高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型归纳

1. 高考命题回顾

例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

例2已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b ，g(x)＝e x (cx ＋d)，若曲线y ＝f(x)和曲线y ＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P

处有相同的切线y ＝4x+2（2013全国新课标Ⅰ卷） （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值

（Ⅱ）若x ≥－2时, ()()f x kg x ≤，求k 的取值范围。

例3已知函数)(x f 满足2

1

2

1)0()1(')(x x f e

f x f x +

-=-（2012全国新课标） (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥2

2

1)(，求b a )1(+的最大值。

例4已知函数ln ()1a x b

f x x x

=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。（2011全国新课标）

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>+-，求k 的取值范围。

例5设函数2

()1x f x e x ax =---（2010全国新课标）

(1)若0a =，求()f x 的单调区间； (2)若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围

例6已知函数f(x)＝(x 3+3x 2+ax+b)e －

x . （2009宁夏、海南）

(1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.

2. 在解题中常用的有关结论※

3. 题型归纳

①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用

例7（构造函数，最值定位）设函数()()2

1x

f x x e kx =--(其中k ∈R ).

(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ) 当1,12k ??

∈ ???

时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .

例8（分类讨论，区间划分）已知函数32

11()(0)32

f x x ax x b a =

+++≥,'()f x 为函数()f x 的导函数. (1)设函数f(x)的图象与x 轴交点为A,曲线y=f(x)在A 点处的切线方程是33y x =-,求,a b 的值; (2)若函数()'()ax

g x e f x -=?,求函数()g x 的单调区间.

例9（切线）设函数

a x x f -=2

)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；

（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：

a x x >>21.

例10（极值比较）已知函数

22()(23)(),x

f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R

⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；

⑵当2

3a ≠

时，求函数()f x 的单调区间与极值.

例11（零点存在性定理应用）已知函数()ln ,().x

f x x

g x e ==

⑴若函数φ (x ) = f (x )－

1

1

x x +-，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．

例12（最值问题，两边分求）已知函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+

-()a ∈R . ⑴当1

2

a ≤

时，讨论()f x 的单调性； ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当1

4

a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，

求实数b 取值范围.

例13（二阶导转换）已知函数x x f ln )(=

⑴若

)()()(R a x a

x f x F ∈+=

，求)(x F 的极大值；

⑵若

kx x f x G -=2

)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.

例14（综合技巧）设函数1

()ln ().

f x x a x a R x =--∈

⑴讨论函数()f x 的单调性；

⑵若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点

11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，

使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.

②交点与根的分布

例15（切线交点）已知函数()()3

2

3,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()

1,1f 处的切线方程为20y +=．

⑴求函数()f x 的解析式；

⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值；

⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．

例16（根的个数）已知函数x x f =)(，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[-1，1]上的减函数.

（I ）求λ的最大值；

（II ）若

]1,1[1)(2

-∈++

ex x x f x

+-=2)(ln 2的根的个数．

例17（综合应用）已知函数

.23)32ln()(2

x x x f -

+=

⑴求f (x )在[0,1]上的极值；

⑵若对任意0

]3)(ln[|ln |],31

,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围；

⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.

③不等式证明

例18(变形构造法)已知函数

1)(+=

x a

x ?，a 为正常数．

⑴若)(ln )(x x x f ?+=，且a

29

=

，求函数)(x f 的单调增区间；

⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ，()22,y x B ，线段AB 的中点

为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '

>．

⑶若)(ln )(x x x g ?+=，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有1

)

()(1212-<--x x x g x g ，求a 的取值范

围．

例19(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2

>=a ax x x f .

（1）若2

)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）当1=a 时，设函数x x f x g )()(=

，若1),1,1

(,2121<+∈x x e x x ，求证4

2121)(x x x x +<

例20（绝对值处理）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值．

（I ）求实数a 的取值范围；

（II ）若方程9

)32()(2

+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；

（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．

例21（等价变形）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．

（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ?∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，

求实数b 的取值范围；

（Ⅲ）当2

0e y x <<<且e x ≠时，试比较x

y

x y ln 1ln 1--与

的大小．

例22（前后问联系法证明不等式）已知

217

()ln ,()(0)22f x x g x x mx m ==

++<，直线l 与函数

(),()f x g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。

（I ）求直线l 的方程及m 的值；

（II ）若()(1)'()()h x f x g x =+-其中g'(x)是g(x)的导函数，求函数()h x 的最大值。

（III ）当0b a <<时，求证：

()(2).2b a f a b f a a -+-<

例23(整体把握，贯穿全题)已知函数ln ()1x

f x x

=

-． （1）试判断函数()f x 的单调性；

（2）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值；

（3）试证明：对任意*n ∈N ，不等式11ln()e n n

n n

++<

都成立（其中e 是自然对数的底数）．

例24(化简为繁，统一变量)设a R ∈,函数()ln f x x ax =-.

