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信号系统 第四章总结

第四章:傅立叶变换和系统的频域

一、信号分解为正交函数 (一)、完备正交函数 1正交函数:

实正交函数:设φ1(t) φ2(t)是定义在(t 1,t 2)内的两个实函数,若 φ1 t ,t 2

t 1

φ2(t)dt =0,

则称是函数的正交条件。 若

φ1(t ),t 2

t 1

φ2*

dt =

φ1*

(t ),t 2

t 1

φ2dt =0满足实函数的正交条件,则称φ1(t) φ2(t)在(t

1,t 2

)内正交。

复函数正交::设φ1(t) φ2(t)是定义在(t 1,t 2)内的两个复函数,若,则称是复函数的共轭条件。

则称φ1(t) φ2(t)在(t 1,t 2)内正交。 2、正交函数集 若n 个实函数{φ

i

(t )}(i=1,2,3,…….)在区间(t 1,t 2

)内满足实函数正交条件

φi t ,t 2

t 1

φj (t)dt =

0,i ≠j

K i ,i =j

,则{φi (t )}(i=1,2,3,…….)在(t 1,t 2)内是正交实函数。

复正交函数集:若n 个复函数{φi (t )}(i=1,2,3,…….)在区间(t 1,t 2)内满足复函数正交条件

φi t ,t 2

t 1

φ

j

*

(t)dt =

0,i ≠j

K i ,i =j

,则{φi (t )}(i=1,2,3,…….)在(t 1,t 2)内是复正交

函数集。

3、完备正交函数集:

若正交函数集{φi (t )}(i=1,2,3,…….)之外不存在g t (t )与φi t 正交,则{φi (t )}(i=1,2,3,…….)是完备正交函数集。

4、完备正交函数集举例: a、三角函数集 b 、复指数函数集 c 、沃尔什函数

(二)信号正交分解

f t ≈C 1φ1(t )+ C 2φ2(t )+……..+ C n φn (t )= C j n j=1φj (t),求系数C j 1、 求误差的均方值最小:2

ε= C

j

1

t 1?t 2

f t ? C j n j=1φj (t)t 2

t 1

二、三角傅里叶级数(周期信号在一个周期内展开)

1、满足狄利克雷条件

f t=a0

2

+a n cos nΩt+b n sin nΩt ∞

n=1

a0 2=1

T

f t dt=f t

π

(f t在一个周期内方均值;直流分量)

a n=2

f t cos nΩt dt,n=0,1,2,…

T

2

?

T

2

b n=2

T

f t sin nΩt dt,n=0,1,2,…

T

2

?

T

2

2、三角傅里叶级数第二种表示方法:

3、f t=A0

2+A n cos(nΩt+φn ∞

n=1

A n=a n2+b n2(A

0=a

φn=tan?1b n a n

A0

直流分量;A n cos(nΩt+φn n次谐波分量

三角傅里叶级数的特点:A n和a n是nΩ的偶函数;b n和φn是nΩ的奇函数。

书上121页例题4.2-1及总结见笔记!

(二)指数傅里叶级数

1、f t=F

n e jnΩt

?∞

2、指数形式与三角形式傅里叶级数关系:详见书128页

(三)函数奇偶性及其傅里叶级数特点

1、奇函数与偶函数

f t=f?t偶函数,记为f

e

t

f t=?f?t奇函数,记为fo t

f t=f

e

t+fo t

见笔记例题2,及奇函数偶函数的傅里叶关系

2、奇谐函数:f t=?f t±T

2

,只含奇次谐波分量

3、偶谐函数:f t=f t±T

2

,只含偶次谐波分量

4、横坐标的平移对傅里叶级数的影响:改变傅里叶级数中直流分量对各次谐波的振幅、相位无影响。见例3.

