山东省实验中学高中数学竞赛辅导——不等式部分

重要不等式应用汇总

1． 排序不等式：

设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则

..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++- 2． 均值不等式：当+∈R a i （n i ,2,1=）时，有：

n

a a a n

a a a a a a a a a n

n n

n

n n

2

2

22

1212121111+++≤

+++≤≤+++

3． 柯西不等式：设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((

21

1

21

2i n

i i n

i i

n i i b a b

a ∑∑∑===≥

等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ. 从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式 变形：（1）设+

∈∈R b R a i i ,则

.)

()(11212∑∑∑===≥n

i i n

i i n

i i

i

b a b a

（2）设i i b a ,同号，且,0,≠i i b a 则.)

()(1121∑∑∑===≥

n

i i i n

i i n

i i

i b a a b a

4． 琴生（Jensen ）不等式：若)(x f 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈

)].(...)()([1

)...(

2121n n x f x f x f n

n x x x f +++≤+++

5．幂均值不等式：

设α)(0+

∈>>R a i β 则 .)...()...(1

211

21βββ

ββαααααM n

a a a n a a a M n

n =+++≥+++=

6. 切比雪夫不等式：

设两个实数组n a a a ≤≤≤...21，n b b b ≤≤≤...21则

)....(1

)...(1

22111

1

1121n n n

i i

n i i n n n b a b a b a n

n

b

n

a b a b a b a n

+++≤

?

≤+++∑∑==- （该不等式的证明只用排序不等式及

∑∑==?n i i

n

i i

b a 1

1

的表达式就可得证）

7．一个基础不等式：

y x y x )1(1αααα-+≤- 其中]1,0[,0,∈≥αy x ,若y x ,中有一个为零，则结论成立

8．赫尔德（Holder ）不等式：设 ).,...2,1(0,n k b a k k =≥ 1,≥q p 且

11

1=+q

p ，则 q

n

k q k

p

n

k p k

k

n

k k b a b

a 11

11

1

)()(∑∑∑===?≤（等号成立当且仅当q k p k tb a =）

*9.与对数函数有关的一个不等式：

x x x

x

<+<+)1ln(1， .0>x （该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性）

*10．三角函数有关的不等式：x x x tan sin << )2

,0(π

∈x

*11．绝对值不等式: 设C a a a b a n ∈ ,,,,21，则有：│|a |-|b |│≤│a +b │≤│a │+│b │；

│n a a a +++ 21│≤n a a a +++ 21

*12．舒尔（Schur ）不等式：

设+

∈R z y x ,,，则0))(())(())((≥--+--+--y z x z z z y x y y z x y x x *13. 闵可夫斯基（Minkowski ）不等式：

如果n x x x ,......,,21与n y y y ,......,,21都是非负实数1≥p ， 那么p

n

i p i

p

n

i p

i

p

p

i n

i i y x y x 11

11

11

)()())((∑∑∑===+≤+

14. 贝努利不等式

（1）设2,,2,1,1≥=->n n i x i 且同号，则

∑∏==+>+n

i i

n i i

x

x 1

1

1)1(

（2）设1->x ，则（ⅰ）当10<<α 时，有x x αα

+≤+1)1(；

（ⅱ）当1>α或0<α 时，有x x αα+≥+1)1(，上两式当且仅当0=x 时等号成立。 不等式（1）的一个重要特例是)2,,0,1(1)1(≥∈≠->+>+n N n x x nx x n 15.艾尔多斯—莫迪尔不等式

设P 为△ABC 内部或边界上一点，P 到三边距离分别为PD ，PE ，PF ，则

)(2PF PE PD PC PB PA ++≥++当且仅当△ABC 为正三角形，且P 为三角形中

心时上式取等号。这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式 16. 外森比克不等式：

已知三角形的边长为a ,b ,c ，其面积为S ，求证S c b a 342

2

2

≥++，当且仅当a =b =c 时取等号

其他不等式综合问题 例1：（第26届美国奥数题）设a 、b 、c ∈R +，

求证：abc

abc a c abc c b abc b a 1

111333333≤

++++++++

推广1：设a 、b 、c 、d ∈R +，求证：abcd

abcd c b a 1

13

3

3

≤∑

+++

推广2：设a i ∈R +(i=1、2、3，…，n),求证：∏≤

∑∑∏+==≠=n

i i

n

i k

i n

i i

n i

a a a 11

1

11

例2：设x 、y 、z ∈R +，求证：.12

22

222222≥++++++++xy

y x z zx x z y yz z y x

推广1：设a i ∈R +，(I=1,2,3,…，n)求证：.11

≥∑∑∏+=≠≠n

i i

k i

k k

n k

n

i a a a

推广2：设xyz ∈R +，求证：

2

3

121111*********+≥

+???+++++???++++???++++-+++-+++-++n y y x y x x z x x z x z z y z z y z y y x n n n n n n n n n n n n n n n

