全国高中数学竞赛不等式试题

全国高中数学竞赛专题-不等式

全国高中数学竞赛专题-不等式 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-?<>-?≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a （对称性） （2）c b c a b a +>+?>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈>>?>> 对两个以上不等式进行运算的性质. （1）c a c b b a >?>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+?>> （3）.,d b c a d c b a ->-?<> （4）.,,0,0bc ad d b c a c d b a >>?>>>> 含绝对值不等式的性质： （1）.)0(||22a x a a x a a x ≤≤-?≤?>≤ （2）.)0(||22a x a x a x a a x -≤≥?≥?>≥或 （3）||||||||||||b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 1．比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。） （1）差值比较法（原理：A － B ＞0 A ＞ B ．） 例1 设a, b, c ∈R +，

高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式

不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 竞赛中常用的重要不等式 【内容综述】 本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用 【要点讲解】 目录§1 柯西不等式 §2 排序不等式 §3 切比雪夫不等式 ★ ★ ★ §1。柯西不等式 定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即 等式当且仅当时成立。 本不等式称为柯西不等式。 思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。 证明1 ∴右-左= 当且仅当定值时，等式成立。 思路2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。

证明2 当时等式成立；当时，注意到 =1 故 当且仅当 且 （两次放缩等式成立条件要一致）

即同号且常数， 亦即 思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。 证明3 构造函数 。 由于恒非负，故其判别式 即有 等式当且仅当常数时成立。 若柯西不等式显然成立。 例1 证明均值不等式链： 调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。 证设本题即是欲证： 本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法 (1)先证① 注意到欲证①,即需证 ② 此即 由柯西不等式,易知②成立,从而①真

2017高中生物竞赛初赛试题

CO 2+H 2O （CH 2O ）+O 2 光能 叶绿体A 转录 DNA 信使RNA C 酶6CO 2+12H 2O+能量B C 6H 12O 6+6H 2O+6O 2 B ．它能以亚硝酸和硝酸作为自身的组成物质，并贮存能量 C ．它能利用化学能合成有机物 D ．它能把氨氧化所释放的化学能合成ATP ，直接用于生命活动

6.下图在用低倍镜观察根尖细胞有丝分裂，能找到根细胞有丝分裂的部位是（） 7. 处于有丝分裂过程中的生物细胞，细胞内的染色体数（a），染色单体数（b），DNA分子数（c）,可表示为如图所示的关系，此时细胞内可能发生着（） A.中心粒移向两极 B.染色体移向两极 C.细胞板形成 D.DNA分子进行复制 8.将燕麦胚芽鞘尖端放在琼脂小块上，正中插入生长素不能透过的云母片，并将琼脂分成相等的两部分。将图结构置于360度匀速旋转盘上，单侧光照射，琼脂内生长素含量 （） A．左右相等 B．左多右少 C．左少右多 D．左右均无 9.给成年大鼠连续3周饲喂甲状腺激素后，与对照组比较，会出现（） A.体重增加 B.嗜睡 C.耗氧量下降 D.对低氧环境耐受能力下降 10.下列各项中，能看作是进入内环境的是（） A.精子进入输卵管与卵受精 B.牛奶进入胃中 C.注射胰岛素 D.血液中的氧进入细胞 11.人类对感冒病毒好像很无奈，感冒刚好有可能再次感冒，主要原因是（） A. 感冒病毒的变异性极大 B.人体效应T细胞失去应有功能 C.人体免疫系统遭到病毒的破坏Ｄ．人体中没有抵抗感冒病毒的物质 12.下列有关①～⑤的共同特征中，叙述正确的是 ①埃博拉病毒②毛霉③硝化细菌④发菜⑤烟草 A．①不具有细胞结构，但能发生突变 B．①②③都不含叶绿素，且都是分解者 C．②③④⑤都具细胞壁，且成分相同 D．②③都是需氧型生物，都能进行有性生殖 13.下列关于组成细胞的化学元素和化合物的叙述正确的是

