线性回归方程中的相关系数r教学文案
线性回归方程中的相
关系数r
线性回归方程中的相关系数r
r=∑(Xi-X的平均数)(Yi-Y平均数)/根号下[∑(Xi-X平均数)^2*∑(Yi-Y平均数)^2]
R2就是相关系数的平方，
R在一元线性方程就直接是因变量自变量的相关系数，多元则是复相关系数
判定系数R^2
也叫拟合优度、可决系数。表达式是:
R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS
该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量， R2往往增大
这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。
——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。
这就有了调整的拟合优度:
R1^2=1-(RSS/(n-k-1))/(TSS/(n-1))
在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:
其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。
总是来说，调整的判定系数比起判定系数，除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。
R = R接近于1表明Y与X1， X2 ，…， Xk之间的线性关系程度密切；
R接近于0表明Y与X1， X2 ，…， Xk之间的线性关系程度不密切
相关系数就是线性相关度的大小，1为（100%）绝对正相关，0为0%，-1为（100%）绝对负相关
相关系数绝对值越靠近1，线性相关性质越好，根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线，拟合的直线与描点所得图线也更相近。
如果其绝对值越靠近0，那么就说明线性相关性越差，根据数据点描出的图线和拟合曲线相差越远（当相关系数太小时，本来拟合就已经没有意义，如果强行拟合一条直线，再把数据点在同一坐标纸上画出来，可以发现大部分的点偏离这条直线很远，所以用这个直线来拟合是会出现很大误差的或者说是根本错误的）。
分为一元线性回归和多元线性回归
线性回归方程中,回归系数的含义
一元：
Y^=bX+a b表示X每变动（增加或减少）1个单位,Y平均变动（增加或减少）b各单位多元：
Y^=b1X1+b2X2+b3X3+a 在其他变量不变的情况下，某变量变动1单位，引起y平均变动
量
以b2为例：b2表示在X1、X3（在其他变量不变的情况下）不变得情况下，X2每变动1单位，y平均变动b2单位
就一个reg来说y=a+bx+e
a+bx的误差称为explained sum of square
e的误差是不能解释的是residual sum of square
总误差就是TSS
所以TSS=RSS+ESS
判定系数也叫拟合优度、可决系数。表达式是
该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量， R2往往增大
这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。
——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。
这就有了调整的拟合优度
在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。
总是来说，调整的判定系数比起判定系数，除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。
顺便补充一下：
一般做回归的时候要求拟合优度（实际值与拟合值相关系数的平方）越高越好，可以通过增加解释变量来实现，可是解释变量多了后很多解释变量的系数T检验不显著了，而且增加很多变量后模型的自由度就减少了，这些情况狂的存在往往使得模型预测不精确；修正拟合优度就是将残差平方和跟总离差平方和分别除以各自的自由度，这样就剔除了变量个数对其影响了。
首先有一个恒等式：TSS = ESS + RSS
即总偏差平方和 = 回归平方和 + 残差平方和
通常情况，我们都是讨论解释变量对总效应的贡献，使用一个叫“拟合优度”（或者叫“判定系数”）的指标
其定义为：
回归平方和 / 总偏差平方和 =ESS/TSS = (TSS-RSS)/TSS =(923-325)/923
如果说随机误差对总效应的贡献，那可以直接 RSS/TSS
因为 1 - (TSS-RSS)/TSS 就可以化为 RSS / TSS
SPSS中pearson（皮尔逊相关系数）看r值还是P值，确定相关性
两个值都要看，r值表示在样本中变量间的相关系数，表示相关性的大小；p值是检验值，是检验两变量在样本来自的总体中是否存在和样本一样的相关性。
SPSS回归系数 SIG
在SPSS软件统计结果中，不管是回归分析还是其它分析，都会看到“SIG”，
SIG=significance，意为“显著性”，后面的值就是统计出的P值，如果P值0.01 sig是指的的显著性水平，就是p值，一般来说接近0.00越好，过大的话只能说不显著，sig是F检验的结果，<0.01代表方程通过检验，进行回归分析是有效的 F表示数据的方差，sig表示显著性，也就是对F检验的结果，如果sig>0.05则说明模型受误差因素干扰太大不能接受。R是复相关系数，表示观测值和模型描述值之间的线性相关系数，越大越好。R方通俗的说就是解释率，就是说你的自变量能够解释多少因变量的变化。具体到你这个就是模型不能接受，自变量解释了22.1%,剩下的只能用误差解释。 spss软件的线性回归分析中，输出了一个anova表，表中的回归、残差、平 方和、df、均方、F、sig分别代表什么 回归是方法 残差是实测与预计值的差值 平方和有很多个，不同的平方和的意思不一样 df是自由度 均方是方差除以自由度 f是f分布的统计量 sig是p值 anova表中的“回归平方和”表示反应变量的变异中的回归模式中所包含的自变量所能解释的部分。“残差平方和”代表反应变量的变异中没有被回归模型所包含的变量解释的部分。这两个值与样本量及模型中自变量的个数有关，样本量越大，相应变异就越大。df是自由度，是自由取值的变量个数，F为F检验统计量，用于检验该回归方程是否有意义，当Sig对应的值小于0.05（当显著性水平为0.05时）时，说明所建立的回归方程具有统计学意义，即自变量和因变量之间存在线性关系。 多元线性回归分析中，t检验与F检验有何不同 t检验常能用作检验回归方程中各个参数的显著性，而f检验则能用作检验整个回归关系的显著性。各解释变量联合起来对被解释变量有显著的线性关系，并不意味着每一个解释变量分别对被解释变量有显著的线性关系 F检验主要是检验因变量同多个自变量的整体线性关系是否显著，在k个自变量中，只要有一个自变量同因变量的线性关系显著，t检验则是对每个回归系数分别进行单独的检验，以判断每个自变量对因变量的影响是否显著。 计算结果肺活量例子 标准化回归系数（Beta值）在多元回归中被用来比较变量间的重要性 B是指回归系数，beta是指标准回归系数，beta=B/S(B),beta是用来比较各个系数之间的绝对作用或者贡献的大小，B值是不能判断的绝对贡献的。 t值是对该回归系数B做假设检验的结果，P值小于0.05才可以认为有意义，但是具体问题要具体分析，有的时候要考虑交互作用等 常数项为负 p值0.04，拒绝常数项为0的假设，统计显著，没问题 beta coefficient就是标准回归系数，它是首先把各个自变量进行Z转换（数据值-数据平均值然后除以标准差）之后再进行回归，此时得出的回归系数称为标准化回归系数。Z转换可以把各个自变量的数级、量纲统一标准化，也就可以根据标准化回归系数的大小比较出各个自变量在回归方程中的效应大小。 标准回归系数 standardizedregressioncoefficient或standardregressioncoefficient 消除了因变量y和自变量x1，x2，…xn所取单位的影响之后的回归系数，其绝对值的大小直接反映了xi对y的影响程度 计算方法 对数据标准化，即将原始数据减去相应变量的均数后再除以该变量的标准差，计算得到的回归方程称为标准化回归方程，相应得回归系数为标准化回归系数。 