论文----浅谈微积分思想在几何中的应用
毕业论文
题目：浅谈微积分思想在几何
问题中的应用
学院：数学与统计学院
专业：数学与应用数学
毕业年限：2013年
学生姓名：***
学号：************
指导教师：**
说 明：1. 成绩评定均采用五级分制，即优、良、中、及格、不及格。
2. 评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等。
指导教师预评评语
指导教师 职称 预评成绩
年 月 日 答
辩小
组
评
审
意见
答辩小组评定成绩
答辩
委员 会终
评
意 见
答辩委员会终评成绩
答辩小组组长（签字）： 年 月 日
答辩委员会主任（签章）： 年 月 日
目录
摘要 (2)
关键字 (2)
Abstract (2)
Keywords (2)
1微积分介绍 (3)
1.1微积分的基本内容 (3)
2微分在几何问题中的应用 (5)
2.1一元微分的几何应用 (5)
2.2多元微分的几何应用 (7)
3积分在几何问题中的应用 (9)
3.1定积分的几何应用 (9)
3.2二重积分的几何应用 (16)
3.3三重积分的几何应用 (17)
结束语 (20)
参考文献 (21)
浅谈微积分思想在几何问题中的应用
***
（西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州 730070）
摘要：微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、
三重积分分别在几何问题中的应用。一元微分可以求曲线的长；多元微分可以求曲线的切线、
切平面、法线、法平面；定积分可以求曲线的长、图形的面积、立体的体积；二重积分可以
求图形的面积、立体的体积；三重积分可以求立体的体积。
关键词：一元微分多元微分定积分二重积分三重积分曲线的长面积体积
Application of differential calculus thought in
geometric problems.
Lv Danqin
(College of mathematics and statistics, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou
730070)
Abstract:Application of differential calculus thought in geometric problems
consists of a differential, multiple differential, integral, double integral,
integral respectively three applications in geometric problems. A differential can
find the length of the curve; tangent, multivariate differential can find the curve
tangent plane, normal, normal plane; definite integral can be the length of the curve,
the graph area, volume of solid; double integral can be graphics area,
three-dimensional volume; three points can be obtained three-dimensional volume. Keywords: A differential multiple differential ntegral double integral three integral curve length area volume
1微积分介绍
1.1微积分的基本内容 1.1.1一元微分
定义：设有函数()f x ，若存在常数A ，使得对于自变量x 的改变量x ?，函数的改变量()()y f x x f x ?=+?-可以表示为：()(0)y A x x x ο?=??+??→，则称()f x 在点x 处可微，并称A x ??为()f x 在点x 处的微分，记为dy 或()df x ，即dy =A x ??或()df x =A x ??.
几何意义：0()dy f x dx '=表示曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线上的点的纵坐标相应于x ?的增量。 1.1.2多元微分
多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。
定义：设有二元函数(,)z f x y =，若存在常数A,B 使得对于自变量x 和y 的改变量
x ?和y ?，函数
z 的改变量
z ?可以表示为
(,)(,)(z
f
x x y y f x
y A x B y ο
ρρ?=+?+
?-=??+??+→
则称函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微，并称A x B y ??+??为(,)f x y 在点(,)x y 处的全微分，记为dz 或
(,)df x y ，即dz A x B y =??+??或(,)df x y A x B y =??+??.
1.1.3定积分
定义：设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，用分点011...n n a x x x x b -=<<<<=将区间[,]a b 分成n 个小区间，小区间的长度为1(1,2,...,)i i i x x x i n -?=-=，记
{}1max i i n
x λ≤≤=?，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，作乘积
()(1,2,...,i i f x i n ξ??=和式1
()n
n i i i S f x ξ==??∑成为积分和，当0λ→（即n 无限增
大）时积分和的极限如果存在，且此极限与[,]a b 的分法及ξ的取法无关，则称函数()f x 在区间[,]a b 上是可积的，并称此极限为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作0
1
()lim ()n
b
i i a i f x dx f x λξ→==??∑?。
其中符号“?”称为积分符号，()f x 称为被积函数，x 称为积分变量，区间[,]a b 称为积分区间，a 称为积分下线，b 称为积分上限。 1.1.4二重积分
定义：设(,)f x y 是定义在平面有界闭区域D 上的有界函数对区域D 的任意划分
12,,...,n D D D ???以及任意属于i D ?的点(,)i i i P ξη，作和式1(,)n
i i i
i f ξησ=?∑（其中i σ?表示i D ?的面积）。当{}1max 0i i n
d λ≤≤=→时（i d 为i D ?的直径），如果不论对D 怎样
划分，点i P 怎样选取，上述和式都趋于同一常数，则称函数(,)f x y 在区域D 上是可积的，并称该常数为函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分，记作(,)D
f x y d σ??，
即0
1
(,)lim (,)n
i i i i D
f x y d f λσξησ→==?∑??。
其中(,)f x y 叫做被积函数，(,)f x y d σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，
x 和y 叫做积分变量，D 叫做积分区域。 1.1.5三重积分
定义：设(,,)f x y z 是定义在空间有界闭区域Ω上的有界函数。对区域Ω的任意划分123,,...,?Ω?Ω?Ω以及(,,)i i i i i P ξηζ∈?Ω任意取法，作和式1(,,)n
i i i i i f v ξηζ=?∑（其
中i v ?表示i ?Ω的体积）。当{}1max 0i i n
d λ≤≤=→（i d 为i ?Ω的直径），如果不论对Ω
怎样划分，点i P 怎样选取，上述和式都趋于同一常数，则称函数(,,)f x y z 在区域
Ω上是可积的，并称该常数为函数(,,)f x y z 在区域Ω上的三重积分，记为
(,,)f x y z dv Ω
???，即0
1(,,)lim (,,)n
i i i i i f x y z dv f v λξηζ→=Ω
=?∑???。 其中(,,)f x y z 叫做被积函数，dv 叫做体积元素,z y x ,,叫做积分变量，Ω叫做积分区域。
2微分在几何问题中的应用
2.1一元微分的几何应用 2.1.1求平面曲线的切线
若函数()y f x =在包含x u =的区间上可导，则曲线()y f x =在点
(,())A u f u =有切线，切线方程为()()()y f u x u f u '=-+。 例1、写出过点)1,3(-A 而与曲线1xy =相切的直线的方程。 解:将曲线方程1xy =写成函数形式1
()y f x x
==
。设所求直线与曲线相切于点(,())B u f u ,则直线斜率为()f u '。根据直线AB 斜率意义可得
1()()(3)f u f u u '-=--。 将1()f u u =
和21
()f u u
'=-代入上式得到关于u 的方程 211
1(2)u u u
-
=---。 整理后得二次方程2
230u u --=，解得3u =或1u =-，
即切点可能是
1(3,)3
或(1,1)--； 所以满足要求条件的切线有两条，用两点式直线方程写出 整理后分别为：20x y ++=和960x y --=
如图一
图一
2.1.2求参数方程曲线的切线
设曲线Γ由下列参数方程表示，(),()()x u t y v t t I Γ===∈，
))((),(:I t t v y t u x ∈==Γ函数()x u t =和
()y v t =都在区间I 上可导，则对于任意
0t I ∈，当22
00()()0u t v t ''+≠时，对应的Γ上的点00(,)P x y 处有切线L ，其方程
为0000()()()()u t y y v t x x ''-=-。这里0000(),()x u t y v t ==。也就是说，00((),())u t v t ''是曲线在00(,)P x y 处切线的方向向量。
例2、设曲线Γ的参数方程为{3sin ,2cos }x t y kt ==，求曲线上对应于u t =的点00(,)x y 处的切线方程.
