第7讲-几何变换之旋转(一)参考答案

【例1】对应边相等求线段长，即可得所求角的正切值． 由题意得：AD =AB =5，EN =CB =12， ∴CD =AC -AD =13-5=8， ∴123tan 82

ECD ∠==．

【例2】连接EC ，由题意可得△ACE 是等边三角形，

A

B

C

D

E

∴EC =AC =BC =ED ，

易证△ECD ≌△EAD ，∴CD =AD =AB =2， 故CD 的长为2．

【例3】特殊特殊度数必然有特殊图形． ∵15BAD ∠=?，∴15CAE ∠=?，∴60AFH ∠=? 过点A 作AH ⊥DE 交DE 于H 点，

H

F

E

D

C

B

A

∵AD =6cm

，∴AH =cm

，HF =cm ，

∴AF =

，10CF =-，故CF

的长为10-．

【例4】方法较多，举一种与旋转相关的做法． 设EAF BAF α∠=∠=，DAE BAG β∠=∠=，

α+β

βα

β

αG

A B

C

D

E

F

则GAF GFA αβ∠=+=∠，∴GF =GA =EA

=

∴6CF CG GF =-=-，∴CF

的长为6-

【例5】（1）利用旋转的性质：旋转角都相等． 易证△AEB ≌△ADC ，∴∠ABE=∠ACD ，如下左图， 如下右图，由“8字”模型可得：∠FPC=∠FAB=90°．

（2）由（1）可知∠BPC=90°， ∵AD=3，AC=6

，∴CD = 易证△CAD ∽△CPE ，∴CA CD AD

CP CE PE

==

，

可得：PE

，CP =，

∴PD =

∴127

210

PDE

S

=

=

． ∴△PDE 的面积为27

10

．

【例6】

①②显然正确，下分析③：

连接BD 、EG ，222222a b BD EG +=+，记BE 、DG 交点为H 点，

H

A

B

C

D

E

F

G

222BD BH DH =+，222EG EH GH =+， 222DE DH EH =+，222BG BH GH =+，

∴2222DE BG BD EG +=+，

∴222222DE BG a b +=+． 故正确的结论有①②③．

【例7】还有一组等腰相似．

∵BG =AG =5，BC =3，∴CG =4，DG =1， 连接AG

，∴AG =A

B

C

D E

F

G

易证△BEC ∽△BGA ，CE BC

AG BA

=

， 代入解得：CE

故CE

【例8】转化比例．

连接AC 、AC '，易证ABB '△∽ACC '△，

CC AC

BB AB

'=

'，求出AB 即可． 连接AG ，设AB x '=，则B G x '=，DG =x -4，

22222AG AB B G AD DG ''=+=+，

代入得：()2

22274x x x +=+-，解得：15x =，213x =-（舍），

∴CC AC BB AB '==

'．

【例9】（3，4，5）是一组勾股数，通过旋转构造直角三角形．

法一：如图，将三个小三角形面积分别 123S S S 、、

S 3

S 2

S 1

P A

B C

考虑到△ABC 是等边三角形，可将△APB 旋转到△ADC 位置，

可得：2133133462ADP

PCD

S S S

S

+=+=

+??=，

C

C C

同理可得：21

21

434

62

S S +=+??=， 2231

53462S S +=

+??=， ∴(

)123218S S S ++，∴1239S S S ++=，

故选A ．

法二：如图，易证∠APB=150°，过点A 作BP 的垂线交BP 延长线于点H ，

H

P

A

B

C E

则13

22

AH AP =

=

，PH =

，

4BH =

，

)2229271625944S AB AH BH =

=+=+++=+=?．

【例10】如果是120°，可以分为60°+60°．

如图，将△AHB 旋转至△APC （严格的辅助线说明并不能这样）

P

易证△APH 是等边三角形，又∠CHP=30°，∴△PCH 是直角三角形，

CH CH AH PH ==

，又227CH AH +=

，可得：CH ，AH=2， 则PC=BH=1，又△BDH ∽△BCP ， DH BH PC BP =

，代入数据得：1

3

DH =．

【例11】（1）思路1：如图，'PBP △是等腰直角三角形，∴'45BPP ∠=?，

'PP ==AP=1，'3AP CP ==，∴'APP △是直角三角形，

∴'APP ∠=90°，∴9045135APB ∠=?+?=?，

P'

B

A

D

C

P

思路2：类似．

（2）过点B 作'BP ⊥BP ，且满足'BP BP =，连接'P A 、'PP ，

易证'ABP △≌CBP △，即相当于将△CBP 绕点B 逆时针旋转90°，

'AP CP ==

'PP =AB=3，

故'APP △是直角三角形，∴'90APP ∠=?，

在等腰直角'BPP △中，'45BPP ∠=?，∴∠APB=45°．

【例12】

（1）∠A+∠C=270°． （2）222BD AD CD =+．

探讨3条线段之间的数量关系，排除掉四点共圆外，还可考虑正多边形共点旋转类型． 考虑到BA=BC 且∠B=60°，连接BD ，以BD 为边在BD 下方作等边△BDE ，

