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八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(教师版)

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

一、有关定义

1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.

2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.

3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.

二、外接球的有关知识与方法

1．性质：

性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；

性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；

性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；

性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；

性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.

初图1

初图2

2．结论：

结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；

结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；

结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；

结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；

结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；

结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；

结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；

结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.

3．终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；

三、内切球的有关知识与方法

1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.

2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.

3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.

4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.

5．基本方法：

（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；

（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.

四、与台体相关的，此略.

五、八大模型

第一讲柱体背景的模型

类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

图1-1

图1-2

图1-3

图1-4

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2

)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 解： 162

==h a V ，2=a ，24164442

=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：93

3342

=++=R ，ππ942

==R S ；

（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则

正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .π36 解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，

∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，

BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，

∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，

故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，

∴36)32()32()32()2(2222=

++=R ，即3642=R ，∴正三棱锥

ABC S -外接球的表面积是π36

(3)题-1(引理）

(3)题-2（解答图）

（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠?

AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ D ）

π11.A π7.B π310.

C π3

40.D 解：在ABC ?中，7120cos 2222=??-+=

BC AB AB AC BC ，7=

BC ，ABC ?的外接球直径为

3722

37sin 2==∠=

BAC BC r ，∴340

4)3

72()2()2(2222=

+=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+

∈R c b a ,,），则

???===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，ππ2942

==R S ，（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几

何体外接球的体积为

解：3)2(2

=++=c b a R ，4

R ，23=R

πππ2

83334343=?==R V 球，

类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，

y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，

???=+=+=+2

222

22z a c y c b x b a ?2)2(2222222z y x c b a R ++=

++=，补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 3

461=?-

=-. (6)

题图

（6）题直观图

图2-1

第三步：根据墙角模型，222222

22z y x c b a R ++=

++=，82222

z y x R ++=，8

22z y x R ++=

，

求出R .

思考：如何求棱长为a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？

例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .

解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1，设长宽高分别为c b a ,,，110493625)(22

=++=++c b a ，

55222=++c b a ，5542=R ，π55=S

(1)题图

（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 .

π2

29 解：如图2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则92

=+b a ，

422=+c b ，1622=+a c ∴291649)(2222=++=++c b a ，291649)(2222=++=++c b a ，

229222=

++c b a ，22942

=R ，π2

29=S （3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为（3）解答题

解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，32=R ，23=

R ，ππ2

83334=?

=V （4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三

角形(正四面体的截面)的面积是 .

(4)题解答图

(4)

题

解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为1PCO ?，面积是2.

类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

图3-1

图3-2 图

3-3

题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ?的外心，则⊥1OO 平面ABC ；第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 2

2111==

（h AA =1也是圆柱的高）

；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=?2

22)2

(r h

R +=?22)2

r R +=

，解出R

例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，

且该六棱柱的体积为

，底面周长为3，则这个球的体积为解：设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ，则2

=a ，

正六棱柱的底面积为833)21(4362=??

=S ，8

9833===h Sh V 柱，∴3=h ，4)3(14222=+=R 也可1)21()23(

222

=+=R ），1=R ，球的体积为3

4π

=球V ；（2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此

球的表面积等于 .

解：32=BC ，4120

sin 3

22==

r ，2=r ，5=R ，π20=S ；（3）已知EAB ?所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，

=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球

的表面积为 .π16 解：折叠型，

法一：EAB ?的外接圆半径为31=r ，11=OO ，231=+=R ；

法二：231=

M O ，21322==D O r ，44

13432

=+=R ，2=R ，π16=表S ；法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱

的轴截面的对角线长来求球的直径：162)32()2(2

22=+=R ，π16=表S ；

（4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3

,6,41====AA A AC AB π

，则直三棱柱111C B A ABC -的外接

球的表面积为 .

π3

160

解：法一：282164236162

??-+=BC ，72=BC ，3742

3722=

=r ，3

2=r ， 3404328)2(

122=+=+=AA r R ，π3

160=表S ；

法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.

第二讲锥体背景的模型

类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）

图4-1

图4-2

图4-3

1．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ?的外心?三棱锥ABC P -的三条侧棱相等?三棱ABC P -的底面ABC ?在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点. 解题步骤：

第一步：确定球心O 的位置，取ABC ?的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；

第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；

（3）题

第三步：勾股定理：2

1212O O A O OA +=?2

22)(r R h R +-=，解出R ；

事实上，ACP ?的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .

