指数函数讲义经典整理(含答案).doc
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指数函数讲义经典整理（含答案）一、同步知识梳理
知识点1：指数函数
函数y
a x ( a 0且 a
1)
叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 R
知识点2：指数函数的图像和性质
知识点 3：指数函数的底数与图像的关系
指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如
图所示，则0 c d 1 a b
，
在y
轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，
在y
轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大
即无论在y
轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大
在第一象限内，“底大图高”
知识点 4：指数式、指数函数的理解
① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算. .下载可编辑. .
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② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函
数的基础，应引起重视
③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或
方程组来求值
1
④在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像y 2 3x, y x2, y 3x 2, y 2x1等
函数均不符合形式y a x a 0且a 1
，因此，它们都不是指数函数
1
⑤ 画指数函数y a
x的图像，应抓住三个关键点：1,a , 0,1 , 1, a
二、同步题型分析
题型 1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域
例 1：已知函数，且．
（1）求 m的值；
（2）判定 f （ x）的奇偶性；
（3）判断 f （ x）在（ 0，+∞）上的单调性，并给予证明．
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明．
专题：
计算题．
分析：
（ 1）欲求 m的值，只须根据 f （ 4） = 的值，当x=4 时代入 f （ x）解一个指数方程即可；
（ 2）求出函数的定义域x|x ≠0} ，利用奇偶性的定义判断 f （ x）与 f （﹣ x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取 0＜ x1＜ x2，只要证明 f （x1）＞ f （ x2），即可．解
答：
解：（ 1）因为，所以，所以m=1．
（ 2）因为 f （ x）的定义域为 {x|x ≠0} ，又，
所以 f （ x）是奇函数．
（ 3 ）任取x1 ＞x2 ＞0 ，则
，
因为 x1＞x2＞ 0，所以，所以f（x1）＞f（x2），. .下载可编辑. .
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所以 f （ x）在（ 0，+∞）上为单调增函数．
点评：
本题主要考查了函数单调性的判断、函数奇偶性的判断，与证明及指数方程的解法．在判定函数奇偶
性时，一定注意函数的定义域关于原点对称，属于基础题．
例 2：已知函数，
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）证明： f （ x）＞ 0．
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．
专题：
计算题．
分析：
（ 1）由 2x﹣1≠0解得义域为 {x|x ≠0} ，关于原点对称． f（﹣ x）=（）（﹣x）=（）x=f （ x），故该函数为偶函数．
（ 2 ）任取x∈{x|x ≠0} ，当x ＞ 0时，2x＞20=1且x ＞ 0 ，故，从而
．当 x＜ 0 时，﹣ x＞0，故 f （﹣ x）＞ 0，由函数为偶函数，能证明
f（ x）＞ 0 在定义域上恒成
立．解答：
解：（ 1）该函数为偶函数．
由 2x﹣1≠0解得 x≠0即义域为 {x|x ≠0} 关于原点对称（ 2 分）
f （﹣ x）=（）（﹣x）=﹣（+）x
=（）x=（）x=（）x=f（x）（6分）
故该函数为偶函数．（7 分）
（2）证明：任取 x∈{x|x ≠0}
当 x＞ 0 时， 2x＞ 20=1 且 x＞ 0，
∴2x﹣ 1＞ 0，
故
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从而（ 11 分）
当 x＜ 0 时，﹣ x＞ 0，
∴f（﹣ x）＞ 0，（ 12 分）
又因为函数为偶函数，
∴f（ x）=f （﹣ x）＞ 0，（ 13 分）
∴f （ x）＞ 0 在定义域上恒成立．（14 分）
点评：