连接CE ，易证△BAD ≌△BCE ，∴AD=CB ，BD=BE=DE ， 又∵∠A+∠C=270°，∴∠BCE+∠BCD=270°，∴∠DCE=90°． ∴222CD CE DE +=，即222AD CD BD +=．

（3）当∠BEC=150°时，点E 满足222AE BE CE =+．

P

A

B

C

D

E

如图，以BC 为边作等边△BPC ，以点P 为圆心，PB 为半径作圆，则E 点轨迹记为弧

BC，

60

=21=

3603 BC

π

π

??．

【例13】如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG 三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）

H

G

N

M

过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，

根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，

∴△MHQ是等腰直角三角形，

∴MQ=HQ=4，

∴NH

=．

4

6

4

Q

H

G

N

M

【例14】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，

易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF

∴ME+MA+MD=ME+EG+GF

过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．

H

F

G

E M

D

C

B

A

旋转类几何变换

旋转类几何变换 一几何变换——旋转 旋转中的基本图形 利用旋转思想构造辅助线 ? ? ? （一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 自检自查必考点

二 利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ． 考点一 旋转与最短路程 ?考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。 【例1】 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ?是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60?得到BN ，连接AM 、CM 、EN ． ⑴求证：AMB ENB ??≌ ⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小； ②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长． 中考满分必做题 E N M D C B A

【例2】 阅读下列材料 对于任意的ABC ?，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。 ①若三角形内有一个内角大于或等于120?，这个内角的顶点就是费马点 ②若三角形内角均小于120?，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=?时，点P 既为费马点 解决问题： ⑴如图，ABC ?中，三个内角均小于120?，分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ?、ACE ?，连接CD 、BE 交于点P ， 证明：点P 为ABC ?的费马点。(即证明120APB BPC APC ∠=∠=∠=?)且PA PB PC CD ++= P E D C B A Q A B C D E P ⑵如图，点Q 为三角形内部异于点P 的一点，证明：QA QC QB PA PB PC ++>++ ⑶若30ABC ∠=?，3AB =，4BC =，直接写出PA PB PC ++的最小值 考点二 利用旋转求点的坐标 ?考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。 【例3】 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针方向旋转90?后，B 点 的坐标为（ ） A.(22)-， B.(41)， C.(31)， D.(40)， 【例4】 如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ?的顶点A 的坐标为(31)，， 若将OAB ?绕点O 逆时针旋转60?后，B 点到达'B 点，则'B 点的坐标是________ D C B A O y x y x B A O

几何变换之旋转

【例1】 如图，在Rt ABC ?中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上 的点，且CE AF =．如果62AED ∠=?，那么DBF ∠=__________． F C B A 【答案】28? 【例2】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥． P F E D C B A 【答案】在ABE ?和BCF ?中 AB BC ABE BCF BE CF =?? ∠=∠??=? ∴ABE BCF ??≌ ∴BAE CBF ∠=∠ ∵90BAE AEB ∠+∠=? ∴90CBF AEB ∠+∠=? ∴AE BF ⊥ 【例3】 E 、F 、 G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=． G A B C D E F 【例4】 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩 形周长为16，且CE EF =，求AE 的长． E D C B F A 【答案】∵FE EC ⊥，∴90AEF DEC ∠+∠=?． ∵90AEF AFE ∠+∠=?， ∴AFE DEC ∠=∠． 在三角形AFE 与DEC ?中，FE CE =，90A D ∠=∠=?， AFE DEC ∠=∠， ∴AFE DEC ??≌． ∴AE DC =．

∵矩形周长为16， ∴8AD DC +=． ∵AD AE DE =+， ∴且2DE =．∴28AE DE =-． 即3AE = 【例5】 如图，已知ABC ?中，90ABC AB BC ∠=?=，，三角形的顶点在相互平行的三条直 线123l l l ，，上，且12l l ，之间的距离为2，23l l ，之间的距离为3，则AC 的长是______． C B A l 3 l 2 l 1 【答案】 【例6】 两个全等的30?、60?的三角板ADE 、BAC ，如右下图所示摆放，E 、A 、C 在 一条直线上，连结BD ．取BD 的中点M ，连结ME 、MC ，试判断EMC ?的形状，并说明理由． M E D C B A 【解析】判断EMC ?是等腰直角三角形．理由： 如图，连结AM ． D M B C A E ∵30DAE ∠=?，60BAC ∠=?，∴90DAB ∠=? ∵ADE BAC ??≌，∴AD AB = 又∵M 是BD 的中点，∴AM DM BM == ∴45ADM MAB ∠=∠=? ∴6045105EDM EDA ADM ∠=∠+∠=?+?=? ∴4560105MAC MAB BAC ∠=∠+∠=?+?=? ∴EDM MAC ∠=∠ ∵ED CA =，∴EDM CAM ??≌ ∴EM CM =，DME AMC ∠=∠ 而90DME EMA ∠+∠=?，∴90AMC EMA ∠+∠=? 即90EMC ∠=?，∴EMC ?是等腰直角三角形．

