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自动控制原理-第5章新系统频域分析

第5章控制系统的频域分析

时域分析法具有直观、准确的优点，主要用于分析线性系统的过渡过程。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不容易实现。

本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。频域法是通过分析不同谐波的输入时系统的稳态响应，故又称为频率响应法。利用此方法，将传递函数从复域引到具有明确物理概念的频域来分析系统的特性。

频率分析的优点较多。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去确定系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求，并且可以同时确定系统工作的频率范围。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。这对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，采用频率特性可以较方便地解决此类问题。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。

控制系统的时域分析法和频域分析法，作为经典控制理论的两个重要组成部分，既相互渗透，又相互补充，在控制理论中占有重要地位。频率特性具有较强的直观性和明确的物理意义，可用实验的方法测量系统的频率响应，因此，频率特性分析的方法在控制工程中广泛应用。

频率特性的定义是以输入信号为谐波信号给出的。当输入信号为周期信号时，可将其分解为叠加的频谱离散的谐波信号；当输入信号为非周期信号时，可将非周期信号看成周期为无穷大的周期信号，因此，非周期信号分解为叠加的频谱连续的谐波信号。这样一来，就可用关于系统对不同频率的谐波信号的响应特性研究，取代关于系统对任何信号的响应特性的研究。

5.1频率特性概述

5.1.1频率特性的基本概念

1频率响应：线性定常控制系统或元件对正弦输入信号（或谐波信号）的稳态正弦输出响应称为频率响应。

为了说明频率响应，先看一个RC 电路，如图5-1（R-C 电路）所示。设电路的输入、输出电压分别为()r u t 和()c u t ，电路的传递函数为

()1

()()1

c r U s G s U s Ts =

=+ 式中，RC T =为电路的时间常数。

若给电路输人一个振幅为X 、频率为ω的正弦信号

)

t (u r )

t (u c 图5-1 R-C 电路

即：

()sin r u t X t ω= (5-1)

当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为

11()()11c r X U s U s Ts Ts s ω

ω=

=?+++ 对上式取拉氏反变换，得出输出时域解为

()22()arctan 1t T c XT u t e t T T ωωωω-=+-+

上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。当∞→t 时，第一项趋于0，电路稳态输出为 ()()?ωωωω

+=-+=

t sin B T arctan t sin T X )t (u cs 2

1 （5-2）

式中，2

1ω

T X B +=

为输出电压的振幅；?为)(t u c 与)(t u r 之间的相位差。

式(5-2)表明：R-C 电路在正弦信号)(t u r 作用下，过渡过程结束后，输出的稳态响应仍是一个与输入信号同频率的正弦信号，只是幅值变为输入正弦信号幅值的2211

ωT +倍，相位则滞后了

ωT arctan 。

上述结论具有普遍意义。事实上，一般线性系统(或元件)输人正弦信号t X t x ωsin )(=的情况下，系统的稳态输出（即频率响应）)sin()(?ω+=t Y t y 也一定是同频率的正弦信号，只是幅值和相位不一样。

如果对输出、输入正弦信号的幅值比X Y A =和相位差?作进一步的研究，则不难发现，在系统结构参数给定的情况下，A 和?仅仅是ω的函数，它们反映出线性系统在不同频率下的特性，分别称为幅频特性和相频特性，分别以)(ωA 和)(ω?表示。

2频率特性：线性定常系统在正弦输入信号的作用下，其稳态输出（频率响应）的幅值与输入信号的幅值比称为幅频特性，记作0()

()()

i X A X ωωω=

；输出信号与输入信号的相位之差称为相频特性，记

作()?ω；它们都是频率ω的函数，两者合称为系统的频率特性，记作()()A ω?ω∠或()

()j A e ?ωω。

也就是说频率特性定义为ω的复变函数，其幅值为()A ω，相位为()?ω。

3频率特性和传递函数的关系设线性定常系统的传递函数为

m)(n a s a s a s a b s b s b s b s)(X s)(X ＝s)(G 0

11n 1n n n 0

11m 1m m m i 0≥++++++++=

----

有 (s)X )

s (s )s )(s s (s a ）b s b s b s b （(s)X i n 21n

011m 1m m m 0---++++=-- （5-3）

当给系统输入正弦波信号时，即i i x (t)X sin ωt =，

则 2

2i i ω

s ω

X (s)＝

X +，代入（5-3）式，可得系统输出为

2i n 21n 011m 1m m m

o ω

s ω

X )s (s )s )(s s (s a ）b s b s b s （b (s)＝

X +---++++-- )j ω

s b j ωs b ()s (s a ＝n

1i i i -+++-∑

= （5-4）

式中，i s 为系统特征方程的根，i a 、b 、b （b 为b 的共轭复数）为待定系数。对式（5-4）进行拉氏反变换，得系统输出为

()

t j t j n

i t s i o e b be e a t x i ωω++=-=∑1

)( （5-5）

对于稳定系统而言，上式中第一部分为瞬态响应。由于系统特征根s i 均具有负实部，故当时间t →∞时，瞬态响应趋近于零；第二部分为稳态响应，用)(t x os 表示

t j t j os e b be t x ωω+=-)( （5-6）

其中，b 、b 由待定系数法求得，

()2

)(2)()())(()(j e A X j j G X j s j s j s X s G b j i i j s i ω?ωωωωωωω--=-

--=++-＝＝

()

)(2)()())(()(j e A X j j G X j s j s j s X s G b j i i j s i ω?ωωωωωωω＝

＝=-+-= 将b 、b 代入式（5-6）中，则系统稳态响应为：

[][]

()()[]ωωωωω?ωω?ωj G t X j G j e e A X t x i t j t j i os ∠+=+=+-+sin 2

)()()()(

由欧拉公式可得

[])(sin )(ω?ω+=t X t x o os （5-7）

式（5-7）表明，线性系统在正弦信号作用下，其输出量的稳态分量的频率与输入信号相同，其幅值

)(ωA X X i o ＝，相位差为)(ω?，即)()(ωωj G A ＝，)()(ωω?j G ∠=。

因)()()(ωωωj G j G j G ＝∠，所以)(ωj G 为系统的频率特性，而)(ωj G 可直接将)(s G 中的s 以j ω代之而得到。这就说明了传递函数与频率特性之间的关系。

4频率特性的表达方式

系统的频率特性函数是一种复变函数，其矢量图如图5-2所示，可用以下几种方式表示：（我不太明白，你看看是什么意思。公式中并没有矢量，而是通过幅值和相位来表示的。如果是图中问题的话，没有办法编辑，你重新画吧。）

① 代数式 )()(ωωωjV U j G +=）（式中：)(ωU 为实频特性，)(ωV 为虚频特性。幅频特性 ()()2

2)()()()(ωωωωV U j G A +=

＝

相频特性 )

()

()()(ωωωω?U V arctg

j G -=∠＝ ② 三角函数式[])(sin )(cos )(ω?ω?ωωj A j G +=）

（ ③ 极坐标式 )()(ω?ωω∠=A j G ）（

④ 复指数式 )

()(ω?ωωj e A j G =）

（

图5-2 频率响应矢量图

5频率特性的特点和作用

频率特性分析方法广泛应用于机械、电气、流体传动等各种系统中，是分析线性定常系统的基本方法之一。系统的频率特性有几下特点：

① 系统频率特性就是单位脉冲响应函数()t ω的傅里叶变换，即()t ω的频谱。所以，对系统频

率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析，F[()t ω]＝G （j ω）。

② 时间响应分析主要用于分析线性系统的过渡过程，以获得系统的动态特性，而频率特性分析

则通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应，以获得系统的动态特性。

③ 在研究系统的结构及参数的变化对系统性能的影响时，许多情况下，频域分析法比时域分析

法要容易些。

④ 若研究系统的阶次较高，特别是对于不能用解析法求得微分方程的系统，在时域中分析系统，

时域分析进行比较困难。而采用频率特性分析可以较方便地解决此问题。

⑤ 若系统在输入信号的同时，在某些频带中有严重的噪声干扰，则对系统采用频率特性分析法

可以设计出合适的通频带，以抑制噪声的影响。

由此可见，在经典控制理论中，频域分析法比时域分析法更有优势。

5.1.2频率特性的求取及表示方法

频率特性求取内容主要包括其相频特性与幅频特性，一般有三种方法求取。

1）定义法如果已知系统的微分方程，可将输入变量以正弦函数代入，求系统输出变量的稳态解（频率响应），输出变量的稳态解与输入变量的复数比即为系统的频率特性函数。

2）j ω替代法如果已知系统的传递函数，可将系统传递函数中的s 以j ω替代，即可得到系统的频率特性函数。

3）试验法这是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法。根据频率特性的定义，首先，保持输入正弦信号的幅值和初相角不变，只改变频率ω，测出输出信号的幅值和相位角。然后，作出幅值比-频率ω的函数曲线，此即幅频特性曲线()A ω；作出相位差-频率ω的函数曲线，此即相频特性曲线()?ω。

