《高数》第7章级数-练习题参考答案
第七章 无穷级数练习题—参考答案
一、单项选择题
1-5. ABDCC; 6-10. BCADA; 11-15.CBACC; 16-20.CACCC; 21.C 二、填空题 1．
;21 1
412
-n ; 2. 11 5. 1 , (-1,1). 6. 0 7.
R ; 8. ∑∞
==0
2!)2(n n
x
n x e
, ),(+∞-∞ 9.
∑∞
=--0
)1()
1(n n n
x , (0,2).
三．判定下列级数的敛散性 1．
∑
∞
=+1
121n n （比较法） 2．∑∞
=++12)
1(2
n n n n （比较法） 解：,3121121n n n n U n =+>+=
解：,2
12)1(23222n
n n n n n n n U n +=?+<++= 发散又∑∞
=131n n 都收敛与
又∑∑∞
=∞=13
122
1
n n n
n
发散∑∞
=+∴11
21
n n ）收敛（31221n n n +∴∑∞
=
∑∞
=++∴
12
)
1(2
n n n n 3．∑∞
=15
5
n n n （比值法） 4．1
13
1+∑
∞
=n n （比较法）
解.151
55)1(lim lim 5151<=?+=+∞→+∞→n n U U n n n n
n n 解. ,111
12
3
3
3
n
n
n U n =
<
+=
.5
15
收敛∑∞
=∴n n n 收敛又2
311n
n ∑
∞
=
.1
131
收敛+∴∑
∞
=n n
5．
3
1
1n n n +∑
∞
= （比较法） 6.∑∞
=??
?
??-11n n
n n （根值法、级数收敛必要条件） 解. ,11233n
n n n n U n =<+= 解. 11lim lim =-=∞→∞→n n U n n n n , 根值法失效∴ 收敛又21
1n n ∑
∞
=
011lim 1lim lim 1
≠=??
? ??-=??? ??-=-∞→∞→∞→e n n n U n
n n n n n 但 .13
1
收敛n n n +∴
∑
∞
= .11收敛∑∞
=??
?
??-∴n n
n n 7．()
∑∞
=+112n n n n （比值法） 8．∑∞=+1321
n n （比较法）
解. ()()12212)1(2lim lim 11>=+?++=+∞→+∞→n n n n
n n n n n n U U , 解. ,21321n n n U <+= ()
.121发散∑∞
=+∴n n n n 收敛又n n 21
1∑∞
=
收敛∑∞
=+∴
1
321
n n
9．∑∞
=+010
2
)3(n n
n n （比值法） 10．∑∞
=?1223n n n n （比值法） 解. 10110
12)3(2)4(1lim lim n n n n U U n n n n n n +?++=+∞→+∞→）（ 解. n n
n n n n
n n n n U U 32213lim lim 21211???+=++∞→+∞→）（ 12114321lim 10<=+?++?=∞→）（n n n n n 12
3
123lim 2>=+?=∞→）（n n n 收敛∑∞=+∴010
2
)3(n n
n n 收敛∑∞
=?∴1223n n n n 11．
∑∞
=-1
1)
1(n n
n （莱布尼茨定理） 12．
∑∞
=-1
2)
2()
1(n n
n
n （绝对收敛法）
解. ,11
1
1+=+>=n n U n n U 解. ,12
1
)2()2()1(lim lim 2121<=?+=+∞→+∞→n n U U n n n n n n 01lim
lim ==∞
→∞
→n
U n n n 又 .)