初中数学竞赛辅导几何变换(旋转)

第2讲几何变换——旋转 典型例题 【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE， △是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN 边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以 及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点． L

【例3】 已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线， AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形． 【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点， M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证： RM QS =． E C H D B A Q ? S M P C B A R

【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB = ，PD =求正方形ABCD 的面积． 【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长． D

【例7】 设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ?∠=，125BOC ?∠=，求以线段OA 、OB 、 OC 为边所构成的三角形的各内角大小． 【例8】 如图，在ABC △中，90ACB ?∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =， 2PC =，求BPC ∠． A P C

如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：2222BD DC AD +=． 【例9】 如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ?∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且 45PCQ ?∠=，求证：222PQ AP BQ =+． A D C B A Q B C P

中考数学专题训练-旋转模型几何变换三种模型手拉手-半角-对角互补

几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? 等腰三角形 手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形） 等边三角形（包含费马点） 特殊角 旋转变换对角互补模型 一般角 特殊角 角含半角模型 一般角 等线段变换（与圆相关） 【练1】（2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BACα ∠=（060 α ?<

【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜 想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．

考点1：手拉手模型：全等和相似 包含： 等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种 位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似） 例题精讲

第5课 几何变换(2)：旋转与中心对称

第4课 几何变换(2)：旋转与中心对称 一、例题选讲 例1、如图，如果四边形CDEF 绕某点P 旋转以后与正方形ABCD 重合，则这样的点P 有几个？ B A 例2、如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，比较DEF S ?与（B D F A D E S S ??+）的大小并说明理由。 B C F 例3、如图，P 是等边△ ABC 内一点，P A =2，PB =PC =4，则△ABC 的边长是多少？ A B 例4、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上两点，且BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数。 F D A C

例5、如图，Rt △ABC 中，O 是斜边AB 的中点，P 、Q 分别是AC 、BC 上的点，且OP ⊥OQ ，证明：AP 2+BQ 2=PQ 2. Q B A P 例6、定点P 到等边△ABC 的定点距离A P=2,BP =3,当此三角形的边长、位置都可以改变时，求PC 的最大值，并证明你的结论。 C 例7、△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠BAC =1200，△ADE 是等边三角形，点D 在BC 边上，且BD :DC =2:3,若△ABC 的面积是50，求△ADE 的面积。 C B B

二、巩固练习 1、两家共有一块平行四边形田地 ，中间有一用于灌溉的圆形池塘，现在两家需要把这块地均分，并且中间的池塘也要均分，你能为他们想个办法吗？ 2、7个相同的圆按照图示的位置排列，把这个图形分成面积相等的两块 . 3、设P 是边长为1的等边△ABC 内的任意一点，记l =P A+PB+PC ,求证：23≤≤l . B 4、如图,正方形ABCD 中,∠MAN =45°,求证:MN=BM+DN . C N 5、已知△ABC 中,AB =5,AC =13,边BC 上的中线AD =6,则BD 的长是多少 ? C

几何结构之折叠、旋转(讲义)

几何结构之折叠、旋转（讲义） ? 知识点睛 1. 折叠（轴对称）的思考层次 （1）全等变换：对应边相等、对应角相等． （2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线．（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等） （3）常见组合搭配 ①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形； B A 1 F E D (B ) C A ②两次折叠往往会出现特殊角：45°，60°，90°等． G F E D C B A O N M F E C B A D B O A C P Q B' C' （4）应用，作图（构造） 核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形． 特征举例： ①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． 2. 旋转思考层次 （1）全等变换：对应边相等、对应角相等． （2）对应点与旋转中心 旋转会出现等线段共端点（对应点到旋转中心的距离相等）； 对应点与旋转中心的连线所夹的角等于旋转角； 对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心； 旋转会产生圆（圆弧）． （3）常见组合搭配 旋转会出现相似的等腰三角形； 旋转60°会出现等边三角形；旋转90°会出现等腰直角三角形；

60°C' B' C B A C' B'C B A 相似三角形对应点重合时会出现旋转放缩模型． （4）应用，作图（构造） 当题目（背景）中出现等线段共端点时，会考虑补全旋转构造全等．（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形） 注：读题标注时，往往要弄清楚旋转三要素； 旋转方向不确定需要分类讨论； 常将图形的旋转转化为点、线段的旋转进行操作．（有时 只需保留研究目标即可）

几何图形旋转变换

几何图形旋转变换 1.已知：在ABC ?中，AC BC >，动点D 绕ABC ?的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ． （1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明） ． （2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明． 图2 图3 图1 A D

2、已知：在四边形ABCD中，A D∥BC，∠BAC=∠D，点E、F分别在BC、CD上， 且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系。 （1）如图1，若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为______________; （2）如图2，若AB=BC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明； （3）如图3，若AB=KBC，你在（1）中的得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.

