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基于温度场反演算法的保温层最佳厚度

第27卷　第1期吉林大学学报(信息科学版)Vol.27　No.1 2009年1月Journal of J ilin University(I nf or mati on Science Editi on)Jan.2009

文章编号:167125896(2009)0120090209

基于温度场反演算法的保温层最佳厚度

赵红杰,隋　振,张佩杰,田彦涛

(吉林大学通信工程学院,长春130025)

摘要:为了实现屋顶保温层厚度的经济优化和节能,针对屋顶围护物件设计平屋顶保温层厚度,通过热传导完成几何建模,利用有限差分法对平屋顶室内温度进行数值模拟,应用二分法对保温层厚度进行反演,正演模拟得到的温度和反演得到的温度范围确定出最佳保温层厚度,利用M atlab得到室内温度的仿真结果并进行分析比较。结果表明,根据该方法得出的最佳保温层厚度为29c m,为实际生产提供了理论依据。

关键词:热传导;有限差分法;数值模拟;二分法;反演

中图分类号:TP39115;T U111文献标识码:A

Op ti m al Thickness of Flat Roof Based on Te mperature Field I nversi on A lgorithm

ZHAO Hong2jie,S U I Zhen,ZHANG Pei2jie,TI A N Yan2tao

(College of Communicati on Engineering,J ilin University,Changchun130025,China)

Abstract:The energy2saving architecture has huge influence f or t otal energy consump ti on in our country,in which e mphasis is the design of ther mal insulati on.The structure composing and the te mperature changing are analyzed.The model is derived by heat conducti on equati on.The design for p r oper thickness of flat r oof heat p reservati on layer in cold area is p resented,and numerical s oluti on of indoor te mperature is br ought out by finite2 difference method.The inversi on p r ocess and numerical si m ulati on are s olved by dichot omy and Matlab.Eco2 nom ical op ti m um of insulati on thickness is achieved.And the si m ulati ons are perfor med in order t o offer comp lete theory analysis and experi m ent study.The p r oper thickness of flat is29c m.Thus,all the above researches have the positive meaning f or p ractical app licati on in engineering.

Key words:heat conducti on equati on;finite2difference method;nu merical si m ulati on;dichot omy;the inversi on method

引　言

屋顶和墙体是建筑物的重要围护物件,保持室温,减少热损是其主要功能。在建造房屋时,能否维持所需的室内温度,屋顶厚度的设计是一个关键因素,其中,屋顶保温层的厚度直接关系到屋顶的保温效果。随着建筑节能技术的发展和新型保温材料的使用,保温层的优化设计不仅能有效地改善保温效果,还可节省能源消耗,减少开支。

在稳定传热的条件下,保温层厚度与房屋内表面的温度有直接关系[1]。笔者从数值计算的角度出发,将保温层的厚度求解问题抽象为导热方程的反演问题,这种反演问题在工程领域中获得了很好的效

收稿日期:2008209223

基金项目:吉林大学青年基金资助项目(419070100105)

作者简介:赵红杰(1984—　),女,山东寿光人,吉林大学硕士研究生,主要从事欠驱动双足机器人与复杂系统建模研究,(Tel)862 138********(E2mail)zhaohongjie3@1261com;通讯作者:隋振(1970—　),男,吉林公主岭人,吉林大学副教授,博士,主要从

事复杂系统建模、优化与控制研究,(Tel)86213604312078(E2mail)suizhen@jlu1edu1cn;田彦涛(1958—　),男,吉林四平人,

吉林大学教授,博士生导师,主要从事双足机器人控制、分布式智能系统与多智能体系统、主动机器视觉与跟踪控制研究

(Tel)86213844889256(E2mail)tanyt@jlu1edu1cn。

果[2～4]。利用有限差分法对平屋顶室内温度进行了数值模拟,通过二分法不断反演,得到最佳保温层厚度,并通过Matlab实现仿真结果。

1　模型建立

在北方地区,夏季太阳照射下的屋顶表面温度最高可达75℃,冬季最低温度可达-40℃,并且,冬季太阳辐射对屋顶的热交换影响较小,不予考虑,也不需考虑墙体保温层的影响。