例5-1 已知系统的传递函数1+=Ts K

s G ）（，求其频率特性。解法1）定义法

因()sin i i x t X t ω=，则2

2ωω+s X s X i i ）＝

（

所以2

21)()(ω

ω++=

s X Ts K

s X s G s X i i o ）＝（拉氏反变换得 )sin(112222ωωω

ωωarctgT t T K X e T KT X t x i T t

i o

-+++=-）（式中，第一项为瞬态分量，第二项为稳态分量。

依据定义得系统的幅频特性为

1ω

ωT K A +=

）（，

系统的相频特性为 ωω?arctgT －）

（= 解法2）j ω替代法系统的频率特性为

)(1)1)(1()1(1ωω

ωωωωωωT jTK K jT jT jT K jT K s G j G j s +-=-+-=+=

==）（）（

幅频特性2

1)()(ω

ωωT K j G A +=

相频特性ωωωφarctgT j G -=∠=)()(。

5.2 频率特性的极坐标（Nyquist ）图描述

控制系统频率特性的表示方法有幅相频率特性（Nyquist ）图法、对数频率特性（Bode ）图法和对数幅相频率特性（Nichols ）图法，而Nyquist 图法与Bode 图法更为常用。

5.2.1

()[]ωj G 复平面

幅相频率特性是在图5-3所示的()[]ωj G 复平面上研究的，当ω从0到+∞变化时，()[]ωj G 作为一个矢量，其端点在()[]ωj G ]复平面上所形成的轨迹就是频率特性的极坐标图，亦称乃奎斯特图（Nyquist 曲线）。它一方面表示了幅值与频率、相位与频率的关系特性，同时也表示了实频U （ω）和虚频V （ω）的变化特性。

图5-3 频率特性的极坐标图

5.2.2典型环节的Nyquist 图

由于任何系统的数学模型均可以看成为由若干个典型环节组成，因此掌握典型环节的幅相频率特性是研究控制系统幅相频率特性的关键。

（1)比例环节

比例环节的传递函数是 K s G =）（，K>0

令s = jω,则可得比例环节的频率特性为 K j G =）

（ω 显然，实频特性U 为恒值K ，虚频特性V 恒为0，所以幅频特性 K K V U )j (G =+=

+=022

相频特性 ?===∠00)K /arctan()U /V arctan()j (G ω

可见，当ω从0→∞变化时，()[]ωj G 的幅值和相角均不变。所以比例环节的Nyquist 为实轴上的

一个定点（K ，j0）。如图5-4（a ）所示。

（2)积分环节

积分环节的传递函数是 s

s G 1

）（，同样方法可得频率特性 ()ωωj j G 1=

实频特性U 为恒值0，虚频特性V= 1/ω-。

所以幅频特性 |G （j ω）|＝1/ω 相频特性 ∠G （j ω）＝－90o

当ω＝0时，|G （j ω）|=∞，∠G （j ω）＝－90o 当ω→∞时，|G （j ω）|= 0，∠G （j ω）＝－90o

可见，当ω从0→∞变化时，G （j ω）的幅值由∞→0，相角恒为－90o。所以积分环节的Nyquist 图是一与虚轴负段重合的直线，且由无穷远处指向原点。如图5-4（b)所示。

（3)微分环节

微分环节的传递函数 G （s ）= s

频率特性 G （j ω）＝j ω

实频特性U 为恒值0，虚频特性V= ω。所以幅频特性 |G （jω）|＝ω；相频特性 ∠G （jω）＝90o。

当ω = 0时，|G （jω）|＝0，∠G （jω）＝90o 当ω = ∞时，|G （jω）|＝∞，∠G （jω）＝90o

可见，当ω从0→∞变化时，G （jω）的幅值由0→∞，相角恒为90o。所以微分环节的Nyquist 图为虚轴的上半轴，且由原点指向无穷远点。如图5-4（c)所示。

（a) 比例环节（b)积分环节

（c)微分环节

图5-4 比例、积分和微分环节的Nyquist 图

（4)惯性环节

惯性环节的传递函数是 G （s ）＝

+Ts ，频率特性 G （jω）＝

ωjT +11＝2

211ωT ++ω

T T j +-1 实频特性 U （ω）＝2

211

ωT + 虚频特性 V （ω）＝ω

T T +-1.

幅频特性 |G （jω）|＝

11ω

T +,

相频特性 ∠G （jω）＝ — arctgTω。当ω＝0时，|G （jω）|＝1，∠G （jω）＝0o；

当ω＝1/T 时，|G （jω）|＝22，∠G （jω）＝-45o；

当ω＝∞时，|G （jω）|＝0，∠G （jω）＝-90o。

可见，当ω从0→∞变化时，G （jω）的幅值由1→0，相角为0→－90o。所以惯性环节的Nyquist -图为正实轴下的一个半圆，圆心为（1/2,j0）,半径为1/2。这一点可证明如下：

虚频特性与实频特性之比为：

ωωωT U V -=)

()

(，将其代入实频特性表达式、展开并配方得:

22121??

? ??=+??? ??）

（）－（ωωV U , 上式代表一个圆的方程式，圆的半径为21，圆心在（21，j0）处，如图5-5所示（图中标注ω的变化方向）。

[]

()G j ωω=∞

-(1,0)

j 0

ω=1/T

ω=

图5-5惯性环节的Nyquist 图

例5-2已知某环节的幅相特性曲线如图5-6所示，当输入频率1=ω的正弦信号时，该环节稳态响应的相位迟后?30，试确定环节的传递函数。

解根据幅相特性曲线的形状，可以断定该环节传递函数形式为

)(+=

Ts K

j G ω 依题意有 10)0()0(===K j G A ?-=-=30arctan )1(T ? 因此得 10=K ， 33=T

所以 13

10)(+=

s s G

惯性环节是一种低通滤波器，从幅频特性可以看出，该滤波器低频信号容易通过，而高频信号通

图5-6 幅相特性曲线

过后幅值衰减较大。

5)一阶微分环节(或称导前环节)

一阶微分环节的传递函数是G （s ）＝1+ Ts 频率特性 G （j ω）＝1+jT ω 实频特性 U （ω）＝1，虚频特性 V （ω）＝T ω

幅频特性 |G （j ω）|＝221ωT +,

相频特性 ∠G （j ω）＝arctgT ω。

当ω＝0时，|G （j ω）|＝1，∠G （j ω）＝0o 当ω＝1/T 时，|G （j ω）|＝22，∠G （j ω）＝45o

当ω＝∞时，|G （j ω）|＝∞，∠G （j ω）＝90o

可见，当ω从0→∞变化时，G （j ω）的幅值由1→∞，相角为0→90o，所以微分环节的Nyquist 图为一条始于（1，j0）点，平行于虚轴，位于第一象限的一条垂线，如图5-7所示。

图5-7 一阶微分环节的Nyquist 图

6)二阶振荡环节

二阶振荡环节的传递函数为

G （s ）＝)10 1

(2121

222

2??=

++=++ξωωξωωξ，T

s s s T s T n n n n 频率特性 G （j ω）＝22

n n j j ωωζωωω++）（＝n n j ωω

ξωω211

+???

? ??－

幅频特性 |G （j ω）|＝

2211

????

??+???

????

????? ??-n n ωωξωω，

相频特性 ∠G （j ω）＝-arctg

12???

