取一个较大的σ，然后从罚函数问题直接求出*

x 是不可能的。因此，只好让k σ不断增加，k σ→∞求得{()}k x σ。但当k σ非常大以后，罚函数问题Hesse 矩阵呈现病态（条件数很大），这将导致数值不稳定。

为了克服这一缺陷，引入参数1(1,),0(,)i i e i m i m m θθ+=≥=

()221

()()([(())])2

m

i

i i i i P x f x c x σθθ-==+--∑

（10.22）

（10.22）可进一步改写为：

2

11(,,)()[()(())]2e m i i i i i P x f x c x c x λσλσ==+-+∑ 12

2

1()(()) ()21 2e i i i i i i m i i m i

i c x c x c x λλσσλσ+=?-+

∑若否则 其中i i i λσθ=，1,i m = 。

这是Courant 外罚函数的一种修改，也可视为Lagrange 乘子函数与罚函数的结合。再来考虑原约束问题的K-T 点*

x ，并设*

λ是其对应的Lagrange 乘子。由

1

1

(,,)()[()()()]max[(),0]()e

e m m

x i i i i i i

i i

i

i i m P x f x c x c x c x c x c x λσλσλσ+==?=?-?-?-

-?∑∑

得 1

***

*

*

1

(,,)()()max[(),0]()e e m m

x i

i

i

i i

i

i i m P x f x c x c x c x λσλλσ+==?=?-

?--?∑∑

1

*

*

*

**1

()()()0e

e m m

i i i i i i m f x c x c x λλ+===?-?-

?=∑∑

（注意互补松弛**()0i i c x λ=）。

这表明：在增广的Lagrange 函数（乘子罚函数）中，若将λ选为最优解*

x 所对应的Lagrange 乘子*

λ，则由乘子罚函数问题

*

min (,,)n x R

P x λσ∈ 可获得约束问题的最优解*x 。但遗憾的是在未求出*x 之前，是无法知道*

λ的。

乘子罚函数法要不断修改Lagrange 乘子λ与罚因子。设在第k 次迭代时，我们有乘子()

k i

λ，以

及罚因子()

k i

σ，令1k x +是子问题

()()min (,,)n k k x R

P x λσ∈ 的解。于是我们有

1

()

()

()

()111111

()[()]()max[(),0]()e

e m m

k k k k k i

i i k i k i

i i k i k i i m f x c x c x c x c x λσλ

σ++++++==?=-?+

-?∑∑

因此取： (1)

()()1()k k k i i i i k c x λλσ++=- 1,e i m = （10.23）

(1)()()11max[(),0],k k k i i i i k e c x i m m λλσ+++=-= 。 （10.24）

作为下一次迭代的Lagrange 乘子，则显然有

(1)111

()()0m

k k i i k i f x c x λ+++=?-?=∑。

因此K-T 条件的误差为：

()

()()(,)()()k x k k k L x c x c x λ

--?+=（由上式知()(,)0k x k L x λ?=）

所以只要 ()()

11()()4

k k c x c x --+≤ （10.25） 不满足，就扩大罚因子，令

(1)()10k k i i σσ+=

由以上讨论得下面基于增广Lagrange 函数的罚函数方法。 基于增广Lagrange 函数的罚函数方法 1） 给出初始值(1)

1,n

m x R R λ

∈∈且(1)0 (), 0 (1,,);0,:1i i i I i m k λσε≥∈>=≥= 。

2） 求解()

()min (,,)n

k k x R

P x λσ∈，给出1k x +；若()1()

k c x ε-+∞

≤，算法停止。

3） 对1,,i m = ，令()

(1)

()2

(10.25) max[10,] k i k i

k i k σσσ+??=???

如果成立否则 4） 由（10.23），（10.24）计算(1)

k λ+；:1k k =+转2）。

算法收敛性定理

定理10.5 若问题（10.1）的可行域X 非空，则对任何0ε>，算法必有限终止或者产生的点列{}k x 满足 lim inf ()k k f x →∞

=-∞。

定理10.6若问题（10.1）的可行域X 非空，则算法在0ε=时产生的点列{}k x 之任何聚点*

x 都是可行点，如果()

{}k λ有界，则*x 必是原问题（10.1）的解。

§10.4 光滑精确罚函数

在乘子罚函数中，我们知道，若最优解*

x 处的Lagrange 乘子*

λ已知，则增广Lagrange 乘子函数的无约束极小点就是原来约束问题的最优解，但由于最优Lagrange 乘子*

λ事先无法知道。因而只能通过逐步逼近最优乘子的方法，求解一系列无约束极小问题。

我们自然要问：是否可通过其他途径，构造出一个函数，它不需要依赖那些确实存在但未知的参数，而它的极小点却恰好是原约束问题的解。由于这样的函数往往也是目标函数上加上一些惩罚

项而构成的，故称之为精确罚函数法。

对于等式约束优化问题

1min ()

.. ()0, ()(()())T

m f x s t c x c x c x c x ==

Fletcher (1973)给出的第一个光滑精确罚函数为：

1

(,)()()()()()2

T T P x f x x c x c x Dc x σλ=-+。

这个精确罚函数的来由：对原约束问题，其Lagrange 函数为

1

()()m

i i i f x c x λ=-∑

考虑广义Lagrange 函数 1

()()()()m

i

i

i x f x x c x φλ==-

∑

[]1

()()()()()()m

i i i i i x f x x c x x c x φλλ=?=?-?+?∑

设*

x 是约束问题最优解，当然要求它也是()x φ的稳定点。而 ****

()()()()x f x A x x φλ?=?-， 其中*

*

*

1()((),,())T

m x x x λλλ=

因而取 ***

***1()()()

()((),())m x A x f x A x c x c x λ+=?=??