本题考查函数的奇偶性的判断和证明f（ x）＞0．解题时要认真审题，注意指数函数性质的灵活运用．
例 3：已知函数y=ax （ a＞0 且 a≠1）在 [1 ， 2] 上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求 a 的值；
（2）求 f （ x） +f （1﹣ x）的值；
（ 3）求的值．
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
专题：
综合题；函数的性质及应用．
分析：
（1）由 y=ax 单调得 a+a2=20，由此可求 a；
（2）写出 f （ x），代入运算可得；
（3）借助（ 2）问结论分 n 为奇数、偶数讨论可求；
解答：
解：（ 1）∵函数 y=ax（ a＞ 0 且 a≠1）在 [1 ， 2] 上的最大值与最小值之和为20，且 y=ax 单调，
∴a+a2=20，得 a=4，或 a=﹣ 5（舍去）；
（ 2）由（ 1）知，
∴=
===1；
（ 3）由（ 2）知 f （x） +f （ 1﹣ x） =1，得
n 为奇数时，=×1=；
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n 为偶数时，=+f （）==；
综上，=．
点评：
本题考查指数函数的单调性、最值等知识，属中档题．
题型 2：指数函数的图像变换．
例 1：已知函数 y=|2x ﹣ 2|
（1）作出其图象；
（2）由图象指出函数的单调区间；
（3）由图象指出当 x 取何值时，函数有最值，并求出最值．
考点：
指数函数的图像变换．
专题：
综合题；函数的性质及应用．
分析：
（ 1）函数 y=|2x ﹣ 2| 图象是由y=2x 的图象向下平移 2 个单位，再将x 轴下方的部分翻着到x 轴上方得到．
（ 2）结合函数的图象，可得函数的减区间和增区间．
（ 3）数形结合可得，当x=1 时， ymiin=0 ．
解答：
解：（ 1）函数 y=|2x ﹣ 2| 图象是由 y=2x 的图象向下平移 2 个单位，再将 x 轴下方的部分翻着到 x 轴上方得到，如图所示：
（ 2）结合函数的图象，可得函数的减区间为（﹣∞，1] ，增区间为（ 1，+∞）．
（ 3）数形结合可得，当x=1 时， ymiin=0 ．
点评：
本题主要考查指数函数的图象和性质综合，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
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题型 3：指数函数单调性
例 1：已知函数 f （x） =a? 2x+b ? 3x，其中常数a， b 满足 a? b≠0
（1）若 a? b＞ 0，判断函数 f （ x）的单调性；
（2）若 a=﹣ 3b，求 f （ x+1）＞ f （ x）时的 x 的取值范围．
考点：
指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
（1）分 a＞ 0， b＞0 和 a＜ 0， b＜ 0 两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；
（2）当 a=﹣ 3b 时， f （ x） =﹣ 3b? 2x+b? 3x=b（ 3x﹣ 3? 2x），分 b＞ 0， b＜ 0 两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；
解答：
解：（ 1）当 a＞ 0，b＞ 0 时，
任意 x1，x2∈R，且 x1＜ x2，则 f （ x1）﹣ f （x2） =a（﹣）+b（﹣），
∵＜，＜，a＞0，b＞0，
∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，
∴f（ x1）﹣ f （ x2）＜ 0，即 f （ x1）＜ f
（ x2），故函数 f （x）在 R上是增函数；
当 a＜ 0，b＜ 0 时，同理，可判断函数 f （ x）在 R上是减函数；
（2）当 a=﹣ 3b 时， f （ x） =﹣ 3b? 2x+b? 3x=b（ 3x﹣ 3? 2x），
则 f （ x+1）＞ f （ x）即化为 b（ 3x+1﹣ 3? 2x+1）＞ b（ 3x﹣ 3? 2x），
若 b＞ 0，则有 3x+1﹣ 3? 2x+1＞ 3x﹣ 3? 2x，整理得，解得x＞1；
若 b＜ 0，则有 3x+1﹣ 3? 2x+1＜ 3x﹣ 3? 2x，整理得，解得x＜1；
故 b＞ 0 时， x 的范围是 x＞ 1；当 b＜0 时， x 的范围是 x＜ 1．点
评：
本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．
例 2：已知定义在（﹣ 1，1）上的奇函数 f （ x）．在 x∈（﹣ 1，0）时， f （ x） =2x+2﹣
x．（ 1）试求 f （ x）的表达式；
（ 2）用定义证明 f （ x）在（﹣ 1， 0）上是减函数；
（ 3）若对于 x∈（ 0，1）上的每一个值，不等式 t ? 2x? f （ x）＜ 4x﹣ 1 恒成立，求实数 t 的取值范围．考点：
指数函数综合题；奇偶性与单调性的综合．. .下载可编辑. .
