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直角三角形全等判定定理

八年级数学学案（总第节）

设计老师执教老师上课班级学生姓名

教学内容及学生活动

时量

教师活动

二．自主学习

1．如图3-46，已知∠ACB=∠BDA=Rt ∠，若要使△ACB ≌△BDA ，还需要什么条件？把它们分别写出来(有几种不同的方法就写几种)．

理由：( )( )( )( )

三．合作交流

前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS 、ASA 、AAS 、SSS ．我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”，这些结论适用于一般三角形．我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形(如直角三角形)．特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？我们知道，斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形，可以根据“ASA ”或“AAS ”判定它们全等，两对直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据“SAS ”判定它们全等.

如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全等呢？

具有下列条件的Rt △ABC 与Rt △A ＇B ＇C ＇(其中∠C=∠C ＇=Rt ∠)是否全等？如果全等在()里填写理由，如果不全等在()里打“×”． (1)AC=A ＇C ＇，∠A=∠A ＇ ( ) (2)AC=A ＇C ＇， BC=B ＇C ＇ ( ) (3)∠A=∠A ＇，∠B=∠B ＇ ( ) (4) AB=A ＇B ＇，∠B=∠B ＇ ( ) (5) AC=A ＇C ＇， AB=A ＇B ＇ ( )

的中点。求证：BD ⊥AC 。

D C

三角形性质和判定定理

等腰三角形：定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。性质： 1.等腰三角形的两条腰相等； 2.等腰三角形的两个底角相等； 3.等腰三角形是轴对称图形； 4.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。判定： 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。等边三角形：定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。性质： 1.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，任意边的垂直平分线都是它的对称轴； 2.等边三角形的三个角都相等，每个角都是60°。判定： 1.三条边都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 3.有两个角是60°的三角形是等边三角形。直角三角形：定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。其中，构成直角的两边叫做直角边，直角边所对的边叫做斜边。性质：1.直角三角形的两个余角互余； 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半； 4.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 判定： 1．有一个角是直角的三角形是直角三角形； 2..有两个角互余的三角形是直角三角形； 3.如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的的一半，那么这个三角形是直角三角形； 4.如果三角形的三边长a、b、c满足于 a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。角平分线定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等逆定理：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上中垂线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 1 定理三角形两边的和大于第三边 2 推论三角形两边的差小于第三边 5外角2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 3 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°4外角1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和全等的判定： 6边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 7角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 8推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

直角三角形全等的判定

直角三角形全等的判定一、教学目标 1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定． 2．使学生掌握“斜边、直角边”公理，并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等．指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法)．由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质．因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法．二、教学重点和难点 1．重点：“斜边、直角边”公理的掌握． 2．难点：“斜边、直角边”公理的灵活运用．三、教学手段利用三角板、小黑板、教具(剪好的三角形硬纸片若干个)．四、教学过程 (一)复习提问 1．三角形全等的判定方法有哪几种？ 2．三角形按角的分类． (二)引入新课前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS．我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”，这些结论适用于一般三角形．我们在三角形分类时，还学过了一些特殊三角形(如直角三角形)．特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢？

我们知道，斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形，可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等，两对直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据“SAS”判定它们全等. 如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全等呢？ 1．可作为预习内容(投影仪) 如图3-43，在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇，AC=△A＇C＇，∠C=∠C＇=Rt∠，这时Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇是否全等？研究这个问题，我们先做一个实验：把Rt△ABC与Rt△A＇B＇C＇拼合在一起(教具演示)如图3-44，因为∠ACB=∠A＇C＇B＇=Rt∠，所以B、C(C＇)、B＇三点在一条直线上，因此，△ABB＇是一个等腰三角形，于是利用“SSS”可证三角形全等，从而得到∠B=∠B＇．根据“AAS”公理可知，Rt△ABC≌Rt△A＇B＇C＇． 2．下面我们再用画图的方法来验证：(同学们一同画图) 例1已知线段a，c(a＞c)如图3-45，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，一直角边CB=a，斜边AB=c．

直角三角形全等的判定

直角三角形全等的判定一、选择题: 1. 两个直角三角形全等的条件是( ) A.一锐角对应相等; B.两锐角对应相等; C.一条边对应相等; D.两条边对应相等 2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 30°和60°之间 D. 以上都不对 3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( ) A. AAS B.SAS C.HL D.SSS 4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 △DEF 全等的是( ) A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF 5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对 6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( ) ①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 1 2A B C D 第2题图第5题图第7题图第8题图 7. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（） A ．C B CD = B ．BA C DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==?∠∠ 8. 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是（） A ． A B=AC B ． ∠BAC=90° C ． B D=AC D ． ∠B=45° B A E F D