2012年全国高中数学联赛模拟试题二

2012年全国高中数学联赛模拟试题二 一、选择题：每题6分，满分36分 1、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知 n m x = 50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 2、若2 6cos cos ,22sin sin = +=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A 2 2 B 2 3 C 2 6 D 1 3、P 为椭圆 19 162 2 =+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆92 2 =+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分 别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ?的最小值为（ ） A 2 9 B 32 9 C 4 27 D 34 27 4．函数2 0.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1) (D) (1,) +∞ 5．已知,x y 均为正实数，则22x y x y x y + ++的最大值为（ ） . (A) 2 (B) 23 (C) 4 (D) 43 6．直线y=5与1y =-在区间40, πω????? ? 上截曲线 sin (0, 0)2y m x n m n ω =+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） . （A ）35,n= 2 2 m ≤ （B ）3,2m n ≤= （C ）35,n=2 2 m > （D ）3,2m n >= 二、填空题：每小题9分，满分54分 7、函数)(x f 满足：对任意实数x,y ，都有 23 ) ()()(++=-y x xy f y f x f ，则=)36(f . 8、正四面体ABCD 的体积为1，O 为为其中心. 正四面体D C B A ''''与正四面体ABCD 关于点O 对 称，则这两个正四面体的公共部分的体积为 . 9、在双曲线xy ＝1上，横坐标为 1 +n n 的点为n A ，横坐标为 n n 1+的点为)(+∈N n B n .记坐标为 （1，1）的点为M ，),(n n n y x P 是三角形M B A n n 的外心，则=+++10021x x x . 10．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x . 11．设,A B 为抛物线2 2(0)y px p =>上相异两点，则2 2 O A O B AB +- 的最小值为 ___________________． 12．已知A B C ?中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立.

（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1 2 12...n r r n r S a b a b a b =+++。 不等式 1 2 12...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到 最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1） 事实上， ()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥ 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不 变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了 1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++

高中生物竞赛试题与答案

高中生物竞赛试题及答案： 高二生物竞赛初赛 1．下列说法中错误的是：（） A．人身体可看作是一个系统B．大肠杆菌菌落属于生命系统的种群层次C．一个分子或一个原子不是一个系统D．细胞是最基本的生命系统 2．下列生物中，不具有叶绿体，但具有细胞壁的是： ①噬菌体②大肠杆菌③颤藻④绿藻 A．①②B．①③c．②④ D．②③ 3．C 、H 、N 三种化学元素在组成人体的化学成分中，质量分数共占73 ％左右，而在组成岩石圈的化学成分中，质量分数还不到1 ％，这一事实说明了（） A ．生物界与非生物界具有相似性 B ．生物界与非生物界具有统一性 C ．生物界与非生物界具有差异性 D ．生物界与非生物界的元素组成是不同的4．鉴定脱脂淡奶粉是否为伪劣产品，不需用的化学试剂是（） A ．斐林试剂 B ．苏丹Ⅳ染液 C ．双缩脲试剂 D ．红墨水

5．下面为洋葱根尖分生区有丝分裂观察实验的有关图示，甲图是一组目镜标有5X和16X字样、物镜标有10X和40X字样的镜头，乙图是某同学在甲图中选用的一组能放大160倍的镜头组合所观察到的图像。欲将乙图视野中处于有丝分裂后期的细胞移至视野中央进行640倍高倍镜观察，正确的镜头组合及装片的移动方向应是（） A．（1）×（4）；左上方 B．（1）×（3）；右下方 C．（2）×（3）；右下方 D．（2）×（3）；左上方 6．下列各项组合中，能体现生命系统由简单 到复杂的正确层次是（） ①皮肤②胃黏膜③神经元④龟⑤细胞内的蛋白质等化合物⑥病毒⑦同一片草地上的所有山羊⑧一池塘的所有鱼类⑨一片森林⑩一池塘中所有的生物A．⑤⑥③②①④⑦⑨⑩ B.③②①④⑦⑩⑨ C．③②①④⑦⑧⑩⑨ D.⑤②①④⑦⑩⑨ 7．种群是指一个生态系统中( ) A.同种生物所有成熟个体的总和 B.所有生物成熟个体的总和 C.同种生物所有个体的总和 D.所有生物个体的总和