若()A x 的秩为m ，则1

()()T

A x A A +

-=。取()()()x A x f x λ+

=?，则有

1

()()()()()()()m

T i i i x f x x c x f x x c x φλλ==-=-∑。

为了*

x 还是()x φ极小点，再加上罚函数项

21

1(,)()()()()2m

T

i i i P x f x x c x c x σλσ==-+∑

1

()()()()()2

T

T f x x c x c x Dc x λ=-+

1(,)m D diag σσ= 。 若令所有1σ相等，则 221(,)()()()()2

T

P x f x x c x c x σλσ=-+

令()x σ是无约束问题 min (,)n

x R

P x σ∈ （10.26）

的解，可证：若210σσ≥>，则212

2(())

(())c x c x σσ≤。

同样也可类似逐步求解（10.26），但不要σ→∞，即可获得原问题的精确解。

注: 精确罚函数是光滑的，可使用无约束优化的一些有效方法，但计算(,)x P x σ?时需计算

()T x λ?，这要导致22(),() (1,)i f x c x i m ??= 的计算，计算量非常大。

最优化理论与算法(第八章)

第八章 约束优化最优性条件 §8.1 约束优化问题 一、 问题基本形式 min ()f x 1()0 1,,.. ()0 ,,i e i e c x i m s t c x i m m +==?? ≥=?L L （8.1） 特别地，当()f x 为二次函数，而约束是线性约束时，称为二次规划。 记 {} 1()0 (1,,);()0 ,,i e i e X x c x i m c x i m m +===≥=L L ，称之为可行域（约束域）。 {}1,,e E m =L ，{}1,,e I m m +=L ，{}()()0 i I x i c x i I ==∈ 称()E I x U 是在x X ∈处的积极约束的指标集。积极约束也称有效约束，起作用约束或紧约束（active constraints or binding constraints ）。 应该指出的是，如果x * 是（1）的局部最优解，且有某个0i I ∈，使得 0()0i c x *> 则将此约束去掉，x * 仍是余下问题的局部最优解。 事实上，若x *不是去掉此约束后所得问题的局部极小点，则意味着0δ?>，存在x δ，使得 x x δδ*-<，且()()f x f x δ*<，这里x δ满足新问题的全部约束。注意到当δ充分小时，由0() i c x 的连续性，必有0()0i c x δ≥，由此知x δ是原问题的可行解，但()()f x f x δ*<，这与x * 是局部极小 点矛盾。 因此如果有某种方式，可以知道在最优解x * 处的积极约束指标集()()A x E I x * *=U ，则问题 可转化为等式的约束问题： min ()f x .. ()0i s t c x = ()i A x *∈ （8.2） 一般地，这个问题较原问题（8.1）要简单，但遗憾的是，我们无法预先知道()A x * 。

信号分析与处理习题

2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中 ?? ???≥Ω<Ω=Ωππ 3032 1 )(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号y 1(t )，y 2(t )有无失真？为什么？ 分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。 解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率ππ π32621=< =Ωh ，所以y 1(t )无失真； 因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。 3.2 设x (n )的傅里叶变换为X (e j ω)，试利用X (e j ω )表示下列序列的傅里叶变换： （1） )1()1()(1n x n x n x --+-= （2） )]()([2 1 )(2n x n x n x -+= * 分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即 )()(ωj e X n x ?，)()(ωj e X n x -?- )()(ωωj m j e X e n m x --?- 解：（1）由于)()]([ω j e X n x DTFT =，)()]([ωj e X n x DTFT -=-，则 )()]1([ωωj j e X e n x DTFT --=- )()]1([ωωj j e X e n x DTFT -=-- 故ωωωωω cos )(2])[()]([1j j j j e X e e e X n x DTFT ---=+= （2）由于)()]([ω j e X n x DTFT * * =- 故)](Re[2 ) ()()]([2ωωωj j j e X e X e X n x DTFT =+= * 3.7 试求下列有限长序列的N 点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）：

《信号分析与处理》复习总结

信号是带有信息（如语音、音乐、图象、数据等）的随时间（和空间）变化的物理或物理现象，其图象称为信号的波形。信号是消息的表现形式，消息则是信号的具体内容。 分类：根据不同分类原则，信号可分为：连续时间信号与离散时间信号；确定信号与随机信号；周期信号和非周期信号；功率信号与能量信号等等 反因果信号：若当t ≥0时，f (t )=0;当t <0时，f (t )≠0. 系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。 ???????=???≠=∞=?∞ ∞ -1)()0( 0)0( )(dt t t t t δδ()()t t δδ-= ()t δ为偶对称函数 1()d 2j t t e ωδωπ ∞-∞= ?——()t δ的逆傅立叶变 换 ()()d ()() t x t t t t x t t t δε-∞ -=-?) ()()()(000t t t x t t t x -=-δδ)(| |1 )(t a at δδ= )(t δ'是奇对称函数 ) ()(, 0)(t d d t δττδττδ='='? ? ∞ -∞ ∞ -离散时间单位: 0()(), ()()(1) m n n m n n n εδδεε+∞ ==-=--∑稳定 性 ∑? +∞-∞ =∞ +∞ -∞ <∞-=-? -z z z z n Z ε

