【免费】【内部资料】5-8-1_数字迷与算式迷综合.题库教师版
5-8数字迷与算式迷综合
教学目标
数字迷从形式上可以分为横式数字迷与竖式数字迷，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字迷。横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字迷的一般解题技巧。主要涉及小数、分数、循环小数的数字迷问题，因此，会需要利用数论的知识解决数字迷问题
知识点拨
一、数字迷加减法
1.个位数字分析法
2.加减法中的进位与错位
3.奇偶性分析法
二、数字迷乘除法
数字乘法个位数字的规律--最大值最小值的考量--加减法进位规律--合数分解质因数性质--奇
偶数性质规律--余数性质
三、数阵图
1.从整体和局部两种方向入手，单和与总和
2.区分数阵图中的普通点（或方格），和关键点（方格）
3.在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设臵未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，
得到关键点上所填数的范围
4.运用已经得到的信息进行尝试（试数）
四、数字谜问题解题技巧
1.解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异；
2.要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行适当的估算；
3.题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性；
4.注意结合进位及退位来考虑；
5.有时可运用到数论中的分解质因数等方法．
例题精讲
模块一、数字迷
【例 1】下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式，其中□≠2，那么乘积是
【解析】 如式(2)，由题意a ≠2，所以b ≥6，从而d ≥6．由22□÷c ≥60和c ＞2知c=3，所以22□是225
或228，75de =或76．因为75×399＜30 000，所以76de =．再由乘积不小于30000和所有的□≠2，推出唯一的解76×396=30096．
【巩固】 每个方框内填入一个数字，要求所填数字都是质数，并使竖式成立？
【解析】 一位质数只有2、3、5、7，且两位数乘以三位数都需要进位，相乘个位为质数的只有3-5和5-7，
逐步递推，答案775X33．
【巩固】 下面残缺的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1，那么这个算式的乘积是？
【解析】 为了说明的方便，这个算式中的关键数字用英文字母表示．很明显e= 0．从c a b ?的个位数是1，
b 可能是3，7，9三数之一，两位数ab 应是（100+f ）的因数．101，103，107，109是质数，f=0或5也明显不行．102=17×6，则ab =17，C 只能取3，317
c ab ?=?，不是三位数；104=13×8,
则13ab =，c 可取7，c ×ab =7×13，仍不是三位数；108=27×4，则ab =27，c 是3．
327c ab ?=?，还不是三位数．只有106=53×2，53ab =，c=7，753c ab ?=?是三位数． 因此这个乘法算式是故这个算式的乘积是3816。
【例 2】 在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，
可以推算出：+++ ☆=_______.
+
☆☆
【解析】 比较竖式中百位与十位的加法，如果十位上没有进位，那么百位上两个“□”相加等于一个“□”，
得到“□”0=，这与“□”在首位不能为0矛盾，所以十位上的“□+□”肯定进位，那么百位上有“□+□110+=+□”，从而“□”9=，“☆”8=。再由个位的加法，推知“○+△8=”．从而“+++= ☆98825++=”．
【巩固】 在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs =________？
s t v a
v t s t t t v t t +
【解析】 两个四位数相加得到一个五位数，显然这个五位数的首位只能为1，所以可以确定1t =，那么百
x
7
1138s =-=．又因为a t t +=，所以0a =，四位数tavs 为1038。
【巩固】 下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．已
知BAD 不是3的倍数，GOOD 不是8的倍数，那么ABGD 代表的四位数是多少
B A D
B A D G O O D
+
【解析】 首先可以确定D 的值一定是0，G 的值一定是1，所以GOO BA BA =+，可见GOO 为偶数，只能
是122、144、166、188，由于BAD 不是3的倍数，GOOD 不是8的倍数，所以GOO 不是3的倍数，也不是4的倍数，可以排除144和188，再检验122和166可知只有166符合，此时BAD 为
830，所以ABGD 的值为3810。
【例 3】 下面算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字
+爱好真知数学更好数学真好玩
【解析】 题中竖式为两个四位数相加得到一个五位数，这个五位数的首位只能为1，所以“数”1=。再看
千位，由于百位至多进1位，而“爱”+“数”1+最大为91111++=，所以“学”不超过1，而“数”为1，所以“学”只能为0．竖式变为
1010+爱好真知更好真好玩
。 那么“真”至少为2，所以百位不可能进位，故“爱”1019=-=。由于“好”和“真”不同，所以“真”=“好”1+，十位向百位进1位。如果个位不向十位进位，则“真”+“更”=“好”10+，得到“更”9=，不合题意，所以个位必定向十位进1位，则“真”+“更”1+=“好”10+，得到“更”8=。现在，“真”=“好”1+，“知”+“好”10=+“玩”．“真”、“好”、“知”、“玩”为2，3，4，5，6，7中的数。由于“玩”至少为2，而“知”+“好”最大为6713+=，所以“玩”为2或3。若“玩”为3，则“知”与“好”分别为6和7，此时无论“好”为6还是7，“真”都会与已有的数字重复，不合题意。若“玩”为2，则“知”与“好”分别为5和7，只能是“知”7=，“好”5=，“真”6=。此时“数学真好玩”代表的数是10652。
【巩固】 (2009年清华附中入学测试题)如图，在加法算式中，八个字母“QHFZLBDX ”分别代表0到9
中的某个数字，不同的字母代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数“QHFZ ”的最大值是
多少？
20091Q H F Z
Q H L B Q H D X
+
【解析】 原式为20091QHFZ QHLB QHDX ++=，即120097991Q H F Z Q H D X Q H L B
D X L B =--=+-．为
了使QHFZ 最大，则前两位QH 先尽量大，由于DX LB -小于100，所以QH 最大可能为80．若
80QH =，则继续化简为9FZ DX LB =--．现在要使FZ 尽量大．由于8和0已经出现，所以
此时9DX LB --最大为9712976--=，此时出现重复数字，可见FZ 小于76．而9
612975--=符合题意，所以此时FZ 最大为75，QHFZ 的最大值为8075．
【巩固】 (2008年“迎春杯”高年级组复赛)将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使算式成立
(每个数
字恰好使用一次
)，那么加数中的四位数最小是多少？
12
8+
【解析】 9个方框中的数之和为45．三个加数的个位数字之和可能是8，18；十位数字之和可能是9，10，
19，20；百位数字之和可能是8，9，10，其中只有1819845++=．所以三个加数的个位数字之和为18，十位数字之和为19，百位数字之和为8．要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填1，十位填2，此时另两个加数的百位只能填3，4；则四位数的加数个位可填5，另两个加数的十位可填8，9，个位可填6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是1125．
【例 4】 如图所示的算式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字．求使算式成立
的汉字所表示的数字.
2008+学数学爱数学喜爱数学
【解析】 将竖式化为横式就是：1000200304?+?+?+?喜爱数学=2008，从“喜”到“学”依次考虑，
并注意到“喜”、“爱”、“数”都不能等于0，可以得到：1=喜，4=爱，6=数，7=学。
【巩固】 下面的算式中，同一个汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字团团?圆圆=大熊猫.