例3：设x 、y ∈（0，1），求证：

xy

y x +≤

+++12

111122。（9）

推广1：x i ∈（0，1）(i=1、2、3，…，n),求证：∏+≤∑

+==n

i i

n

i n i x n

x 1

1111

推广2：x i ∈（0，1）,(i=1、2、3，…，n),求证：.111111

12

∑+≤∑+=+=n i i i n

i i x x x

推广3：x i ∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n ),求证：.111111

12

∑+≥∑+=+=n i i i n

i i

x x x （x n+1=x 1）

例4．已知a,b,c,m 为正数．求证：a b c a m b m c m

b c a b m c m a m

+++++≥++

+++．

例5．设正数x,y,z,a,b,c 满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c ,求函数f (x,y,z )=z

z y y x x +++++111222的最小值.

例6．设n 是给定的正整数，且n ≥3,对于n 个实数x 1,x 2,…,x n ，记|x i -x j |(1≤i

例7．设n 是一个固定的整数，n ≥2 (Ⅰ)确定最小的常数c 使得不等式

41

12

2

)()(∑∑=≤<≤≤+n

i i n

j i j i j

i

x c x x x

x 对所有的非负实数x 1，x 2，…，x n 都成立；(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的

常数c ，确定等号成立的充要条件。

例8．（2007年CMO 试题5）设有界数列)1}({≥n a n 满足 3,2,1,2007

21

12006

2=+++<

∑

+=n n k a a n n

k k n 求证： ,3,2,1,1

=

a n

相关练习：

1.设+

∈R c b a ,, 且 ,1=abc 求证 .3

33222c b a c b a ++≤++

2.设,1).,...,2,1(,01

==>∑=n

i i

i x

n i x 求证:.1

11

1

-≥

-∑

∑

==n x x x n

i i

n

i i

i

3.已知c b a ,,为满足1=++c b a 的正数，求证：.4

27

111≥+++++ab c ca b bc a

4. 若 z y x ,,均大于1-，求证 .211111122

2222≥+++++++++++=y

x z x z y z y x J

5. 已知正数 n a a a ,......,,21，n b b b ,......,,21满足条件：1............2121=+++=+++n n b b b a a a

求 n

n n b a a b a a b a a ++++++2222

2

1121......的最小值。

6. 设z y x ,,为正数，且1543=++z y x ，求x

z z y y x ++

+++1

11的最小值。

7. 设1,,,,=∈+

abcd R d c b a 求证2)

1(1

)1(1)1(1)1(1≥+++++++a d d c c b b a

8. 设正数z y x c b a ,,,,,满足c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+,,，

求函数z

z y y x x z y x f +++++=111),,(2

22最小值

9. 证明：对任意自然数n ，成立不等式 .3....432

10. 非负数n a a a ,...,,21中最大的一个为a ，证明不等式

4

)...( (22212)

2221a n a a a n a a a n n +

+++≤+++ （并给出等号成立的条件）

11.已知 )2;,...,2,1(,≥=∈n n i R x i 满足 0,1||1

1

==∑∑==n i n i i i x x ，求证.2121||1

n

i x n

i i -≤∑

=

12.非负实数d a ,和正数c b ,满足d a c b +≥+，求证 .2

1

2-≥+++b a c d c b

13.若z y x ,,为非负实数，满足1=++z y x ，证明 .27

720≤-++≤xyz zx yz xy

14．ABC ?的三边c b a ,,满足1=++c b a ，证明.3

718)(52

2

2

≥+++abc c b a

15．设n x x x ,...,,21都是正数，求证

(211)

221

32

2221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++-

16．设实数z y x ,,都不等于1，1=xyz ，（1）求证：

;1)1()1()1(2

2

2222≥-+-+-z z y y x x （2）证明：存在无穷多组三元有理数组),,(z y x 使得上式等号成立。

17．n 个正数12,,,n x x x ，它们的和是1.求证：2222

1121223111.2

n n n n n x x x x x x x x x x x x --++++≥++++

18．设整数.3>n 非负实数n a a a ,...,,21满足2...21=+++n a a a ，

求2

12

123222111...11a a a a a a a a n n n ++++++++-的最小值。

19．已知,1,,,=∈+

xyz R z y x 且,1)1(,1)1(,1)1(>+>+>+y z x y z x

求证.31

11)(2+++≥++z

y x z y x （怎样利用条件.1=xyz ）

20．设d c b a ,,,为正实数，且满足1=+++da cd bc ab ，

求证：.3

1

3333≥+++++++++++c b a d d b a c d c a b d c b a

21．已知+

∈N n 且2≥n ，求证：.2

221121...413121174<--++-+-

22．设w v u ,,均为正实数，满足条件1≥++vu w wu v vw u ，试求w v u ++的最小值

23．已知正实数d c b a ,,,满足1=abcd ，.a

d d c c b b a d c b a +++>

+++ 证明：...