L 3．如图1，ABC △的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且A C B C =；EFP △的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =． （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系； （2）将EFP △沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交 AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足 图1 的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP △沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长 线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为（2）中所 猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立， 图2 给出证明；若不成立，请说明理由． L

几何变换的类型

几何变换的类型? 2012 菁优网

一、选择题（共20小题） 1、（2011?钦州）如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（） A、把△ABC向右平移6格 B、把△ABC向右平移4格，再向上平移1格 C、把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格 D、把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格 2、（2011?莱芜）观察如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（） A、平移 B、轴对称 C、旋转 D、位似 3、（2011?贺州）如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（） A、把△ABC向右平移6格 B、把△ABC向右平移4格，再向上平移1格 C、把△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转，再右平移7格 D、把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，再右平移7格 4、（2010?双流县）在如图的方格纸中，小树从位置A经过旋转平移后到位置B，那么下列说法正确的是（） A、绕A点逆时针旋转90°，再向右平移7格 B、绕A点逆时针旋转45°，再向右平移7格 C、绕A点顺时针旋转90°，再向右平移7格 D、绕A点顺时针旋转45°，再向右平移7格 5、（2010?佛山）如图，把其中的一个小正方形看作基本图形，这个图形中不含的变换是（） A、对称 B、平移 C、相似（相似比不为1） D、旋转 6、（2009?江西）在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是（）

A、位似 B、旋转 C、轴对称 D、平移 7、（2007?双流县）在方格纸中，图（1）中的图形N经过旋转平移后的位置如图（2）所示，那么下列说法正确的是（） A、绕A点顺时针旋转90°，再向下平移3个单位 B、绕A点逆时针旋转90°，再向下平移3个单位 C、绕A点顺时针旋转90°，再向下平移5个单位 D、绕A点逆时针旋转90°，再向下平移4个单位 8、（2007?长春）一根单线从钮扣的4个孔中穿过（每个孔只穿过一次），其正面情形如图所示，下面4个图形中可能是其背面情形的是（） A、B、 C、D、 9、（2006?苏州）对如图的几何体变换位置或视角，则可以得到的几何体是（） A、B、 C、D、 10、（2006?嘉峪关）下列各物体中，是一样的为（）

北师大版八年级下册数学 3.2 几何变换之旋转 专题讲义

内容 基本要求 略高要求 较高要求 旋转 了解图形的旋转，理解对应点到 旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形． 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前后的图形，指出旋转中心和旋转角． 能运用旋转的知识解决简单的计算问题；能运用旋转的知识进行图案设计． 一、旋转有关概念 旋转：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转 角，如果图形上的点P 经过旋转变为点'P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点．(如图) P' Q' Q P O 注意：⑴研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角． ⑵每一组对应点所构成的旋转角相等． 旋转的性质： ①旋转后的图形与原图形是全等的；(进而得到相等的线段、相等的角) ②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；(进而得到等腰三角形) ③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形) 旋转作图的基本步骤： 由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件： ⑴旋转中心；⑵旋转方向及旋转角度． 具体步骤分以下几步： 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． 转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角) 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点． 连：即连接所得到的各点． 二、中心对称 中心对称的有关概念： 把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点(如图) 中考要求 例题精讲 几何变换之旋转

几何变换之美----一类旋转图形中的动点最值问题

几何变换之美----一类旋转图形中的动点最值问题 一、教材分析： 几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,结合“两点间线段最短”、“垂线段最短”等知识源,运用旋转的方式实现问题的转化与解决，体会到数学问题解答中的“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”数学之美。 一、学习目标： 1、通过观察操作，利用旋转的基本性质，分析图形找出定点到旋转过程中的动点的最值的计算方法。 2、体会运用旋转的方法把最值问题转化成“两点之间的距离或垂线段最短”等问题的转化思想 三、教学重难点 在变化的图形中把变量的最值计算转化成找出不变量的进行计算的转化或化归方法的提炼四、教学过程： （一）复习引入： （1）两点之间的距离；（两点之间，线段最短） （2）点到直线的距离；（点到直线的所有连线中，垂线段最短） （3）旋转的性质：①旋转不改变__形状和大小；②经过旋转图形上的 _所有点都绕中心沿相同方向转动了相同的角；③任意一对对应点与旋转中心的连线 _长度相等__； （二）应用一、通过观察旋转图形中的动点运动轨迹，找出到定点的最值距离 例1、如图，若AB=5，BC=6，∠C=45°，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的任意一点， 在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P 1，则线段EP 1 长度的最小值 为，EP 1 最大值为。 C C1