专题：
计算题；函数的性质及应用．
分析：
（ 1）由 f （ x）是定义在（﹣ 1， 1）上的奇函数可得 f （0） =0，x∈（ 0， 1）时， f （x） =﹣ f （﹣ x）=﹣（ 2x+2﹣ x）；从而写出 f （ x）的表达式；
（ 2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；
（ 3）对于 x∈（ 0，1）上的每一个值，不等式 t ? 2x? f （x）＜ 4x﹣ 1 恒成立转化为对于 x∈（ 0，1）
上的每一个值，不等式t ＞﹣恒成立，从而可得．
解答：
解：（ 1）∵ f （ x）是定义在（﹣1， 1）上的奇函数，
∴f （ 0）=0，
设∈（ 0， 1），则﹣ x∈（﹣ 1， 0），则
f（ x） =﹣ f （﹣ x）
=﹣（ 2x+2﹣ x），
故 f （ x）=；
（ 2）任取 x1，x2∈（﹣ 1， 0），且 x1＜ x2，
则 f （ x1）﹣ f （ x2） =+﹣（+）
=，
∵x1＜ x2＜ 0，
∴﹣＜0，0＜＜1，
故 f （ x1）﹣ f （ x2）＞ 0，
故 f （ x）在（﹣ 1，0）上是减函数；
（ 3）由题意， t ? 2x? f （x）＜ 4x﹣1 可化为
t ? 2x? （﹣（ 2x+2﹣ x））＜ 4x﹣ 1，
化简可得， t ＞﹣，
令 g（ x）=﹣=﹣ 1+，
∵x∈（ 0， 1），
∴g（ x）＜﹣ 1+=0，
故对于 x∈（ 0， 1）上的每一个值，不等式t ? 2x? f （ x）＜ 4x﹣1 恒成立可化为. .下载可编辑. .
t≥0．
点评：
本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．
例 3：已知函数 f （x） =|2x ﹣ 1﹣ 1| ，（x∈R）．
（ 1）证明：函数 f （ x）在区间（ 1，+∞）上为增函数，并指出函数 f （ x）在区间（﹣∞，1）上的
单调性；
（ 2）若函数 f （ x）的图象与直线y=t 有两个不同的交点A（ m， t ）， B（n， t ），其中 m＜ n，求 m+n的取值范围．
考点：
指数函数综合题．
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）函数单调性的证明，通常依据定义，步骤为：取值，作差，变形，定号，下结论，由于与指
数函数有关，求解时要利用到指数函数的单调性；
（ 2）由（ 1）可知，函数的值域为（0， 1），要使函数 f （ x）的图象与直线y=t 有两个不同的交点，
故有 t ∈（ 0， 1）又函数 f （ x）的图象与直线y=t 有两个不同的交点，所以A（ m， t ）， B（ n，t ）分
别位于直线x=1 的两侧，由m＜ n，得 m＜1＜ n，故可以求出m+n，进而由 t ∈（ 0， 1），可求 m+n的取
值范围．
解答：
解：（ 1 ）证明：任取x1∈（ 1 ， +∞），x2∈（ 1 ， +∞），且x1 ＜ x2 ，
=
，∵ x1＜ x2，∴，
∴，∴ f （ x1 ）＜ f （x2）．
所以 f （ x）在区间（ 1，+∞）上为增函数．（5 分）
函数 f （ x）在区间（﹣∞，1）上为减函数．（6 分）
（ 2）因为函数 f （ x）在区间（ 1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（﹣∞，1）
上为减函数，相应的函数值为（0， 1），由题意函数 f （ x）的图象与直线y=t 有两个不同的交点，故
有 t ∈（ 0， 1），（ 8 分）
易知 A（ m， t ）， B（n， t ）分别位于直线x=1 的两侧，由m＜ n，得 m＜ 1＜ n，故 2m﹣ 1﹣1＜ 0，2n﹣ 1
﹣1＞ 0，又 A， B 两点的坐标满足方程 t=|2x ﹣ 1﹣ 1| ，故得 t=1 ﹣ 2m﹣ 1，t=2n ﹣ 1﹣ 1，即 m=log2（ 2
﹣2t ）， n=log2 （ 2+2t ），（12 分）
故 m+n=log2（ 2﹣ 2t ） +log2 （ 2+2t ）=log2 （ 4﹣ 4t2 ），
当 0＜ t ＜1 时， 0＜4﹣ 4t2 ＜ 4，﹣∞＜ log2 （ 4﹣ 4t2 ）＜ 2．
因此， m+n的取值范围为（﹣∞， 2）．（ 17 分）
点评：
本题的考点是指数函数综合问题，主要考查函数单调性的证明，考查函数图形的性质，有较强的综合
性．依据定义，证明函数的单调性的步骤通常为：取值，作差，变形，定号，下结论
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三、课堂达标检测
检测题 1：已知函数 f （ x） =（其中e=2.71828是一个无理数）．
（1）求函数 f （ x）的定义域；
（2）判断奇偶性并证明之；
（3）判断单调性并证明之．
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分
母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．
（ 2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从 f （﹣ x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．
（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分
子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．
解答：
解： f （ x） ==1﹣
（1）∵ e2x+1 恒大于零，
∴x∈R
（2）函数是奇函数
∵f （﹣ x） ==
又由上一问知函数的定义域关于原点对称，
∴f （ x）为奇函数
（3）是一个单调递增函数
设 x1，x2∈R 且 x1＜ x2
则 f （ x1）﹣ f （ x2） =1﹣=
∵x1＜ x2，
∴
∴f（ x1）﹣ f （ x2）＜ 0
即 f （ x1）＜ f （ x2）. .下载可编辑. .