d a c d b c a b d c b a +++<+++

24．求函数x x x y +-++=1327的最大和最小值。

25． 求证不等式： .21

ln )1

(

112

≤-+<-∑=n k k n

k

26．设c b a ≤≤是直角三角形的三边长，求最大常数K ，

使得Kabc b a c a c b c b a ≥+++++)()()(2

22对于所有的直角三角形都成立

课后练习：

（一）代数不等式讨论题 1．求证：n n n <-++++<1

21312112 （2≥n ）

2．求证：)(1

21312112

22+∈-<++++Z n n n

3．若1,,0≤≤c b a ，求证：

1)1)(1)(1(1

11≤---+++++++++c b a b a c a c b c b a

4．已知+

∈R c b a ,,，求证：3

)

(c b a c

b

a

abc c b a ++≥

5．设12

2

2

2

=+++d c b a ，求证：

6)()()()()()(444444≤+++++++++++d c d b c b d a c a b a

6．设2,,1≥∈>n Z n a ，求证：n

a a n 11-<-

7．设122≤+y x ，求证：2222≤-+y xy x 8．设1,,0>∈>>n Z n b a ，求证：n n n b a b a -<-

9．设),2,1}({ =i a i 是互不相同的正整数序列，证明：21

31

51

7)(2∑∑∑===≥+n

i i n i i n i i a a a

10．已知+

+

∈=∈Z p n i R a i ,2,1, ，求证：n p

p n

p

n

p n p

p p

p a a a a a a a a a a a +++≥+

+

++

++-++ 211

1113

12

2

11

11．设,,2,1,0n i a i =>，且11

=∑=n

i i a ，求证：∑=+≥+

n

i i i n n

a a 1

22

2)1(1)1(

12．设,,2,1,0n i a i =>，求证：n

a

n

a

n

i i

n

i i

∑∑==≤

1

21

13．设,,2,1,n i Z a i =∈+

，且互不相等，求证：∑∑==≤n i i

n

i i

a i 1211

14．设+

∈R c b a ,,，求证：2

3

≥+++++b a c a c b c b a

15．设+

∈R c b a ,,，求证：))()((b a c a c b c b a abc -+-+-+≥

16．设)4,3,2,1(0=≤

1

44332214321≤+++-+++a

a a a a a a a a a a a a a

17．求证：从任意三个正数中总能选出两个数y x ,，使得110≤+-≤xy

y x 成立

18．设{n a }是满足 ≤≤≤≤=n a a a 101的实数序列，而{n b }由下列定义的实数序

列：∑=--=n k k k k n a a a b 1

11)1(，求证：+

∈?Z n 有20<≤n b 成立

19．设R z y x ∈,,，求证：])())[((22222222

zx yz xy z y x z y x ++-++++

22222)]()[()(zx yz xy z y x z y x ++-++++≥

20．已知0,102=+<

12log )(log +≤+a y x a a a

21．已知11

1,,=+∈+b

a R

b a ，求证：1222)(,++-≥--+∈?n n n n n b a b a Z n

22．设n

n n x x x x 1

,510+

==+，求证：1.45451000<

23．设14324321,2x x x x x x x x ≥++≥≥≥≥，求证：4321243214)(x x x x x x x x ≤+++

24．已知]2,2[,-∈∈+

u R v ，求证：8)92()(222≥--+-v

u v u

25．设R c b a c b a ∈2

22111,,,,,，满足2

222211121,,0,0b c a b c a a a ≥≥>>，

求证：2

212121))()((b b c c a a +++

26．设n x x x n Z n 21,,2,≥∈为正数，并且∑=1i x ，求证：∑∑-≥

-1

1n x x x i

i

i

（二）几何不等式讨论题

1．在?ABC 中，P 、Q 、R 将其周长三等分，P 、Q 在AB 边上，求证：9

2>??ABC

PQR S S

2．设c b a ,,为?ABC 三边长，求证：)(4)(2ca bc ab c b a ++<++

3．求证：在?ABC 中，3

π

≥++++c b a cC bB aA

4．?ABC 三边长分别是a 、b 、c ，面积为S ，其内一点P 到三边距离分别为x 、y 、z ，试求xyz 的最大值

全国高中数学竞赛专题-不等式

全国高中数学竞赛专题-不等式 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-?<>-?≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a （对称性） （2）c b c a b a +>+?>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈>>?>> 对两个以上不等式进行运算的性质. （1）c a c b b a >?>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+?>> （3）.,d b c a d c b a ->-?<> （4）.,,0,0bc ad d b c a c d b a >>?>>>> 含绝对值不等式的性质： （1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-?≤?>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥?≥?>≥或 （3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 1．比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。） （1）差值比较法（原理：A － B ＞0 A ＞ B ．） 例1 设a, b, c ∈R +，