解：计算得3cos ,2sin x t y k kt ''=-
故曲线上对应于00(,)x y 处的切线的方向向量为(3cos ,2sin )u k ku - 结合003sin ,2cos x u y ku ==，可得点00(,)x y 处的切线方程为
3cos (2cos )2sin (3sin )0u y ku k ku x u ?-+?-=， 整理得2sin 3cos 60k ku x u y ?+?-=
2.2多元微分的几何应用 2.2.1空间曲线的切线与法平面
设曲线L 的参数方程为(),(),()x x t y y t z z t ===，并假设参数方程中三个函数的导数均存在，且在t 的某一个确定值0t 处，三个导数不同时为零。设取参数
0t t =时，对应曲线L 上的点为1000(,,)M x x y y z z +?+?+?则有直线的两点式得割
线方程为
000
x x y y z z x y z
---==
???。向量(,,)x y z ???为割线的方向向量，向量,
,x y z t t t ????? ??????
同样是割线的方向向量，所以割线方程可表示为000
x x y y z z x y z t t t
---==
??????。 当0t ?→时，点1M 沿曲线L 趋于点0M ,因为000(),(),()x t y t z t '''不同时为零，所以非零向量000((),(),())s x t y t z t '''=为曲线L 在点0M 处的切线方向向量，切线的方程为
000
000()()()
x x y y z z x t y t z t ---=='''。 向量000((),(),())s x t y t z t '''=又称为曲线L 在点0M 处的切向量，显然向量s 又是曲线L 上的点0M 处的法平面的法向量，所以曲线在点0M 处的法平面方程为
000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=。 例3、求柱面螺旋线cos ,sin ,x a t y a t z bt ===在2
t π
=处的切线方程与法平面
方程。
解：因为()sin ,()2x t a t x a π''=-=-，()cos ,()02y t a t y π
''==，
(),()2
z t b z b π
''==。
故当2t π
=
时，对应点为0(0,,)2
b
M a π
所以在点0()2
M t π
=
处的切线方程为
??
???
=-+=--=-=-02020ππab az bx a y b b
z a y a x 或 法平面方程为()02
b
ax b z π-+-=，或20b ax bz z π-+=。
例4、求曲线???=-+-=-++045320
3222z y x x z y x 在点（1,1,1）处切线方程。
解：对方程两边同时对自变量x 求导数并移项，得 2232352
yy zz x y z ''?+=-?
''-+=-?
06105
3
22≠+=-=z y z y J 在的条件下，由克拉默法则，得
3221541025106x z
z x y J y z -+--'==+，23264932106y x x y z J y z
---+--'==
+， 所以154109(1)10616y +-'==+，6491(1)10616
z --+'==-+。
所以曲线在点（1,1,1）处的切向量为91
(1,,)1616n =- ，
故曲线在点（1,1,1）处的切线方程为111
911616
x y z x ---==
-， 即11
1169x y z --==-。
2.2.2曲面的切平面与法线
设曲面∑的方程为:(,,)F x y z ∑，曲面上一点0000(,,)M x y z ，设函数(,,)F x y z 在点0M 处具有连续的偏导数（即,,x y z F F F 在点0M 处连续），且不同时为零（不全为零）。设曲面上过点0M 的任意一条曲线L 的参数方程为
(),(),()x x t y y t z z t ===，设0t t =时，对应于曲面上的点0000(,,)M x y z ，且000(),(),()x t y t z t '''存在但不完全为零。向量
000((),(),())x y z n F M F M F M =垂直于曲
面∑上过点0M 的任意曲线L 在该点处的切线。这就是说，过点M 0的的所有曲面曲线在点0M 处的切线都在过点0M 且垂直于向量n 的平面π上，所以平面π为曲面∑在点0M 处的切平面，向量n 即为切平面π的法向量。曲面∑在点0M 处的切平面方程为000000(()()()()()()0x y z F M x x F M y y F M z z -+-+-=。又因为曲面∑在点0M 处的的法向量n ，所以曲面∑在点0M 处的法线方程为
00000
(()()()x y z x x y y z z
F M F M F M ---==
。 例5、设曲面(,,)0F x y z = 上点000(,,)x y z 处有2,22x y z F F F ===，求曲面在此点处的切平面方程及法线方程。
解：由题意知曲面在给定点处的法向量(2,2,22)n =
切平面方程为0002()2()22()0x x y y z z -+-+-=， 即0002(2)0x y z x y z ++-++=。 法线方程为
000
2222
x x y y z z ---==。 3积分在几何问题中的应用
3.1定积分的几何应用 3.1.1求平面曲线的弧长
设平面曲线方程()y f x =具有连续导数，则其弧长微分为21ds y dx '=+，从而曲线位于区间[a,b]中的弧长为21b a
L y dx '=+?
。
例6、计算曲线3
2
(02)y x x =≤≤的弧长（图二）
图二
解：由于3()2
x
f x '=
，故由弧长公式知 3
232
2
92498211(5.51)0439427
x x s dx ??=+=?+=- ????
3.53≈
即曲线32
(02)y x x =≤≤的弧长约为53.3。
例7、设L 为心脏线(1cos )(0)r a a θ=+>的下半部，求L 的弧长s .
解：心脏线下半部分的极坐标方程为(1cos )(2)r a θπθπ=+≤≤，所以
s i n r a θ'=-。故
222[(1cos )](sin )L
s ds a a d π
π
θθθ==++-??
222cos 2
2cos 42
a d a d a
π
π
π
πθ
θ
θ
θ==-=?
?