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∴f（ x）在 R 是单调增函数
点评：
本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决
问题的能力，是一个综合题目．
检测题 2：已知函数 f （ x） =2ax+2（ a 为常数）
（1）求函数 f （ x）的定义域．
（2）若 a=1，x∈（ 1， 2] ，求函数 f （ x）的值域．
（ 3）若 f （ x）为减函数，求实数 a 的取值范围．
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数的单调性与特殊点．
专题：
常规题型；转化思想．
分析：
（1）利用指数函数的定义域来考虑．
（2）利用函数 f （x）在（ 1， 2] 上的单调性求函数的值域．
（ 3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2 必须为减函数．
解答：
解：（ 1）函数 y=2ax+2 对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．
（2）因为 a=1，所以 f （ x） =2x+2．易知此时 f （ x）为增函数．
又因为 1＜x≤2，所以 f （1）＜ f （ x）≤ f （ 2），即 8＜ f （ x）≤
16．所以函数 f （ x）的值域为（ 8， 16] ．
（ 3）因为 f （ x）为减函数，而y=2u 是增函数，
所以函数u=ax+2 必须为减函数．所以得a＜ 0
点评：
本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．
检测题 3：设 f （ x）的定义域是（﹣∞，0）∪（ 0，+∞），且 f （ x）对任意不为零的实数x 都满足 f （﹣ x） =﹣ f （ x）．已知当x＞ 0 时
（ 1）求当 x＜ 0 时， f （ x）的解析式（2）解不等式．
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数奇偶性的性质．
专题：
常规题型．
分析：
（ 1）求当 x＜0 时， f （ x）的解析式，在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值 x，再转化到已知区间
上求解析式，由 f （﹣ x） =﹣ f （ x）解出 f （ x）即可．
（ 2）解不等式 f （x）＜﹣，分x＞0和x＜0两种情况，根据求得的解析式求解即可．
解答：
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解：（ 1）当 x＜ 0 时，﹣ x＞ 0，=又f（﹣x）=﹣f（x）
所以，当x＜ 0 时，
（ 2） x＞0 时，，∴
化简得∴，解得 1＜2x＜4∴0＜ x＜ 2
当 x＜ 0 时，∴解得2x＞1（舍去）或
∴x＜﹣ 2
解集为 {x|x ＜﹣ 2 或 0＜ x＜ 2}
点评：
本题考查分段函数解析式的求法，注意在哪个区间上求解析式，就在哪个区间上取值，再转化到已知
的区间上求解析式，再根据奇偶性，解出 f （ x）来．解不等式也要分段求解，注意x 的取值范围．. .下载可编辑. .