最优化理论与算法 fibonacci法

function [a,b,n,x]=fibonacci(fname,a,b,d,L) % fname函数句柄，d辨别常数，L最终区间长度a(1)=a; b(1)=b; F=zeros(1,10); %选择fibonacci数列k值为10，可任意更改 F(1)=1; F(2)=2; for k=2:10 %k取到10，生成fibonacci数列 F(k+1)=F(k)+F(k-1); F(k); end Fn=(b(1)-a(1))/L; Fk=[F Fn]; N=sort(Fk); n=find(Fn==N); %查找计算函数值的次数n t(1)=a(1)+F(n-2)*(b(1)-a(1))/F(n); %计算试探点t(1),u(1) u(1)=a(1)+F(n-1)*(b(1)-a(1))/F(n); for k=1:n-2 ft=feval(fname,t(k)); fu=feval(fname,u(k)); if ft>fu a(k+1)=t(k); b(k+1)=b(k); t(k+1)=u(k); u(k+1)=a(k+1)+F(n-k-1)*(b(k+1)-a(k+1))/F(n-k); while k==n-2 t(n)=t(n-1); u(n)=t(n-1)+d; ft=feval(fname,t(n)); fu=feval(fname,u(n)); if ft>fu a(n)=t(n); b(n)=b(n-1); else a(n)=a(n-1); b(n)=t(n); end end else a(k+1)=a(k); b(k+1)=u(k); u(k+1)=t(k); if k~=n-2 t(k+1)=a(k+1)+F(n-k-2)*(b(k+1)-a(k+1))/F(n-k); ft=feval(fname,t(k));

第七章信号分析与处理1

第六章信号处理与分析 ６．１概述 数字信号在我们周围无所不在。因为数字信号具有高保真、低噪声和便于信号处理的优点，所以得到了广泛的应用，例如电话公司使用数字信号传输语音，广播、电视和高保真音响系统也都在逐渐数字化。太空中的卫星将测得数据以数字信号的形式发送到地面接收站。对遥远星球和外部空间拍摄的照片也是采用数字方法处理，去除干扰，获得有用的信息。经济数据、人口普查结果、股票市场价格都可以采用数字信号的形式获得。因为数字信号处理具有这么多优点，在用计算机对模拟信号进行处理之前也常把它们先转换成数字信号。本章将介绍数字信号处理的基本知识，并介绍由上百个数字信号处理和分析的VI构成的LabVIEW分析软件库。 目前，对于实时分析系统，高速浮点运算和数字信号处理已经变得越来越重要。这些系统被广泛应用到生物医学数据处理、语音识别、数字音频和图像处理等各种领域。数据分析的重要性在于，无法从刚刚采集的数据立刻得到有用的信息，如下图所示。必须消除噪音干扰、纠正设备故障而破坏的数据，或者补偿环境影响，如温度和湿度等。 通过分析和处理数字信号，可以从噪声中分离出有用的信息，并用比原始数据更全面的表格显示这些信息。下图显示的是经过处理的数据曲线。

用于测量的虚拟仪器(VI) 用于测量的虚拟仪器(VI)执行的典型的测量任务有： ●计算信号中存在的总的谐波失真。 ●决定系统的脉冲响应或传递函数。 ●估计系统的动态响应参数，例如上升时间、超调量等等。 ●计算信号的幅频特性和相频特性。 ●估计信号中含有的交流成分和直流成分。 在过去，这些计算工作需要通过特定的实验工作台来进行，而用于测量的虚拟仪器可以使这些测量工作通过LabVIEW程序语言在台式机上进行。这些用于测量的虚拟仪器是建立在数据采集和数字信号处理的基础之上，有如下的特性： ●输入的时域信号被假定为实数值。 ●输出数据中包含大小、相位，并且用合适的单位进行了刻度，可用来直接进行 图形的绘制。 ●计算出来的频谱是单边的（single_sided），范围从直流分量到Nyquist频率(二 分之一取样频率)。（即没有负频率出现） ●需要时可以使用窗函数，窗是经过刻度地，因此每个窗提供相同的频谱幅度峰 值，可以精确地限制信号的幅值。 一般情况下，可以将数据采集VI的输出直接连接到测量VI的输入端。测量VI的输出又可以连接到绘图VI以得到可视的显示。 有些测量VI用来进行时域到频域的转换，例如计算幅频特性和相频特性、功率谱、网路的传递函数等等。另一些测量VI可以刻度时域窗和对功率和频率进行估算。 本章我们将介绍测量VI中常用的一些数字信号处理函数。 LabVIEW的流程图编程方法和分析VI库的扩展工具箱使得分析软件的开发变得更加简单。LabVIEW 分析VI通过一些可以互相连接的VI，提供了最先进的数据分析技术。你不必像在普通编程语言中那样关心分析步骤的具体细节，而可以集中注意力解决信号处理与分析方面的问题。LabVIEW 6i版本中，有两个子模板涉及信号处理和数学，分别是Analyze 子模板和Methematics子模板。这里主要涉及前者。 进入Functions模板Analyze》Signal Processing子模板。 其中共有6个分析VI库。其中包括： ①．Signal Generation（信号发生）：用于产生数字特性曲线和波形。 ②．Time Domain（时域分析）：用于进行频域转换、频域分析等。 ③．Frequency Domain（频域分析）： ④．Measurement（测量函数）：用于执行各种测量功能，例如单边FFT、频谱、比例加窗以及泄漏频谱、能量的估算。 ⑤．Digital Filters（数字滤波器）：用于执行IIR、FIR 和非线性滤波功能。

