小学奥数 数论 位值原则 位值原理.题库版

1. 利用位值原理的定义进行拆分

2. 巧用方程解位值原理的题

位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。

1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。

3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式

（2）利用十进制的展开形式，列等式解答

（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答

模块一、简单的位值原理拆分

【例 1】 一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。这个两位数的各位数字的和是 。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分

【解析】 这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字

的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。 例题精讲

知识点拨

教学目标

5-7-1.位值原理

【答案】10

【例 2】 学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年

龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】2010年，学而思杯，4年级，第5题 【解析】 解设张老师年龄为ab ，则李老师的年龄为ba ，根据题意列式子为：18ba ab -=，整理这个式子得

到：()918b a -=，所以2b a -=，符合条件的最小的值是1,3a b ==，但是13和31不符合题意，所以，答案为2a =与4b =符合条件的为：244266+=6岁。

【答案】66岁

【例 3】 把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两

位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2009年，学而思杯，5年级，第3题

【解析】 设为ab ，即101102

b a a b +++=，整理得1981a b =+，3,7a b ==，两位数为37 【答案】37

【例 4】 几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十

位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________

年。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2010年，第8届，希望杯，4年级，初赛，10题

【解析】 肯定是1×××年，16－1＝15，百位，十位与个位和是15，十位加1后，数字和是15＋1＝16，此时

十位和个位和是6的倍数，个位不是1，只能是2，十位原来是9，百位是4，所以是在1492年。

【答案】1492

【例 5】 小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年多少岁?

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】1995年，第5届，华杯赛，初赛，第11题

【解析】 设小明出生那年是，则1＋9＋a ＋b ＝95－10a －b

从而11a ＋2b ＝85在a ≥8时，11＋2b ＞85；在a ≤6时，11a ＋2b ≤66＋2×

9＝84，所以必有a ＝7，b ＝4。小明今年是1＋9＋7＋4＝21(岁).

【答案】21岁

【例 6】 将一个数A 的小数点向右移动两位，得到数B 。那么B ＋A 是B －A 的________倍。(结果写成分

数形式)

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2006年，希望杯，第四届，六年级，初赛，第9题，5分

【解析】 将A 的小数点向右移动两位则A 变成100倍，即B=100A ，那么B+A=101A ，B-A=99A ，B ＋A 是B

－A 的10199

倍。 【答案】10199

【例 7】 一个十位数字是0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位数字和百位

数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的 倍。

【考点】简单的位值原理拆 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，复赛，第4题，5分

【解析】 令这个三位数为0a b ，则由题意可知，10067()a b a b +=+，可得2a b =，而调换个位和百位之后变

为：0100102b a b a b =+=，而3a b b +=，

则得到的新三位数是它的各位数字之和的102334b b ÷=倍。 【答案】34

【例 8】 一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7，试求它

们的差。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，复赛，第18题，10分

【解析】 abc cba -个位是7，明显a 大于c ，所以10+c -a =7，a -c =3，所以他们的差为297

【答案】297

【例 9】 三位数abc 比三位数cba 小99，若,,a b c 彼此不同，则abc 最大是________

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，初赛，第7题，6分

【解析】 由题意，99abc cba +=，有9a c =+，要abc 最大，如果9a =，那么0c =，与cba 为三位数矛盾；

如果8a =，那么9c =，剩下b 最大取7，所以abc 最大是879。

【答案】879

【例 10】 一个三位数abc 与它的反序数cba 的和等于888，这样的三位数有_________个。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2008年，希望杯，第六届，六年级，二试，第4题，5分

【解析】 显然a c +、b b +都没有发生进位，所以8a c +=、8b b +=，则4b =，a 、c 的情况有1+7、2+6、

3+5、4+4、5+3、6+2、7+1这7种。所以这样的三位数有7种。

【答案】7个

【例 11】 将2，3，4，5，6，7，8，9这八个数分别填入下面的八个方格内（不能重复），可以组成许多不同

的减法算式，要使计算结果最小，并且是自然数，则这个计算结果是__________。

-□□□□□□□□

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2010年，希望杯，第八届，六年级，初赛，第5题，6分

【解析】 设原式1000()100()10()()abcd efgh a e b f c g d h =-=-+-+-+-,其中a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，

h 从2~9中选择。显然， 7a e -≤-，b f -，c g -，7d h -≤，要让这个差最小，则应使1a e -=，7b f -=-，5c g -=-，3d h -=-，即6a =，5e =，2b =，9f =，3c =，8g =，4d =，7h =，∴这个计算结果是1000700503247---=

【答案】247

【巩固】 用1，2，3，4，5，7，8，9组成两个四位数，这两个四位数的差最小是___________。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2007年，希望杯，第五届，四年级，复赛，第5题，5分

【解析】 千位数差1，后三位，大数的尽量取小，小者尽量取大，最大的可以取987，小的可以取123，所以

这两个四位数应该是4987和5123，差为136.

【答案】136

【例 12】 在下面的等式中，相同的字母表示同一数字， 若abcd dcba -=□997，那么□中应

填 。

【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛，第3题，10分

【解析】 由题意知，a ≥d ,由差的个位为7可知，被减数个位上的d 要向十位上的c 借一位，则10+d －a =7,即a

－d =3.又因为差的十位及百位均为9，由分析可知b =c ，故被减数的十位要向百位借一位，百位要向千位借一位，即()12a d --=,因此□内应填入2。 【答案】2

【例 13】 某三位数abc 和它的反序数cba 的差被99除，商等于______与______的差；

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2003年，希望杯，第一届，五年级，初赛，第6题，4分

【解析】 本题属于基础型题型。我们不妨设a ＞b ＞c 。

(abc -cba ）÷99＝[(100a +10b +c )-(100c +10b +a )]÷99＝(99a -99c )÷99＝a -c ；

【答案】a 与c 的差

【巩固】

ab 与ba 的差被9除，商等于______与______的差； 【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 (ab -ba ）÷9＝[(10a +b )-(10b +a )]÷9＝(9a -9b )÷9＝a -b ；