(完整word版)No.31全国高中数学联合竞赛模拟试题.doc

No.31 高中数学联赛模拟试卷 1、已知0 a b, x a b b, y b b a,则 x, y 的大小关系是. 2、设a b c , n N ，且 1 1 c n 恒成立，则 n 的最大值为 a b b a c 3、对于m 1 的一切实数 m ，使不等式 2 x 1 m(x2 1) 都成立的实数x 的取值范围是 4 、已知 f x log sin x, 0, ，设 a f sin cos ， b f sin cos ， 2 2 c f sin 2 ，那么 a、b、 c的大小关系是 cos sin 5、不等式4x 2 2 3 x 2000 . 的解集是 1999 6、函数f x x 2 2x 2 2 x 1 的最小值为 2x 7、若a,b,n R ，且a b n ，则 1 1 1 1 的最小值是. a b 8、若3x2 xy 3y 2 20 ，则 8x 2 23y 2的最大值是． 9、设n N ，求 | n 1949 | | n 1950 | | n 2001 |的最小值． 1 1 L 1 10、求s 1 ，则 s 的整数部分 2 3 106 11、圆周上写着红蓝两色的数。已知，每个红色数等于两侧相邻数之和，每个蓝色数等于两侧相邻数之和的一半。证明，所有红色数之和等于0。（俄罗斯） 12、设a, b, c R ，求证：a2 b2 c2 a b c ． b c c a a b 2 （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题 2 参考答案 1、解法 1 x a b b a ， y b b a a . a b b b b a 0 a b, a b b b b a, x y . 解法 2 x a b b b b a x y b b a a b ， a b b a, 1, x y . b y 解法 3 1 1 1 1 a b b b b a x y a b b b b a a a a b b a 1 1 0, x y . = a 0, x y 解法 4 原问题等价于比较 a b b a 与 2 b 的大小 . 由 x 2 y 2 ( x y) 2 , 得 2 （ a b b a )2 2(a b b a) 4b ， a b b a 2 b . a b b a , a b b a 2 b , x y . 解法 5 如图 1，在函数 y x 的图象上取三个不同的 y C 点 A （ b a ， b a ）、B （ b ， b ）、C （ a b ， a b ）. B 由图象，显然有 k BC k AB ，即 a b b b b a ， A (a b) b b (b a) 即 a b b b b a ，亦即 x y . O b-a b b+a x a 图 1 解法 6 令 f (t) a t t ， f (t ) 单 a t t 调递减，而 b b a ， f (b) f (b a) ，即 a b b b b a ， x y . 2、解法 1 原式 a c a c n ． n a c a c ．而 a c a c a b b c a b b c min a b b c a b b c b c a b 2 + b c a b 4 ，且当 b c a b ，即 a c 2b a b b c a b b c a b b c 时取等号． a c a c 4 ． n 4．故选 C ． a b b c min

初中数学竞赛专题：不等式

初中数学竞赛专题：不等式 §5.1 一元一次不等式（组） 5.1.1★已知2(2)3(41)9(1)x x x ---=-,且9y x <+,试比较1π y 与 10 31 y 的大小. 解析 首先解关于x 的方程得10x =-.将10x =-代入不等式得109y <-+,即1y <-.又因为110π 31 <,所以110π 31 y y > 5.1.2★解关于x 的不等式 233122x x a a +--> . 解析 由题设知0a ≠,去分母并整理得 (23)(23)(1)a x a a +>+-. 当230a +>,即3 (0)2 a a >-≠时,1x a >-； 当230a +=,即32 a =-时,无解； 当230a +<,即32 a <-时,1x a <-. 评注 对含有字母系数的不等式的解,也要分情况讨论. 5.1.3★★已知不等式(2)340a b x a b -+-<的解为49 x >,求不等式(4)230a b x a b -+->的解. 解析 已知不等式为(3)43a b x b a -<-.由题设知 20, 434.29a b b a a b -等价于 721 ()2028 a a x a a -+->, 即5528ax a ->,解得14 x >-. 所求的不等式解为14 x >-.