最优化理论与算法(第三章)

第三章 牛顿法 §3.1 最速下降法 一、最速下降法 在极小化算法中，若每次都以迭代点处的负梯度方向为搜索方向，产生的算法称为最速下降法，它是无约束最优化算法中最简单、最基本的算法。 算法描述： 1） 给出初始点0n x R ∈，允许误差0ε>，0k =； 2） 计算k k d g =-，若k g ε≤，Stop 令 * k x x ≈； 3） 由一维搜索确定步长因子k α，使得 ()min ()k k k k k f x d f x d ααα≥+=+ 4） 令1k k k k x x d α+=+，1k k =+，go to 2). 的每个聚点均为驻点。 令{}1 k K d 有界，且 2 ()(())()0T f x f x f x ?-?=-?= 故有 ()0f x ?=。 定理 3.2 设()f x 二次连续可微，且2()f x M ?≤，则对任何给定的初始点0n x R ∈，最速下降算法或有限终止，或lim ()k k f x →∞ =-∞，或lim ()0k k f x →∞ ?=。

证明：不妨设k ?，()0k f x ?≠。由定理2.5有 2 11()()()2k k k f x f x f x M +-≥ ? 于是 []1 2 010 1 ()()()()()2k k k i i i i i f x f x f x f x f x M -+==-=-≥ ?∑∑ 令k →∞，由{()}k f x 为单调下降序列，则要么 lim ()k k f x →∞ =-∞，要么 lim k →∞ ?定理3.3 设1 f C ∈证明：直接由定理2.14可得。 注：1) 2 1λ，n λ分别为G 的 ≤ ()k k I G x α- 其中k α使 (())(())k k k f I G x f I G x αα-≤-， 0α?≥ 若设 ()1k P t t α=-，()Q t ut λ=- 其中,u R λ∈。则有 ()Q G I uG λ=-，而(0)Q λ=，

信号处理与数据分析第一章作业答案(B).邱天爽.

Answer of Homework 2 1.6 计算下列各式的卷积： （a ）()e (),()e (),at bt x t u t h t u t a b --==≠ Answer: （a ）通过卷积定义()0()()()d e e d ,0t at b t y t x h t t τττττ∞----∞=-=≥??，因此 ()[(e e )/(b )]()at bt y t a u t --=-- 1.7 计算下列各式的卷积，并画出结果曲线。 （b ）21()(2),()(2)2n x n u n h n u n -??=-=+ ??? Answer: 定义信号11()()2n x n u n ??= ??? 和1()()h n u n = ，可以发现1()(2)x n x n =-，1()(2)h n h n =+，因此, 1111()()()(2)(2)(2)(2)k y n x n h n x n h n x k h n k ∞ =-∞=*=-*+=--+∑ 用2m + 代替k 得到: 111011()()()21()22m n n m m y n x m h n m u n +∞=-∞=??????=-==-?? ? ?????????∑∑ 2n 1.9 一因果LTI 系统，其输入输出关系由1()(1)()4 y n y n x n = -+给出，若()(1)x n n δ=-，试求()y n 。 Answer: 由于该系统为一因果系统，因而()0,1y n n =<从而得到 1 1(1)(0)(1)0114 111(2)(1)(2)0444 111(3)(2)(3)0416161()()4 m y y x y y x y y x y m -= +=+==+=+==+=+== 因此， 11()()(1)4 n y n u n -=- 1.12 给定()(2),()e (1)t x t u t h t u t =-=--。试计算卷积()()()y t x t h t =*。 Answer:

最优化理论与算法

最优化理论与算法笔记 在老师的指导下，我学习了最优化理论与算法这门课程。最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。 由于生产和科学研究突飞猛进的发展，特别是计算机的广泛应用，使最优化问题的研究不仅成为了一种迫切的需要，而且有了求解的有力工具，因此迅速发展起来形成一个新的学科。至今已出现了线性规划、整数规划、非线性规划、几何规划、动态规划、随机规划、网络流等许多分支。 整个学习安排如下，首先介绍线性与非线性规划问题，凸集和凸函数等基本知识及线性规划的基本性质；然后再这个基础上学习各种算法，包括单纯形法、两阶段法、大M 法、最速下降法、牛顿法、共轭梯度法等，以及各种算法相关的定理和结论；最后了解各种算法的实际应用。 主要学习的基础知识： 1、一般线性规划问题的标准形式 1min n j j j c x =∑ 1 .., 1,...,, 0, 1,...,. n ij j i j j s t a x b i m x j n ===≥=∑ 学会引入松弛变量将一般问题化为标准问题；同时掌握基本可行解的存在问题，通过学习容易发现线性规划问题的求解，可归结为求最优基本可行解的问题。 2、熟练掌握单纯形法、两阶段法和大M 法的概念及其计算步骤。 单纯形法是一种是用方便、行之有效的重要算法，它已成为线性规划的中心内容。其计算步骤如下： 1）解,B Bx b =求得1B x B b b -==，令0,N x =计算目标函数值B B f c x =；