【答案】a 与b 的差

【巩固】

ab 与ba 的和被11除，商等于______与______的和。 【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 (ab +ba ）÷11＝[(10a +b )+(10b +a )]÷11＝(11a +11b )÷11＝a +b 。

【答案】a 与b 的和

【例 14】

xy ，zw 各表示一个两位数，若xy +zw =139，则x+y+z+w= 。 【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2003年，希望杯，第一届，五年级，初赛，第5题，4分

【解析】 和的个位为9，不会发生进位，y+w=9，十位明显进位x+z=13，所以x+y+z+w=22

【答案】22

【例 15】 把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换

后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】解答

【关键词】美国，小学数学奥林匹克

【解析】 设原来的两位数为ab ，交换后的新的两位数为ba ，根据题意，

(10)(10)9()45ab ba a b b a a b -=+--=-=，5a b -=，

原两位数最大时，十位数字至多为9，即9a =，

4b =，原来的两位数中最大的是94．

【答案】94

【例 16】 一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原来两位数的8倍小1，原来的两位数是______。

【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星 【题型】填空

【关键词】2007年，希望杯，第五届，六年级，初赛，第13题，6分

【解析】 设这个两位数是ab ，则100a+b=8(10a+b)-1，化为20a+1=7b ，方程的数字解只有a=1，b=3，原来的

两位数是13。

【答案】13

【例 17】 已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少．

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2008年，清华附中

【解析】 设这样的四位数为abcd ，则2008abcd a b c d ++++=，即10011011122008a b c d +++=，

则1a =或2．

⑴若2a =，则1011126b c d ++=，得0b c ==，3d =，2003abcd =；

⑵若1a =，则1011121007b c d ++=，由于11211929117c d +≤?+?=，所以1011007117890b ≥-=，所以8b >，故b 为9，112100790998c d +=-=，则c 为偶数，且11982980c ≥-?=，故7c >，由c 为偶数知8c =，5d =，1985abcd =；

所以，这样的四位数有2003和1985两个，其和为：200319853988+=．

【答案】3988

【巩固】 已知1370,abcd abc ab a abcd +++=求.

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 原式：1111a ＋111b ＋11c ＋d ＝1370，

所以a ＝1， 则111b ＋11c ＋d ＝1370－1111＝259，111b ＋11c ＋d ＝259

推知b ＝2；则222＋11c ＋d ＝259，11c ＋d ＝37

进而推知c ＝3，d ＝4所以abcd ＝1234。

【答案】1234

【例 18】 abcd ，abc ，ab ，a 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd —abc —ab —a = 1787，

则这四位数abcd = 或 。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】2009年，第7届，希望杯，4年级，初赛，16题

【解析】 原式可表示成：8898991787a b c d +++=，则知a 只能取：1或2，当1a =时，b 无法取，故此值舍

去。当2a =时，0b =，0c =或1，d 相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010。

【答案】2009或2010

【例 19】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数

大8802．求原来的四位数．

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设原数为abcd ，则新数为dcba ，

(100010010)(100010010)999()90()dcba abcd d c b a a b c d d a c b -=+++-+++=-+-．

根据题意，有999()90()8802d a c b -+-=，111()10()97888890d a c b ?-+?-==+．

推知8d a -=，9c b -=，得到9d =，1a =，9c =，0b =，原数为1099．

【答案】1099

【巩固】 将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有

0的四位数M ，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数．

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设组成这个四位数的四个数码为a ，b ，c ，d (91a b c d ≥>>>≥)，

则有383443388172abcd dcba -=+=，

可得999()90()81727992180a d b c -+?-==+，

则8a d -=，2b c -=，9a =，1d =，194338M cb =+，且M 的四位数字分别为1、c 、b 、9，由于8917+=的个位数字为7，所以b ，c 中有一个为7，但2b c -=，所以c 不能为7，故7b =，5c =，157943385917M =+=．

【答案】5917

【例 20】 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数

为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设这个巧数为ab ，则有ab +a +b ＝10a +b ，a (b +1)＝10a ，所以b +1＝10，b ＝9。

满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。

【答案】巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。

【例 21】 聪聪和明明做猜数游戏，聪聪让明明任意写出一个四位数，明明就写了明年的年号2008，聪聪让

明明用这个四位数减去它各个数位上的数的和，明明得到2008(2008)1998-+++=，聪聪又让明

明将所得的数随便圈掉一个数，将剩下的数说出来，明明圈掉了8，告诉聪聪剩下的三个数是1，

9，9。聪聪一下就猜出圈掉的是8，明明感到莫名其妙，于是又做了一遍这个游戏，最后剩下的三

个数是6，3，7，这次明明圈掉的数是多少，聪明你猜出来了么？

【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设任意一个四位数为abcd 依题意中的计算方法可得

()9999999(11111)abcd a b c d a b c a b c -+++=++=++即任意一个四位数减去其各个数位数字之和后的结果是9的倍数，根据被9整除的数字特点：各位数字之和应是9的倍数，而6＋3＋7＝16，16不是9的倍数，所以圈掉的数字是2。 【答案】2