5.1.4★★如果关于x 的不等式 (2)50a b x a b -+-> 的解集为10 7 x < ,求关于x 的不等式ax b >的解集. 解析 由已知得 (2)5a b x b a ->-,① 710x ->-.② 由已知①和②的解集相同,所以 27, 510, a b b a -=-?? -=-? 解得 5, 3. a b =-?? =-? 从而ax b >的解集是3 5 x <. 5.1.5★求不等式 111 (1)(1)(2)326 x x x +---≥ 的正整数解. 解析 由原不等式可得1736x ≤,所以72 x ≤是原不等式的解.因为要求正整数解,所以原不等式的正整数解为1x =,2,3. 5.1.6★★如果不等式组90, 80x a x b -?? -

(完整word版)高一生物竞赛试题附答案

○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 隆师中学2017-2018学年度高一第一学期生物竞赛试卷 考试时间：90分钟；总分：100分 一、单选题（本题共25道小题，每小题2分，共50分） 1.下列有关细胞中“一定”的说法正确的是 ①光合作用一定在叶绿体中进行②有氧呼吸一定在线粒体中进行 ③没有细胞结构的生物一定是原核生物④以RNA 为遗传物质的生物一定是原核生物' ⑤所有生物的蛋白质一定是在核糖体上合成的⑥有中心体的生物一定不是高等植物 ⑦有H 20生成或有H 20参与的呼吸过程一定不是无氧呼吸 A. ①③⑤⑥ B. ②④⑥ C. ④⑤ D. ⑤⑥⑦ 2.下列是表示①②③④四个框图内所包括生物的共同特征的叙述，正确的是( ) A. 框图①内都是原核生物 B. 框图②内的生物都具有二种核酸 C. 框图③内的生物都具有细胞结构，且都有细胞壁 D. 框图④内都是真核生物，都有核膜 3.如图为黑藻细胞的细胞质环流示意图，视野中叶绿体位于液泡的右方，细胞质环流方向为逆时针，则实际上，黑藻细胞中叶绿体的位置和细胞质环流方向分别是（ ） A.叶绿体位于液泡的右方，细胞质环流的方向为顺时针 B.叶绿体位于液泡的左方，细胞质环流的方向为顺时针 C.叶绿体位于液泡的右方，细胞质环流的方向为逆时针 D.叶绿体位于液泡的左方，细胞质环流的方向为逆时针 4.下列关于细胞器化学组成的叙述，正确的是 A. 溶酶体和液泡中都含有色素和脂质 B. 中心体和叶绿体中都含有蛋白质和脂质 C. 内质网和高尔基体中都含有核酸和蛋白质 D. 线粒体和核糖体中都含有糖类和核酸 5．分析多肽E 和多肽F （均由一条肽链组成）得到以下结果： 元素或基团 C H O N 氨基 羧基 多肽E 201 348 62 53 3 2 多肽F 182 294 55 54 6 1 组成多肽E 和F 中氨基酸的数目最可能是

高中数学竞赛模拟试题一汇总

高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。

二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2

高中数学竞赛解题方法篇不等式

高中数学竞赛解题方法篇 不等式 The pony was revised in January 2021

高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++(倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立. （说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值 1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1） 事实上， 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 即1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++. 例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3 ()a b c a b c a b c abc ++≥. 思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有： 以上两式相加，两边再分别加上lg lg lg a a b b c c ++

数学竞赛选讲不等式证明

§14不等式的证明 不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-?<>-?≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a （对称性） （2）c b c a b a +>+?>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈> >?>> 对两个以上不等式进行运算的性质. （1）c a c b b a >?>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+?>> （3）.,d b c a d c b a ->-?<> （4）.,,0,0bc ad d b c a c d b a >>?>>>> 含绝对值不等式的性质： （1）.)0(||2 2 a x a a x a a x ≤≤-?≤?>≤ （2）.)0(||2 2 a x a x a x a a x -≤≥?≥?>≥或 （3）|||||||||||| b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ΛΛ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函 数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更 为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法. 例题讲解 1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++ 2．0,,>c b a ，求证：.) (3 c b a c b a ab c c b a ++≥ 3．：.222,,,3 33222222ab c ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤ ++∈+ 求证 4．设* 21,,,N a a a n ∈Λ，且各不相同， 求证：.321312112 23221n a a a a n n ++++≤+ +++ΛΛ.