2)求单纯形乘子ω，解B B c ω= ，得到1B c B ω-=； 3)解k k By p =，若0k y ≤，即k y 的每个分量均非正数，则停止计算，问 题不存在有限最优解，否则，进行步骤（4）； 4)确定下标r ，使min{0}r r rk rk rk b b y y y =>，得到新的基矩阵B ，返回第一 步。 两阶段法：第一阶段是用单纯形法消去人工变量，即把人工变量都变换成非基变量，求出原来问题的一个基本可行解；第二阶段是从得到的基本可行解出发，用单纯形法求线性规划的最优解。 大M 法：在约束中增加人工变量a x ，同时修改目标函数，加上罚项T a Me x ，其中M 是很大的正数，这样，在极小化目标函数的过程中，由于M 的存在，将迫使人工变量离基。 3、掌握最速下降法的概念及其算法，并且能够讨论最速下降算法的收敛性。掌握牛顿法，能够熟练运用牛顿迭代公式：(1) ()2()()()()k k k k x x f x x x +=-?- ，掌 握共轭梯度法及其相关结论，以及其收敛性的讨论，掌握最小二乘法及其基本步骤。 最速下降法：迭代公式为(1) ()()k k k k x x d λ+=-。 计算步骤：1）给定点(1)n x R ∈，允许误差0,ε>臵1k =； 2）计算搜索方向() ()()k k d f x =-?； 3）若() k d ε≤，则停止计算，否则，从()k x 出发，沿()k d 进行一维搜索，求k λ，使()()()() ()min ()k k k k k f x d f x d λλλ≥+=+； 4）令(1) ()()k k k k x x d λ+=-，臵:1k k =+，转步骤（2）。

分析化学-分析结果的数据处理

§2-2 分析结果的数据处理 一、可疑测定值的取舍 1、可疑值：在平行测定的数据中，有时会出现一二个与其它结果相差较大的测定值，称为可疑值或异常值（离群值、极端值） 2、方法 ㈠、Q 检验法：由迪安（Dean ）和狄克逊（Dixon ）在1951年提出。 步骤： 1、将测定值由小至大按顺序排列：x 1，x 2，x 3，…x n-1，x n ，其中可疑值为x 1或 x n 。 2、求出可疑值与其最邻近值之差x 2-x 1或x n -x n-1。 3、用上述数值除以极差，计算出Q Q=11χχχχ---n n n 或Q=11 2χχχχ--n 4、根据测定次数n 和所要求的置信度P 查Q p ，n 值。（分析化学中通常取0.90的置信度） 5、比较Q 和Q p ，n 的大小： 若Q ＞Q p ，n ，则舍弃可疑值； 若Q ＜Q p ，n ，则保留可疑值。 例：4次测定铁矿石中铁的质量分数（%）得40.02, 40.16,40.18和40.20。 ㈡、格鲁布斯法： 步骤： 1、将测定值由小至大按顺序排列：x 1，x 2，x 3，…x n-1，x n ，其中可疑值为x 1或 x n 。 2、计算出该组数据的平均值x 和标准偏差s 。 3、计算统计量G ： 若x 1为可疑值，则G==s 1 χχ-

若x n 为可疑值，则G==s n χ χ- 4、根据置信度P 和测定次数n 查表得G p ，n ，比较二者大小 若G ＞G p ，n ，说明可疑值相对平均值偏离较大，则舍去； 若G ＜G p ，n ，则保留。 注意：置信度通常取0.90或0.95。 例1：分析石灰石铁含量4次，测定结果为：1.61%, 1.53%,1.54%和1.83%。问上述各值中是否有应该舍弃的可疑值。（用格鲁布斯检验法检验 P=0.95） 例 2 测定碱灰中总碱量(以w Na 2O 表示)，5次测定结果分别为：40.10%,40.11%,40.12%,40.12%和40.20% (1)用格鲁布斯法检验40.20％是否应该舍去；(2)报告经统计处理后的分析结果；(3)用m 的置信区间表示分析结果(P=0.95) 二、显著性检验 用统计的方法检验测定值之间是否存在显著性差异，以此推测它们之间是否存在系统误差，从而判断测定结果或分析方法的可靠性，这一过程称为显著性检验。 定量分析中常用的有t 检验法和F 检验法。 ㈠、样本平均值与真值的比较（t 检验法） 1、原理：t 检验法用来检验样本平均值与标准值或两组数据的平均值之间是否存在显著性差异，从而对分析方法的准确度作出评价，其根据是样本随机误差的t 分布规律。 2、步骤： ①、计算平均值和平均值的标准偏差。 ②、由P 13式 μ= x±t p,f s=μ= x±t p,f n s 得：T -χ== t p,f s x 得 t==X S T -χ 根据上式计算t 值。 ③、查表得t p,f ，比较t 值

最优化理论与算法

最优化理论与算法（数学专业研究生） 第一章 引论 § 引言 一、历史与现状 最优化理论最早可追溯到古老的极值问题，但成为一门独立的学科则是在20世纪四十年代末至五十年代初。其奠基性工作包括Fritz John 最优性条件（1948），Kuhn-Tucker 最优性条件（1951），和Karush 最优性条件(1939)。近几十年来最优化理论与算法发展十分迅速，应用也越来越广泛。现在已形成一个相当庞大的研究领域。关于最优化理论与方法，狭义的主要指非线性规划的相关内容，而广义的则涵盖：线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包括变分、最优控制等动态优化内容。本课程所涉及的内容属于前者。 二、最优化问题的一般形式 1、无约束最优化问题 min ()n x R f x ∈ （） 2、约束最优化问题 min () ()0, ..()0, i i f x c x i E s t c x i I =∈?? ≥∈? （） 这里E 和I 均为指标集。 §数学基础 一、 范数 1. 向量范数 max i x x ∞= （l ∞范数） （） 11n i i x x ==∑ （1l 范数） （） 122 21 ()n i i x x ==∑ （2l 范数） （）