解题分析：（如图） （1）先在AC 上找出动点P 所在位置，即当BP ⊥AC 时，P 点到B 点距离最小; (2）P 点的运动路线是在以B 点为圆心,BP 为半径的⊙B 的圆周上运动； (3）通过观察可以发现当P 点运动AB 上，与AB 交于P 1时，EP 1的长度最小； 当P 点运动到AB 的延长线上交于P 2时，EP 的长度值最大。 解题策略：（1）观察发现，应用“垂线段最短”找出P 点位置 （2）分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系， （3）画图转化，根据点P 的运动轨迹找出P 到E 的最值. 变式练习1：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90o，BC ＝6，AC ＝12，D 为AC 上一点，AD ＝8，将AD 绕点A 旋转到AD ’,连接BD ’， F 为BD ’的中点，则CF 长度的最大值为 。 解题分析：如图，取AB 中点P ，连接PC 、PF,可以用中位线 定理和斜边上的中线等于斜边的一半求出PC 、PF ，再利用两 点之间线段最短的知识，得到当F 点在CP 的延长线上时， CP 的长度最大。 解题分析：取AB 的中点E ，连接OD 、OE 、DE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 可得OE=2 1 AB ，再利用勾股定理列出求出DE ；接下来然后根据三角形任意两边之和大于第三 边可得OD 过点E 时最大，并可求出最大值。从而解答此题。 A C 1 2

图像的几何变换的两种实现(旋转、平移、放大、缩小)

图像的几何变换的两种实现(旋转、平移、放大、缩小)

面向对象程序设计 学号：130085210002 学生所在学院：信息工程学院 学生姓名：邵丽群 任课教师：熊邦书 教师所在学院：信息工程学院

2013级 实现图像的几何变换 电子信息工程 信息工程学院 摘要：几何变换是最常见的图像处理手段，通过对变形的图像进行几何校正，可以得出准确的图像。常用的几何变换功能包括图像的平移、图像的镜像变换、图像的转置、图像的缩放、图像的旋转等等。目前数字图像处理的应用越来越广泛，已经渗透到工业、航空航天、军事等各个领域，在国民经济中发挥越来越大的作用。作为数字图像处理的一个重要部分，本文接受的工作是如何Visual C++编程工具设计一个完整的应用程序，实现经典的图像几何变换功能。程序大概分为两大部分：读写BMP图像，和数字图像的几何变换。即首先用Visual C++创建一个单文档

应用程序框架，在实现任意BMP图像的读写，打印，以及剪贴板操作的基础上，完成经典的图像几何变换功能。图像几何变换的Visual C++编程实现，为校内课题的实现提供了一个实例。 关键字：图像处理；几何变换（图像的平移、缩放、转置、旋转和镜像变换）；BMP图像；Visual C++ 一、引言 图像几何变换是指用数学建模的方法来描述图像位置、大小、形状等变化的方法。在实际场景拍摄到的一幅图像，如果画面过大或过小，都需要进行缩小或放大。如果拍摄时景物与摄像头不成相互平行关系的时候，会发生一些几何畸变，例如会把一个正方形拍摄成一个梯形等。这就需要进行一定的畸变校正。在进行目标物的匹配时，需要对图像进行旋转、平移等处理。在进行三维景物显示时，需要进行三维到二维平面的投影建模。因此，图像几何变换是图

第7讲-几何变换之旋转(一)参考答案

【例1】对应边相等求线段长，即可得所求角的正切值． 由题意得：AD =AB =5，EN =CB =12， ∴CD =AC -AD =13-5=8， ∴123tan 82 ECD ∠==． 【例2】连接EC ，由题意可得△ACE 是等边三角形， A B C D E ∴EC =AC =BC =ED ， 易证△ECD ≌△EAD ，∴CD =AD =AB =2， 故CD 的长为2． 【例3】特殊特殊度数必然有特殊图形． ∵15BAD ∠=?，∴15CAE ∠=?，∴60AFH ∠=? 过点A 作AH ⊥DE 交DE 于H 点， H F E D C B A ∵AD =6cm ，∴AH =cm ，HF =cm ， ∴AF = ，10CF =-，故CF 的长为10-． 【例4】方法较多，举一种与旋转相关的做法． 设EAF BAF α∠=∠=，DAE BAG β∠=∠=， α+β βα β αG A B C D E F 则GAF GFA αβ∠=+=∠，∴GF =GA =EA =