2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2

22)2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R +=

；

②2

2OO r R +=?2

12OO r R +=

3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径） 2

O O C O OC +=?2

O O r R +=?2122O O R AC -=

4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）

第一步：易知球心O 必是PAC ?的外心，即PAC ?的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=；第二步：在PAC ?中，可根据正弦定理

R C

B b A a 2sin sin sin ===，求出R . 例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 . 解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，

72=R ，ππ4942==R S ；

（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为解：方法一：找球心的位置，易知1=r ，1=h ，r h =，故球心在正方形的中心ABCD 处，1=R ，3

4π

V 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC ?的外接圆，此处特殊，SAC Rt ?的斜边是球半径，

22=R ，1=R ，3

4π=

V . （3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正

三棱锥的体积是（） A ．

433 B ．33 C ．43 D ．12

解：高1==R h ，底面外接圆的半径为1=R ，直径为22=R ，

设底面边长为a ，则2

60sin 2==

R ，3=a ，433432==a S ，三棱锥的体积为4331==Sh V ；（4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为

60，则该三棱锥外

接球的体积为（） A ．π B.

3π C. 4π D.43

π 解：选D ，由线面角的知识，得ABC ?的顶点C B A ,,在以2

r 为半径的圆上，在圆锥中求解，1=R ；（5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ?是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直

径,且2SC =，则此棱锥的体积为（）A

．

6 B

．3 D

．2

解：3

)33(

12221=

-=-=

r R OO ，362=h ，62362433131=??==Sh V 球类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.

解题步骤：

第一步：将ABC ?画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过

球心O ；第二步：1O 为ABC ?的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直

径算法：利用正弦定理，得

r C c B b A a 2sin sin sin ===）

，PA OO 2

1=；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2

)2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R +=

；

②2

2OO r R +=?2

12OO r R +=

2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ?的外心?三棱锥ABC P -的三条侧棱相等?三棱锥ABC P -的底面ABC ?在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点

图5-1

图5-2

图5-3

图5-4

图5-6

图

5-7

图5-8

解题步骤：

第一步：确定球心O 的位置，取ABC ?的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；

第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：2

1212O O A O OA +=?2

)(r R h R +-=，解出R

方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A ．π3 B ．π2 C ．

16π

D ．以上都不对

解：选C ，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，

221)3(R R =+-,3

R ,

ππ31642

==R S ；

法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN 的外接圆是大圆，于是3

60sin 22==

R ，下略；

第三讲二面角背景的模型

类型六、折叠模型

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)

俯视图侧视图

正视图解答图

图6

第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ?画在小圆上，找出BCD ?和BD A '?的外心1H 和2H ；第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,；第三步：解1OEH ?，算出1OH ，在1OCH Rt ?中，勾股定理：2

1OC CH OH =+ 注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.

例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . 解：如图，3460sin 22221==

r r ，3221==r r ，3

2=H O ， 3

34312

=+=+=r H O R ，315=R ；法二：312=

H O ，3

11=H O ，1=AH ， 3

2121222=++==O O H O AH AO R ，315=R ；（2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //， 90=∠A ，

45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面

体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的

表面积为 π4

(2)

题-2

(2)题-1

→

(3)题

解：如图，易知球心在

BC 的中点处，π4=表S ；

（1）题

（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为3

，则四面体ABC S -的外接球表面积为 π6 解：如图，法一：3

3)2

cos(cos 211-

∠=∠π

O OO B SO ， 3

3sin 21=

∠O OO ，36cos 21=∠O OO ，

2cos 21211=

∠=

O OO O O OO ，232112

=+=R ，ππ642==R S ；法二：延长1BO 到D 使111r BO DO ==，由余弦定理得6=

SB ，2=SD ，大圆直径为62==SB R ；

（4）在边长为32的菱形ABCD 中， 60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为

120的四

面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为 π28

解：如图，取BD 的中点M ，ABD ?和CBD ?的外接圆半径为221==r r ，ABD ?和CBD ?的外心21,O O 到弦BD 的距离（弦心距）为121==d d ，法一：四边形21MO OO 的外接圆直径2=OM ，7=R ，π28=S ；

