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2020高考数学复习数列的题型与方法

高考数学复习数列的题型与方法

一、考点回顾

1．数列的概念，数列的通项公式与递推关系式，等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质。

2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。 (2)通项公式法：

①若1(1)()n k a a n d a n k d =+-=+-，则{}n a 为等差数列； ②若

，则{}n a 为等比数列；

③中项公式法：验证

都成立。

3．在等差数列{}n a 中,有关S n 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当10a >,d<0时，满足的项数m 使得m S 取最大值.

(2)当10a <,d>0时，满足的项数m 使得m S 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

4．数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累积法、归纳猜想证明法等。 5．数列的综合应用：

⑴函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。 ⑵数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。 6．注意事项：

⑴证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明11-+-=-n n n n a a a a 或

1-+=n n n n a a

a a 而得。 ⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。

⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 ⑷注意一些特殊数列的求和方法。 ⑸注意n s 与n a 之间关系的转化。如：

n a =,,

11--n n s s s 21

≥=n n ，n a =∑=--+n

k k k a a a 2

11)(．

⑹数列的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．

⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．

⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．７．知识网络

111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q

a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=??

←???-=≥??

=+-?

?-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解

的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)

11(1)()

n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+????

???????????????????

????????????

????

?????????????

??????

???????????

等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和

求和倒序相加求和累加累积

归纳猜想证明分期付款数列的应用其他???????

二、经典例题剖析

考点一：等差、等比数列的概念与性质

例题1. （山东省滨州市xx 年高三第三次复习质量检测）已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；

（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前解析：（I ）依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即

03213131=+-∴q a q a q a

1101322==?=+-∴q q q q 或 2

∴≠q q Θ

1)2

(64-?=n n a 故

（II ）n b n n n -==?=--72log ])

1(64[log 721

?>-≤-=∴7

77||n n n n

b n

n n n n T b n n )

13(2)76(,6||,71-=

-+=

=≤∴时当 2

)

7)(6(212)7)(71(,1||,778--+

=--++==>n n n n T T b n n 时当 ???

????>+--≤-=∴)7(212)7)(6()7(2)

13(n n n n n n T n

点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。

例题2. （xx 年湖南省长郡中学第二次月考）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，若{}n S 是首项为1，各项均为正数且公比为q 的等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；

（2）试比较212()n n n a a a n N ++++∈与的大小，并证明你的结论. 解析：（Ⅰ）∵{}n S 是各项均为正数的等比数列.

∴1(0)n n S q q -=>. 当n=1时，a 1=1，当212,(1).n n n n n a S S q q --≥=-=-时

∴2

(1)

(1)(2)

n n a q q

n -=?=?-≥?。

（Ⅱ）当n=1时，

213211131

2(1)2(1)[()]0.24

a a a S S q q S q q +-=+---=-+> ∴2312a a a >+

∴当1112112)1(2)1()1(2,2--++---+-=-+≥n n n n n n q q S q q S q q S a a a n 时32(1)n q q -=- ∵20,0.n q q ->>

个

①当q=1时，.2,0)1(123++=+∴=-n n n a a a q ②当,10时<q .2,0)1(123++>+∴>-n n n a a a q 综上可知：当n=1时，2312a a a >+ 当;2,1,212++=+=≥n n n a a a q n 则若时若;2,1012++<+<+>n n n a a a q 则

点评：本题考查了等比数列的基本知识，还要注意分类讨论。考点二：求数列的通项与求和

例题3. （xx 年5月湖北省十一校）.已知数列{}n a 中各项为： 12、1122、111222、 (111)

??????14243222n

??????14243 ……

（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .

解析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。答案：（1）12

(101)10(101)99

n n n n a =

-?+?- 1(101)(102)9n n

=-?+101101()(1)33n n --=?+ 记：A =101

3n - , 则A=333n

??????14243为整数

∴ n

= A (A+1) ，得证

(2) 21121010999n n n a =

+-Q 2422112(101010)(101010)999n n

n S n =++??????++++??????-

2211(101110198210)891

n n n ++=+?-- 个

点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。

例题4. (云南省xx 年第一次高中毕业生复习统一检测) 已知n S 是数列{n a }的前n 项和，并且

1a =1，对任意正整数n ，241+=+n n a S ；设Λ,3,2,1(21=-=+n a a b n n n ）.

（I ）证明数列}{n b 是等比数列，并求}{n b 的通项公式；（II ）设}log log 1{,32

212++?=

n n n n n C C T b C 为数列的前n 项和，求n T . 解析：（I ）),2(24,2411≥+=∴+=-+n a S a S n n n n Θ 两式相减：),2(4411≥-=-+n a a a n n n

*),

(2)2(2,2)(42,

2),2)((41111121111N n b a a b a a a a a b a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n n n n ∈=-=--=-=∴-=∴≥-=∴++++++++-+

,21

=∴

n b b }{n b ∴是以2为公比的等比数列，

,325,523,24,2112121121=-==+=∴+=+-=b a a a a a a a b 而Θ

*)(231N n b n n ∈?=∴-

（II ）,23

1-==

n n

n b C

1(1

2log 2log 1log log 11222212+=?=?∴

+++n n C C n n n n

而

1)1(1+-=+n n n n

1)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n n T n Λ

点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列{}n a 的通项n a ，第二问求和用到裂项的办法求和。考点三：数列与不等式的联系

