线面平行的证明及应用(含答案)

线面平行的证明及应用

一、单选题(共10道，每道10分)

1.下列条件能得出直线m与平面α平行的是( )

A.直线m与平面α内所有直线平行

B.直线m与平面α内无数条直线平行

C.直线m与平面α没有公共点

D.直线m与平面α内的一条直线平行

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定

2.已知α，β表示平面，a，b表示直线，则下列条件能得出a∥α的是( )

A.a⊥β，α⊥β

B.，a∥b

C.a∥b，b∥α

D.

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定

3.若a，b是空间两条不相交的直线，那么过直线b且平行于直线a的平面( )

A.有且只有一个

B.至少有一个

C.至多有一个

D.有无数个

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定

4.如图，在正方体中，下列直线与平面平行的是( )

A. B.

C. D.

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定

5.如图，A，B是正方体的两个顶点，M，N，P分别是其所在棱的中点，其中能得出AB∥平面MNP的是( )

A.①②

B.③④

C.②③

D.①④

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定

6.如图，在三棱柱中，D是AC的中点，是上一点，若

，则的值为( )

A. B.1

C.2

D.3

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定

7.如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，点E在PD上，且PE:ED=2:1，若在棱PC上存在点F，使得BF∥平面AEC，则PF:FC=( )

A.1:1

B.2:1

C.3:1

D.3:2

答案：A

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定

8.如图，在正方体中，M，N，Q分别是棱的中点，P 是对角线上一点，且，给出下列四个命题：①MN∥平面APC；

②；

③A，P，M三点共线；④平面MNQ∥平面APC．其中正确的是( )

A.①②

B.①④

C.②③

D.③④

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：平面与平面平行的判定

9.如图，在棱长为a的正方体中，E，F，G，H分别是

的中点，N是BC的中点，M在四边形EFGH上及其内部运动，若，则动

点M的轨迹的长度是( )

A. B.

C. D.

答案：A

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定

10.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点，若，则线段长度的求值范围是( )

A. B.

C. D.

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直线与平面平行的判定

线面垂直判定经典证明题

线面垂直判定 1、已知：如图，PA⊥AB，PA⊥AC。 求证：PA⊥平面ABC。 ] 2、已知：如图，PA⊥AB，BC⊥平面PAC。 求证：PA⊥BC。 ' 3、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。 求证：VB⊥AC | 4、在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD中心。 求证：BD⊥平面AEGC 5、如图，AB是圆O的直径，PA⊥AC, PA⊥AB, 求证：BC⊥平面PAC ;

6、如图，AD ⊥BD, AD ⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60° 求证： BD ⊥平面ADC : 7、.如图所示，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证：MN ∥平面PAD . (2)求证：MN ⊥CD . (3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 《 . 8、已知：如图，P 是棱形ABCD 所在平面外一点，且PA=PC 求证：AC PBD 平面 ： A D ~ C B P

9、已知四面体ABCD 中，CD BD AC AB ==,,平面⊥ABC 平面BCD ,E 为棱BC 的中点。 （1）求证：⊥AE 平面BCD ; （2）求证：BC AD ⊥; \ 10、三棱锥A-BCD 中，AB=1，BC=2，BD=AC=3 AD=2，求证：AB ⊥平面BCD > ! 11、 在四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形 求证：AC ⊥平面SBD > ? 12、 如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，求证：AB ⊥平面ADE ； · C B A E D A B

线面平行与垂直的证明题

线面平行与垂直的证明1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求证：AC⊥平面B1BDD1； （2）求三棱锥B-ACB1体积． 2：如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面BDE． D1 C1 B1 A1 C D B A

3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中， ∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，2 1 AD ． （Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明：平面SBC ⊥平面SCD . 4：已知多面体ABCDFE 中， 四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，平面ABEF ⊥平面ABCD ， O 、M 分别为AB 、FC 的中点，且AB = 2，AD = EF = 1. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面FBC ； （Ⅱ）求证：OM ∥平面DAF .

5：．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是P C的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD； 6：已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且 AM=FN. C

求证：MN ‖平面BCE. 7：如图，正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a （1）求证：直线//1B A 平面1ACD （2）求证：平面1ACD ⊥平面D BD 1；

8：如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点， 求证：(1) FD∥平面ABC (2) AF⊥平面EDB. 9：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点， （1）求证：平面A B1D1∥平面EFG; （2）求证：平面AA1C⊥面EFG.