三、周期信号频谱

(一)振幅频谱与相位频谱 傅里叶级数的两种形式: a 、f t =

a 02

+ a n cos nΩt +b n sin nΩt ∞n =1

b 、f t = F n e

jn Ωt

∞?∞ 1、振幅频率:

a 、以A n 为纵坐标以nΩ为横坐标画出各次谐波振幅相对大小的线图,n>=0单边谱。

b 、以F n 为纵坐标以nΩ为横坐标画出各次谐波振幅相对大小的线图,n=0,±1,,±2,……双边谱

2、包络线:定义

3、相位频谱:定义

(二)周期性矩形脉冲的频谱:详见笔记分析过程 小结:a 、离散性、谐波性、收敛性 b

τ不变T 增大一倍幅度减小一倍;Ω减小一倍谱线变密一倍,当T 趋近于∞离散谱趋近于 c 、T 不变τ减小一倍Ω不变谱线间距不变 d 、频带宽度:nΩ=0~

2πτ

(三)周期信号是功率信号-----帕斯瓦尔等式 P=1

T f 2

t dt =1

T

A 02

+ [A n cos(nΩt +φn ∞

n =1]2dt = F n

2

∞?∞T ?T 2

T ?T 2

复习笔记例5、例6及习题4.11

四、非周期信号频谱-----傅里叶变换 (一)傅里叶变换FT 1、FT

F (j ω)= f t e ?j ωt ∞

?∞dt =?(f t ) 2、FT

1

-

f t = F n e

jn Ωt

?∞

=12π F (jω)e j ωt d ω∞?∞

4、 关于傅里叶变换的讨论: A 、 与傅里叶级数的比较 B 、 FT

1

-的含义

C 、 FT 的三角形式

f t =A 0

2

+ A n cos(nΩt +φn ∞

n =1

= 1π F (ω)cos (ωt +φ(ω))d ω∞

小结:非周期性信号可分解为许多不同频率的余弦函数分量,不同的是非周期信号包含0---∞内一切频率,各分量振幅

F (ω)π

d ω为无限小

5、 FT 充分条件: ∕f t ∕∞

?∞dt <∞ 6、 F (0)的意义:f t 曲线的面积。 (二)常用信号的FT

1、门函数gτ(t )?G (j ω)=τSa (ωτ2

)图形见书135页

2、单边指数函数

f t =e ?αt ε t (α>0)?F (j ω)=1

α+j ω 图形见书136页 3、冲击函数δ(t )?1 4、阶跃函数ε t ?πδ ω +1j ω

五FT 的性质 1、 线性特性

若f 1 t ?F 1(jω);f 2 t ?F 2(jω) 则a f 1 t +b f 2 t ?a F 1 jω +bF 2(jω) 2、 A 、奇偶性、虚实性

F (j ω)= f t e ?j ωt ∞

?∞dt =R ω +jX ω =∕F (jω)∕e j φ(ω) R ω 是ω的实偶函数;X ω 是ω的奇函数 B 、幅频特性

∕F (jω)∕= X ω 2

+R ω 2

; φ ω =tan ?1X ω

R ω 是ω的奇函数。

3、 尺度变换

若f t ? F (jω)则f αt ?1

∕α∕ F (j ω

α) 用该性质证明sgn(t) ?

2j ω

4、 对称性

若f t ? F (jω)则 F (j t )?2πf ?ω ; 若f t 是偶函数则F (jt )?2πf ω 。

用该性质证明S a (t )=sin t t

?πg t (ω)

5、 时移性(延时性)

若f t ? F (jω)则f t ±t 0 ? F (jω)e ±jωt 0

证明g t ?1

j ω(e

j

ωτ2

?e

?j

ωτ2

)化简得τSa (

ωτ2

注:两种方法:先延时后尺度变换(较简单);先尺度变换后延时。

6、 频移性(调制特性)

若f t ? F (jω)则f t e ±jω0t

? F (j (ω?ω0))