则“大熊猫”代表的三位数是
【解析】 由于团团=团11?，圆圆=圆11?，所以大熊猫=团团?圆圆=团?圆121?，也就是说“大熊猫”
这个三位数是121的倍数，那么“团?圆”应小于9（否则团?圆121?为四位数），所以“团?圆”最大为8.因为“团?圆”为一位数，如果该数为质数，即2、3、5、7，则“团?圆”中必有一个数为1，则会使“猫”和“团”或“圆”中的一个数字相同，与题意不符，所以“团?圆”为合数，即4、6、8，如果团?圆4=，则只有22?，与题意不符，所以“团?圆”只能为6或8，如果团?圆6=，则“团”和“圆”一个为2，一个为3，而2233726?=，与题意不符，则团?圆8=，因此“团”和“圆”一个为2，一个为4，2244968?=，符合题意，因此“大熊猫”为968。.
【例 5】 将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式．问填在方格内的数是多少？?==÷
【解析】 题目要求用七个数字组成5个数，说明有3个数是一位数，有2个数是两位数．很明显，方框里
的数和被除数是两位数，其余的被乘数、乘数和除数是1位数．看得出来，0不能做被乘数和乘数，更不能做除数，因而0是两位数的个位数字，但不能是商的个位数字，即不能是方框里的两位数的个位数字，否则会使除数的个位也为0，从而只能是被除数的个位数字；乘数如果是1，不论被乘数是几，都将在算式出现两次，与题意不符，所以，乘数不是1．同样乘数也不能是5．乘数如果有2，则被乘数只能是6，才能保证方格里的数是不含偶的两位数，但此时2出现重复，
所以乘数里面也没有2．被除数是3个一位数的乘积，其中一个是5，另两个中没有1，也不能有2，因而被除数至少是34560??=．由于没有比6大的数字，所以被除数就是60，而且算式是3412605?==÷．于是方格中的数是12
【巩固】 在算式：2?=
的六个方框中，分别填入2，3，4，5，6，7这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被13整除，那么这个乘积是？
【解析】 先从个位数考虑，有224?=、236?=、2612?=、2714?=四种可能；再考虑乘数的百位只
能是2或3，因此只有三种可能的填法：2273546?=，2327654?=，2267534?=，其中只有546能被13整除，所以这个积是546。
【例 6】 如图所示的乘法竖式中，“学而思杯”分别代表0～9 中的一个数字，相同的汉字代表相同的数
字，不同的汉字代表不同的数字，那么“学而思杯”代表的数字分别为________（
?学而思杯
学而思杯
【解析】 首先从式子中可以看出“思”0=，另外第三个部分积的首位只能为9，所以“学”只能为3．由
于3个部分积都是四位数，而且第三个部分积的首位为9，所以它比其它两个部分积要大，从而“学”比“而”和“杯”都大，所以“而”和“杯”只能分别为1和2，这样“学而思杯”就可能为3102或3201．分别进行检验，发现310231029622404?=，与算式不相符，而3201320110246401?=符合，所以“学而思杯”代表的数字分别为3、2、0、1．
【巩固】 在右边的乘法算式中，字母A 、B 和C 分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个非零数字．求
A 、
B 和
C 分别代表什么数字？
941
A B C
A B C
?
【解析】 第一个部分积中的9是C C ?的个位数字，所以C 要么是3，要么是7．如果3C =，第二个部分
积中的4是积3B ?的个位数字，所以8B =．同理，第三个部分积中的1是积3B ?的个位数字，因此7A =．检验可知7A =，8B =，3C =满足题意．如果7C =，类似地可知2B =，3A =，但这时第二个部分积3272?不是四位数，不合题意．所以A 、B 和C 代表的数字分别是7、8、3.
【例 7】 在如图所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同的数字．若“祝”
字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数．
?=祝贺华杯赛第十四届
【解析】 根据题意可知“祝”、“贺”、“华”、“杯”、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”这9个汉字恰好代表
1～9这9个数字，那么它们的和为45．由于“祝”、“贺”分别代表4和8，那么“祝贺”48=是3的倍数，则“第十四届”也是3的倍数，这样它的各位数字之和之和也是3的倍数，可知“祝”、“贺”与“第”、“十”、“四”、“届”这6个数的和也是3的倍数，那么“华”、“杯”、“赛”这3个数和也是3的倍数，从而“华杯赛”这个三位数是3的倍数．由于“第十四届”等于48与“华杯赛”这两个3的倍数的乘积，所以它是9的倍数．从而“第”、“十”、“四”、“届”这4个数的
和是9的倍数．由于“华”、“杯”、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”的总和为454833--=，所以“第”、“十”、“四”、“届”这4个数的和可能为27或18(它们的和显然大于9)，对应的“华”、“杯”、“赛”这3个数和是6或15．⑴如果“华”、“杯”、“赛”这3个数和是6，则“华”、“杯”、“赛”分别为1、2、3，如果“华”为2，则“华杯赛”至少为213，则4821310224?=，不是四位数，所以“华”只能为1，这样“华杯赛”可能为123和132，分别有481235904?=，481326336?=，都不符合；⑵如果“华”、“杯”、“赛”这3个数和是15，根据上面的分析可知“华”只能为1，这样“杯”、“赛”之和为14，可能为95+或86+，由于“贺”为8，所以“杯”、“赛”分别为5和9，显然“赛”不能为5，则“华杯赛”为159。
【巩固】 右边算式中，A
表示同一个数字，在各个□中填入适当的数字，使算式完整．那么两个乘数的
差(大数减小数
)是？
1
1
A
A
A
?
【解析】 由11AA 能被11整除及只有11?，37?，99?的个位是1，所以A 可能为1，3，7或9，而且11
AA 可分解成11与1个一位数和一个两位数的乘积．分别检验1111、1331、1771、1991，只有1771
满足：177111723=??，可知原式是77231771?=．所以两个乘数的差是772354-=。
【例 8】 “迎杯×春杯=好好好”在上面的乘法算式中,不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相同
的数字。那么“迎+春+杯+好”之和等于多少?
【解析】 好好好=好×111=好×3×37，100以内37的倍数只有37和74，所以“迎杯”或“春杯”中必有
1个是37或74，判断出“杯”是7或4。 若 杯=7，则好=9，999/37=27，所以，迎+春+杯+好=3+2+7+9=21 若 杯=4，则好=6，666/74=9，不是两位数，不符合题意 。迎+春+杯+好=3+2+7+9=21。
【例 9】 电子数字0~9如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的
电子数字恢复，并将它写成横式形式：
【解析】 ⑴可以看出乘积的百位可能是2或8，由于被乘数的十位和乘数都不能是9，最大可能为8，所以
它们的乘积不超过898712?=，故乘积的首位不能为8，只能为2；⑵被乘数的十位和乘数要与图中相符，只能是0、2、6或8，0首先可以排除，所以可能为2、6或8；⑶如果被乘数的十位是6或8，那么乘数无论是2、6或8，都不可能乘出百位是2的三位数．所以被乘数的十位是2，相应得出乘数是8；⑷被乘数应大于200825÷=，可能为27、28或29，检验得到符合条件的答案：288224?=
【巩固】
电
子数字0～9如图1所示，图2是由电子数字组成的乘法算式，但有一些已经模糊不清．请将
图2的电子数字恢复，并将它写成横式：：
【解析】 设竖式如
a
b
c d
e
f i
g
h j k l m n
o ?，那么各个字母可以代表的数如下表
18?、
16?或42?，如果是18?，那么由于2b ≥，所以b d ?进位，导致8h ≠，产生矛盾；如果是1
6?