《直角三角形全等的判定》同步练习题

直角三角形第2课时直角三角形全等的判定一、选择题: 1. 两个直角三角形全等的条件是( ) A.一锐角对应相等; B.两锐角对应相等; C.一条边对应相等; D.两条边对应相等 2. 如图,∠B=∠D=90°，BC=CD ，∠1=30°，则∠2的度数为( ) A. 30° B. 60° C. 30°和60°之间 D. 以上都不对【 3. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( ) A. AAS 4. 已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和 △DEF 全等的是( ) =DE,AC=DF =EF,BC=DF =DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF ) 5. 如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) 对; 对; 对; 对 6. 要判定两个直角三角形全等,下列说法正确的有( ) ①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. 个个个个 1 2A B C D 第2题图第5题图第7题图第8题图 7. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（） A ．C B CD = B ．BA C DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠ D ．90B D ==?∠∠ — B A E F C D

8. 如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（） A．A B=AC B．∠BAC=90°C．B D=AC D．, ∠B=45° 二、填空题: 9.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”. 10.判定两个直角三角形全等的方法有______________________________. 11.如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△ CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是_________________________________ ~ 12.如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD 交于点O，则有△________≌△________，其判定依据是________，还有△________≌△________，其判定依据是________．第11题图第12题图第13题图 13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_______ 第14题图第15题图第16题图14.如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有对全等三角形. % 15.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，PQ=AB，点P与点Q分

直角三角形全等判定

课堂教学教案

节一、回顾交流，迁移拓展问题探究情境导入图1是两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，? 这两个直角三角形才能全等？操作投影仪，提出“问题探究”，组织学生讨论． ” 如图2所示．舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（1）你能帮他想个办法吗？（2）如果他只带了一个卷尺，能分四人小组，合作、讨论．小组讨论，发表意见：“由三角形全等条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了．思考问题，探究原理．

节一、回顾交流，迁移拓展尺规作图: 做一个直角三角形与已知直角三角形重合完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？【思路点拨】（1）学生可以回答去量斜边和一个锐角，或直角边和一个锐角，?但对问题（2）学生难以回答．此时，?教师可以引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考，并验证它们的方法，从而展开对直角三角形特殊条件的探索．操作投影仪，提出问题，引导学生思考、验证．做一做如课本图12．2─11：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt?△A′B′C′，使B′C′=BC，A′ B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，?它们全等吗？画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;

直角三角形的定理及规律新

直角三角形的定理及知识要点一、补充定理直角三角形的定理 1、直角三角形两锐角互余。 2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 30角所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形中0 直角三角形的逆定理 1、两锐角互余的三角形是直角三角形。 2、一条边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。 30。 4、直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边的对角为0 等腰三角形的定理 1、三角形中等边对等角。 2、三线合一：等腰三角形底边的中线、底边的高、顶角的平分线三线合为一线。 60。 3、等边三角形三内角都是0 逆定理 1、三角形中等角对等边。等边三角形的判定 60的三角形是等边三角形。 1、有两个角等于0 2、三个角相等的三角形是等边三角形。 60的等腰三角形是等边三角形。 3、有一个角是0 1

2 二、常见的图形及规律 1、Rt △ABC 中，若∠A =30°, ∠C =90°, 则 BC:AC:AB = 1:3:2。 2、Rt △ABC 中，若∠A =45°, ∠C =90°, 则 BC:AC:AB =1:1:2。三、常见的勾股数（一）3、4、5序列 ×2：6、8、10 ×10：30、40、50 ×0.1：0.3、0.4、0.5 1 2 ?：1.5、 2、 2.5 ×3：9、12、15 ×20：60、80、100 ×0.2：0.6、0.8、1.0 ×13：1、 43、 53 ×4：12、16、20 ×100：300、400、500 ×0.3：0.9、1.2、1.5 ×14：3544 、 1、 ×5：15、20、25 ×200：600、800、1000 ×0.4：1.2、1.6、2.0 ×1341555：、、 ×6：18、24、30 ×0.8：2.4、3.2、4.0 （二）由公式22a m n =-，2b mn =，22 c m n =+（m n >）推导出的序列 1 2 3 4 5 6 … 2 3,4,5 3 6,8,10 5,12,13 4 8,15,17 12,16,20 7,24,2 5 5 10,24,2 6 20,21,29 16,30,34 9,40,41 6 12,35,37 24,32,40 27,36,45 20,48,52 11,60,61 7 14,48,50 25,45,53 40,42,58 33,56,65 24,70,74 13,84,85 … … … … … … … … 勾股数 n m