11 ()n p p i p i x x ==∑ （p l 范数） （） 12 ()T A x x Ax = （A 正定） （椭球范数） （） 事实上1－范数、2－范数与∞-范数分别是 p －范数当 p ＝1、2和p →∞时情形。 2．矩阵范数 定义 方阵A 的范数是指与A 相关联并记做A 的一个非负数，它具有下列性质： ① 对于0A ≠都有0A >，而0A =时0A =； ② 对于任意k R ∈，都有kA k A =； ③ A B A B +≤+； ④ AB A B ≤； 若还进一步满足： ⑤ p p Ax A x ≤ 则称之为与向量范数p g 相协调（相容）的方阵范数。若令 max x Ax A x ≠= （这里x 是某一向量范数） （） 可证这样定义的范数是与向量范数g 相协调的，通常称之为由向量范数g 诱导的方阵范数。特别地，对方阵()ij n n A a ?=，有： 11max n ij j i A a ==∑（列和的最大者） （） 1 max n ij i j A a ∞ ==∑（行和的最大者） （） 1 22()T A A A λ=（T A A λ表示T A A 的特征值的最大者） 称为谱范数（注：方阵A 的特征值的模的最大者称为A 的谱半径，记为()A ρ）。 对于由向量诱导的方阵范数，总有：

基于LabVIEW的数据处理和信号分析

基于LabVIEW的数据处理和信号分析 Liu Y an Y ancheng Institute of Technology, Y ancheng, 224003, China E-mail: yanchengliu@https://www.wendangku.net/doc/7113285376.html, ·【摘要】虚拟仪器技术是一种数据采集和信号分析的方法，它包括有关硬件，软件和它的函数库。用虚拟仪器技术进行数据采集和信号分析包括数据采集，仪器控制，以及数据处理和网络服务器。本文介绍了关于它的原则，并给出了一个采集数据和信号分析的例子。结果表明，它在远程数据交流方面有很好的表现。 【关键词】虚拟仪器，信号处理，数据采集。 ·Ⅰ.引言 虚拟仪器是一种基于测试软硬件的计算机工作系统。它的功能是由用户设计的，因为它灵活性和较低的硬件冗余，被广泛应用于测试及控制仪器领域，。与传统仪器相比，LabVIEW 广泛应用于虚拟仪器与图形编程平台，并且是数据收集和控制领域的开发平台。它主要应用于仪器控制，数据采集，数据分析和数据显示。不同于传统的编程，它是一种图形化编程类程序，具有操作方便，界面友好，强大的数据分析可视化和工具控制等优点。用户在LabVIEW 中可以创建32位编译程序，所以运行速度比以前更快。执行文件与LabVIEW编译是独立分开的，并且可以独立于开发环境而单独运行。 虚拟仪器有以下优点： A：虚拟仪表板布局使用方便且设计灵活。 B：硬件功能由软件实现。 C：仪器的扩展功能是通过软件来更新，无需购买硬件设备。 D：大大缩短研究周期。 E：随着计算机技术的发展，设备可以连接并网络监控。 这里讨论的是该系统与计算机，数据采集卡和LabVIEW组成。它可以分析的时间收集信号，频率范围：时域分析包括显示实时波形，测量电压，频率和期刊。频域分析包括幅值谱，相位谱，功率谱，FFT变换和过滤器。另外，自相关工艺和参数提取是实现信号的采集。 ·II.系统的设计步骤 软件是使用LabVIEW的AC6010Shared.dll。包中的三个功能被使用。分别用AC6010- AD.VI，与AC6010- DI.VI和AC0610- DO.VI实现数据采集，数据输入和数据输出。测试范围的选择，对测试通道和测试时间的设置是由与AC6010- AD.VI完成的。在这里，测试范围为3-5V电压。由于LabVIEW的强大，一些额外的功能可以被添加到系统中。用户必须做几个步骤：

实验数据的处理分析

实验数据的处理分析

实验数据的处理方法 杨鹏 【摘要】物理学是一门实验的科学，物理学中的新概念、新规律的发现都依赖于反复的实验。而处理实验数据时，需选择适当的实验数据处理方法，才能较准确、客观的反映实验结果，减小误差。本文介绍了实验数据处理中涉及到的一些基本概念，重点综述了物理实验中常用的数据处理方法。并指出了各自适用的条件及优缺点。 【关键词】误差；数据处理；作图法；最小二乘法；逐差法 Abstract：Physics is an experimental science, New concepts in physics, the discovery of new rules rely on trial and error, The experimental data processing，Need to select the appropriate treatment of the experimental data，To more accurately reflect the objective results，Reduce errors. This article describes the experimental data processing involved in some of the basic concepts Summary of experiments focused on the physical data processing methods commonly used. And pointed out the advantages and disadvantages of each applicable condition. Keywords:Error; Data Processing；Mapping；Least squares；By subtraction 【引言】数据处理是指由实验测得的数据, 必须经过科学的分析和处理, 才能揭示出各物理量之间的关系。我们把从获得原始数据起到得出结论为止的加工过程称为数据处理。正确的处理实验记录的数据，对我们科学的了解被测量或研究对象的客观规律，选择恰当的实验数据处理方法，最大限度的减小误差让实验数据无限接近理想条件下的结果，这是实验数据处理的意义所在。在这方面研究的文献有很多，例如费业泰的《误差理论与数据处理》等。要对实验结果进行分析，根据不同的实验方法，我们可以采用不同的数据处理方法，常用