【例 22】 设八位数017A a a a =具有如下性质：0a 是A 中数码0的个数，1a 是A 中数码1的个数，……，7

a 是A 中数码7的个数，则0127a a a a +++= 。567a a a ++= ，该八位数

A = 。 【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】2008年，学而思杯，6年级

【解析】 (1)由于0a 是A 中数码0的个数，1a 是A 中数码1的个数，??????，7a 是A 中数码7的个数，那么

0127a a a a +++???+表示A 中所有数码的个数；而实际上A 中共有8个数码，所以01278a a a a +++???+=。

(2)略

(3) 5670a a a ++=，说明5a 、6a 、7a 都是0，这就表明A 的末三位都是0，另外还表明A 的各位数码中都没有出现5、6、7，所以A 的数码中最大的最多为4，所以034a ≤≤。如果03a =，也就是A 的首位为3，末位都为0，中间的四位中还有一位为0，另外的三个数之和为4，只能是2个1和1个2。由于1出现了两次，所以11a =，由于2和4各出现了1次，所以2a 和4a 都是1，这样可得A 为42101000。

【答案】01278a a a a +++???+=，5670a a a ++=，42101000

模块二、复杂的位值原理拆分

【例 23】 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个

数字分别是多少？

【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】第五届，希望杯，培训试题

【解析】 设这六个不同的三位数为,,,,,abc acb bac bca cab cba ，

因为10010abc a b c =++，10010acb a c b =++，……，它们的和是：222()1554a b c ?++=，所以15542227a b c ++=÷=，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而7(12)4-+=，所以最大的数最大为4；又12367++=<，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2．

【答案】1，2，4

【巩固】 有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小

的三位数的最小值．

【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】迎春杯，决赛

【解析】 设三个数字分别为a 、b 、c ，那么6个不同的三位数的和为：

2()1002()102()222()abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c +++++=++?+++?+++=?++ 所以288622213a b c ++=÷=，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位

数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193--=，所以所

有这样的6个三位数中最小的三位数为139．

【答案】139

【例 24】 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，

则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？

【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设这三个数字分别为a 、b 、c 。由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三

位数之和为222×（a ＋b ＋c ）＝3330，推知a ＋b ＋c ＝15。所以，当a 、b 、c 取1、5、9时，它们组

成的三位数最小为159，最大为951。

【答案】最小为159，最大为951

【例 25】用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？

【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答

【解析】卡片“9”倒过来看是“6”。作为卡片“9”，由第3题的结果可知，1，9，7可组成的六个不同的三位数之和是（1＋9＋7）×222；同理，作为卡片“6”，1，6，7可组成的六个数之和是（1＋6＋7）×222。

这12个数的平均值是：［（1＋9＋7）＋（1＋6＋7）］×222÷12＝573.5。

【答案】573.5

【例 26】a，b，c分别是09中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？

【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答

【解析】由a，b，c组成的六个数的和是222()

a b c

?++．因为223422210

++>．

>?，所以10

a b c

若11

++=≠，不合题意．

?-=，但2081011

a b c

++=，则所求数为222112234208

若12

++=≠，不合题意．

a b c

?-=，但430712

++=，则所求数为222122234430

若13

?-=，65213

++=，符合题意．

a b c

++=，则所求数为222132234652

若14

++=≠，不合题意．

?-=，但8741914

a b c

++=，则所求数为222142234874

若15

≥?-=，但所求数为三位数，不合题意．

++≥，则所求数2221522341096

a b c

所以，只有13

a b c

++=时符合题意，所求的三位数为652．

【答案】652

【例 27】在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。

【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答

【解析】因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5。如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5。设原两位数是ab，则b=5，变成的三位数为5

ab，由题意有100a＋10b＋5＝（10a＋5）×9，化简得a＋b ＝4。变成的三位数只能是405，315，225，135。

【答案】三位数只能是405，315，225，135

【例 28】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一

个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换

所得的三位数。

【考点】复杂的位值原理拆分【难度】3星【题型】解答

【解析】设第一个2位数为10a+b；第二个为10b+a；第三个为100a+b；由题意：(100a+b)-（10b+a）=( 10b+a)-（10a+b) ；化简可以推得b=6a，0≤a,b≤9，得a=1，b=6；即每小时走61-16=45 ；（601-106)÷45=11；

再行11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。

【答案】11小时

【例 29】 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的

后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这两个三

位数和一个四位数相加等于3600．求原来的两位数．

【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设原来的两位数是ab ，则得到的两个三位数分别为3ab 和3ab ，四位数为33ab ，由题知

33333600ab ab ab ++=，即1033003003103600ab ab ab ?+++++?=，21294ab ?=，故14ab =．

【答案】14

【例 30】 将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数(432124???=)．将这24个四位数按

从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的

偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中最大的那

个．

【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 从题中可以看出，这4个数都不为0．设这4个不同的数从小到大依次为a ,b ,c ,d ，它们组成的24个

四位数中，第二小的是abdc ，是5的倍数，又c 不为0，所以5c =．

它们组成的24个四位数中，第二大的是dcab ，是2的倍数但不是4的倍数，所以b 是偶数，而ab 不是4的倍数．由b 是偶数且5b c <=知b 为4或2．若为2，那么1a =，但此时12ab =是4的倍数，矛盾，所以，又ab 不是4的倍数，所以a 为1或3．

它们组成的24个四位数中，第五小的为adbc (最小的5个依次为abcd ，abdc ，acbd ，acdb ，adbc )，第五大(第二十小)的为dacb (最大的5个依次为dcba ，dcab ，dbca ，dbac ，dacb )，所以dacb adbc -得到的四位数的千位为3．由于a d <，所以acb dbc <，那么减法算式中百位要向千位借位，所以13d a --=，故4d a =+．又5d c >=，所以1a >，那么3a =，7d =，

它们组成的24个四位数中最大的为dcba ，即7543． 【答案】7543

【例 31】 记四位数abcd 为X ，由它的四个数字a ,b ,c ,d 组成的最小的四位数记为X *，如果*999X X -=，

那么这样的四位数X 共有_______个．

【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】4星 【题型】填空

【关键词】2008年，迎春杯，高年级，复赛，8题

【解析】 *999X X -=得到99910001X X X **=+=+-，所以如果a 、b 、c 、d 组成的四位数X *末位数字

不是0，那么X 等于将X *的千位数字加1，个位数字减1，反过来X *等于X 的千位数字减1，个位数字加1，所以X *为()()11a bc d -+，与X 比较，b 和c 位置没有换，交换的是a 和d ，X *表示为dbca ，可以得到等式1a d -=，即1a d =+．所以a 和d 的取值组合，只有2和1，3和2，……，9和8，共8种情况．