高中数学立体几何线面垂直的证明

立体几何证明 【知识梳理】 1. 直线与平面平行 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行?线面平行”） 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行?线线平行”） 2.．直线与平面垂直 判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直?线面垂直”） 判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 （线面垂直?线线垂直） 性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 三。平面与平面 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 1. 平面与平面平行 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行?面面平行”） 2. 两个平面垂直 判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直?面面垂直”） 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直?线面垂直）

知识点一 【例题精讲】 1.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。 （1）求证：EF//平面11D ABC ；（2）求证： 平面B 11D C C B 1⊥ EF C B 1⊥； （3）求三棱锥EFC B -1的体积V. 2.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的 中点, PA ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V . 3、如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，证明： （1）AE ⊥CD （2）PD ⊥平面ABE ．

(完整版)线面平行证明的常用方法

线面平行证明的常用方法 张磊 立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨： 方法一：中位线型：找平行线。 例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析： 如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线 例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF. 分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD 与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。 方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已 知平面平行的平面 例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。 例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE. 如图⑷ 如图⑸ 如图⑹ E B A D C G F F y C B E D A S z _ M _ D _ A B _ O E P E D C B O A B C D E F N M

例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC . 方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系 （或找空间一组基底）及平面的法向量。 例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ； 分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。 证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz -． 设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ???? ? ????? ，，，，，， 02b EF a ??=- ?? ?u u u r ，，． 因为y 轴垂直与平面SAD ，故可设平面的法向 量为n r =（0，1，0） 则：02b EF n a ??=- ?? ?u u u r r g g ，，（0，1，0）=0 因此 EF n ⊥u u u r r 所以EF ∥平面SAD ．

线线平行线面平行面面平行的练习题

线线平行、线面平行、面面平行部分的练习题 1．如图2-3-3所示,已知α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ=AB,AB ∥α.求证：ＣＤ∥EF. 2.已知直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，平面αI 平面β=b ， 求证//a b ． 3. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。求证：MN //平面BCE 4．如图2-3-7所示，正三棱柱ABC —A1B1C1中，D 是BC 的中点，试判断A1B 与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论. 5．、已知⊥PA 矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点， 求证：MN//平面PAD. 6.在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、C 1D 1、B 1C 1的中点.求证：(1)E 、F 、B 、D 四点共面；（2）面AMN ∥面EFBD. 7．已知在正方体ABCD －1111D C B A 中，M 、N 分别是11D A 、11B A 的中点，在该正方体中作出与平面AMN 平行的平面，并证 明你的结论。

8．已知点 是△ 所在平面外一点，点 ， ， 分 别是△ ，△ ，△ 的重心，求证：平面 平 面 ． 9. 已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′： S △ABC . . 10. 如图所示11 1 ABC A B C -中，平面ABC//平面A 1B 1C 1 ， 若D 是棱1 CC 的中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使 11//C AB DE 证明你的结论 答案与提示： 1.证明：∵AB β,AB α,又∵AB ∥α,α∩β =CD,∴AB ∥CD,同理ＡＢ∥ＥＦ，∴ＣＤ∥ＥＦ. 2. 证明：经过a 作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c 和d ， ∵a ∥平面α，a ∥平面β， ∴a ∥c ，a ∥d ，∴c ∥d ， 又∵d ?平面β，c ?平面β， ∴c ∥平面β， d c b a δ γ β α

立体几何线面、面面平行的证明

Q D C B A P C 1 B 1 A 1D 1 D C B A D A 1 C 1 C B 1 B 理科数学复习专题 立体几何 线面平行与面面平行专题复习 【题型总结】 题型一 小题：判断正误 1. a 、b 、c 是直线，,,αβγ是平面，下列命题正确的是_____________ α αβ βααβαβαγαγββααα////a ,//a //a //,//a ////a ,//a ////,////a //,//a //a //,//a b b b b c c b b 则⑥则⑤则④则③则②则① 归纳：_______________________________________ 题型二 线面平行的判定 1、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E 、F 分别是ＰＢ，ＰＣ的中点，求证：EF 归纳： 3、在正方体中，Ｅ，Ｆ分别为C1D1和BC 的中点， 求证： FE 1111111//. ABCD A B C D AB D C BC -在正方体中，求证：平面平面11111111111,,:(1)//;(2)//. ABC A B C D AC BC AB D D AC B DA BC D -2、如图已知正三棱柱中，点为的中点求证平面为的中点，求证：平面平面111ABC A B C -AB AC =,,M N P 11,,BC CC BB 1//A N AMP