山东省济南市济北中学2021届高三历史上学期11月月考试题.doc

山东省济南市济北中学2021届高三历史上学期11月月考试题 说明：满分100分，时间90分钟。分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（综合题）两部分，Ⅱ卷 答案请写在答题纸上。 第Ⅰ卷（单项选择题，共15题，共45分） 1.从殷商时期的“唯天监下典厥（道）义”，到西周时期的“遵王义”，再到春秋战国时期的“一人一义”，即思想家们共用“义”的概念名称，均从“义”之“亲亲尊尊”内核人手进行理论改造，使“义”的性质及内涵发生了非常明显的变化。这反映出春秋战国时期 A. 人本文化的会通精神流行 B. 诸子思想具有同源异流特征 C. 儒家思想正统地位的确立 D. 士人的民本意识正在形成 2.西汉惠帝“复弛商贾之律”，鼓励盐铁民间生产。东汉和帝下诏“罢盐铁之禁，纵民煮铸，入税县官如故事”，终东汉之世，一直允许私人生产和销售盐铁。这反映出汉代 A. 逐步放弃抑商政策 B. 通过行政手段促进工商业发展 C. 盐铁专卖制度解体 D. 工商业者地位得到根本性转变 3.钱穆在《中国历代政治得失》中指出:若张居正在汉唐宋三代，那是一好宰相。依明代制度论，张居正是一内阁学士，不是政府中最高领袖，不得以内阁学士而擅自做宰相，这是明代政制上最大的法理。钱穆意在说明明代 A. 废除丞相违背潮流 B. 政治体制运行特点 C. 吏治败坏权臣弄权 D. 思想批判风气剧变 4.在1830年以前，中国人在对外贸易上经常是出超，白银不断地从印度、英国和美国向中国输出。可是从1833年，特别是1840年以来，由中国向印度输出的白银，几乎使天朝帝国的银源有枯竭的危险。这主要反映了 A. 鸦片输入危害巨大 B. 传统的手工业衰落 C. 列强侵华打开大门 D. 闭关锁国政策破产 5.清朝初期的思想家唐甄认为，宋明以来的学术文化风气是“守诗书之恒训，为无实之美言”。宋明理学家们所谓的“通经”，绝不是“于《易》观阴阳，于《书》观治法，于《诗》观美恶，于《春秋》观邪正，于《礼》观言行”。由此可知，唐甄思想的特征是 A. “厚古薄今” B. “崇本抑末” C. “经世致用 D. “以民为本”

高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式

不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 竞赛中常用的重要不等式 【内容综述】 本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用 【要点讲解】 目录§1 柯西不等式 §2 排序不等式 §3 切比雪夫不等式 ★ ★ ★ §1。柯西不等式 定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即 等式当且仅当时成立。 本不等式称为柯西不等式。 思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。 证明1 ∴右-左= 当且仅当定值时，等式成立。 思路2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。

证明2 当时等式成立；当时，注意到 =1 故 当且仅当 且 （两次放缩等式成立条件要一致）

即同号且常数， 亦即 思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。 证明3 构造函数 。 由于恒非负，故其判别式 即有 等式当且仅当常数时成立。 若柯西不等式显然成立。 例1 证明均值不等式链： 调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。 证设本题即是欲证： 本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法 (1)先证① 注意到欲证①,即需证 ② 此即 由柯西不等式,易知②成立,从而①真

高中数学竞赛_集合 函数 不等式 导数

专题二 集合 函数 不等式 导数 一 能力培养 1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想; 4,运算能力; 5,转化能力. 二 问题探讨 [问题1] 已知{3}A x x a =-≤,2{780}B x x x =+->,分别就下面条件求a 的 取值范围: (I)A B =?;(II)A B B =. [问题2]求函数()a f x x x =+ 的单调区间,并给予证明. [问题3]已知()1x f x e ax =--. (I)若()f x 在定义域R 内单调递增,求a 的取值范围; (II)若()f x 在(,0]-∞上单调递减,在[0,)+∞上单调递增,求a 的值; (III)设2()22g x x x =-++在(II)的条件下,求证()g x 的图象恒在()f x 图象的下方. [问题4]设11()lg 21x f x x x -=+++. (I)试判断()f x 的单调性; (II)若()f x 的反函数为1()f x -,证明1()0f x -=只有一个解; (III)解关于x 的不等式1 1[()]22 f x x -<.