例题5.（xx 年5月莆田四中）已知α为锐角，且12tan -=α，

函数)4

2sin(2tan )(2

αα+?+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2

11n n a f a a ==

+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；

⑶ 求证：

),2(21111111*

21N n n a a a n

∈≥<++++++<Λ 解析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。答案：解：⑴1)12(1)

12(2tan 1tan 22tan 2

2=---=-=

ααα 又∵α为锐角

∴4

2π

α=

∴1)4

2sin(=+

α x x x f +=2)(

⑵ n n n a a a +=+2

1 ∵2

a ∴n a a a Λ,,32都大于0 ∴02

>n a ∴n n a a >+1

⑶

n n n n n n a a a a a a a +-=+=+=

+11

1)1(1112

∴

111+-=+n n n a a a

∴

13221211

11111111111+-++-+-=++++++n n n a a a a a a a a a ΛΛ 1

111211++-=-=

n n a a a ∵4321)2

2=+

=a , 14

)43(23>+=a , 又∵n n a a n >≥+12 ∴131>≥+a a n ∴21211

<+n a

∴2111111121<++++++<

a a a Λ 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式所给的

式子更具有一般性。例

题

（

东城区xx 年检测）已知数列

{}

n x 满足

2143.1,,211*1-==∈??

??-=-+n n n

n n x a x N n x x 设且且

.2)12(322123212n n n na a n a a a T +-++++=-Λ

（Ⅰ）求n x 的表达式；（Ⅱ）求n T 2；（Ⅲ）若)()

12(131*

N n n n Q n ∈++-

=，试比较n n Q T 与29的大小，并说明理由. 解析：（I ）,)2

1(1n

n n x x -=-+Θ

2123121)2

()21()21(1)

()()(---++-+-+=-++-+-+=∴n n n n x x x x x x x x ΛΛ

)

21(1)

(1----=

213132-??

? ??-+=n

当1=n 时上式也成立，

).(213132*1

N n x n n ∈?

??-+=∴-

（Ⅱ）.21214121431

+-??

??-=?

??-=-=n n n n x a

n n n na a n a a a T 21232122)12(32+-++++=-ΛΘ

2243221221)12(21321221+?

??-+??

? ??--++??? ??-+??? ??-+??? ??-=n n

n n Λ ①

221221)12(2132122121++?

??-+?

?? ??--++??? ??-+??? ??-+??? ??=-∴n n n n n T Λ

②

①—②，得

232221*********++?

? ??--??

? ??-++??? ??-+??? ??-=n n n n T Λ

.2122161612122

1211412

222222n n n n

n n n T ??? ??--??? ??--=?

? ??--+??????????

??--=∴+ .2131912132191912222??

? ??+-=??? ??--?

??--=n n

n n n T （Ⅲ）由（Ⅱ）可得.2

31922n

n n T +-

=又2)2(131++-=n n Q n 当;9,9)12(,42

,1222n n n

Q T n n <∴=+==时

当;9,25)12(,162,222

2n n n Q T n n <∴=+==时

当.)12()(])11[(2

,322

21022+>++++=+=≥n C C C C n n n n n n n n

Λ时

.92n n Q T >∴

综上所述，当.9,3;9,2,122Qn T n Qn T n n n >≥<=时当时

点评：比较大小的常见的办法是做差，但关键在于和零比较，要注意在不同的条件下有不同的结果，也就是要根据分类讨论。

例题7.（xx 年5月xx 浙江省五校）已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,

()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111

,(1)22

n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:

（Ⅰ）101;n n a a +<<<

（Ⅱ）2

1;2

n n a a +<

（Ⅲ）若1,2

a =

则当n ≥2时,!n n b a n >?. 解析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单

调性；第（3）问进行放缩。

答案：解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*

n N ∈.

（1）当n=1时,由已知得结论成立;

（2）假设当n=k 时,结论成立,即01k a <<.则当n=k+1时, 因为0

x f x x x '=-

=>++,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[]0,1上连续,所以f(0)

又由01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从而1n n a a +<.

综上可知10 1.n n a a +<<<

(Ⅱ)构造函数g(x)=2

2x -f(x)= 2ln(1)2x x x ++-, 0

()01x g x x

>+,知g(x)在(0,1)上增函数.

又g(x)在[]0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0.

因为01n a <<,所以()0n g a >,即

()2

n n a f a ->0,从而21.2n n a a +< (Ⅲ) 因为 1111,(1)22n n b b n b +=

≥+,所以0n b >,1n n b b +12

n +≥

所以1211211

n n n n n n b b b b b n b b b ---=

??≥?L ————① ,

由(Ⅱ)21,2

n n a a +<

知:12n n n a a a +<, 所以1n a a =31212121222n n n a a a a a a

a a a --?

因为1a =

, n≥2, 10 1.n n a a +<<< 所以 n a 1

121222n a a a a -<

?L <112n n a -<2122n a ?=12

n ————② .

由①② 两式可知: !n n b a n >?.