，
那么2b
=
时hjk 百位小于
8
，6b
≥
时hjk 百位大于8，也产生矛盾；所以只有可能4a =，2d =，并可以得到2b =，考虑到fig 是三位数，所以2e =，再根据0g =
或8，得到0c =，所得到的数式为
42022840840924
?．⑶若2h =，则可以得到3l =，1a =，2d =，2
b =
(因为
10b d ?
<
)；
⑷
由于
6f =
或8，所以5e =或者7e =．当5e =时，竖式
122
25610244305
0?成立；当7e =时，竖式
12
027
8402
403
24
?成立。
【例 10】 在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为：
【解析】 先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可得这个三位数的前两
位为1、0，这个两位数的十位数字为9，个位不能为0．除数是一个三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是9，那么可得商的百位和个位相同．先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示．由于商为奇数，所以e 是奇数，可能
为1、3、7、9(不可能为5)．若为1，则92abc d =，而92abc f d f ?=?为三位数，于是1f =，又这个乘积的十位数字为0，而d 不能为0，矛盾．所以e 不为1；若为3，则9
23abc d =÷，d 可能为1、4、7， abc 相应的为304、314、324．当abc 为314和324时abc f ?所的结果的十位数字不可能为0，不合题意；若abc 为304，则f 可能为1或2，经检验f 为1和2时都与竖式不符，所以e 也不能为3；若为7，则9
27a b c d =÷，只有5d =时满足，此时136abc =，那么3f =．经检验满足题意；若为9，则9
29abc d =÷，d 只能为7，此时108abc =，f 则只能为1．经检验也不合题意．所以只有除数为136时竖式成立，所以所求的除数即为136．
模块二、数阵图数表
【例 11】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．
【解析】 根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两
边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．
【例 12】 将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中2在第1个拐角处，3在第2个
拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，……．那么在第100个拐角处的数是．
9
002e f 22
d 22d
e
d
c
b
a
9
9
01
9002
【解析】 我们可列表观察拐角处的数有什么特征
第0个拐角：1
第1个拐角：211=+
第2个拐角：321111=+=++ 第3个拐角：5321112=+=+++ 第4个拐角：75211122=+=++++ 第5个拐角：1073111223=+=+++++ 第6个拐角：131031112233=+=++++++ 第7个拐角：1713411122334=+=+++++++ 第8个拐角：21174111223344=+=++++++++ ……
由此可知，第n 个拐角处的数等于
⑴111
11122222n n n --+++++++++
（n 为奇数时） ⑵1112222
n n
+++++++ （n 为偶数时）
所以第100个拐角处的数为()11122505012123502551+++++++=+?++++= . 【例 13】 一列自然数：0，1，2，3，……，2024，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前
一个大1，最后一个是2024．现在将这列自然数排成以下数表规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第________行第________列。
【解析】 观察可知第n 行的第1个数是()2
1n -，第n 列的第1个数是21n -．由于
224419362005202545=<<=，所以第45行的第1个数是1936，第45列的第1个数是
202512024-=．由于20242005120-+=，所以2005在第20行第45列．
【例 14】 下表一共有六行七列，第一行与第一列上的数都已填好，其他位置上的每个数都是它所在行的
第一列上的数与所在列的第一行上的数的积，如A 格应填的数是1013130?=，求表中除第一行和第一列外其它各个格上的数之和？
【解析】 第二行上除去第一列的数的和为()89111315319?+++++
22
2021191817
16
14
15
1211
10
98764321
第三行上除去第一列的数的和为()129111315319?+++++， ……
最后一行除去第一列后所有数的和为()169111315319?+++++． 将这些式子相加可得到所有要求的格子上的数的和为：
()()81214101691113153194200++++?+++++=．
【巩固】 将最小的10个合数填到图中所示表格的10个空格中，要求满足以下条件： （1）入的数能被它所在列的第一个数整除
（2）最后一行中每个数都比它上面那一格中的数大。
那么，最后一行中5个数的和最小是
【解析】 最小的10个合数分别是4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．这10个合数当中10和15一
定是在5的下面，其中15在最后一行；4、8、14、16一定是在2和4下面，其中14一定在2的下面；剩下的6、9、12、18在3或6下面，其中9一定在3的下面，对2和4所在的列和3和6所在的列分别讨论．4、8、14、16，这四个数中最大的数16一定在最后一行，最小的数4一定在第二行，所以2和4所在的列中最后一行的数的和最小是16824+=，当14、16在2下面，4和8在4下面时成立；6、9、12、18，这四个数中最大的数18一定在最后一行，最小的数6一定在第二行，所以3和6所在的列中最后一行的数的和最小是18927+=，当12和18在6下面，6和9在3下面时成立．所以最后一行的5个数的和最小是24152766++=。
【例 15】 如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形
的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．
【解析】 ⑴不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S ．
考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是S ，在它们的和4S 中，大正方形的2、4、
6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次，即()42468360S =+++?=．得到
60415S =÷=，但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形
顶点上的数字之和不可能都相等．
⑵由于三角形3个顶点上的数字之和最小为2226++=，最大为88824++=，可能为6、8、10、……22、24，共有10个可能的值，而三角形只有8个，所以是有可能做到8个三角形的顶点上数字之和互不相同的．
根据对称性，不妨舍去这10个可能值的首尾两个，把剩下8个值(8、10、12、14、16、18
、20、22)作为8个三角形的顶点上数字之和进行尝试，可以得到满足条件的填法，右上图就是一种填法．
2
4
68
2
46
88
6
4
2
模块三、数字迷竞赛选题
【例 16】 请将1～12这12
个自然数分别填入到右图的方框中，每个数只出现1次，
使得每个等式都成立．
()2
008
||
||||1
26
+
÷
=+
-
÷
--
=-
-
-
-?
=-
+
÷
+÷
=
【解析】 我们先从第三列入手，设这四个数从上到下依次为a ，b ，c ，
d ，⑴ 6a b c d ÷-÷=，故6a b ÷>，而12a ≤，若2b ≥，则a b ÷不可能大于6，所以b 只能为1；⑵ 6a b c d a c d ÷-÷=-÷=，由于c d ≠，故2c d ÷≥，所以62a +≥，即8a ≥；⑶ 分析第三行，设第三行的前两个数分别为x ，
y ，则0x y c -?=.由于12x ≤，而2y ≥（1已经被b 占用）
，故6c ≤，而2d ≥，则3c d ÷≤，所以639a +=≤，结合⑵可知a 只能为8或9;⑷ 若9a =，则963c d ÷=-=，有6c =，2d =，
而此时3y ≥（1，2已经分别被b ，
d 占用），则3618x y c =??=≥，和题目条件矛盾； 若8a =，则862c d ÷=-=，有6c =，3d =或4c =，2d =.若6c =，3d =，则y 只能为2，6212x y c =?=?=，则第四行中的被除数只能为9（3的倍数只剩下9），第四行算式为5938+÷=，此时还余下4，7，10，11这四个数，而第一行中的两个加数的和为216a ?=，不在这四个数当中，所以这种情况不成立，因此4c =，2d =，可得y 只能为3，x 为12，此时第四行中的被除数为偶数，只有6和10，经试验只能为6，则第四行算式为5628+÷=（如被除数为10则第四行算式为31028+÷=，而3已被占用）⑸ 剩下的4个数为7，9，10，11中只有7和9能满足第一行()7982+÷=⑹ 最终的结果如下图所示.
