对弧长的曲线积分习题

(整理)对弧长的曲线积分.

对弧长的曲线积分 一、概念的引进 假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度 为ρ(, )x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的 质量m 。 在L 上任意地插入n +1个分点 A M M M M M M B i i n n ==--0111,,,,,,, 将L 分划成n 个小弧段。对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数 ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于 ρξηξη(,)(,), i i i i i M i M i s i M i M i s ???--弧表示弧的长度11 于是,整个曲线弧L 的质量近似值为 m s i i i i n ≈?=∑ρξη(,)?1 用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即 λ=≤≤max {} 1i n i s ? 为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,

即 m s i i i i n =?→=∑lim (,)λρξη01 ? (1) 撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。 【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内 任意地插入n +1点, A M M M M M M B i i n n ==--0111,,,,,,, 它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为?s i ,(,)ξηi i 为 弧M i M i -1上任取的一点,记 λ=≤≤max {} 1i n i s ? 作和式 f s i i i i n (,)ξη?=∑?1 如果极限 lim (,)λξη→=?∑01 f s i i i i n ? 存在, 这个极限值就叫做函数 f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作 f x y ds L (,)?。 亦即 f x y ds f s L i i i i n (,)lim (,)?∑=?→=λξη0 1 ? 其中: f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。 注记: 1、f x y ds L (,)?中的被积函数 f x y (,)的定义域为L 上的一切点。 2、上述定义可类似地推广到空间曲线的情形, 设Γ是空间的一条光滑曲线,函数 f x y z (,,)在Γ上有界,则

第十章 曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分 10.1 对弧长的曲线积分 一、求曲线 cos,sin, t t t x e t y e t z e ===从0 t=到任意点间的那段弧的质量，设 它各点的密度与该点到原点的距离的平方成反比，且在点(1,0,1)处的密度为1。 1 ) t e - ）二、计算下列曲线积分： 1. L ? ，其中L为旋轮线： (sin) (1cos) x a t t y a t =- ? ? =- ?（0tπ ≤≤2）。 （ 3 2 4a π） 2. () L x y ds + ? ，其中L是顶点为(0,0),(1,0),(0,1) O A B的三角形边界。 （1 3. L ? ，其中L是由极坐标曲线 ,0, r a π θθ === 4所围成的区域的边界曲线。 （ 2(1) a a e ae π -+ 4） 4. () L x y z ds ++ ? ，其中L由直线AB：(1,1,0),(1,0,0) A B及螺线 cos,sin,(02) x t y t z t tπ ===≤≤组成。 （ 3 2 2 + ）三、计算 L ? ，其中L 是由,0 y x y y ===所围成的第一象限部分的边界。 （ 2sin cos R R R π + 4） 四、计算 L，其中L是圆： 2222 x y z a x y ?++= ? = ?。（2a π2）

五、 计算 L xds ??，其中L 由直线0,x y x ==及曲线2 2y x -=所围成的第一象 限 部分 的 整 个 边 界 。 （+ ） 10.2 对坐标的曲线积分 一、设一质点处于弹性力场中，弹力方向指向原点，弹力大小与质点到原点的距离 成正比，比例系数为k 。若质点从点(0,)a 沿椭圆22 221x y a b +=在第一象限部 分 移 动 到 点 (0,) b ，求弹力所做的功。 （221 ()2k a b -） 二、计算曲线积分 22 (2)(2)L x xy dx y xy dy ++-?，其中L 是抛物线2(11) y x x =-≤≤沿 x 增加的 方 向 。 （14 15- ） 三、 计算 2 y L xe dy +?，其中L 是曲线y = 从点(0,0)O 到点(1,1)的一 段 弧 。 （2322） 四、 计算 2222 ()()L x y dx x y dy ++-?，其中L 是曲线 11y x =--从点(0,0)到 点 (2,0) 的一 段 。 （43） 五、 计算 ?ABC xdy ydx -? ，其中(1,0),(0,1),(1,0)A B C -，?AB 为圆 22 1x y +=的上半部分，? BC 为L 是一段抛物线2 1y x =-。 （ 43π - - 2 ）

曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α)()()) (),((22 对弧长的曲线积分 (,,)((),(),L L f x y z ds f x t y t z t =? ?若 ():()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则 原式 = ((),(),(f x t y t z t β α ? 常见的参数方程为： 特别的： 2 2 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?

():() ()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处 α=t ，终点处β=t 则 原式= ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图： 三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界 特别地：当 y p x q ??=??时，积分与路径无关， 且 ??? +=+2 1 21 2211),(),(),(),(21) ,() ,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q P x y ??? =?? 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。 四、对面积的曲面积分 1、 当曲面为 ????++==∑ xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)) ,(,,(),,() ,(μμ 2、 当曲面为 (,) (,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑ ==???? 3、 当曲面为 (,) (,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑ ==????

