椭圆中定点定值问题(与焦点弦有关)

椭圆中的“定”

二、与椭圆的焦点弦有关

4. 椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的离心率为e ，PQ 为过椭圆焦点2F 而不垂直于x 轴的弦，且PQ

的中垂线交x 轴于R ，则

22PQ F R e

=. 5.PQ 为过椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的一个焦点2F 的弦，2F K 为焦准距，e 为椭圆的离心率，则222112PF QF e F K

+=.

6.（1）PQ 为过椭圆12222=+b

y a x C ：()0>>b a 焦点F 的弦，PQ 的中垂线交F 所在的椭圆的对称轴于R ，直线RF 交F 所对应的准线于K ，则P 、K 、Q 、R 四点共圆.

（2）弦MN （异于长轴）过椭圆

122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，过椭圆左顶点1A 的两条直线11,A M A N

交椭圆的准线l 于,S T 两点,则以ST 为

直径的圆一定过椭圆的右焦点2F 和2

F 关于准线的对称点

.

（3）弦MN 过椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，椭圆的准线l 交

椭圆的对称轴于点D ,则

22MDF NDF ∠=∠.

（4）P 为椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 上任一点，2F 为椭圆右焦点，过P 作椭圆的切

线交椭圆的右准线于点N ，则

222ON PF b k k a

=-.

7.(1,2,3,)n n P Q n =为过圆锥曲线的一个焦

点2F 的弦，n n P Q 的中垂线交2F 所在的曲线的

对称轴于n R ，则过,,(1,2,3,)n n n P Q R n =的

圆必交于同一点2,0a c ?? ???

.

8. 弦AB （异于长轴）过椭圆122

22=+b y a x C ：

()0>>b a 的焦点，过B A ,两点分别作椭圆的两条切

线交圆222x y a +=于,M M '两点，则

（1）MM '是圆222x y a +=的一条直径，且四边形

MM BA '为梯形；

（2）角APB ∠为锐角；

（3）若两切线的交点为P ，当点P 为2,0a c ?? ???时，APB ?的面积最小，其最小值为4

b ac

.

9.在椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 通径（过焦点且垂直于焦点轴的弦）的延长线上任取

一点()00,P x y 作椭圆两条切线12,PP PP ，

则切点弦12PP ，x 轴和准线l 三线共点.

10.直线l 是过椭圆122

22=+b y a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，它与经过椭圆左

顶点1A 的切线交于点N ，椭圆的左焦点F 和

点N 的的连线FN 与左准线交于点M ，则椭

圆的右顶点2A ，切点P 及点M 三点共线.

11.直线l 是过椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，它与经过椭圆右顶点2A 的切

线交于点N ，椭圆的左焦点F 和点N 的的连线

FN 与左准线交于点M ，则椭圆的左顶点1A ，

切点P 及点M 三点共线.

12.直线l 是过椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，过该椭圆右的左焦点1F 作1F N l ⊥，

且与椭圆的左准线交于点M ，则椭圆的中心O ，切

点P 及点M 三点共线.、

13. 如图，点F 是椭圆122

22=+b y a x C ：()0>>b a 的右焦点，直线l 是椭圆的右准线，点

P 在椭圆上且PF x ⊥轴，AB 是经过右焦点F

的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相

交于点M ，则2PA PB PM k k k +=.

14. 过椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的焦点(),0F c 作倾斜角为θ的直线，交椭圆于,A B 两点，则2221cos ep AB e θ

=-（e 为离心率，p 为焦参数（通径长的一半））. 15. 弦AB 过椭圆122

22=+b

y a x C ：()0>>b a 的焦点F ，且AF FB λ=（点A 位于点B 之上），则弦AB 所在直线的斜率()()

()2

22110,11e k λλλλ+=-≠≠±-.