法二：31=

OO ，7=R ；

法三：作出CBD ?的外接圆直径CE ,则3==CM AM ， 4=CE ，1=ME ，7=AE ，33=AC ，

214

7227167cos -

=??-+=

∠AEC ，7

3sin =

∠AEC ，727

23333sin 2==∠=

AEC AC R ，7=R ；

(4)题图

(5)在四棱锥ABCD 中， 120=∠BDA ，

150=∠BDC ，2==BD AD ，3=

CD ，二面角C

BD A --的平面角的大小为

120，则此四面体的外接球的体积为解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，

→

抽象化

(5)题解答图-2

(5)题解答图-1

32=AB ，22=r ，弦心距32=M O ，13=BC ，131=r ，弦心距321=M O ， ∴2121=O O ，72120sin 2

1==

O O OM ，

法一：∴292

=+==OM MD OD R ，29=

R ，∴3

29116π

球V ；法二：2522222=-=M O OM OO ，∴292

22222=+==OO r OD R ，29=

R ，∴3

29116π

球V . 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型

图7

题设：如图7，

90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 2

===，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.

例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，

则四面体ABCD 的外接球的体积为（）

A ．

π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3

125

解：（1）52==AC R ，25

=R ，6

125812534343πππ=?==R V ，选C

（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCD

A -

的外接球的表面积为．

解：BD 的中点是球心O ，132==BD R ，ππ1342

==R S .

第四讲多面体的内切球问题模型

类型八、锥体的内切球问题

1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；

第二步：求BD DH 3

=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ?的高；

第三步：由POE ?相似于PDH ?，建立等式：PD

DH OE =

，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径

第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；

第二步：求BC FH 2

，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ?的高；第三步：由POG ?相似于PFH ?，建立等式：PF

HF OG =

，解出

3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径

方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=?

r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ?+++=?+?+?+?=????-)(3

31313131

第三步：解出PBC

O PAC O PAB O ABC O ABC

P S S S S V r -----+++=

例8 （1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是 6

a π，

解：设正四面体内切球的半径为r ，将正四面体放入棱长为2

的正方体中（即

补形为正方体），如图，则

62231313

3a a V V ABC

P =?==-正方体，又 r a r a Sr V ABC

P 2

343314314=???=?=-，

(1)题

图8-1

图8-2

∴2

63332a r a =

，62a r =，∴内切球的表面积为6422

a r S ππ==表（注：还有别的方法，此略）（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为3

解：如图，正四棱锥ABCD S -的高7=h ，正四棱锥ABCD S -的体积为3

4=-ABCD S V 侧面斜高221=h ，正四棱锥ABCD S -的表面积为284+=表S ，

正四棱锥ABCD S -的体积为r r S V ABCD

S ?+==-3

28431表， ∴

43284=?+r ， 77

1427)122(72

21728474-=

-=+=+=r （3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ?是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则

2解：如图，3=?ABC S ，2==??ACP ABP S S ，7=?BCP S ，

743++=表S ，

三棱锥ABC P -的体积为3

-ABC P V ，另一表达体积的方式是r r S V ABC P ?++=

=-34

7331表， ∴

3323473=?++r ，∴4

733

2++=r

习题： 1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（） A.3 B.6 C.36 D.9 解：【A 】616164)2(2

=++=R ，3=R

【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】

2．三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三

棱锥的外接球体积等于 .

32π

(2)题

(3)题

解：260sin 32==

r ，16124)2(2=+=R ，42

=R ，2=R ，外接球体积3

32834ππ=? 【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】

3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等

于 .

解：ABC ?外接圆的半径为，三棱锥ABC S -的直径为3460sin 22==

R ，外接球半径3

=R ，

或1)3(2

2+-=R R ，3

R ，外接球体积2733233834343π

ππ=

?==

R V ， 4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .

解：PAC ?的外接圆是大圆，3460sin 22==

R ，3

=R ， 5．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥

ABC P -外接球的半径为 .

解：973324992cos 222=??-+=?-+=∠PC PA AC PC PA P ，81

16)97(1sin 22?=-=∠P ，924sin =∠P ，

299

2422=

==R ，829=R 6．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABC

P -外接球的半径为 .