浙江省高中生物竞赛试题

浙江省第四届高中生物学竞赛初赛试卷 各位参赛选手请注意： 1、在答题前，先在密封区填写姓名、学校及考号； 2、本卷满分为150分，考试时间为120分钟。 一、选择题I：（共30小题，每小题1分，计30分。每小题只有一个正确答案，请将正确答案的字母填入括号） 1、水蝇等昆虫能在水面上行走，除了昆虫本身所具有的结构外，还有一重要原因就是（） （A）水具有较强的内聚力（B）水具有较高的表面张力 （C）水具有较强的附着力（D）水是极性分子 2、哺乳动物的一个受精卵子在母体子宫内发育成胚胎，最后产出成为一个新个体。在这一过程中，它的熵值（ds）变化是（） （A）ds>0 (B)ds=0 (C)ds<0 (D)不正确 3、下列物质中，因改变结构而可能导致生物学活性丧失的是（） （A）核酸（B）淀粉（C）脂类（D）几丁质 4、下列结构中，细胞间质发达的是（） （A）骨膜（B）腺上皮（C）肠壁肌肉层（D）毛细血管壁 5、生物膜的脂类分子是靠什么键聚集在一起形成双层结构的？ （A）氢键（B）二硫键（C）疏水键（D）离子键 6、实验研究得知，在良好的水培条件下，一天内洋葱根尖分生区细胞分裂的三个高峰依次出现在0:30、10：30和14：30。为了观察到有丝分裂各期细胞的分裂相，制作洋葱根尖细胞分裂临时装片的操作程序是：（） （A）选材—>固定—>解离—>漂洗—>染色—>压片 （B）选材—>解离—>固定—>漂洗—>染色—>压片 （C）选材—>解离—>漂洗—>固定—>染色—>压片 （D）选材—>固定—>解离—>染色—>漂洗—>压片 7、NDA+被还原后携带的高能电子和质子有（）

（A）2e-和1H+ (B)2e-和2H+ （C）1e-和平共处H+（D）1e-和2H+ 8、动物胚胎学家研究蛙胚发育时，用同位素将囊胚植物半球表面的部分细胞作上标记。同位素示踪的结果，这些标记可能出现在蝌蚪的（） （A）肝脏和胰脏（B）骨胳和肌肉（C）心脏和肾脏（D）大脑和小脑 9、下图所示为有线分裂过程中染色体的运动，曲线A表示染色体的着色线粒与纺缍丝的相应的极之间的平均距离。曲线B代表（） （A）细胞分裂中后期染色体之间的距 离 （B）中心粒之间的距离 （C）染色体的染色单体之间的距离 （D）细胞分裂后期同源染色体之间的 距离 10、下列结构中，能将化学能转化为电 能是（） （Ａ）萤火虫的发光器官（Ｂ）叶绿体（Ｃ）视网膜（Ｄ）脑 11、如果把一个膨胀到最大限度的植物细胞放在“它自已的细胞液”溶液（与细胞液渗透势相等的溶液）中，则细胞（） （A）没有变化（B）水被释放，直至初始质壁分离 （C）细胞失水，直到它的水势等于周围溶液的水势（D）细胞胀破 12、显花植物孢子体是四倍体，那么胚乳是（） （A）2n (B)4n (C)6n (D)8n 13、下列四组人体细胞中，能通过细胞分裂使组织得以修复和更新的一组是（） （A）成骨细胞和白细胞（B）口腔上皮细胞和角质化细胞 （C）肝细胞和生发层细胞（D）神经元和骨胳肌细胞 14、用人工配制的植物营养液培植黄瓜，若过一段时间，营养液中缺少镁，颜色首先由绿转黄的应是（） （A）茎尖（B）新生叶（C）植株中部叶片（D）植株下部叶片

【数学竞赛各阶段书籍推荐】

金牌学生推荐（可参照选择） 一、第零阶段：知识拓展 《数学选修4-1：几何证明选讲》 《数学选修4-5：不等式选讲》 《数学选修4-6：初等数论初步》 二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著 三、第二阶段：全国高中数学联赛 一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社 2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社 3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽 4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚） 5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠 6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本） 7、《概率与期望》单樽 8、《同中学生谈排列组合》苏淳 9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版 10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版 11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 12、《圆锥曲线的几何性质》 13、《解析几何》浙江大学出版社 二试 平几 1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星）