三 习题探讨 选择题 1已知函数()2x f x =,则12(4)f x --的单调减区间是 A,[0,)+∞ B,(,0]-∞ C,[0,2) D,(2,0]- 2已知集合M={01}x x ≤≤,N={01}x x ≤≤,下列法则不能构成M 到N 的映射的是 A,2y x = B,sin y x = C,tan y x = D,y 3已知函数(1)()(1)x x f x x x ≥?=?-?,已知()1f a >,则a 的取值范围为 A,(1,1)- B,(,1)(1,)-∞-+∞ C,(,2)(0,)-∞-+∞ D,(1,)+∞ 6对于函数32()3f x x x =-,有下列命题:①()f x 是增函数,无极值;②()f x 是减函数, 无极值;③()f x 的增区间是(,0)-∞,(2,)+∞,()f x 的减区间是(0,2);④(0)0f =是极 大值,(2)4f =-是极小值.其中正确的命题有 A,一个 B,二个 C,三个 D,四个 填空题 7函数2(2)log x f x =的定义域是 . 8已知2(1cos )sin f x x -=,则()f x = . 9函数2log (252)x y x x =-+-单调递增区间是 . 10若不等式2log 0(0,1)a x x a a -<>≠对满足102 x <<的x 恒成立,则实数

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立.

（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1 2 12...n r r n r S a b a b a b =+++。 不等式 1 2 12...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到 最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1） 事实上， ()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥ 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不 变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了 1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++

初中数学竞赛专题：不等式

初中数学竞赛专题：不等式 §5.1 一元一次不等式（组） 5.1.1★已知2(2)3(41)9(1)x x x ---=-,且9y x <+,试比较1π y 与 10 31 y 的大小. 解析 首先解关于x 的方程得10x =-.将10x =-代入不等式得109y <-+,即1y <-.又因为110π 31 <,所以110π 31 y y > 5.1.2★解关于x 的不等式 233122x x a a +--> . 解析 由题设知0a ≠,去分母并整理得 (23)(23)(1)a x a a +>+-. 当230a +>,即3 (0)2 a a >-≠时,1x a >-； 当230a +=,即32 a =-时,无解； 当230a +<,即32 a <-时,1x a <-. 评注 对含有字母系数的不等式的解,也要分情况讨论. 5.1.3★★已知不等式(2)340a b x a b -+-<的解为49 x >,求不等式(4)230a b x a b -+->的解. 解析 已知不等式为(3)43a b x b a -<-.由题设知 20, 434.29a b b a a b -等价于 721 ()2028 a a x a a -+->, 即5528ax a ->,解得14 x >-. 所求的不等式解为14 x >-.

5.1.4★★如果关于x 的不等式 (2)50a b x a b -+-> 的解集为10 7 x < ,求关于x 的不等式ax b >的解集. 解析 由已知得 (2)5a b x b a ->-,① 710x ->-.② 由已知①和②的解集相同,所以 27, 510, a b b a -=-?? -=-? 解得 5, 3. a b =-?? =-? 从而ax b >的解集是3 5 x <. 5.1.5★求不等式 111 (1)(1)(2)326 x x x +---≥ 的正整数解. 解析 由原不等式可得1736x ≤,所以72 x ≤是原不等式的解.因为要求正整数解,所以原不等式的正整数解为1x =,2,3. 5.1.6★★如果不等式组90, 80x a x b -?? -

高中数学竞赛均值不等式讲义

均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.

高中数学竞赛解题方法篇不等式

高中数学竞赛解题方法篇 不等式 The pony was revised in January 2021

高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++(倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立. （说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值 1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1） 事实上， 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 即1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++. 例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3 ()a b c a b c a b c abc ++≥. 思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有： 以上两式相加，两边再分别加上lg lg lg a a b b c c ++

