第二部分解析几何第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面第五节双曲面课件

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面

引言 空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次 特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。 1.柱面 定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。 显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。 下面分几种情形讨论柱面的方程。 母线平行于坐标轴的柱面方程 选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为： (),0 f x y z =??? =?? 又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应 图2 图1

满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y = 反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。 综上所述，我们有如下结论： 母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为： (),0f x y = （1） 它表示一个无限柱面。若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。 同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。 定理1：凡三元方程不含坐标,,x y z 中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。 应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。 例1：以Oxy 面上的椭圆22221,0x y z a b +==，双曲线22 221,0x y z a b -==和抛 物线22,0y Px z ==为准线，母线平行于z 轴的柱面方程分别为 22 22 222 221,1,2x y x y y Px a b a b +=-== 它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故 图3

4.1柱面、锥面

第四章 常见的曲面与曲线 本章主要研究比平面与直线销复杂的常见的曲面与曲线。此外，也粗略介绍由若干曲面围成的空间区域的解析表示及其直观简图的画法，它在数学分析中要用到。 前面已经看到，在选定坐标系之后，曲面作为动点轨迹如何用点的向径或坐标的方程来表出，例如夹面和球面等。但是某些曲面也可以看作是曲线依某种规律运动所生成的。 例如，平面也可以看成是过定点且与定直线垂直的动直线的轨迹；球面也可以看作是一个圆绕其一直径旋转所产生的等等。在§3.1、§3.2、及§3.6中，我们将按这种观点分别介绍柱面与锥面、旋转曲面及螺旋面等几种常见曲面，并且建立它们的方程。 §4.1 柱面与锥面 本节重点：掌握柱面与锥面的直角坐标方程的建立。 掌握柱面与锥面的特点：均是有直线构成的曲面。 (一)柱面 4.1.1定义 直线沿一定曲线Ｃ平行移动所产生的曲面叫做柱面。Ｃ叫做柱面的导线（或准线），这族平行直线中的每一条都叫做柱面的母线（图4-1）。 图4-1 圆柱面是特殊的柱面。 显然，柱面被它的导线及母线方向完全确定。但反对来，对于一个柱面，它的导线并不是唯一的，这是因为柱面上与其每一条母线都相交的曲线都可以作为它的导线。 1．柱面方程 设柱面的导线C 的方程为 ???==0),,(0),,(2 1Z Y X F Z Y X F (1) 母线的方向系数为n m l ,,。如果),,(1111Z Y X P 为导线C 上的任意点，那么过点1P 的母线方程为

n Z Z m Y Y l X X 111-=-=- (2) 且有 0),,(1111=Z Y X F ， 0),,(1112=Z Y X F (3) 当点1P 跑遍C 时，就得出柱面上的所有母线，这族母线构成的柱面。因此，从(2)与(3)两组式子中的四个等式，消去三个参数111,,Z Y X 后所得一个三元方程 0),,(=Z Y X F (4) 就是以(1)为导线，母线的方向系数为n m l ,,的柱面方程。 为了消参数的方便，常把母线方程(2)改写成参数式： lt X X +=1， mt Y Y +=1， nt Z Z +=1 (2)' 从而解出 lt X X -=1， mt Y Y -=1， nt Z Z -=1 代入(3)消去参数111,,Z Y X ，得到 ???=---=---0 ),,(0),,(21nt Z mt Y lt X F nt Z mt Y lt X F (4.1.1) 再由此消去参数t ，即得所求的柱面方程(4) 例1、已知一柱面的导线是球面12 22=++Z Y X 与平面0=++Z Y X 的交线，母线平行于直线Z Y X ==，求这柱面的方程。 解：因为柱面母线平行于直线Z Y X ==，所以母线的方向系数即为这直线的方向系数1，1，1。设（111,,Z Y X ）是导线上的任一点，则过这点的母线的参数方程为 t X X +=1， t Y Y +=1， t Z Z +=1 (1) 且有 1212121=++Z Y X ， 0111=++Z Y X (2) 由(1)解出 t X X -=1，t Y Y -=1，t Z Z -=1代入(2)，得 ? ??=-++=-+-+-031)()()(222t Z Y X t Z t Y t X 再从第二式得3 Z Y X t ++=，代入第一式即得所求柱面方程为

柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

第四章 柱面· 锥面· 旋转曲面与二次曲线 教学目的: 1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程. 2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状. 3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状. 4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质. 5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法. 6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图. 重点难点: 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、 旋转曲面的准线是难点. 2. 椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面 方程的灵活多样是难点. 3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物 面的一些性质难点. 4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线 是难点. §4.1 柱 面 一.柱面的定义 空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面. 柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线. 柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一. 二.柱面的方程 在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ???==0),,(0),,(2 1z y x F z y x F

(1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X ,,= (2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为 Z z z Y y y X x x 1 11-=-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方 程0),,(=z y x F ，这就是以???==0),,(0 ),,(2 1z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方 程. 三.例题讲解 例1.柱面的准线方程为?????=++=++2 221 2 22222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程. 解 设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为 101111z z y y x x -=-=--, 且 ?????=++=++2 221 2 121212 12 12 1z y x z y x (1) 设 t z z y y x x =-=-=--1 011 11,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得?????=-+++=-+++2 )(2)(21)()(2 222 22t z y t x t z y t x 可得 0)(2=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 2 1 211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程. 解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了. 空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离14=d 为半径的球面14)1()1(222=++-+z y x 与过知点(－1,－2,1)且垂直于

柱面锥面旋转曲面与次曲线

第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线 教学目的: 1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方 程. 2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴 为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状. 3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状. 4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质. 5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法. 6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图. 重点难点: 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、 旋转曲面的准线是难点. 2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面 方程的灵活多样是难点. 3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物 面的一些性质难点. 4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线 是难点. §4.1柱面 一.柱面的定义 空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面. 柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线. 柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一. 二.柱面的方程

在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ???==0 ),,(0 ),,(21z y x F z y x F (1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X v ,,= (2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为 Z z z Y y y X x x 1 11-=-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方 程0),,(=z y x F ，这就是以???==0),,(0 ),,(21z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方 程. 三.例题讲解 例1.柱面的准线方程为?????=++=++2 221 2 22222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程. 解 设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为 101111z z y y x x -=-=--, 且 ?????=++=++2 221 2 121212 12121z y x z y x (1) 设 t z z y y x x =-=-=--1 011 11,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得?????=-+++=-+++2 )(2)(21)()(2 222 22t z y t x t z y t x 可得 0)(2=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 2 1 211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程. 解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了. 空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距

解析几何第四版复习重点第四章柱面锥面旋转面与二次曲面

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 2、设柱面的准线为???=+=z x z y x 22 2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。 解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为： ??? ??+==-=? ?? ? ??-==+=t z z y y t x x t z z y y t x x 220 0000 0 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*********=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为 ())3 4,31,3 1(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为 )15 13 ,1511,152(0-- M ，圆的方程为： ????? =++= -++++0 7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面

引言 空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。 1.柱面 定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ 相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。 显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。 下面分几种情形讨论柱面的方程。 1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程 选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于 z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为： (),0 0f x y z =??? =?? 图1 u v

又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y = 反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程 (),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。 综上所述，我们有如下结论： 母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为： (),0f x y = （1） 它表示一个无限柱面。若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。 同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。 定理1：凡三元方程不含坐标,,x y z 中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。 应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。 例1：以Oxy 面上的椭圆22221,0x y z a b +==，双曲线22 221,0x y z a b -==和抛 物线22,0y Px z ==为准线，母线平行于z 轴的柱面方程分别为 22 222 22221,1,2x y x y y Px a b a b +=-==