对于其中任意一种组合，由于dbca 是由四个数字a b c d 、、、组成的最小的四位数，分别考虑b 、c 中有0的情况(可能两个都为0；若只有一个0，则0b =，d c a ≤≤)；以及b 、c 都不为0的情况(此时d b c a ≤≤≤)，可知两种情况下各有3种可能，共6种可能：00d a ，0d da ，0d aa ，ddda ，ddaa ，daaa ．比如以4a =，3d =为例，dbca 可能的取值有3004，3034，3044，3334，3344，34444这6个数．根据乘法原理，满足条件的四位数一共有8648?=种．

如果a 、b 、c 、d 组成的最小的四位数X *末位数字是0，显然X *的百位、十位都是0，此时a 、b 、c 、d 无法组成其它的四位数，不合题意．

由于每一个X *对应一个X ，所以满足条件的四位数X 共有48个．

【答案】48

【例 32】 9000名同学参加一次数学竞赛，他们的考号分别是1000,1001,1002,…9999．小明发现他的考号是

8210，而他的朋友小强的考号是2180．他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不一样），差为2010

的倍数．那么，这样的考号（由相同的数字组成并且差为2010的倍数）共有 对．

【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】5星 【题型】填空

【关键词】2010年，迎春杯，高年级，复试，14题

【解析】 设abcd 与efgh 由相同的数字组成（顺序不一样），并且2010abcd efgh -．由于abcd 与efgh 的数字

和相同，它们除以9的余数相同，即9abcd efgh -，从而6030abcd efgh -．考虑到09000abcd efgh <-<，于是6030abcd efgh -=，6030abcd efgh -=．从末位数字可知d h =，603abc efg -=．若3c ≥，603(6)(3)abc a b c -=--，但(6)(3)9a b c a b c a b c -++-=++-≠++，(6)(3)a b c efg --≠，603(6)(3)abc a b c -=--不成立．若2c ≤，0b =，6030603(7)9(7)abc a c a c -=-=-+，同上知这种情况也不成立．因此，2c ≤，1b ≥．

603(6)(1)(7)abc a b c -=--+．7c +在这里可能等于a 或者b ．如果7a c =+，则1b c =+，此时(,,)a b c 可以等于(7,1,0)、(8,2,1)以及(9,3,2)；如果7b c =+，则6a c =+，此时(,,)a b c 可以等于(7,8,1)和(8,9,2)．(,,)a b c 确定之后，再考虑d ，d 可以等于0,1,2,…9中的任何一个数字．这样，可以得到50个不同的abcd ，继而可得到相应的efgh ．于是，一共有50对这样的考号，由相同的数字组成，并且差为2010的倍数．

【答案】50

【例 33】 有一类三位数，它的各个数位上的数字之和是12，各个数位上的数字之积是30，所有这样的三位

数的和是多少？

【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 设这个三位数是abc ，则根据题意可得：1230

a b c a b c ++=????=? ，由30a b c ??=找突破口，将30分解成3个因数相乘，符合12a b c ++=的即为所求，组成三位数的三个数码只有1，5，6符合要求，即三位数有：156，165，516，561，615，651。其和为：156165516561615651222(156)2664+++++=?++=

【答案】2664

【例 34】 一个三位数除以11所得的商等于这个三位数各位数码之和，求这个三位数是多少？

【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 设这个三位数是abc ，则根据题意有：10010()11a b c a b c ++=++?，化简得1089

b c a +=

因为a ，b ，c 都是位值，即为一位数，所以1,9,8a b c ===。

【答案】198

模块三、巧用方程解位值原理

【例 35】 有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后

面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。

【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 本题可以有三种分析方法：

方法一：可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。列竖式如下：

分析竖式知1减b 不够减，肯定要向前借1位，即：1014b +-=，整理得：b ＝7，b 借1给个位十位，此时6－a ＝1，整理得：a ＝5，经百位计算验证，结果正确。

方法二：设原两位数为ab ，则数码1加写在它的前面为1ab ，数码1

写在它的后面为1ab ，分析比较知道1ab ＞1ab ，

所以可以得到：11414a b a b -=，(100101)(10010)414a b a b ++-++=，90999414a b +-=，909513a b +=，1057a b +=，即：57ab =

方法三：设两位数为x ，则有（10x ＋1）－（100＋x ）＝414，解得：x ＝57。

【答案】57

【巩固】 有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，

则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数。

【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 本题可以有两种分析方法：

方法一：可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。列竖式如下：

分析可得c ＝3，b ＝6 ，a ＝3 。

方法二：设三位数为x ，则有（6000＋x ）＋（10x ＋6）＝9999，解得：x ＝363.

【答案】363

【例 36】 如果70ab a b ?=，那么ab 等于几？

【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 本题可以有两种分析方法：

方法一：可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。列竖式如下：

通过分析7b b ?=知道5b =，同时向前进3，同时730a a ?+=，知道1a =，所以ab ＝15.