高中学生动员大会发言稿

高二年级学习动员大会讲话稿 山东省济北中学吴琼 “曾经年少爱追梦，一心只想往前飞，走遍千山和万水，一路走来不能回”，蓦然回首我们已走过了高一，跨入了高二，踏上了新的征程，继续追寻我们的梦想！ 青春年少，正是多梦的季节。有梦就有方向，有梦就有希望，有梦就有追求！今天下午，我们高二年级一级部600多名同学为了一个梦想聚在一起，这个梦就是2021年我们在座的各位同学雄赳赳气昂昂地走进梦寐以求的大学殿堂！ 生活若剥去理想、幻想，那生命便只是一堆空架子。梦想是令人神往的，梦想是使人陶醉的，但毕竟只是梦想，要想梦想成真，我们必须回到现实来，脚踏实地、认认真真地搞好每天的学习生活，为此，我想与同学们聊几个问题： 1、要把梦想变为目标。梦想只是一种憧憬，一种愿望，是很模糊的。而目标是很具体的、明确的。假如你只是说想考大学那就是不明确的目标，你应该具体地确定要考那一批大学，目标越清晰，越能发挥目标的引领作用。之后，珍视你经过深思熟后确定的目标，把你的目标放在课桌上，挂在床头前，深深地印到脑海里。有没有目标是大不一样的。美国著名的成人教育专家卡耐基曾对世界上一万个不同种族、年龄与性别的人进行过一次关于人生目标的调查。他发现，只有3%的人能够确定目标，并知道怎样把目标落实，而97%的人要么根本没有目标，要么目标不确定，要么不知道如何去实现目标。十年之后，他对上述对象再一次调查，调查结果令人吃惊：属于原来那97%范围内的人除了年龄增长10岁外，在生活、工作、个人成就上几乎没有太大起色，还是那么普通和平庸，而原来与众不同的3%，却在各自的领域取得了相当的成功。同学们，请记住：“成功等于目标，其他都是这句话的注解”能把美好的梦想变为清晰具体的目标，我们才是真正向成功迈出了第一步。同学们问一问自己：你的目标确定了吗？你是否在庸庸碌碌，无所作为，虚度光阴？你是否正陷于儿女情长不可自拔，你是否觉得时间还很长，而漫不经心？“人生短短几个秋，醉生梦死凭何求？男儿当立雄心志，敢向蟾宫折桂枝。” 2、学会选择。大家先听一个故事吧：有三个人要被关进监狱三年，监狱长给他们三个一人一个可以实现的要求。美国人爱抽雪茄，要了三箱雪茄进了监狱；法国人浪漫，要了一个美丽的女子相伴；而犹太人说，他要一部与外界沟通的电话。三年过后，第一个冲出来的是美国人，只见他嘴里鼻孔里塞满了雪茄，他大喊道：“给我火，给我火！”原来，他忘记要火了。接着出来的是法国人，只见他手里抱着一个孩子，那个美丽女子手里也牵着一个孩子，肚子里还怀着第三个。最后出来的是犹太人，他紧紧握住监狱长的手说：“这三年来，我每天都与外界联系，我的生意不但没有停顿，反而增长了200％，为了表示感谢，我送你一辆劳施莱斯！”同学们，我们姑且不说这个故事的真实与否，你们说这个故事告诉我们一个什么道理呢？什么样的选择决定什么样的生活。今天的生活是以前我们的选择决定的，而今天我们的抉择将决定我们以后的生活。人生是一个不断选择，不断取舍的过程。面对纷繁复杂的世界，不同的选择，不同的取舍，就会有不同的人生。 3、自信是成功的第一要诀。 信心是成功的阶梯，灰心是成功的绊脚石，死心就是失败。人生最大的敌人是自己。朋友们，如果你对自己缺乏信心，请记住：所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道的；所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。乐观者在灾祸中看到机会，悲观者在机会中看到灾祸。有信心者，他们的字典里没有“不可能”。假如你对自己没有信心，请你每天大声地告诉自己一次“我真的很不错”“我一定行”。有人也许会说：我很想努力，我也想学好，赶超先进，但是我的基础太差的，与别人已经拉开了很大一段距离了，我还有希望吗？我想这个问题不应该问别人，而应该好好地问自己。请你记住：“不论你在什么时候结束，重要的是结束之后就不要后悔，不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要

数学竞赛选讲不等式证明

§14不等式的证明 不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-?<>-?≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a （对称性） （2）c b c a b a +>+?>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈> >?>> 对两个以上不等式进行运算的性质. （1）c a c b b a >?>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+?>> （3）.,d b c a d c b a ->-?<> （4）.,,0,0bc ad d b c a c d b a >>?>>>> 含绝对值不等式的性质： （1）.)0(||2 2 a x a a x a a x ≤≤-?≤?>≤ （2）.)0(||2 2 a x a x a x a a x -≤≥?≥?>≥或 （3）|||||||||||| b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ΛΛ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函 数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更 为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法. 例题讲解 1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++ 2．0,,>c b a ，求证：.) (3 c b a c b a ab c c b a ++≥ 3．：.222,,,3 33222222ab c ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤ ++∈+ 求证 4．设* 21,,,N a a a n ∈Λ，且各不相同， 求证：.321312112 23221n a a a a n n ++++≤+ +++ΛΛ.

【数学竞赛各阶段书籍推荐】

金牌学生推荐（可参照选择） 一、第零阶段：知识拓展 《数学选修4-1：几何证明选讲》 《数学选修4-5：不等式选讲》 《数学选修4-6：初等数论初步》 二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著 三、第二阶段：全国高中数学联赛 一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社 2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社 3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽 4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚） 5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠 6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本） 7、《概率与期望》单樽 8、《同中学生谈排列组合》苏淳 9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版 10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版 11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 12、《圆锥曲线的几何性质》 13、《解析几何》浙江大学出版社 二试 平几 1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星）

2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》 不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神 10、《重要不等式》中科大出版社 11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》 数论 （9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题） 12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》 13、奥林匹克小丛书《数论》 14、命题人讲座《初等数论》冯志刚 组合 15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》 16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》 17、命题人讲座刘培杰《组合问题》 18、《构造法解题》余红兵 19、《从特殊性看问题》中科大出版社 20、《抽屉原则》常庚哲 四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上 命题人讲座《圆》田廷彦 《近代欧式几何学》 《近代的三角形的几何学》 《不等式的秘密》范建熊、隋振林 《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选 《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军 《初等数论难题集》 命题人讲座《图论》 奥林匹克小丛书第二版《图论》 《走向IMO》