111　平屋顶的导热方程

屋顶层内部温度分布不均匀,热量的传递由热传导方式体现,其结构受很多复杂环境的影响。在屋顶内部,热量由温度高的地方向温度低的方向传递,其温度分布可表示为

u=f(x,y,z,t)(1)

其中u为平屋顶结构内任意点温度,x,y,z为空间坐标,t为时间坐标

。

图1　体积元

Fig11Volu me ele ment

考虑屋顶层内部一体积元,热流从体积元一个面流入,从另一个面流出,净流入体积元的热量等于流入的热量减去流出的热量。

对屋顶建立三维坐标系,可将水平面设为x,y平面,铅锤方向为z轴,体积元的热传导如图1所示。由于屋顶层内部没有热源,因而,净流入的热量等于体积元内能的增量,符号规则规定热流流出为正。

热流密度q(x,y,z,t)由Fourier定理表示为

q=-λ u(2)其中q为热流密度,λ为材料的导热系数。

单位时间内流入小体积元内的总热量

d Q=-(q

5(λ u)

5x d x d y d z+5(λ u)

5y d x d y d z+

5(λ u)

5z d x d y d z=

5(λ u)

5x+5(λ u)

5y+

5(λ u)

5z d x d y d z= (λ u)d x d y d z(3)

其中Q为流入体积元的热量。

如果小体积元内无热源,则小体积元的温度变化正比于流入净热量,由比热定律

ρc d u d x d y d z= (λ u)d x d y d z d t(4)其中ρ为材料的干密度,c为材料的比热。

方程(4)可简化为

(λ u)=ρc5u

t(5)

其中 (λ u)=λ(52u

5x2+

52u

5y2+

52u

5z2)。因此,平屋顶内的三维热传导方程表示为

λ(z)(

52u

5x2+

52u

5y2+

52u

5z2)=ρ(z)c(z)

5t(6)

112　平屋顶模型建立

由于平屋顶在日照下,沿屋顶平面即x,y方向上无温度变化或温度变化甚微,因而,屋顶的温度分布问题可简化为铅锤方向上的一维导热问题,因此方程(6)简化为

λ(z)52u

5z2-ρ(z)c(z)

5t=0,　0≤z≤l,　t>0(7)

其中l为平屋顶层的厚度。19

第1期赵红杰,等:基于温度场反演算法的保温层最佳厚度

113　初始条件

初始条件为开始计算时刻(时间零点)平屋顶内部各层的温度分布规律。该条件应选在上午某时刻,且平屋顶层内部温度分布均匀,则

u|t=0=Ψ(z),　0≤z≤l(8)其中Ψ(z)为开始计算时,屋顶内部各层次温度变化函数。

热传导方程只需一个初值条件,因为热传导方程只含有u对时间一阶偏导数u

。

114　边界条件

1)对于屋顶层外表面,采用第一类边界条件,即

u|z=0=<(t)(9)其中z=0是区域的边界,<(t)为屋顶层外表面温度的时间变化函数。

2)对于屋顶层内表面,采用第二类边界条件,即

5z z=l=φ(t)(10)其中z=l为区域的边界,φ(t)为屋顶层内表面温度的时间变化函数。值得注意的是,若物体界面绝热,即物体与周围介质无热交换,则φ(t)=0,即第二类齐次边界条件,又称为绝热条件。

5z z=l=0(11) 115　附加条件

为实现保温层厚度的反演计算,补充附加条件

z=l+Δ

=g(t),　t>0(12)

其中u|

z=l+Δ

表示紧贴屋顶层内表面的室内温度。

方程(7)～(10)构成平屋顶保温层计算的正演问题,方程(7)～(10),(12)构成平屋顶保温层计算的反演问题。

2　模型求解

笔者的模型问题是一阶偏微分问题,且偏微分方程反演一般都是不断地利用正演模拟得到的信息修改给定的初值,从而渐近地逼近真值。因此,偏微分方程[5～9]的正演问题是进行反演计算不可缺少的重要组成部分。笔者利用有限差分方法对平屋顶层内表面的温度进行数值模拟[10]。