公式 若假定回归方程的形式如下： Y=b0+b1X1+b2X2+…+bjXj+…+bJXJ(Y是估计值) 其中，回归参数b0,b1,…,bJ通过最小二乘法求得。 则标准化回归系数bj'=bj*(Xj的标准差/Y的标准差) 理解方法 标准化回归系数（Beta值）在多元回归中被用来比较变量间的重要性。但是由于重要性这一词意义的含糊性，这一统计常被误用。 有时人们说重要性，是指同样的条件下，哪一个东西更有效。在提高教学质量上，是硬件条重要还是师资更重要？如果是师资更重要，那么同样的物力投在师资上就可以更快地提高教学质量。但是这里要比较的两者必须有同样的测量单位，如成本（元）。如果变量的单位不同，我们不能绝对地说那个变量更重要。不同单位的两个东西是不能绝对地比出高低轻重来。要想进行绝对地比较，就需要两个东西有着共同的测度单位，否则无法比较。 而标准化回归系数说的重要性则与上面的意义不同，这是一种相对的重要性，与某一特定的情况下，自变量间的离散程度有关。比如说，虽然我们不能绝对地说出教育和年资在决定收入上那一个一定是重要的，但如果现在大家的教育程度比较相似，那么在收入的决定上，工作年数就是决定因素；反之，如果工作年数没有太大区别，那么教育就成为了重要原因。这里的重要性是相对的，是根据不同情况而改变的。再举一个通俗的例子，研究者研究的是遗传因 素和后天因素对于人成长的影响。那么在一个社会境遇悬殊巨大的环境中，有人在贫民窟成长，有人在贵族学校上学，那么我们会发现人格的大部分差异会从后天环境因素得到解释，而遗传的作用就相对较小；相反，如果儿童都是在一个相差不大的环境中长大的，你会发现，遗传会解释大部分的人格差异。这种意义上的重要性，不仅与这一自变量的回归系数有关系，而且还与这个自变量的波动程度有关系：如果其波动程度较大，那么就会显得较为重要；否则，就显得不太重要。标准化回归系数正是测量这种重要性的。从标准化回归系数的公式中也可看出，Beta值是与自变量的标准差与成正比的，自变量波动程度的增加，会使它在这一具体情况下的重要性增加。 但是如果将两种重要性混同，就会得到误导性结论。如环境因素的Beta值比遗传因素的Beta值大，就认为在个体的人格发展上应更注意环境因素，而轻视遗传因素，在目前对于Beta值的错误观念非常流行，甚至是一些高手中。 标准化回归系数的比较结果只是适用于某一特定环境的，而不是绝对正确的，它可能因时因地而变化。举例来说，从某一次数据中得出，在影响人格形成的因素中，环境因素的Beta值比遗传因素的Beta值大，这只能说明数据采集当时当地的情况，而不能加以任何不恰当的推论，不能绝对地不加任何限定地说，环境因素的影响就是比遗传因素大。事实上，如果未来环境因素的波动程度变小，很可能遗传因素就显得更为重要。数据的情况千差万别，变量的相对重要性也可能完全不同但都符合当时的实际情况。 F是组方差值， sig是差异性显著的检验值，该值一般与0.05或0.01比较，若小于0.05或者0.01 则表示差异显著 df是自由度 一般的sig 没有特别注明的都是指双侧检验，如果特别注明有单侧，那就是单侧的 所谓双侧的意思是有可能在大于，有可能小于的， 而单侧的意思是只有一边或者大于，或者小于的 关于求法还是看相关统计学教材吧里面讲起来比较复杂 你的分析结果有T值，有sig值，说明你是在进行平均值的比较。也就是你在比较两组数据之间的平均值有没有差异。 从具有t值来看，你是在进行T检验。T检验是平均值的比较方法。 T检验分为三种方法： 1. 单一样本t检验（One-sample t test），是用来比较一组数据的平均值和一个数值有无 差异。例如，你选取了5个人，测定了他们的身高，要看这五个人的身高平均值是否高于、低于还是等于1.70m，就需要用这个检验方法。 2. 配对样本t检验（paired-samples t test），是用来看一组样本在处理前后的平均值有无差异。比如，你选取了5个人，分别在饭前和饭后测量了他们的体重，想检测吃饭对他们的体重有无影响，就需要用这个t检验。 注意，配对样本t检验要求严格配对，也就是说，每一个人的饭前体重和饭后体重构成一对。 3. 独立样本t检验（independent t test），是用来看两组数据的平均值有无差异。比如，你选取了5男5女，想看男女之间身高有无差异，这样，男的一组，女的一组，这两个组之间的身高平均值的大小比较可用这种方法。 总之，选取哪种t检验方法是由你的数据特点和你的结果要求来决定的。 t检验会计算出一个统计量来，这个统计量就是t值， spss根据这个t值来计算sig值。因此，你可以认为t值是一个中间过程产生的数据，不必理他，你只需要看sig值就可以了。sig值是一个最终值，也是t检验的最重要的值。 sig值的意思就是显著性（significance），它的意思是说，平均值是在百分之几的几率上相等的。 一般将这个sig值与0.05相比较，如果它大于0.05，说明平均值在大于5%的几率上是相等的，而在小于95%的几率上不相等。我们认为平均值相等的几率还是比较大的，说明差异是不显著的，从而认为两组数据之间平均值是相等的。 如果它小于0.05，说明平均值在小于5%的几率上是相等的，而在大于95%的几率上不相等。我们认为平均值相等的几率还是比较小的，说明差异是显著的，从而认为两组数据之间平均值是不相等的。 总之，只需要注意sig值就可以了。 T值表示的是t值检验 sig是检验值一般不用看T值，只看sig的值是否小于0.05.如果是，说明通过检验了，说明两者在总体中存在相关关系。 如果你是做论文用下这样的统计，只需了解这些就可以了。 T值是t检验得出来的检验结果，t检验是一种差异性的检验，用于二组正态分布的数值形变量的检验，是一种差异性检验，检验二组是否存在差别。其值越大，差异越显著。 SIG是统计中用的P值，是根据T值的大小查表得出来的数值，他一般与0.05进行比较，小于0.05认为二组的差别显著，大于0.05则差别不显著。 R表示的是拟合优度，它是用来衡量估计的模型对观测值的拟合程度。它的值越接近1说明模型越好。但是，你的R值太小了。 T的数值表示的是对回归参数的显著性检验值，它的绝对值大于等于ta/2(n-k)（这个值表示的是根据你的置信水平，自由度得出的数值）时，就拒绝原假设，即认为在其他解释变量不变的情况下，解释变量X对被解释变量Y的影响是显著的。 F的值是回归方程的显著性检验，表示的是模型中被解释变量与所有解释变量之间的线性关系在总体上是否显著做出推断。若F>Fa(k-1,n-k),则拒绝原假设，即认为列入模型的各个解释变量联合起来对被解释变量有显著影响，反之，则无显著影响。 单尾双尾检测 通常假设检验的目的是两总体参数是否相等，以两样本均数比较为例， 无效假设为两样本所代表的总体均数相等； 备择假设为不相等（有可能甲大于乙，也有可能甲小于乙）既两种情况都有可能发生． 而研究者做这样的假设说明（１）他没有充分的理由判断甲所代表的总体均数会大于乙的或甲的会小于乙的；（２）他只关心甲乙两个样本各自所代表的总体均数是否相等？至于哪个大不是他关心的问题．这时研究者往往会采用双侧检验． 如果研究者从专业知识的角度判断甲所代表的总体均数不可能大于（或小于）乙的，这时一般就采用单侧检验． 例如：要比较经常参加体育锻炼的中学男生心率是否低于一般中学男生的心率，就属于单侧检验．因为根据医学知识知道经常锻炼的中学男生心率不会高于一般中学男生，因此在进行假设检验时应使用单侧检验． 单尾检验和双尾检验的区别在于他们拒绝H0的标准。单尾检验允许你在差异相对较小时拒绝H0，这个差异被规定了方向。另一方面，双尾检验需要相对较大的差异，这个差异不依赖于方向。 所有的研究者都同意单尾检验与双尾检验不同。一些研究者认为，双尾检验更为严格，比单尾检验更令人信服。因为双尾检验要求更多的证据来拒绝H0，因此提供了更强的证据说明处理存在效应。另一些研究者倾向于使用单尾检验，因为它更为敏感，即在单尾检验中相对较小的处理效应也可能是显著的，但是，它可能不能达到双尾检验的显著性要求。 那么我们是应该使用单尾检验还是双尾检验？？通常，双尾检验被用于没有强烈方向性期望的实验研究中，或是存在两个可竞争的预测时。