? ??-n n

ωωωωξ

当ω＝0时，|G （j ω）|＝1，∠G （j ω）＝0o

当ω＝ωn 时，|G （j ω）|＝）

（ξ21，∠G （j ω）＝-90o 当ω＝∞时，|G （j ω）|＝0，∠G （j ω）＝-180o

可见，当ω从0→∞变化时，G （j ω）的幅值由1→0，相角为0→－180o。所以二阶欠阻尼系统的环节的Nyquist 图始于（1，j0）点，终止于原点，曲线与虚轴的交点频率就是无阻尼固有频率n ω，

此时幅值为）（ξ21，曲线分布在第三、第四像限，如图5-8所示。

在阻尼比ξ较小时，幅频特性|G （j ω）|在频率为ωr 处出现峰值，此峰值称为谐振峰值，ωr

称为谐振频率。ωr 可由下式求得：

(==r

d dA ωωω

ω-

ωr ＝221ξω－n （5-8） |G （j ωr ）|＝

121ξ

ξ－（5-9）

从式（5-8）可知，当ξ<22时，ωr 才存在；ξ越小，ωr 越大，ξ＝0时，ωr ＝ωn 。

图5-8二阶振荡环节的Nyquist 图

7)二阶微分环节

二阶微分环节的传递函数是 G （s ）＝122

2++s T s T ξ

频率特性 G （j ω）＝ξωωT j T 21

2+－实频特性 U （ω）＝2

ωT －虚频特性 V （ω）＝ξωT 2 幅频特性 |G （j ω）|＝

()

21)T (T ξωω+-

相频特性 ∠G （j ω）＝arctan

212ω

ξω

T T - 当ω＝0时， |G （jω）|＝1，∠G （jω）＝0o

当n T ωω==1时，|G （jω）|＝ζ2，∠G （jω）＝90o

当ω＝∞时，|G （jω）|＝∞，∠G （jω）＝180o

可见，当ω从0→∞变化时，G （j ω）的幅值由1→∞，相角由0→180o。所以二阶微分环节的环节的Nyquist 图始于（1，j0）点，为上半平面上的曲线，并且ζ取值不同，其图形也不同。曲线与虚轴的交点的频率为n ωω==1，此时的幅值为ξ2，如图5-9所示。

123

ζζζ>>

图5-9二阶微分环节的Nyquist 图

8)延迟环节

延迟环节的传递函数是 G （s ）＝s e τ-,

频率特性为 G （j ω）＝τωj e -＝τωτωsin cos j -

实频特性 U （ω）＝τωcos 虚频特性 V （ω）＝-τωsin 幅频特性 |G （j ω）|＝1 相频特性

∠G （j ω）＝-τω

可见，延迟环节的Nyquist 图是一个单位圆。其幅频特性A （ω）恒为1，而相频特性Φ（ω）随频率ω顺时针方向变化而成正比变化，即矢量端点在单位圆上无限循环,如图5-10所示。

图5-10延迟环节的Nyquist 图

例5-3设一系统的开环传递函数为)

12(10

+=s s s G ）

（，试绘制其乃奎斯特图。

解：开环系统的频率特性为

）

））（2241(10

41(20)21)((10ωωωωωω+-++-=+=

j j j j G

由上式可见，系统是由比例环节、积分环节和一个惯性环节串联而成的。

实频特性）

）

（2

41(20

ωω+-=j U ，虚频特性）

）

（241(10

ωωω+-=j U 。

幅频特性 )

41(10

ωωω+=

）（j G ，

相频特性 ωω290arctg j G --=∠

）

（；当ω＝0时，U （ω）＝－20，V （ω）＝－∞

|G （j ω）|＝∞，∠G （j ω）＝－90o；当ω＝∞时，U （ω）＝0，V （ω）＝0 |G （j ω）|＝0，∠G （j ω）＝－180o；

该系统的Nyquist 图如图5-11所示。不难看出，当ω→0时，Nyquist 曲线渐近于过点（－20，j0）且平行于虚轴的直线。

图5-11例5-3的Nyquist 图

5.2.2 开环系统的幅相特性曲线

如果已知开环频率特性)(ωj G ，可令ω由小到大取值，算出)(ωA 和)(ω?相应值，在G 平面描点绘图可以得到比较准确的开环系统幅相特性。

实际系统分析过程中，往往只需要知道幅相特性的大致图形即可，并不需要绘出准确曲线。可以将开环系统在s 平面的零极点分布图画出来，令ωj s =沿虚轴变化，当∞→=0ω时，分析各零点、极点指向ωj s =的复向量的变化趋势，就可以概略画出开环系统的幅相特性曲线。概略绘制的开环Nyquist 图应反映开环频率特性的三个重要因素：

（1）开环Nyquist 图的起点（0=ω）和终点（∞=ω）。（2）开环Nyquist 图与实轴的交点设g ωω=时，)(ωj G 的虚部为

0)](Im[=g j G ω （5-10）

或

,2,1,0;)()(±±==∠=k k j G g g πωω? （5-11）

称g ω为相角交界频率，开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为

[]

)()(Re g g j G j G ωω= （5-12）

（3）开环Nyquist 图随ω的变化范围即曲线所在的象限及幅频特性、相频特性随ω的变化趋

势。

例5-4 单位反馈系统的开环传递函数)(s G 为

112111111

)1)(1()(T s T T s T s K s T s T s K s G v

v +?+?

=++=

分别概略绘出当系统型别3,2,1,0=v 时的开环幅相特性。

解讨论1=v 时的情形。在s 平面中画出)(s G 的零极点分布图，如图5.12（a ）所示。系统开环频率特性为

)

)(1()

)()(()(2

13212

1T j T j j T T K p s p s p s T T K j G ++=

---=

ωωωω

在s 平面原点存在开环极点的情况下，为避免0=ω时)(ωj G 相角不确定，我们取+

==0j j s ω作为起点进行讨论。(+

0到0距离无限小，如图5-12所示。)

1112221133322

0009011

001100s p j A s p j A T T s p j A T T ???+++-=+=∠=∠-=+=∠=∠-=+

=∠=

∠ 90)0(3

∞∠=-∠=

∴∑∏==+

i i i i

j G ?

当ω由+

0逐渐增加时，2

1,1,

T j T j j +

ωωω三个矢量的幅值连续增加；除

901=?外，32,??均由0连续增加，分别趋向于 90。

当∞==j j s ω时

901

900332

3221

211

1∞∠=∠=+

∞=-∞∠=∠=+∞=-∞∠=∠=-∞=-???A T j p s A T j p s A j p s 2700)(3

-∠=-∠=

∞∴∑∏==i i i i

j G ?

由此可以概略绘出)(ωj G 的幅相曲线如图5-12（b ）中曲线1G 所示。

同理，讨论3,2,0=v 时的情况，可以列出表5-1，相应概略绘出幅相曲线分别如图5-12（b ）中320,,G G G 所示。

（a ）

1=v 时)(s G 的零极点图（b ）对应不同型别幅频曲线

图5-12 例5-4图

υ )(ωj G

)0(+j G

)(∞j G

零极点分布

)

1)(1()(210++=

ωωωjT jT K j G

0∠K 1800-∠

)

1)(1()(211++=

ωωωωjT jT j K j G

90-∞∠ 2700-∠

)

1)(1()()(2122++=

ωωωωjT jT j K

j G

180-∞∠ 3600-∠

I I I

)

1)(1()()(213

3++=

ωωωωjT jT j K

j G 270-∞∠ 4500-∠

当系统在右半s 平面不存在零、极点时，系统开环传递函数一般可写为

)()

1()1)(1()1()1)(1()(2121m n s T s T s T s s s s K s G n m >++++++=

-υυτττ

开环幅相曲线的起点)0

j G 完全由K ，υ确定，而终点)(∞j G 则由m n -来确定。

???>-∞∠=∠=+时

时09000

)0(υυ

K j G

)(900)(m n j G --∠=∞

而∞→=+0ω

过程中)(ωj G 的变化趋势，可以根据各开环零点、极点指向ωj s =的矢量之模、

相角的变化规律概略绘出。

例5-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为

)

1)(15.0()

21()(2

+++=

s s s s k s G k 试概略绘出系统开环幅相曲线。

解系统型别2=v ，零点—极点分布图如图5-13(a)所示。显然（1）起点 180)0(-∞∠=+j G k

（2）终点

2700)(-∠=∞j G k

（3）与坐标轴的交点

()

