，由0a <，知0b <。根据反比例函数图象的性质，当0a <时，函数a
y x
=图象在二、四象限；根据正比例函数图象的性质，当0b <时，函数y bx =图象经过二、四象限。故选B 。
变式题1（2010龙岩）对于反比例函数k y x
=，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数2y kx kx =+的大致图象是（ ）
例2（2011广西
桂
林）已知二次函数21
3
42
y x x =-+
的图象如图． （1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M ，以AB 为直径，D 为圆心作⊙D ，试判断直线CM 与⊙D 的位置关系，并说明理由．
【分析】该题通过平移抛物线，把观察、探究、计算融合在一起，将二次函数的性质，平移的性质，待
定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，勾股定理和逆定理，相似三角形的判定和性质等初中数学的主干知识融为一体。蕴含着数形结合思想、化归的思想、方程与函数的思想、运动变化等数学思想。
【解题思路】（1）根据对称轴公式求出2b
x a
=-
，求出即可。 （2）用待定系数法设出平移后的解析式即可得出图象与x 轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可。 （3）由抛物线的解析式21
3
442
y x x =-++可得，A ，B ，C ，M 各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出CD ⊥CM ，即可证明。 【答案】解：（1）由21342y x x =-+
，得32b
x a
=-=，∴D （3，0）
。 （2）如图1，设平移后的抛物线的解析式为21
3
4
2
y x x k =-++，
则C （0，k ），OC=k ， 令y =0，即21
3
042
x x k -+
+=，
法一：得1233x x =+=
∴A ()
3 -，B ()
3 +，
∴22AB 33 1636k =
-+=+，
()
()
2
2
22222AC BC 3 +32836k k k k +=+++=++。
∵AC 2+BC 2=AB 2，即：21636836k k k +=++，得k 1=4，k 2=0（舍去）， ∴抛物线的解析式为21
3
442
y x x =-+
+。 法二：可证AOC COB ?? ，得2OC OA OB =?，即2
16,4k k =∴=
（3）如图2，由抛物线的解析式213
442
y x x =-+
+可得，
A （﹣2，0），
B （8，0），
C （4，0），
D （3，0），M 253 , 4?
? ??
?，
过C 、M 作直线，连接CD ，过M 作MH 垂直y 轴于H ， 则MH=3，
∴2
2
25625
DM
416??== ???
，
2
2
2
2
2
25225
CM MH CH 34416??=+=+-= ???
。
在Rt △COD 中，CD 5AD ==， ∴点C 在⊙D 上。
∵2
2
25625
DM 416??== ???
， 222DM CD CM =+，
∴DM 2=CM 2+CD 2。∴△CDM 是直角三角形。∴CD ⊥CM 。 法二：可证COD MHC ?? ，得CD ⊥CM 。 ∴直线CM 与⊙D 相切。
变式题2（2011湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC 与CDEF 的边OC 、OA 所在
直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系（O 、C 、F 三点在x 轴正半轴上）.若⊙P 过A 、B 、E 三点(圆心在x 轴上)，抛物线c bx x y ++=2
4
1经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为G ，M 是FG 的中点，正方形CDEF 的面积为1. （1）求B 点坐标；
（2）求证：ME 是⊙P 的切线；
（3）设直线AC 与抛物线对称轴交于N ，Q 点是此对称轴上不与N 点重合的一动点，①求△ACQ 周长的最小值；②若FQ ＝t ，S △ACQ ＝s ，直接写出．．．．s 与t 之间的函数关系式.