（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在()1,2P -处的切线方程；

（Ⅱ）若()f x 无零点,求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）若()f x 有两个相异零点12,x x ,求证: 212x x e ?>.

例25（导数与常见不等式综合）已知函数2

11

()()1(1)t f x t x x x =

--++，其中为正常数． （Ⅰ）求函数()t f x 在(0,)+∞上的最大值； （Ⅱ）设数列{}n a 满足：15

3

a =

，132n n a a +=+，

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）证明：对任意的0x >，

231

()(*)n

n

f x n N a ≥∈； （Ⅲ）证明：2

121111

n n a a a n ++???+>

+．

例26（利用前几问结论证明立体不等式）已知函数f(x)=e x -ax(e 为自然对数的底数). (I )求函数f(x)的单调区间；

(II)如果对任意],2[+∞∈x ，都有不等式f(x)> x + x 2成立，求实数a 的取值范围；

(III)设*N n ∈,证明：n n )1(+n n )2(+n n )3(+…+n

n n )(<1-e e

例27已知函数()2

1

(0)2

f x ax x c a =+

+≠.若函数()f x 满足下列条件: ①()10f -=;②对一切实数x ,不等式()211

22

f x x ≤+恒成立.

(Ⅰ)求函数()f x 的表达式;

(Ⅱ)若21f t at ≤-+2

（

x ）对[]1,1x ?∈-,[]1,1a ?∈-恒成立,求实数t 的取值范围; (Ⅲ)求证:()()()*1112()122

n

n N f f f n n ++???+>∈+.

例28（数学归纳法）已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值.

（１）求实数m 的值；

（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在

0(,)x a b ∈，使得0()()

()f b f a f x b a

-'=

-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数

121112

()()

()()()f x f x g x x x f x x x -=

-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；

（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，

且

互

不

相

等

的

实

数

12,,,n

x x x L ，都有

1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .

④恒成立、存在性问题求参数范围

例29（传统讨论参数取值范围）已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---，1()x

g x xe

-=(,a R e ∈为自然对

数的底数)

（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；

（2）对任意的1(0,),()02

x f x ∈>恒成立，求a 的最小值；

（3）若对任意给定的(](]00,,0,(1,2)i x e e x i ∈=在上总存在两个不同的，

使得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围。

例30已知函数.|

|1)(x a x f -

= （1）求证：函数),0()(+∞=在x f y 上是增函数.

（2）若),1(2)(+∞<在x x f 上恒成立，求实数a 的取值范围.

（3）若函数],[)(n m x f y 在=上的值域是)](,[n m n m ≠，求实数a 的取值范围.

例31已知函数3

2()ln(21)2()3

x f x ax x ax a R =++--∈.

(1)若2x =为()f x 的极值点,求实数a 的值;

(2)若()y f x =在[)3,+∞上为增函数,求实数a 的取值范围;

(3)当12a =-时,方程()3

1(1)3x b f x x

--=+有实根,求实数b 的最大值.

例32（分离变量）已知函数

x a x x f ln )(2

+=(a 为实常数). (1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1,+∞)上是增函数； (2)求函数)(x f 在[1,e ]上的最小值及相应的x 值；

(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围.

例33（多变量问题，分离变量）已知函数32()(63)x

f x x x x t e =-++，t R ∈.

（１）若函数()y f x =依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值．

①求t 的取值范围；②若2

2a c b +=，求t 的值． （２）若存在实数

[]

0,2t ∈，使对任意的

[]

1,x m ∈，不等式 ()f x x ≤恒成立．求正整数m 的最大

值．

例34（分离变量综合应用）设函数2()ln f x a x bx =-.

⑴若函数()f x 在1x =处与直线1

2y =-

相切： ①求实数,a b 的值；②求函数()f x 在1

[,]e e

上的最大值；

⑵当0b =时，若不等式()f x ≥m x +对所有的2

3[0,],[1,]2

a x e ∈∈都成立，求实数m 的取值范围.

例35（先猜后证技巧）已知函数x

x n x f )

1(11)(++=

（Ⅰ）求函数f (x )的定义域

（Ⅱ）确定函数f (x )在定义域上的单调性，并证明你的结论.

（Ⅲ）若x >0时1

)(+>x k

x f 恒成立，求正整数k 的最大值.

例36（创新题型）设函数f(x)=e x +sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).

(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a 的值；

(Ⅱ)当 a=1时,设P(x 1,f(x 1)), Q(x 2, g(x 2))(x 1>0,x 2>0), 且PQ//x 轴,求P 、Q 两点间的最短距离； (Ⅲ)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a 的取值范围．

例37（创新题型）已知函数)(x f =)(1ln R a x ax ∈+-，x

xe

x g -=1)(.