)]5.0()5.21([1)25.01()(2

22ωωωω

ωωω--+-++=

j k j G k

（a ）（b ）

图5-13 极点—零点分布图与幅相特性曲线

令虚部为0，可解出当5.02

=g ω（即707.0=g ω）时，幅相曲线与实轴有一交点，交点坐标

为

()[]

k j G R g e 67.2-=ω

概略幅相曲线如图5-13（b ）所示。

5.3 频率特性的对数坐标（Bode ）图描述

5.3.1 概述

对数频率特性曲线又叫伯德(Bode)曲线。它由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成，是频率法中应用最广泛的一组图线。Bode 图是在半对数坐标纸上绘制出来的。横坐标采用对数刻度，纵坐标采用线性的均匀刻度。

Bode 图中，对数幅频特性是)(ωj G 的对数值)(lg 20ωj G 和频率ω的关系曲线；对数相频特性则是)(ωj G 的相角)(ω?和频率ω的关系曲线。在绘制Bode 图时，为了作图和读数方便，常将两种曲线画在半对数坐标纸上，采用同一横坐标作为频率轴，横坐标虽采用对数分度，但以ω的实际值标定，单位为s /rad (弧度／秒)。所以横坐标的最小值是大于零的任意实数。横坐标的起点可根据实际所需的最低频率来决定

画对数频率特性曲线时，必须掌握对数刻度的概念。尽管在ω坐标轴上标明的数值是实际的ω值，但坐标上的距离却是按ω值的常用对数ωlg 来刻度的。坐标轴上任何两点1ω和2ω (设12ωω>)之间的距离为12lg lg ωω-，而不是12ωω-。横坐标上若两对频率间距离相同，则其比值相等。

频率ω每变化10倍称为一个十倍频程，记作dec 。每个dec 沿横坐标走过的间隔为一个单位长度，如图5.14所示。由于横坐标按ω的对数分度，故对ω而言是不均匀的，但对ωlg 来说却是均匀的线

性刻度。

对数幅频特性图的纵轴是将)(ωA 取常用对数，并乘上20倍，使其变成对数幅值)(L ω，即

)(lg 20)(ωωA L =称为对数幅值，单位是dB(分贝)。幅值)(ωA 每增大10倍，对数幅值)(L ω就增

加20dB 。由于纵坐标)(L ω已作过对数转换，故纵坐标值是线性刻度的。

对数相频特性图的纵坐标为相角)(ω?，单位是度，采用线性刻度。

对数幅频特性与对数相频特性合起来称为频率特性的对数坐标图，又称波德（Bode ）图，如图5-14所示。为了方便直观比较起见，两张图上下对齐。

(?ω(L

图5-14 Bode 图坐标系

频率特性的Bode 图表示具有如下优点：

1）可将串联环节幅值的乘、除转化为幅值的加、减，从而简化了计算和作图过程；

2）可用近似方法作图。先分段作出对数频率特性的渐近线，再用修正曲线对渐近线进行修正； 3）可分别作出各典型环节的波德图，再用叠加的方法得出系统的波德图，并由此可看出各环节对系统总特性的影响；

4）由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了(低频段频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意义)，而将高频段相对压缩了。可以在较宽的频段范围中研究系统的频率特性。

5.3.2 典型环节的Bode 图

（1）比例环节

比例环节的频率特性是 ()G j K ω=

对数幅频特性 ()L ω＝20lg ()20lg G j K ω= 对数相频特性 ()()0G j ?ωω?

=∠=

分析可知，比例环节频率特性的幅值和相角均不随ω变化，故其对数幅频特性为一水平线，而对数相频特性恒为0o，如图5-15所示。

0(?ω(L ω

图5-15 比例环节的Bode 图

（2）积分环节

积分环节的频率特性是 ()ω

ωω11j j j G -==

对数幅频特性 ωω

ωlg 201

20)(-==L

对数相频特性 ?-=90)(ω? 当ω＝1时，dB L 01

lg 20)(==ω

ω，?-=90)(ω?

当ω＝10时dB L 201

20)(-==ω

ω，?-=90)(ω?

可见，积分环节的对数幅频特性是一条过点（1，0）的直线，其斜率为－20dB/dec （dec 表示十

倍频程，即横坐标的频率由ω增加到10ω）

，即频率每扩大10倍，对数幅频特性下降20dB 。对数相频特性恒为一条－

90o的水平线，如图5-16所示。

()?ω()L ω

图5-16积分环节的Bode 图

（3）微分环节

微分环节的频率特性是 ()ωωj j G = 对数幅频特性 ωωlg 20)(=L 对数相频特性?=90)(ω? 。

当ω＝1时， dB L 0lg 20)(==ωω，?=90)(ω?；当ω＝10时，dB L 20lg 20)(==ωω，?=90)(ω?。

可见，微分环节的对数幅频特性是一条过点（1，0）的直线，其斜率为20dB/dec ，即频率每扩大10倍，对数幅频特性上升20dB 。对数相频特性恒为+90o，如图5-17所示。

(L ω(?ω

图5-17微分环节的Bode 图

（4）惯性环节

惯性环节的频率特性是 ()ω

ωjT j G +=

对数幅频特性 ()L ω=－20lg 221ωT +，对数相频特性 ωω?T arctan )(-=

当ω?1/T 时，L （ω）≈0dB ，即对数幅频特性在低频段近似为0dB 水平线，称为低频渐近线。当ω?1/T 时，L （ω）≈－20lgT ωdB ，即对数幅频特性在高频段近似为斜率等于-20dB/dec 的直线，称为高频渐近线。低频渐近线与高频渐近线在ω＝1/T 处相交，称ω＝1/T 的频率为转折频率，记为ωT 。

当ω＝0时，()?ω＝0o，当T

T 1

=ωω时，()?ω＝－45o，当ω→∞时，()?ω→－90o。对数相频特性是一条反正切函数曲线，所以相位曲线关于0

45?=-弯点是斜对称的。惯性环节的 Bode 图如图5-18。

L(ωφ(0

图5-18惯性环节的Bode 图

（5）一阶微分环节

一阶微分环节的频率特性为()ωωjT j G +=1，它与惯性环节的频率特性互为倒数。因此，一阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和对数相频特性分别以横坐标轴互为镜像对称。

一阶微分环节用低频、高频渐近线描绘的波德图如图5-19所示。

L(ω0φ(0

图5-19一阶微分环节的Bode 图

（6）二阶振荡环节

二阶振荡环节的频率特性为

)(12arctan

222222)

2()1(1211)(ωω

ξωξωωζωωT T j e T T T j T j G --+-=+=－对数幅频特性 ()L ω=－20lg

()

21）（ωζωT T +-

对数相频特性 ()?ω＝2

212arctan

ωωζT T －-

当ω?1/T 时，L （ω）≈0dB ，即对数幅频特性在低频段近似为0dB 水平线，称为低频渐近线。当ω?1/T 时，L （ω）≈－40lgT ωdB ，即对数幅频特性在高频段近似为斜率等于-40dB/dec 的直线，称为高频渐近线。

低频渐近线与高频渐近线在ω＝1/T 处相交，称T T

ωω==1

的频率为振荡环节的转折频率。当ω＝0时，()?ω＝0o，当T

T 1

=ωω时，()?ω＝－90o，当当ω→∞时，()?ω→－180 o。对数相频特性也是一条反正切函数曲线，相位曲线关于-90o的弯点是斜对称的，不同的ζ所对应的曲线也不同，如5-20所示。

北京理工大学信号与系统实验报告5-连续时间系统的复频域分析

实验5连续时间系统的复频域分析（综合型实验）一、实验目的 1）掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义并掌握MATLAB 实现方法。 2）学习和掌握连续时间系统函数的定义及复频域分析方法。 3）掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。二、实验原理与方法 1.拉普拉斯变换连续时间信号x(t)的拉普拉斯变换定义为 (s)(t)e st X x dt +∞ --∞ = ? （1）拉普拉斯反变换为1 (t)(s)e 2j st j x X ds j σσπ+∞ -∞ =? （2） MATLAB 中相应函数如下： (F) L laplace = 符号表达式F 拉氏变换，F 中时间变量为t ，返回变量为s 的结果表达式。 (F,t)L laplace =用t 替换结果中的变量s 。 () F ilaplace L =以s 为变量的符号表达式L 的拉氏反变换，返回时间变量为t 的结果表达式。 (,) F ilaplace L x =用x 替换结果中的变量t 。