D
C
B
A
(二)几何型综合题：
这类题型是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点(或动线段)运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前，不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，
探索研究的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④探究线段之间的位置关系等；⑤探索面积之间满足一定关系求x 的值等；⑥直线与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x 、y 的方程)，变形写成y ＝f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x 和y 的方程)和复合法(列出含有x 和y 和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x 之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y ＝f(x)的形式)等。
找等量关系的途径主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等……求定义域主要是寻找图形的特殊位置 (极限位置)和根据解析式求解。
而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x 的值。 例3（2011四川宜宾）如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）
【答案】B 。
【分析】该题主要考察动点问题的函数图象。
C
【解题思路】当点P由点A向点D运动时，y的值为0；当点p在DC山运动时，y随着x的增大而增大；当点p在CB上运动时，y不变；当点P在CA上运动时，y随x的增大而减小。故选B。
变式题3（2011安徽）如图2，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个
动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设，，
，△AMN的面积为，则关于的函数图象大致形状是（）
例4（2011湖南长沙）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B。
（1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ
为定值；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是
梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
【分析】本题通过“点动”带来“形动”，把观察、操作、探究、计算融合在一起，巧妙将等边三角形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判定等初中数学的主干知识综合在一起。蕴含着数形结合思想、化归的思想、分类讨论思想、运动变化等数学思想。
【解题思路】（1）根据题意作辅助线过点B作BC⊥y轴于点C，根据等边三角形的性质即可求出点B的坐标。
（2）根据∠PAQ═∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB，得出△APO≌△AQB总成立，得出当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。
（3）根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果。
【答案】解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C，
∵A(0,2)，△AOB为等边三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
，）。
∴OC=AC=1。即B 1
（2）不失一般性，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，
∵∠PAQ==∠OAB=60°，∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，∴△APO≌△AQB总成立。∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立。
∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。
（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，
∴AO与BQ不平行。
①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，
当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。
又OB=OA=2，可求得
由（2）可知，△APO≌△AQB，∴
∴此时P的坐标为（ 0）。
②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方，
此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形，
当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。
又AB= 2，可求得BQ=
由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=，
∴此时P的坐标为（）。
综上所述，P的坐标为（）或（）。
变式题4（2011江苏泰州）在平面直角坐标系x O y中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴
的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。
（1）当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，
点P都在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。
近几年的中考数学综合题都重视知识间的联系与整合，在知识交汇处，设置多层次的开放性、观察操作、阅读理解、合理猜想、推理探究，考查数学思考和解决问题的能力。这启示我们在进行综合思维的时候要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，方程函数是工具，计算推理得严谨，创新品质得提高。
附变式题答案：
1. 【答案】B
2.【答案】解：（1）如图，连接PE、PB，设PC＝n，
∵正方形CDEF面积为1，∴CD＝CF＝1。
根据圆和正方形的对称性知OP＝PC＝n，
∴BC＝2PC＝2n。
而PB＝PE，
222222PB =BC +PC 45n n n =+=，
()2
222PE =PF +EF 11n =++，
∴2251)1(n n =++。 解得1n = (2
1
-
=n 舍去) 。 ∴BC ＝OC ＝2。 ∴B 点坐标为(2,2)。 （2）如图，由（1）知A (0,2)，C (2,0)， ∵A ，C 在抛物线上，∴2412++=bx x y ，∴2
3-=b 。 ∴抛物线的解析式为223412+-=
x x y ，即4
1)3(412--=x y 。 ∴抛物线的对称轴为3x =即EF 所在直线。 ∵C 与G 关于直线3x =对称，∴CF ＝FG ＝1、∴FM ＝12FG ＝1
2
。 在Rt △PEF 与Rt △EMF 中，
PF
2EF
=，EF 11:2FM 2==， ∴PF EF EF FM =
，∴△PEF ∽△EMF 。 ∴∠EPF ＝∠FEM ，∴∠PEM ＝∠PEF+∠FEM ＝∠PEF+∠EPF ＝90°。 ∴ME 与⊙P 相切。
（3）①如图，延长AB 交抛物线于A′，连接CA′交对称轴3x =于Q ，连接AQ ， 则有AQ ＝A′Q ，△ACQ 周长的最小值为（AC+ A′C ）的长。 ∵A 与A′关于直线3x =对称，∴A (0,2)，A′(6,2)。
∴A′C ＝522)26(2
2=+-。
而AC=222222=+ ，
∴△ACQ 周长的最小值为
②当Q 点在F 点上方时，1s t =+； 当Q 点在线段FN 上时，1s t =-； 当Q 点在N 点下方时，1s t =-。
3. 【答案】C 。
4. 【答案】解：（1）当∠BAO ＝45°时，四边形OAPB 为正方形。
∴OA ＝OB ＝a ·cos45°a 。∴P a a ）
。 （2）作DE ⊥x 轴于E,PF ⊥x 轴于F,
设A 点坐标为（m ，0），B 点坐标为（0，n ）， ∵∠BAO ＋∠DAE ＝∠BAO ＋∠ABO ＝90°，
∴∠DAE ＝∠ABO 。 在△AOB 和△DEA 中，
A O
B D E A
90A B O D A E A B A D ∠=∠=???∠=∠??=?
， ∴△AOB ≌和△DEA （AAS ）。 ∴AE ＝0B ＝n ，DE ＝OA ＝m 。 ∴D 点坐标为（m ＋n ，m ）。
∵点P 为BD 的中点，且B 点坐标为（0，n ） ∴P 点坐标为（
2m n +,2m n +）。∴PF=OF=2
m n
+ 。 ∴∠POF=45°。 ∴OP 平分∠AOB 。
即无论点A 在x 轴正半轴上、点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB 的平分线上。 （3）当A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上运动时，设PF 与PA 的夹角为 α。
则0°≤α＜45° ， h ＝PF ＝PA·cos α
a ·cos α。 ∵0°≤α＜45°
cos α≤1 ∴1
2
a ＜h
a