例如，当一种理论预测分数增加，而另一种理论预测分数减少时，应当使用双尾检验。应当使用单尾检验的情况包括在进行实验前已经有方向性预测，或强烈需要做出方向性预测时。 Ho 假设检验（Hypothesis Testing）假设检验是用来判断样本与样本，样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的统计推断方法。其基本原理是先对总体的特征作出某种假设，然后通过抽样研究的统计推理，对此假设应该被拒绝还是接受作出推断。 生物现象的个体差异是客观存在，以致抽样误差不可避免，所以我们不能仅凭个别样本的值来下结论。当遇到两个或几个样本均数（或率）、样本均数（率）与已知总体均数（率）有大有小时，应当考虑到造成这种差别的原因有两种可能：一是这两个或几个样本均数（或率）来自同一总体，其差别仅仅由于抽样误差即偶然性所造成；二是这两个或几个样本均数（或率）来自不同的总体，即其差别不仅由抽样误差造成，而主要是由实验因素不同所引起的。假 设检验的目的就在于排除抽样误差的影响，区分差别在统计上是否成立，并了解事件发生的概率。 在质量管理工作中经常遇到两者进行比较的情况，如采购原材料的验证，我们抽样所得到的数据在目标值两边波动，有时波动很大，这时你如何进行判定这些原料是否达到了我们规定的要求呢？再例如，你先后做了两批实验，得到两组数据，你想知道在这两试实验中合格率有无显著变化，那怎么做呢？这时你可以使用假设检验这种统计方法，来比较你的数据，它可以告诉你两者是否相等，同时也可以告诉你，在你做出这样的结论时，你所承担的风险。假设检验的思想是，先假设两者相等，即：μ＝μ0，然后用统计的方法来计算验证你的假设是否正确。 1.小概率原理 如果对总体的某种假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件A（小概率事件）在一次试验中几乎不可能发生的；要是在一次试验中A竟然发生了，就有理由怀疑该假设的真实性，拒绝这一假设。 2.假设的形式 H 0——原假设，H1——备择假设 双尾检验：H 0:μ = μ0， 单尾检验：，H 1:μ < μ0，H1:μ > μ0假设检验就是根据样 本观察结果对原假设（H 0）进行检验，接受H0，就否定H1；拒绝H0，就接受H1。 检验过程是比较样本观察结果与总体假设的差异。差异显著，超过了临界点，拒绝H0；反之，差异不显著，接受H0。 克朗巴哈系数（Cronbach's α）是一个统计量，是指量表所有可能的项目划分方法的得到的折半信度系数的平均值，是最常用的信度测量方法。它最先被美国教育学家Lee Cronbach在1951年命名。 计算公式： 其中K为样本数，σ2X为总样本的方差，σ2Yi为目前观测样本的方差。 通常Cronbach α系数的值在0和1之间。如果X系数不超过0.6，一般认为内部一致信度不足；达到0.7-0.8时表示量表具有相当的信度，达0.8-0.9时说明量表信度非常好。Cronbach α系数的一个重要特性是它们值会随着量表项目的增加而增加，因此，Cronbach α系数可能由于量表中包含多余的测量项目而被人为地、不适当地提高。还有一种可以和Cronbach α系数同时使用的系数。系数能够帮助评价，在计算Cronbach α系数的过程中，平均数的计算是否掩盖了某些不相关的测量项目。不同的研究者对信度系数的界限值有不同的看法，有学者认为，在基础研究中Cronbach α系数至少应达到0.8才能接受，在探索研究中Cronbach α系数至少应达到0.7才能接受，而在实务研究中，Cronbach α系数只需达到0.6即可。 Cronbach α系数的实施技巧 要做信度分析需先检查每个问项是否都是同方向的（即都是正面问法，也就是题间的相关系数都是正的），如有一题与其它题相关系数都是负的，应考虑将此题先“变号”或“删除”后再进行计算α系数。如有受测者乱答，可将它的数据删除后再算α值。 对问卷调查当有题目与其它题目是负相关时须注意是否反向问法。如是，则应先将得分反向，再计算α信度或是删除该题。若为测验，则不能做反向处理，只能做删除题目。 标准化 Cronbach α系数的定义 若一份量表有n题，题间的平均相关系数为r，则此量表的标准化α系数为 α=nr/[(n-1)r+1] 耿老师总结的高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用 第一公式：线性回归方程为???y bx a =+的求法： （1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n = +++???+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n =+++???+ （3） 求变量x 的系数?b ，有两个方法 法112 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=??-+-++-?? （需理解并会代入数据） 法21 2 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-?=??+++-??（这个公式需要自己记忆，稍微简单些） （4） 求常数?a ，既??a y bx =- 最后写出写出回归方程???y bx a =+。可以改写为：??y bx a =-（?y y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据： 求y 与x 的回归方程： 解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x = +++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44 y =+++= （3）求变量x 的系数?b ，有两个方法 法1?b = []11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=??-+-+-+-??--+--+--+--==??-+-+-+-?? 法2?b =[][]11222222222212...011325374 1.5457 ...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-??+?+?+?-??==????+++-+++???? (4)求常数?a ，既525??4 1.577a y bx =-=-?= 最后写出写出回归方程525???77 y bx a x =+=+ 第二公式：独立性检验 两个分类变量的独立性检验： 注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。数 据b 具有两个属性1x ，2y 。数据c 具有两个属性2x ，2y 数据d 具有两个属性2x ，2y 而且列出表格是最重要。解题步骤如下 第一步：提出假设检验问题 （一般假设两个变量不相关） 第二步：列出上述表格 第三步：计算检验的指标 2 2 ()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 第四步：查表得出结论 例如你计算出2K =9大于表格中7.879，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.005，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或095.50 例如你计算出2K =6大于表格中5.024，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.025，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或097.50 上述结论都是概率性总结。切记事实结论。只是大概行描述。具体发生情况要和实际联系！！ ！！ 线性回归方程中的相关系数r r=∑(Xi-X的平均数)(Yi-Y平均数)/根号下[∑(Xi-X平均数)^2*∑(Yi-Y平均数)^2] R2就是相关系数的平方， R在一元线性方程就直接是因变量自变量的相关系数，多元则是复相关系数 判定系数R^2 也叫拟合优度、可决系数。