(
79)82111010123405628
||||||1
2
6
+÷=+-÷--=----?=-+÷+
÷
=
【例 17】 将1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字分别填入右图的八个○中，使得图中的六个等式都
成立．则= _________
【解析】 如图，用字母表示○中的数字，那么第三行的两个○中的数分别为a c +和b d +，第三列的两个
○中的数分别为a b +和c d +，那么 中的数为a b c d +++．由于八个○中的数之和为3()a b c d +++，而这八个数分别为1，2，3，4，5，
6，7，8，所以
+
++
++==
=+d
c
b
a
+
++
+
+
===+12
87
5
4
621
3
+===
+
+
+
++
(1238)312a b c d +++=++++÷= ，故 中的数为12．可见，不用知道每个○中的数具体是
多少就可以求出 中的数，但是我们还是应该求出八个○中的数具体是多少．因为12只能等于
48+或者57+，所以第三行的两个加数和第3列的两个加数应分别为()48，或()57， ，而4又
只能等于13+，相应地，8只能分解为26+，即第一行和第二行的两个加数应分别为()1，３或()2，６，具体排列如右上图所示（填法不唯一）
。
【巩固】 下图中有五个正方形和12个圆圈，将1~12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之
和都相等．那么这个和是多少?
【解析】 设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为x ，则由5个正方形四角的数字之和，相当于将1～12
相加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得：()121225x x ++++= ，解得26x =，即这个和为26．具体填法如右上图。
【例 18】 请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈
内数字之和都相等．那么乘积A B C ??=？
【解析】 对于本题，可以通过“10条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是11条)这一等量关系，
将每一个小圆圈中的数表示出来．由于每一条直线上的数之和都为A B C ++，可得图中每一个小圆圈中的数如下图。
由于中间竖直方向的线段以及从左下角A 出发的只有两个数字的那条线段，它们的数字和都是A B C ++，可以得到，332A B C B C A C ++=-=-，可得2A B C =+，代入得2333B C B C +=-，即6B C =，只能是1C =，6B =，28A B C =+=，则8614A B C ??=??=
861102912
3114
5
7
C
B
A
【巩固】
【解析】 设左下角的数为a ，每条直线上的三个数的和为S ．由于这11个数的和为121166+++= ．从
左下角引出的5条直线的总和为5S ，其中左下角的数多计算了4次，则5664S a =+；又由三条横线及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得466S a =+．从而结合上面的两个式子可得18S =，6a =，即左下角的数为6，每条线上的数之和为18．再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为b ，c ，d ，于是可得各个圆圈中的数如图所示．除6以外的10个数分别为：b ，c ，d ，12b -，12c -，12d -，18b c --，18c d --，6b c +-，6c d +-．由于181218b c c c d --+-+--=，得到
330b c d ++=，即303b d c +=-．所以，只要选取适当的b ，c ，d 的值，使得上面的10个数各不相同即可．比如，选择9c =，1b =，2d =，则可得到如右上图所示的一种填法．本题答案不唯一，下面再给出两种填法。
【例 19】 如图的数阵是由77个偶数排成的，其中20，22，24，36，38，40这六个数由一个平行四边
形围住，它们的和是180．把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660．那么它们中间位于平行四边形左上角的那个数是？
【解析】 由于平行四边形的形状不改变，所以它移动后框住的6个数与原来的6个数相比，每个数都增加
了同样的大小．由于六个数一共增加了660180480-=，所以每个数增加了480680÷=，那么第一个数就变为2080100+=。
【例 20】 （2001年第十届日本小学数学奥林匹克决赛）表中第1行是把1100～的整数依次全部排列出来，
然后从第2行起是根据规律一直排到最后的第100行.请问：这个表中一共有多少个数能被77整除？
18-c -d 18-b -c
c +
d -6
b+c -612-d
12-c
12-b d
c
b
6
11
10
9
8
75
4
32
16142
144
146
148
150
152
154
(30323436384042282624222018168141210642)
【解析】 在这个表里，有的数字的正下方写着比它大4的数.
假如，某数字是不能被77整除的数字，那么不管它被4乘多少回，也不能被77整除.于是我们
得知不能被77整除的数字下面写的数字都不能被77整除.那么，如果某数字是可以被77整除，不管乘多少回4，得出的数字都可以被77整除.可被77整除的数字下面都可以被77整除.题目的表中从左右两边第N 个的下面写着N 个整数.表的第一行从右数第24个是77，在它下面写的24个整数都可以被77整除.另外，从左数第二行第38个是383977+=，所以在它下面写的38个整数都可以被77整除.在表的第一行和第二行里除此之外再没有可以被77整除的数了.从整个表来看，除了上述的243862+=个以外，再也没有可以被77整除的数了，所以答案为62.
(81216388392396199)
19719519393571009998979654312第100行
第5行
第4行
第3行
第2行第1行2A +1
2A -1
4A
A +1A A -1
逻辑推理.题库教师版[1]
8-3逻辑推理 教学目标 1.掌握逻辑推理的解题思路与基本方法：列表、假设、对比分析、数论分析法等 2.培养学生的逻辑推理能力，掌握解不同题型的突破口 3.能够利用所学的数论等知识解复杂的逻辑推理题 知识点拨 逻辑推理作为数学思维中重要的一部分，经常出现在各种数学竞赛中，除此以外，逻辑推理还经常作为专项的内容出现在各类选拔考试，甚至是面向成年人的考试当中。对于学生学习数学来说，逻辑推理既有趣又可以开发智力，学生自主学习研究性比较高。本讲我们主要从各个角度总结逻辑推理的解题方法。 一列表推理法 逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错.如何从较繁杂的信息中选准突破口，层层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键.因此在推理过程中，我们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了. 二、假设推理 用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设．如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立． 解题突破口：找题目所给的矛盾点进行假设 三、体育比赛中的数学 对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意“一队的胜、负、平”必然对应着“另一队的负、胜、平”。有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示，从整体考虑，通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。 四、计算中的逻辑推理 能够利用数论等知识通过计算解决逻辑推理题. 例题精讲 模块一、列表推理法 【例 1】刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁 【解析】因为兄妹二人不许搭伴，所以题目条件表明：刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹．由第二盘看出，小红不是马辉的妹妹．将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表． 刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹．
小学奥数图形找规律题库教师版
找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力 一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题： ⑴图形数量的变化；⑵图形形状的变化；⑶图形大小的变化； ⑷图形颜色的变化；⑸图形位置的变化；⑹图形繁简的变化 . 对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律， 解决问题? 板块一数量规律 【例1】请找出下面哪个图形与其他图形不一样 ? ⑴ （2） （3） ⑷ （S ） 【解析】 这组图形的共同特征是，连接各边上一点，组成一个复合图形 ?所不同的是，第四个图形是一个六边 形，而其它几个都是四边形，这样，只有（ 4）与其它不一样 【例2】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？ ”的空格处应画什么样的图形？ O O O O. O O, △ 6 r △△ ° ■丨 △ 【解析】 横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变 ?因为圆 形 的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形。 【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？ ”的空格处应画什么样的图形? △ △ △ △ △ △ △ □ △ ？ □ □ △ □ □ □ 【解析】（方法一）横着看，每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增加，但每行图形的总个数 不变?因为三角形的个数是按 4、3、？、1的顺序变化的，显然“？ ”处应填一个三角形△ ? （方法二）竖着看，三角形由左而右依次减少，而正方形由左而右依次增加，三角形按照 4、？、2、1 的顺序变化，也可以看出 “？”处应是三角形△ ? 【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？ ”的空格处应画什么样的图形? 图形找规律