∴6CF CG GF =-=-，∴CF 的长为6- 【例5】（1）利用旋转的性质：旋转角都相等． 易证△AEB ≌△ADC ，∴∠ABE=∠ACD ，如下左图， 如下右图，由“8字”模型可得：∠FPC=∠FAB=90°． （2）由（1）可知∠BPC=90°， ∵AD=3，AC=6 ，∴CD = 易证△CAD ∽△CPE ，∴CA CD AD CP CE PE == ， 可得：PE ，CP =， ∴PD = ∴127 210 PDE S = = ． ∴△PDE 的面积为27 10 ． 【例6】 ①②显然正确，下分析③： 连接BD 、EG ，222222a b BD EG +=+，记BE 、DG 交点为H 点， H A B C D E F G 222BD BH DH =+，222EG EH GH =+， 222DE DH EH =+，222BG BH GH =+， ∴2222DE BG BD EG +=+，

(完整版)中考旋转的几种类型

（一）正三角形类型 在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC 重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。 例1. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.

（二）正方形类型 在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC 三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。 例2. 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、 B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。

（三）等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=Rt∠, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕 C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。 例3．如图，在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3， PB=1，PC=2。求∠BPC的度数。

平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系．这类实体的特点是：结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力．在这一理念的引导下，近几年中考加大了这方面的考察力度，特别是2006年中考，这一部分的分值比前两年大幅度提高。 为帮助广大考生把握好平移，旋转和翻折的特征，巧妙利用平移，旋转和翻折的知识来解决相关的问题，下面以近几年中考题为例说明其解法，供大家参考。

几何变换——捆绑旋转

几何变换——捆绑旋转 【例题】如图，AB=4，O为AB的中点， O的半径是1，点P是 O上一动点，以PB 为直角边的等腰直角?PBC（点P，B，C按逆时针方向排列），则线段AC长的取值范围是 宏观分析，整体思考： 为什么AC有“最值”之说？点C在运动．点C为什么在运动？因为点P在运动．点B是如何运动？点P在一个圆上运动．点P的运动带动点C的运动．“如影随形”，“点动成线”．那么如何研究点C的运动规律呢？联想研究函数图像变换，要研究线，只要研究点，“局部与整体具有一致性”． （1）你将点C理解成由点P绕点B顺时针旋转45? （2）将点P与 O“捆绑”视作整体，即点P在作上述运动的时候，想想 O因为“捆绑”而随之运动， O的运动结果是什么呢？“蜗牛背房子”，“牵一发而动全身”． （3）点O绕点B也顺时针旋转45?O'； （4）记住：旋转位似，相似必定成对出现．在前面的基础上，你会发现图形?OPB∽?O'CB, 于是你又得到O'C即动点C到定点O'“位似” 进一步理解的基础上，直接理解成 O O'； （5）于是，动点C在以定点O' （6）在前面的基础上，再考虑AC长的取值范围就是小意思（常规题）啦． （悟：种瓜得瓜，种豆得豆）

一、自主学习 1．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝4，CD ⊥AB 于D ，P 是CD 上一个动点，以 P 为直角顶点向下作等腰直角△PBE ，连接DE ，求DE 的最小值． B 2．如图，点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （2，0）．动点B 在⊙O 上，连结AB ， 作等边△ABC （A ，B ，C 为顺时针顺序），求求OC 的最大值与最小值． x 3．如图，AB 是⊙的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝BC ＝10，P 是⊙O 上一动点，连 接PC ，以PC 为边作△PCD ，使∠PDC ＝90°，tan ∠DPC ＝34 ，P ，C ，D 三点为逆时针顺 序．连接OD ，则线段OD 长的最小值是 ． 4．如图，平面直角坐标系中，A （－2，6），B （－5，2），M （0，5），点P 是线段AB 上一 个动点，PM ⊥MN ，且∠PNM ＝30°，当点P 从点A 运动到点B ，点N 也随之运动，点N 在 运动中经过的路径长是 （ ） A ．6 2 B ．5 3 C ．4 5 D ．8 y M O x

初中几何旋转典型例题归类

初中几何旋转典型例题归类 1、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长？ 解： 将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ 因为△BAP≌△BCQ 所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC 因为四边形DCBA是正方形 所以∠CBA＝90° 所以∠ABP＋∠CBP＝90° 所以∠CBQ＋∠CBP＝90° 即∠PBQ＝90° 所以△BPQ是等腰直角三角形 所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45 因为PA=a，PB=2a，PC=3a 所以PQ＝2√2a，CQ＝a 所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2 所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2 所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90° 所以∠BQC＝90°＋45°＝135° 所以∠BPA＝∠BQC＝135° 作BM⊥PQ 则△BPM是等腰直角三角形 所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a 所以根据勾股定理得： AB^2＝AM^2＋BM^2 ＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2 ＝[5＋2√2]a^2 所以AB＝[√(5＋2√2)]a 三个已知距离为1、2、3的问题： 2、在正方形ABCD中有一点P，PA=2，PB=4，角APB=135度，求PC的长？