表达式是: R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS 该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。 问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。 ——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。 这就有了调整的拟合优度: R1^2=1-(RSS/(n-k-1))/(TSS/(n-1)) 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响: 其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。 总是来说，调整的判定系数比起判定系数，除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。R = R接近于1表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度密切； R接近于0表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度不密切 相关系数就是线性相关度的大小，1为（100%）绝对正相关，0为0%，-1为（100%）绝对负相关 相关系数绝对值越靠近1，线性相关性质越好，根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线，拟合的直线与描点所得图线也更相近。 如果其绝对值越靠近0，那么就说明线性相关性越差，根据数据点描出的图线和拟合曲线相差越远（当相关系数太小时，本来拟合就已经没有意义，如果强行拟合一条直线，再把数据点在同一坐标纸上画出来，可以发现大部分的点偏离这条直线很远，所以用这个直线来拟合是会出现很大误差的或者说是根本错误的）。 分为一元线性回归和多元线性回归 线性回归方程中,回归系数的含义 一元： Y^=bX+a b表示X每变动（增加或减少）1个单位,Y平均变动（增加或减少）b各单位多元： Y^=b1X1+b2X2+b3X3+a 在其他变量不变的情况下，某变量变动1单位，引起y平均变动量 以b2为例：b2表示在X1、X3（在其他变量不变的情况下）不变得情况下，X2每变动1单位，y平均变动b2单位 就一个reg来说y=a+bx+e a+bx的误差称为explained sum of square e的误差是不能解释的是residual sum of square 线性回归中的相关系数 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 线性回归中的相关系数 山东胡大波 线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法．下面为同学们介绍相关系数法． 一、关于相关系数法 统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当 x不全为零，y i i 也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是： r就叫做变量y与x的相关系数（简称相关系数）． 说明：（1）对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号，当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关； （2）另外注意r的大小，如果[] r∈，，那么正相关很强；如果[] 0.751 r∈-- ，，那 10.75 么负相关很强；如果(] ，或[) r∈，，那么相关性一般；如果 0.300.75 r∈-- 0.750.30 [] r∈-，，那么相关性较弱． 0.250.25 下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线． 二、典型例题剖析 例1测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下： （1）对变量y 与x 进行相关性检验； （2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程； （3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高． 解：（1）66.8x =，67y =，10 21 44794i i x ==∑，10 21 44929.22i i y ==∑，4475.6x y =， 2 4462.24x =， 2 4489y =，10 1 44836.4i i i x y ==∑， 所以10 i i x y nx y r -= ∑ 80.4 0.9882.04 ≈ ≈， 所以y 与x 之间具有线性相关关系． （2）设回归直线方程为y a bx =+，则10 1102 21 1010i i i i i x y xy b x x ==-= -∑∑44836.444756 0.46854479444622.4 -= ≈-， 670.468566.835.7042a y bx =-=-?=． 故所求的回归直线方程为0.468535.7042y x =+． （3）当73x =英寸时，0.46857335.704269.9047y =?+=， 所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为英寸． 点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型． 例2 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表： 平均值、标准差、相关系数、回归线及最小二乘法相关性 线性相关 数据在一条直线附近波动，则变量间是线性相关 非线性相关 数据在一条曲线附近波动，则变量间是非线性相关 不相关 数据在图中没有显示任何关系，则不相关 平均值 N个数据的平均值计算公式： 标准差 标准差表示了所有数据与平均值的平均距离，表示了数据的散度，如果标准差小，表示数据集中在平均值附近，如果标准差大则表示数据离标准差比较远，比较分散。标准差计算公式： x、y两个变量组成了笛卡尔坐标系中的一 坐标(x,y)，这个坐标标识了一个点的位置。 个 各包含n个常量的X,Y两组数据在笛卡尔坐标系中以n个点来进行表示。 相关系数 相关系数用字母r来表示，表示两组数据线性相关的程度（同时增大或减小的程度），从另一方面度量了点相对于标准差的散布情况，它没有单位。包含n个数值的X、Y两组数据的相关系数r的计算方法： 简单的说，就是r=[(以标准单位表示的x )X(以标准单位表示的y )]的平均数 根据上面点的定义，将X、Y两组数据的关系以点的形式在笛卡尔坐标系中画出，SD线表示了经过中心点（以数据组X、Y平均值为坐标的点），当r>0时，斜率=X的标准 差/Y的标准差；当r<0时，斜率=-X的标准差/Y的标准差；的直线。通常用SD线来直观的表示数据的走向： 1、当r<0时,SD线的斜率小于0时，则说明数据负相关，即当x增大时y减少。 2、当r>0时，SD线的斜率大于0时，则说明数据正相关，此时当x增大时y增大。 3、相关系数r的范围在[-1,1]之间，当r=0时表示数据相关系数为0(不相关)。当r=正负1时，表示数据负相关，此(x,y)点数据都在SD线上。 4、r的值越接近正负1说明(x,y)越靠拢SD线，说明数据相关性越强，r的值越接近0说明(x,y)点到SD线的散度越大（越分散），数据相关性越小。 回归方法主要描述一个变量如何依赖于另一个变量。y对应于x的回归线描述了在不同的x值下y的平均值情况，它是这些平均值的光滑形式，如果这些平均值刚好在一条直线上，则这些平均值刚好和回归线重合。通过回归线，我们可以通过x值来预测y值（已知x值下y值的平均值）。下面是y对应于x的回归线方程： 简单的说，就是当x每增加1个SD，平均而言，相应的y增加r个SD。 从方程可以看出： 1、回归线是一条经过点，斜率为的直线。 