的连续时间系统，其系统函数为s 的有理函数 110 110 ...(s)...M M M M N N N N b s b s b H a s a s a ----+++= +++ （7） 3.连续时间系统的零极点分析系统的零点指使式（7）的分子多项式为零的点，极点指使分母多项式为零的点，零点使系统的值为零，极点使系统的值为无穷大。通常将系统函数的零极点绘在s 平面上，零点用O 表示，极点用?表示，这样得到的图形为零极点分布图。可以通过利用MATLAB 中的求多项式根的roots 函数来实现对（7）分子分母根的求解，调用格式如下： r=roots(c)，c 为多项式的系数向量，返回值r 为多项式的根向量。求取零极点以及绘制系统函数的零极点分布图可以采用pzmap 函数，调用格式如下： pzmap(sys)绘出由系统模型sys 描述的系统的零极点分布图。 [p,z]=pzmap(sys)这种调用方式返回极点与零点，不绘出零极点分布图。还有两个专用函数tf2zp 和zp2tf 可实现系统的传递函数模型和零极点增益模型的转换。调用格

大作业1(机电控制系统时域频域分析)

《机电系统控制基础》大作业一基于MATLAB的机电控制系统响应分析哈尔滨工业大学 2013年11月4日

1 作业题目 1. 用MATLAB 绘制系统2 ()25()() 425 C s s R s s s Φ== ++的单位阶跃响应曲线、单位斜坡响应曲线。 2. 用MATLAB 求系统2 ()25 ()()425 C s s R s s s Φ==++的单位阶跃响应性能指标：上升时间、峰值时间、调节时间和超调量。 3. 数控直线运动工作平台位置控制示意图如下： X i 伺服电机原理图如下： L R (1)假定电动机转子轴上的转动惯量为J 1，减速器输出轴上的转动惯量为J 2，减速器减速比为i ，滚珠丝杠的螺距为P ，试计算折算到电机主轴上的总的转动惯量J ； (2)假定工作台质量m ，给定环节的传递函数为K a ，放大环节的传递函数为K b ，包括检测装置在内的反馈环节传递函数为K c ，电动机的反电势常数为K d ，电动机的电磁力矩常数为K m ，试建立该数控直线工作平台的数学模型，画出其控制系统框图； (3)忽略电感L 时，令参数K a =K c =K d =R=J=1，K m =10，P/i =4π，利用MATLAB 分析kb 的取值对于系统的性能的影响。

2 题目1 单位脉冲响应曲线单位阶跃响应曲线

源代码 t=[0:0.01:1.6]; %仿真时间区段和输入 nC=[25]; dR=[1,4,25]; fi=tf(nC,dR); %求系统模型 [y1,T]=impulse(fi,t); [y2,T]=step(fi,t); %系统响应 plot(T,y1); xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)'); grid on; plot(T,y2); xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)'); grid on; %生成图形 3 题目2 借助Matlab，可得： ans = 0.4330 0.6860 25.3826 1.0000 即

控制系统的频域分析实验报告

实验名称：控制系统的频域分析实验类型：________________同组学生姓名：__________ 一、实验目的和要求用计算机辅助分析的方法，掌握频率分析法的三种方法，即Bode 图、Nyquist 曲线、Nichols 图。二、实验内容和原理（一）实验原理 1．Bode(波特)图设已知系统的传递函数模型： 1 1211121)(+-+-+???+++???++=n n n m m m a s a s a b s b s b s H 则系统的频率响应可直接求出： 1 1211121)()()()()(+-+-+???+++???++=n n n m m m a j a j a b j b j b j H ωωωωω MATLAB 中，可利用bode 和dbode 绘制连续和离散系统的Bode 图。 2．Nyquist(奈奎斯特)曲线 Nyquist 曲线是根据开环频率特性在复平面上绘制幅相轨迹，根据开环的Nyquist 线，可判断闭环系统的稳定性。反馈控制系统稳定的充要条件是，Nyquist 曲线按逆时针包围临界点(-1，j0)p 圈，为开环传递函数位于右半s 一平面的极点数。在MATLAB 中，可利用函数nyquist 和dnyquist 绘出连续和离散系统的乃氏曲线。 3．Nicho1s(尼柯尔斯)图根据闭环频率特性的幅值和相位可作出Nichols 图，从而可直接得到闭环系统的频率特性。在 MATLAB 中，可利用函数nichols 和dnichols 绘出连续和离散系统的Nichols 图。（二）实验内容 1．一系统开环传递函数为 ) 2)(5)(1(50)(-++=s s s s H 绘制系统的bode 图，判断闭环系统的稳定性，并画出闭环系统的单位冲击响应。 2．一多环系统 ) 10625.0)(125.0)(185.0(7.16)(+++=s s s s s G 其结构如图所示试绘制Nyquist 频率曲线和Nichols 图，并判断稳定性。（三）实验要求

第五章线性系统的频域分析法习题

501 第五章线性系统的频域分析法 5-1 设闭环系统稳定，闭环传递函数为)(s Φ，试根据频率特性的定义证明：系统输入信号为余弦函数)cos()(φω+=t A t r 时，系统的稳态输出为 )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。证明：根据三角定理，输入信号可表示为 )90sin()( ++=φωt A t r ，根据频率特性的定义，有 ]90)(sin[|)(|)( +Φ∠++Φ=ωφωωj t j A t c ss ，根据三角定理，得证： )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。 5-2 若系统的单位阶跃响应 t t e e t c 948.08.11)(--+-=，试确定系统的频率特性。解：s s s s C 1 361336)(2++= ，36 1336)(2++=s s s G ，)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=； 2 /122/12) 81()16(36 |)(|ωωω++=j G ，9arctan 4arctan )(ωωω--=∠j G 。或：)(2.7)()(94t t e e t c t g ---== ；36 1336 )]([)(2 ++==s s t g L s G ； 5-3 设系统如下图所示，试确定输入信号 )452cos()30sin()( --+=t t t r 作用下，系统的稳态误差)(t e ss 。解：2 1)(++=Φs s s e ； )452sin()30sin()( +-+=t t t r 6325.0|)(|=Φj e ， 4.186.2645)(=-=Φ∠j ； 7906.0|)2(|=Φj e ， 4.18454.63)2(=-=Φ∠j ；答案：)4.632sin(7906.0)4.48sin(6325.0)( +-+=t t t e ss 。 5-4 典型二阶系统的开环传递函数 ) 2()(2 n n s s s G ωζω+= ，当取t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出为 )45sin(2)( -=t t c ss ，试确定系统参数n ω和ζ。解：2 222)(n n n s s s ωζωω++=Φ； 1] 4)1[(2 2222=+-n n n ωζωω， 451 2arctan 2 -=--n n ωζω； 122 -=n n ωζω，答案：414.12==n ω，3536.04/2==ζ。

2018年自动控制原理期末考试题[附答案解析]

. 2017 年自动控制原理期末考试

卷与答案一、填空题（每空1分，共20分） 1、对自动控制系统的基本要求可以概括为三个方面，即：稳定性、快速性和准确性。 2、控制系统的输出拉氏变换与输入拉氏变换在零初始条件下的比值称为传递函数。 3、在经典控制理论中，可采用劳斯判据(或：时域分析法)、根轨迹法或奈奎斯特判据( 或：频域分析法) 等方法判断线性控制系统稳定性。 4、控制系统的数学模型，取决于系统参数, 与外作用及初始条件无关。和结构 A( )L( )lg) 或：，横坐标为( 、线性系统的对数幅频特性，纵坐标取值为5。20lg

，其中P 是指开环传函中具有正实部的极点的个数，6、奈奎斯特稳定判据中，Z = P - RZ是指闭环传函中具有正实部的极点的个数，R 指奈氏曲线逆时针方向包围(-1, j0 )整圈数。定义为调整时间。%是超调量。、在二阶系统的单位阶跃响应图中，7t s K)A(22 (T)1K)，则其开环幅频特性为(T8、设系统的开环传递函数为1，相12 s(Ts 1)(T s 1)21110) (T ) tg (Ttg 。频特性为()9021 9、反馈控制又称偏差控制，其控制作用是通过给定值与反馈量的差值进行的。 0.5t0.2 t，则该系统的传递函数G(s) 为、若某系统的单位脉冲响应为10。5e g (t) 10e 510 0.2 sss 0.5s