练习111(对弧长的曲线积分) - 答案

练习册 111 对弧长的曲线积分（答案） 1、计算?+=L y x ds e I 22，其中L 是由圆周()0222>=+a a y x ，直 线x y =和x 轴在第一象限所围扇形的边界。 解：积分曲线L 可以分成直线段OA 、弧段? AB 和直线段OB （如图所示），分别记作1L ，2L 和3L 。 因为0:1=y L ，a x ≤≤0；?????==θθsin cos :2a y a x L ，40πθ≤≤；x y L =:2，a x 220≤≤； 所以????++++++==32222212222L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e I ()()???+++-++=a x a a x dx e d a a e dx e 22024022011cos sin 01πθθθ ()()224141-+=-++ -=a a a a a e ae e ae e ππ。 2、计算?=L ds y I 2，其中L 为摆线的一拱()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=，π20≤≤t 。 解：()()()()()()()dt t a dt t a dt t a t a dt t y t x ds 2 sin 2cos 12sin cos 122222=-=+-='+'=， 所以()()dt t t a dt t a t a ds y I L ????-=?-==ππ20232022222 sin cos 122sin 2cos 1 ()???? =??? ??==?-=ππππθθ053205320532023sin 1622sin 162sin 82sin cos 12d a t d t a dt t a dt t t a 33205305315 2561325432sin 32sin 16a a d a d a =???===??ππ θθθθ。 3、计算()?+=L ds y x I ，其中L 是连接点()0,1和()1,0的直线段。 解：因为1=+y x ，10≤≤x ， ()()()dx dx dx x y ds 2111222=-+='+=， ()2210==+ = ??dx ds y x I L 。

最新对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分 一、概念的引进 假设 xoy 面内有一段曲线弧L具有质量,在L上任一点 (,) x y 处的线密度为 ρ(,) x y,且ρ(,) x y 在L上连续,A与B分别是弧L的端点,现计算弧L的质量m。 在L上任意地插入n+1个分点 A M M M M M M B i i n n == -- 0111 ,,,,,,, 将L分划成n个小弧段。对于第i个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数 ρ(,) x y 在L上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于ρξηξη (,)(,), i i i i i M i M i s i M i M i s?? ?-- 弧表示弧的长度 11 于是,整个曲线弧L的质量近似值为 m s i i i i n ≈? = ∑ρξη (,)? 1 用 λ表示这n个小弧段长度的最大者, 即 λ= ≤≤ max{} 1i n i s? 为了得到质量m的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,

即 m s i i i i n =?→=∑lim (,)λρξη01 ? (1) 撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。 【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内任意地插入n +1点, A M M M M M M B i i n n ==--0111,,,,,,, 它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为?s i ,(,)ξηi i 为 弧M i M i -1上任取的一点,记 λ=≤≤max {} 1i n i s ? 作和式 f s i i i i n (,)ξη?=∑?1 如果极限 lim (,)λξη→=?∑01 f s i i i i n ? 存在, 这个极限值就叫做函数 f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作 f x y ds L (,)?。 亦即 f x y ds f s L i i i i n (,)lim (,)?∑=?→=λξη0 1 ? 其中: f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。 注记: 1、f x y ds L (,)?中的被积函数 f x y (,)的定义域为L 上的一切点。

第19讲 对弧长的曲线积分

§11.1 对弧长的曲线积分 1、主要教学目标 (1)对弧长的曲线积分的概念与性质 (2)对弧长曲线积分的计算 (3)对弧长曲线积分的几何与物理意义及应用 2、重点内容 对弧长曲线积分的计算 3、难点分析 对弧长曲线积分的计算中，参数方程的确定及直角坐标、极坐标、参数方程三种情形下曲线积分计算公式 4、对教材的处理及其教学提示 (1)注意教材在该部分的淡化，要注意考研的需求，介绍参考书； (2)注意线、面积分的性质局限在线性、可加、符号范畴； (3)曲线、曲面积分重在讲授转化成定积分的思想方法，定积分计算不宜过难； (4)注意构建第一类线、曲积分计算法与曲线长度、曲面面积计算的知识结构体系； 5、作业布置 P190：3(2，3，5) 教案内容 一、问题的提出 实例：曲线形构件的质量匀质之质量.s M ?=ρ 分割,,,,121i n s M M M ?→-Λ ,),(i i i s ?∈ηξ取.),(i i i i s M ??≈?ηξρ 求和.),(1 ∑=??≈ n i i i i s M ηξρ近似值 取极限.),(lim 1 ∑=→??=n i i i i s M ηξρλ精确值 二、对弧长的曲线积分的概念与性质 1.平面上对弧长的曲线积分 y

上对弧长的曲线积分 在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设L y x f s f s f i s i n L L y x f xoy L n i i i i i i i i i i ),(,, 0,),(,),(,),(,..),(,1→?????∑=ληξηξηξ.),(lim ),(,),(1 ∑? ?=→??=n i i i i L L s f ds y x f ds y x f ηξλ即 记作 2.空间中对弧长的曲线积分 上对弧长的曲线积分为 在空间曲线弧函数Γ),,(z y x f .),,(lim ),,(1 i n i i i i s f ds z y x f ??=∑? =→Γ ζηξλ 3.曲线积分的存在性 .),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当?L ds y x f L y x f 4.分段光滑的曲线上对坐标的曲线积分 ) (,)(21L L L L +=Γ是分段光滑的或若 .),(),(),(2 1 2 1??? +=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 5.闭曲线积分 .),(),(?L ds y x f L y x f 为上对弧长的曲线积分记在闭曲线函数 6.对弧长的曲线积分的性质 .),(),()],(),([)1(???±=±L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ).(),(),()2(为常数k ds y x f k ds y x kf L L ??= .),(),(),()3(2 1 ???+=L L L ds y x f ds y x f ds y x f ).(21L L L += 三、对弧长的曲线积分的计算法 1.定理(计算曲线积分的公式) 的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设L L y x f ,),( ))((),(βαψ?≤≤==t t y t x ) ()()()](),([),(,],[)(),(2 2βαψ?ψ?βαψ?β α <'+'=?? dt t t t t f ds y x f t t L 则 上具有一阶连续导数在其中