方法二：将70ab a b ?=，展开整理得：(10)71000a b a b ?+?=?++

707100a b a b +=+

306a b =

5a b =

由于位值的性质，每个数位上的数值在0 ～9之间，得出1a =，5b =。

【答案】15

【例 37】已知123n

++++（n>2）的和的个位数为3，十位数为0，则n的最小值是

【考点】巧用方程解位值原理【难度】4星【题型】填空

【关键词】2009年，第14届，华杯赛，决赛，第8题，10分

【解析】根据题意，前n项和等于（1+n）×n÷2，而现在的个位为3，十位上是0，则（n+1）×n的末两位是06，易知末位是6的连续的两个自然数的成积的末位只能为2×3或者7?8，经试验，最小的n取37时，37×38=1406符合条件，所以n的最小值为37。

【答案】37

【例 38】把7位数2ABCDEF变成7位数2

ABCDEF，已知新7位数比原7位数大3591333，聪明的宝贝来求求：（1）原7位数是几，（2）如果把汉语拼音字母顺序编为1～26号，且以所求得原7位数的前

四个数字组成的两个两位数2A和BC所对应的拼音字母拼成一个汉字，再以后三个数字D，E，F

分别对应的拼音字母拼成另一个汉字，请写出由这两个汉字组成的词。

【考点】巧用方程解位值原理【难度】4星【题型】解答

【关键词】2005年，祖冲之杯

【解析】（1）设ABCDEF x

=，根据题意得，(102)(2000000)3591333

+-+=，解得，x＝621259，原

x x

7位数是2621259。

（2）按顺序写出26个字母，从左到右给每个字母从1～26编号，结合2A＝26，BC＝21，D＝2，

E＝5，F＝9，按对应关系有：26对应Z，21对应U，2对应B，5对应E,9对应I，ZU拼成“祖”，

BEI拼成“杯”

【答案】（1）2621259，（2）祖杯

【巩固】把5写在某个四位数的左端得到一个五位数，把5写在这个四位数的右端也得到一个五位数，已知这两个五位数的差是22122，求这个四位数。

【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答

【解析】设这个四位数为x，则有：（50000＋x）－（10x＋5）＝22122或（10x＋5）－（50000＋x）＝22122，得，x＝3097或x＝8013.

【答案】x＝3097或x＝8013

【例 39】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加1111

A，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。

【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答

【解析】设这个数为x，则10x+5-x＝1111

A，等号右边是9的倍数，试验可得A＝1，x

A，化简得9x＝1106

＝1234。

【答案】A＝1，x＝1234

【巩固】如果把数码3加写在某自然数的右端，则该数增加了12345A，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。

【考点】巧用方程解位值原理【难度】3星【题型】解答

【解析】设这个数码为x，则有：（10x＋3）－x＝123450＋A,解得，9x＝123447＋A，右边是9的倍数，根据

被9整除的数字的特点知道，A ＝6，故：x ＝13717。 【答案】6

【例 40】 等式：54ab ＝39×16c 恰好出现1、2、3、4、…、9九个数字，abc 代表的三位数是（ ）。

【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】2004年，第9届，华杯赛，决赛，第3题，10分

【解析】 根据题意，a 、b 只能从2，7，8里选，而39能被3整除，则a +b +5+4也要能被3整除，则a 、b 从

2，7里选，a +b =9或者a 、b 从7或8里选a +b 等于15；或者a 、b 从2或8里选a +b 等于10，若a +b =9，则左边是9的倍数，而等式39是3的倍数，1+8+6也是，符合，则186×39=7254，即abc =728。

若a +b 等于15，即c =2,39×

126=4914。不符；此题也可以用126，176，186试算。 【答案】728

【例 41】 某八位数形如2abcdefg ，它与3的乘积形如4abcdefg ，则七位数abcdefg 应是多少？

【考点】巧用方程解位值原理 【难度】4星 【题型】解答

【解析】 设abcdefg x =，则72210a b c d e f g x =?+，4104abcdefg x =+，根据题意，有()

72103104x x ?+?=+，得77610459999996x =?-=，所以8571428x =．

【答案】8571428

【例 42】 一个六位数abcdef ，如果满足4abcdef fabcde ?=，则称abcdef 为“迎春数”(例如

4102564?=410256，则102564就是“迎春数”)．请你求出所有“迎春数”的总和．

【考点】巧用方程解位值原理 【难度】5星 【题型】解答

【解析】 由于是把六位数abcdef 的末位f 调到首位构成了新六位数fabcde ，所以不妨把abcde 看成一个整

体，设a b c d e A =，

则根据位值原理可知“迎春数”是()10A f +，并满足关系式：()410100000A f f A ?+=+．对等式化简得：3999996A f ?=?．

所以：2564A f =?．

因为A 是五位数，f 是一位数，所以f 可以为4，5，6，7，8，9．

而“迎春数”1010256425641abcdef A f f f f =+=??+=?，

那么，所有“迎春数”的总和是：()256414567892564139999999?+++++=?=． 【答案】999999 【例 43】 设六位数abcdef 满足fabcde f abcdef =?，请写出这样的六位数．

【考点】巧用方程解位值原理 【难度】5星 【题型】解答

【关键词】2008年，第13届，华杯赛，决赛，第12题，10分

【解析】 令abcde x =，则：510fabcde f x =?+，10abcdef x f =+，所以()51010f x f x f ?+=?+，可得

()510101f f

x f -=-．此时可将1f =，2，3，4，5，6，7，8，9一一代入进行检验，可得当1f =时，111111x =；

当4f =时，102564x =．只有这两个数满足条件．

由于将f 可能的值一一代入进行检验有些麻烦，可以将其进行如下变形后再进行：

()552544242410101010101010101

101101101f f

f f f f f x f f f f ---+--====+----，所以4241010101f x f --=-，则 ()

52522541010101010101010101101101f f f f f x f f f f f --+---?+=+==---是整数． 设其为a ，则666101010101011019999991011101101101101

f f f a f f f f --+--+=+===----是整数，所以101f -是999999的约数．

当1f =，2，3，4，5，6，7，8，9时，101f -分别为9，19，29，39，49，59，69，79，89，由399999937111337=????容易知道其中只有9和39是999999的约数，此时f 分别为1和4．这样的六位数有111111和102564．

【答案】六位数有111111和102564

【例 44】 如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的25倍．那么，这个五位数的前两位

的最大值是 。

【考点】巧用方程解位值原理 【难度】5星 【题型】填空

【关键词】2009年，迎春杯，六年级，初赛，第9题）

【解析】 假设组成这个五位数的5个数字分别为a 、b 、c 、d 、e ，可知其中不能有0.