点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。考点四：数列与函数、向量、概率等的联系

例题8.（四川省南充高级中学xx 届十月份月考）无穷数列}{n a 的前n 项和)(*

N n npa S n n ∈=，

并且1a ≠2a ．（1）求p 的值；

（2）求}{n a 的通项公式；

（3）作函数n

n x a x a x a x f 1232)(++++=Λ，如果4510=S ，证明：4

1)31(<

f ．解析：（1）∵ 111pa S a == ∴ 01≠a ，且p ＝1，或01=a ．若是01≠a ，且p ＝1，则由22212pa S a a ==+．

∴ 21a a =，矛盾．故不可能是：01≠a ，且p ＝1．由01=a ，得02≠a ．

又22212pa S a a ==+，∴ 2

1=p ．（2）∵ 11)1(21+++=n n a n S ，n n na S 21=， ∴ n n n na a n a 2

)1(2111-+=++．

n n na a n =-+1)1(．

当k ≥2时，

1-=+k k a a k k ． ∴ n ≥3时有22321

1a a a a a a a a n n n n n ????---=

Λ22)1(1

23221a n a n n n n -=----=????Λ． ∴ 对一切*

N ∈n 有：2)1(a n a n -=．

（3）∵ 21010452

1045a a S =??

==， ∴ 12=a ． )(1*N ∈-=n n a n ．故n

nx x x x f +++=Λ22)(． ∴ n n f 3

3231)31(2+++=Λ．

又123

3332)31(3-+++=?n n

f Λ．

∴ +++<-+++=-?32123131313313131)31(2n n n f Λ21

1131

=-=Λ．

故 4

)31(

点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。

例题9.（重庆市渝西中学xx 届高中三年级第一次模拟考试）已知定义域为R 的二次函数()f x 的最小值为0且有()()11f x f x +=-，直线()()41g x x =-被()f x 的图象截得的弦长为

{}n a 满足()()()()112,0n n n n a a a g a f a n N *+=-+=∈，

（1）求函数()f x 的表达式；

（2）求证1

314n n a -??=+ ???

；

（3）设()()13n n n b f a g a +=-，求数列{}n b 的最值及相应的n 。

解析：第（2）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最值的方式来解决。

答案：解：（1）设()()()210f x a x a =->，则两图象交点为()4161,0,1,a a ??

+ ???

)0a => ∴()()21,1a f x x ==- （2）()()()()21,41n n n n f a a g a a =-=- ∵()()()2

14110n n n n a a a a +-?-+-= ∴()()114310n n n a a a +-?--=

∵12a = ∴()

1n a n N *≠∈，故14310n n a a +--= ∴()13

114

n n a a +-=-，11n a -= 数列{}1n a -是首项为1，公差为

的等差数列 ∴1

314n n a -??

-= ?

，1

314n n a -??

=+ ?

（3）()()2

1213331413444n n

n n n b a a --??????=---=-?? ? ?????????

令n b y =，1

34n u -??

= ?

则2

21333324y u u u ??=-=-- ?

? ∵n N *

∈ ∴u 的值分别为39271,,,,41664

L 经比较

916距1

最近当3n =时，n b 有最小值是189

256

，当1n =时，n b 有最小值是0。点评：本题二次函数、不等式知识的交汇题，要解决好这类题是要有一定的数学素养的。例题10.（云南省xx 年第一次高中毕业生复习统一检测）某人抛掷一枚硬币，出现正面、反面的概

率

均

为

}{.2

n a 构造数列，使得

).(,)

)

(1*21N n a a a S n n a n n n ∈+++=??

?-=Λ记次出现反面时当第次出现正面时当第

（I ）求S 4=2的概率；

（II ）若前两次均出现正面，求426≤≤S 的概率.

解析：解：（I ）若S 4=2，则需4次中有3次正面1次反面，设概率为P 1，则 ,4

1)21(4)21()21(43341===C P

所以，S 4=2的概率为4

（II ）426≤≤S Θ且前两次出现正面，则后4次中有2次正面2次反面或3次正面1次反面，

设其概率为P 2，则,32

521)21(2121)21()21(212133422242=??+??=C C P

∴若前两次均出现正面，则426≤≤S 的概率为32

点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，要解决好此题要需要冷静，问题本身并不难。

二、方法总结与xx 年高考预测（一）方法总结

1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。

2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。

3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。（二）xx 年高考预测

1. 数列中n S 与n a 的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意

n S 与n a 的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的

一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。

2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.

3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。

4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.

5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.

6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。三、强化训练（一）选择题

1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为（）

A ．34

B ．35

C ．36

D ．37

2．在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=a n 2－1（n ≥1），则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5等于（）

A ．－1

B ．1

C ．0

D ．2

3．{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9的值是（）

A ．24

B ．27

C ．30

D ．33

4．等差数列{a n }中，已知a 1=－6，a n =0，公差d ∈N x ，则n （n ≥3）的最大值为（）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

5．设a n =－n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（）

A ．第10项

B ．第11项

C ．第10项或11项

D ．第12项

6．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（）

A ．180

B ．－180

C ．90

D ．－90

７．设函数f （x ）满足f （n +1）=

)(2n

n f +（n ∈N x ）且f （1）=2，则f （20）为（） A ．95

B ．97

C ．105

D ．192

８．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（）

A ．公差为d 的等差数列

B ．公差为2d 的等差数列

C ．公差为3d 的等差数列

D ．非等差数列

考查等差数列的性质．

９．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（） A

． B

． C

． D ．)251,251(++- 10．数列{}n a 的通项公式2n a n kn =+,若此数列满足1n n a a +<(n N *

∈),则k 的取值范围是

A,2k >- B,2k ≥- C,3k ≥- D,3k >- 11．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若