不等式高中数学竞赛标准教材

第九章不等式(高中数学竞赛标准教材) 第九章不等式 一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b a-b>0；（2）a>b, b>c a>c；（3）a>b a+c>b+c；（4）a>b, c>0 ac>bc；（5）a>b, c<0 acb>0, c>d>0 ac>bd; （7）a>b>0, n∈N+ an>bn; （8）a>b>0, n∈N+ ; （9）a>0, |x|a x>a或x<-a; （10）a, b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b∈R，则(a-b)2≥0 a2+b2≥2ab; （12）x, y, z∈R+，则x+y≥2 , x+y+z 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立； -|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为 |a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2 ≥0，所以x+y≥ ，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥ ，等号当且仅当x=y=z时成立。二、方法与例题 1．不等式证明的基本方法。（1）比较法，在证明A>B或A0）与1比较大小，最后得出结论。例1 设a, b, c∈R+，试证：对任意实数x, y, z, 有x2+y2+z2 【证明】左边-右边= x2+y2+z2 所以左边≥右边，不等式成立。例2 若alog(1-x)(1-x)=1（因为0<1-x2<1，所以 >1-x>0, 0<1-x<1）. 所以 |loga(1+x)|>|loga(1-x)|. （2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，

数学竞赛历年的不等式题

（2006年全国）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ． 112x << B ．1 , 12 x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ B ） 【解】因为2 0,1210 x x x x >≠?? +->?，解得 1 ,12x x >≠. 由2log (21)log 2 1x x x x +->- 32log (2)log 2x x x x x ?+-> 32 01 22 x x x x <? ? +->? 解得 1x >，所以x 的取值范围为 1 , 12x x >≠且. 1．（05）使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ） A 解 ： 令 6, y x =≤≤ 则 2(3)(6)2[(3)y x x x =-+-+≤- (6)] 6.x +- =0y k ∴<≤实数 D 。 （2004年全国）3．不等式2log 21 1log 32 12++ -x x >0的解集是（ C ） A ．[2，3] B ．（2，3） C ．[2，4] D ．（2，4） 解：原不等式等价于2 2331log 0222 log 10 x x ++>?-≥? 解得20log 11,24x x ≤-<∴≤<．故选C ． （2003年全国）5已知x ,y 都在区间(-2,2)内，且xy ＝-1，则函数 u =244 x -+2 99y -的最小值是D (A) 58 (B)11 24 (C)712 (D)512 （2003年全国）7不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________.7、}2 5 133215| {-<<-<<-x x x 或； （2003年全国）13已知 52 3 ≤≤x ,证1923153212<-+-++x x x

高中数学竞赛培优——不等式

不等式 例1. 已知122016,,,x x x ??? 均为正实数，则 3201621112122015122016 4x x x x x x x x x x x x x + ++???++?????? 的最小值__________ 例2. 已知二次函数()20y ax bx c a b =++≥< ，则24a b c M b a ++= - 的最小值为 ____________ 例3. 记223 (,)()(),03x F x y x y y y =-++≠ ，则(),F x y 的最小值是________ 例4. 已知[],1,3,4,a b a b ∈+= 求证：1146103 a b a b ≤+ ++< 例5. 设0,1,2,,,i x i n ≥=???约定11,n x x += 证明：() () 2 12 2 1 11 .2 11n k k k k x x x +=++ ≥ ++∑ 证明：因0,1,2,,,i x i n ≥=???令2tan ,0,,1,2,,2k k k x k n πθθ?? =∈=??????? 约定 11, n θθ+= () () 2 44 112 2 11 =cos sin 11k k k k k x x x θθ++++ +++() 2 222211 cos sin 2 2 k k k k θθ+++≥ = 所以() () 2 22112 2 11 11 =.2211n n k k k k k k k x x x ++==++ ≥++∑ ∑ 例6. 设2,,n n N +≥∈ 求证：ln 2ln 3ln 1 .23n n n ?????< ()ln 1n n <- 例7. 已知* ,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n --≤. 【证明】原不等式等价于2 ((1))x n n x n x n e n -≤-?. 当2x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立; 当2x n <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-,