三角形全等的判定定理教案

教案课题三角形全等的条件（SSS）专业指导教师班级学号 §三角形全等的条件（SSS）一.教学目标知识目标：掌握“边边边”条件的内容，并能结合已学过的三角形全等的判定定理来判定两个三角形是否全等. 能力目标：在探索三角形全等的判定条件的过程中，培养学生动手画图和观察识图的能力，及类比推理的能力. 情感目标：通过实践，在探索中体验发现数学规律的乐趣，以及获得成功的愉悦感.

二.教学重难点重点：“SSS”判定定理并灵活运用. 难点：尺规作图画全等三角形；及恰当地选择三角形全等的判定定理. 三.教学分析教学方法：探究式教学法为主、讲练结合法为辅. 教学手段：粉笔、木条、直尺、多媒体. 课型：新授课. 四.教学过程 (一) 复习引入，自然过渡. 问题1：目前我们已经学习了几种三角形全等的判定方法(找同学回答，在同学回答问题的过程时，写下他们回答的三个判定定理SAS、ASA、AAS) 问题2：两个三角形具有哪些性质（找同学回答）思考1：如果两个三角形只有对应角相等，那么这两个三角形一定全等吗（在学生回答后，给出图形加以说明）思考2：如果两个三角形只有对应边相等，那么这两个三角形一定全等吗（学生猜想结果）（二）探索发现 1．作出猜想根据同学的回答，做出猜想——三边分别对应相等的两个三角形一定全等. 2．证明猜想将班集体分为3个小组，第一组的同学画一个边长为2cm、9cm、12cm的三角形；第二组的同学画一个边长为6cm、8cm、10cm的三角形；第三组的同学画一个边长为7cm、11cm、17cm的三角形.每位同学将自己画好的三角形用剪刀剪下来.（每一组叫两个同学展示他们的图形，同学们可以发现他们是重合的，说明这两个三角形是全等的），此时，证明同学们的猜想正确. 3．得出结论带领学生总结出结论：三边对应相等的两个三角形一定全等.（SSS）（三）例题讲解例1 如下图，在四边形ABCD中，已知,. AD CB AB CD ==求证ABC CDA ???. 证明：在ABC ?与CDA ?中， () () () CB AD AB CD AC CA = ? ? = ? ?= ? 已知已知公共边

《直角三角形全等的判定》参考教案

三角形全等的判定（四）直角三角形全等的判定教学目标 1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程； 2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。 3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。新|课|标| 第|一| 网教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学过程 Ⅰ．提出问题，复习旧知 1、、、 2直角边 3 ”或“不全根据（用简写法）（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）新|课|标| 第|一| 网（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）

根据（用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法） Ⅱ．导入新课（一）探索练习：（动手操作）：已知线段a ，c (a

直角三角形全等的判定教学设计

直角三角形全等的判定（HL）教学设计中堡初中一、教学目标：知识目标： 1、已知斜边和直角边会作直角三角形； 2、熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等； 3、熟练使用“分析综合法”探求解题思路。能力目标：通过探究性教学，营造民主和谐的课堂气氛，初步学会科学研究的思维方法；通过一题多变、一题多解，培养学生的发散思维能力，增强学生的创新意识和创新能力；通过实践探究，培养学生读题、识图能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力。情感目标：通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系；在探究性教学活动中培养学生刻苦钻研、实事求是的态度，勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神。二、教学重点：“斜边、直角边定理”的掌握和灵活运用。教学难点：数学语言的正确表达。三、教学方法：采用启发式和讨论式教学四、课前准备：课件、圆规、直尺、剪刀、纸五、教学过程设计：（一）复习旧识、引入新知 1、三角形按角分类分为哪几种？ 2、判定三角形全等的方法有什么？ 3、Rt△ABC两直角边a，b，斜边c，那么三边有什么关系？