小学奥数图形找规律题库教师版讲解学习
图形找规律 找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题： ⑴图形数量的变化；⑵图形形状的变化；⑶图形大小的变化； ⑷图形颜色的变化；⑸图形位置的变化；⑹图形繁简的变化. 对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题. 板块一数量规律 【例 1】请找出下面哪个图形与其他图形不一样 . 【例 2】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？ 【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？ ？ 【解析】（方法一）横着看，每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为三角形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个三角形△. (方法二)竖着看，三角形由左而右依次减少，而正方形由左而右依次增加，三角形按照4、？、2、1的顺序变化，也可以看出“？”处应是三角形△. 【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？
【解析】 （方法一）横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不 变.因为圆形的个数是按5、4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形. (方法二)竖着看，圆形由左而右依次减少，而三角形由左而右依次增加，圆形按照5、4、？、2、1的顺序变化，也可以看出 “？”处应是圆形. 【例 3】 观察下面的图形，按规律在“？”处填上适当的图形. （5） （4） （3） （2） ？ 【解析】 本题中，几何图形的变化表现在数量关系上，图中黑三角形的个数从左到右依次增多，从（2）起， 每一个格比前面一个格多两个黑三角形，所以，第（ 4）个方框中应填七个黑三角形. 【例 4】 观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列。 【解析】 观察发现，乌龟的顺序是：头、身→一只脚、背上一个点→两只脚、背上两个点→两只脚、一条尾、 背上三个点→三只脚、一条尾、背上四个点，根据这个规律，最后一幅图应该是：→四只脚、一条尾、背上五个点.即： 【例 5】 观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列. 【解析】 第一格有8个圆圈，第二格有4个圆圈，第三格有2个圆圈，第四格有1个圆圈，第五格有半个圆 圈.由此发现，前一格中的图减少一般，正好是后一格的图.所以第六格的图应该是第五格图的一半，即： 【例 6】 观察下图中的点群，请回答： (1) 方框内的点群包含多少个点？ (2) 推测第10个点群中包含多少个点？ (3) 前10个点群中，所有点的总数是多少？
(完整word版)7-8_几何计数.题库教师版.doc
知识框架图 7 计数综合 7-8 几何计数 1.掌握计数常用方法； 2.熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数． 本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想． 一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 2 1223(2)2 n n n ++++= ++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分…… 教学目标 知识要点 几何计数
在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解． 排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 二、几何计数分类 数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形． 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个． 【例 1】（难度等级※※）下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有 几层，共用了多少根小棍？ 例题精讲
完整版教师入编题库版
选择题加红为答案，判断题v代表正确，x 代表错误。 1.对于班会课，班主任可以（） C correct A. A.有计划地安排文化课考试 B.B. 有计划地安排科任老师辅导 C.专时专用C. D.安排学生自由复习文化课知识D. 2.班主任正确的角色定位应当是（） A correct 包揽学生所有科目的辅导任务B. B. C.C. 配合科任教师提高学生学习成绩D.经常送礼物给学生以拉近师生关系D. 3.教室布置的内容不可以有（） B correct 学习榜样A. A. B. B.成绩公示C. C.卫生常识D. 学科的知识重点D.4.教师职业的基本要求是（） D correct A.A. 爱国守法爱岗敬业 B. B. 关爱学生 C. C.5.（）是教师的天职 B correct A.爱国守法A. B.教书育人B. 关爱学生C. C. D. D.为人师表）是职业生涯规划的起始点，它决定教师职业生涯规划的目标与路径。（6.D correct A. A.职业生涯路线选择 B.自我评估B. C.C. 生涯机会评估 D.D. 职业生涯发展志向 7.初为人师，老师在学生中树立（）非常重要 A correct A. A.威信 B.B. 威严 C.尊严C. D.魅力D. 8.穿衣讲究色彩的搭配，要遵守（)
B correct A. A.二色原则 B. 三色原则B. C.C. 四色原则 D.五色原则D. 9.以下选项哪一个是教师有效生活的首要因素，对有效的教育教学来说也是最为重要的？ C correct A. 人际沟通A. B. B.学习能力D. 倾听能力D.10.优秀教师除了会表现出对人际交往的热情，还会有如下哪个行为倾向？和的倾向 C correct A. A.热爱学生 B.B. 教授知识 C. C.不吝啬表扬他人 D. 善于批评教育人D.11.求知动机属于（）。 A correct A.内部动机A. B.B. 外部动机12.归因理论是（）提出的。 A correct A. A. 韦纳 B.斯金纳B. C.C. 加德纳( ) 不太考虑他人的感受，这种认知风格属于,在信息加工时以其本人的存储信息为参照系统13.A correct A. A. 场独立型 B.场依存型B. C.C. 冲动型 D.D. 沉思型 14.有较高的感受性，想象力丰富，善于觉察别人不易觉察到的事物的人属于（）气质。 D correct 胆汁质A. A. 多血质B. B. C.C. 黏液质抑郁质D.D. 15.（）是指心理活动对一定对象的指向和集中 A correct A. A .注意 B. B.记忆能力 C. C. 气质 D.D. 16.有自觉目的但不经意志努力就能维持的注意是( ) C correct A .A. 不随意注意B.随意注意B. 随意后注意C.C. 有意注意D.D. 17.依据《中华人民共和国教师法》教师享有下列哪项权利？（） C correct A. 遵守宪法、法律和职业道德，为人师表A. B. B.不断提高思想政治觉悟和教育教学业务水平 C. 教师参加进修或者其他方式培训C. D. 关心、爱护全体学生，尊重学生人格。D.18.学校对学生伤害事故可能无法律责任的有（）。 B
图形找规律 题库教师版
图形找规律 例题精讲 找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题： ⑴图形数量的变化；⑵图形形状的变化；⑶图形大小的变化； ⑷图形颜色的变化；⑸图形位置的变化；⑹图形繁简的变化. 对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题. 板块一数量规律 【例 1】请找出下面哪个图形与其他图形不一样. 【解析】这组图形的共同特征是，连接各边上一点，组成一个复合图形.所不同的是，第四个图形是一个六边形，而其它几个都是四边形，这样，只有（4）与其它不一样 【例 2】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？【解析】横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变. 因为圆形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个圆形。 【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？【解析】（方法一）横着看，每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为三角形的个数是按4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一 个三角形△. (方法二)竖着看，三角形由左而右依次减少，而正方形由左而右依次增加，三角形按照 4、？、2、1的顺序变化，也可以看出“？”处应是三角形△. 【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？【解析】（方法一）横着看，每行圆形的个数一次减少，而三角形的个数依次增加，但每行图形的总个数不变.因为圆形的个数是按5、4、3、？、1的顺序变化的，显然“？”处应填一个 圆形. (方法二)竖着看，圆形由左而右依次减少，而三角形由左而右依次增加，圆形按照5、 4、？、2、1的顺序变化，也可以看出“？”处应是圆形. 【例 3】观察下面的图形，按规律在“？”处填上适当的图形. 【解析】本题中，几何图形的变化表现在数量关系上，图中黑三角形的个数从左