3.1.2求平面曲线的全长
例8、计算星形线33cos ,sin x a t y a t ==的全长。
解：因为223cos (sin )3sin cos x a t t a t t '=-=-，23sin cos y a t t '=。
星形线是对称曲线，得
2220
4S x y dt π
=+?
[]20222220
244220
220
4(3sin cos )(3sin cos )12sin cos sin cos 12sin cos 12sin (sin )6sin 26a t t a t t dt
a t t t tdt
a t tdt a td t a t a
π
π
π
ππ=-+=+====????
3.1.3求曲线包围的面积
由曲线()y f x =，直线b x a x ==,所围成的底边在x 轴上的曲边梯形的面积为()b
a f x dx ?。
由曲线()x g y =，直线d y c y ==,所围成的底边在y 轴上的曲边梯形的面积为()d
c g y dy ?。
由曲线()y g x =，直线b x a x ==,及x 轴所围成的平面图形的面积为
()()b
a
g x f x dx -?
。
由曲线(),()x y x y ?ψ==，直线d y c y ==,及y 轴所围成的平面图形的面积为()()d
c y y dy ?ψ-?。
例9、求由曲线2
1
,2,0,31y x y y x x
=
===+所围成的图形面积。 解：所围成的图形如图三，记为S
图三
求曲线??
???
=+=y x x y 2112的交点，解得1
1,2x y ==.
所以在区间[0,1]，2
1
1
0116
2
S x dx ==
?
。 在区间[1,3]，2
2
31
1
34121S dx x πππ=-=
+=?
。 故所围成图形的面积为1
2
1261212
S S S ππ
+=+=+
=
。 例10、计算包围在双纽线222cos 2r a θ=内部及圆a r =外部图形的面积。 解：易见双纽线函数222cos 2r a θ=的周期为π，且根据双纽线函数的定义区间和余弦函数性质知在
3
222
π
θπ<<即344πθπ<<部分没有图形，由周期性知在
5744πθπ<<也没有图形。
且其图形对称于极轴，从而其图形分布在44ππ
θ-≤≤及35
44
πθπ≤≤之间。 设所求图形面积为A ，则有对称性知A 应为第一象限部分面积的四倍。下图阴影部分是位于第一象限中的情形。
图四（图中q 即为θ）
先求出两曲线交点:???==a r a r θ2cos 222得交点为,6a π??
???。从而 2260
14(2cos 2)2A a a d π
θθ=?-?
[]23sin 2226a πθθ??
=-=-????
3.1.4求旋转体的表面积
按照定积分的元素法，对于分点111(,),(,)i i i i i i M x y M x y ---，因为
101lim 1i i
x i i
M M M M -?→-=︵
,所以可以将弦1i i M M -绕x 轴形成的侧面积来代替曲线弧 1i i M M -︵
形成的侧面积，从而2
2
22()()()2()1y dA f x x y f x x x ππ???
=?+?=+?? ????
当函数
()()y f x a x b =≤≤可导时，2
222()()()2()1()dA f x x y f x f x x ππ'=?+?=+?? （以切线长带弦）22()1()b
a A f x f x dx π'=+?对于曲线()()x f y c x d =≤≤绕y
轴旋转的情况，可得，2222()()()2()1()dA f y x y f y f y y ππ'=?+?=+??，
22()1()d
c A f y f y dy π'=+?。
例11、求3(01)y x x =≤≤的曲线绕x 轴旋转所成图形的表面积。 解：由2
3y x '=得
1
3220
21(3)A x x dx π=+?
3
2
1
34
41
0122192(19)363
x x dx x ππ=+=??+?
(10101)27
π
=
?-
3.1.5求立体的体积 3.1.5.1旋转体体积
由连续曲线()y f x =在区间[]b a ,上围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周形成的旋转体的体积为2()b
x a V f x dx π=?。
由曲线()x g y =，直线d y c y ==,及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为2()d
y c V g y dy π=?。
例12、求220x y -+=，220y x --=，0x =及1x =围成的图形围绕x 轴旋转所得的旋转体的体积。
解：易见所求旋转体体积等于22y x =+（即220x y -+=）在[]1,0区间上围绕x 轴形成的旋转体与1
12
y x =
+（即220y x --=）在[]1,0区间上围绕轴x 形成的旋转体的体积之差。由图五可知，在[]1,0区间上，21
122
x x +<+
图五
所以1
1
2
2
2001
(2)(1)2
V x dx x dx ππ=+-+??
1
222014205321
[(2)(1)]215
(3)4
151********
x x dx
x x x dx
x x x x ππππ=+-+=+-+??=+-+??
??
=??
3.1.5.2已知平行截面表达式的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为()A x ，()A x 区间[]b a ,上连续，则对应于小区间[,]x x x +?的体积元素为()dV A x dx =，因此所求立体体积为
()b
a
V A x dx =?。
例13、设有一几何体，其底面为xy 平面上的圆222
(0)x y a a +=>，而用任何位于[]a a ,-区间而垂直于x 轴的平面去截该几何体，截面都是正三角形。求其体积。
解：过x 轴上[]a a ,-区间任意点作垂直于x 轴的平面与几何体相交，得截面为正三角形，因而其面积为
2221
()(2)(3)33()2
A x y y y a x ===-
从而知该几何体体积为
3
22
23()33a
a
a a x V a x dx a x --??=-=-???
??
3
433
a =
3.2二重积分的几何应用 3.2.1求曲线围成的面积 3.2.1.1在直角坐标系下
当所求区域D 为x 型区域)}()(,),{(21x y y x y b x a y x D ≤≤≤≤=时，有
????
??=??
? ??=b a x y x y D
b
a x y x y dy y x f dx dx dy y x f dxdy y x f )()()()(2121),(),(),(； 当所求区域D 为y 型区域)}()(,),{(21y x x y x d y c y x D ≤≤≤≤=时，则有
?????
?=??
? ??=d c y x y x D
d
c
y x y x dx y x f dy dy dx y x f dxdy y x f )()()()(2121),(),(),(。
例14、用二重积分求曲线x y x y cos ,sin ==及y 轴在第一象限所围成的区域的面积。
解：记所求区域为D ，其面积为A ，则
????
?
-===
40
4
cos sin )sin (cos π
π
dx x x dy dx dxdy A D
x
x
12)cos (sin 4
-=+=πx x
3.2.1.2在极坐标系下
如果)}()(,),{(21θθβθαθr r r r D ≤≤≤≤=，则在极坐标系下有
??
??=β
αθθθθθ)
()
(21)sin ,cos (),(r r D
rdr r r f r d dxdy y x f
例15、计算心脏线θsin 1+=r 所围成的平面区域的面积。
解：因为对任意θ，0sin 1≥+=θr ，所以心脏线θsin 1+=r 所围区域可表示为}sin 10,20),{(θπθθ+≤≤≤≤=r r D ，故其面积为 θθθσπ
π
θ
d rdr d d A D
2
2020
sin 10
)sin 1(2
1??