高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题

与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件

9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件

10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件

圆锥曲线焦点弦问题

圆锥曲线焦点弦问题

θ2222 sin 2c a ab - 高考题：1.过抛物线)0(22 >=p py x 的焦点F 作倾斜角为300的直线与抛物线交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧），则 =FB AF 解:由公式：11cos +-= λλθe 得:11-21+=λλ，解得λ=3，∴=FB AF 3 1 2.双曲线122 22=-b y a x ，AB 过右焦点F 交双曲线与A 、B ，若直线AB 的斜率为3， 4=则双曲线的离心率e= 解：∵由已知tan θ=3∴θ=600, 由公式：11cos +-= λλθe 得：e 11-21+=λλ=1 41 -4+ ∴ e= 5 6 3.（2010高考全国卷）已知椭圆C ：12222=+b y a x （a>b>0）,离心率23 =e ，过右焦点且 斜率为k （k>0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若3=，则k=（ B ）

A 、1 B 、2 C 、3 D 、2 解：由公式：11 cos +-= λλθe 得cos θ=3 1∴ k=tan θ=2;故选B 。 4.2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为 ，过 且斜率为的直线交 于 两点。若 ，则 的离心率为（ ） 解 这里，所以，又，代入公式得，所 以 ，故选。 5.（08高考江西）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物 线交于 两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解 如图3，由题意知直线 与抛物线的地称轴的夹角 ，当点 在 轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。

6.（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 7.已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。8.（2009年高考福建）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿ 解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。 11.（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿ 解易知均在右支上，因为，离心率，点准距 ，因倾斜角为，所以。由焦半径公式得， 。

与焦点弦相关的问题

三、与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1 ） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=? 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件

9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2 ） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=? 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件

10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ= 恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件

高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题

与焦点弦相关的问题 8.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质(定值1） 问题探究８ 已知椭圆22 143 x y +=,1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ,B 两点,是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣A Ｂ∣的最小值.(借用柯西不等式) 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件

9.椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质(定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=,1F 为椭圆之左焦点,过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ,B 两点和Ｃ，Ｄ两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ,使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求四边 形AB ＣＤ面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件

10.椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于Ａ，B 两点,AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ,使1AB F D λ=恒成立? 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长 轴于点D ,则∣D Ｆ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半(F 为焦点) 备用课件 设双曲线焦点弦ＡB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣D Ｆ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半(F 为焦点) 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ,则∣ＤF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件

椭圆中定点定值问题(与焦点弦有关)

椭圆中的“定” 二、与椭圆的焦点弦有关 4. 椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的离心率为e ，PQ 为过椭圆焦点2F 而不垂直于x 轴的弦，且PQ 的中垂线交x 轴于R ，则 22PQ F R e =. 5.PQ 为过椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的一个焦点2F 的弦，2F K 为焦准距，e 为椭圆的离心率，则222112PF QF e F K +=. 6.（1）PQ 为过椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 焦点F 的弦，PQ 的中垂线交F 所在的椭圆的对称轴于R ，直线RF 交F 所对应的准线于K ，则P 、K 、Q 、R 四点共圆. （2）弦MN （异于长轴）过椭圆 122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，过椭圆左顶点1A 的两条直线11,A M A N 交椭圆的准线l 于,S T 两点,则以ST 为 直径的圆一定过椭圆的右焦点2F 和2 F 关于准线的对称点 .

（3）弦MN 过椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，椭圆的准线l 交 椭圆的对称轴于点D ,则 22MDF NDF ∠=∠. （4）P 为椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 上任一点，2F 为椭圆右焦点，过P 作椭圆的切 线交椭圆的右准线于点N ，则 222ON PF b k k a =-. 7.(1,2,3,)n n P Q n =为过圆锥曲线的一个焦 点2F 的弦，n n P Q 的中垂线交2F 所在的曲线的 对称轴于n R ，则过,,(1,2,3,)n n n P Q R n =的 圆必交于同一点2,0a c ?? ??? . 8. 弦AB （异于长轴）过椭圆122 22=+b y a x C ： ()0>>b a 的焦点，过B A ,两点分别作椭圆的两条切 线交圆222x y a +=于,M M '两点，则 （1）MM '是圆222x y a +=的一条直径，且四边形 MM BA '为梯形； （2）角APB ∠为锐角； （3）若两切线的交点为P ，当点P 为2,0a c ?? ???时，APB ?的面积最小，其最小值为4 b ac .