(二)动手操作、发现新知 1、用直尺和圆规，画一个Rt △ABC,使得∠C=90°,一直角边CA=2cm,斜边AB=3cm. 则△ABC 即为所求。 2、把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？ 3、判定两个直角三角形全等的判定定理：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）已知：如图，在△ABC 和△ A ′B ′C ′ 中，∠C=∠C ′=90°， AB=A ′B ′, BC=B ′C ′ 求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′ 证明：在△ABC 和△A ′B ′C ′中， ∵ ∠C=90°，∠C ′=90° ∴BC 2=AB 2-AC 2 B ′ C ′2=A ′B ′2-A ′C ′2(勾股定理). ∵AB=A ′B ′,AC=A ′C ′, ∴BC=B ′C ′. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ） 4、从各个角度寻求直角三角形的判定方法及注意事项：（1）“HL ”公理是仅适用于Rt △的特殊方法。因此，判断两个直角三角形全等的方法有“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”外，还有“HL ”。（2）应用HL 公理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt △。书写格式为：在Rt △______和Rt △______中， ∴Rt △______≌Rt △______（HL ） 2cm 3cm { ______________,______________, == B A C A ′ c ′ B ′

直角三角形全等的判定练习题

直角三角形全等判定练习一、选择题 1.△ABC 中，∠C=90°，AD 为角平分线，BC=32，BD ∶DC=9∶ 7, 则点D 到AB 的距离为( ) A.18cm B.16cm C.14cm D.12cm 2．在△ABC 内部取一点P 使得点P 到△ABC 的三边距离相等，则点P 应是△ABC 的哪三条线交点．（）（A ）高（B ）角平分线（C ）中线（D ）边的垂直平分线 3．已知，如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是角平分线，BE=CF ，则下列说法正确的有几个（）（1）AD 平分∠EDF ；（2）△EBD ≌△FCD ；（3）BD=CD ；（4）AD ⊥ BC ．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个二、填空题 4．如图，在△ABC 和△ABD 中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件 _______或；若利用“HL ”证明△ABC ≌△ABD ，则需要加条件或．第4题第5题第6题 5.如图，有一个直角△ABC ，∠C=90°，AC=10，BC=5，一条线段PQ=AB ，P.Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，当AP= 时,才能使ΔABC ≌ΔPQA. 6.如图,在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于 D,DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长为___________cm. 三、解答题 7.如图，在△ABC 中，已知D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，DE ＝DF . 求证：AB=AC 8.已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC .你能说明BE 与DF 相等吗？ 9．已知如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=30°.求证:BD=14 AB 10.如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ．（1）若BC 在DE 的同侧（如图①）且AD =CE ，说明：BA ⊥A C ．（2）若BC 在DE 的两侧（如图②）其他条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． B A B C D E F 1 2

直角三角形的判定定理“HL”

1 / 2 第2课时直角三角形的判定定理“HL ” (参考用时:30分钟 ) 1. 如图所示,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL ”判定Rt △ABC 与Rt △ABD 全等.以下给出的条件: ①∠ABC=∠ABD;②AC=AD; ③BC=BD;④∠BAC=∠BAD. 适合的有( B ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 2. 如图,△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 和CE 交于O,AO 的延长线交BC 于F,则图中全等的直角三角形有( D ) (A)3对 (B)4对 (C)5对 (D)6对 3. 如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AE 是经过A 点的一条直线,且B,C 在AE 的两侧,BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E,CE=2,BD=6,则DE 的长为( D ) (A)2 (B)3 (C)5 (D)4 4.已知:如图,AE ⊥BC,DF ⊥BC,垂足分别为 E,F,AE=DF,AB=DC,则△ ABE ≌△ DCF (HL). 第4题图 5.如图,MN ∥PQ,AB ⊥PQ,点A,D,B,C 分别在直线MN 与PQ 上,点E 在AB 上,AD+BC=7, AD=EB,DE=EC,则AB= 7 . 第5题图 6. 如图,在△ABC 和△DCB 中,∠A=∠D=90°,AC=BD,AC 与BD 相交于点 O. (1)求证:△ABC ≌△DCB; (2)△OBC 是何种三角形?证明你的结论. (1)证明:在△ABC 和△DCB 中,∠A=∠D=90°, AC=BD,BC=CB.所以Rt △ABC ≌Rt △DCB(HL). (2)解:△OBC 是等腰三角形. 因为Rt △ABC ≌Rt △DCB,所以∠ACB=∠DBC, 所以OB=OC,所以△OBC 是等腰三角形. 7. 如图,已知Rt △ABC 中,∠ ACB=90°,CA=CB,D 是AC 上一点,E 在BC 的延长线上,且AE=BD,BD 的延长线与AE 交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF 与AE 有何特殊的位置关系,并说明你猜想的正确性 . 解:猜想:BF ⊥AE. 理由:因为∠ACB=90°,所以∠ACE=∠BCD=90°. 又BC=AC,BD=AE,所以△BDC ≌△AEC(HL). 所以∠CBD=∠CAE. 又因为∠CAE+∠E=90°,所以∠EBF+∠E=90°. 所以∠BFE=90°,即BF ⊥AE. 8.(1)如图1,点A,E,F,C 在一条直线上,AE=CF,过点E,F 分别作DE ⊥AC,BF ⊥AC,若AB=CD,试证明BD 平分线段EF; (2)若将图1变为图2,其余条件不变时,上述结论是否仍然成立?请说明理由 . (1)证明:因为DE ⊥AC,BF ⊥AC, 所以∠DEC=∠BFA=90°. 因为AE=CF, 所以 AE+EF=CF+EF,

