高

中

数

学

必

修

1

知

识

点

第一章 函数概念 （1）函数的概念

①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法

①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做

[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．

注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须

a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①()f x 是整式时，定义域是全体实数．

②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2

x k k Z π

π≠+

∈．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．

⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：

①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．

②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．

③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程

2()()()0a y x b y x c y ++=

则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2

()4()()0b y a y c y ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．

⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．

⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．

（5）函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．

（6）映射的概念

①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．

②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． （6）函数的单调性

①定义及判定方法

函数的

性 质

定义

图象

判定方法

函数

的

单调

性

如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)

，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．

．

（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性

（3）利用函数图象（在某个区间

图

象上升为增）

（4）利用复合

函数

如果对于属于定义

域I 内某个区间上的任意

两个自变量的值x 1、x 2，

当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．

．

（1）利用定义

（2）利用已知

函数的单调性

（3）利用函数

图象（在某个区间图

象下降为减） （4）利用复合函数

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]

y f g x =

为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （7）打“√”函数()(0)a

f x x a x

=+

>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别

在[,0)a -、(0,]a 上为减函数． （8）最大（小）值定义

①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；

（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．

②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =． （9）函数的奇偶性

①定义及判定方法

函数的

性 质

定义

图象

判定方法

y

x

o

函数的

奇偶性

如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．

． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对

称）

（2）利用图象

（图象关于原点对称）

如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=f(x)．．．．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．

． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对

称）

（2）利用图象（图象关于y 轴对称）

②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．

③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数． 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 （1）根式的概念

①如果,,,1n

x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．

②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．

③根式的性质：()n

n

a a =；当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时，

(0)

|| (0) n

n

a a a a a a ≥?==?

-

． （2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m

n m n

a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．

②正数的负分数指数幂的意义是：

11

()()(0,,,m m m n

n n a

a m n N a a

-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r

s

r s

a a a

a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈

③()(0,0,)r

r

r

ab a b a b r R =>>∈ （4）指数函数

函数名称 指数函数

定义 函数(0x

y a a =>且1)a ≠叫做指数函数

图象

定义域 值域

过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． 奇偶性

非奇非偶

x

a y =x

y

(0,1)

O

1

y =x

a y =x

y

(0,1)

O

1

y =

单调性 在R 上是增函数

在R 上是减函数

函数值的

变化情况

a 变化对

图

象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．

〖2.2〗对数函数 （1）对数的定义

①若(0,1)x

a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做

真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x

a x N a N a a N =?=>≠>．

（2）几个重要的对数恒等式

log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么

①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a

M M N N

-= ③数乘：log log ()n

a a n M M n R =∈ ④log a N a N =

⑤log log (0,)b n a a n

M M b n R b

=

≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =

>≠且 （5）对数函数

函数

名称

对数函数

定义

函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数

图象

定义域 值域

过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =． 奇偶性 非奇非偶

单调性 在(0,)+∞上是增函数

在(0,)+∞上是减函数

函数值的

变化情况

a 变化对

图

象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．

(6)反函数的概念

设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ?=．如果对于y 在

C 中的任何一个值，通过式子()x y ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ?=表示x 是

y 的函数，函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．

（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1

()x f y -=；

③将1()x f y -=改写成1

()y f x -=，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数()y f x =与反函数1

()y f x -=的图象关于直线y x =对称．

②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1

()y f x -=的值域、定义域．

③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1

()y f x -=的图象上．

x

y

O (1,0)

1

x =log a y x

=x

y

O

(1,0)1x =log a y x

=

④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数． 〖2.3〗幂函数 （1）幂函数的定义

一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．

④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q

p

α=

（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q p

y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p

y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q p

y x =是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α

=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，

其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．

〖补充知识〗二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：2

()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2

()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：

12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3）二次函数图象的性质

①二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2b

x a

=-

顶点坐标是24(,)24b ac b a a

--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-

上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2b

x a

=-

时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，

当2b

x a =-时，2

max 4()4ac b f x a

-=．

③二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ?=->时，图象与x 轴有两个交点

11221212(,0),(,0),||||||

M x M x M M x x a ?=-=

． （4）一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．

设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2

()f x ax bx c =++，从以下

四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2b

x a

=-

③判别式：? ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ? ②x 1≤x 2＜k ?

③x 1＜k ＜x 2 ? af (k )＜0 ④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ?

⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ? f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或

f (k 2)=0这两种情况是否也符合

⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ? 此结论可直接由⑤推出．

（5）二次函数2

()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01

()2

x p q =

+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a

=- ③若2b q a ->，则()m f q =

①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b

x a ->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a ->，则()M f q = ①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a -

>，则()m f p =．

第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即：

方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点．

x 0

?a O a b

x 2?