2、回归线的斜率比SD线小，当r=1或-1时，回归线和SD线重合。 当用回归线从x预测y时，实际值与预测值之间的差异叫预测误差。而均方根误差就是预测误差的均方根。它度量回归预测的精确程度。y关于x的回归线的均方根误差用下面的公式进行计算: 由公式可以看出，当r越接近1或-1时，点越聚集在回归线附近，均方根误差越小； 反之r越接近0时，点越分散，均方根误差越大。 最小二乘法寻找一条直线来拟合所有的点，使得这条直线到所有的点之间的均方根误差最小。可以看到，当求两个变量之间的关系时，最小二乘法求出的直线实际上就是回归线。只不过表述的侧重点不同： 线性回归方程高考题 1、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：） 2、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)统计数据如下: 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若有数据知y对x呈线性相关关系.求: (1) 填出下图表并求出线性回归方程=bx+a的回归系数,; 序号x y xy x2 1 2 2.2 2 3 3.8 3 4 5.5 4 5 6.5 5 6 7.0 ∑ (2) 估计使用10年时,维修费用是多少. 3、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四实试验，得到的数据如下： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线； （3）试预测加工10个零件需要多少时间？ （注： 4、某服装店经营的某种服装，在某周内获纯利(元)与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如下表： 3 4 5 6 7 8 9 66 69 73 81 89 90 91 已知：． (Ⅰ)画出散点图； (1I)求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程． 5、某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 (1)画出散点图： (2)求回归直线方程； (3)据此估计广告费用为10时，销售收入的值． 多元线性回归模型的计算过程及案例分析 计算过程 （1） 根据 n 组观察样本的原始数据，12(,,,)t t t kt y x x x (1,2,,)t n = 写出如下矩阵： 111211221222 1211,1 k k n n n kn y x x x y x x x Y X y x x x ???? ? ? ? ?== ? ? ? ?? ??? （2） 计算1)X X X X -'''、(、X Y 。 （3） 计算参数向量B 的最小二乘法估计1??:()B B X X X Y -''=。 （4） 计算应变量观测值向量Y 的拟合值向量???:Y Y XB =。 （5） 计算残差平方和2 t e ∑及残差的标准差?: σ?σ = （6） 计算多重决定系数2R 和修正的多重系数2R ，作拟合检验。 22 2 1;() t t e R y y =- -∑∑ 22 2 /(1)1;()/(1) t t e n k R y y n --=- --∑∑ （7）计算参数估计?(0,1,2,,)j b j k = 的标准差：?();j s b σ=其中jj c 是矩阵 1 )X X -'(中第j 行第j 列位置上的元素。 （8）计算检验统计量t 和F 的值，作回归参数及回归方程的显著性检验。 在原假设0:0(0,1,2,,)j H b j k == 下的t 统计量为 ??/j t b σ= 在原假设001:0k H b b b === 下的F 统计量为 2 2()1 t t y y n k F k e ---= ? ∑∑。 （9）若模型未通过检验，则重新建立模型并重复上述步骤；若模型通过检验，且满足模型的古典假设，则可利用此模型进行结构分析或经济预测等实际应用 112233^ ^^^2 211(,),(,),(,)(,)1,2,3),()()n n i i i i i i n i i i i i i n x y x y x y x y y bx a x i n y bx a y y y a b Q y y bx a y ===+==+-=-=+-∑L L 设有对观察值,两变量符合线生回归设其回归方程为:，把自变量的某一观测值代(入入回归方程得:，此值与实际观测值存在一个差值，此差值称为剩余或误差。现要决定取何值时，才能够使剩余的平方和有最小值，即求11 2 21122 221 1111 22111:,()[()()()]()()()2()()2()()2()() ()2n n n i i i i n n i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i n i i x x y y n n Q bx a y a bx y y y b x x n a bx y y y b x x a bx y y y a bx y x x b x x y y b x x =============+-=+---+-=+-+-+--+---+-----=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑的最小值知又22 111 122211()()()()()()()()n n i i i i i n n i i i i i i n n i i i i b x x y y n a bx y y y b x x y y x y nx y b x x x n x a y bx ======--++-+----==--=-∑∑∑∑∑∑此式为关于的一元二次方程,当 多元线性回归的计算方法 摘要 在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭 消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。 多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由 于自变量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件。这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。 但由于各个自变量的单位可能不一样，比如说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素（自变量）的单位显然是不同的，因此自变量前系数的大小并不能说明该因素的重要程度，更简单地来说，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一的单位上来。前面学到的标准分就有这个功能，具体到这里来说，就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。这时的回归方程称为标准回归方程，回归系数称为标准回归系数，表示如下： Zy=β1Zx1+β2Zx2+…+βkZxk 注意，由于都化成了标准分，所以就不再有常数项a 了，因为各自变量都取平均水平时，因变量也应该取平均水平，而平均水平正好对应标准分0，当等式两端的变量都取0时，常数项也就为0了。 多元线性回归模型的建立 多元线性回归模型的一般形式为 Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+i i i i h x υβ+ =1,2,…,n 其中 k 为解释变量的数目，j β=（j=1,2,…,k)称为回归系数 （regression coefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为 E(Y∣X1i,X2i,…Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXki βj 也被称为偏回归系数（partial regression coefficient) 多元线性回归的计算模型 线性回归中的相关系 数 Revised on November 25, 2020 线性回归中的相关系数 山东胡大波 线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法．