全等三角形判定方法四种方法”_

三角形全等的条件（一）学习要求 1 ?理解和掌握全等三角形判定方法 1―― “边边边”， 2?能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 课堂学习检测一、填空题 1 ?判断 ____ 的 _____ 叫做证明三角形全等. 2?全等三角形判定方法 1―― “边边边”（即 ________ ）指的是 _____ 3?由全等三角形判定方法 1―― “边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的 _____ 也就确定了. 在厶 ______ 和厶 ______ 中， RP RQ(已知), PM _______ , _____ _______ (), 二 _____ 也 ______ ( )? / PRM = _______ ( ______ ) ? 即RM ? 5. 已知：如图 2 — 2, AB = DE , AC = DF , BE = CF. 求证：/ A =Z D . 4. 已知：求只要证_ 证明：如图 2 —〔，△ RPQ 中， RM 平分/ PRQ . 要证 RM 平分/ PRQ ，即/ PRM = M 为PQ 的中点（已知），

分析：要证/ A =Z D，只要证_________ 也 ______ 证明：??? BE = CF ( ), 二BC = ____ . 在厶ABC和厶DEF中， AB _______ , BC _______ , AC _______ , 二 _____ 也______ ( ). ???/ A=Z D ( __________ ). 6. 如图2- 3, CE = DE, EA = EB, CA = DB , 求证：△ ABCBAD . 证明：??? CE= DE , EA= EB, ? _____ + _______ = _______ + 即 _____ = _______ . 在厶ABC和厶BAD中， = ______ (已知)， _____ _______ (已知), (已证), _____ ( ), ? △ ABC◎△ BAD ( ). 综合、运用、诊断一、解答题 7. 已知：如图2 —4, AD = BC . AC= BD .试证明：/ CAD = /DBC . &画一画. 已知：如图2 —5,线段a、b、c . 求作：△ ABC，使得BC = a, AC= b, AB = c .

直角三角形全等的判定方法

直角三角形全等的判定教学目的： 1、通过本节课的学习，进一步弄清全等三角形的判定定理：SAS、ASA、AAS、SSS。 2、通过探究，弄清直角三角形全等的判定定理：HL。 3、培养学生探究解决问题的能力和合作的品质。教学要求： 1、熟练运用SAS、ASA、AAS、SSS。 2、理解并运用HL。教学重点：引导学生分析、理解HL定理。教学难点：熟练运用HL定理解决问题。教学方法：探究、合作学习。教学过程：一、复习引入： 1、学生先说说三角形全等的判定定理有哪些？ 2、做一做：具有下列条件的Rt△ABC和Rt△A′B′C′是否全等。 ①AC＝A′C′∠A＝∠A′ ②AC＝A′C′BC＝B′C′ ③AB＝A′B′∠B＝∠B′