问题的定解区域是(z,t)面的第一区间,首先,以空间步长Δz和时间步长Δt将定解区域划分为网

格(见图2),取右上方的交点为矩形网格的坐标点(z

,t j)。其中z i=iΔz,i=0,1,…,n;t j=jΔt,j=0,

1,…,m,点(z i,t j)简化为(i,j)。以u j i=u(z i,t j)表示问题(7)～(10

)的解在离散点(i,j)的值。

图2　一阶偏微分网格图Fig12Mesh diagra m of the first order partial differential

对节点(i,j),u的偏微商与差商之间有以下关系式

5u j i

u j+1i-u j i

Δt+O

(Δt)(13)

其中u j

表示j时刻第i层的温度值。

52u j i

5z2=

5u j i+1/2

5z-

5u j i-1/2

Δz+O

(Δz2)(14)

5u j i+1/2

5z=

u j i+1-u j i

Δz+O

(Δz2)(15)

5u j i-1/2

5z=

u j i-u j i-1

Δz+O

(Δz2)(16) 5u

5z|z=l=

5u j n

5z=

u j n+1-u j n

Δz+O

(Δz)(17)

29吉林大学学报(信息科学版)第27卷

将方程(13)～(16)代入到式(7)中,可得

u j+1i =τh 2ρi c i λi+1u j i+1+(1-τh 2ρi c i λi+1-τh 2ρi c i λi )u j i +τh 2ρi c i

λi u j

i-1

(18)其中τ为时间采样间隔,h 为屋顶层内表面空气层厚度,λi ,c i ,ρi 表示第i 层的各参数取值,0≤i ≤

l/h,0≤j ≤24/τ。

1)初始条件的求解。

对式(8)进行有限差分,得到初始条件的离散格式为

u 0

i =Ψ(ih ),　0≤i ≤n

(19)

2)边界条件的求解。

①对于屋顶外表面:将式(9)进行有限差分,得到其离散格式为

u j

0=<(j τ)(20) ②对于屋顶内表面:将式(10)进行有限差分,得到其离散格式为u j n +1-u j

n =h φ(j τ)(21)

其中u j

n +1表示厚度为h 的空气层温度,即室内温度,n =l/h 。

由正演模拟得到的平屋顶内表面温度值u j

n ,如果满足附加条件(12),则正演模拟所采用的保温层厚

度即所求的最佳温度;否则依循某种迭代法则得到新的保温层厚度,代入正演问题进行正演模拟,得到新的屋顶内表面温度值u j

n ,再判断是否满足附加条件(12),以此类推得到最佳保温层厚度[11,12]

。

1)给出平屋顶保温层初始厚度d 0,根据以往的建筑经验,估计保温层厚度范围在[a 0,b 0];2)将上述范围的两个端点a 0,b 0代入方程组(18)～(21)计算屋顶内表面温度值;

3)将计算的两个温度值

u j

n ,

u j

n 分别与附加条件(12)进行比较,若均符合附加条件,则此范围是

保温层的最佳取值范围;如果有一个端点不满足条件,则根据二分法将上述范围平分,将得到的新端点与已有满足条件的端点组成新的取值范围[a 1,b 1],再重复步骤2);

4)直到两端点都满足条件,得出取值范围[a n ,b n ],得到最优保温层厚度。

3　应用算例

几何模型,即屋顶的结构层次分为6层:

1)1c m 三毡四油防水层;2)2c m 厚的水泥砂浆找平层;

3)水泥膨胀珍珠岩保温层,表面平整扫净(其厚度为笔者所求);4)2c m 厚的水泥砂浆,找2%坡度,表面抹光;5)20cm 厚的楼板;

6)115c m 厚的水泥砂浆,表面抹光。

屋顶内部材料

[8]

的不同决定了各层介质参数的不同,其介质参数如表1所示。

表1　平屋顶物理介质参数

Tab 11Physical mediu m para meters of flat r oof

材料名称干密度ρ

/(kg ?m -3

)

导热系数λ

/(W ?m -1?K -1

)

比热容C

/(kJ ?kg -1?K -1

)

蓄热系数S

/(W ?m -2?K -1

)

三毡四油纸600

0117

1147

3133

水泥砂浆

18000193110511137楼板(刚劲混凝土)25001174019217120水泥膨胀珍珠岩

600

0121

1117

3144

311　初始条件赋值

在实际生活中,屋顶内部的温度是很难测量的,而屋顶外表面的温度相对较容易得到。初始条件选定为凌晨6:00。因为这段时间相对一天来说,屋顶内部温度分布比较均匀,可通过实际测量并结合笔