-换元法题库教师版
换元法 貝 tM 怔 教学目标 对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须幵始掌握. 这既与 基础课程进 度结合，更是小学奥数经典内容.裂项、换元与通项归纳这三项内容， 通称“分数计算之三大绝招” ?考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热 点.可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通 项归纳.如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算. ” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得 到简化，这叫换元法?换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简. 例题精讲 【例 1 】 计算：(1 - -) (- - -)-(1 ---)(--) 2 4 2 4 6 2 4 6 2 4 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令〔 --- - ?丄二b ，贝V ： 2 4 6 2 4 6 原式=(a -丄)b -a (b -1) 6 6 【答案】- 6 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】设 a=- 」」，则原式化简为：(〔+a)(a+丄)-a(〔 ? a+」)=丄 2 3 4 5 5 5 【答案】- 5
【巩固】计算：空.739 .空739 458 378 一竺739 .空.378 739 ?空 026 358 947 丿「358 947 207 丿匕26 358 947 207 丿「358 947 丿 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 621 739 458 739 458 , 【解析】令 a ； b , 126 358 947 358 947 378 378 378 621 378 原式=a： b a b=a-b 9 V 207 丿I 207 丿* 丿207 126 207 【答案】9 【巩固】计算：( 0.1 0.21 0.321 0.4321) ( 0.21 0.321 0.4321 0.54321 )- (0.1 0.21 0.321 0.4321 0.54321) ( 0.21 0.321 0.4321 ) 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】设x =0.21 0.321 0.4321，y =0.21 0.321 0.4321 0.54321， 原式=(0.1 x) y -( 0.1 y) x =0.1 ( y-x) =0.054321 【答案】0.054321 【巩固】计算下面的算式 (7.88 6.77 5.66) ( 9.31 10.98 10 ) -( 7.88 6.77 5.66 10) ( 9.31 10.98) 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【关键词】2007年，希望杯，2试 【解析】换元的思想即“打包”，令a =87765 , b =9.31 10.98，则原式二a ( b 10) -(a 10 ) b=(ab 10a ) - ( ab 10b) =ab 10a-ab-10b =10 ( a-b) =10 ( 7.88 6.77 5.66 -9.31 -10.98) =10 0.02 =0.2 【答案】0.2 【巩固】(1+0.12 +0.23)x(0.12 +0.23+0.34) —(1+0.12 +0.23 + 0.34)x (0.12 +0.23) = 。【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【关键词】2008年，希望杯，第六届，六年级，二试 【解析】设0.12 0.23 二a，0.12 0.23 0.34 二 b 原式二 1 a b 一 1 b a =b —a =0.34
找规律练习题及答案98146
找规律练习题 一．数字排列规律题 1. 4、10、16、22、28……，求第n位数( )。 2. 2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. 第n位数( ) 3. 观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是----，第n个数是---------。 4. 1，9，25，49，（），（），的第n项为（）， 5： 2、9、28、65.....：第n位数（） 6：2、4、8、16...... 第n位数. （） 7：2、5、10、17、26……，第n位数. （） 8 ： 4，16，36，64，？，144，196，…？第一百个数（） 9、观察下面两行数 2，4，8，16，32，64，．．．（1） 5，7，11，19，35，67．．．（2） 根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。 10、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002个中有几个是黑的？ 11. =8 =16 =24 ……用含有N的代数式表示规律（） 12. 12，20，30，42，( ) 127，112，97，82，( ) 3，4，7，12，( )，28 13 . 1，2，3，5，( )，13 14. 0，1，1，2，4，7，13，( )
15 .5，3，2，1，1，( ) 16. 1，4，9，16，25，( )，49 17. 66，83，102，123，( ) ， 18． 1，8，27，( )，125 19。 3，10，29，( )，127 20， 0，1，2，9，( ) 21； ( )。则第n项代数式为：（） 22 ， 2/3 1/2 2/5 1/3 ( )。则第n项代数式为（） 23 ， 1，3，3，9，5，15，7，( ) 24. 2，6，12，20，( ) 25. 11，17，23，( )，35。 26. 2，3，10，15，26，( )。 27. ： 1，8，27，64，( ) 28. ：0，7，26，63 ，( ) 29. -2，-8，0，64，( ) 30. 1，32，81，64，25，( ) 31. 1，1，2，3，5，( )。 32. 4，5，( )，14，23，37 33. 6，3，3，( )，3，-3 34．1，2，2，4，8，32，( ) 35 。2，12，36，80，( ) 36. 3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 ( )
2019教师招聘考试试题库和答案(最新完整版)45825
一、选择 1. 1903年,在美国出版第一本《教育心理学》的心理学家是(1.1) A．桑代克B．斯金纳C．华生D．布鲁纳[A] 2. 20世纪60年代初期,在美国发起课程改革运动的著名心理学家是(1.2) A．桑代克B．斯金纳C．华生D．布鲁纳[D] 3. 已有研究表明,儿童口头语言发展的关键期一般在(2.1) A．2岁B．4岁C．5岁以前D．1—3岁[ A] 4. 儿童形状知觉形成的关键期在(2.2) A．2-3岁B．4岁C．5岁以前D．1—3岁[B ] 5. 人格是指决定个体的外显行为和内隐行为并使其与他人的行为有稳定区别的 A．行为系统B．意识特点C．综合心理特征D．品德与修 养[ C] 6. 自我意识是个体对自己以及自己与周围事物关系的(2.4) A．控制B．基本看法C．改造D．意识[ D] 7. 广义的学习指人和动物在生活过程中,（凭借经验）而产生的行为或行为潜能的相对(3.1) A．地升华B．发挥C．表现D．持久的变化[ D] 8. 桑代克认为动物的学习是由于在反复的尝试—错误过程中,形成了稳定的 A．能力B．技能C．兴趣D．刺激—反应联结[D ] 9. 提出经典条件反射作用理论的巴甫洛夫是 A．苏联心理学家B．美国心理学家C．俄国生理学家和心理学
家D．英国医生[C ] 10. 先行组织者教学技术的提出者是美国著名心理学家 A．斯金纳B．布鲁纳C．奥苏伯尔D．桑代克[C ] 11. 根据学习动机的社会意义,可以把学习动机分为(4.1) A．社会动机与个人动机B．工作动机与提高动机C．高尚动机与低级动机D．交往动机与荣誉动机[ C] 12. 对学习内容或学习结果感兴趣而形成的动机,可称为 A．近景的直接动性机B．兴趣性动机C．情趣动机D．直接性动机[ A] 13. 由于对学习活动的社会意义或个人前途等原因引发的学习动机称作 A．远景的间接性动机B．社会性动机C．间接性动机D．志向性动机[A ] 14. 由于个体的内在的需要引起的动机称作 A．外部学习动机B．需要学习动机C．内部学习动机D．隐蔽性学习动机[C] 15. 由于外部诱因引起的学习动机称作 A．外部学习动机B．诱因性学习动机C．强化性动机D．激励性学习动机[ A] 16. 学习迁移也称训练迁移,是指一种学习对(5.1) A．另一种学习的影响B．对活动的影响C．对记忆的促进D．对智力的影响[ A] 17. 下面的四个成语或俗语中有一句说的就是典型的对迁移现象。