解：AC 是公共的斜边，AC 的中点是球心O ，球半径为1=R

常见立体图形外接球题型总结

目录【题型1】球的性质的应用 (3) 【题型2】“双直角”型 (5) 【题型3】“墙角”型 (6) 【题型4】“四面全等”型 (8) 【题型5】“固化”型 (9) 【题型6】“大小圆垂直”型 (11) 【题型7】“直棱柱”型 (13) 【题型8】“正棱锥”型 (14) 【题型9】“两面”型 (15) 【题型10】“最值”问题 (17)

前言 “三视图问题”、“球的问题”、“立体几何证明题”是数学高考立体几何门派的“三大剑客”，曾秒杀无数考生，特别是“球的问题”始终是高考的热点问题，题型为选择或填空。题目难度跨度大，其中有简单题，中等题有时也会有难题。它直接或间接的以球为载体综合考查空间几何体的体积、表面积计算，解题过程中又蕴含几何体线面关系的识别与论证。所以很少有哪个知识点能像球那样微观上把“数”与“形”数学中两大基本元素完美契合，宏观上实现代数与几何平滑过渡.可是这类问题缺乏几何直观，具有高度抽象性，区分度高，得分率低，属于学生畏惧，老师头疼的难点问题。不过这类问题有很强的规律性，若在平时解题中探索反思，注意总结，能找到通法，是我们学生潜在的得分点；同时研究它为处理空间几何体的证明问题锻炼能力，为解决三视图问题开拓思路。知识准备（1）等边三角形相关：面积、外接圆半径，内切圆半径；（2）直角三角形、等腰三角形、矩形圆心位置；（3）球的性质：【性质1】球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.已知球O 的半径为R .（1）若截面经过球心O . 如图1，设A 是截面与球面的任意一个交点，连接OA .由球的定义可知，OA R =，所以点A 的轨迹是以O 为圆心，R 为半径的圆，即该截面是圆.（2）若截面不经过球心O . 如图1，设球心O 在截面上的射影为1O ，B 是截面与球面的任意一个交点，连接1OO ，OB 和1O B ，则OB R =为定值，且1OO 也为定值，所以2211O B R OO =-为定值，因此，点B 的轨迹是以1O 为圆心，1O B 为半径的圆，即该截面也是圆. 【性质2】球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面.反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心. 如图2所示，若圆1O 是球O 的小圆，则11OO O ⊥圆面. 证明：如图，设AB ，CD 分别是圆1O 的两条直径，连接OA ，OB ，OC ，OD ，1OO .依题意可得OA OB =，所以1OO AB ⊥.

2013届高考空间几何体的外接球与内切球问题专项突破复习

2013届高考球体问题专项突破复习例 1 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中 18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ?是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式2 22d R r -=求出球半径R ．解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ， ∴2 22AC BC AB =+，ABC ?是以AC 为斜边的直角三角形． ∴ABC ?的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15=r ，又球心到截面的距离为R d 21= ，∴22215)2 1 (=-R R ，得310=R ． ∴球的表面积为πππ1200)310(442 2 ===R S ．说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -= 解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．例2．自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求 222MC MB MA ++的值．分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．解：以MC MB MA ,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABC M -补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径． ∴222MC MB MA ++=224)2(R R =．说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算． 1、一个四棱柱的底面是正方形,侧棱与底面垂直,其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上,则这个球的表面积是 ( ) A .16π B .20π C .24π D .32π 答案:C 解:由题意知,该棱柱是一个长方体,其长、宽、高分别为2,2,4.所以其外接球的半径 R .所以球的表面积是S =4πR 2 =24π. 2四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( ) A.3π B.4π

七个无敌模型——全搞定空间几何的外接球

七个有趣模型——搞定空间几何体的外接球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图2 图3 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2 2 2 2 )2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是。（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠? AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（）π11.A π7.B π310. C π3 40.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：第一步：将ABC ?画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ?的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2 2 2 )2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R += ；图5

难点突破：立体图形的外接球与内切球问题

2019届高三数学第一轮复习教学案18：难点突破：立体图形的外接球与切球问题一、基础知识与概念： 1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆．大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心． 2．球心和截面圆心的连线垂直于截面． 3．球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：222R d r =+． 4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的切球：球与几何体的各个面都相切．二、多面体的外接球（球包体）模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）球包直柱球径公式：2 2 2h R r ??=+ ??? ，（r 为底面外接圆半径）球包正方体球包长方体球包四棱柱球包三棱柱球包直锥三棱锥四棱锥 r 速算模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线）实例：正棱锥球径计算方程：()2 2 2 h R r R -+=22 22 202h r h hR r R h +?-+=?=，（h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径）特别地，（1）边长为a 正四面体的外接球半径：R =______________．（2）底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径：R =__________．（3）底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径：R =__________．例：1．（2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

