苏教版必修五正余弦定理
学思堂教育个性化教程教案
数学科教学设计
学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容正余弦定理
教学目标
重点
难点
教学过程一、知识梳理
1．内角和定理：
在ABC
?中，A B C
++=π；sin()
A B
+=sin C；cos()
A B
+=cos C
-
面积公式:
111
sin sin sin
222
ABC
S ab C bc A ac B
?
===
在三角形中大边对大角，反之亦然.
2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
形式一：
R
C
c
B
b
A
a
2
sin
sin
sin
=
=
=
(解三角形的重要工具)
形式二：
?
?
?
?
?
=
=
=
C
R
c
B
R
b
A
R
a
sin
2
sin
2
sin
2
(边角转化的重要工具)
形式三：::sin:sin:sin
a b c A B C
=
形式四：
sin,sin,sin
222
a b c
A B C
R R R
===
3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与
它们夹角的余弦的积的两倍..
形式一：
2222cos
a b c bc A
=+-
教
学
效
果
分
析
教学过程
2222cos
b c a ca B
=+-(解三角形的重要工具)
2222cos
c a b ab C
=+-
形式二：
222
cos
2
b c a
A
bc
+-
=
222
cos
2
a c b
B
ac
+-
=
222
cos
2
a b c
C
ab
+-
=
二、方法归纳
(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=π及sin sin sin
a b c
A B C
==
，可求
出角C，再求b、c.
(2)已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2b c cosA，求出a，再由余
弦定理，求出角B、C.
(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.
(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sin sin
a b
A B
=
，求
出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由sin sin
a c
A C
=
求出C，
而通过sin sin
a b
A B
=
求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方
法，如下表：
A>90°A=90°A<90°
a>b一解一解一解
a=b无解无解一解
a a>bsinA两解 无解无解a=bsinA一解 a （见图示）． a=b sinA有一解b>a>b sinA有两解a≥b有一解a>b有一解 教 学 效 果 分 析 教学过程 考点一利用正、余弦定理解三角形 [典例引领] (2015·安徽高考)在△ABC中，∠A＝ 3π 4，AB＝6，AC＝32，点D在 BC边上，AD＝BD，求AD的长． [由题悟法] 正、余弦定理的应用原则 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余 弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次 式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都 有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其 解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三 角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． [即时应用] (2016·南京师大附中检测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c，且b sin A＝3a cos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． 教 学 效 果 分 析 教学过程 考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 [典型母题] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为________三角形． [类题通法] 判定三角形形状的2种常用途径 [提醒]在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含 条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响． [越变越明] [变式1]母题的条件变为“若2sin A cos B＝sin C”，那么△ABC的形 状一定是________三角形． [变式2]母题的条件变为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C”，确定△ABC的形状． [变式3]母题的条件变为“若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶ 教 学 效 果 分 析 教学过程sin C＝5∶11∶13”，试确定△ABC的形状． 考点三与三角形面积有关的问题(重点保分型考点——师生共研) [典例引领] (2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC面积的2倍． (1)求 sin B sin C； (2)若AD＝1，DC＝ 2 2，求BD和AC的长． [由题悟法] 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝ 1 2ab sin C＝ 1 2ac sin B＝ 1 2bc sin A，一般是已知哪一个 角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的 转化． [即时应用] (2016·无锡调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c， 且(2b－c)cos A＝a cos C. (1)求角A的大小； (2)若a＝3，b＝2c，求△ABC的面积． 教 学 效 果 分 析 教学过程 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．在△ABC中，若 sin A a＝ cos B b，则B的值为________． 2．(2016·长春质检)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b， c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为________． 3．在△ABC中，若a＝4，b＝3，cos A＝ 1 3，则B＝________. 4．(2016·南京一模)在△ABC中，若9cos 2A－4cos 2B＝5，则 BC AC的值 为________． 5．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为 153 4， 则BC边的长为________． 二保高考，全练题型做到高考达标 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若a sin A ＋b sin B 2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情 况是________(填“一解”“二解”“不存在”)． 3．(2016·郑州质量预测)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C 的对边，且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为________．4．(2016·南昌一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 若c＝1，B＝45°，cos A＝ 3 5，则b＝________. 5．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝ π 3， b＝2a cos B，c＝1，则△ABC的面积等于________． 6．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则 sin 2A sin C＝________. 7．(2016·南京一中模拟)在△ABC中，如果cos(B＋A)＋2sin A sin B＝1， 教 学 效 果 分 析 那么△ABC 的形状是________． 8．(2015·南通调研)已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________． 9．