苏教版七上数学找规律题库(三)
苏教版七上数学找规律题库（三） 1、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示。这样捏合到第 次后可拉出64根细面条。 第一次捏合 第二次捏合 第三次捏合 2、如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去； （1）填表： （2）如果剪n 次，共剪出多少个小正方形？ （3）如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？ （4）观察图形，你还能得出什么规律？ 3、小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是 ． （1）根据上表结果，描述所求得的一列数的变化规律 （2）当x 非常大时， 2100 x 的值接近于什么数？ 5、现有黑色三角形“▲”和“△”共200个，按照一定规律排列如下： ▲ ▲△△▲△▲▲△△▲△▲▲…… 则黑色三角形有 个，白色三角形有 个。 6、 仔细观察下列图形.当梯形的个数是n 时，图形的周长是 . 2
7、用火柴棒按如下方式搭三角形： (1) 填写下表： (2) 照这样的规律搭下去，搭n 个这样的三角形需要______根火柴棒 8、把编号为1，2，3，4，…的若干盆花按右图所示摆放，花盆中的花按红、黄、蓝、紫的颜色依次循环排列，则第8行从左边数第6盆花的颜色为___________色. 9、已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成下列形式： 第1行 1 第2行 －2 3 第3行 －4 5 －6 第4行 7 －8 9 －10 第5行 11 －12 13 －14 15 … … 按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于 ． 10、观察下列算式：23451=+? ，24462=+?，2 5473=+?，24846?+=，请你在察规律之后并用你得到的规律填空：2 50___________=+?, 第n 个式子呢? ___________________ 11、一张长方形桌子可坐6人，按下列方式讲桌子拼在一起。 ①张桌子拼在一起可坐______人。3张桌子拼在一起可坐____人，n 张桌子拼在一起可坐______人。 ②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐______人。 ③若在②中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐_________人。 12、用计算器计算下列各式，并将结果填写在横线上。 ① 1×7×15873= ② 2×7×15873= ③ 3×7×15873= ④ 4×7×15873= 你发现了什么规律？把你发现的规律用简练的语言写出来； 13、观察下列顺序排列的等式：9×0+1=1 9×1+2=11 9×2+3=21 9×3+4=31 9×4+5=41 …… 猜想：第n 个等式(n 为正整数)应为 . 14、 一个两位数的个位数是a ，十位数字是b ，请用代数式表示这个两位数是__________________。 15、 观察下列各式：31 =3，32 =9，33 =27，34 =81，35 =243，36 =729…你能从中发现底数为3的幂的个位数有什么
经济问题题库教师版
1. 分析找出试题中经济问题的关键量。 2. 建立条件之间的联系，列出等量关系式。 3. 用解方程的方法求解。 4. 利用分数应该题的方法进行解题 一、经济问题主要相关公式： =+售价成本利润，100%100%-=?=?售价成本利润率利润成本成本 ； 1=?+售价成本（利润率） ，1=+售价成本利润率 其它常用等量关系： 售价=成本×（1+利润的百分数）； 成本=卖价÷（1+利润的百分数）； 本金：储蓄的金额； 利率：利息和本金的比； 利息=本金×利率×期数； 含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）； 二、经济问题的一般题型 (1)直接与利润相关的问题： 直接与利润相关的问题，无非是找成本与销售价格的差价。 (2)与利润无直接联系，但是涉及价格变动的问题： 涉及价格变动，虽然没有直接提到利润的问题，但是最终还是转化成(1)的情况。 知识点拨 教学目标 6-2-2经济问题
三、解题主要方法 1．抓不变量(一般情况下成本是不变量)； 2．列方程解应用题． 【例 1】 某商店从阳光皮具厂以每个80元的价格购进了60个皮箱，这些皮箱共卖了6300元。这个商店 从这60个皮箱上共获得多少利润？ 【解析】 6300-60×80=1500（元） 【例 2】 李师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出， 卖出一半后，因为苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格将剩下的苹果卖出．不过最后他不仅赚了24元钱，还剩下了1个苹果，那么他买了多少个苹果？ 【解析】 经济问题都是和成本、利润相关的，所以只要分别考虑前后的利润即可． 1元钱3个苹果，也就是一个苹果13元；1元钱2个苹果，也就是一个苹果12 元；卖出一半后，苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格卖出，也就是每个 27元． 在前一半的每个苹果可以挣111236 -=(元)，而后一半的每个苹果亏1213721-=(元)．假设后一半也全卖完了，即剩下的1个苹果统一按亏的价卖得 27元，就会共赚取2247元钱． 如果从前、后两半中各取一个苹果，合在一起销售，这样可赚得11562142 -=(元)，所以每一半苹果有2524204742 ÷=个，那么苹果总数为2042408?=个． 【巩固】 某商品价格因市场变化而降价，当初按盈利27%定价，卖出时如果比原价便宜4元，则仍可赚钱 25%，求原价是多少元？ 【解析】 根据量率对应得到成本为：()427%25%200÷-=，当初利润为：20027%54?=（元）所以 原价为：20054254+=（元） 【例 3】 (2008年清华附中考题)王老板以2元/个的成本买入菠萝若干个，按照定价卖出了全部菠萝的4 5 后，被迫降价为：5个菠萝只卖2元，直至卖完剩下的菠萝，最后一算，发现居然不亏也不赚，那么王老板一开始卖出菠萝的定价为 元/个． 【解析】 降价后5个菠萝卖2元，相当于每个菠萝卖0.4元，则降价后每个菠萝亏20.4 1.6-=元，由于最 后不亏也不赚，所以开始按定价卖出的菠萝赚得的与降价后亏损的相等，而开始按定价卖出的菠萝的量为降价后卖出的菠萝的4倍，所以按定价卖出的菠萝每个菠萝赚：1.640.4÷=元，开始的定价为：20.4 2.4+=元． 例题精讲
小学奥数图形找规律题库学生版(供参考)
找规律是解决数学问题的 图形找规律 一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题： ⑴图形数量的变化；⑵图形形状的变化；⑶图形大小的变化； ⑷图形颜色的变化；⑸图形位置的变化；⑹图形繁简的变化. 对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题. 板块一数量规律 【例 1】请找出下面哪个图形与其他图形不一样. 【例 2】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？ 【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？ 【巩固】观察图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？ 【例 3】观察下面的图形，按规律在“？”处填上适当的图形. 【例 4】观察图形变化规律，在右边补上一幅，使它成为一个完整系列。 【例 5】观察图形变化规律，在右边再补上一幅，使它们成为一个完整的系列. 【例 6】观察下图中的点群，请回答： (1)方框内的点群包含多少个点？ (2)推测第10个点群中包含多少个点？ (3)前10个点群中，所有点的总数是多少？ 【例 7】观察下面由点组成的图形（点群），请回答： （1）方框内的点群包含多少个点？ （2）第（10）个点群中包含多少个点？ （3）前十个点群中，所有点的总数是多少？ 【例 8】下图表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的.仔细观察后，请回答：（1）五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？ （2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？ 板块二旋转、轮换型规律 【例 9】相传古时候一位老人留在人间很多宝盒，里面装着世界上最宝贵的财富，但是并不是拥有宝盒都可以得到这笔财富，在宝盒的上面设置了密码，只有写出密码的人才会真正拥有这笔财富，聪明的你你能找出密码吗？ ○□☆△○□☆△ △○□☆△○□☆ ☆△○□☆△○□ （）（）（）（）（）（）（）（） 【例 10】下面的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形. （1） （2） （3） 【例 11】观察下图的变化规律，画出丙图. 【例 12】有六种不同图案的瓷砖，每种各6块.将它们砌在如下图那样的地面上，使每一横行和每一竖行都没有相同图案的瓷砖.你会怎样设计？ 【例 13】下面各种各样的娃娃头好看吗？认真观察你能找到它们排列的规律吗？根据规律把最后一个画出来. 【例 14】观察图中所给出图形的变化规律，然后在空白处填画上所缺的图形. 【例 15】琪琪特别喜欢蝴蝶，她用直尺和圆规在纸上画了9幅蝴蝶图，并用剪刀将它们一一剪下来.她将这9只纸蝴蝶摆在桌上，见下图1，她发现这些纸蝴蝶排列挺有规律，突然一阵风来，吹走了3只纸蝴蝶，见下图2.你能找出蝴蝶的排列规律，将图2的3只蝴蝶放入图1的空缺处吗？
小学奥数统筹规划题库教师版.