指数函数典型例题详细解析汇报
实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)
【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．
【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859=====
高中数学完整讲义指数与指数函数1指数基本运算
题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值： ⑴ 33(5)-；⑵ 2(3)-； ⑶ 335； ⑷ 2()()a b a b -<； ⑸ 4334(3)(3)ππ---．⑹2 3 8；⑺12 25- ；⑻5 12-?? ???；⑼34 1681- ?? ??? ． 【例2】 求下列各式的值： ⑴ 44100；⑵ 55 (0.1)-；⑶ 2(4)π-；⑷ 66 ()()x y x y ->． 【例3】 用分数指数幂表示下列各式： （1）3 2x （2）43)(b a +（a ＋b ＞0） （3）32 )(n m - （4）4 )(n m -（m ＞n ） （5） 5 6 q p ?（p ＞0） （6）m m 3 典例分析 板块一.指数基本运算
【例4】 用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) （1）43a a ? （2）a a a （3）3 22b a ab + （4）4233)(b a + 【例5】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0)a >：3a ；2a ． 【例6】 用根式的形式表示下列各式(a ＞0) 15 a ，34 a ，35 a -，23 a - 【例7】 用分数指数幂的形式表示下列各式： 2 a a ，3 3 2a a ,a a (式中a ＞0) 【例8】 求值：23 8，12 100 -,314-?? ???,3 41681- ?? ??? . 【例9】 求下列各式的值： (1)12 2 （2）1 2 6449- ?? ??? （3）34 10000- （4）23 12527- ?? ???
指数函数经典例题和课后习题
指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地，函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 问题：指数函数定义中，为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a<0会有什么问题？（如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于0≤x ,x a 无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下：
指数函数平移问题（引导学生作图理解） 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系（作图略）， ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x ＋a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x －a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )＋a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )－a 的图象.
指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）4 12-=x y ； （2）|| 2()3 x y =； （3）1241++=+x x y ； 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 及时演练
指数函数经典例题(问题详细讲解)
指数函数 1．指数函数の定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 の图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且の图象和性质。 a>1 0 ()x f c の大小关系是_____． 分析：先求b c ，の值再比较大小，要注意x x b c ，の取值是否在同一单调区间． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x の对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x の取值围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x の取值围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x の定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数の值域是[)01， ． 2018《高三第一轮复习课：指数与指数函数》 咸丰一中数学组：青华 高考要求： （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 重点难点： 对分数指数幂含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化掌握有理指数幂的运算性质； 指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较 简单的函数的有关问题． 知识梳理 1．根式的概念 (1)根式 如果一个数的n 次方等于a ( n >1且n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是， 若x n ＝a ，则x 叫做___________，其中n >1且n ∈N *.式子n a 叫做_______，这里n 叫做_________，a 叫做__________． (2)根式的性质 ①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号________表示． ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号________表示，负的n 次方根用符号________表示．正负两个n 次方根可以合写成________(a >0)．负数没有偶次方根 ______(_____(0) ||(_____(0)n n n a a a n a ??=≥??=?? 指数函数与对数函数 一. 【复习目标】 1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想. 二、【课前热身】 1.设5 .1348.029.0121,8,4-? ? ? ??===y y y ，则 ( ) A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >> 2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( ) A (]a ,0 B ()+∞,0 C (]1,0 D [)+∞,1 3.若函数)(x f 的图象可由函数()1lg +=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转 2 π 得到，=)(x f ( ) A 110 --x B 110-x C x --101 D x 101- 4.若直线y=2a 与函数）且1,0(|1|≠>-=a a a y x 的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 . 5..函数)3(log 32x x y -=的递增区间是 . 三. 【例题探究】 例1.设a>0，x x e a a e x f += )(是R 上的偶函数. （1） 求a 的值； （2） 证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数 例2.已知()())2(log 2log )(,2 2 log )(222 >-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围 (2) 求)()()(x g x f x F +=的值域. 例3.已知函数)1(1 2 )(>+-+ =a x x a x f x （1） 证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数； 指数函数典型例题详细解析 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---21 3321 x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－ 2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜． 0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y＝a x，y＝b x，y ＝c x，y＝d x的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d B．a＜b＜1＜d＜c C．b＜a＜1＜d＜c D．c＜d＜1＜a＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜ ＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞， ∴＞． ---- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有 指数与指数函数 一?填空题 1. 已知f(x)=(a2-1)x是减函数,则a的取值范围是________. 2. (-1.8)0+(1.5)-2× 2 3 3 3 8 ?? ? ?? -(0.01)-0.5+ 3 2 9=________. 3. 