高中数学空间几何体的内切球与外接球问题

空间几何体的内切球与外接球问题 1．[2016·全国卷Ⅱ] 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B.32 3 π C ．8π D ．4π [解析]A 因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π. 2．[2016·全国卷Ⅲ] 在封闭的直三棱柱ABC - A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π 3 [解析]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r 1，∵AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，∴8－r 1＋6－r 1＝10，解得r 1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为r 2，则2r 2＝3，即r 2＝32.∴球的最大半径为32，故V 的最大值为43π×????323＝92 π. 3.[2016·郑州模拟] 在平行四边形ABCD 中，∠CBA ＝120°，AD ＝4，对角线BD ＝23，将其沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为________．答案：2053 π；解析：因为∠CBA ＝120°，所以∠DAB ＝60°，在三角形ABD 中，由余弦定理得(23)2＝42＋AB 2－2×4·AB ·cos 60°，解得AB ＝2，所以AB ⊥BD .折起后平面ABD ⊥平面BCD ，即有AB ⊥平面BCD ，如图所示，可知A ，B ，C ，D 可看作一个长方体中的四个顶点，长方体的体对角线AC 就是四面体ABCD 外接球的直径，易知AC ＝22＋42＝25，所以球的体积为205 3 π. 4.[2016·山西右玉一中模拟] 球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为( ) A . 3 3 B . 3 C ．2 3 D ．4 选A ；[解析] (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大．因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝23 3 . 在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3 3 ，

专题四培优点15 空间几何体的外接球

培优点15 空间几何体的外接球空间几何体的外接球是高中数学的重难点．我们可以通过对几何体的割补或寻求几何体外接球的球心两大策略求解此类问题．例1 半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( ) A.5π∶6 B.6π∶2 C ．π∶2 D ．5π∶12 答案 B 解析将半球补成球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体恰好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线就是它的外接球的直径．设正方体的棱长为a ，球体的半径为R ，则(2R )2＝a 2＋a 2＋(2a )2，即R ＝ 62a ，∴V 半球＝12×43πR 3＝23π×????62a 3＝62πa 3，V 正方体＝a 3，∴V 半球∶V 正方体＝62 πa 3∶a 3＝6π∶2，故选B. 例2 在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( ) A.12512π B.1259π C.1256π D.1253 π 答案 C 解析如图，取AC 的中点O ，显然OA ＝OB ＝OC ＝OD ，故点O 为四面体ABCD 的外接球的球心， ∴R ＝12AC ＝52 ， ∴V 球＝43 ×π×????523＝1256π. 例3 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4

答案 A 解析如图，正四棱锥P －ABCD 的底面中心为H . 在底面正方形ABCD 中，AH ＝2，又PH ＝4，故在Rt △P AH 中， P A ＝ PH 2＋AH 2 ＝42＋(2)2＝3 2. 则由正四棱锥的性质可得，其外接球的球心O 在PH 所在的直线上，设其外接球的直径为PQ ＝2r . 又A 在正四棱锥外接球的球面上，所以AP ⊥AQ . 又AH ⊥PH ，由射影定理可得P A 2＝PH ×PQ ，故2r ＝PQ ＝P A 2PH ＝(32)24＝92，所以r ＝94 . 故该球的表面积为S ＝4πr 2＝4π×????942＝81π4. 解决此类问题的关键在于利用几何体的结构特征确定球的球心，利用球的截面的性质，球心和球的截面的中心连线垂直于截面．结合相关几何量之间的数量关系可确定球心． 1．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B.3π4 C.π2 D.π4 答案 B 解析球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的12 ，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r ＝

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题.

高中数学课题研究几何体与球切、接的问题纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则GO R a ==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则12 A O R a '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.

立体几何之外接球问题含答案

立体几何之外接球问题一讲评课1课时总第课时月日1、已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为( ) A. B. C. D. 2、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A. B. C. D. 3、已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( ) A. B. C. D. 4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（） A.B. C. D. 5、已知都在半径为的球面上，且，，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（） A. B. C. D.