下面为同学们介绍相关系数法． 一、关于相关系数法 统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当 x不全 i 为零，y i也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是： r就叫做变量y与x的相关系数（简称相关系数）． 说明：（1）对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号，当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关； （2）另外注意r的大小，如果[] r∈，，那么正相关很强；如果 0.751 [] ，或[) 0.300.75 r∈，，那么相关 r∈-- 0.750.30 r∈-- ，，那么负相关很强；如果(] 10.75 性一般；如果[] 0.250.25 r∈-，，那么相关性较弱． 下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线． 二、典型例题剖析 例1测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下： （1）对变量y与x进行相关性检验； （2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程； （3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高． 解：（1）66.8x =，67y =，102 144794i i x ==∑，10 2144929.22i i y ==∑，4475.6x y =，2 4462.24x =， 24489y =，10 144836.4i i i x y ==∑， 所以10i i x y nx y r -∑ 80.40.9882.04 =≈≈， 所以y 与x 之间具有线性相关关系． （2）设回归直线方程为y a bx =+，则 101 102211010i i i i i x y xy b x x ==-=-∑∑44836.4447560.46854479444622.4 -=≈-， 670.468566.835.7042a y bx =-=-?=． 故所求的回归直线方程为0.468535.7042y x =+． （3）当73x =英寸时，0.46857335.704269.9047y =?+=， 所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为英寸． 点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型． 例2 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表： 第九章相关与回归 一．判断题部分 题目1：负相关指的是因素标志与结果标志的数量变动方向是下降的。（） 答案：× 题目2：相关系数为+1时，说明两变量完全相关；相关系数为-1时，说明两个变量不相关。（） 答案：√ 题目3：只有当相关系数接近+1时，才能说明两变量之间存在高度相关关系。（） 答案：× 题目4：若变量x的值增加时，变量y的值也增加，说明x与y之间存在正相关关系；若变量x的值减少时，y变量的值也减少，说明x与y之间存在负相关关系。（） 答案：× 题目5：回归系数和相关系数都可以用来判断现象之间相关的密切程度。（） 答案：× 题目6：根据建立的直线回归方程，不能判断出两个变量之间相关的密切程度。（） 答案：√ 题目7：回归系数既可以用来判断两个变量相关的方向，也可以用来说明两个变量相关的密切程度。（） 答案：× 题目8：在任何相关条件下，都可以用相关系数说明变量之间相关的密切程度。（） 答案：× 题目9：产品产量随生产用固定资产价值的减少而减少，说明两个变量之间存在正相关关系。（） 答案：√ 题目10：计算相关系数的两个变量，要求一个是随机变量，另一个是可控制的量。（） 答案：× 题目11：完全相关即是函数关系，其相关系数为±1。（） 答案：√ 题目12：估计标准误是说明回归方程代表性大小的统计分析指标，指标数值越大，说明回归方程的代表性越高。（） 答案× 二．单项选择题部分 题目1：当自变量的数值确定后，因变量的数值也随之完全确定，这种关系属于（）。 A.相关关系 B.函数关系 C.回归关系 D.随机关系 答案：B 题目2：现象之间的相互关系可以归纳为两种类型，即（）。 A.相关关系和函数关系 B.相关关系和因果关系 第二届苏北数学建模联赛优秀论文 抑制房地产泡沫问题的模型设计 朱朝霞，邸苏闯，陈成 （中国矿业大学，徐州221008） 摘要:本文讨论了影响房地产价格的主要因素，找出了价格和其主要因素之间近似成线性关系，从而建立表示房地产价格的数学模型——多元线性回归模型，并对模型进行了全方面的论述，得出求解其中各个参数的方法，并最终求出房地产价格。建模过程中，首先用科学分析的方法，确定主要因素并对其作数学抽象，再针对各因素综合运用多种数学方法进行分析求解。第一，用概率论与数理统计的方法找出价格和各个因素之间的近似线性关系，确定模型；第二，用最小二乘法求解模型中的参数；第三，用回归分析确定模型精度及检验，从而得出一个完整的数学模型；第四，通过该模型深入分析了影响房地产价格主要因素，提出了一些政策建议，把高的开发成本降下来，同时调整供给结构。第五，根据模型及建议进行合理的预测，最后分析模型的优缺点并提出了改进方向。 一问题重述 所谓房地产泡沫直的是商品房售价远远超过起实际的价值。近几年来，我国各大城市房价出现了普遍的持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅度增加，导致许多低收入人群买房难，目前我国城镇居民的人均居住面积只有发达国家的一半左右，甚至低于不少发展中国家，居民不是没有住房需求，而是现有的货币支付能力无法使其去实现购房的愿望。尽管现在买房可以贷款，可以分期付款，但这也需要居民有相当好的收入水平，还要用好多年来供房直到中年甚至更晚才可以还清，一生中最好的时光就都交给了房子。因此如何有效地抑制价格上扬，甚至能够降低房价，是一个备受关注的社会问题。下面就就这个问题展开分析与建立数学模型，来研究如何有效的抑制房价上扬。 二基本假设 影响房价的因素有许多，房屋建造成本、市场供求关系、城市经济发展、城市规模、等等。现假设房屋价格与各个因素间的关系均为线性关系，且： （1）房屋建造成本用竣工房屋造价来代替。 （2）城市经济发展用人均GDP来表示。 （3）城市规模用建成区面积来表示。 （4）市场供求关系通过消费者的支付能力竣工房屋价格来体现，而消费者的支付能力有通过在岗职工的平均工资来衡量。 （5）房地产价格通过房屋均衡价格来表示 （6）忽略消费者偏好如有无学校、绿化率、停车位、热水供应状态、通信、 线性回归中的相关系数 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 线性回归中的相关系数 山东胡大波 线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法．下面为同学们介绍相关系数法． 一、关于相关系数法 统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当 x不全为零，y i i 也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是： r就叫做变量y与x的相关系数（简称相关系数）． 