231n n S n T n =+,则n n

a b = A,23 B,2131n n -- C,2131n n ++ D,21

n n -+ 12．三个数c b a ,,成等比数列，且)0(>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（）

（A ）]3,

0[m （B ）]3,[m m -- （C ）)3,0(m （D ）]3

,0()0,[m m ?- （二）填空题

13．在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=

22+n n a a （n ∈N x ），则7

是这个数列的第_________项． 14．在等差数列{a n }中，已知S 100=10，S 10=100，则S 110=_________．

15．在－9和3之间插入n 个数，使这n +2个数组成和为－21的等差数列，则n =_______． 16．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若n n T S =1

32+n n

，则1111b a =_________．

（三）解答题

17．已知函数).1(,12)(≥+-=x x x x f （1）求)(x f 的反函数)(1

x f

-，并指出其定义域；

（2）若数列{a n }的前n 项和S n 对所有的大于1的自然数n 都有)(11

--=n n S f

S ，且a 1 =1，

求数列{a n }的通项公式；（3）令.,1

211

n n n n c c c a a c +++?=

+Λ求

18．已知数列{a n }满足)1(1),1,0(1n n a a

S n a a a a --=≠≠=项和其前且（1）求证：{a n }为等比数列；

（2）记n n n n T N n a a b ),(||lg *

∈=为数列{b n }的前n 项和，那么：

①当a=2时，求T n ； ②当3

=a 时，是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n 都有?m n b b ≥如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由.

19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且.9

2),0,2(11=≠≥?=-a S n S S a n n n n （Ⅰ）求证：数列}1

{

S 为等差数列；（Ⅱ）求满足0

（I ）若35261754,,:,0S S S S S S a a ====+试验证成立，并将其整合为一个等式；（II ）一般地，若存在正整数k ，使01=++k k a a ，我们可将（I ）中的结论作相应推广，试写

出推广后的结论，并推断它是否正确.

21．已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；

（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；

（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S .

22．已知等差数列{}n a ，公差d 大于0，且25a a 、是方程2

12270x x -+=的两个根，数列{}

n b 的前n 项和为1

n n T b =-

n 且T 。（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

（2）记1,.n n n n n c a b c c +=≤g

求证：强化训练题答案

1．【答案】C 解析：观察出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、…它们构成一个等差数列，公差为11，数a n =110+（n －1）·11=11n +99，由a n ≤500，解得n ≤36．4，n ∈N x ，∴n ≤36．

2．【答案】A 解析：由已知：a n +1=a n 2－1=（a n +1）（a n －1），

∴a 2=0，a 3=－1，a 4=0，a 5=－1．

3．【答案】D 解析：a 1+a 4+a 7，a 2+a 5+a 8，a 3+a 6+a 9成等差数列，故a 3+a 6+a 9=2×39－45=33． 4．【答案】C 解析：a n =a 1+（n －1）d ，即－6+（n －1）d =0?n =

+1 ∵d ∈N x ，当d =1时，n 取最大值n =7．

5．【答案】C 解析：由a n =－n 2+10n +11=－（n +1）（n －11），得a 11=0，而a 10>0，a 12<0，S 10=S 11．

6．【答案】A 解析：由等差数列性质，a 4+a 6=a 3+a 7=－4与a 3·a 7=－12联立，即a 3，a 7是方程x 2+4x －12=0的两根，又公差d >0，∴a 7>a 3?a 7=2，a 3=－6，从而得a 1=－10，d =2，S 20=180． 7．【答案】B

解析：f （n +1）－f （n ）=2n ????

???

?=-?=-?=-1921)19()20( 22

1)2()3(121)1()2(f f f f f f M

M 相加得f （20）－f （1）=

（1+2+…+19）?f （20）=95+f （1）=97． 8．【答案】B 解析：（a 2+a 5）－（a 1+a 4）=（a 2－a 1）+（a 5－a 4）=2d ．（a 3+a 6）－（a 2+a 5）

=（a 3－a 2）+（a 6－a 5）=2d ．依次类推．

9．【答案】D 解析：设三边为2

,,,a aq aq 则222a aq aq a aq aq aq aq a ?+>?+>??+>?，即222101010q q q q q q ?--??+->?

得1122q q R q q ?<

∈??

或

q << 10．【答案】D 解析：1由1(21)0n n a a n k +-=++>,n N *

∈恒成立,有30k +>,得3k >-。

11．【答案】 B 解析：

2121

12121121

12121(21)22(21)21223(21)131(21)2n n n n n n n n n n a a n a a a a S n n b b b b b b T n n n ------+-+--======

++-+--。 12．【答案】D 解析：设bq c q b a ==,，则有b

q q b m bq b q b =++∴≠=++11,0,Θ。当0

>q 时，

311≥++=q q b m ，而0>b ，30m b ≤<∴；当0

，而0>m 0<∴b ，则0<≤-b m ，故]3

,0()0,[m

m b ?-∈。 13．【答案】6解析：由已知得1

1+n a =

n a 1+21，∴{n a 1}是以11a =1为首项，公差d =2

的等差数

列．

∴

n a 1=1+（n －1）21，∴a n =12+n =7

，∴n =6． 14．【答案】－110解析：S 100－S 10=a 11+a 12+…+a 100=45（a 11+a 100）=45（a 1+a 110）=－90?a 1+a 110=－2．

S 110=

（a 1+a 110）×110=－110． 15．【答案】5解析：－21=2

)