8-4统筹规划 知识点说明： 统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。 本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。 “节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。 “发生对流的调运方案”不可能是最优方案。 “小往大靠，支往干靠”。 板块一、合理安排时间 【例 1】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？ 【解析】因为这只平底锅上可煎两只饼，如果只煎1个饼，显然需要2分钟；如果煎2个饼，仍然需要2 分钟；如果煎3个饼，所以容易想到：先把两饼一起煎，需2分钟；再煎第3只，仍需2分钟，共需4分钟，但这不是最省时间的办法．最优方法应该是：首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼．(因为每只饼都有正反两面，3只饼共6面，1分钟可煎2面，煎6面只需3钟．) 【巩固】(2000年《小学生数学报》数学邀请赛)烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？ 【解析】先将两块饼同时放人锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身， 再放人第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内的两块饼均已烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，所以烙21块饼，至少用 213963 ÷?=(分钟)． 【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？ 【解析】我们归纳出煎1、2、3个饼分别需要2、2、3分钟，我们可以继续往下分析，煎4个饼最少需要4分钟，煎5个饼需要325 +=分钟，煎6个饼需要6226 +÷?= ÷?=分钟，煎7个饼需要34227
奥林匹克训练题库·找规律
一找规律 1．根据下列各串数的规律，在括号中填入适当的数： （1）1，4，7，10，（），16，…… （2）2，3，5，8，13，（），34，…… （3）1，2，4，8，16，（），…… （4）2，6，12，20，（），42，…… 2．观察下列各串数的规律，在括号中填入适当的数： （1）2，3，5，7，11，13，（），19，…… （2）1，2，2，4，8，32，（），…… （3）2，5，11，23，47，（），…… （4）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（），…… 3．观察下列各串数的规律，并在每小题的两个括号内填入适当的数： （1）1，1，2，4，3，9，4，16，（），25，6，（），…… （2） 15， 16， 13， 19， 11， 22，（）， 25， 7，（），…… 4．按规律填上第五个数组中的数： {1，5，10}{2，10，20}{3，15，30}{4，20，40}{ } 5．下面各列算式分别按一定规律排列，请分别求出它们的第40个算式： （1）1＋1，2＋3，3＋5，1＋7，2＋9， 3＋11，1＋13，2＋15， （2）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，…… 6．下面两张数表中的数的排列存在某种规律，你能找出这个规律，并根据这个规律把括号里的数填上吗？ （1）2 6 7 11 （2）2 3 1
4 4 ( ) 1 3 5 2 3 5 5 6 4 ( ) 3 7．下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来： （1）3，5，7，11，15，19，23，…… （2）6，12，3，27，21，10，15，30，…… （3）2，5，10，16，22，28，32，38，24，…… （4）2，3，5，8，12，16，23，30，…… 8．下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上： （1） （2） 9．观察下面图形中的数的规律，按照此规律，“？”处是几？ 10．根据左下图中数字的规律，在最上面的空格中填上合适的数。
时钟问题题库教师版
时钟问题 时钟问题知识点说明 时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是 时钟的分针和时针。 我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟， 具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。 分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度 时针速度：每分钟走112 小格，每分钟走0.5度 注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。 要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。 例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为56511 分。 模块一、时针与分针的追及与相遇问题 【例 1】 有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟， 分针与时针第二次重合? 【解析】 在lO 点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50 个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“ 112”，于是需要时间：1650(1)541211÷-=．所以，再过65411 分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为12点整，所以再经过65(1210)6054651111 -?-=分钟，时针与分针第二次重合．标准的时钟，每隔56511分钟，时针与分针重合一次． 我们来熟悉一下常见钟表(机械)的构成：一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数．所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟(1小时)，时针的速度为分针速度的112．如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“112 ”． 【巩固】 钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？ 【解析】 此题属于追及问题，追及路程是20格，速度差是11111212- =，所以追及时间是：11920211211÷=（分）。 【巩固】 现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？
浓度问题.题库教师版
1、明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系 2、浓度三角的应用 3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解 4、利用方程解复杂浓度问题 浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数，比例。 一、浓度问题中的基本量 溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体。 浓度：溶质质量与溶液质量的比值。 二、几个基本量之间的运算关系 1、溶液=溶质+溶剂 2、=100%= 100%+??溶质溶质 浓度溶液 溶质溶液 三、解浓度问题的一般方法 1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程 2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度 ) 形象表达： A B = 甲溶液质量乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差 注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的．浓度三角的表示方法如下： ::乙溶液质量 甲溶液质量z-y x-z y % 浓度x 混合浓度z% 知识精讲 教学目标 6-2-3溶液浓度问题
3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法． 模块一、利用十字交叉即浓度三角进行解题 （一） 两种溶液混合一次 【例 1】 某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到， 那么这种溶液的食盐浓度为多少？ 【解析】 两种配置溶液共含食盐40×15%+60×10%=12克，而溶液质量为40+60-50=50克，所以这种溶液 的浓度为12÷50=24%. 【巩固】 一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内 原来含有糖多少千克？ 【解析】 容器内原含糖7.5千克。 【巩固】 现有浓度为10％的盐水8千克，要得到浓度为20％的盐水，用什么方法可以得到，具体如何操 作？ 【解析】 需蒸发掉4千克水，溶液的浓度变为20％。 【例 2】 有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70 ％的盐水多少克？ 【解析】 将两种溶液的浓度分别放在左右两侧，重量放在旁边，配制后溶液的浓度放在正下方，用直线相 连；（见图1） 直线两侧标着两个浓度的差，并化成简单的整数比。所需溶液的重量比就是浓度差的反比；对“比”的理解应上升到“份”，3份对应的为300克，自然知道2份为200克了。需加入浓度为70％的盐水200克。 【巩固】 现有浓度为10％的盐水20千克，在该溶液中再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓 度为22％的盐水？ 【解析】 10%与30%的盐水重量之比为（30%-22%）：（22%-10%）=2：3，因此需要30%的盐水20÷2×3=30 克。 【巩固】 4千克浓度为30%的溶液和多少千克浓度为10%的溶液能混合成26%的溶液？ 【解析】 由十字交叉法两种溶液的配比为()()26%10%:30%26%4:1--=，所以应该用4411÷?=千克的 例题精讲