???+===+
θθθπd ????
??-++=2022cos 1sin 2121
23022sin 41cos 22321π
πθθθ=??
? ??--=
3.2.2求立体的体积
体积??=D
d y x f V σ),(，其中)0)(,(≥y x f 为曲顶柱体的曲顶。
例16、计算由三个平面1,0,0=+==y x y x 所围成的柱体被平面0=z 及
y x z ++=1截得的立体的体积。
解：所求立体是一个曲顶柱体，曲顶方程是：y x z ++=1。区域
10,10:≤≤-≤≤x x y D ，所以
dy y x dx d y x V D
x
????
-++=++=1010
)1()1(σ
??-+-+-=-?
????
?++=1021
02])1(21
)1()1[(012dx x x x x dx x y xy y 0123216
1
232110232???????+--=??? ??+--=x x x dx x x
6
5=
3.3三重积分的几何应用（求立体的体积） 3.3.1在空间直角坐标系下
设积分区域V 由集合
}),()(,),(),(),,{(2121b x a x y y x y y x z z y x z z y x V ≤≤≤≤≤≤=所确定，这里V 在
xy 平面上的投影区域},)()(),{(21b x a x y y x y y x D ≤≤≤≤=是一个x 型区域，它对于平行于z 轴且通过D 内点的直线与的V 边界至多交于两点。现设),,(z y x f 在V 上连续，),(),,(21y x z y x z 在上D 连续，)(),(21x y x y 在[a,b]上连续，则有
dz z y x f dxdy dxdydz z u x f V
D y x z y x z ??????
=)
,()
,(21),,(),,(
dz z y x f dy dx b
a
x y x y y x z y x z ??
?
=
)
()
()
,()
,(2121),,(
同样的，当把区域V 投影到zx 平面或yx 平面上时，也可写出相应的累次积分。
例17、计算???+V
y x dxdydz 22，其中V 为由平面x y z x x ====,0,2,1与y z =所围的区域。
解：V 在xy 平面上的投影区域}21,0),{(≤≤≤≤=x x y y x D 是x 型区域，这里
y y x z y x z ==),(,0),(21，所以有
????????+=+=+2102221002222x x y V
y x ydy
dx y x dz dy dx y x dxdydz dx dx y x x
2ln 21)ln(2
1210222
1??=+=
2ln 2
1
=
3.3.2在柱面坐标下
柱面坐标系与直角坐标系变量间的关系：
.,20,0,,sin ,cos :+∞<<∞-≤≤+∞<≤??
?
??===z r z z r y r x T πθθθ，由于变换T 的函数行列式
物理中的微积分思想
高中物理中微积分思想 浙江省湖州中学物理组 潘建峰 伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。 微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。 微积分学是微分学和积分学的总称。 它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。 1、解决变速直线运动位移问题 匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？ 例1、汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？ 【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式at v v +=0 2021at t v x +=就可以求得汽车走了0.025公里。 但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即202 1at t v x +=。 【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系t at v v 2100-=+=，从开始刹车到停车的时间t=5s ， 所以汽车由刹车到停车行驶的位移 km t t t a t v dt at v dt t v x 025.0)10()2()()(5025 02050050=-=+=+==?? 小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v －t 图像，找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决. 2、解决变力做功问题 恒力做功，我们可以利用公式直接求出Fs W =；但对于变力做功，我 们如何求解呢？ 例2：如图所示，质量为m 的物体以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运 动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，求物体从轨道最低点运动到
高数论文 微积分
目录 高等数学——微积分------------------------------------------------------------- - 1 - 什么是微积分 ---------------------------------------------------------------------- - 2 - 微积分的历史 ---------------------------------------------------------------------- - 2 - 微积分的创立 ----------------------------------------------------------------- - 2 - 中国古代微积分 -------------------------------------------------------------- - 3 - 微积分的与公式 ------------------------------------------------------------------- - 3 - 微分公式------------------------------------------------------------------------ - 3 - 积分公式------------------------------------------------------------------------ - 4 - 微积分的运算法则---------------------------------------------------------------- - 5 - 微分的运算法则 -------------------------------------------------------------- - 5 - 积分的运算法则------------------------------------------------------------- - 6 - 例题与解题方法 ------------------------------------------------------------------- - 6 - 微分的计算方法 -------------------------------------------------------------- - 6 - 定积分的计算方法 ----------------------------------------------------------- - 7 - 微积分的意义与应用------------------------------------------------------------- - 7 - 微积分的意义 ----------------------------------------------------------------- - 7 - 微积分的应用 ----------------------------------------------------------------- - 7 - 高等数学——微积分 周露
浅谈大一微积分