11、自动控制系统有两种基本控制方式，当控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时，称为开环控制系统；当控制装置与受控对象之间不但有顺向作用而且还有反向联系时，称为闭环控制系统；含有测速发电机的电动机速度控制系统，属于闭环控制系统。、根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。12 、稳定是对控制系统最基本的要求，若一个控制系统的响应曲线为衰减振荡，则该系统13稳定。判断页脚

(实验三)连续时间LTI系统的频域分析汇总

实验三连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的 1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义； 2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用； 3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义； 4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。二、实验原理及方法 1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到： )()()(ωωωj H j X j Y = 3.1 或者： ) () ()(ωωωj X j Y j H = 3.2 )(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即 ? ∞ ∞ --= dt e t h j H t j ωω)()( 3.3 由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，

自动控制原理-线性系统的频域分析实验报告

自动调节系统频域分析班级11081801 学号1108180135 姓名王佳炜日期2014.1.5

线性系统的频域分析一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。二、实验内容 1．典型二阶系统 2 2 22)(n n n s s s G ωζωω++= 绘制出6=n ω，1.0=ζ，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。解: 程序如下: num=[0 0 36];den1=[1 1.2 36];den2=[1 3.6 36]; den3=[1 6 36];den4=[1 9.6 36];den5=[1 24 36]; w=logspace(-2,3,100); bode(num,den1,w) grid hold bode(num,den2,w) bode(num,den3,w) bode(num,den4,w) bode(num,den5,w)

-100-80-60-40-200 20M a g n i t u d e (d B )10 -2 10 -1 10 10 1 10 2 10 3 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 分析：随着.0=ζ的增大 ,伯德图在穿越频率处的尖峰越明显,此处用渐近线代替时误差越大. 2．系统的开环传递函数为 ) 5)(15(10 )(2 +-= s s s s G ) 106)(15() 1(8)(22++++= s s s s s s G ) 11.0)(105.0)(102.0() 13/(4)(++++= s s s s s s G 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。解: 程序如下奈氏曲线: (1) num1=[0,0,10];den1=conv([1,0],conv([1,0],conv([5,-1],[1,5]))); w=logspace(-1,1,100); nyquist(num1,den1,w)

连续时间LTI系统的频率特性及频域分析

实验报告实验项目名称：运用Matlab进行连续时间信号卷积运算（所属课程：信号与系统）学院：电子信息与电气工程学院专业： 10电气工程及其自动化姓名： xx 学号： 201002040077 指导老师： xxx

一、实验目的 1、学会运用MATLAB 分析连续系统的频率特性。 2、掌握相关函数的调用。二、实验原理 1、一个连续LTI 系统的数学模型通常用常系数线性微分方程描述，即 )()()()()()(01 )(01)(t e b t e b t e b t r a t r a t r a m m n n +'++=+'++ (1) 对上式两边取傅里叶变换，并根据FT 的时域微分性质可得： )(])([)(])([0101ωωωωωωE b j b j b R a j a j a m m n n +++=+++ 101)()()()()(a j a j a b j b j b j E j R j H n n m m ++++++==ωωωωωωω H ( j ω )称为系统的频率响应特性，简称系统频率响应或频率特性。一般H ( j ω )是复函数，可表示为： )()()(ω?ωωj e j H j H = 其中， )(ωj H 称为系统的幅频响应特性，简称为幅频响应或幅频特性；)(ω?称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性。H ( j ω )描述了系统响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换间的关系。H ( j ω )只与系统本身的特性有关，与激励无关，因此它是表征系统特性的一个重要参数。 MATLAB 信号处理工具箱提供的freqs 函数可直接计算系统的频率响应的数值解，其语句格式为：H=freqs(b,a,w)其中，b 和a 表示H ( j ω )的分子和分母多项式的系数向量；w 为系统频率响应的频率范围，其一般形式为w1:p:w2，w1 为频率起始值，w2 为频率终止值，p 为频率取值间隔。 H 返回w 所定义的频率点上系统频率响应的样值。注意，H 返回的样值可能为包含实部和虚部的复数。因此，如果想得到系统的幅频特性和相频特性，还需要利用abs 和angle 函数来分别求得。

实验4：连续系统的频域分析

实验4：连续系统的频域分析一、实验目的（1）掌握连续时间信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换的实现方法。（2）掌握傅里叶变换的数值计算方法和绘制信号频谱的方法。二、实验原理 1.周期信号的分解根据傅里叶级数的原理，任何周期信号都可以分解为三角级数的组合——称为 ()f t 的傅里叶级数。在误差确定的前提下，可以由一组三角函数的有限项叠加而得到。例如一个方波信号可以分解为： 11114111 ()sin sin 3sin 5sin 7357E f t t t t t ωωωωπ?? = ++++ ??? 合成波形所包含的谐波分量越多，除间断点附近外，它越接近于原波形，在间断点附近，即使合成的波形所含谐波次数足够多，也任存在约9%的偏差，这就是吉布斯现象（Gibbs ）。 2.连续时间信号傅里叶变换的数值计算由傅里叶变换的公式： ()()lim ()j t j n n F j f t e dt f n e ωωττωττ∞ ∞ ---∞ →=-∞ ==∑ ? 当 ()f t 为时限信号时，上式中的n 取值可以认为是有限项N ，则有： ()(),0k N j n n F k f n e k N ωτττ-==≤≤∑，其中2k k N π ωτ = 3.系统的频率特性连续LTI 系统的频率特性称为频率响应特性，是指在正弦信号激励作用下稳态响应随激励信号频率的变化而变化的情况，表示为 () ()() Y H X ωωω= 三、实验内容与方法 1.周期信号的分解【例1】用正弦信号的叠加近似合成一个频率为50Hz 的方波。 MATLAB 程序如下： clear all; fs=10000; t=[0:1/fs:0.1]; f0=50;sum=0; subplot(211) for n=1:2:9 plot(t,4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t),’k ’); hold on; end title(‘信号叠加前’); subplot(212) for n=1:2:9;

自动控制原理线性系统的频域分析实验四

武汉工程大学实验报告专业电气自动化班号指导教师姓名同组者无

M a g n i t u d e (d B ) 10 1010101010P h a s e (d e g )Frequency (rad/sec) 当3.0=ζ时，程序如下： num=[0 0 36];den=[1 3.6 36];w=logspace(-2,3,100);bode(num,den,w) grid M a g n i t u d e (d B ) 10 1010101010P h a s e (d e g )Bode Diagram Frequency (rad/sec) 当5.0=ζ时，程序如下： num=[0 0 36];den=[1 6 36];w=logspace(-2,3,100);bode(num,den,w) grid

M a g n i t u d e (d B ) 10 1010101010P h a s e (d e g )Frequency (rad/sec) 当8.0=ζ时，程序如下： num=[0 0 36];den=[1 9.6 36];w=logspace(-2,3,100);bode(num,den,w) grid M a g n i t u d e (d B ) 10 1010101010P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 当2=ζ时，程序如下： num=[0 0 36];den=[1 24 36];w=logspace(-2,3,100);bode(num,den,w) grid

第5章_用MATLAB进行控制系统频域分析

第5章用MATLAB 进行控制系统频域分析一、基于MATLAB 的线性系统的频域分析基本知识（１）频率特性函数)(ωj G 。设线性系统传递函数为： n n n n m m m m a s a s a s a b s b s b s b s G ++???++++???++=---1101110)( 则频率特性函数为： n n n n m m m m a j a j a j a b j b j b j b jw G ++???++++???++=---)()()()()()()(1101110ωωωωωω 由下面的MATLAB 语句可直接求出G(jw)。 i=sqrt(-1) % 求取-1的平方根 GW=polyval(num ，i*w)./polyval(den ，i*w) 其中（num ，den ）为系统的传递函数模型。而w 为频率点构成的向量，点右除（./）运算符表示操作元素点对点的运算。从数值运算的角度来看，上述算法在系统的极点附近精度不会很理想，甚至出现无穷大值，运算结果是一系列复数返回到变量GW 中。（２）用MATLAB 作奈魁斯特图。控制系统工具箱中提供了一个MATLAB 函数nyquist( )，该函数可以用来直接求解Nyquist 阵列或绘制奈氏图。当命令中不包含左端返回变量时，nyquist （）函数仅在屏幕上产生奈氏图，命令调用格式为： nyquist(num,den) nyquist(num,den,w) 或者 nyquist(G) nyquist(G,w) 该命令将画出下列开环系统传递函数的奈氏曲线： ) () ()(s den s num s G = 如果用户给出频率向量w,则w 包含了要分析的以弧度/秒表示的诸频率点。在这些频率点上，将对系统的频率响应进行计算，若没有指定的w 向量，则该函数自动选择频率向量进行计算。 w 包含了用户要分析的以弧度/秒表示的诸频率点,MATLAB 会自动计算这些点的频率响应。当命令中包含了左端的返回变量时，即: [re,im,w]=nyquist(G) 或