6、某几何体的三视图如图所示，这个几何体的内切球的体积为（） A.B. C. D. 7、四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于，则球的体积等于（） A. B. C. D. 8、一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A.B. C. D. 9、一个棱长都为的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A.B. C. D. 10、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为( ) A. B. C. D.

立体几何之外接球问题二讲评课1课时总第课时月日 11、若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为__________. 12、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________. 13、底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为的正三棱柱外接球的表面积为__________. 14、若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则__________. 15、若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则__________.

数学复习：空间几何体的外接球与内切球

数学复习：空间几何体的外接球与内切球一、有关定义 1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球. 2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 二、外接球的有关知识与方法 1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）. 初图1 初图2 2．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法 1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. 2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）. 3．正多面体的内切球和外接球的球心重合. 4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合. 5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 四、与台体相关的，此略.

几何体外接球精美讲义

第二讲几何体的外接球和内切球问题 ※ 基础知识： 1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；正三角形的内切圆半径：6a 外接圆半径：3a 三角形面积：24a 正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1两部分。 2．球的概念：概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.，定长叫球的半径；与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O 或O ．概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。 3．球的截面：用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面 α的垂线段，O '为垂足，且OO d '=，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r 径的一个圆，截面是一个圆面. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆. 4．空间几何体外接球、内切球的概念：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。长方体的外接球正方体的内切球

5．外接球和内切球性质：（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。（4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。（5）体积分割是求内切球半径的通用做法。长方体的外接球半径公式：22 22 c b a R ++=，其中,,a b c 分别为长方体共顶点的3条棱长正棱锥的外接球半径公式：2 ,2a R h = 2侧棱=2R h ?外正棱锥，其中a 为侧棱长，h 为正棱锥的高正棱柱的外接球球心在两底面中心连线的中点处。 ※典型例题：题型一：球的概念例1. （1）已知球的直径为8cm ，那么它的表面积为__________，体积为___________ （2）已知球的表面积为144π2cm ，那么它的体积为___________ （3）已知球的体积为36π，那么它的表面积为__________ （4）如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为__________ 例2.（1）（2012年新课标文科）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α ） A B ． C ． D ．（2）已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积. （3）（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为_______．

空间几何体外接球和内切球

3 D．32 3 π 方法技巧专题 3 空间几何体外接球和内切球【一】高过外心空间几何体（以P -ABCD 为例）的高过底面的外心（即顶点的投影在底面外心上）：（1）先求底面ABCD 的外接圆半径r ，确定底面ABCD 外接圆圆心位置O'; （2）把O'垂直上移到点O ，使得点O 到顶点P 的距离等于到A、B、C、D 的距离相等，此时点O 是几何体外接球球心；（3）连接OA ，那么R =OA , 由勾股定理得：R2 =r 2 +OO'2 . 1、已知正四棱锥P -ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，PA =AB = 2，则球O 的表面积为（） A．2πB．4πC．8πD．16π 2、在三棱锥P -ABC 中. PA =PB =PC = 2. AB =AC =1，BC =，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A．8πB．16π C． 4π 3 【二】高不过外心 3 27 高不过心—顶点的投影不在底面外心上，以侧棱垂直于底面为例：题设：已知四棱锥P -ABCD ，PA ⊥底面ABCD （1）先求底面ABCD 的外接圆半径r ，确定底面ABCD 外接圆圆心位置O'; （2）把O'垂直上移到点O ，使得OO'=1 PA ，此时点O 是几何体外接球球心；2 （3）连接OA，那么R=OA,由勾股定理得：R2=r2+OO'2=r2+（PA ）2. 2