解： 将△ABP旋转到△BCM，连接PM 显然BP＝BM＝4，CM＝PA＝2，∠ABP＝∠CBM，∠BMC＝∠APB＝135° 所以∠PBM＝∠ABC＝90° 所以△PBM是等腰直角三角形 所以PM＝√2*PB＝4√2，∠PBM＝45° 所以∠PMC＝135°－45°＝90° 所以三角形是直角三角形 根据勾股定理得：PC^2＝PM^2＋CM^2＝36 所以PC＝6 3、有正方形ABCD,E是其内一点，且E到B,C,D距离之比为3：2：1，求角CED=？ 解： 将△CDE绕C点旋转90°使CD与CB重合，E点旋转后到F点，连接EF 因为△CDE≌△CBF 所以DE＝BF，CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，∠CED＝∠CFB 因为四边形ABCD是正方形 所以∠BCD＝90° 所以∠DCE＋∠BCE＝90° 所以∠BCF＋∠BCE＝90° 即∠ECF＝90° 所以△CEF是等腰直角三角形 所以EF＝√2*CE，∠CFE＝45 因为BE∶CE∶DE＝3∶2∶1 所以可设BE＝3K，CE＝2K，DE＝K 所以EF＝2√2K，BF＝K

几何变换——旋转变换

几何变换一 ——旋转变换 1.在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠DAB . (1) 如图1，当∠DAB =120°，∠B =∠D =90°时，求证：AB+AD=AC . (1) 如图2，当∠DAB =120°，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明； （2）如图3，当∠DAB =90°时，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需证明 . 2.(1)已知：如图1，A B C ?是⊙O 的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点， 求证：P A P B P C =+ (2) 如图2，四边形A B C D 是⊙O 的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点， 求证 : PA PC =+ (3) 如图3，六边形A B C D E F 是⊙O 的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请探究P A P B P C 、、三者之间有何数量关系，并给予证明. 3.正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上一点，如果BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数。 A B C D 图2 A B C D 图1 A B C D 图3 图1 图2 图3

4.请阅读下列材料： 已知：如图（1）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB = AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45°.探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系. 小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D ， 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题： （1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数 量关系式，并对你的猜想给予证明； 图（1） （2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线 段CB 延长线上时，如图（2），其它条件 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？ 请说明你的猜想并给予证明. 5.（1）如图1，图2，图3，在A B C △中，分别以A B A C ，为边，向A B C △外作正三角形，正四边形，正五边形，B E C D ，相交于点O ． ①如图1，求证：A B E A D C △≌△； ②探究：如图1，B O C ∠= ； 如图2，B O C ∠= ； 如图3，B O C ∠= ． （2）如图4，已知：A B A D ，是以A B 为边向A B C △外所作正n 边形的一