39)(2(+-+n ，∴n =5．

16．【答案】3221解析：1111b a =2

)(212)(212)(2)(21

1211211211b b a a b b a a ++=++=322112132122121=

+??=T S ． 17．解：（1）)1()1(2

≥-=x x y Θ

)

1()(1+=∴=

-∴-x x f y

定义域为：[).,0+∞ （2）.)1(),(2111

+=∴=---n n n n S S S f

S Θ

又.1,01+=

∴>-n n n S S S

2(12)1(.,,1.}{2

1211≥-=--=-=∴==∴==∴-n n n n S S a n S n S S a S n n n n n n Θ为等差数列

而a 1 = 1符合上式，故.12-=n a n （3）)

12()12(1

53131121+?-++?+?=

++n n c c c n ΛΛ )]1

21121()5131()311[(21+--++-+-=n n Λ 1

2+=n n

18．解：1）当n ≥2时，)1(1)1(111-------=-=n n n n n a a

a a a a S S a 整理得

a a a n n

=- 所以{a n }是公比为a 的等比数列.（4分）

（2）n

n a a a a =∴=,1Θ

||lg ||lg ||lg a na a a a a b n n n n n n ===∴

①当a=2时，,2lg ]22)1(...222[2,2lg )2...222(1322+?+?-++?+=?++?+=n n n n n n n T n T 两式相减，得

lg ]2)1(1[2,2lg )22...222(132n

n n n n n T n T ?--=?-++++=-+化简整理，得（9分）

②因为－1＜a ＜0，所以：当n 为偶数时，

;0||lg <=a na b n n

当n 为奇数时，

;0||lg >=a na b n n

所以，如果存在满足条件的正整数m ，则m 一定是偶数.

2222|,|lg )1)(1(2N k a a

a k a a

b b k

k ∈---=-+其中当,9

21372=--

=a a 时，所以,2

1.0||lg )1(2222

2=->-a a a a a k

又因为

所以当...,2

12108222<<<>>+b b b b b k k k 即时，当2468222,2

b b b b b b k k k <<<<<

+即时，故存在正整数m=8，使得对于任意正整数n 都有m n b b ≥ 19．解：（Ⅰ）)2(0

,11≥≠?=-=--n S S S S S a n n n n n n Θ

91.11111=-=-∴

-S S S n n 又 2

}1{

为以n S ∴为首项，－1为公差的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

211)1()1(291n

n S n -=-?-+= .2112n

S n -=

∴

当,)

213)(211(4

21n n S S a n n n n --=

-=≥-时

2()213)(211(4)1(9

???

????≥--==∴n n n n a n

历年高考数学真题(全国卷整理版)43964

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试一、选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)

（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ =，则cos2α= (A) （B ） (C) (D) （8）已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2= (A)1 4（B） 3 5 (C) 3 4 (D) 4 5 （9）已知x=lnπ，y=log52， 1 2 z=e，则 (A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x (10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 （11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7 3。动点P从 E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)10 二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。（注意：在试题卷上作答无效）（13）若x，y 满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。（14）当函数取得最大值时，x=___________。（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。三.解答题：（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题汇总公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =，（1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式． {

、 ~

、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =，所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得14 3 n n a a -=． 5分由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分（2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

高考数学题型全归纳

2010-2016高考理科数学题型全归纳题型1、集合的基本概念题型２、集合间的基本关系题型３、集合的运算题型４、四种命题及关系题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型６、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围题型7、判断命题的真假题型8、含有一个量词的命题的否定题型９、结合命题真假求参数的范围题型10、映射与函数的概念题型11、同一函数的判断题型12、函数解析式的求法题型１3、函数定义域的求解题型14、函数定义域的应用题型15、函数值域的求解题型16、函数的奇偶性题型17、函数的单调性(区间）题型１８、函数的周期性题型１9、函数性质的综合题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系

题型21、二次方程ax2+ｂx+c=０（a≠0)的实根分布及条件题型２2、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题题型２3、指数运算及指数方程、指数不等式题型24、指数函数的图像及性质题型25、指数函数中的恒成立的问题题型２6、对数运算及对数方程、对数不等式题型27、对数函数的图像与性质题型２８、对数函数中的恒成立问题题型29、幂函数的定义及基本性质题型30、幂函数性质的综合应用题型３1、判断函数的图像题型3２、函数图像的应用题型３3、求函数的零点或零点所在区间题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题题型３6、函数与数列的综合题型３7、函数与不等式的综合题型３８、函数中的创新题题型39、导数的定义题型4０、求函数的导数题型41、导数的几何意义题型4２、利用原函数与导函数的关系判断图像