说明：（1）对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号，当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关； （2）另外注意r的大小，如果[] r∈，，那么正相关很强；如果[] 0.751 r∈-- ，，那 10.75 么负相关很强；如果(] ，或[) r∈，，那么相关性一般；如果 0.300.75 r∈-- 0.750.30 [] r∈-，，那么相关性较弱． 0.250.25 下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线． 二、典型例题剖析 例1测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下： （1）对变量y 与x 进行相关性检验； （2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程； （3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高． 解：（1）66.8x =，67y =，10 21 44794i i x ==∑，10 21 44929.22i i y ==∑，4475.6x y =， 2 4462.24x =， 2 4489y =，10 1 44836.4i i i x y ==∑， 所以10 i i x y nx y r -= ∑ 80.4 0.9882.04 ≈ ≈， 所以y 与x 之间具有线性相关关系． （2）设回归直线方程为y a bx =+，则10 1102 21 1010i i i i i x y xy b x x ==-= -∑∑44836.444756 0.46854479444622.4 -= ≈-， 670.468566.835.7042a y bx =-=-?=． 故所求的回归直线方程为0.468535.7042y x =+． （3）当73x =英寸时，0.46857335.704269.9047y =?+=， 所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为英寸． 点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型． 例2 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表： 线性回归中的相关系数 山东 胡大波 线性回归问题在生活中应用广泛,求解回归直线方程时,应该先判断两个变量就是否就是线性相关,若相关再求其直线方程,判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法就是绘制散点图;另外一种方法就是量化的检验法,即相关系数法.下面为同学们介绍相关系数法. 一、关于相关系数法 统计中常用相关系数r 来衡量两个变量之间的线性相关的强弱,当i x 不全为零,y i 也不全为零时,则两个变量的相关系数的计算公式就是: ()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---= = ∑∑r 就叫做变量y 与x 的相关系数(简称相关系数). 说明:(1)对于相关系数r ,首先值得注意的就是它的符号,当r 为正数时,表示变量x ,y 正相关;当r 为负数时,表示两个变量x ,y 负相关; (2)另外注意r 的大小,如果[]0.751r ∈，,那么正相关很强;如果[]10.75r ∈--，,那么负相关很强;如果(]0.750.30r ∈--， 或[)0.300.75r ∈，,那么相关性一般;如果[]0.250.25r ∈-，,那么相关性较弱. 下面我们就用相关系数法来分析身边的问题,确定两个变量就是否相关,并且求出两个变量间的回归直线. 二、典型例题剖析 (1)对变量y 与x 进行相关性检验; (2)如果y 与x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程; (3)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子身高. 解:(1)66.8x =,67y =,10 2 1 44794i i x ==∑,10 21 44929.22i i y ==∑,4475.6x y =,2 4462.24x =, 2 4489y =,10 1 44836.4i i i x y ==∑, 二、多元线性回归模型 在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。 （一）多元线性回归模型的建立 假设某一因变量 y 受k 个自变量x 1,x 2,...,x k 的影响，其n 组观测值为（y a ,x 1a ,x 2a ,...,x ka ）， a 1,.2..,n 。那么，多元线性回归模型的结构形式为： y a 1x 1a 2x 2a ... k x ka a （3.2.11） 式中： 0,1 ,..., k 为待定参数； a 为随机变量。 如果b 0,b 1,...,b k 分别为 0,1, 2 ... , k 的拟合值，则回归方程为 ?=b 0 b 1x 1 b 2x 2 ... b k x k （3.2.12） 式中： b 0为常数； b 1,b 2,...,b k 称为偏回归系数。 偏回归系数b i （i1,2,...,k ）的意义是，当其他自变量 x j （j i ）都固定时，自变量 x i 每 变化一个单位而使因变 量 y 平均改变的数值。 根据最小二乘法原理， i （i 0,1,2,...,k ）的估计值b i （i 0,1,2,...,k ）应该使 n 2 n 2 Q y a y a y a b 0 b1x1a b2x2a ... bkxk a min （3.2.13） a 1 a1 有求极值的必要条件得 Q n 2 y a y a 0 b 0 a 1 （3.2.14） Q n 2 y a yaxja 0(j 1,2,...,k) b j a1 将方程组（3.2.14）式展开整理后得： 步骤一、建立模型 知识点： 1、总体回归模型、总体回归方程、样本回归模型、样本回归方程 ①总体回归模型：研究总体之中自变量和因变量之间某种非确定依赖关系的计量模型。Y X U β=+ 特点：由于随机误差项U 的存在，使得Y 和X 不在一条直线/平面上。 例1：某镇共有60个家庭，经普查，60个家庭的每周收入（X ）与每周消费（Y ）数据如下： 作出其散点图如下： ②总体回归方程（线）：由于假定0EU =，因此因变量的均值与自变量 总处于一条直线上，这条直线()|E Y X X β=就称为总体回归线（方程）。 总体回归方程的求法：以例1的数据为例 ，求出E (Y |X 由于01|i i i E Y X X ββ=+，因此任意带入两个X i 和其对应的E (Y |X i )值，即可求出01ββ和，并进而得到总体回归方程。 如将()()2227 77100,|77200,|137X E Y X X E Y X ====和代入 ()01|i i i E Y X X ββ=+可得：0100117710017 1372000.6ββββββ=+=?????=+=?? 以上求出01ββ和反映了E (Y |X i )和X i 之间的真实关系，即所求的总体回归方程为：()|170.6i i i E Y X X =+，其图形为： ③样本回归模型：总体通常难以得到，因此只能通过抽样得到样本数据。 如在例1中，通过抽样考察，我们得到了20个家庭的样本数据： 那么描述样本数据中因变量Y 和自变量X 之间非确定依赖关系的模型 ?Y X e β =+就称为样本回归模型。 ④样本回归方程（线）：通过样本数据估计出?β ，得到样本观测值的拟合值与解释变量之间的关系方程??Y X β=称为样本回归方程。如下图所示： ⑤四者之间的关系： ⅰ：总体回归模型建立在总体数据之上，它描述的是因变量Y 和自变量X 之间的真实的非确定型依赖关系；样本回归模型建立在抽样数据基础之上，它描述的是因变量Y 和自变量X 之间的近似于真实的非确定型依赖 高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用 第一公式：线性回归方程为???y bx a =+的求法： （1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n = +++???