由题知25abcde =(a b c d e ++++)，由于25|abcde 可知a 、b 、c 、d 、

e 中有两个5，不妨设5d e ==，则10abc a b c =+++

要求这个五位数的最大值，必须使其中最大的数尽可能大.不妨设a 是其中最大的数.

如果9a =，则919b c b c =++，即8199171b c b c =++，故(91b -)(91c -)172443==?，此时没有满足条件的整数b ，c ；

如果8a =，则818b c b c =++，即6488144b c b c =++，故(81b -)(81c -)145529==?，此时没有满足条件的整数b ，c ；

如果7a =，则717b c b c =++，即4977119b c b c =++，故(71b -)(71c -)120=，由于71b -与71c -除以7都余6，可知分别为6和20，则b 、c 分别为1和3.故此时编成五位数的5个数字分别为7，5，5，3，1，所以所求最大的五位数为75531.

【答案】75531

【例 45】 在横线上写出所有满足下面条件的六位数的个数：这个六位数的个位是6，如果将这个六位数增加

6，它的数字和就减少到原来的16

。则满足该条件的六位数有___个。 【考点】巧用方程解位值原理 【难度】5星 【题型】填空

【关键词】2004年，第2届，走美杯，6年级，决赛，第9题，10分

【解析】 首先，了解一个结论。两个数相比，如果发生n 次进位，和的各位数字之和就等于两个加数的各位

数字之和减9n 。例如，2705+7328=10033，个、百、千位各发生1次进位，两个加数的各位数字之和是34，和的各位数字之和是7，满足34—9×3=7。

设原来的六位数的各位数字之和是x ，加6后发生n 次进位，则相加后的和的各位数字之和是x 69n +-由题意得到：()669x x n =+-，整理后得到：()51832x n =?-，因为5与18互质，所以5能整除(3n-2)，推知n=4，从而x=36。因为n=4，所以原来的六位数形如9996，前两位的数字之和为36-(9+9+9+6)=3。满足题意的六位数有309996，219996，129996共3个。

【答案】3个

学而思小学奥数知识点梳理

学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如： 3．估算 求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若，则c>b>a.。形如：，则。 5．定义新运算

6．特殊数列求和 运用相关公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、数论 1．奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：=100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0?r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0?r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 × p2 ×...×pk 7. 约数个数与约数和定理

小学四年级奥数 第13讲：位值原理

位值原理 叁仟陆佰伍拾捌 3 6 5 8 加油站 位值原理的定义： 同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示 的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外， 还有一个“位置值”.例如“2”，写在个位上，就表示2个一， 写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数

的原则，称为写数的位值原理. 【例1】(★) 填空: ⑴ 123＝1个（ ）＋2个（ ）＋3个（ ） ⑵234＝（ ）个100＋（ ）个10＋（ ）个1 ⑶24＝2×（ ）＋4×（ ） 【例2】(★ ★) : ⑴ 30300 3 3 ⑵ 22030 2 2 3 ⑷657＝（ ）×100＋（ ）×10＋（ ）×1 2 3 ⑸ （ ）＝5×100＋7×10＋9×1 ⑹ 23＋45＝（ ）×10＋（ ）×1 ⑺ 234＋321＝（ ）×100＋（ ）×10＋（ ）×1 ＝（ ）×111 ⑶ abc 100 10+ 1 ⑷ abcd a b c d ⑸ 1

【例3】（★★★）【例5】(★★★)(希望杯五年级一试试题） ⑴ 三位数abc比三位数cba小99，若a,b,c彼此不 同，则abc最大是_____。 ⑵a b a b 98790807 【例6】(★★★★) 【例4】(★★★) 计算：(123456＋234561＋345612＋456123＋561234＋612345)÷7 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三 位 数.若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小至少是 多 少？最大的至多是多少？ 【例7】(★★★★★)(希望杯四年级二试试题) 本讲总结 数abcd，abc，ab，a依次表示四位数、三位数、 两位数及一位abcd abc ab a 1787，那么满足条件的是多少？ abcd a c=a c 重要应用： ①计算——分位计算 ②代数化表示——分类讨论

五年级奥数位值原理

位值原理 知识框架 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使像古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会. 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理. 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f. 3.解位值一共有三大法宝： （1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 例题精讲 知识点一：位值原理的认识 【例 1】填空：

365= ×100+ ×10+ ×1 365=36×+5× =2×+3×＋a×+b×=203 +× 【例 2】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。 【例 3】把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来数加起来的和恰好是121，这个两位数的数字和是多少？ 【巩固】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？ 【例 4】（1）用数字1、2、3各一个可以组成三位数，所有这样的三位数之和是多少？这个和是三位数的数字和的多少倍？ （2）有三个不同的数字，用它们组成六个不同的三位数，如果这六个三位数的和是1554，那么这 三个数字分别是多少？ 【巩固】从1-9这九个数字中取出3个，用这三个数字可以组成6个不同的三位数，若这六个三位数之和是2442，则这三个数字的和是多少？