春季高考数学数列历年真题

精品文档第五章：数列历年高考题一、单项选择题 1、（2003）已知数列{a n }是等差数列，如果a 1 =2，a 4 =-6则前4项的和S 4 是（） A -8 B -12 C -2 D 4 2、（2004年）在?ABC中，若∠A、∠B、∠C成等差数列，且BC=2，BA=1，则AC 等于（） A 33 2 B 1 C 3 D 7 3、（2004）在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能洗去污垢的 3 2，则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的2℅，该洗衣机至少要清洗的次数是（）A 2 B 3 C 4 D 5 4、（2005年）在等差数列{a n }中，若a 1 +a 12 =10，则a 2 +a 3 + a 10 +a 11 等于（） A 10 B 20 C 30 D 40 5、（2005年）在等比数列{a n }中，a 2 =2,a 5 =54,则公比q=（） A 2 B 3 C 9 D 27 6、（2006年）若数列的前n项和S n =3n n - 2,则这个数列的第二项a 2 等于（） A 4 B 6 C 8 D 10 7、（2007）为了治理沙漠，某农场要在沙漠上栽种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每一年比上一年多栽种4公顷，那么10年后该农场栽种植被的公顷数是（）A 510 B 330 C 186 D 51 8、（2007年）如果a,b,c成等比数列，那么函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点个数是（） A 0 B 1 C 2 D 1或2 9、（2007年）小王同学利用在职业学校学习的知识，设计了一个用计算机进行数字变换的游戏，只要游戏者输入任意三个数a 1 ，a 2 ，a 3 ，计算机就会按照规则：a 1 + 2a 2 - a 3 ，a 2 + 3a 3 ,5a 3 进行处理并输出相应的三个数，若游戏者输入三个数后，计算机输出了29,50,55三个数，则输入的三个数依次是（） A 6,10,11 B 6,17,11 C 10,17,11 D 6,24,11 10、（2008年）在等差数列{a n }中，若a 2 +a 5 =19，则a 7 =20，则该数列的前9项和是（） A 26 B 100 C 126 D 155 11、（2009年）在等差数列{a n }中，若a 1 +a 8 =15，则S 8 等于（） A 40 B 60 C 80 D 240 12、（2009年）甲、乙两国家2008年的国内生产总值分别为a（亿元）和4a(亿元)，甲国家计划2028年的国内生产总值超过乙国，假设乙国的年平均增长率为，那么甲国的年平均增长率最少应为（） A 9.6℅ B 9.2℅ C 8.8℅ D 8.4℅ 13、（2009年）如果三个实数a,b,c成等比数列，那么函数y=ax2+bx+c与y=ax+b 在同一坐标系中的图像可能是（） 14、（2010年）已知2，m，8构成等差数列，则实数m的值是（） A 4 B 4或-4 C 10 D 5 x

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．

高考数学题型全归纳：数学家高斯的故事(含答案)

数学家高斯的故事高斯(Gauss,1777—1855)、著名的德国数学家。1777年4月30日出生在德国的布伦兹维克。父亲是一个砌砖工人,没有什么文化。还在少年时代、高斯就显示出了他的数学才能。据说、一天晚上,父亲在计算工薪账目、高斯在旁边指出了其中的错误、令父亲大吃一惊。10岁那年、有一次老师让学生将1、2、3、…连续相加、一直加到100、即1+2+3+…+100。高斯没有像其他同学那样急着相加、而是仔细观察、思考、结果发现： 1+100=101、2+99=101、3+98=101、…、50+51=101一共有50个101、于是立刻得到： 1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050 老师看着小高斯的答卷、惊讶得说不出话。其他学生过了很长时间才交卷、而且没有一个是算对的。从此、小高斯“神童”的美名不胫而走。村里一位伯爵知道后、慷慨出钱资助高斯、将他送入附近的最好的学校进行培养。中学毕业后、高斯进入了德国的哥廷根大学学习。刚进入大学时、还没立志专攻数学。后来听了数学教授卡斯特纳的讲课之后、决定研究数学。卡斯特纳本人并没有多少数学业绩、但他培养高斯的成功、足以说明一名好教师的重要作用。从哥廷根大学毕业后、高斯一直坚持研究数学。1807年成为该校的数学教授和天文台台长、并保留这个职位一直到他逝世。高斯18岁时就发明了最小二乘法、19岁时发现了正17边形的尺规作图法、并给出可用尺规作出正多边形的条件、解决了这个欧几里得以来一直悬而未决的问题。为了这个发现、在他逝世后、哥廷根大学为他建立了一个底座为17边形棱柱的纪念像。

对代数学、高斯是严格证明代数基本定理的第一人。他的《算术研究》奠定了近代数论的基础、该书不仅在数论上是划时代之作、就是在数学史上也是不可多得的经典著作之一。高斯还研究了复数、提出所有复数都可以用平面上的点来表示、所以后人将“复平面”称为高斯平面、高斯还利用平面向量与复数之间的一一对应关系、阐述了复数的几何加法与乘法、为向量代数学奠定了基础。1828年高斯出版《关于曲面的一般研究》、全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学。并提出了内蕴曲面理论。高斯的数学研究几乎遍及当时的所有数学领域、而且在不少方面的研究走在了时代的前列。他在数学历史上的影响可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。高斯一生共有155篇论文。他治学严谨、把直观的概念作为入门的向导、然后试图在完整的逻辑体系上建立其数学的理论。他为人谨慎、他的许多数学思想与结果从不轻易发表、而且、他的论文很少详细写明思路。所以有的人说：“这个人、像狐狸似的、把沙土上留下的足迹、用尾巴全部扫掉。”