浅谈大一微积分 姓名：龚文皓学号：1511010411 关键词：微积分，极限，求导，不定积分 什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。 微积分是每个大学生都必修的内容，而学习微积分，我们首先学习的就是极限，数列，函数都有极限，在没有进入大学之前，我们的知道了极限这个名词。但是一次没有介绍过，然而在我们的学习中一直在用到极限思想来解决一些数学问题。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从近似认识精确。所以学习极限对于学习微积分这一块是十分重要的，极限就是微积分学习的基础，盖房的砖瓦。 再接着我们学习的就是导数了，求导我们在高中的学习中已经无数次的用到了它，有时候解决一些物理问题，如天体的运动也要利用到求导。导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经济剖析、经济抉择妄想、经济打点中,有着普遍的应用意义其作为数学剖析课程中最主要的根基概念之一,反映了一个变量对另一个变量的转变率。在经济学中，也存在转变率问题，如：边际问题和弹性问题。运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利弊时，仅仅依据它的全部成本。而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本的比较。求导也就是求函数的变化率，它直观的反映出一种变化趋势，所以我们要学会求导，掌握好这一数学工具。 求导是微分运算，而不定积分是积分运算，微分运算和积分运算是互逆的。我们可以通过积分的形式可以求出路程，不规则图形面积，可以帮我们解决一些问题复杂问题，而求积分又涉及了多种方法，学习掌握好不定积分的求法很重要，也可以帮助我们更加深层次的理解理解微分，什么是微分以及为什么要微分。对于微积分的学习很有帮助。 总而言之，因为微积分是高等数学学习的入门，所有很有必要每个大学生都掌握好微积分的知识，以便今后的高等数学的学习。以为微积分还可以解决很多经济学上的问题，可以帮助我们从数学角度去分析经济学，对于之后所要学习的其他学科也有一定的帮助。以上是我关于微积分学习的一点收获。
微积分发展史
微积分发展史 摘要：本文将介绍微积分的由来以及发展过程以及他对于人类发展的重大意义。并且在文章中也会对微积分的一些基本内容和理论等进行说明和归纳 关键词：微积分，微分，积分，建立 一、微积分学的建立 微积分在如今的数学领域中占到了非常重要的地位，并且作为 一门学科，微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应 用的数学分支。它的起源可以追溯到其诞生的2000多年前， 比如，古代的人用方砌圆，我国庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，魏晋时刘徽的“割圆术”等等，都涉及到了以“直”代“曲” 的极限观念，属于微积分的朴素思想，阿基米德更可称为时微 积分学的先驱，他不仅成功地将“穷竭法”应用于求像抛物线弓 形那样复杂地曲边形地面积中，而且在求积时应用了各种微积 分学地思想。但微积分思想真正形成是在十七世纪，由牛顿总 结和发展了前人的工作，几乎同时建立了微积分的方法和理论 微积分的起源。牛顿是从物理角度建立了微积分的思想，而德 国数学家莱布尼兹从几何角度出发，独立地创立了微积分 （1675-1676）。这两位数学家总结出处理各种有关问题地一般 方法，并揭示出微分学和积分学之间的本质联系。两人各自建
立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及 其符号。这位日后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要 的基础。微积分的创立，极大地推动了数学地发展，过去很多 初等数学束手无策地问题，通过运用微积分，往往引刃而解。 使得微积分学地创立成为数学发展地一个里程碑式的事件。二、微积分建立的重要意义 恩格斯曾经说过：“在一切理论成就中，未必再有什么像十七世 纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如 果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那就 正是在这里。”在微积分建立之前，人类基本还处于农耕文明时 期。但在微积分建立之后它为创立许多新的学科提供了源泉。 可以说微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类智 慧的结晶，它极大地推动了科学地进步，并且对社会也有深远 的影响。有了微积分，就有了工业革命，它是世界近代科学的 开端，同时也摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学， 对社会产生了极大的影响，使人们进入了现代化的社会。这一 切都表面了微积分学的产生是人类历史上的一次空前飞跃。三、微积分理论的基本介绍和归纳 微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出， 求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入 不定积分即得到积分值，微分则是倒数值与自变量增量的乘积。 作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求
微积分的起源与发展.
微积分的起源与发展 主要内容： 一、微积分为什么会产生 二、中国古代数学对微积分创立的贡献 三、对微积分理论有重要影响的重要科学家 四、微积分的现代发展 一、微积分为什么会产生 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律－－航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积分在这样的条件下诞生是必然的。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。 第二类问题是求曲线的切线的问题。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。
数学中的极限思想及其应用
摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。 ：极限思想，应用关键词Abstract: In this paper, the application of in solving problems is the limit idea explained. What's more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.
微积分小论文
微积分小论文 一、微积分学的创立 微积分作为一门学科，是在十七世纪产生的。它的主要内容包括两部分：微分学和积分学。然而早在古代微分和积分的思想就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代就有了比较清楚的论述。如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。这些都是朴素的极限概念.到了十七世纪，人们因面临着有许多科学问题需要解决，如研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题；求曲线的切线的问题等，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。十七世纪的许多著名的数学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。这两位数学家在微积分学领域中的卓越贡献概括起来就是：他们总结出处理各种有关问题的一般方法认识到求积问题与切线问题互逆的特征，并揭示出微分学与积分学之间的本质联系。两人各自建立了微积分学基本定理，并给出微积分的概念、法则、公式及其符号。有了这些理论知识作为前提为以后的微积分学的进一步发展奠定了坚实而重要的基础。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。可以说微积分学的诞生是数学发展的一个里程碑式的事件。二、微积分诞生的重要意义 二、微积分诞生的重要意义 微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。微积分学是继解析几何产生后的又一个伟大的数学创造。微积分为创立许多新的学科提供了源泉。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一，是人类理性思维的结晶。它给出一整套的科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强与加深了数学的作用。微积分的产生不仅具有伟大的科学意义，而且具有深远的社会影响。有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代化的社会。在微积分的帮助下，万有引力定律发现了。微积分学强有力地证明了宇宙的数学设计，摧毁了笼罩在天体上的神秘主义、迷信和神学。这切都表明微积分学的产生是人类认识史上的一次空前的飞跃。 三、微积分理论的基本介绍 微积分学是微分学和积分学的总称。微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数是互为逆运算的过程，而把上下限代入不定积分即得到积分值，微分则是导数值与自变量 增量的乘积。作为一种数学的思想微分就是“无限细分”，而积分就是“无限求和”。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无 限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以