2()
1(1
2绝对收敛∑∞
=-∴n n
n
n
.1)1(1
收敛由莱布尼茨定理，∑∞
=-∴n n
n
13．∑∞
=---0
131
2)1(n n n n
（绝对收敛法） 14．∑∞
=+++-04)2(3)1(n n n n n （绝对收敛法、比较法极限形式）
解.121
31312lim lim 111--?--=++∞→+∞→n
n n n n n
n n U U 解: ∑
∑∞
=∞
=+++=0
4
)2(3n n n
n n n U
)12()
13()133()122(lim ---?-?=∞→n n n n n
11
4)2(3
lim 2
1
=+++∞→n
n n n n 又 且 发散∑
∞
=0
2
11n n
132233322lim <=????=∞→n n n n n 发散∑∞
=+++-∴0
4)2(3)1(n n
n n n 绝对收敛∑∞
=---∴0
131
2)1(n n n n
15．∑∞
=-+0
2)1(2n n
n （比较法） 16．∑∞
=-031
n n n （比较法极限形式） 解. ,232)1(2n
n n n U ≤-+= 解. 01311lim 3131
lim n
n >=-
=-∞→∞→n n n n n 收敛又n n 231
∑
∞
=
收敛又n
n 3
1
1∑∞
= 收敛∑∞
=-+∴0
2)1(2n n
n 收敛∑∞=-∴031
n n n 四．解答题
1．求下列幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域及在收敛区间内的和函数
(1)∑∞
=?13n n n
n
x (2)n
n x n ∑
∞
=+1
)1( (3)∑∞
=--1
1)1(n n
n x n
(1)解:1>先求收敛半径、收敛区间、收敛域
31
)1(3n 3lim lim 11=+??==+∞→+∞→n U U n n n n
n n ρ ，收敛半径
31==∴ρR ).3,3(-收敛区间为 收敛；
时，原级数当,)1(31
∑∞
=-=-=n n n x .,1
31发散时，原级数当∑∞
===n n x )3,3(-∴原级数的收敛域为
2>再求收敛区间内的和函数 （方法：先求导，再积分）
x x x x x s n n n n n -=-?==='-∞=∞
=-∑∑31
3
11131
)
31(313)(11
11 )3ln(31
)()(0
x dt t
dt t s x s x
x
--=-='=∴?
?
(2)解:1>先求收敛半径、收敛区间、收敛域
112lim lim
1=++==∞→+∞→n n U U n n
n n ρ ，收敛半径11
==∴ρR ).1,1(-收敛区间为
发散；时，原级数当,)
1)(1(11
∑∞
=-+=
-=n n
n x .,1n 11
发散）（时，原级数当∑∞
=+==n x
)1,1(-∴原级数的收敛域为
2>再求收敛区间内的和函数 （方法：先积分，再求导）
x
x x
dt t n dt t s n n n x
n
x
-=
=+=+∞
=∞
=∑∑??
1)1()(2
1
1
1
22
20)1(21)()(x x
x x x dt t s x s x
--='??
????-='
??????=∴?
(3)解:1>先求收敛半径、收敛区间、收敛域
11lim )1(1)1(lim lim
11
=+=-+-==∞→-∞→+∞→n n n
n U U n n n
n n
n n ρ ，收敛半径11
==∴ρ
R ).1,1(-收敛区间为 发散；时，原级数当,)1
(11∑∞
=-=-=n n x .,)1(11
1收敛时，原级数当∑∞
=--==n n n x
]1,1(-∴原级数的收敛域为
2>再求收敛区间内的和函数 （方法：先求导，再积分） x
x x x
x s n n n n n +=
--=
-=-=
'-∞
=∞
=--∑∑11
)(11)()
1()(111
1
1
)1l n (11
)()(00
x dt t
dt t s x s x
x
+=+='=
∴?
?
2．将x ln 展开为2=x 处的泰勒级数． （方法：泰勒级数展开式定义---求函数展开式的直接法） 解：,ln )(x x f =令
n n n x n x f x x f
x x f x x f x
x f -------=-=='''-=''=
')!1()1()(,;!3)(;
!2)(;
)(,1)(1)(4)
4(32 则n
n n n f f f f f 2)!1()1()2(,;2!2)2(;2
1)2(,2
1)2(,2ln )2(1)(32--==
'''-=''='=∴- 1
)1()(32)2()!
1()()2(!)2()2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2()(++-++-++-'''+-''+-'+=∴n n n
n x n f x n f x f x f x f f x f ξ 1
)1(13322)2()!
1(!)1()2(!2)!1()1()2(!32!2)2(!221)2(212ln ++---+?-+---++-+---?+=n n n n n n x n n x n n x x x ξ ∑
=++---+?-+---+=n
k n n n k k k x n n x k k 1
1)
1(1
)2()!
1(!)1()2(!2)!
