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高考数学-立体几何证明方法总结及经典3例

例1：平行类证明

【平行类证明方法总结】

线线平行的证明方法：

三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。

线面平行的证明方法：

面外线与面内线平行，两面平行则面内一线与另面平行等等

面面平行的证明方法：

面内相交线与另面平行则面面平行，三面间平行的传递性等等。

【例】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.求证：PQ∥面BCE.

证法一：

如图（1），作PM∥AB交BE于M，

作QN∥AB交BC于N,连接MN,

因为面ABCD∩面ABEF=AB,

则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.

又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQ

DC QN =

. ∴

AB PM =

. ∴PM ∥QN.

四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.

又∵MN ?面BCE ，PQ ?面BCE ， ∴PQ ∥面BCE. 证法二：

如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴

QB DQ =.

又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ， ∴

QK AQ =.则PQ ∥EK.

∴EK ?面BCE ，PQ ?面BCE. ∴PQ ∥面BCE. 例2：垂直类证明【垂直类证明方法总结】

证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90o、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等

【例】如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB SC SD

，，于E F G

，，．

求证：AE SB

⊥，AG SD

⊥．

证明：∵SA⊥平面ABCD，

∴SA BC

⊥．

∵AB BC

⊥，

∴BC⊥平面SAB．

又∵AE?平面SAB，

∴BC AE

⊥．

∵SC⊥平面AEFG，

∴SC AE

⊥．

∴AE⊥平面SBC．

∴AE SB

⊥．

同理证AG SD ⊥．例3：向量法解立体几何类【量法解立体几何类公式总结】基本公式

若),,(),,,(222111z y x z y x ==，则

①212121z z y y x x b a ++=?ρρ；

②2

22222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；

③212121z z y y x x b a ++=?ρ

④2

12121,cos z y x z y x z z y y x x ++?++++>=<

夹角公式：

||||cos 212

1n n ?=θ

距离公式：

|||n d =

= 【例】已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4．（1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角；（3）求点P 到面QAD 的距离．

简解：（1）略；

（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），

易得(22)(022)AQ PB =--=-u u u r u u u r ，，，，，，1

cos 3

AQ PB AQ PB AQ PB <>==u u u r u u u r

u u u r u u u r g u u u r u u u r ，．

所求异面直线所成的角是1

arccos 3

．

（3）由（2）知，点(022(222(004)D AD PQ -=--=-u u u r u u u r

，，，，，，，，设n =（x ，y ，

z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ?=??=??u u u r

g u u u r g ，，n n 得200x z x y +=+=?

?，，取x ＝1，得(112)-，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==u u u r g n

立体几何证明经典习题

平行题目

1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.

求证：PC∥面BDQ.

2、如图（1），在直角梯形P1DCB中，P1D//BC，CD⊥P1D，且P1D=8，BC=4，DC=46，A是P1D的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置（如图（2）），使二面角P—CD—B成45°，设E、F分别是线段AB、PD的中点.

求证：AF//平面PEC；

垂直题目

3、如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．

求证：BC⊥平面PAC．

4、如图2，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．

求证：AH⊥平面BCD

向量法解立体几何题目

5、在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、

1的一点，EA⊥EB1．已知2

AB=，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝

π．求二

面角A－EB1－A1的平面角的正切值．

立体几何证明经典习题答案

1、证明：如图，连结AC交BD于点O.

∵ABCD是平行四边形，

∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，

且O Q是△APC的中位线，

∴PC∥O Q.

∵PC在平面BDQ外，

∴PC∥平面BDQ.

2、证明：如图，设PC中点为G，连结FG，

1CD=AE，则FG//CD//AE，且FG=

∴四边形AEGF是平行四边形

∴AF//EG，

又∵AF?平面PEC，EG?平面PEC，

∴AF//平面PEC

3、证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

∵平面PAC⊥平面PBC，且两平面交

于PC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，

∴AD⊥平面PBC．

又∵BC?平面PBC，

∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，

∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ， ∴BC ⊥平面PAC ．

4、证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，

∴CF AB ⊥．

∵AD BD =，（等腰三角形三线合一） ∴DF AB ⊥．又CF DF F =I ，

∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ?平面CDF ，

∴CD AB ⊥．

又CD BE ⊥，BE AB B =I ， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥，AH BE ⊥， CD BE E =I ，

∴ AH ⊥平面BCD ．

5、以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面

AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．

由于BC ＝1，BB 1＝2，AB BCC 1＝

π，

∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A

B 1（０，2，０）

、102c ?-????，、1302C ?????

，，．

设0E a ?????，且13

22a -<<，由EA ⊥EB 1，得10EA EB =u u u r u u u r

g ，

即20a a ???-- ? ????

g ，

233(2)2044a a a a =

+-=-+=，∴13022a a ?

???--= ? ??

???g ，即12a =

或3

2a =

（舍去）．故1022E ?? ? ???

，，．由已知有1EA EB ⊥u u u r u u u r ，111B A EB ⊥u u u u r u u u r

，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小

为向量11B A u u u u r 与EA uu u r

的夹角．

因11(00B A BA ==u u u u r u u u r

，1

22EA ?=-- ?u u u r

故1111cos EA B A EA B A θ==

u u u r u u u u r g u u u r u u u u r

，即tan θ=

立体几何题经典例题

D E A F B C O O 1 M D C A S 15．如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，且BD =1，则AD 与平面 AA 1C 1C 所成角的正弦值为 . 6．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点. （1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ⊥；（2）当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值． 7. 如图所示，AF 、DE 分别是1O O ⊙、 ⊙的直径．AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ．BC 是O ⊙的直径，AD OE AC AB //,6==．（1）求二面角F AD B --的大小；（2）求直线BD 与EF 所成角的余弦值． 8．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直．点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若 a BN CM ==)20(<

18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点， 1=AB ,2=AD ， (1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小． 19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形， 2 π = ∠=∠ABC DAB ，且22===AD BC AB ，侧面 ⊥PAB 底面ABCD ，PAB ?是等边三角形． (1)求证：PC BD ⊥； (2)求二面角D PC B --的大小． 15、(北京市东城区2008年高三综合练习一）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角. （I ）求证：平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值；（III ）求二面角B —B 1C —A 的大小. 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图，在多面体ABCDE 中，AE ⊥面ABC ，BD ∥AE ，且AC ＝AB ＝BC ＝BD ＝2，AE ＝1，F 为CD 中点． (1)求证：EF ⊥面BCD ； (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值． A B C D M N 第18题图