+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n =+++???+ （3） 求变量x 的系数?b ，有两个方法 法112 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=??-+-++-?? （需理解并会代入数据） 法21 2 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-?=??+++-??（这个公式需要自己记忆，稍微简单些） （4） 求常数?a ，既??a y bx =- 最后写出写出回归方程???y bx a =+。可以改写为：??y bx a =-（?y y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据： 求y 与x 的回归方程： 解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x = +++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44 y =+++= （3）求变量x 的系数?b ，有两个方法 法1?b = []11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=??-+-+-+-??--+--+--+--==??-+-+-+-?? 法2?b =[][]11222222222212...011325374 1.5457 ...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-??+?+?+?-??==????+++-+++???? (4)求常数?a ，既525??4 1.577a y bx =-=-?= 最后写出写出回归方程525???77y bx a x =+=+ 第二公式：独立性检验 两个分类变量的独立性检验： 注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。数 据b 具有两个属性1x ，2y 。数据c 具有两个属性2x ，2y 数据d 具有两个属性2x ，2y 而且列出表格是最重要。解题步骤如下 第一步：提出假设检验问题 （一般假设两个变量不相关） 第二步：列出上述表格 第三步：计算检验的指标 22 ()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 2K =9大于表格中7.879，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.005，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或095.50 例如你计算出2K =6大于表格中5.024，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.025，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或097.50 上述结论都是概率性总结。切记事实结论。只是大概行描述。具体发生情况要和实际联 系！！！！ 线性回归之最小二乘法 线性回归 Linear Regression——线性回归 是机器学习中有监督机器学习下的一种简单的回归算法。 分为一元线性回归(简单线性回归)和多元线性回归,其中一元线性回归是多元线性回归的一种特殊情况,我们主要讨论多元线性回归如果因变量和自变量之间的关系满足线性关系(自变量的最高幂为一次),那么我们可以用线性回归模型来拟合因变量与自变量之间的关系. 简单线性回归的公式如下: y^=ax+b hat y=ax+by^?=ax+b 多元线性回归的公式如下: y^=θTx hat y= theta^T x y^?=θTx 上式中的θthetaθ为系数矩阵,x为单个多元样本. 由训练集中的样本数据来求得系数矩阵,求解的结果就是线性回归模型,预测样本带入x就能获得预测值y^hat yy^?,求解系数矩阵的具体公式接下来会推导. 推导过程 推导总似然函数 假设线性回归公式为y^=θxhat y= theta xy^?=θx. 真实值y与预测值y^hat yy^?之间必然有误差?=y^?yepsilon=hat y-y?=y^?y,按照中心极限定理(见知识储备),我们可以假定?epsilon?服从正态分布,正态分布的概率密度公式为: ρ(x)=1σ2πe?(x?μ)22σ2rho (x)=frac {1}{sigmasqrt{2pi}}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}ρ(x)=σ2π?1?e?2σ2(x?μ)2? 为了模型的准确性,我们希望?epsilon?的值越小越好,所以正态分布的期望μmuμ为0.概率函数需要由概率密度函数求积分,计算太复杂,但是概率函数和概率密度函数呈正相关,当概率密度函数求得最大值时概率函数也在此时能得到最大值,因此之后会用概率密度函数代替概率函数做计算. 我们就得到了单个样本的误差似然函数(μ=0,σmu=0,sigmaμ=0,σ为某个定值): ρ(?)=1σ2πe?(?0)22σ2rho (epsilon)=frac {1}{sigmasqrt{2pi}}e^{-frac{(epsilon-0)^2}{2sigma^2}}ρ(?)=σ2π?1?e?2σ2(?0)2? 而一组样本的误差总似然函数即为: Lθ(?1,?,?m)=f(?1,?,?m∣μ,σ2)L_theta(epsilon_1,cdots,e psilon_m)=f(epsilon_1,cdots,epsilon_m|mu,sigma^2)Lθ?(?1?,? ,?m?)=f(?1?,?,?m?∣μ,σ2) 因为我们假定了?epsilon?服从正态分布,也就是说样本之间互相独立,所以我们可以把上式写成连乘的形式: f(?1,?,?m∣μ,σ2)=f(?1∣μ,σ2)?f(?m∣μ,σ2)f(epsilon_ 第七章相关分析与回归分析 一、单项选择题 1.相关分析是研究变量之间的 A.数量关系 B.变动关系 C.因果关系 D.相互关系的密切程度 2.在相关分析中要求相关的两个变量 A.都是随机变量 B.自变量是随机变量 C.都不是随机变量 D.因变量是随机变量 3.下列现象之间的关系哪一个属于相关关系？ A.播种量与粮食收获量之间关系 B.圆半径与圆周长之间关系 C.圆半径与圆面积之间关系 D.单位产品成本与总成本之间关系 4.正相关的特点是 A.两个变量之间的变化方向相反 B.两个变量一增一减 C.两个变量之间的变化方向一致 D.两个变量一减一增 5.相关关系的主要特点是两个变量之间 A.存在着确定的依存关系 B.存在着不完全确定的关系 C.存在着严重的依存关系 D.存在着严格的对应关系 6.当自变量变化时, 因变量也相应地随之等量变化,则两个变量 之间存在着 A.直线相关关系 B.负相关关系 C.曲线相关关系 D.正相关关系 7.当变量X值增加时,变量Y值都随之下降,则变量X和Y之间存 在着 A.正相关关系 B.直线相关关系 C.负相关关系 D.曲线相关关系 8.当变量X值增加时,变量Y值都随之增加,则变量X和Y之间存 在着 A.直线相关关系 B.负相关关系 C.曲线相关关系 D.正相关关系 9.判定现象之间相关关系密切程度的最主要方法是 A.对现象进行定性分析 B.计算相关系数 C.编制相关表 D.绘制相关图 10.相关分析对资料的要求是 A.自变量不是随机的，因变量是随机的 B.两个变量均不是随机的 C.自变量是随机的，因变量不是随机的 D.两个变量均为随机的 11.相关系数 A.既适用于直线相关，又适用于曲线相关 B.只适用于直线相关 C.既不适用于直线相关，又不适用于曲线相关 D.只适用于曲线相关 12.两个变量之间的相关关系称为线性回归方程的求法(需要给每个人发)
线性回归方程中的相关系数r
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统计学课后习题答案第七章 相关分析与回归分析