1()1(2ln ξ ),0(x ∈ξ ∑=++---+-+-?-+=n
k n n n k k
k x n x k 1
1
)1(1
)2(1)1()2(2
1)
1(2ln ξ ),0(x ∈ξ 1)
1()2(1
)1()(++--+-=n n n x n x R ξ余项 ),0(x ∈ξ
∞
→→-?+=-?+≤
-?+=
-?+=
∴+++++++-n x
x n x x
n x n x n x R n n n n n n n ,02)1(12
)1(12
)1(12
1
)(1
1
1
1
1
1
)
1(ξ
ξ
∑∑∞
=-=--?-+=+-?-+==∴1
1
1
1
)2(21)1(2ln )2(21)
1(2ln )(ln k k k
k n
k k k k x k x k x f x
3．将
4
31
2
--x x 展开成(2-x )的幂级数． （方法：求函数展开式的间接法） 解：)1
1
41(51)4)(1(1431)(2
+--=-+=--=
x x x x x x x f 321115122111013213122121513)2(12)2(151-+?---?-=?????
?
??????-+----=??????+----=x x x x x x ∑∑∞
=∞
==--=+0
;11
;
)1(11n n n n n x x x x
∑∑∞=∞=-=-=--002)2()22(2211n n n n n x x x ； .3)2()1()32()1(3
21100n n n n n n n x x x --=--=-+
∑∑∞
=∞= .)2(3)1(21513)2()1(1512)2(101)(01
100n
n n n n n n
n n n n n x x x x f -??
????-+-=-----=∴∑∑∑∞=++∞=∞=
4．利用间接展开法求x y 2cos =的麦克劳林展式．（方法：求函数展开式的间接法） 解： x x x y 2cos 2
1
2122cos 1cos 2
+=+=
= )!2()1(cos 20
n x x n
n n
∑∞
=-=
n n n n n n n
x n n x x 22020
)!2(2)1()!2()2()1(2cos ?-=-=∴∑∑∞=∞
= n n n n x n x x y 2202
)!2(2)1(21212cos 2121cos ?-+=+==∑∞=.)!
2(2)1(2121
20n n n n x n ?-+=-∞=∑
(完整)同济版高等数学下册练习题(附答案)
第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面； 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .
幂函数经典例题
例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，1 2 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案C 例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1 5 (7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋ ∞)上为增函数，求实数t的值． 分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p|、|q|互 质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p q 是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝ x p q 的奇偶性与p的值相对应． 解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝x 7 5 是奇函数； 当t＝－1时，f(x)＝x 2 5 是偶函数； 当t＝1时，f(x)＝x 8 5 是偶函数，且 2 5 和 8 5 都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．
故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5 . 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件 t ∈Z 给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．-1
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章 无穷级数
第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数；
幂函数的概念及其性质测试题(含答案)
幂函数的概念及其性质 一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1) C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 4.当时，幂函数为减函数，在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象
6.若是幂函数，且满足，则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数，且函数的图象关于y轴对称，则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象与性质 8.若，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 9.已知，，下列不等式：①；②；③；
无穷级数练习题
无穷级数习题 一、填空题 1、设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 。 2、幂级数 0(21)n n n x ∞ =+∑的收敛域为 。 3、幂级数 21 1 (3) 2 n n n n n x ∞ -=-+∑的收敛半径R = 。 4 、幂级数 n n ∞ =的收敛域是 。 5、级数21(2)4n n n x n ∞ =-∑的收敛域为 。 6、级数0 (ln3)2n n n ∞ =∑的和为 。 7、 1 1 1()2n n n ∞ -==∑ 。 8、设函数2()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为 01 (cos sin )2 n n n a a nx b nx ∞ =++∑，则其系数3b 的值为 。 9、设函数2 1, ()1,f x x -?=?+? 0,0, x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数 1 1 (1)(2)n n n n ∞ =++∑的和 。 11、级数21 (2)4n n n x n ∞ =-?∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3 、R = 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、 22ln 3- 7、4 8、23π 9、212 π 10、1 4 11、(0,4) 二、选择题
1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞=∑ 收敛，则级数1 (1)n n ∞ =-∑ ）。 （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p += ，2 n n n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。 （C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。 （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1, 2n a n >=，若 1n n a ∞ =∑发散， 1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑收敛， 则下列结论正确的是（ ）。 （A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α 为常数，则级数 21 sin()( n n n α∞ =∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数 1 (1)(1cos )n n n α ∞ =--∑（常数0α ）是（ ） （A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6 、设(1)ln(1)n n u =-+ ，则级数 （A ） 1n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都收敛. （B ） 1n n u ∞ =∑与 21 n n u ∞ =∑都发散. （C ） 1 n n u ∞ =∑收敛而 20 n n u ∞ =∑发散. （D ） 1 n n u ∞ =∑发散而 21 n n u ∞ =∑收敛.