(Ⅰ)求函数)(x g 在区间],0(e 上的值域；

（Ⅱ）是否存在实数a ，对任意给定的],0(0e x ∈，在区间],1[e 上都存在两个不同的 )2,1(=i x i ，

使得)()(0x g x f i =成立.若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）给出如下定义：对于函数)(F x y =图象上任意不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，如果对于函数

)

(F x y =图象上的点

),(00y x M （其中)2

2

10x x x +=

总能使得

))((F )(F )(F 21021x x x x x -'=-成立，则称函数具备性质“L ”，试判断函数)(x f 是不是具

备性质“L ”，并说明理由.

例38(图像分析，综合应用) 已知函数

)1,0(12)(2

<≠++-=b a b ax ax x g ，在区间[]3,2上有最大值4，最小值1，设()

()g x f x x =

．

（Ⅰ）求b a ,的值；

（Ⅱ）不等式

02)2(≥?-x x k f 在]1,1[-∈x 上恒成立，求实数k 的范围； （Ⅲ）方程

0)3|12|2

(

|)12(|=--+-x

x k f 有三个不同的实数解，求实数k 的范围．

⑤导数与数列

例39（创新型问题）设函数2()()()x f x x a x b e =-+，a b R ∈、，x a =是()f x 的一个极大值点．

⑴若0a =，求b 的取值范围；

⑵当a 是给定的实常数，设123x x x ，，是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x R ∈，使

得1234x x x x ，，，的某种排列1234,,,i i i i x x x x （其中{}1234i i i i ，，，={}1234，

，，）依次成等差数列?若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．

例40（数列求和，导数结合）给定函数2

()2(1)

x f x x =-

(1)试求函数()f x 的单调减区间;

(2)已知各项均为负的数列{}n a 满足,1

4(

)1n n

S f a ?=求证:1111ln n n n a n a ++-<<-; (3)设1

n n

b a =-

,n T 为数列{}n b 的前n 项和,求证:201220111ln 2012T T -<<.

⑥导数与曲线新题型

例41（形数转换）已知函数()ln f x x =, 2

1()2

g x ax bx =

+(0)a ≠.

(1)若2a =-, 函数()()()h x f x g x =- 在其定义域是增函数,求b 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设函数??2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)的最小值;

(3)设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q,过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ,问是否存在点R,使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行?若存在,求出R 的横坐标;若不存在,请说明理由.

例42（全综合应用）已知函数()1ln

(02)2x

f x x x

=+<<-. (1)是否存在点(,)M a b ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数

()y f x =的图像上?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由;

(2)定义21

1

1221()()()()n n i i n S f f f f n n n n

-=-=

=++???+∑

,其中*n ∈N ,求2013S ; (3)在(2)的条件下,令12n n S a +=,若不等式2()1n a

m n a ?>对*

n ?∈N 且2n ≥恒成立,求实数m 的取值

范围.

⑦导数与三角函数综合

例43（换元替代，消除三角）设函数2

()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值； （Ⅲ）当3a >，

[]

10k ∈-，时，若不等式22

(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立,求k

的值。

例44（新题型，第7次晚课练习）设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈.

(1)讨论()f x 的单调性

(2)设()1sin f x x ≤+,求a 的取值范围.

⑧创新问题积累

例45已知函数2()ln

44

x x

f x x -=+-. I 、求()f x 的极值.

II 、求证()f x 的图象是中心对称图形.

III 、设()f x 的定义域为D ,是否存在[],a b D ?.当[],x a b ∈时，()f x 的取值范围是,44

a b ??????

?若存

在,求实数a 、b 的值；若不存在，说明理由

例46已知函数14)(2

34-+-=ax x x x f 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减．

（1）求a 的值；

（2）设1)(2

-=bx x g ，若方程)()(x g x f =的解集恰好有3个元素，求b 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数对),(n m ，使)()(n x g m x f -+-为偶函数？如存在，求出n

m ,如不存在，说明理由．

导数压轴题题型归纳 参考答案

例1 (1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －

1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－1

0＋m

＝0?m ＝1， 定义域为{x |x >－1}，

f ′(x )＝e x

－1

x ＋m ＝e x (x ＋1)－1x ＋1

，

显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)， 则g ′(x )＝e x －1

x ＋2

(x >－2)．

h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1

(x ＋2)2>0，

所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根， 又g ′(－12)＝1e －13

2

<0，g ′(0)＝1－1

2>0，

所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间???

?－1

2，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1t ＋2＝0????－12

， 当x ∈(－2，t )时，g ′(x )g ′(t )＝0，g (x )单调递增； 所以g (x )min ＝g (t )＝e t

－ln(t ＋2)＝1

t ＋2＋t ＝(1＋t )2t ＋2

>0，

当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，

所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0. 例2（Ⅰ）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，

而()f x '=2x b +，()g x '=()x

e cx d c ++，∴a =4，b =2，c =2，d =2；……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2

()42f x x x =++，()2(1)x

g x e x =+， 设函数()F x =()()kg x f x -=2

2(1)42x

ke x x x +---（2x ≥-），

()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-，

有题设可得(0)F ≥0，即1k ≥， 令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2，