最优化理论与算法(第九章)

第九章 二次规划 §9.1 二次规划问题 称形如 1m in ()2 T T Q x x H x g x = + 1,,. 1,,T i i e T i i e a x b i m s t a x b i m m ?==??≥=+?? （9.1） 的非线性规划问题为二次规划问题。对二次规划问题，有如下的最优性条件。 定理9.1 设x *是（9.1）的局部极小点，则必存在乘子(1,,)i i m λ*= ，使得 1 0 1,, 0 1,,m i i i T i i i e i e g H x a a x b i m m i m m λλλ**=*** ?+=? ?? ??-==+????≥=+??? ∑ （9.2） 且对于一切满足于： 0, ()T i d a i E I x * =∈ 的n d R ∈，都有0T d Hd ≥。 注：1）上述定理的前后两部分分别对应于一、二阶的必要条件； 2）满足上述条件的d ，都有(,)d S x λ* * ∈； 3）当约束条件均为线性函数时，容易证明： (,)(,) (,F D x X S F D x X L F D x X * * *= =及(,)(,)S x G x λλ**** = 上面给出的是二次规划的必要性条件，下面给出充分性条件。 定理9.2 设x * 是K-T 点，λ* 是相应的Lagrange 乘子，如果对满足 0 0 () 0 () 0 T i T i T i i d a i E d a i I x d a i I x λ* **?=∈?≥∈??=∈>? 且 （9.3） 的一切非零向量n d R ∈，都有0T d Hd >，则x * 是（9.1）的局部严格极小点。

实验数据的处理分析

实验数据的处理方法 杨鹏 【摘要】物理学是一门实验的科学，物理学中的新概念、新规律的发现都依赖于反复的实验。而处理实验数据时，需选择适当的实验数据处理方法，才能较准确、客观的反映实验结果，减小误差。本文介绍了实验数据处理中涉及到的一些基本概念，重点综述了物理实验中常用的数据处理方法。并指出了各自适用的条件及优缺点。 【关键词】误差；数据处理；作图法；最小二乘法；逐差法 Abstract：Physics is an experimental science, New concepts in physics, the discovery of new rules rely on trial and error, The experimental data processing，Need to select the appropriate treatment of the experimental data，To more accurately reflect the objective results，Reduce errors. This article describes the experimental data processing involved in some of the basic concepts Summary of experiments focused on the physical data processing methods commonly used. And pointed out the advantages and disadvantages of each applicable condition. Keywords:Error; Data Processing；Mapping；Least squares；By subtraction 【引言】数据处理是指由实验测得的数据, 必须经过科学的分析和处理, 才能揭示出各物理量之间的关系。我们把从获得原始数据起到得出结论为止的加工过程称为数据处理。正确的处理实验记录的数据，对我们科学的了解被测量或研究对象的客观规律，选择恰当的实验数据处理方法，最大限度的减小误差让实验数据无限接近理想条件下的结果，这是实验数据处理的意义所在。在这方面研究的文献有很多，例如费业泰的《误差理论与数据处理》等。要对实验结果进行分析，根据不同的实验方法，我们可以采用不同的数据处理方法，常用的有作图法、最

最优化理论与算法(第十章)

第十章 罚函数法 罚函数是利用目标函数与约束函数一起构成的具有惩罚性质的函数。当约束条件被破坏时，施以惩罚，可以想象，当这种惩罚很大时，将迫使迭代点趋于可行点。 §10.1 外罚函数法 对一般非线性规划问题： 1min ()()01,,. ()0 ,,i e i e f x c x i m s t c x i m m +==?? ≥=? （10.1） 定义违反约束度函数： ()()()1,i i e c x c x i m -== （10.2） ()1()min{0,()} ,m i i e c x c x i m -+== 。 （10.3） 罚函数一般表示为： () ()()(())P x f x h c x -=+ （10.4） 其中() (())h c x -是惩罚项，这个函数一般具有 (0)0h =，lim ()c h c →+∞ =+∞。 较常用的形式为： () ()()() P x f x c x α σ-=+ （0σ>称为罚因子） （10.5） 注：1) 在上式中，范数常取为2 ，若取为∞ 或1 会导致()P x 不光滑。 2) 当取2 和1α>时，()P x 的光滑性可由 ()22(())(min{0,()})i c x c x -= 直接验证。事实上，在“转折点”处，可证得左、右导数均为0，由此可得() 2(())c x -光滑性，从而 ()P x 光滑。 Courant 函数是最早使用的罚函数，也是最方便最重要的一种罚函数。其形式为 2 () 2 (,)()()p x f x c x σσ-=+ 1 2 21` ()()(min{0,()})e e m m i i i m f x c x c x σσ+==++∑∑ （10.6）

化验分析数据处理及结果计算

化验分析数据处理及结果计算 本章教学目的： 1、了解分析化学常用计量单位。 2、掌握化学分析中常用的溶液浓度表示方法。 3、掌握分析化学计算基础。 4、掌握可疑值概念，分析数据的取舍方法4d、Q检验法、Grubbs法，它们的特点及相互关系。 5、理解平均值精密度的表示方法，平均值的置信区间。 教学重点与难点：溶液浓度表示方法；滴定分析结果计算；可疑数据的取舍。 教学内容： 第一节分析化学中的计量关系 一、法定计量单位 什么是法定计量单位？ 法定计量单位：由国家以法令形式规定使用或允许使用的计量单位。 我国的法定计量单位：以国际单位制单位为基础，结合我国的实际情况制定。 国际单位制SI—International System of Units SI基本单位 简单介绍SI基本单位。 二、分析化学中常用法定计量单位 1、物质的量：用符号n 表示，单位为摩尔（mol）。 B 规定：1mol是指系统中物质单元B的数目与0.012kg碳-12的原子数目(6.02