自动控制原理实验六线性系统的频域分析

实验六线性系统的频域分析一. 实验目的（1）熟练掌握使用MA TLAB 命令绘制控制系统Nyquist 图的方法；（2）能够分析控制系统Nyquist 图的基本规律；（3）加深理解控制系统乃奎斯特稳定性判据的实际应用；（4）学会利用奈氏图设计控制系统；（5）熟练掌握运用MA TLAB 命令绘制控制系统伯德图的方法；（6）了解系统伯德图的一般规律及其频域指标的获取方法；（7）熟练掌握运用伯德图分析控制系统稳定性的方法；（8）设计超前校正环节并绘制Bode 图；（9）设计滞后校正环节并绘制Bode 图。二. 实验原理及内容 1、频率特性函数)(ωj G 。频率特性函数为： n n n n m m m m a j a j a j a b j b j b j b jw G ++???++++???++= ---)()()()()()()(1101110ωωωωωω 由下面的MATLAB 语句可直接求出G(jw)。 i=sqrt(-1) % 求取-1的平方根 GW=polyval(num ，i*w)./polyval(den ，i*w) 2、用MATLAB 作奈魁斯特图。控制系统工具箱中提供了一个MA TLAB 函数nyquist( )，该函数可以用来直接求解Nyquist 阵列或绘制奈氏图。当命令中不包含左端返回变量时，nyquist （）函数仅在屏幕上产生奈氏图，命令调用格式为： nyquist(num,den) ; 作Nyquist 图， nyquist(num,den,w); 作开环系统的奈氏曲线， 3、奈奎斯特稳定性判据（又称奈氏判据）反馈控制系统稳定的充分必要条件是当ω从-∞变到∞时，开环系统的奈氏曲线不穿过点（-1，j0）且逆时针包围临界点（-1，j0）点的圈数R 等于开环传递函数的正实部极点数。 4、用MATLAB 作伯德图控制系统工具箱里提供的bode()函数可以直接求取、绘制给定线性系统的伯德图。命令的调用格式为： [mag,phase,w]=bode(num,den) [mag,phase,w]=bode(num,den,w) 由于伯德图是半对数坐标图且幅频图和相频图要同时在一个绘图窗口中绘制，因此，要用到半对数坐标绘图函数和子图命令。（1）对数坐标绘图函数利用工作空间中的向量x ，y 绘图，要调用plot 函数，若要绘制对数或半对数坐标图，只需要用相应函数名取代plot 即可，其余参数应用与plot 完全一致。（2）子图命令

线性系统的频域分析-自动控制

实验三·线性系统的频域分析一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。二、实验内容 1.典型二阶系统 2 22 ()2n n n G s s s ωζωω=++ 绘制出6n ω=，0.1ζ =，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。 2.系统的开环传递函数为 210 ()(51)(5)G s s s s =-+ 228(1) ()(15)(610) s G s s s s s += +++ 4(/31) ()(0.021)(0.051)(0.11) s G s s s s s += +++ 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图和Nichols 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。 3.已知系统的开环传递函数为21()(0.11) s G s s s += +。求系统的开环截止频率穿越频率、幅值裕度和相位裕度。应用频率稳定判据判定系统的稳定性。三、实验内容及分析 1. 系统1：2 22 ()2n n n G s s s ωζωω=++中6n ω=，（1）0.1ζ=时 Matlab 文本如下： num=[36 0 0]; den=[1 1.2 36]; w=logspace(-2,3,100); bode(num,den,w) Grid 得到图像：

同理，得到其他值情况下的波特图：ξ=0.3时 ξ=0.5时 ξ=0.8时

ξ=2时从上面的图像中可以看出：随着ξ的不断增大，波特图中震荡的部分变得越来越平滑。而且，对幅频特性曲线来说，其上升的斜率越来越慢；对相频特性曲线来说，下降的幅度也在变缓。 2. 开环传递函数1：210 ()(51)(5) G s s s s = -+ 奈奎斯特图函数及图像如下： num=[0 10]; den=[conv([5,-1],[1,5]),0,0]; [z,p,k]=tf2zp(num,den); p

实验三连续时间LTI系统的频域分析报告

实验三连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的 1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义； 2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用； 3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义； 4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。二、实验原理及方法 1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。 x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到： )()()(ωωωj H j X j Y = 3.1 或者： ) ()()(ωωωj X j Y j H = 3.2 )(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。即

?∞ ∞--= dt e t h j H t j ωω)()( 3.3 由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式： )()()(ω?ωωj e j H j H = 3.4 上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ω?称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。)(ωj H 和)(ω?都是频率ω的函数。对于一个系统，其频率响应为H(j ω)，其幅度响应和相位响应分别为)(ωj H 和)(ω?，如果作用于系统的信号为t j e t x 0 )(ω=，则其响应信号为 t j e j H t y 0)()(0ωω= t j j e e j H 00)(0)(ωω?ω=))((000)(ω?ωω+=t j e j H 3.5 若输入信号为正弦信号，即x(t) = sin(ω0t)，则系统响应为 ))(sin(|)(|)sin()()(00000ω?ωωωω+==t j H t j H t y 3.6 可见，系统对某一频率分量的影响表现为两个方面，一是信号的幅度要被)(ωj H 加权，二是信号的相位要被)(ω?移相。由于)(ωj H 和)(ω?都是频率ω的函数，所以，系统对不同频率的频率分量造成的幅度和相位上的影响是不同的。

控制系统时域与频域性能指标的联系

控制系统时域与频域性能指标的联系经典控制理论中，系统分析与校正方法一般有时域法、复域法、频域法。时域响应法是一种直接法，它以传递函数为系统的数学模型，以拉氏变换为数学工具，直接可以求出变量的解析解。这种方法虽然直观，分析时域性能十分有用，但是方法的应用需要两个前提，一是必须已知控制系统的闭环传递函数，另外系统的阶次不能很高。如果系统的开环传递函数未知，或者系统的阶次较高，就需采用频域分析法。频域分析法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环传递函数性能的分析方法，而且当系统的数学模型未知时，还可以通过实验的方法建立。此外，大量丰富的图形方法使得频域分析法分析高阶系统时，分析的复杂性并不随阶次的增加而显著增加。在进行控制系统分析时，可以根据实际情况，针对不同数学模型选用最简洁、最合适的方法，从而使用相应的分析方法，达到预期的实验目的。系统的时域性能指标与频域性能指标有着很大的关系，研究其内在联系在工程中有着很大的意义。一、系统的时域性能指标延迟时间t d 阶跃响应第一次达到终值h (∞)的50%所需的时间上升时间 t r 阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间峰值时间t p 阶跃响应越过终值h (∞)达到第一个峰值所需的时间调节时间 t s 阶跃响应到达并保持在终值h (∞)的±5%误差带内所需的最短时间超调量%σ 峰值h( t p )超出终值h (∞)的百分比，即 %σ= () ()() ∞∞-h h h t p ?100% 二、系统频率特性的性能指标采用频域方法进行线性控制系统设计时，时域内采用的诸如超调量，调整时间等描述系统性能的指标不能直接使用，需要在频域内定义频域性能指标。

自动控制原理线性系统的频域分析实验报告

实验四专业自动化班号 03班指导教师陈艳飞姓名胡波实验名称线性系统的频域分析实验日期第次实验一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。二、实验内容 1．典型二阶系统 2 2 22)(n n n s s s G ωζωω++= 绘制出6=n ω，1.0=ζ，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。解: 程序如下: num=[0 0 36];den1=[1 1.2 36];den2=[1 3.6 36]; den3=[1 6 36];den4=[1 9.6 36];den5=[1 24 36]; w=logspace(-2,3,100); bode(num,den1,w) grid hold bode(num,den2,w) bode(num,den3,w) bode(num,den4,w) bode(num,den5,w)