1、长方体 A ??? ? A 1?1?1?1的 8 个顶点在同一个球面上，且 A ? = ?，A ? = 3，A A 1 = 1，则球的表面积为． 2、已知正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的底面边长为 3，外接球表面积为16π，则正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 的体积为（） A. 3 3 4 B. 3 3 2 D. 9 3 4 2 3、已知 P ， A ， B ，C ， D 是球O 的球面上的五个点，四边形 ABCD 为梯形， AD / /BC ， AB = DC = AD = 2 ， BC = PA = 4 ， PA ⊥ 面 ABCD ，则球O 的体积为（） A ． 64 2π B ． 16 2π C ．16 2π D ．16π 3 3 4、已知三棱柱 ABC - A B C 的侧棱与底面垂直， AA = BC = 2, ∠BAC = π ，则三棱柱 ABC - A B C 外接球的体积为（） 1 1 1 1 4 1 1 1 A ．12 3π B ． 8 3π C ． 6 3π D ． 4 3π 5、四棱锥 P - ABCD 的底面为正方形 ABCD ， PA ⊥ 底面 ABCD ， AB = 2 ，若该四棱锥的所有顶点都在体积为 9π 2 的同一球面上，则 PA 的长为（） 1 A ．3 B ．2 C ．1 D ． 2 6、四棱锥 A - BCDE 的各顶点都在同一球面上， AB ⊥ 底面 BCDE ，底面 BCDE 为梯形， ∠BCD = 60 ，且 AB ＝CB ＝BE ＝ED ＝2，则此球的表面积等于（） A ． 25π B ． 24π C ． 20π D ．16π 【三】长（正）方体外接球 1、长方体或正方体的外接球的球心：体对角线的中点； 2、正方体的外接球半径： R = 3 a （ a 为正方体棱长）； 2 3、长方体的同一顶点的三条棱长分别为a , b , c ，外接球的半径： R = 2 1、若一个长、宽、高分别为 4，3，2 的长方体的每个顶点都在球O 的表面上，则此球的表面积为 2、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 3、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是 . C. 9 3 a 2 + b 2 + c 2

解决几何体的外接球与内切球

解决几何体的外接球与内切球，就这6个题型！一、外接球的问题简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．（一）由球的定义确定球心在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．（二）构造正方体或长方体确定球心

长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．（三）由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．

二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

空间几何体的外接球

空间几何体的外接球类型一：长方体模型一（三条线两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） c a b C P A B a b c 图2 P C B A a b c 图3 C B P A a b c P C O 2 B A 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2 2 2 2 )2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（） A.3 B.6 C.36 D.9 （3）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是（4）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几何体外接球的体积为长方体模型二：（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC 解题步骤：第一步：将ABC ?画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ?的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①2 22)2()2(r PA R +=?22)2(2r PA R += ； ②2 12 2OO r R +=?2 12OO r R += 图5 A D P O 1O C B

立体几何之外接球问题含问题详解

标准文案立体几何之外接球问题一讲评课 1课时总第课时月日 1、已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，，则球的表面积为( ) A. B. C. D. 2 、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（） A. B. C. D. 3、已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为( ) A. B. C. D. 4、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（） A. B. C. D. 5、已知都在半径为的球面上，且，，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（） A. B. C. D.

几何体的外接球与内切球问题归纳

几何体的外接球与内切球问题归纳 2020.9.10 课前测验： 1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 2..正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60°角，则正三棱锥的外接球的体积为（） A．4πB．16πC．D． 3.一个四面体所有棱长都为4，四个顶点在同一球面上，则球的表面积为（） A．24πB．C．D．12π 4.已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，且两两垂直，△ABC是边长为2的正三角形，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．πD．π 5.在正三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′＝，AB＝2，则该正三棱柱外接球的表面积是（）A．7πB．C．D．8π 例1、在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝PC＝2，且P A，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（） A．4πB．8πC．16πD．2π 变式训练：已知三棱锥S﹣ABC，△ABC是直角三角形，其斜边，SC⊥平面ABC，SC＝6，则三棱锥的外接球的表面积为（） A．144πB．72πC．100πD．64π 例2、已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC ＝，则球O的体积为（） A．B．C．D．变式训练：已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，SA＝AB ＝AC＝2，则球O的表面积为（） A．4πB．C．20πD．36π 例3、已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的体积是（）A．16πB．C．64πD．