小学奥数四年级加乘原理

第一讲加乘原理 加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有 M2种方法，……，第N类方式有M(N)种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N) 种方法。 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有ml种不同的方法，做第二 步有m2不同的方法，，做第n步有mn不同的方法。那么完成这件事共有N=m1 x m2 Xm3 n 种不同的方法。 核心：分布相乘、分步相加 例题1 : (1)从天津到上海的火车，上午、下午各发一列；也可以乘飞机，有3个不同的航班，还有一艘轮船直达上海。那么从天津到上海共有多少种不同的走法？ (2 )请观察下面的树状图，请问从A到“树叶”节点的路线一共有多少条? 练习1 : (1 )从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种 不同走法？ (2 )下图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B 段和点不得重复经过，问家中最多有多少种走法？ 点，要求任何线*干

例题 2 ：泡泡有许多套服装，帽子数量为 5 顶、上衣有10 件，裤子有8 条，还有运动鞋6双，早晨要从几种服装中各取一个搭配，问：有多少种搭配？ 练习 2 ：书架上有 6 本不同的外语书， 4 本不同的语文书， 3 本不同的数学书，从中任取外语、语文、数学书各一本，有多少种不同的取法？ 例题3：由数字1、2 、3、4、5、6、7、8 可组成多少个没有重复数字的三位数？百位为 7 的没有重复数字的三位数？ 练习3：利用数字1，2，3，4，5 共可组成⑴多少个数字不重复的三位数？⑵多少个数字不重复的三位偶数？⑶多少个数字不重复的偶数？ 例题4：甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E 这五辆不同型号的汽车，一共有 多少种不同的安排方式？ 如果会驾驶汽车 A 的只有甲和乙，一共有多少种安排方式？

五年级奥数.位值原理(AB级).学生版

位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会. 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理. 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f. 3.解位值一共有三大法宝： （1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答 （1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答 知识框架 重难点 位值原理

小学数学位值原理

位值原理 知识框架 位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十.我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算.这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同.既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”.例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值.最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十.但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们.希望同学们在做题中认真体会. 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同.也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”.例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理. 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f. 3.解位值一共有三大法宝： （1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 重难点 （1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 例题精讲 【例 1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100.这个两位数的各位数字的和是 . 【考点】简单的位值原理拆分【难度】2星【题型】填空 【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分

小学奥数- 位值原理

5-7-1.位值原理 教学目标 1.利用位值原理的定义进行拆分 2.巧用方程解位值原理的题 知识点拨 位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。 3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答 例题精讲 模块一、简单的位值原理拆分 【例1】一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。这个两位数的各位数字的和是。 【例2】学而思的李老师比张老师大18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在20岁以上）

小学奥数 数论 位值原则 位值原理.题库版

1. 利用位值原理的定义进行拆分 2. 巧用方程解位值原理的题 位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。 1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。 3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式 （2）利用十进制的展开形式，列等式解答 （3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答 模块一、简单的位值原理拆分 【例 1】 一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。这个两位数的各位数字的和是 。 【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2006年，第4届，希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分 【解析】 这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字 的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-7-1.位值原理

小学奥数 数论问题 第一讲 位值原理

第一讲位值原理 讲义 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 100+e×10+f 课后习题 基础篇： 【闯关1】ab与ba的差被9除，商等于______与______的差 【闯关2】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数． 提高篇： 【闯关3】设六位数abcdef满足fabcde f abcdef =?，请写出这样的六位数． 【闯关4】已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少．

巅峰篇： 【闯关5】小明打算做一个两位数乘以三位数的乘法，但是粗心的他在计算的时候遗漏了乘号，从而将两位数直接放在三位数的左边，形成一个五位数，该五位数恰好为应得的乘积的9倍，问：原来两个数的乘积是多少？

第一讲位值原理课后习题 基础篇： 【闯关1】ab与ba的差被9除，商等于______与______的差 解析：ab=10a+b，ba=10b+a。 ab-ba=10a+b-10b-a=9（a-b） 所以商等于a与b的差。 【闯关2】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802．求原来的四位数． 解析：正如我视频里面所讲的，我不知道这四个数字，那就把四个数字可以假设出来。 设原四位数为abcd．则： 反序数：dcba。 由题意得：1000d+100c+10b+a-（1000a+100b+10c+d）=8802， 化简得：1000（d-a）+100（c-b）+10（b-c）+（a-d）=8802， 新数比原数大，则d＞a，所以d-a=8， a是千位数最小是1，d是个位数，最大是9，所以：d=9，a=1， 个位要借位，c-b=9，所以c=9，b=0， 故原数为1099． 提高篇： 【闯关3】设六位数abcdef满足fabcde f abcdef =?，请写出这样的六位数． 解析：本题难度有点，原题出自于第十三届华杯赛决赛的第12题。 主要考察的是枚举的思想，明白一点是这里面有一个数字出现的频率特别大，这是数字是f，而f只有1~9种情况。 如果f=1,fabcde f abcdef =?=1×111111 =?不符合题目意思 f=2，fabcde f abcdef F=3，fabcde f abcdef =?不符合题目意思 =?=4×102564 F=4，fabcde f abcdef =?不符合题意 F=5，fabcde f abcdef F=6，fabcde f abcdef =?不符合题意 =?不符合题意 F=7，fabcde f abcdef =?不符合题意 F=8，fabcde f abcdef

小学奥数训练题 位值原理(无答案)

位值原理 87、证明：一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除。 数，求数码a。 90 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。 92 有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。 93 有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数。 94 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把3加写在它的后面，则也可也以得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数。将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。求原来的两位数。 表示一个看不清的数码，求这个数和A。 这里A表示一个看不清的数码。求这个数和A。 97 有一个三位数，把它的个位数移到百位上，百位和十位上的数码相应后移一位成了一个新的三位数，原三位数的2倍恰好比新三位数大1，求原来的三位数。 98 求一个三位数，它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数的4倍与25之差。 99 把5写在某个四位数的左端得到一个五位数，把5写在这个数的右端也得到一个五位数，已知这两个五位数的差是22122，求这个四位数。 100 某三位数是其各位数字之和的23倍，求这个三位数。 101 a，b，c是1～9中的三个不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是(a＋b＋c)的多少倍？ 102 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？ 103 用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？ 104 某校的学生总数是一个三位数，平均每个班35人。统计员提供的学生总数比实际总人数少270人。原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位与十位的数字对调了。这个