?f

(p) f (q) ()2b f a -x ?a O a b x 2??f (p) f (q) ()2b f a -x ?a O a b x 2??f (p)

f (q) ()2b f a -x ?a O a b x 2??f (p) f (q) ()

2b

f a -0x x ?a O a b x 2??f (p) f (q) ()

2b f a -0

x x

?a O

a

b

x 2??f

(p)

f

(q) ()2b f a -x ?a O

a

b

x 2??f (p)

f (q) ()

2b f a

-x ?

a O a

b x ??f

(p)

f

(q) ()2b f a

-

0x

x

?a O a

b x 2?

?f (p)

f (q) ()

2b f a

-x

?

a O

a

b x 2??f (p) f (q) ()

2b f a

-0x

3、函数零点的求法： 求函数)(x f y =的零点：

○

1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函

数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y ．

１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． 高中数学 必修4知识点 第一章 三角函数

1、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?+

第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<

终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z

2、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z

P v x

y

A

O M

T

3、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

4、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l

r

α=． 5、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180

π

=，180157.3π??

=≈

???

． 6、若扇形的圆心角为()α

α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，

211

22

S lr r α==．

7、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是(

)

22

0r r x y =+>，则sin y r α=

，cos x r α=，()tan 0y

x x

α=≠． 8、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

9、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 10.三角函数的基本关系：()2

21sin

cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；

()

sin 2tan cos α

αα

=sin sin tan cos ,cos tan αααααα?

?== ???

．.（3） 倒数关系：tan cot 1αα=

11、函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??-= ???．()6sin cos 2παα??

+= ???

，cos sin 2παα??+=- ???． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

12、①的图象上所有点向左（右）平移

?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数

()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长

（缩短）到原来的1ω

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移

?

ω

个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横

坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

13、函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2π

ω

T =

；③频率：12f ωπ

=

=T ；④相位：x ω?+；⑤初相：?． 函数()sin y x ω?=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则

()max min 12

y y A =

-，()max min 1

2y y B =+，()21122x x x x T =-<．

14、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

y=cotx

图象

定义

域

值域

最值

当

22

x k π

π=+

()

k ∈Z 时

，

当()2x k k π=∈Z 时，

max 1

y =；当

2x k ππ=+

既无最大值也无最小值

既无最大值也无最小值

函 数 性 质

max 1

y =；

当

22

x k π

π=-

()

k ∈Z 时

，

min 1y =-．

()k ∈Z 时，min 1y =-．

周期性

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

单调性

在

2,222k k ππππ?

?-+????

()k ∈Z 上是增函数；在

()k ∈Z 上是减

函数． 在

[]()

2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在

[]2,2k k πππ+

()k ∈Z 上是减函

数．

在

,22k k ππππ?

?-+ ???

()k ∈Z 上是增

函数．

对称性

对

称

中

心

()(),0k k π∈Z

对

称

轴

()2

x k k π

π=+

∈Z

对称中心

(),02k k ππ?

?+∈Z

??

? 对

称

轴

()x k k π=∈Z

对

称

中

心

(),02k k π??

∈Z

???

无对称轴

对

称

中

心

(),02k k π??

∈Z

???

无对称轴

第三章 三角恒等变换

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；

⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin 22sin cos ααα=．2

2

2

)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2

222cos2cos

sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

?升幂公式2

sin 2cos 1,2cos 2cos 12

2

α

αα

α=-=+

?降幂公式2cos 21cos 2

αα+=

，2

1cos 2sin 2αα-=． 3、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(??形式。()22sin cos sin ααα?A +B =

A +

B +，其中tan ?B

=

A

． 数学选修2-2 导数及其应用 一.导数概念的引入

1.

导数的物理意义：

瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000

()()lim x f x x f x x

?→+?-?，

我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000

()()lim x f x x f x x

?→+?-?

2. 导数的几何意义：

曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00

()()n n

n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即

000

()()

lim

()n x n f x f x k f x x x ?→-'==-

3.

导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有

时也记作y ',即

二.导数的计算

基本初等函数的导数公式:

1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '=

7 若()log x

a f x =,则1()ln f x x a '=

8 若

()ln f x x =,则1()f x x

'=

导数的运算法则

1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±

2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+?

3. 2

()()()()()

[

]()[()]

f x f x

g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数

(())()y f g x g x '''=?

三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:

一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内

(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.

2.函数的极值与导数

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.

求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;

4.函数的最大(小)值与导数

求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；

(2)将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 附：高中数学常用公式及常用结论. 1.函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2121在?>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数.

(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

2.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数

)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.

3．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

4.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则

)()(a x f a x f +-=+.

5.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2

b

a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x

b f y -= 的图象关于直线2

b

a x +=

对称. 6.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2

(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数

)(x f y =为周期为a 2的周期函数.

7．多项式函数1

10()n n n n P x a x a x a --=++

+的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.