高三数学《空间几何体的外接球》教案

高三数学《空间几何体的外接球》教案一、教学内容分析空间几何体的外接球问题是近几年高考的热点，这类题目对学生而言比较抽象，较难找到解题的切入点与突破口，为此，本节课将梳理有关外接球常用几种模型，总结一般题型的方法与套路，这就要求学生能够熟悉常见的模型，比如：长方体模型、柱体模型、锥体模型等，同时，希望通过本节课学生能够将空间问题转化为平面问题。二、学生学情分析空间几何体的外接球问题是近几年高考的热点，主要以选择、填空题形式出现，考查载体主要是柱体。锥体为主，对空间想象能力要求较高，解题的关键是找出球半径和线面的关系，这就要求学生能够熟悉常见的模型，能够将空间问题转化为平面问题。本人任教的班级是高三8班，理科平行班级，学生基础不是很好，空间想象能力不强，因此针对本班的实际情况，我将近几年的与空间几何体外接球有关高考题进行了分类，总结出三种模型，供学生直接运用到题目中。三、教学目标分析 1、掌握空间几何体外接球的常见模型，并熟悉每种模型采用的方法。 2、培养学生的空间想象能力，将空间问题能够转化成平面问题。四、教学设计过程回顾高考：近几年新课标全国卷空间几何体外接球试题在考查题型、考查载体、考查能力、解题方法等方面呈现怎样的特征? 试题特点近几年与空间几何体外接球有关的高考题，需要学生能够确定球的半径或者确定球心的位置，其中球心的确定是关键，考查学生的空间想象能力，运用体和球之间的主要位置关系和数量关系，从而把空间问题化为平面问题，进而运用平面几何的知识寻找球半径的解法。高三数学《空间几何体的外接球》教案 2.问题设置本节课的3个例题所涉及到的函数相同,都是,这样设计的好处在于避免在函数的理解、认识上以及计算上浪费时间,将时间尽量集中在切线问题的处理方法上,凸显本节课的主题.其次,这3个例题逐步递进,难度逐渐加大.问题梯度明确,例1起点不高,学生比较容易解决,但由于审题原因,容易犯错误,例2问题不再单一,不仅要用到切线问题的处理方法,还需要用到转化与化归的思想,函数与方程思想以及数形结合思想,有一定的综合性.例3在题意的理解上,问题的处理上难度较大,在问题的解决中不仅用到了转化与化归的思想,数形结合思想,还用到了构造的思想,对学生来说是一个巨大的挑战.这样设计体现了新课程“分层推进、逐渐深化”的课程理念.有助于逐步加深学生对切线问题的认识,激发学生的学习积极性和求知欲. 3.教学过程教学过程的设计经过3次大的修改.第1次修改在经过第1次试讲以后,发现的问题是时间不够,主题不鲜明,基础知识的讲解不全面.要回顾导数的几何意义,就必需复习导数的几何意义的推导,因此就得复习导数的定义.经过备课组老师的讨论,修改如下:第一个部分导数的几何意义的主要内容变为:(1)导数的定义;(2)切线的定义;(3)导数的几何意义;(4)有关切线的两点说明:第1点是切线与曲线的公共点个数问题.第2点是切线与曲线的位置关系问题.这两点以问题教学的方式进行复习.第1点是为例1,例2的讲解作好知识铺垫,第2点是为例3的讲解作好知识铺垫.第2次修改在经过第2次试讲后,发现时间还是不够,课堂节奏太快,学生思考讨论时间太少.主要原因在于讲解有关切线的两点说明这个内容所用时间大概有10来分钟,

几何体外接球精美课件

αR P d r O O'第二讲几何体的外接球和内切球问题 ※基础知识： 1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；正三角形的内切圆半径：36a 外接圆半径：33a 三角形面积：234 a 正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1两部分。 2．球的概念：概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.，定长叫球的半径；与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O 或O e ．概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。 3．球的截面：用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面α的垂线段，O '为垂足，且 OO d '=，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以22r R d =-为半径的一个圆，截面是一个圆面. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆. 4．空间几何体外接球、内切球的概念：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多

面体，这个球是这个多面体的内切球。长方体的外接球正方体的内切球 5．外接球和内切球性质：（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。（4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。（5）体积分割是求内切球半径的通用做法。 6．公式：球的表面积公式：24S R π=；球的体积公式：343 V R π= 长方体的外接球半径公式：2 2 22c b a R ++=，其中,,a b c 分别为长方体共顶点的3条棱长正棱锥的外接球半径公式：2 ,2a R h = 2侧棱=2R h ?外正棱锥，其中a 为侧棱长，h 为正棱锥的高正棱柱的外接球球心在两底面中心连线的中点处。 ※典型例题：题型一：球的概念例1. （1）已知球的直径为8cm ，那么它的表面积为__________，体积为___________