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(word完整版)高中数学必修五第一章知识点总结,推荐文档

高中数学必修五第一章知识点总结

一．正弦定理（重点）

１．正弦定理

（１）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

==sin sin sin a b c A B C

=２Ｒ（其中Ｒ是该三角形外接圆的半径）（２）正弦定理的变形公式：

①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R

=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ．２．正弦定理的应用（重难点）

（１）已知任意两角与一边：有三角形的内角和定理，先算出第三个角，再有正弦定理计算出另两边

（２）已知任意两边与其中一边的对角：先应用正弦定理计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边与角（注意：这种情况可能出现解的个数的判断问题，一解，两解，或无解）

（３）面积公式

111sin sin sin 222

C S bc ab C ac ?AB =A ==B 二余弦定理（重点）

１．余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即

222

2cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ，

2222cos c a b ab C =+-．

应用：已知三角形的两边及其夹角可以求出第三边

２．推论 222

cos 2b c a bc

+-A =， 222

cos 2a c b ac

+-B =， 222

cos 2a b c C ab

+-=

应用：（１）已知三边可以求出三角形的三个角

（２）已知三边可以判断三角形的形状：先求出最大边所对的角的余弦值，

若大于０，则该三角形为锐角三角形

若大于０，则该三角形为直角三角形

若小于０，则该三角形为钝角三角形

跟踪练习

１．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2

22_________

２．在△ABC 中，若=2sin b a B ，则Ａ= ３．在ABC ?中, 若2

1cos ,3-==A a ,则ABC ?的外接圆的半径为４．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =____________ ５．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

６．在△ABC 中，若a = 2 ,b =030A = , 则B 等于（）

A ．60o

B ．60o 或 120o

C ．30o

D ．30o 或150o

７．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（）

A ．直角三角形

B ．等边三角形

Ｃ．等腰三角形Ｄ．不能确定

８．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )

A ．090

B ．060

C ．0135

D ．0150

９．在△ABC 中，0120,ABC A a S ==，求c b ,。

１０．在△ABC 中，若()()3a b c a b c ac ++-+=，且tan tan 3A C +=+AB 边

上的高为,,A B C 的大小与边,,a b c 的长

高中数学必修五知识点详细解答附答案

姓名____________ 20XX 年____月_____日第___次课正、余弦定理一。知识回顾：在初中我们知道：（1）在三角形中，大边对大角、大角对大边的边角关系；（2）在直角三角形中，sinA= a c ,sinB= b c ?c=sin a A ,c=sin b B ? sin a A =sin b B ,又Q sinC=1?sin a A =sin b B =sin c C 二。学习提纲： <一>.正弦定理：（1）概念：在一个三角形中，各边与它所对应角的正弦比相等，即： sin a A =sin b B =sin c C （2）证明： j r C ①几何证明法：（略，同学们自己证明） ②向量证明：证明：（如图）当?ABC 为锐角三角形时， A B 过A 作单位向量j r ⊥AB u u u r ,则j r 与AB u u u r 的夹角为2π，j r 与BC uuu r 的夹角为2π-B ，j r 与CA u u u r 的夹角为2π +A ；设AB=a,BC=c,AC=b. Q AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r =0r ,∴j r g (AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r )=j r g 0r ∴j r g AB u u u r +j r g BC uuu r +j r g CA u u u r =0 ∴|j r |g |AB u u u r |g cos 2π+|j r |g |BC uuu r |g cos(2π-B )+|j r |g |CA u u u r |g cos 2 π +A )=0 ∴asinB=bsinA,即：sin a A =sin b B 同理可得：sin b B =sin c C ，故：sin a A =sin b B =sin c C 当?ABC 为钝角三角形或直角三角形时，同样可证明得到：sin a A =sin b B =sin c C （3）正弦定理的变形： ①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA; ②a ：b:c=sinA:sinB:sinC ③ sin a A =sin b B =sin c C =2R （R 为?ABC 外接圆的半径） ?a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ? sinA=2a R sinB=2b R sinC=2c R （二）余弦定理：（1）概念：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即： 2 a =2 b +2 c -2bccosA; 2 b =2 a +2 c -2accosB; 2 c =2 a +2 b -2abcosC 变形：2 sin A=2 sin B+2 sin C-2sinBsinCcosA 2 sin B=2 sin A+2 sin C-2sinAsinCcosB 2 sin C=2 sin A+2 sin B-2sinAsinBcosC 求角：cosA=2222bc b c a +- , cosB=2222c a c b a +-, cosC=222b 2a c ab +- 变形:cosA=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-,cosB=222sin sin sin 2sin sin A C B A C +-,cosC=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +- (2)勾股定理：2 c =2a +2b 推广：A 为锐角→222a b c <+；A 为直角→222a b c =+；A 为钝角→222 a b c >+ （3）三角形的面积公式： ①ABC S ?=12ah ②ABC S ?=12absinC=12bcsinA=1 2 acsinB ③ABC S ?(p=12(a+b+c) ④ABC S ?=4abc R (4)对于任意的三角形，都有：sinA>0