④AC＝A′C′AB＝A′B′ 二、探究：已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′，AC＝A′C′， AB＝A′B′，它们全等吗？推理过程：P.91 结论：斜边、直角边定理：HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。三、例题讲解：P.91、例1 结论：角平分线的性质；三角形的内心。四、练习： 1、判断下列说法是否正确，说明理由。 ①②③④ 2、如图：AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，你能说明∠ABC与∠ABD为什么相等吗？ 3、如图：∠B＝∠E＝90°，AB＝AE， ∠1＝∠2，则∠3＝∠4，请说明理由。 4、议一议：已知∠ACB＝∠BDA＝90°，要使△ABC≌BDA，还需要增加一个什么条件？把它们分别写出来。 5、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC，请说明理由。

直角三角形全等的判定

12.2直角三角形全等的判定周至县二曲中学张建敏一、设计思路：本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解。在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力。新课程标准强调“从具体的情景或前提出发进行合情推理，从单纯的几何推理价值转向更全面的几何的教育价值”，为了体现这一理念，我设计了几个不同的情景，让学生在不同的情景中探求新知，用直接感受去理解和把握空间关系。这一设计，极大的激发了他们的学习欲望，加深了师生互动的力度，课堂效益比较明显。不同的情景又以不同的层次逐步提升既有以知识为背景的情景，又有以探索、验证为主的情景，从不同的方面，让不同层次的学生都有所收获，体现了 “大众数学”的主旋律，也是“不同的人学习不同的数学”的新课程理念的体现。二、教学内容：九年义务教育初级中学八年级数学上册第十二章第二节直角三角形全等的判定三、教学目标： 1、知识目标：（1）已知斜边和一条直角边会作直角三角形。（2）经历探索“斜边、直角边”判定定理的过程，理解定理，并能熟练地利用这个定理判定两个直角三角形全等。 2、能力目标：（1）通过实践探究，培养学生动手操作能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力。（2）通过变式练习，培养学生的逻辑推理能力和发散思维能力，增强学生的创新意识和创新能力。 3、情感目标：（1）通过学生主动参与探索获取知识，培养学生敢于探索、勇于创新的精神。（2）通过探究性教学，营造民主和谐的课堂气氛，使学生体验学习的乐趣，提高学习的积极性。四、教学重点： “斜边、直角边公理”的理解和运用。五、教学难点：灵活应用五种（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）方法判定两个直角三角形全等。六、教学方法：

直角三角形全等判定定理教案

直角三角形全等判定定理教案主题：直角三角形全等判定定理授课人：范金华【教学目标】 1．使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定． 2．使学生掌握“斜边、直角边”定理，并能熟练地利用这个定理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等．指导学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法)．由于直角三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质．因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法． 3.让学生领会无处不在的数学之美【教学重点和难点】 1．重点：“斜边、直角边”定理的掌握． 2．难点：“斜边、直角边”定理的灵活运用．【教学手段】：剪好的直角三角形硬纸片和展示板若干【教学方法】观察、比较、合作、交流、探索. 【教学过程】 (一)情景引入故事：乌龟和兔子关于滑梯的争论。 (二)引入新课如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是否能全等呢？（三）探究新知如图3-43，在△ABC 与△A ＇B ＇C ＇中，若AB=A ＇B ＇，AC=△A ＇C ＇，∠C=∠C ＇=Rt ∠，这时Rt △ABC 与Rt △A ＇B ＇C ＇是否全等？学生讨论后得出结果：把Rt △ABC 与Rt △A ＇B ＇C ＇拼合在一起(教具演示)如图3-44，因为∠ACB=∠A ＇C ＇B ＇=Rt ∠，所以B 、C(C ＇)、B ＇三点在一条直线上，因此，△ABB ＇是一个A(A’) C(C’) B B

等腰三角形，于是利用“SSS ”或“AAS ”可证三角形全等．从而引出直角三角形全等判定定理——“HL ”定理． (四)知识形成 1.斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”)． 1）这是直角三角形全等的一个特殊的判定定理，其他判定定理用于任意三角形全等的判定定理．（前提、条件） 2）证明直角三角形全等的方法总结 2.分组小游戏：图形展示：请同学们将手中的全等的直角三角形两个一组摆出不同的位置关系，贴在展示栏内。看哪组贴的又快又多又漂亮！ 3．应用例1已知：如图,在△ABC 和△ABD 中，AC ⊥BC, AD ⊥BD,垂足分别为C,D,AD=BC. 求证:△ABC ≌△BAD. 此题由学生分析，找出全等条件，由老师写出板书过程。例2 例2.已知:如图,AB=CD,DE ⊥AC,BF ⊥AC,垂足分别为E,F,DE=BF. 求证:AE=CF. 变式：求证：AB//DC 此题由学生讨论后说出思路，由学生推举代表上台板演 A B D C A B C D E D C F A B