初中数学竞赛专题训练之不等式含答案

初中数学竞赛专项训练（4） （不等式） 一、选择题： 1、若不等式｜x+1｜+｜x-3｜≤a 有解，则a 的取值范围是 （ ） A. 0＜a ≤4 B. a ≥4 C. 0＜a ≤2 D. a ≥2 2、已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且 d c b a <，给出下列四个不等式：①d c c b a a +>+ ②d c c b a a +<+ ③d c c b a b +>+ ④d c d b a b +<+其中正确的是 （ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 3、已知a 、b 、 c 满足a ＜b ＜c ，ab+bc+ac ＝0，abc ＝1，则 （ ） A. ｜a+b ｜＞|c| B. |a+b|＜|c| C. |a+b|=|c| D. |a+b|与|c|的大小关系不能确定 4、关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 2 3535 2只有5个整数解，则a 的取值范围是 （ ） A. -6 a C. 7 2- 无解 ③若a ≠0，则方程b ax =有惟一解 ④若a ≠0，则不等式b ax >的解为a b x >，其中 （ ） A. ①②③④都正确 B. ①③正确，②④不正确 C. ①③不正确，②④正确 D. ①②③④都不正确 7、已知不等式①|x-2|≤1 ②1)2(2≤-x ③0)3)(1(≤--x x ④03 1≤--x x 其中解集是31≤≤x 的不等式为 （ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 8、设a 、b 是正整数，且满足56≤a+b ≤59，0.9＜b a ＜0.91，则b 2-a 2等于 （ ） A. 171 B. 177 C. 180 D. 182 二、填空题： 1、若方程 12 2-=-+x a x 的解是正数，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2、乒乓球队开会，每名队员坐一个凳子，凳子有两种：方凳（四脚）或圆凳（三脚），一个小孩走进会场，他数得人脚和凳脚共有33条（不包括小孩本身），那么开会的队员共有＿＿＿＿名。

5.2课后案

山东省济北中学课后案 学科：政治 模块：生活与哲学 编者：王丽 审核：秦冬梅 § 5.2 意识的作用·课后案 1．我国地质地貌复杂，气候类型多样，自然灾害频发。因此，科学防灾减灾对经济社会发展极为重要。这里包含的道理有 ( ) ①地理环境是社会物质生活条件的基本要素 ②地质气候变化虽然复杂但一定有内在规律 ③发挥意识的能动作用就可以防灾减灾 ④顺从自然是防灾减灾的根本出路 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④ 2.2012年6月，天津市政府指出，要建立健全学校、医院、社区等人员密集场所地震安全责任制，加大宣传防震知识，这有利于全社会防灾减灾意识的普遍增强，最大限度地减轻自然灾害的损失。这表明( ) ①意识能够正确地反映客观事物 ②意识能够反作用于客观事物 ③正确的意识是我们想问题、办事情的出发点 ④正确的意识能更好地指导实践 A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 3．2012年8月20日，中国运动员李娜在辛辛那提大师赛决赛中，凭借顽强的毅力战胜德国球星科贝尔，首次获得WTA 超五赛的冠军，书写了中国网球灿烂的辉煌时刻。这说明 ( ) A ．发挥主观能动性就可以获得成功 B ．人们认识世界的活动具有创造性 C ．良好的精神状态是人们成功的关键 D ．良好的精神状态对人们的活动具有调节和控制作用 4.下列说法能体现漫画寓意的是 ( ) A ．人们对客观事物本质的认识总是不同的 B ．意识对人的生理活动有调节作用 C ．不同的人世界观不同，思维方式不同，对同一事物的认识也不同 D ．人的主观精神有时起着决定作用 5．2012年5月12日，全国道德模范与身边好人现场交流活动在北京举行。 人们用掌声和鲜花表达对道德模范和身边好人的敬佩，用泪水表达他们的感 动。组织现场交流活动的唯物论根据是 ( ) A ．物质决定意识 B ．意识对物质具有反作用 C ．人类社会的存在和发展是客观的 D ．科学的意识决定着社会的发展方向 2012年6月16日，我国成功发射“神舟”九号载人试验飞船，展开了对太空空间站的实验与研究。据此回答6～7题。 6．我国的航天探测研究大体分为三个阶段即发射载人飞船、多人飞船和建立空间站三个相连的程序。目前，我国航天探测正有条不紊地进行。我国对航天探测的分阶段进行，充分说明了 ( ) A ．事物运动是有规律的，不以人的意志为转移 B ．意识活动具有目的性和计划性 C ．意识对于人体生理活动具有调节和控制作用 D ．意识是物质世界长期发展的产物 7．近几年，我国的航天事业获得突飞猛进的发展，越来越多的天外之象被揭秘。这表明 ( ) A ．人们可以感知客观现象 B ．人们能够揭示事物的本质与规律 C ．人们能够能动地改造世界 D ．意识并非都是对客观存在的反映 8．针对小微企业融资难、负担重问题，2012年7月，福建省信息化管理部门出台了《关于支持信息产业小型微型企业快速健康发展的若干意见》，从加大资金扶持、减轻企业负担、帮扶拓展市场、提升综合服务水平等方面提出17条扶持措施。从唯物论角度看，国家对小微企业政策的调整体现了 ①一切从实际出发 ②意识的能动作用 ③具体问题具体分析 ④发展的观点 ( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 9．大力发扬“越过千山万水”“想过千方百计”“说过千言万语”“经过千难万险”“吃过千辛万苦”的“五 使用时间： 2014 年 12 月 日 班级： 姓名：