极限思想的产生及发展
毕业论文 题目极限思想的产生与发展 专业数学教育 院系数学系 学号 131002145 姓名 指导教师 二○一三年五月
定西师范高等专科学校 2010 级数学系系毕业论文开题报告专业班级：数学教育姓名：指导教师：
目录 内容摘要： ............................................................................................................... (4) 关键词： (4) 引言： (5) 一、极限思想的产生 (6) 二、极限思想发展的分期 (6) （一）极限思想的萌芽时期 (6) （二）极限思想的发展时期 (8) （三）极限思想的完善时期 (8) 三、极限思想与微积分 (9) （一）微积分的孕育 (10) （二）牛顿与微积分 (11) （三）莱布尼茨与微积分 (12) （四）微积分的进一步发展 (13) 结束语 (14) 参考文献 (15) 致谢 (15)
内容摘要本文综述了极限思想的产生和发展历史。极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。 关键词极限；无穷；微积分
引言 极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。 在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。从最初时期朴素、直观的极限观，经过了2000多年的发展，演变成为近代严格的极限理论，这其中的思想演变是渐进的、螺旋式发展的、相互推动的。 极限理论是微积分学的基础，极限方法为人类认识无限提供了强有力的工具，它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点，是近现代数学的一种重要思想。极限思想蕴含着丰富的辩证法思想，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的极好应用。理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史和数学哲学史上的一些问题将具有一定的理论意义。对于培养人的思维方法、思维品质，提高其分析问题和解决问题的能力都有极好的促进作用。
大一微积分论文
我的微积分之旅 微积分知识总结及学习体会 微积分是很多专业的一门基础学科，它在现代自然科学中占有十分重要的地位，是学生学习技术知识的基础。微积分作为一门挂科率较高的学科，具有严密的逻辑性和高度的抽象性，而老师在一堂课中所传授的知识，常常是穷尽一个科学家或几个科学家一代或几代的研究成果，其知识容量之大可想而知。那么怎样在短短的四十五分钟内尽可能多的掌握这些知识呢？我将浅谈一下自己的看法。 通过一年的高数学习，我们知道在大学好微积分是必要的，也是必须的。学习是一个长期的过程，不要总是想着考试前几天突击下就可以，我们中的人多数还都是普通人，没有能力达到一看就会的程度。所以一定要听好每节课，做好每一次作业，打好基础才能在复习中查缺补漏。 1、预习是必要的，在讲多元复合函数求导的那节课前，我因为准备其他考试而没预习，导致两节课像坐在飞机一样云里雾里，于是只能课下去看老师发的视频和课件。发现了重点是“串并联法则”，弄懂这个一切难题就迎刃而解，如果当初预习一下，听课效率就会高很多。 2、一定要保质保量的完成作业，不要以为作业很无所谓，可能有的题目是很难，但我们一定要自己做出来。如果实在做不出来的话，看看老师发的答案也是可以的，前提是自己之前思考过。公式定理一定要背，这些是学习微积分的基本工具，只有弄懂练熟公式与定理的使用，我们才能更好的应用到题目中去。 3、大学里的学习课后巩固很重要,光靠一周两次课的学习,远远不够。并且, 课上老师可能会因为进度问题而讲得很快, 很多时候我们会跟不上老师的速度, 这时, 如果课后不再看例题, 课上的疑问会永远得不到解答。在此情况下谈想进步是不可能的。 那么我们具体该怎么学习微积分呢？在第一章的函数，我了解了什么是函数，如何求函数的定义域、奇偶性、周期性和数值，函数复合的计算。重点是充分理解复合函数、反函数和初等函数这些特殊的函数，熟悉它们的表达式、图像和计算方法。弄懂前面的基础，就到了函数在经济学中的应用，供给、需求、总成本、总收益、总利润函数，它们的计算和之间的关系。 第二章是极限与联系。内容有证明极限，证明连续，证明间断点，无穷大与无穷小等。我觉得最主要的是求函数的极限，方法有很多(1)消去零因子法；(2)同除最高次幂；(3)分子或分母有理化；(4)利用无穷小运算性质(有限个无穷小之和仍为无穷小，无穷小与有界函数的积仍为无穷小）；(5)复合函数求极限法则； (6)利用左、右极限求分段函数极限；(7)利用两类重要极限；(8) 利用等价无穷小代换；(9) 利用连续函数的性质(代入法)；(10) 利用洛必达法则。具体运用哪一种方法，还需要我们通过多做题来知晓。 第三章是导数与微分。最基础的就是背好公式，然后再多加练习。反函数、复合函数、隐函数、高阶导数是比较重要的，关键还是要牢记公式定理。在这一 章我们还学习到了经济应用“边际与弹性”，边际函数 平均函数 第四章中值定理与导数有点难度，首先是三个中值定理“罗尔定理”、“拉格朗日中值定理”、“柯西中值定理”，这三个定理分别满足的条件是必须背下来的。洛必达法则是求0/0型、∞/∞型、0*∞型等未定式的极限的一个重要方法。导
高数微积分思想的实践运用研究
高数微积分思想的实践运用研究 微积分是高等数学中的一门非常重要的科目，是用对变量近似计算和求解的方法完成对其变化规律的了解和认识。随着高等教育的普遍发展，高数微积分被逐渐运用到人类的日常生活中，并发挥了极其重要的作用。文章通过对高数微积分的概述和介绍，结合微积分的实际应用，以此论述高数微积分思想的意义。 一、高数微积分的概述 微积分是一门主要研究微分学和积分学的相关概念和应用的数学分支。它的主要内容是极限思想、微分和积分。微分学是一套有关变化率的理论，重点是求导数的计算，微分学使函数、速度和加速度、曲线的斜率可以运用一套符号进行表示。积分学则是用于计算面积和体积的一种通用的求积分的运算。 高等数学的范围要大于微积分，因为高等数学既包括微积分，也包括常微分方程、空间几何解析等内容。高等数学和微积分之间的关系其本质理解则为包括与被包括的关系。 二、高数微积分在社会中的实际应用 （1）在物理学中的应用。高数微积分思想在物理学中可用于研究匀变速直线运动位移问题，我们可以把物体运动的时间进行无限的细分，在每一份运动时间内，物体运动的速度发生的变化及其细小，可以忽略这种细微的变化，因此可认为物体的运动速度是匀速不变的。而位移和速度之间的关系式为x=vt，根据已知的条件可求得位移；同时在研究变力做功的问题时也可以运用微积分相关知识。对于恒力做功，可以运用公式直接求得，但是对于变力做功，我们需要利用所学微积分思想将位移无限细分，每一份位移上力的变化细微，因此将其看作恒力，求出所做的功，然后将每一份位移上的功进行无限求和，便可以算出变力所做的功。 （2）在医学方面的应用。由于现代医学正在从定性向定量方向发展，高数微积分思想在医学各个方面均有涉及。微积分主要是对分段和累加进行研究，就是把一个整体细分成若干份，把非线性分成很小可以看做线性的部分，并用线性知识解决，最后进行累加的过程。在医学方面，在用药或者研究某些病变的时候，该情况并不是连续的，我们可以将其细分为多个部分进行分析和研究，将小部分看成连续性的。这种方可以帮助我们更好地分析其发展过程，有利于进一步分析和控制病变的机理，最后通过计算，推算出继续累加后病变的发展方向。 （3）在经济方面的应用。经济学在本质上则为一个数学公式：F（x）=f（x1、x2、...xn），在此公式中，x1、x2、xn为经济生活各种不定性的变量。经济学中的“边际”就是将导数经济化的例子。“边际效用”是指多消费一种单位产品时，对消费者所增加或减少的效用。“弹性”更是体现了高数微积分的思想，例如，需求的收入弹性，就是其需求和收入之间的变化率的比，在经济方面的表述则为其他
高等教育数学微积分发展史论文
微积分发展应用史 学院：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学（1）班 【摘要】：由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十 分重要的,可以说它是继欧氏几何后,全部数学中的最大的一个创造。整个17世纪有数十位 科学家为微积分的创立做了开创性的研究,但使微积分成为数学的一个重要分支还是牛顿和 莱布尼茨。 【关键词】：解析几何建立牛顿莱布尼兹发展史 【正文】 如果将整个数学比作一棵大树,那么初等数学是树的根,名目繁多的数学分支是树枝,而 树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始, 随着社会的进步和生产力的发展,自文艺复新以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然 科学开始迈入综合与突破阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，是的微积分学的基本问题空前的成为人们关注的焦点：确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题成为研究;望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任意一点的法线这就是人以曲线的切线问题 变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决与此同时，行星眼轨道运行的路程，行星矢径扫过的面积及物体的重心和引力的计算有使微积分学的基本问题——面积、体积、曲线长、重心和引力的计算的兴趣被重新激发起来。在十七世纪中叶几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，在这种特殊的背景下微积分学即将应运而生。