7、 卷积定理

A 、 时域卷积定理

f 1 t ? f 2 t ? F 1 jω F 2(jω) B 、 频域卷积定理

f 1 t f 2 t ?1

F 1

jω ?F 2(jω) 8、 时域的微分积分性质

A 、 时域微分

若f t ? F jω ,

d f t 的傅里叶变换存在,则d

f t ?j ω F jω B 、 时域积分

若f t ? F jω 且f ∞ =f ?∞ =0,

则f 1

t ?πF 0 δ ω +1j ω F jω

9、 频域的微分积分性质

A 、 频域微分

-jt f t ?d

d ω F jω (-jt)n

f t ?d

n d ω

n

F jω

B 、频域积分 πf 0 δ ω +1?j ω

f t ? F(jx)dx ∞

?∞

10、相关定理

f 1 t ? F 1 jω ,f 2 t ? F 2 jω 互相关函数:R 12(τ)? F 1 jω F *

2

jω R 21(τ)? F *

1 jω F 2

对于自相关函数

R (τ)? F 1 j ω F *

1 j ω =∕

F (j ω)∕2

六、能量谱和功率谱

(一)能量信号与能量谱 1、时域: E= ∕f t ∕

2

?∞dt =12π ∕ F jω ∕

2

?∞d ω

2、能量谱:定义

E= ε t ∞?∞ d f =12π ε ω ∞

?∞d ω

?ε ω =∕F (j ω)∕

2

?R (τ)

(二)功率信号和功率谱 1、 时域功率:P =lim T →∞1

T

∕f t ∕

2

V 2

?V 2

dt

2、 能量有限、功率有限信号:定义

3、 功率有限密度函数P (ω)

P=1

F ω d ω=∞

?∞lim T →∞

1

lim

T →∞

F

2

(ω)T

T 2?T d ω

4、 功率密度函数与自相关函数

F[R (τ)]= lim T →∞1

T

f τ ?f ?τ =lim T →∞1

T

F jω 2

= P (ω)

书上165例4.6-1自学

七、周期信号的傅里叶变换

由非周期信号的傅里叶变换拓展到周期信号的傅里叶变换,将信号分析的方法统一起来。 (一)、正,余弦的傅里叶变换

F

)]

[cos(0t ω= F

)](2

1[00t j t

j e e ωω-+=

)]()([00ωωδωωδπ++-

F

)]

[sin(0t ω= F

)](21[00t j t

j e e j

ωω--=

)]()([00ωωδωωδπ--+j

(二)、一般周期函数的傅里叶变换

∑∞

-∞

=Ω=

n t

jn n

T e

F t f )(其中T

π

2=Ω是基波角频率,n F 是傅里叶系数。

F

∑∞

-∞

=Ω-=n n

T n F t f )(2)]([ωδπ

例:F 1)]([=t δ

F

)()]([ωδδΩΩ=t T

(三)、傅里叶系数与傅里叶变换 周期信号

)(t f T 的傅里叶系数n F 信号频谱)(ωj F 的关系为:

Ω==n n j F T

F ωω)(1

4.8 LTI 系统的频域分析

研究系统的激励与响应在频域中的关系 (一)、频率响应 时域中零状态响应为:)(*)()(t f t h t y = 其中)(t h 为时域LTI 系统冲激响

由时域卷积定理得:)()()(ωωωj F j H j Y = 其中)(ωj H 为频率响应函

)

()()(ωωωj F j Y def j H

)()()(ω?ωωj e j H j H =

时域分析是在时间域内进行,可以直观地得到系统响应的波形。 频域分析是在频率域内进行,便于对信号进行分析和处理。

要求时域的零状态响应,可以先求其频域下的响应(时域卷积化为频域相乘),再转换成时域。

应用:便于求解频率响应(微分方程)。 幅频特性:

)(ωj H ω的偶函数

相频特性:)(ω?