-100-80-60-40-200 20M a g n i t u d e (d B )10 -2 10 -1 10 10 1 10 2 10 3 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 分析：随着.0=ζ的增大 ,伯德图在穿越频率处的尖峰越明显,此处用渐近线代替时误差越大. 2．系统的开环传递函数为 ) 5)(15(10 )(2+-= s s s s G ) 106)(15() 1(8)(22++++= s s s s s s G ) 11.0)(105.0)(102.0() 13/(4)(++++= s s s s s s G 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图和Nichols 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。解: 程序如下奈氏曲线: (1) num1=[0,0,10];den1=conv([1,0],conv([1,0],conv([5,-1],[1,5]))); w=logspace(-1,1,100); nyquist(num1,den1,w)

连续时间信号与系统的频域分析

第3章连续时间信号与系统的频域分析3.1 学习要求 1、掌握周期信号的频谱及其特点； 2、了解周期信号的响应问题； 3、掌握非周期信号的频域描述——傅立叶变换； 4、熟练掌握傅立叶变换的性质与应用； 5、掌握系统的频域特性及响应问题； 6、了解系统的无失真传输和理想滤波。 3.2 本章重点 1、频谱的概念及其特性； 2、傅里叶变换及其基本性质； 3、响应的频域分析方法； 4、系统频率响应的概念。 3.3 知识结构

3.4内容摘要 3.4.1信号的正交分解两个矢量1V 和2V 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即： o 1212cos900?=?=V V V V 若有一个定义在区间()12,t t 的实函数集{}()(1,2,,)i g t i n =L ，在该集合中所有的函数满足 ?????=≠===??2 1 21,,2,1,0)()(,,2,1)(2t t j i t t i i n j j i dt t g t g n i k dt t g ΛΛ 则称这个函数集为区间()12,t t 上的正交函数集。式中i k 为常数，当1i k =时，称此函数集为归一化正交函数集。若实函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 是区间()12,t t 内的正交函数集，且除()i g t 之外 {}(),1,2,,i g t i n =L 中不存在()x t 满足下式 2 1 20()t t x t dt <<∞?且2 1 ()()0t i t x t g t dt =? 则称函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 为完备正交函数集。若在区间()12,t t 上找到了一个完备正交函数集{}(),1,2,,i g t i n =L ，那么，在此区间的信号()x t 可以精确地用它们的线性组合来表示 11221 ()()()()()n n i i i x t C g t C g t C g t C g t ∞ ==++++=∑L L 各分量的标量系数为 2 1 21 2 ()()d ()d t i t i t i t x t g t t C g t t = ?? 系数i C 只与()x t 和()i g t 有关，而且可以互相独立求取。 3.4.2周期信号的傅里叶级数 1、三角形式的傅里叶级数 0001 ()(cos sin )n n n x t a a n t b n t ωω∞ ===++∑

自动控制原理实验报告线性系统的频域分析讲述

武汉工程大学实验报告专业自动化班号组别指导教师姓名同组者实验名称线性系统的频域分析实验日期 2016/4/4 第 5 次实验一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。二、实验内容 1．典型二阶系统 2 2 22)(n n n s s s G ωζωω++= 绘制出6=n ω，1.0=ζ，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。解: 程序如下: num=[0 0 36];den1=[1 1.2 36];den2=[1 3.6 36]; den3=[1 6 36];den4=[1 9.6 36];den5=[1 24 36]; w=logspace(-2,3,100); bode(num,den1,w) grid hold bode(num,den2,w)

bode(num,den3,w) bode(num,den4,w) bode(num,den5,w) -100-80-60-40-200 20M a g n i t u d e (d B )10 10 10 10 10 10 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 分析：随着.0=ζ的增大 ,伯德图在穿越频率处的尖峰越明显,此处用渐近线代替时误差越大. 2．系统的开环传递函数为 ) 5)(15(10 )(2+-= s s s s G ) 106)(15() 1(8)(2 2++++= s s s s s s G ) 11.0)(105.0)(102.0() 13/(4)(++++= s s s s s s G 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。解: 程序如下奈氏曲线: (1) num1=[0,0,10];den1=conv([1,0],conv([1,0],conv([5,-1],[1,5]))); w=logspace(-1,1,100);

第三章连续时间系统的频域分析

第三章.连续时间系统的频域分析一、任意信号在完备正交函数系中的表示法（§6.3---6.4）信号分解的目的： ● 将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。 ● 简化电路分析与运算，总响应=单元响应之和。 1．正交函数集任意信号)(t f 可表示为n 维正交函数之和： ∑==++++=n r r r n n r r t g C t g C t g C t g C t g C t f 12211) () ()()()()(ΛΛ& 原函数 ()()()t g t g t g r Λ21,相互正交：???=≠=??n m K n m dt t g t g m t t n m , , 0)()(2 1 ()t g r 称为完备正交函数集的基底。一个信号可用完备的正交函数集表示,.正弦函数集有许多方便之处,如易实现等，我们主要讨论如何用正弦函数集表示信号。 2．能量信号和功率和信号（§6.6一）设()t i 为流过电阻R 的电流，瞬时功率为 R t i t P )()(2 = 一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。令R = 1Ω，则在整时间域内，实信号()t f 的能量，平均功率为： ? -∞ →=22 2 00)(lim T T T dt t f W ? -∞→=22 20 000)(1 lim T T T dt t f T P 讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： ∞<

自动控制系统的时域频域分析报告

摘要......................................................................... I 第一早绪论 (1) 1.1自动控制理论发展概述 (1) 1.2Matlab 简介............................. 2 第二早控制系统的时域分析与校正...... 2 2.1概述 (2) 2.2一阶系统的时间响应及动态性能 (3) 2.3二阶系统的时间响应及动态性能 (4) 2.4高阶系统的阶跃响应、动态性能及近似 (11) AVV ------- * 第二早控制系统的频域分析与校正 (13) 3.1概述 ................................ . (13) 3.2频率特性的表示方法.................. .. (14) 3.3频率特性的性能指标.................. .. (15) 3.4典型环节的频率特性.................. .. (17) 第四章结论 (23) 课程设计总结 (24) 参考文献 (25) 附录 (26)

摘要

第一章绪论 1.1自动控制理论发展概述自动控制理论是在人类征服自然地生产实践活动中孕育、产生，并随着社会生产和科学技术的进步而不断发展、完善起来的。早在古代，劳动人民就凭借生产实践中积累的丰富经验和对反馈概念的直观认识，发明了许多闪烁控制理论智慧火花的杰作。我国北宋时代苏颂和韩公廉利用天衡装置制造的水运仪象台，就是一个按负反馈原理构成的闭环非线性自动控制理论；1681年Dennis Papin发明了用做安全调节装置的锅炉压力调节器；1765年俄国人普尔佐诺夫发明了蒸汽锅炉水位调节器。 1788年，英国人瓦特在他发明的蒸汽机上使用了离心调速器，解决了蒸汽机的速度控制问题，引起了人们对控制技术的重视。之后，人们曾经试图改善调速器的准确性，却常常导致系统产生振荡。 1868年，英国物理学家麦克斯韦通过对调速系统线性常微分方程的建立与分析，解释了瓦特速度控制系统中出现的不稳定问题，开辟了用数学方法研究控制系统的途径。此后，英国数学家劳斯和德国数学家古尔维茨独立的建立了直接根据代数方程的系数判别系统稳定性的准则。这些方法奠定了经典控制理论中时域分析法的基础。 1932年，美国物理学家乃奎斯特研究了长距离电话信号传输中出现的失真问题，运用了复变函数理论建立了以频率特性为基础的稳定性判据，奠定了频率响应法的基础。随后伯德和尼克尔斯进一步将频率响应法加以发展，形成了经典控制理论的频域分析法。之后，以传递函数作为控制系统的数学模型，以时域分析法、频域分析法为主要分析设计工具，构成了经典控制理论的基本框架。到20世纪60年代初，一套以状态方程作为描述系统的数学模型，以最优控制和卡尔曼滤波为核心的控制系统分析、设计的新原理和方法基本确定，现代控制理论应运而生。控制理论目前还在向更深、更广阔的领域发展，在信息