指数函数y=? ? ?? ?b a x的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的顶点横坐 标的取值范围是________. 4. 已知0≤x≤2,则y= 1 2 4325 x x - -?+的最大值为________. 5. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=a x+b的图象是________. 6. (2011·新沂一中模拟)已知f(x)= ()1 1,0 2 ,0 x a x a x a x ? -++< ? ? ?≥ ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数a的取值范围是________. 7. 若函数f(x)?g(x)分别是R上的奇函数?偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有________. ①f(2) 二?解答题 10. 计算 ÷ 3a －73a 13; (2)2 3338-??- ??? +120.002--10(5-2)-1+(2-3)0; (3)已知1 1224m m -+=,求33221122m m m m -- -+的值. 11. 函数f (x )= 2－x x －1 的定义域为集合A ,关于x 的不等式22ax <2a +x (a ∈R )的解集为B , 求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 12. (2011·丹阳中学期中)设函数f (x )=ka x -a -x (a >0且a ≠1)是奇函数. (1)求k 的值; (2)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集; (3)若f (1)=32 ,且g (x )=a 2x +a -2x -2mf (x )在[1,+∞)上的最小值为-2,求m 的值 指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 12x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜ b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 358945 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞， ∴＞． --- -45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 【例4】解 比较大小与＞且≠，＞． 当＜＜，∵＞，＞， a a a a a n n n n n n n n n n n n -+-+-=-111 1 111 1(a 0a 1n 1)0a 1n 10() () 考点七 指数与指数函数 知识梳理 1．根式 如果a ＝x n ，那么x 叫做a 的n 次实数方根(n >1且n ∈N *)，当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数，记为：n a ；当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±n a .式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (1)两个重要公式 ① n a ＝?????a （n 为奇数），|a |＝?????a （a ≥0），－a （a <0）（n 为偶数）； ② (n a )n ＝a (注意a 必须使n a 有意义)． (2)0的任何次方根都是0． (3)负数没有偶次方根． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的概念： ①正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a m n -＝ 1 a m n ＝ 1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋ s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a r s (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂a r (a >0，r 是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 4．指数函数的图象与性质 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过点(0,1)，即x ＝0时y ＝1 当x >0时，y >1； 当x <0时，0 指数函数习题 新泰一中闫辉 一、选择题 1．下列函数中指数函数的个数是 ( ). ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若，，则函数的图象一定在（） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 3．已知，当其值域为时，的取值范围是（）A． B． C． D． 4．若，，下列不等式成立的是（） A． B． C． D． 5．已知且，，则是（） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性与有关 6．函数（）的图象是（） 7．函数与的图象大致是( ). 8．当时，函数与的图象只可能是（） 9．在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是（） 10．计算机成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低 ,现在价格为8100元的计算机,则9年后的价格为( ). A．2400元 B．900元 C．300元 D．3600元 二、填空题 1．比较大小： （1）；（2） ______ 1；（3） ______ 2．若，则的取值范围为_________． 3．求函数的单调减区间为__________． 4．的反函数的定义域是__________． 5．函数的值域是__________ ． 6．已知的定义域为 ,则的定义域为__________. 7．当时, ,则的取值范围是__________. 8．时，的图象过定点________ ． 9．若 ,则函数的图象一定不在第_____象限. 10．已知函数的图象过点 ,又其反函数的图象过点(2,0),则函数的解析式为____________. 11．函数的最小值为____________. 12．函数的单调递增区间是____________. 13．已知关于的方程有两个实数解,则实数的取值范围是_________. 14．若函数（且）在区间上的最大值是14，那么等于 _________． 三、解答题 1．按从小到大排列下列各数： ，，，，，，， 2．设有两个函数与，要使（1）；（2），求、的取值范围． 3．已知 ,试比较的大小. 4．若函数是奇函数，求的值． 5．已知，求函数的值域． 6．解方程： 精品文档 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域： (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ＝＝＝-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}．值域{y|y ＞0且y ≠1}． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为{|y|y ≥0}． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3， ∴值域是≤＜．0y 3 1.指数函数Y=ax （a>0且a ≠1）的定义域是R ，值域是（0，+∞） 2. 求定义域的几个原则：①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】（基础题）指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如 图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．a ＜b ＜1＜d ＜c C ． b ＜a ＜1＜d ＜c D ．c ＜d ＜1＜a ＜b 解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】（基础题）比较大小： (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是：． 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜ ＜．22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵＞，＞， ∴＞． --- -45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6 ∴ 4.54.1＞3.73.6． 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)． 例题4（中档题） 第5讲指数与指数函数 [考纲] 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底 数为2,3,10，1 2， 1 3的指数函数的图象． 4．体会指数函数是一类重要的函数模型. 知识梳理1．根式 (1)根式的概念 ①n a n＝ ?? ? ??a，n为奇数， |a|＝ ? ? ?a，a≥0， －a，a＜0， n为偶数． ②(n a)n＝a. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝1 a p(a≠0，p∈N *)； ③正分数指数幂：a n m＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ④负分数指数幂：a n m -＝ a n m 1 ＝ 1n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质 辨 析 感 悟 1．