ω的奇函数

(二)、无失真传输

无失真传输是指系统的输出信号与输入信号波形上没有变化,只是幅度和出现时间先后不同。 数学表达式为:时域

)()(d t t Kf t y -=

频域

)()(ωωωj F Ke j Y d

t j -= 可得:为使信号传输无失真,系统的频率响应函数应为:d

t

j Ke j H ωω-=)(

幅频特性:K j H =)(ω 全部频带内,系统的幅频特性为一常数

相频特性:

d t ωω?-=)( 相频特性为通过原点的直线

(三)、理想低通滤波器的响应

理想低通滤波器:频率低于角频率c ω的信号可以无失真地传送,阻止角频率高于c ω的信号通过。其中c ω为截止频率。信号能通过的频率范围为通带,阻止信号通过的频率范围为阻带或止带。

理想低通滤波器频率响应:

???

??<<=-c

c t j

d

e j H ωωωωωω,0,)(

1)(=ωj H

d t ωω?-=)(

也可写作

)()(2ωωωωc d g e j H t j -=

冲激响应))(()()(2d c c

t j t t Sa t h g e

c

d

-=?-ωπ

ωωωω

阶跃响应)]([1

21)(d c t t Si t g -+=ωπ

理想低通滤波器冲激响应、阶跃响应都是非因果的。t<0时有输出。物理不可实现。

对频域特性,物理可实现系统的幅频特性满足:佩利-维纳准则:

?∞

-∞<ωωd j H 2

)

(

∞<+?

-ωω

ωd j H 2

1)(ln

4.9取样定理

在一定条件下,一个连续时间信号可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值(样本值)表示。样本值包含了该连续时间信号的全部信息,利用这些样本值可以恢复原信号。取样定理在连续时间信号与离散时间信号之间架起了一座桥梁。(连续信号?离散信号?连续信号)

(一)、信号的取样 用取样脉冲序列

)(t s 从连续时间信号)(t f 中抽取一系列离散样本值的过程。

时域:

)

()()(t s t f t f s = 频谱函数:

)(*)(21

)(ωωπ

ωj S j F j F s =

冲激取样:

)(t s 为周期s T 的冲激序列)(t s

T δ

F

)]([t s = F )]([t s

T δ=∑∞

-∞

=-n s s

n )

(ωωδω

取样信号

)(t f s 的频谱函数:∑∞

-∞

=-=

n s

s

s n j F T j F )]([1

)(ωωω

取样信号的频谱函数可以看成是取样信号的频谱由原信号频谱

)(ωj F 的无限个频移项

组成,频移角频率为s n ω,幅值为原频谱的

s

T 1

)(t f 须为带限信号,频谱只在区间),(s s ωω-为有限值。当m s ωω2>时,各相邻

频移后频谱不会重叠。 (二)、时域取样定理 研究如何从取样信号)(t f s 恢复原信号)(t f 并引出取样定理。

有冲激取样函数)(t f s ,取样角频率m s ωω2>(无混叠,可以恢复)。使)(ωj F s 无

失真地恢复

)(ωj F ,选择一个理想低通滤波器,幅度为s T ,截止角频率为c ω。

(2

s

c m ωωω≤

<)

原信号频谱函数)()()(

ωωωj H j F j F s = 进而可以求得原信号)(t f 。

-∞

=-=

n s s n t

Sa nT f t f )2(

)()(πω

时域取样定理:一个频谱在区间),(m m ωω-以外为零的频带有限信号)(t f ,可唯一地

由其在均匀间隔)21

(m

s s f T T <上的取样值)(s nT f 确定。 为

使

??

?

?

?<>>>m s m s m s m f T f f t f 1)2(20)(或须满足取样频率不能过低,必各处为数在是带限信号,其频谱函ωωωω

最低允许取样频率

m s f f 2=为奈奎斯特频率,最大允许取样间隔m

s f T 21

=

为奈奎斯

特间隔。 (三).频域取样定理

根据时域和频域的对称性可以推出频域取样定理。

频域取样定理:一个在时域区间),(m m t t -以外为零的有限时间信号

)(t f 的频谱函数

)(ωj F ,可唯一地由其在均匀频率间隔)21

(m

s s t f f <

上的样点值)(s jn F ω确定。 ∑∞

-∞

=-=n m m n t Sa t n j F j F )()()(πωπ

ω 式中s m f t 21=