2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》 不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神 10、《重要不等式》中科大出版社 11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》 数论 （9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题） 12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》 13、奥林匹克小丛书《数论》 14、命题人讲座《初等数论》冯志刚 组合 15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》 16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》 17、命题人讲座刘培杰《组合问题》 18、《构造法解题》余红兵 19、《从特殊性看问题》中科大出版社 20、《抽屉原则》常庚哲 四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上 命题人讲座《圆》田廷彦 《近代欧式几何学》 《近代的三角形的几何学》 《不等式的秘密》范建熊、隋振林 《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选 《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军 《初等数论难题集》 命题人讲座《图论》 奥林匹克小丛书第二版《图论》 《走向IMO》

高中生物学竞赛复赛模拟试题

生物学决赛8 Ⅰ 一、选择题： 1、在木材的切向面显示了射线的： A、高度、长度、细胞的列数 B、宽度、细胞的列数 C、高度、宽度 D、高度、宽度、细胞的列数 E、高度、细胞的列数 F、高度、长度 2、成熟花药纤维层的具有带状增厚。 A、内切向壁和横壁 B、内切向壁和径向壁 C、横壁和径向壁 D、内切向壁、横壁、径向壁 E、外切向壁和横壁 F、外切向壁和径向壁 3、藻细胞中的载色体形态结构最多样化。 A、绿藻门 B、红藻门 C、褐藻门 D、硅藻门 E、甲藻门 F、蓝藻门 4、随着叶脉越分越细,结构也愈来愈简化,其简化的趋向按先后顺序依次是： A、形成层消失、维管组织简化、机械组织减少 B、形成层消失、机械组织减少、维管组织简化 C、维管组织简化、形成层消失、机械组织减少 D、维管组织简化、机械组织减少、形成层消失 E、机械组织减少、形成层消失、维管组织简化 F、机械组织减少、维管组织简化、形成层消失 5、黄瓜是花,是由心皮发育而成的胎座,瓠果。 A、单性二个侧膜 B、两性三个中轴 C、单性三个侧膜 D、两性二个中轴 6、下列特征中,不正确的组合有： A、颈卵器植物、没有颈卵器、藤本植物、没有导管、最进化的裸子植物之一 B、离瓣花、花被花瓣状、心皮多数、合生、中轴胎座、最原始的被子植物之一 C、维管植物、二形叶、精子有纤毛、吸器细胞、最原始的裸子植物之一 D、连萼瘦果、头状花序、种类最多、分布最广、最进化的被子植物之一 7、皆由单心皮组成的雌蕊的植物是： A、白玉兰和紫罗兰 B、玫瑰和桃花 C、含笑花和油菜花 D、紫荆花和菊花 8、皆由两个心皮组成的中轴胎座的植物是： A、茄子和牵牛花 B、桂花和百合花 C、茉莉花和月季花 D、向日葵和马铃薯 9、被子植物生活史中,孢子体阶梯的第一个细胞是： A、孢子 B、配子 C、合子 D、种子 10、植物双名法规定植物的学名必须包括,完整的学名还需加上定名人的姓氏或姓氏缩写。 A、人名、地名 B、科名、种名 C、属名、种加词 D、科名、属名 11、下列组合中,正确的是： A、圆柏、竹柏、刺柏和福建柏均属柏科 B、金钱松、雪松、黄山松和陆均松皆属松科 C、人参、太子参、党参和丹参都为五加科

数学竞赛历年的不等式题

（2006年全国）2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为 A ． 112x << B ．1 , 12 x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】（ B ） 【解】因为2 0,1210 x x x x >≠?? +->?，解得 1 ,12x x >≠. 由2log (21)log 2 1x x x x +->- 32log (2)log 2x x x x x ?+-> 32 01 22 x x x x <? ? +->? 解得 1x >，所以x 的取值范围为 1 , 12x x >≠且. 1．（05）使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ） A 解 ： 令 6, y x =≤≤ 则 2(3)(6)2[(3)y x x x =-+-+≤- (6)] 6.x +- =0y k ∴<≤实数 D 。 （2004年全国）3．不等式2log 21 1log 32 12++ -x x >0的解集是（ C ） A ．[2，3] B ．（2，3） C ．[2，4] D ．（2，4） 解：原不等式等价于2 2331log 0222 log 10 x x ++>?-≥? 解得20log 11,24x x ≤-<∴≤<．故选C ． （2003年全国）5已知x ,y 都在区间(-2,2)内，且xy ＝-1，则函数 u =244 x -+2 99y -的最小值是D (A) 58 (B)11 24 (C)712 (D)512 （2003年全国）7不等式|x |3-2x 2-4|x |+3＜0的解集是__________.7、}2 5 133215| {-<<-<<-x x x 或； （2003年全国）13已知 52 3 ≤≤x ,证1923153212<-+-++x x x