高数第七章无穷级数知识点
高数第七章无穷级数知识 点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满 足条件l U U n n n =+∞→1 lim ： 当1
6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩） 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) 若+∞< 幂函数练习题及答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ） A ．y x =43 B ．y x =3 2 C ．y x =-2 D ．y x =-14 2．函数2-=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是 （ ） A ． 4 1 B ．1- C ．4 D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3 x y -= B ．3 -=x y C ．3 2x y = D ．13 -=x y 4．函数3 4x y =的图象是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3 x y =和3 1x y =图象满足 （ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足 （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数 8．函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 （ ） A ．]6,(--∞ B ．),6[+∞- C ．]1,(--∞ D ．),1[+∞- 9． 如图1—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） 高等数学教案1 第十一章 无穷级数 编写人:吴炯圻 I. 授课题目: 第一节 常数项级数的概念和性质 Ⅱ.教学目的与要求 1、了解常数项级数的概念及其产生的背景； 2、掌握收敛级数的基本性质； 3、会采用级数敛散的定义或收敛级数的基本性质判断较简单级数的敛散性； 4、了解柯西审敛原理。 Ⅲ.教学重点与难点： 重点：级数收敛与发散的定义; 收敛级数的基本性质。 难点：无穷个数量求和与有限个量求和的差别。 关键: 1.会把级数的问题转化为部分和序列来处理; 2.熟悉数列的收敛与发散的判别. Ⅳ.讲授内容： 第一节 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念及其产生的背景 1．古代人如何求圆的面积? 我国古代数学家刘徽已经利用无穷级数的思想来计算圆的面积. 在半径为1的圆内作内接正六边形, 其面积记 为1a , 它是圆面积A 的一个近似值. 再以这正六边 形的每一边为底边分别作一个顶点在圆周上的等腰 三角形 (图1-1) , 算出这六个等腰三角形的面积之 和2a . 那么21a a (即内接正十二边形的面积)也是 图1-1 A 的一个近似值, 其近似程度比正六边形的好. 同样 地, 在这正十二边形的每一边上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形, 算出这十二个等腰三角形的面积之和3a . 那么321a a a ++(即内接正二十四边形的面积)是A 的一个更好的近似值. 如此继续进行n 次, 当n 是较大的整数时，得到的正多边形的面积 n n a a a s +++=Λ21就很接近A 的值了. 2．常数项级数的概念 古代数学家刘徽时代，人们只懂求有限个量之和，没有极限的概念，仅能把求圆面积的步骤和准确性停留在有限的数n 上。 随着科学的进步，人们认识的提高，人们自然认为，当n 无限增大时，则 n n a a a s +++=Λ21的极限就是圆的面积A ，即 )(lim lim 21n n n n a a a s A Λ++==∞ →∞ →. (1.1) 这时，上式右边括号中的项数无限增多，出现了无穷个数量累加的式子。 一般地, 给定一个数列 ΛΛ,,,,,321n u u u u , 则由这数列构成的表达式 ΛΛ+++++n u u u u 321 (1.2) 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为 ∑∞ =1 n n u , 即 ∑∞ =1 n n u ΛΛ+++++=n u u u u 321, 其中第n 项u n 叫做级数的一般项或通项. 上述级数的定义只是一个形式的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数量相加呢？ 联系上面计算圆的面积的例子，即（1.1）式，用有限项的和S n 的极限来定义无穷多个数量相加的“和”，我们自然要问，对一般的级数是否也可以这样做？ 这个思路是对的。 为此，我们把级数(1.2)的前n 项之和s n = u 1+u 2 +…+u n 称为级数(1.1)的部分和, n 依次取 1,2,L 时得数列 s 1, u 2 ,…, u n … 称为级数的部分和数列. 在上面求面积的例子中，部分和数列收敛（为什么？），并由此求得面积, 即求得无穷多个量之和12....n a a a A ++++=L 。 但是，能否由此推断, 所有级数的部分和数列收敛都收敛? (提问, 允许各种猜测.) 事实上, 正像一般的数列未必收敛一样，部分和数列也未必收敛。例如 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+……=1 1(1)n n -∞ =-∑. 其部分和数列是：1，0，1，0，…….,它显然不收敛。 第十二章 无穷级数练习 1.判别下列级数的敛散性： 21 2 1 1 1 1 11!21sin ;ln(1); ;( ) 32 n n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ∞ +====++ -∑ ∑ ∑ ∑ 2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ 21 1 (1) []3n n n n ∞ -=-+∑； 2 1 c o s 3 n n n n ∞ =∑ ； 1 1 (1) n n ∞ -=-∑ 。 3. 求幂级数0 n n ∞ =∑ 的收敛区间。 4.证明级数1 !n n n n x n ∞ =∑ 当||x e <时绝对收敛，当||x e ≥时发散。 注：数列n n n x )11(+=单调增加，且e x n n =∞ →lim 。 5.在区间(1,1)-内求幂级数 1 1 n n x n +∞ =∑ 的和函数。 6.求级数∑ ∞ =-2 2 2 )1(1n n n 的和。 。 7.设11112,()2n n n a a a a +== + （1,2,n = ）证明 1）lim n n a →∞ 存在； 2）级数1 1 ( 1)n n n a a ∞ =+-∑收敛。 8.设40tan n n a xdx π = ? ， 1） 求21 1()n n n a a n ∞ +=+∑ 的值； 2） 试证：对任意的常数0λ>，级数1 n n a n λ ∞ =∑ 收敛。 9.设正项数列}{n a 单调减少，且∑∞ =-1)1(n n n a 发散，试问∑∞ =??? ? ??+111n n n a 是否收敛？并说明理 由。 10.已知2 22111358π+++= [参见教材246页]，计算1011ln 1x dx x x +-???。 。 第七章 无穷级数 一、本章的教学目标及基本要求： （1） 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性 质和收敛的必要条件。 （2） 掌握几何级数与p —级数的收敛性。 （3） 会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 （4） 会用交错级数的莱布尼茨定理。 （5） 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 （6） 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 （7） 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 （8） 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 （9） 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 （10） 掌握函数α )1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x +-的麦克劳林展开式，会用它们 将一些简单函数间接展开成幂级数。 （11） 了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义 在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。 二、本章教学内容的重点和难点： 重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求 法． 难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1 常数项级数的概念及性质 一、内容要点 1、常数项级数概念： 常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件： 性质1：若级数∑∞= 1 n n u 收敛于和s ，则级数∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数 ∑∞=1 n n u 、∑∞= 1 n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞ =+1 n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞ = 1 n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)； 性质5(级数收敛的必要条件)：若级数 ∑∞ = 1 n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即 一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 第十一章 无穷级数 (A) 用定义判断下列级数的敛散性 1 ． n 2n 1 ； ． 1 ；3． 1 1 。 2 n 1 2n 2n2 n 1 3 n 5 n n 1 判断下列正项级数的敛散性 ． n! ；5． n e ； 6． n 1 ；7． 2n 3 ；8． n 4 ； 4 n 1 e n 1 2n n 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n n n n n 1 n 9． ；10． 3n n 1 2n 。 n 1 1 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛 ． 1 n 1 n 1 ； 12． 1 n 1 ； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001； 11 2 n ln n n 1 n 2 14． 1 22 2 3 1 4 1 ； 2 1 3 2 4 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间 ． 3n x n ；16． 1 n x n ； 17． n! x n ； ． 1 n ； 15 n n 18 n 1 2n n 1 n 1 n n 1 n 1 19． 1 2n 1 ； 20． n 2 n ； 1 2 n 1 x n 1 3 n x n 求下列级数的和函数 21． n 1 nx n 1 ； 22． n 1 2 1 n 1 x 2n 1 ； 将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数 23． shx e x e x ， x 0 0 ；24． cos 2 x ， x 0 0 ； 2 25． 1 x ln 1 x ， x 0 0 ； 26． 1 ， x 0 3 ； x 将下列函数在区间 , 上展开为付里叶级数 27． A x cos x ， x 。28． f x 2t ， x 2 第七章 无穷级数 本章有四个问题： 1． 数项级数敛散性； 2． 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域； 3． 求和函数； 4． 将函数展成麦克老林级数。 7.1数项级数敛散性的判别方法 一 基本概念 1. 级数收敛：令121 n n n k k s u u u u ==+++=∑ ，若lim n n s s →∞ =，则称级数 1 n n u ∞ =∑收敛， 若不然，则称 1 n n u ∞ =∑发散； 2．绝对收敛：若1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为绝对收敛； 3. 条件收敛：若 1 n n u ∞ =∑发散，而 1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛； 二 基本结论 1．级数 1 n n u ∞ =∑收敛的必要条件lim 0n n u →∞ =。 2. 等比级数1 n n aq ∞ =∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项。 3. p 级数 11 p n n ∞ =∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散。 三 基本方法 1．正项级数敛散性的判别方法 （1）比较判别法： 一般形式：若n n u v ≤（n N >），则 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑收敛；若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑ 发散。 极限形式：如果0n v ≠，且 lim n n n u l v →∞=， （I ）当0l <<∞时，则 1n n u ∞ =∑和 1 n n v ∞ =∑具有相同的敛散性。 （II ）当0l =时，则 1 n n v ∞ =∑收敛， 1 n n u ∞=∑也收敛。 （III ）当l =∞时，则 1 n n u ∞ =∑发散， 1 n n v ∞ =∑也发散。 幂函数经典例题（答案） 幕函数的概念 例1、下列结论中，正确的是() A ?幕函数的图象都通过点(0,0), (1,1) B.幕函数的图象可以出现在第四象限 C ?当幕指数么取1,3,；时，幕函数y=*是增函数 D.当幕指数么=一1时，幕函数)，=亡在定义域上是减函数 解析 当無指数α=-l 时，幕函数y=χ~l 的图象不通过原点，故选项A 不 正确；因为所有的農函数在区间(0, +8)上都有定义，且y=χa (α∈R), j>0, 所以專函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α=-l 时，y =Ll 在区间(一8, 0)和(0, +8)上是减函数，但它在定义域上不是减函数. 答案C 例2、已知幕函数金)=(Z+i χτ[(7+3L2r 2 )(f ∈Z)是偶函数且在(0, +8)上 为增函数，求实数/的值? ' 分析 关于舉函数y=x a ( 高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 3、1．指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 （ ） A ．log c a =b B ．