任何新事物的产生都有一个准备的过程，微积分的诞生也不会例外，德国天文学家数 学家开普勒(Johannes Kepler,1571-1630)，意大利数学家卡瓦列里(Bonaventura Cavalier i,1598-1647)都为此做出不可磨灭的贡献，但他们主要采用几何方法并集中于积分问题，解析几何的诞生改变了这一状况，其创始人笛卡尔和费马将坐标方法引进微分学问题研究的先锋，笛卡尔在《几何学》中提出了切线的所谓“圆法”，其本质作为一种代数方法，在推动微积分的早期发展中有着很大影响，牛顿就是以笛卡尔原发为起点高踏上了研究微积分的道路。牛顿通过对反复阅读笛卡尔《几何学》，对笛卡尔求切线的“圆法”产生浓厚的兴趣，并试图寻找解决该问题的最优方法，在1665年夏至1667年春终于功夫不负有心人，在探讨微积分方向取得突破性进展，并将研究成果整理成一篇总结性论文，此文献现在称为《流数简论》(Traction Fluxions)（因为牛顿当时并没有发表，只是在研究同人中间传阅），成为历史上最早系统的微积分文献，标志作为积分的诞生。 《流数简论》充分反映了牛顿微积分学的的运动背景，该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）的概念，虽然没有使用流数这一术语，但却在其中提出了微积分的基本问题，虽然《简论》对微积分的基本定理的论述不能算是现代意义上的严格证明，但是牛顿再后来的著作中队高问题做了不依赖于运动清楚证明。不过此时的微积分在很多方面还不成熟，牛顿对自己的成果并未做宣扬，而是用1667-1693这段时间的大约四分之一来不断该今晚 自己的微积分学说，最终将研究成果议论文的形式总结出来，这些论文有：《运用无限多项的分析》（De Analysi per Aequationes Numero Terminnrum Infinitas）、《流数法与无穷级数》（Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum）,《曲线求积数》（Tractatus de Quadratura Curvarum）。最后一篇作为牛顿最成熟的微积分著述，在其中对以前的 不足之处做了大量的改进，重新重视无限小瞬0的作用，并强调在数学中，最小的误差也 不能被忽略……就是这种严谨的科学态度，最终成为了那个时代的历史巨人。
高等数学思想方法
高等数学思想方法 第一章函数与极限 主要的思想方法： (1)函数的思想 高等数学的核心内容是微积分，而函数是微积分的主要研究对象。我们在运用微积分解决实际问题时，首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系，这是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程，体现的是科学的抽象是数学的一个思维方法和主要特征。 （2）极限的思想 极限的思想方法是微积分的基础。极限是变量在无限变化过程中的变化趋势，是一个确定的数值。把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势，即函数或者数列的极限，这是一种重要的数学思想方法。 第二章导数与微分 主要的思想方法： （1）微分的思想 微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化，一般地，求导的过程就称为微分;导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。从导数与微分的概念中可看出，在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现，而这也是微积分的一个基本思想。 （2）数形结合的思想 书本中在引入导数与微分概念时，也讨论了它们的几何意义，这显然更好地帮助我们理解这两个概念。通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明等等内容是高等数学中常用的方法，这是抽象思维与现象思维有机结合的典型体现。 （3）极限的思想 不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。 （4）逻辑思维方法 在本章中，归纳法（从特殊到一般），分类（整合）法等逻辑思维方法都得到了充分的体现，理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。 第三章中值定理与导数的应用 主要的思想方法： 导数本质上是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型，它实质上反映了函数在该点处的局部变化性态；而中值定理则是联系函数局部性质与整体性质的“桥梁”，利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质，具体表现为在理论和实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间内一点处的导数与函数在该区间整体性质的关系。
微积分、极限思想推导圆周长、面积公式
圆周长公式推导 1.积分法 在平面直角坐标下圆的方程是x^2 + y^2 = r^2 这可以写成参数方程 x = r * Cos t y = r * Sin t t∈[0, 2π] 于是圆周长就是 C = ∫(0到2π)√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt （Q:此处x,y对t为什么都要导？ A: 将一个圆的周长分成n份，x'(t)=△x=xn-x(n-1), y'(t)=△y=yn-y(n-1).当n→∞，△x，△y→0时，可将每一份以直代曲，即每一份的长度C/n=√(△x^2+△y^2)= √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ).所以C就是√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )从0到2π的积分.虽然不导得出的结果是一样的，但原理方面就解释不通了.） =∫(0到2π)√( (-rSint)^2 + (rCost)^2 ) dt =∫(0到2π) r dt = 2πr 2.极限法 在圆内做内接等n边形， 求等n边形周长：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形， 其底边长为 2*r*sin(π/n) ，所以等n边形周长为 n*2*r*sin(π/n) 这个周长对n→∞求极限 lim[n*2*r*sin(π/n)] 运用等价无穷小规则，当x→0时，有sinx→x 所以lim[n*2*r*sin(π/n)] =lim[n*2*r*π/n]=2πr. 圆面积公式推导 应用圆周长C = 2π r
1.可以将圆分成两个半圆两个半圆，再将两个半圆分成无数个面积相等的扇形 并展开，在拼接起来，底边可以以直代曲，那么就是一个底边长为πr，高为r的矩形。这是小学的推导法，但有微积分的思想在其中。 2.积分法 可将圆看成由无数个同心圆环组成. 设圆半径为R，里面的同心圆环半径为r，为自变量.设每个圆环厚度为dr→0，则圆环周长可看为2πr，圆面积为所有这些圆环的面积之和.所以S = ∫ 2πr dr,从0积到R. 所以S=2π[1/2(R^2-0^2)]= πR^2.(球体积公式推导方法中的“球壳法 Shell Method”与此法是类似的.) 不应用圆周长C = 2π r 1. 积分法 (1)圆方程为x^2+y^2=r^2.只需算出第一象限(0积到r)，然后乘以4.方法和求曲边梯形面积类似，具体不再叙述. (2)我们回过头来看到上面周长推导中的Q和A. C/n=√(△x^2+△y^2)= √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )，每份C/n与两条半径组成的扇形的底面曲边是可以以直代曲的，那每个小扇形可以看成以C/n为底、r为高的等边三角形，每个面积就是r* C/n*1/2=1/2*r*√(△x^2+△y^2)= 1/2*r*√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ). 于是圆的面积就是 S=∫(0到2π) 1/2*r*√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt =1/2*r*∫(0到2π) √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt =1/2*r*C =1/2*r*2πr =πr^2. 2.极限法 类似于上面周长公式的极限法推导，在圆内做内接等n边形， 求等n边形面积：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形，