春季高考数学数列历年真题

第五章：数列历年高考题一、单项选择题 1、（2003）已知数列{a n }是等差数列，如果a 1 =2，a 4 =-6则前4项的和S 4 是（） A -8 B -12 C -2 D 4 2、（2004年）在?ABC中，若∠A、∠B、∠C成等差数列，且BC=2，BA=1，则AC 等于（） A 33 2 B 1 C 3 D 7 3、（2004）在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能洗去污垢的 3 2，则要使存留在衣服上的污垢不超过最初衣服上的2℅，该洗衣机至少要清洗的次数是（）A 2 B 3 C 4 D 5 4、（2005年）在等差数列{a n }中，若a 1 +a 12 =10，则a 2 +a 3 + a 10 +a 11 等于（） A 10 B 20 C 30 D 40 5、（2005年）在等比数列{a n }中，a 2 =2,a 5 =54,则公比q=（） A 2 B 3 C 9 D 27 6、（2006年）若数列的前n项和S n =3n n - 2,则这个数列的第二项a 2 等于（） A 4 B 6 C 8 D 10 7、（2007）为了治理沙漠，某农场要在沙漠上栽种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每一年比上一年多栽种4公顷，那么10年后该农场栽种植被的公顷数是（）A 510 B 330 C 186 D 51 8、（2007年）如果a,b,c成等比数列，那么函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点个数是（） A 0 B 1 C 2 D 1或2 9、（2007年）小王同学利用在职业学校学习的知识，设计了一个用计算机进行数字变换的游戏，只要游戏者输入任意三个数a 1 ，a 2 ，a 3 ，计算机就会按照规则：a 1 + 2a 2 - a 3 ，a 2 + 3a 3 ,5a 3 进行处理并输出相应的三个数，若游戏者输入三个数后，计算机输出了29,50,55三个数，则输入的三个数依次是（） A 6,10,11 B 6,17,11 C 10,17,11 D 6,24,11 10、（2008年）在等差数列{a n }中，若a 2 +a 5 =19，则a 7 =20，则该数列的前9项和是（） A 26 B 100 C 126 D 155 11、（2009年）在等差数列{a n }中，若a 1 +a 8 =15，则S 8 等于（） A 40 B 60 C 80 D 240 12、（2009年）甲、乙两国家2008年的国内生产总值分别为a（亿元）和4a(亿元)，甲国家计划2028年的国内生产总值超过乙国，假设乙国的年平均增长率为，那么甲国的年平均增长率最少应为（） A 9.6℅ B 9.2℅ C 8.8℅ D 8.4℅ 13、（2009年）如果三个实数a,b,c成等比数列，那么函数y=ax2+bx+c与y=ax+b 在同一坐标系中的图像可能是（） 14、（2010年）已知2，m，8构成等差数列，则实数m的值是（） A 4 B 4或-4 C 10 D 5 15、（2010年）已知数列的前n项和S n =n n + 2,则第二项a 2 的值是（） A 2 B 4 C 6 D 8 16、（2011年）如果三个正数a,b,c成等比数列，那么lga,lgb,lgc（） x

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试一、选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }， B ＝{1， m} ,A U B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中， AB=2， CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 5=5， S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中， AB 边的高为CD ，若 a·b=0， |a|=1， |b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分）当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

(完整版)历年数列高考题及答案

1. （福建卷）已知等差数列 }{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2. （湖南卷）已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+，则 20a = （） A ．0 B ．3- C ．3 D ．23 3. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列，则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. （山东卷） {}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。 8. （湖北卷）设等比数列 }{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______ 10. （上海）12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。对第i 行in i i a a a ,,,21Λ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i Λ=。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中， 12021b b b +++Λ=_______。 11. （天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n ，

历届高考数学压轴题汇总及答案

历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3 a d π ==，求集合S ；（2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.