×1023)相等。 物质基本单元：可以是原子、分子、离子、电子及其它粒子和这些粒子的特定组合。 例如：H 2O 为基本单元，则0.018kg 水为1mol 水。 H 2SO 4为基本单元，则0.098kg H 2SO 4为1mol 。 1/2 H 2SO 4为基本单元，则0.098kg H 2SO 4 为2mol 由此可见：相同质量的同一物质，由于所采用基本单元不同，其物质的量也不同。 表示方法：1 mol H 其质量为1.008g ； 1 mol H 2其质量为2.016g ； 1 mol 1/2Na 2CO 3其质量为53.00g ； 1 mol1/5 KMnO 4其质量为31.60g 。 2、质量（m ）：单位为千克（kg ）；克（g ）；毫克（mg ）；微克（μg ）。 1kg = 1000g = 1×106mg = 1×109μg 3、体积（V ）：单位为米3（m 3） 分析化学中：升（L ）；毫升（ml ）；微升（μl ）。 1m 3 = 1000L = 1×106 ml = 1×109 μl 4、摩尔质量（M B ）：单位为千克/摩（kg/mol ），常用g/mol 表示。 m M B = n B 介绍p185页表5-7，常用物质的摩尔质量。 5、摩尔体积（V m ）：单位为m 3/mol ；常用L/mol 。 理想气体：22.4L/mol 。 v V m = n B 6、密度（ρ）：kg/m3；g/cm3；g/ml 。 7、元素的相对原子质量（Ar ） 指元素的平均原子质量与12C 原子质量的1/12之比。 8、物质的相对分子质量（Mr ），即以前的分子量。

最优化理论与方法

内点法基本原理 摘要：内点法是求解含不等式约束最优化问题的一种十分有效的算法。内点法通过构造障碍函数，求解一系列只含等式约束最优化问题，逐步得到原问题的最优解，具有找初始点容易、线性收敛、迭代次数少等特点。本文主要介绍了内点法的基本原理，障碍方法的一般步骤并分析了该方法的优缺点，进行了算例实践。 关键词：内点法；障碍方法；Newton法 The Theory of Interior Point Method Abstract: Interior point method is a very effective algorithm for solving optimization problems with inequality constrained. Interior point method is constructed to solve a series of optimization problems with equality constraints, and the optimal solution of the original problem is obtained, which has the characteristics of finding the initial point easier, linear convergence, less iteration number and so on. This paper mainly introduces the theory of interior point method, the general steps of barrier method and analyzing the advantages and disadvantages of the method. Key words: interior point method; barrier method;Newton method

最新化验分析数据处理及结果计算

化验分析数据处理及 结果计算

化验分析数据处理及结果计算 本章教学目的： 1、了解分析化学常用计量单位。 2、掌握化学分析中常用的溶液浓度表示方法。 3、掌握分析化学计算基础。 4、掌握可疑值概念，分析数据的取舍方法4d、Q检验法、Grubbs法，它们的特点及相互关系。 5、理解平均值精密度的表示方法，平均值的置信区间。 教学重点与难点：溶液浓度表示方法；滴定分析结果计算；可疑数据的取舍。 教学内容： 第一节分析化学中的计量关系 一、法定计量单位 什么是法定计量单位？ 法定计量单位：由国家以法令形式规定使用或允许使用的计量单位。 我国的法定计量单位：以国际单位制单位为基础，结合我国的实际情况制定。 国际单位制SI—International System of Units SI基本单位 简单介绍SI基本单位。 二、分析化学中常用法定计量单位 1、物质的量：用符号n B表示，单位为摩尔（mol）。

规定：1mol是指系统中物质单元B的数目与0.012kg碳-12的原子数目(6.02×1023)相等。 物质基本单元：可以是原子、分子、离子、电子及其它粒子和这些粒子的特定组合。 例如：H2O为基本单元，则0.018kg水为1mol水。 H2SO4为基本单元，则0.098kg H2SO4为1mol。 1/2 H2SO4为基本单元，则0.098kg H2SO4为2mol 由此可见：相同质量的同一物质，由于所采用基本单元不同，其物质的量也不同。 表示方法：1 mol H其质量为1.008g； 1 mol H2其质量为2.016g； 1 mol 1/2Na2CO3其质量为53.00g； 1 mol1/5 KMnO4其质量为31.60g。 2、质量（m）：单位为千克（kg）；克（g）；毫克（mg）；微克（μg）。 1kg = 1000g = 1×106mg = 1×109μg 3、体积（V）：单位为米3（m3） 分析化学中：升（L）；毫升（ml）；微升（μl）。 1m3 = 1000L = 1×106ml = 1×109μl 4、摩尔质量（M B）：单位为千克/摩（kg/mol），常用g/mol表示。 m M B= n B 介绍p185页表5-7，常用物质的摩尔质量。 5、摩尔体积（V m）：单位为m3/mol；常用L/mol。 理想气体：22.4L/mol 。 v V m= n B 6、密度（ρ）：kg/m3；g/cm3；g/ml。 7、元素的相对原子质量（Ar） 指元素的平均原子质量与12C原子质量的1/12之比。