微积分论文
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微积分中的导数思想与应用 蔡淑铭 摘要：微积分在天文、力学、数学、化学、生物学、物理学、工程学和社会科学等领域都有什么样重要的作用,微积分的基本原理和思想在我们的日常生活中、学习、工作中也经常用到。一、导数在经济学中的应用导数反映函数的自变量在变化过程中,相应的函数值变化的快慢程度——变化率。如果在函数y- f(x)在某一点x_0处可导的前提下,若函数y-f(x)在某区间内每一点处都可导,则称y=f(x)在该区间内可导,记y=f'(x)为y=f(x) 在该区间内的可导函数(简称导数)。 关键词：流数术、可导、变化 1.导数的概念 导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X 在一点x 上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的 比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x 0处的导数，记作f'(x )或 df/dx(x )。 导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。 对于可导的函数f(x)，x?f'(x)也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。 2.导数的历史沿革 2.1起源
论文----浅谈微积分思想在几何中的应用
毕业论文 题目：浅谈微积分思想在几何 问题中的应用 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 毕业年限：2013年 学生姓名：*** 学号：************ 指导教师：**
说 明：1. 成绩评定均采用五级分制，即优、良、中、及格、不及格。 2. 评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等。 指导教师预评评语 指导教师 职称 预评成绩 年 月 日 答 辩小 组 评 审 意见 答辩小组评定成绩 答辩 委员 会终 评 意 见 答辩委员会终评成绩 答辩小组组长（签字）： 年 月 日 答辩委员会主任（签章）： 年 月 日
目录 摘要 (2) 关键字 (2) Abstract (2) Keywords (2) 1微积分介绍 (3) 1.1微积分的基本内容 (3) 2微分在几何问题中的应用 (5) 2.1一元微分的几何应用 (5) 2.2多元微分的几何应用 (7) 3积分在几何问题中的应用 (9) 3.1定积分的几何应用 (9) 3.2二重积分的几何应用 (16) 3.3三重积分的几何应用 (17) 结束语 (20) 参考文献 (21)
浅谈微积分思想在几何问题中的应用 *** （西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州 730070） 摘要：微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、 三重积分分别在几何问题中的应用。一元微分可以求曲线的长；多元微分可以求曲线的切线、 切平面、法线、法平面；定积分可以求曲线的长、图形的面积、立体的体积；二重积分可以 求图形的面积、立体的体积；三重积分可以求立体的体积。 关键词：一元微分多元微分定积分二重积分三重积分曲线的长面积体积 Application of differential calculus thought in geometric problems. Lv Danqin (College of mathematics and statistics, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070) Abstract:Application of differential calculus thought in geometric problems consists of a differential, multiple differential, integral, double integral, integral respectively three applications in geometric problems. A differential can find the length of the curve; tangent, multivariate differential can find the curve tangent plane, normal, normal plane; definite integral can be the length of the curve, the graph area, volume of solid; double integral can be graphics area, three-dimensional volume; three points can be obtained three-dimensional volume. Keywords: A differential multiple differential ntegral double integral three integral curve length area volume
关于高等数学论文
《高等数学》 期末课程总结 姓名：张桂花 班级： 12级采矿01班 系别：环境与城市建设学院 高等数学论文 摘要： 经过一个学期的学习，对于高数我又有了一个更深的了解，大一上学期主要是了解高数一些最基本的东西，等到了下学期，主要是对上学期所学知识进行一定的延伸和拓展，在原有学习的基础上更深入的了解其精髓，对于我们更深刻的掌握高数这门学科有很大的好处。这一学期里我们重点学习了高数中的导数、微分和积分的扩充，即从对一元函数的求导到对多元函数的求导，求偏导和求全微分，从一重积分扩充到二重积分和三重积分，但是之前的一重积分主要是运算，但是重积分则更加注重在其运用上，积分也从之前的对某一个区域积分延伸到对曲线积分和曲面积分上。另外，这学期也新引入了无穷级数和微分方程。经过一学期的学习，我认识到了数学里一些更加新奇的东西，以前我们都很难计算的无穷数列在无穷级数的学习后得以解决了，而且还可以将一些难以求解的级数通过转化和变形成为我们熟悉的级数形式然后进行求解，这让我想到了我们生活中的很多东西都是这样的，当我们遇到困难不能解决的时候，我们就要习惯产生联想，将这种问题想方法转化为我们熟悉的能解决的东西在进行处理，这些都是我们的高数在不知不觉中一直告诉我们的真谛。数学也训练我们的逻辑思维能力，它在一方面让
我们大胆的去假设，另一方面又需要我们去小心的求证，只有我们证明确实成立的东西我们才能进一步的运用，但是不得不让人佩服的就是数学的逻辑性，同时它也在训练者我们，只有我们在每一个数学环节都严谨的去学习去证明去求解，我们的结果才会正确。 关键词：导数，微分，重积分，级数。 正文： 高等数学下册主要是围绕导数、微分、积分、无穷级数展开的。 首先，第七章主要是函数的微分，上学期我们学习的是一元函数积分，但是实际问题中，往往涉及多个因素之间的关系，反映到数学上就是表现为一个变量依赖于多个变量的情形，从而产生了多元函数的概念，这在高等数学里占据了主要的位置，这一章主要介绍了多元函数的求导、求极值。隐函数的微分方法，还介绍了方向导数、梯度等新概念，还将多元函数的微分应用在几何上，和以前所学的内容很好的结合起来了，为我们提供了更多的解题方法和更灵活的解题思路，对于我们整体的掌握好高数的精华很重要。在这一章节中我们需要重点掌握的有以下几点：1、二重极限的概念，2、可导（导数的定义），3、可微的定义。首先我们要清楚二重极限的概念，需要注意的就是定义里的定点如p0(x0,y0),这里的点p(x,y)是按照任意方式趋近于p0的。还要注意它和二次极限的区别，二次极限 是对一个函数f(x,y)先后分别对x →x0,y →y0求极限A y x f y x y x =→),(lim ) 0,0(),(而二重极限则是对函数f(x,y)当x →x0且y →y0时求极限A y x f y y x x =→→),(lim lim 0 0。求是否存在二重极限时可以用取线路的方法，若取不同的线路求得的二重极限的结果一致则存在，否则就不存在。对于可微，我们要掌握多元函数的全微分的求导，重点注意可微，可导，连续之间的关系。还有就是要知复合函数的微分法，隐函数的微分