从旋转变换角度解决初中几何中的几类典型问题

从旋转变换角度解决初中几何中的几类典型问题 发表时间：2015-12-03T09:19:49.380Z 来源：《素质教育》2015年12月总第190期供稿作者：张艳[导读] 新疆石河子第十六中学利用变换思想解决有关数学问题，把静止的问题转换成动态的，可以拓展学生的想象空间，挖掘知识间的内在联系，培养数学思维能力。 张艳新疆石河子第十六中学832000 摘要：利用变换思想解决有关数学问题，把静止的问题转换成动态的，可以拓展学生的想象空间，挖掘知识间的内在联系，培养数学思维能力。 关键词：旋转几何典型问题 “图形旋转”是新课程中数学新增加的内容，旋转的基本性质是指一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。旋转图形可以利用变换思想解决有关数学问题，把静止的问题转换成动态的，可以拓展学生的想象空间，挖掘知识间的内在联系，培养数学思维能力。 一、旋转变换中一些基本题型例析 先来了解一下旋转变换中的的“保角性”：在旋转变换下，图形上的对应线段也旋转了与旋转角相同的角度。 例1：如下图，CD=CA,∠DCA=∠BCE,EC=BC,指出图中与∠DCA相等的还有那些？ 解析：用旋转的视角看，△DEC可以看做是△ABC绕点逆时针旋转一定角度得到，线段DE于AB的夹角等于∠ACD。所以与∠ACD相等的角还有∠BFE和∠AFD。 我们还可以把图一作为基本图形，将其运用到解题之中。 例2：如下图，△ABC、△BDE都是等边三角形，A、B、D在同一条直线上，连接CD、AE，CD、AE相交于F，求∠CFA的度数。 解析：上图中△BAE可以看做是由△BCD绕点B逆时针旋60°得到的，由“保角性”知DC、AE的夹角∠CFA=60° 这类问题一般是以等边三角形或正方形或者等腰三角形为载体呈现的。本题中，连接BE、AD，则△BCE，△ACD都是等腰三角形，它们共顶角顶点，而且顶角相等。共顶角顶点的两个相似的等腰三角形，是这个基本图形常见的呈现载体，解题时既要关注载体的外部结构，又要从载体内部发现基本图形。 二、首先从旋转变换中的基本题型解有关角度大小问题 例3：如下图，已知B、A、C在同一条直线上，AB绕点A逆时针旋转角度α得到AD，AC绕点A顺时针角度α得到AE。直线CD、BE相交于点F，连接AF。猜想∠AFC的度数（用含α的式子表示），证明你的猜想。 解析：两条线段同一个点旋转相同的角度，形成共顶角顶点的两个相似的等腰三角形。此题中“基本形”较容易观察，△DAC可以看作是由△BAE绕点A逆时针旋转的角度α得到的，由“保角性”知直线DC、BE的夹角等于α，即∠DFE=α。因为△BAE≌△DAC，所以△BAE中BE边上的高等于△DAC中DC边上的高。所以FA平分∠CFB, 所以∠AFC=1/2（180°-α）。 三、用旋转变换中的基本图形解有关面积问题 例4：如下图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC、BD。若OA=3㎝,OC=1㎝，求阴影部分的面积。 解析：此题阴影部分的面积是一个不规则图形，直接求解难度较大。上图中连接AB、CD，则△AOB与△COD是两个相似的等腰直角三角形，共顶角顶点，且顶角相等，∠AOB=∠COD=90°在这两个载体中不难发现“基本形”，△BOD可以看作△AOC绕O点顺时针旋转90°得到的。故所求的面积为扇形与扇形的面积之差，所以阴影部分的面积为2∏。 总之，在千变万化的数学题中，对同一类形的数学题，它总会存在一定的规律性，只要我们善于发现和总结，让学生在图形的变换中感悟到动与静，变与不变这种辩证统一思想，就可以不断提高学生的探究能力，同时数学学习也会变得生动、有趣。 参考文献 [1]史宁中《数学课程标准(修订稿)》。 [2]张泉《世纪金榜》.北师版.九年级数学上册。 [3]中学数学教学考试研究组《中考数学学与练》.新疆青少年出版社。 [4]《中学数学》杂志.2008，第2期。

中考数学几何变换法-旋转变换解题技巧

中考数学十大解题思路之几何变换法在数学问题的研究中，常常需要运用到变换法。几何变换就是几何图形在平面上满足某种条件的运动。运用几何变换可以把分散的点、线段、角等已知图形转移到恰当的位置，从而使分散的条件都集中在某个基本图形中，建立起新的联系，从而使问题得以转化解决。 ●平移变换（示例详见《2013中考数学十大解题思路之几何变换法-平行变换》） ●对称变换（示例详见《2013中考数学十大解题思路之几何变换法-对称变换》） ●旋转变换 第一节平移变换 所谓“平移变换”是指在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移变换，简称平移。图形平移的主要因素是平移方向和平移距离。平移变换后的图形与原图形是全等形，对应线段相等，对应角相等。平移变换法通常用于等腰梯形、正方形、矩形中平行线的辅助线作法及简单图形的平移以及函数图象的平移等有关知识巾，特别是进行图案设计及日常生活问题的解决中。 第二节对称变换 对称变换就是将某一图形变到关于直线对称的另一图形的过程，称为该图形关于直线的对称变换。变换后的图形与原图形是全等形，对应线段相等，对应角相等，对称图形上每一对对称点的连线被对称轴垂直平分。对称变换经常用于等腰三角形、等边三角形、特殊平行四边形、梯形及圆等图形中。 第三节旋转变换 在平面内，某一图形绕一个中心旋转若干角度后得到另一个图形，这种变换称为旋转变换。旋转后的图形与原图形是全等形，对应线段相等，对应角相等，旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等，任意两条对应线段的夹角等于旋转角。 旋转变换法主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为解题创造条件，旋转变换法经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。

初三几何旋转变换(可编辑修改word版)

初三几何——旋转图形 一．解答题（共10 小题） 1．（2013?潍坊）如图1 所示，将一个边长为2 的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1 的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋 转至CE′F′D′，旋转角为a． （1）当点D′恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值； （2）如图2，G 为BC 中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D； （3）小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a 的值；若不能说明理由． 2．（2013?福州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC 经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD． （1）△AOC 沿x 轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是个单位长度；△AOC 与△BOD 关于直线对称，则对称轴是；△AOC 绕原点O 顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是度； （2）连结AD，交OC 于点E，求∠AEO 的度数．

3．（2013?毕节地区）四边形ABCD 是正方形，E、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE?△ABF； （2）填空：△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到； （3）若BC=8，DE=6，求△AEF 的面积． 4．（2013?北京）在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD． （1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）； （2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．