全国高中生物竞赛试题【含答案】

全国中学生生物学联赛试题【复赛】 注意事项：1.所有试题使用2B铅笔在机读卡上作答； 2.试题按学科分类，单选和多选题混排，多选题答案完全正确才可得分； 3.纸质试卷80题90分，电子试卷40题60分，共计120题，150分； 4.答题时间120分钟。 一．细胞生物学、生物化学、微生物学20题21分 1.线粒体是半自主的细胞器，下列有关其蛋白质来源的描述，错误的是：（单选1分） A.线粒体可以独立合成蛋白质 B.线粒体蛋白质的大部分由核基因编码 C.线粒体外膜的蛋白质为核基因编码，内膜的蛋白质由线粒体编码 D.线粒体编码的蛋白质是细胞生命活动所必须的 2.视网膜母细胞瘤主要是由于：（单选1分） A.原癌基因Rb基因突变引起的 B.抑癌基因Rb基因突变引起的 C.原癌基因P53基因突变引起的 D.抑癌基因P53基因突变引起的 3.现代生物学研究多从‘全局’出发，研究细胞中整体基因的表达规律即生物组学，按照研究层面可进一步分成不同的组学。下列按照基因表达流程正确排列的组学为：（单选1分） A.基因组学-蛋白质组学-转录组学-代谢组学 B.基因组学-转录组学-蛋白质组学-代谢组学 C.代谢组学-蛋白质组学-转录组学-基因组学 D.代谢组学-基因组学-蛋白质组学-转录组学 4.下列哪个科学实践可以作为分子生物学诞生的标志？（单选1分） A.格里菲斯的肺炎双球菌转化 B.沃森和克里克提出DNA双螺旋结构模型 C.丹麦科学家Johannsen将‘遗传颗粒’命名为基因 D.Avery等发现遗传物质是DNA E.孟德尔发现遗传学规律

5.内膜系统处于高度动态之中，在细胞生命活动中膜融合是必须的过程。下列关于膜融合的描述，正确的是：（单选1分） A.膜融合是由热力学推动的自发过程 B.膜融合没有选择性 C.膜融合需要特定的蛋白参与 D.膜融合需要指定的脂分子参与 6.人的ABO血型抗原位于红细胞质膜上，它们在胞内合成、修饰和转运的路线可能是：（单选1分） A.核糖体-内质网-高尔基体-质膜 B.内质网-高尔基体-质膜 C.核糖体-内质网-质膜 D.细胞核-核糖体-内质网-高尔基体-质膜 7.下列有关细胞凋亡的描述，错误的是：（单选1分） A.细胞凋亡途经都是依赖于Caspases来切割底物蛋白的 B.细胞凋亡过程中细胞内容物不会外泄 C.细胞凋亡是主动地细胞死亡过程 D.细胞凋亡途径是细胞信号网络组成的部分 8.指导分泌蛋白质在糙面内质网上合成的决定因素除了信号识别颗粒和停泊蛋白外，还有：（单选1分） A.蛋白质中的内在停止转移锚定序列 B.蛋白质N端的信号肽 C.蛋白质C端的信号肽 D.蛋白质中的α螺旋 9.生物样品经过固定后就会失去生物活性，我们可以借助相差显微镜观察活细胞显微结构的细节。相差显微镜的设计利用了光线的哪种现象，从而将相差变为振幅差，实现了对活细胞和未染色标本的观察？（单选1分） A.光的干涉 B.光的反射 C.光的折射 D.光的散射 10.下面关于脂质分子性质的描述中，错误的是（单选1分） A.大多数脂质分子不宜溶于水 B.胆固醇是两亲脂质