log c b =a C ．log a b =c D ．log b a =c 4、若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0> 第七章 无穷级数 一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1 推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散 性的级数) ①若+∞< 3.3 幂函数中档题 一．选择题（共4小题） 1．若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（） A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞） 2．已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g （x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（） A．B．C． D． 3．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值 （） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 4．已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（） A．B． C．D． 二．填空题（共1小题） 5．已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）； ③＞；④＜．其中正确结论的序号是． 三．解答题（共13小题） 6．已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣ k． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，数k的取值围． 7．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|． （Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间； （Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2）， 求a++的取值围． 8．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|． （Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值； （Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2）， 求的取值围． 9．．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上 是减函数， （1）求函数f（x）的解析式； （2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小． 10．已知幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=． （1）求g（x），f（x）的解析式； （2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），数a的取值围． 11．函数f（x）=是偶函数． （1）试确定a的值，及此时的函数解析式； （2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数； （3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域． 12．如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a） 幂函数练习题及答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共5０分). 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 ?( ） Ａ．y x =43?B.y x =32 ?C ．y x =-2 ?D ．y x =- 14 2．函数2 -=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是? ?( ） Ａ． 4 1 B.1- C.4?D ．4- ３．下列所给出的函数中,是幂函数的是 ? （ ) Ａ.3 x y -=?Ｂ．3 -=x y ?C.3 2x y =?D ．13 -=x y ４.函数34x y =的图象是?? ( ) A ． Ｂ. C ． D ． ５．下列命题中正确的是??? ( ) A.当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 Ｂ.幂函数的图象都经过(0，０)和(1,1)点 C ．若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 6.函数3 x y =和3 1x y =图象满足 ( ) A.关于原点对称 ?Ｂ．关于x 轴对称 C ．关于 y 轴对称 D.关于直线 x y =对称 7． 函数 R x x x y ∈=|,|,满足? ( ） A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 ? D ．是偶函数又是减函数 8.函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是??( ） A.]6,(--∞ ? B.),6[+∞- ?C ．]1,(--∞ ?D ．),1[+∞- 9. 如图1—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小( ) A.102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα C ．134210αααα<<<<< D.142310αααα<<<<< 1０． 对于幂函数5 4)(x x f =，若210x x <<，则 )2( 21x x f +,2) ()(21x f x f +大小关系是（ ) A.)2( 21x x f +>2) ()(21x f x f + B ． )2( 21x x f +<2 ) ()(21x f x f + C. )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + D. 无法确定 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分,共24分). 1１．函数y x =-3 2 的定义域是 . １２.的解析式是? . １3.9 42 --=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 . １４.幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的 奇偶性为 . 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤（共76分) . 1α 3α 4α 2α幂函数练习题与答案
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p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散； 级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满足 条件l U U n n n =+∞→1 lim ： ①当1
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