9第1期赵红杰,等:基于温度场反演算法的保温层最佳厚度

者的假设得到。

严寒时屋顶外表面的温度为-25℃,屋顶内表面温度为20℃。利用线性插值,即可得出

Ψ(z )=45l

z -25

312　边界条件赋值

为了得到保温层厚度的反演结果,对边界条件的求解进行假设。为更接近实际温度在一天中的变化趋势,边界条件的表达式赋值于四次型时间变化函数。

1)外表面的第一类边界条件:u |z =0=<(t ),其中<(t )是屋顶外表面温度的时间变化,假设冬季一天内屋顶外表面的温度变化曲线图如图3所示,函数赋值如表2所示。夏季一天内屋顶外表面的温度变化曲线图如图4所示,函数赋值如表3所示。

冬季<(t )的表达式

<(t )=-40

-014514t 2+011794t 3-010096t

-40-014514(24-t )2+011794(24-t )3-010096(24-t )

其中0≤t ≤24。

图3　

冬季一天内的外表面温度变化曲线

Fig 13The outer surface te mperature change in a winter day

表2　冬季屋顶外表面温度分布Tab 12The outer surface te mperature

distributi on in winter

t /h

<(t )/℃

<′

(t )0-4006-30125018-3024

-40

图4　夏季一天内的外表面温度变化曲线

Fig 14The outer surface te mperature change in a su mmer day

表3　夏季屋顶外表面温度分布Tab 13The outer surface te mperature

distributi on in summer

t /h

<(t )/℃

<′(t )

015063012

0183024150

夏季<(t )的表达式

<(t )=15-014167t 2+012083t 3-010116t

15-014167(24-t )2+012083(24-t )3-010116(24-t )

其中0≤t ≤24。

2)内表面的第二类边界条件:u j n +1-u j

n =h φ(j τ),其中h

φ(t )是屋顶内表面温度与室内气温差值的时间变化函数。冬季、夏季变化曲线分别如图5、图6所示,函数赋值如表4、表5所示。

冬季h

φ(t )的表达式h φ(t )=0175-410306×10-3t 2+41861×10-4t 3-11543×10-5t

0175-410306×10-3(24-t )2+41861×10-4(24-t )3-11543×10-5(24-t )

其中0≤t ≤24。

夏季h

φ(t )的表达式49吉林大学学报(信息科学版)第27卷

φ(t )=-0

12+11389×10-4t 2-21546×10

-4t 3

+11543×10

-5t

-012-11389×10

-4

(24-t )

-21546×10-4

(24-t )

-11543×10

-5

(24-t )

其中0≤t ≤24。

图5　冬季一天内的内表面温度差变化曲线

Fig 15The inner surface te mperature change in a winter day

表4　冬天屋顶内表面温度差分布

Tab 14The inner surface te mperature

distributi on in winter

t /h

φ(t )/℃h

φ′(t )0017506016812

0165018016824

0175

图6　夏季一天内的内表面温度差变化图

Fig 16The inner surface te mperature change in a su mmer day

表5　夏季屋顶内表面温度差分布Tab 15The inner surface te mperature

distributi on in summer

t /h

φ(t )/℃h

φ′(t )0-012006-012312

-0130018-012324

-0120

313　附加条件

根据经验可知,当平屋顶层内室内温度在14℃～26℃时最适宜,因此附加条件选为

u |z =l+h =[14℃,26℃]

314　仿真结果与讨论比较

依据以往的建筑经验,可估计出保温层的厚度大概范围为15～40c m ,采用二分法,经过不断地模拟、与附加条件校核,并通过Matlab 仿真计算,得出最佳保温层厚度,使室温维持在14～26℃之间。

笔者假设冬季一周的屋顶外表面温度变化曲线如图7所示,保温层厚度的反演结果及分析如图8～图14所示。

图7　冬季一周内屋顶外表面温度变化曲线Fig 17The outer surface te mperature change in a week

步骤一:取a 0=0115(m ),b 0=0140(m )。步骤二:取a 1=0127(m ),b 1=0140(m )。步骤三:取a 2=0133(m ),b 2=0140(m )。步骤四:取a 3=0127(m ),b 3=0130(m )。步骤五:取a 4=0128(m ),b 4=0130(m )。步骤六:取a 5=0129(m ),b 3=0130(m )。