设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．

2017年高考数学题型归纳完整版

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合题型1-1 集合的基本概念题型1-2 集合间的基本关系题型1-3 集合的运算第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型1-4 四种命题及关系题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题型1-7 判断命题的真假题型1-8 含有一个量词的命题的否定题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围第二章函数第一节映射与函数题型2-1 映射与函数的概念题型2-2 同一函数的判断题型2-3 函数解析式的求法第二节函数的定义域与值域（最值）题型2-4 函数定义域的求解题型2-5 函数定义域的应用题型2-6 函数值域的求解第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性题型2-7 函数奇偶性的判断题型2-8 函数单调性（区间）的判断题型2-9 函数周期性的判断题型2-10 函数性质的综合应用第四节二次函数题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系题型2-12 二次方程的实根分布及条件题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题第五节指数与指数函数题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式题型2-15 指数函数的图象及性质题型2-16 指数函数中恒成立问题第六节对数与对数函数题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式题型2-18 对数函数的图象与性质题型2-19 对数函数中恒成立问题第七节幂函数题型2-20 求幂函数的定义域题型2-21 幂函数性质的综合应用第八节函数的图象题型2-22 判断函数的图象题型2-23 函数图象的应用第九节函数与方程题型2-24 求函数的零点或零点所在区间题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范围题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性问题第十节函数综合题型2-27 函数与数列的综合题型2-28 函数与不等式的综合题型2-29 函数中的信息题第三章导数与定积分第一节导数的概念与运算题型3-1 导数的定义题型3-2 求函数的导数第二节导数的应用题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间题型3-5 函数的极值与最值的求解题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调，求参数的取值范围题型3-7 讨论含参函数的单调区间题型3-8 利用导数研究函数图象的交点和函数零点个数问题题型3-9 不等式恒成立与存在性问题题型3-10 利用导数证明不等式题型3-11 导数在实际问题中的应用第三节定积分和微积分基本定理题型3-12 定积分的计算题型3-13 求曲边梯形的面积第四章三角函数第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型4-1 终边相同角的集合的表示与识别题型4-2 α 2 是第几象限角题型4-3 弧长与扇形面积公式的计算题型4-4 三角函数定义题型4-5 三角函数线及其应用题型4-6 象限符号与坐标轴角的三角函数值题型4-7 同角求值——条件中出现的角和结论中出现的角是相同的题型4-8 诱导求值与变形第二节三角函数的图象与性质题型4-9 已知解析式确定函数性质题型4-10 根据条件确定解析式题型4-11 三角函数图象变换第三节三角恒等变换题型4-12 两角和与差公式的证明题型4-13 化简求值第四节解三角形题型4-14 正弦定理的应用题型4-15 余弦定理的应用题型4-16 判断三角形的形状题型4-17 正余弦定理与向量的综合题型4-18 解三角形的实际应用第五章平面向量第一节向量的线性运算题型5-1 平面向量的基本概念题型5-2 共线向量基本定理及应用题型5-3 平面向量的线性运算题型5-4 平面向量基本定理及应用题型5-5 向量与三角形的四心题型5-6 利用向量法解平面几何问题第二节向量的坐标运算与数量积题型5-7 向量的坐标运算题型5-8 向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示题型5-9 平面向量的数量积题型5-10 平面向量的应用第六章数列第一节等差数列与等比数列题型6-1 等差、等比数列的通项及基本量的求解题型6-2 等差、等比数列的求和题型6-3 等差、等比数列的性质应用题型6-4 判断和证明数列是等差、等比数列题型6-5 等差数列与等比数列的综合第二节数列的通项公式与求和题型6-6 数列的通项公式的求解题型6-7 数列的求和第三节数列的综合题型6-8 数列与函数的综合题型6-9 数列与不等式综合第七章不等式第一节不等式的概念和性质题型7-1 不等式的性质题型7-2 比较数（式）的大小与比较法证明不等式第二节均值不等式和不等式的应用题型7-3 均值不等式及其应用题型7-4 利用均值不等式求函数最值题型7-5 利用均值不等式证明不等式题型7-6 不等式的证明第三节不等式的解法题型7-7 有理不等式的解法题型7-8 绝对值不等式的解法第四节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题型7-9 二元一次不等式组表示的平面区域题型7-10 平面区域的面积题型7-11 求解目标函数中参数的取值范围题型7-12 简单线性规划问题的实际运用第五节不等式综合题型7-13 不等式恒成立问题中求参数的取值范围

高考文科数学真题汇编：数列高考题老师版

-年高考文科数学真题汇编：数列高考题老师版

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学科教师辅导教案学员姓名年级高三辅导科目数学授课老师课时数 2h 第次课授课日期及时段 2018年月日： — ： 1．（2013安徽文）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（）（A ）6- （B ）4- （C ）2- （D ）2 【答案】A 2．（2012福建理）等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B 3．（2014福建理）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) .8A .10B .12C .14D 【答案】C 4．(2017·全国Ⅰ理)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【解析】设{a n }的公差为d ，由????? a 4＋a 5＝24， S 6＝48，得? ? ??? (a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24， 6a 1＋6×5 2 d ＝48，解得d ＝4.故选C. 5．（2012辽宁文）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10= (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【答案】B 6.(2014新标2文) 等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（） A. (1)n n + B. (1)n n - C. (1)2n n + D. (1) 2 n n - 【答案】A 7．（2012安徽文）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（） ()A 1 ()B 2 ()C 4 ()D 8 【答案】A 历年高考试题集锦——数列

高考数学真题汇编数列理(解析版)

2012高考真题分类汇编：数列一、选择题 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和1562 52)(52)(542515=?=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是 A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0 C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列【答案】C 【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。 3.【2012高考真题新课标理5】已知{} n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 【答案】D 【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选 D. 4.【2012高考真题上海理18】设25 sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在

高考数学题型全归纳

题型1、集合的基本概念题型2、集合间的基本关系题型3、集合的运算题型4、四种命题及关系题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型6、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围题型7、判断命题的真假题型8、含有一个量词的命题的否定题型9、结合命题真假求参数的范围题型10、映射与函数的概念题型11、同一函数的判断题型12、函数解析式的求法题型13、函数定义域的求解题型14、函数定义域的应用题型15、函数值域的求解题型16、函数的奇偶性题型17、函数的单调性(区间) 题型18、函数的周期性题型19、函数性质的综合题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系题型21、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布及条件题型22、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题题型23、指数运算及指数方程、指数不等式题型24、指数函数的图像及性质

题型25、指数函数中的恒成立的问题题型26、对数运算及对数方程、对数不等式题型27、对数函数的图像与性质题型28、对数函数中的恒成立问题题型29、幂函数的定义及基本性质题型30、幂函数性质的综合应用题型31、判断函数的图像题型32、函数图像的应用题型33、求函数的零点或零点所在区间题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题题型36、函数与数列的综合题型37、函数与不等式的综合题型38、函数中的创新题题型39、导数的定义题型40、求函数的导数题型41、导数的几何意义题型42、利用原函数与导函数的关系判断图像题型43、利用导数求函数的单调区间题型44、含参函数的单调性(区间) 题型45、已知含参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间,求参数范围题型46、函数的极值与最值的求解题型47、方程解(函数零点)的个数问题题型48、不等式恒成立与存在性问题

2020高考数学复习数列的题型与方法

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