初中数学八年级《直角三角形全等的判定》优秀教学设计

§12.2.2 三角形全等的条件（第4课时）一、教学目标知识与技能：直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．过程与方法：经历探究直角三角形全等条件的过程，体会一般与特殊的辩证关系．掌握直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．情感、态度与价值观：通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的经验和方法．发展实践能力和创新精神二、教学重难点教学重点:运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。三、教学过程（一）单元导入，明确目标 1、判定两个三角形全等的方法：、、、 2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是 3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF 则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）（二）问题引领，探究新知如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（播放课件）（1）你能帮他想个办法吗？（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？（1）[生]能有两种方法．第一种方法：用直尺量出斜边的长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“AAS”可以证明两直角三角形是全等的．

直角三角形全等的判定

直角三角形全等的判定知识结构重点与难点分析：本节课教学方法主要是“自学辅导与发现探究法”。力求体现知识结构完整、知识理解完整；注重学生的参与度，在师生共同参与下，探索问题、动手试验、发现规律、做出归纳。让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。具体说明如下：本节课开始，让同学们自己思考问题：判定三角形全等的方法有四种，如果这两个三角形是直角三角形，那么判定它们全等的方法有哪些呢？学生展开讨论，初步形成意见，然后由教师答疑。这样促动了学生学习，体现了以“学生为主体”的教育思想。（2）在层次教学中培养学生的思维水平本节课的层次主要表现为两个方面：一是对公理的多层次理解；二是综合练习的多层次变化。公理的多层次理解包括：明确公理的条件及结论；公理的文字语言、图形语言、符号语言的理解及掌握；公理的作用。这里特别强调三个方面：1、特殊三角形的特殊性；2、归纳总结判定直角三角形全等的方法。综合练习的多层次变化：首先给出直接应用公理证明三角形全等的题目；然后给出变式题目；最后给出综合应用题目。这里注意两点：一是给出题目后先让学生独立思考，并按教材的形式严格书写。二是给出的综合题目有一定的难度，教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。教法建议：由“先教后学”转向“先学后教” 本节课开始，让同学们自己思考问题：判定三角形全等的方法有四种，如果这两个三角形是直角三角形，那么判定它们全等的方法有哪些呢？学生展开讨论，

初步形成意见，然后由教师答疑。这样促动了学生学习，体现了以“学生为主体”的教育思想。（2）在层次教学中培养学生的思维水平本节课的层次主要表现为两个方面：一是对公理的多层次理解；二是综合练习的多层次变化。公理的多层次理解包括：明确公理的条件及结论；公理的文字语言、图形语言、符号语言的理解及掌握；公理的作用。这里特别强调三个方面：1、特殊三角形的特殊性；2、归纳总结判定直角三角形全等的方法。综合练习的多层次变化：首先给出直接应用公理证明三角形全等的题目；然后给出变式题目；最后给出综合应用题目。这里注意两点：一是给出题目后先让学生独立思考，并按教材的形式严格书写。二是给出的综合题目有一定的难度，教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。教学目标： 1、知识目标：（1）掌握已知斜边、直角边画直角三角形的画图方法；（2）掌握斜边、直角边公理；（3）能够使用HL公理及其他三角形全等的判定方法实行证明和计算. 2、水平目标：（1）通过尺规作图使学生得到技能的训练；（2）通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理水平. 3、情感目标：（1）在公理的形成过程中渗透：实验、观察、归纳；（2）通过知识的纵横迁移感受数学的系统特征。教学重点：SSS公理、灵活地应用学过的各种判定方法判定三角形全等。教学难点：灵活应用五种方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）来判定直角三角形全等。

三角形相似的判定教案(共3课时) 人教版

《三角形相似的判定》教案重点、难点分析相似三角形的判定及应用是本节的重点也是难点．它是本章的主要内容之一，是在学完相似三角形的基础上，进一步研究相似三角形的本质，以完成对相似三角形的定义、判定全面研究．相似三角形的判定还是研究相似三角形性质的基础，是今后研究圆中线段关系的工具．它的难度较大，是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等，两个角相等，两条直线平行、垂直等．借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究线段之间的比例关系，借助于图形进行观察比较困难，主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求，难度较大．释疑解难（1）全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形全等的3个定理和判定两个三角形相似的3个定理之间有内在的联系，不同之处仅在于前者是后者相似比为1的情况．（2）相似三角形的判定定理的选择：①已知有一角相等时，可选择判定定理1与判定定理2；②已知有二边对应成比例时，可选择判定定理