冬季满足条件的保温层厚度范围为29～40c m ,笔者假设夏季一周的屋顶外表面温度变化图如图15

9第1期赵红杰,等:基于温度场反演算法的保温层最佳厚度

图8　保温层厚度为0115m时室温变化曲线Fig18The indoor air te mperature distributi on with 0115m insulati on

thickness 图9　保温层厚度为0140m时室温变化曲线Fig19The indoor air te mperature distributi on with 0140m insulati on

thickness

图10　保温层厚度为0127m时室温变化曲线

Fig110The indoor air te mperature distributi on with

0127m insulati on thickness

图11　保温层厚度为0133m时室温变化曲线

Fig111The indoor air te mperature distributi on with

133m insulati on thickness

图12　保温层厚度为0130m时室温变化曲线

Fig112The indoor air te mperature distributi on with

0130m insulati on thickness

图13　保温层厚度为0128m时室温变化曲线

Fig113The indoor air te mperature distributi on with

0128m insulati on thickness

图14保温层厚度为0129m时室温变化曲线

Fig114The indoor air te mperature distributi on with

0129m insulati on thickness

所示,且反演分析同冬季,由图16得到夏季

满足条件的保温层厚度范围为22～40c m。

从经济角度再考虑此问题,选取最佳保温

层厚度为29c m,并通过民用建筑热工设计规

范[13]中的验证标准检验,屋顶的传热阻满足

R o>R o m in。

在严寒地区,建筑墙体的保暖隔热、抵御

辐射热的功能,影响非也常大,为了降低建筑

能耗,我国制定了《民用建筑节能设计标

准》[14],标准规定民用建筑供暖能耗在20世

纪80年代初的基础上节约50%,其中建筑围护结构承担30%的节能任务,因此,加强墙体保温也是减少建筑供暖能耗的有效方法之一。

墙体保温层厚度的确定,现多采用保证传热系数法或经验值法,很少采用优化设计方法;在建筑墙体节能中,保温材料的选取及应用[15,16]非常重要。

69吉林大学学报(信息科学版)第27卷

图15　夏季一周内屋顶外表面温度变化曲线Fig 115The outer surface te mperature change in a

week

图16　保温层厚度为0122m 时室温变化曲线

Fig 116The indoor air te mperature distributi on with 0122m insulati on thickness

4　结　语

笔者将平屋顶保温层厚度设计问题抽象为热传导方程的几何边界反演问题,通过不断地正演计算模拟室温变化,并通过Matlab 实现保温层厚度的反演仿真。仿真结果及分析比较解决了屋顶保温层厚度的经济优化问题和节能问题,给实际工程带来了明显的经济效益与社会效益。

墙体保温体也是节能建筑设计的关键技术之一,如果保温层设计不当,墙体保温性能就会发生很大改变,不但满足不了设计的节能要求,甚至会危及墙体的安全,例如,整体性、保温性、耐久性和抗震性等。因此,设计建筑墙体最优保温层厚度是下一步研究的目标。由于能源问题是21世纪的热门话题,因此,必须从可持续发展的战略出发,使建筑尽可能少地消耗不可再生资源,降低对外界环境的污染,并为使用者提供健康、舒适、自然、和谐的工作及生活空间。参考文献:

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ZHU Ying2bao.App ly of Ther mal I nsulati on Material in BuildingW all Energy2Saving[M].Beijing:China BuildingMaterial

I ndustry Pulishing House,2003:14287.(责任编辑:张洁)?待发表文章预告?

基于S V M的房地产需求量预测方法

程　伟,赵　姝,王洪波

(安徽大学计算智能与信号处理教育部重点实验室,安徽合肥230039;)

摘要:房地产业已经成为国民经济的支柱产业,做好房地产需求量预测有利于房地产市场的规范发展。尝试将支持向机算法应用于房地产需求量预测。该算法能针对在样本有限的情况,采用结构风险最小化

、关联度R、后验差准则,把学习问题转化为一个二次规划问题获得最优解。预测结果利用可信度p

比值C和小误差概率p等项指标检验,预测结果显示,该模型具有较高的预测精度和动态适应性。

关键词:支持向量机;房地产;需求量;预测