小学奥数—抽屉原理讲解精编版

小学奥数－抽屉原理（一） 抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。 抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。 例1五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？ 【分析与解答】关键是构造适合的抽屉。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个例外分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。44÷21=2……2，根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。 例2夏令营组织2000名营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？ 【分析与解答】本题的抽屉不是那么明明，因为问的是“至少有几名营员参加的活动项目完全相同”，所以应该把活动项目当成抽屉，营员当成物品。营员数已经有了，现在的问题是应当搞清有多少个抽屉。因为“每人必须参加一项或两项活动”，共有3项活动，所以只参加一项活动的有3种情况，参加两项活动的有爬山与参观、爬山与海滩游玩、参观与海滩游玩3种情况，所以共有3+3=6（个）抽屉。2000÷6=333……2，根据抽屉原理2，至少有一个抽屉中有 333+1=334（件）物品，即至少有334名营员参加的活动项目是相同的。 例3把125本书分给五（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？

小学奥数之容斥原理精编版

容斥原理（一） 【例题分析】 例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？ 分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积是： （平方厘米） 方法一：（平方厘米） 方法二：（平方厘米） 方法三：（平方厘米） 答：盖住桌面的面积是67平方厘米。 例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？ 分析与解：把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。 也可以这样解：（人） 或（人） 答：两组都参加的有5人。

例3. 六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？ 分析与解：先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。 （人） （人） 答：既不会骑车又不会游泳的有9人。 例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？ 分析与解：图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。 （人） 答：这个年级参加课外小组的有60人。 例5. 某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。

小学奥数——乘法原理与加法原理

乘法原理与加法原理 在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时,又有几种不同得方法，要知道完成这件事一共有多少种方法,就用我们将讨论得乘法原理来解决。 例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会.其中，她从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而她从大连到天津却只想乘船。那么,她从北京经大连到天津共有多少种不同得走法？ 分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走。第一步就是从北京到大连,可以有三种走法，即： 第二步就是从大连到天津,只选择乘船这一种走法,所以她从北京到天津共有下面得三种走法： 3×1=3。 如果此人到大连后,可以乘船或飞机到天津,那么她从北京到天津则有以下得走法: 共有六种走法，注意到3×2=6． 在上面讨论问题得过程中,我们把所有可能得办法一一列举出来。这种方法叫穷举法。穷举法对于讨论方法数不太多得问题就是很有效得． 在上面得例子中，完成一件事要分两个步骤。由穷举法得到得结论瞧到,用第一步所有得可能方法数乘以第二步所有得可能方法数，就就是完成这件事所有得方法数． 一般地,如果完成一件事需要个步骤,其中,做第一步有种不同得方法，做第二步有种不 同得方法,…,做第步有种不同得方法,那么，完成这件事一共有种不同 得方法。 这就就是乘法原理． 例1.某人到食堂去买饭，主食有三种,副食有五种，她主食与副食各买一种，共有多少种不同得买法？ 补充说明:由例题可以瞧出，乘法原理运用得范围就是:①这件事要分几个彼此互不影响得独立步骤来完成;②每个步骤各有若干种不同得方法来完成.这样得问题就可以使用乘法原理解决问题。 例2.右图中有7个点与十条线段,一只甲虫要从A点沿着线段爬到Ｂ点，要求任何线段与点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同得走法？ 例3.书架上有6本不同得外语书，4本不同得语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同得取法？ 例4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会得跳远、跳高、1００米跑、200米跑四项中得一项比赛,问:报名得结果会出现多少种不同得情形？ 例5.由数字０、1、2、3组成三位数，问： ①可组成多少个不相等得三位数？ ②可组成多少个没有重复数字得三位数？ 分析在确定由０、１、2、3组成得三位数得过程中,应该一位一位地去确定。所以，每个问题都可以瞧成就是分三个步骤来完成. ①要求组成不相等得三位数.所以,数字可以重复使用，百位上,不能取0，故有3种不同得取法；十位上，可以在四个数字中任取一个,有４种不同得取法;个位上,也有４种不同得取法、 ②要求组成得三位数中没有重复数字,百位上,不能取0,有３种不同得取法；十位上，由于百位已在１、２、3中取走一个，故只剩下0与其余两个数字，故有3种取法；个位上,由于百位与十位已各取走一个数字,故只能在剩下得两个数字中取,有2种取法. 例6.由数字1、2、3、4、5、６共可组成多少个没有重复数字得四位奇数?

六年级奥数-整除和位值原理(学生版)

第九讲整除和位值原理 整除问题 1.整除的概念 2.整除的基本性质 3.数的整除特征 4.位值原理 5.位值原理的表达形式 1.理解整除的概念，会用整除的性质解决有关问题。 2.理解位值原理的含义，能区分位值原理与字母乘法的区别。 3.掌握整除的性质，并熟练应用被2、3、4、5、8、9、11整除的数的特征。

例1：证明：当a c >时，abc cba -必是9的倍数。 例2：有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666。求原来的两位数。 例3： a ，b ，c 是1～9中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a+b+c ）的多少倍？ 例4：用2，8，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？ 例5：一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6，求这个两位数。 例6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。 A 1.一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是 ． 2.有三个正整数a 、b 、c 其中a 与b 互质且b 与c 也互质，给出下面四个判断：①(a+c) 2不能被b 整除，②a 2+c 2不能被b 整除：③(a+b)2不能被c 整除；④a 2+b 2不能被c 整除，其 中，不正确的判断有( )． A ．4个 B ．3个 C 2个 D ．1个 3.已知7位数61287xy 是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．