2与判定定理3；③判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形的方法来判定，如果不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．（3）相似三角形的判定定理的作用：①可以用来判定两个三角形相似； ②间接证明角相等、线段域比例；③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件．（4）三角形相似的基本图形：①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个三角形相似； ②相交线型：如图2，公共角对的边不平行，即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交．图中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相似。

直角三角形的判定(教学设计)

直角三角形的判定教学目标知识与技能：掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用．过程与方法：经历探索直角三角形的判定条件的过程，理解勾股逆定理．情感态度与价值观：激发学生解决的愿望，体会勾股逆向思维所获得的结论．明确其应用范围和实际价值．重点、难点、关键重点：理解和应用直角三角形的判定．难点：运用直角三角形判定方法进行解决问题．关键：运用合情推理的方法，对勾股定理进行逆向思维，形成一种判别方法．教学准备教师准备：直尺、圆规、投影片．学生准备：复习勾股定理，预习本节课内容．教学过程一、创设情境神秘的数组（投影显示）．美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿322”（plim pton 322）的古巴比伦泥板．泥板上的一些神秘符号实际上是一些数组，这些神秘的数组揭示了什么奥秘呢？经专家的潜心研究，发现其中2列数字竟然是直角三角形的勾和弦，?只要添加一列数（如表所示）左边的一列，那么每列的3个数就是一个直角三角形的三边的长！例如：60、45、70是这张表中的一组数，而且602+452=752，小明画了以60mm ?、?45mm 、75mm 为边长的△ABC ．（如图所示）请你猜想，小明所画的△ABC 是直角三角形吗？为什么？教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生思考．学生活动：观察问题，小组合作交流，思考上述问题的解答．思路点拨：思路一：用量角器量三角形的3个内角，看有无直角．思路二：动手画一个直角三角形，使它的2条直角边的长为60mm 和45mm ，?看能否与△ABC 全等．

媒体使用：投影显示“普林顿322”泥板的图片，以及数字．古埃及人实验（投影显示）古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，用13个等距离的结把一根绳子分成等长12段，一个工匠同时握住绳子的第一个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，?就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结论．请你思考：按这种做法真能得到一个直角三角形吗？教师活动：提出问题，引导思考．学生活动：继续探索，感悟其中的道理．形成共识：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（勾股定理）思考：这个结论与勾股定理有什么关系呢？学生活动：通过小组讨论、分析，发现它与勾股定理恰好是条件与结论互相对换的一个语句．教师点拨：实际上它是勾股定理的逆定理，用它可以判定一个三角形是否是直角三角形．从神秘的数组中的数据可以发现它们都是勾股数，也就是满足a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数，古埃及实验也体现出这个特征．可见利用勾股数可以构造直角三角形．二、范例学习例3 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形．（1）7，24，25；（2）12，35，37；（3）13，11，9 思路点拨：判断的依据是勾股逆定理，但是应该是将两个较小数的平方和与较大数平方进行比较，若相等，则可构成直角三角形，最大边所对的角是直角，这一点应该明确．教师活动：引导学生完成例3，然后提问学生，强调方法．学生活动：动手计算，对照勾股定理进行判断．三、随堂练习 1．课本P54页第1，2题． 2．探研时空: （1）如图所示，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，你能求出DC?的长吗？思路点拨：本题首先要将△ABC分割成Rt△ABD和Rt△ADC，然后具体的分析，将题设条件进行对照，确定运算．在△ABD中， ∵AB=10，BD=6，AD=8，62+82=102， ∴AD2+BD2=AB2 于是∠ADB=90° （2）一个零件的形状如图（a）所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（b），这个零件符合要求吗？思路点拨：这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，只要能运用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可，这个问题，首先应在△ABD中计算出AB2+AD2=9+6=25=BD2，得到△ABD是直角三角形，∠A=90°，再在△BCD中，计算BD2+BC2=25+144=169=CD2，得到△BCD是直角三角形，∠DBC是直角，由此，可以推断出这个零件符合要求．