(2016·南京学情调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35 . (1)求b 的值； (2)求sin C 的值． 10．(2015·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12 c 2. (1)求tan C 的值； (2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 三上台阶，自主选做志在冲刺 1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________. 2．在△ABC 中，tan A ＋B 2＝2sin C ，若AB ＝1，则1 2AC ＋BC 的最大值 为________． 3.如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cos ∠B＝ 3 3. (1)求△ACD的面积； (2)若BC＝23，求AB的长． 考点一 利用正、余弦定理解三角形(重点保分型考点——师生共研) [典例引领] (2015·安徽高考)在△ABC 中，∠A ＝ 3π 4 ，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长． 解：设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π 4 ＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010 ， 由题设知0＜B ＜π 4， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝ 1－ 110＝31010 . 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ， 所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得 AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )＝6sin B 2sin B cos B ＝3 cos B ＝10. [由题悟法] 正、余弦定理的应用原则 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次 式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． [即时应用] (2016·南京师大附中检测)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小； (2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． 解：(1)∵b sin A ＝3a cos B ， 由正弦定理得 sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0， 即得tan B ＝3， ∴B ＝π3 . (2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π 3， 解得a ＝3， ∴c ＝2a ＝2 3. 考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(题点多变型考点——纵引横联) [典型母题] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为________三角形． [解析] 由正弦定理得 sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ， 即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π 2. 故△ABC 为直角三角形. [答案] 直角 [类题通法] 判定三角形形状的2种常用途径 [提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响． [越变越明] [变式1] 母题的条件变为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 的形状一定是________三角形． 解析：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π 法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ， 再由余弦定理得 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ?a 2＝b 2?a ＝b . 故△ABC 为等腰三角形． 答案：等腰 [变式2] 母题的条件变为“若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ”，确定△ABC 的形状． 解：法一：利用边的关系来判断： 由正弦定理得sin C sin B ＝c b ， 由2cos A sin B ＝sin C ， 有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b . 又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ， ∴c 2b ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ， 即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又∵a 2＋b 2－c 2＝ab . ∴2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2， ∴b ＝c ，∴a ＝b ＝c . ∴△ABC 为等边三角形． 法二：利用角的关系来判断： ∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴sin C ＝sin(A ＋B )， 又∵2cos A sin B ＝sin C ， ∴2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin(A －B )＝0. 又∵A 与B 均为△ABC 的内角， ∴A ＝B ， 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ， 由余弦定理， 得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， 又0° ∴△ABC 为等边三角形． [变式3] 母题的条件变为“若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13”，试确定△ABC 的形状． 解：在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13， 故设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)， 由余弦定理可得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k 2 ＝－23 110<0， 又∵C ∈(0，π)， ∴C ∈????π2，π， ∴△ABC 为钝角三角形． [破译玄机] 本题以比例形式呈现，求解时，常根据比例的性质引入k ，从而转化三边长，再利用正、余弦定理求解． 考点三 与三角形面积有关的问题(重点保分型考点——师生共研) [典例引领] (2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求 sin B sin C ； (2)若AD ＝1，DC ＝ 2 2 ，求BD 和AC 的长． 解：(1)S △ABD ＝1 2AB ·AD sin ∠BAD ， S △ADC ＝1 2 AC ·AD sin ∠CAD . 因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC . 由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝1 2 . (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1. [由题悟法] 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1 2bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． [即时应用] (2016·无锡调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且(2b －c )cos A ＝a cos C . (1)求角A 的大小； (2)若a ＝3，b ＝2c ，求△ABC 的面积． 解：(1)由(2b －c )cos A ＝a cos C ， 得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， 即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )， 所以2sin B cos A ＝sin B ， 因为0 2，
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