高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题

与焦点弦相关的问题 8. 椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为 常数 1 1 2 ---- 1 ---- = --- I Af ； I IBf ； I ep 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和 为常数 AB 在同支 Ill _ 2 IA 存 I IBFJ 一亦 AB 在异支I ________ I=Z IAFil IB 斤 I 一印 备用课件 拋物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和 为常数 1 1 _ 2 IAF I + IBF ?~7p 备用课件 已知椭圆｝ +十=1,耳为椭圆之左焦点，过点片的直线交椭圆于力，B 两点、,是否存在 = λFA ? FB 恒成立?并由此求I AB \的最小值.（借用柯西不等式） FiB = 2.09 . AFI = 1.56 ?ie ?? FB = 3.54 JlJK AfiiF = 2.44 穌 FO ≡ 1.44 P = 2.89 米 一 + ”.—=— BF AF ep ?+?=0? 69l ^i ?, - = 0,69.Ψ??1 问题探究8

9.椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦 性质（定值2） 实验成果动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 1 1 2-e1 ----- + ------- = -------- IABl ICDl 2ep 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 1 1 2-e2 + = IABl ICDl 2ep 备用课件 问题探究9 2 2 已知椭圆丄- + 2- = 1, Fl为椭圆之左焦点，过点片的直线人 仏分别交椭圆于儿3两点和 C, Q两点，且厶丄心，是否存在实常数几，^IASI+ ∣CD∣ = 2∣ΛB∣?∣CD∣恒成立.并由此求四边形 =15.03凰米 B = 6.91 O 同支线段 a = C = 398 A?+?= 0?21,,,?^ 异支线段 A拖 B CD z°08,r^ 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 1 1 _\2-e 2 I ? AB ?+? CD ?~ Iep 备用课件 - IBBiI的IE交焦点孩性J? J 0X. ? 一 。 一 ? A ?

椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式θ2222 21cos 2c a ab F F -=及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题。 结论：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ 2222 21cos 2c a ab F F -=。 例1.已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点， 设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长 解：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，由焦点弦长公式 θ2222 21cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-??α，解得αcos ±=22-，即 α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2.在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。 解：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2 2 22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32 +=c c a ；由焦点弦长公式有3cos 22222π c a ab -=5 16；又 222c b a +=；解得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13 )1(4)4(2 2=-+-y x 。 例3.已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的5 2，求椭圆C 的方程。 解：由题意可知直线1l 过椭圆C 的长、短轴的两个端点，故有822=+b a ，又由焦点弦长公式得 θ2222cos 2c a ab -=54a ， 因tan θ=3，得3 πθ=，又 222c b a += ，解得：62=a ，22=b ，从而所求椭圆E 的方程为1262 2=+y x 。

高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题

问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件

问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件

椭圆难题(包括答案)-精选.

关于焦点三角形与焦点弦 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法 典例剖析 1 求椭圆的标准方程

【例2】设椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线 分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85 AP PQ =u u u r u u u r （1）求椭圆的离心率。 （2）若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。 【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为右准线交x 轴于点A ，右焦点为F ， 且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程 （2）若0OP OQ ?=u u u r u u u r ，求直线l 的方程 （4）求OPQ V 的最大面积

2 椭圆的性质 【例6】已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭 圆上存在一点P ，使得120PF PF ?=u u u r u u u r （1）求椭圆离心率e 的取值范围 （2）当离心率e 取最小值时，12PF F V 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点， 若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。①求椭圆的方程；②求直线AB 的斜率k 的取值范围。

求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况： （1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足0a x a -≤≤；（3）0?>； （4）椭圆内部的点()00,x y 满足22 00221x y a b +<； 【例7】椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1的直线过椭圆的右焦点2F 与椭圆 交于,A B 两点，OA OB +u u u r u u u r 与向量()3,1a =-r 共线。