指数幂的应用辨析 (1)(4 －2)4＝－2.( ) (2)(教材探究改编)(n a n )＝a .( ) 2．对指数函数的理解 (3)函数y ＝3·2x 是指数函数．( ) (4)y ＝? ?? ?? 1a x 是R 上的减函数．( ) (5)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图， 指数和指数函数 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31>b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --的反函数是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则3 21x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2 321(25) (25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2 2 25(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x > ．∴x 的取值范围是14?? + ??? ，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数2 16x y -=-的定义域和值域． 解：由题意可得2 16 0x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令2 6 x t -=，则1y t =-， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2 061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01， ． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 指数与指数函数 一、指数 （一）n 次方根： 1的3次方根是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．以上都不对 2、若4 a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≥2且a ≠4 C ．a ≠2 D ．a ≠4 （二）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,?? ?<-≥==0 ,0 ,a a a a a a n n 1．下列各式正确的是( ) ＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝1 2、.(a －b )2＋5 (a －b )5的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0 4、求下列式子 (1)．33 4433)32()23()8(---+- (2)223223--+ （三）、分数指数幂 1、求值 4 3 52 13 2811621258- --?? ? ????? ??；；； 243 的结果为 A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 3、把下列根式写成分数指数幂的形式： （1）32ab （2）()42 a - （3） 3432x x x （四）、实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． 1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( ) 指数函数讲义经典整理（含答案） 一、同步知识梳理 知识点1：指数函数 函数 (01)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 知识点2：指数函数的图像和性质 知识点3：指数函数的底数与图像的关系 指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如 图所示，则01c d a b <<<<<， 在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大， 在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 在第一象限内，“底大图高” 知识点4：指数式、指数函数的理解 ① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算 ② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视 ③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值 ④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像 1 2 2 23,,3,21x x x y y x y y -=?===- 等 函数均不符合形式 () 01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数 ⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点： ()()11,,0,1,1, a a ?? - ?? ? 二、同步题型分析 题型1：指数函数的定义、解析式、定义域和值域 例1：已知函数 ，且 ． （1）求m 的值； （2）判定f （x ）的奇偶性； （3）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明． 考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明． 专题： 计算题． 分析： （1）欲求m 的值，只须根据f （4）=的值，当x=4时代入f （x ）解一个指数方程即可； （2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得到答案； （3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f （x1）＞f （x2），即可． 解答： 解：（1）因为 ，所以 ，所以m=1． （2）因为f （x ）的定义域为{x|x≠0}，又， 所以f （x ）是奇函数． （3）任 取 x1 ＞ x2 ＞ ， 则 ， 因为x1＞x2＞0，所以，所以f （x1）＞f （x2）， 指数运算和指数函数 要求层次重点难点幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概 念和运算性质 ②无理指数幂的理 解 ③实数指数幂的意 义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 指数函数的图象和 性质 C ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ③掌握指数函数作 为初等函数与二次 函数、对数函数结 合的综合应用问题 板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容 1．整数指数 ⑴正整数指数幂：n a a a a =???，是n个a连乘的缩写（N n + ∈），n a叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵整数指数幂：规定：01(0) a a =≠， 1 (0,) n n a a n a - + =≠∈N． 高考要求 第4讲 指数运算与指数函数 知识精讲 2．分数指数 ⑴ n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈，那么x 叫做a 的n 次方根． ⑵ 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算． ① 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时， a 的n 表示． ② 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 0)a >． ⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根． 负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0 0． n 叫做根指数，a 3．根式恒等式： n a =；当n a =；当n ||a a a ?=?-? 0a a <≥． 4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为：1(0)n a a > 0,,,)m m n m a a n m n +==>∈N 且 为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为：1(0,,,)m n m n m a a n m n a - += >∈N 且 为既约分数 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈ 6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时 a =，n 为偶数时 a =． 7． m n a = m n a - =（0a >，,*m n N ∈，且1n >） 零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 8．指数的运算性质：r s r s a a a +=，()r r r ab a b =（其中,0a b >，,r s ∈R ） 9．无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 10．一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立．2018年指数与指数函数高三第一轮复习讲义
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