【综合练习】 一、选择题 1、直线和平面平行是指该直线与平面内的（ ） (A)一条直线不相交 (B)两条直线不相交 (C)无数条直线不相交(D)任意一条直线都不相交 2、已知a b ||,αα?，则必有（ ） ()||(),A a b B a b 异面 (),C a b 相交 (),D a b 平行或异面 3、若直线a,b 都与平面?平行，则a 和b 的位置关系是（ ） (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或相交或是异面直线 4.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的 ( ) A ．①④ B ．①⑤ C ．②⑤ D ．③⑤ 5．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面 6. 以下命题（其中a ，b 表示直线，?表示平面） ①若a ∥b ，b ??，则a ∥? ②若a ∥?，b ∥?，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥?，则a ∥? ④若a ∥?，b ??，则a ∥b 其中正确命题的个数是 （ ） 个 个 个 个 二、解答题 1．如图，E D ,分别是正三棱柱111ABC A B C -的棱1AA 、11B C 的中点， 求证：1//A E 平面1BDC ； 2、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=1，点E 是PC 的中点，作EF PB 交PB 于点

怎么证明面面垂直

怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB 在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD 垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。 面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

立体几何线面平行垂直,线面角二面角的证明方法

A P B C E D 一：线面平行的证明方法： 1、用“近似平行法”先找到面上与已知直线平行的直线（一般为表示面的三角形的边界直线，或三角形某边上的中线） 看找到的这条线与已知线的长度关系，1）若相等应该构造平行四边形；2）若不相等一般利用三角形中位线的性质（将这两个不相等的线段的端点连结并延长即会出现关键三角形）。 2、若既不能构造平行四边形也不能性用中位线性质，则应再构造一个此直线所在的平面，证明此平面与已知平面平行（先证面面平行，推出线面平行） 例一：如图，已知菱形ABCD ，其边长为2， 60BAD ∠= ，ABD ?绕着BD 顺时针旋转120 得到PBD ?，M 是PC 的中点． （1）求证：//PA 平面MBD ； （2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值． 例二：已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、 边 长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是 棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离． 例三：如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点， 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 二：线面垂直的证明方法： 通过线线垂直，证明线面垂直 1） 利用勾股定理逆定理及三角形中两个角和为90°； 2） 利用等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂 直等； 3） 通过线面垂直，反推线线垂直； 4） 利用面面垂直的性质，证明垂直于交线即垂直于另一个平面。 例四：如图,四边形ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a,P 为AB 的中点. (1)求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2)求四面体PCEF 的体积. C

线面平行证明常用方法

线面平行证明的常用方法 方法一：两平行线能确定一个平面，过已知直线的两个端点作两条平 行线使它们与已知平面相交，关键：找平行线，使得所作平面与已知平面的交线。 （08浙江卷）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=?90,AD=3,EF=2。求证：AE//平面DCF. 分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG 可得四边形BCGE 为矩形， 又ABCD 为矩形， 所以AD EG ∥，从而四边形ADGE 故AE DG ∥． 因为AE ?平面DCF ，DG ?平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ． 方法二：直线与直线外一点有且仅有一个平面，关键：找第三个点, 使得所作平面与已知平面的交线。 （06北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC . 分析：由D 、P 、B 三点的平面与已知平面AEC 的交线最易找，第三个点选其它的点均不好找交线. 证明：连接BD ，与 AC 相交于 O ，连接 ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO ∥PB. 又 PB ?平面 AEC ，EO ?平面 AEC ， ∴PB ∥平面 AEC.

方法三：两个平面是平行, 其中一个平面内的直线和另一个平面平行, 关键：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面 （０８安徽卷）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形， 4 ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：M 为OA 的中点,找OA(或AD)中点,再连线。 证明：取OB 中点E ，连接ME ，NE ME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖ 又,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖ MN OCD ∴平面‖

高中立体几何证明线面平行的常见方法

D E B 1 A 1 C 1 C A B M 高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七） (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证： AF ∥平面PCE ； 2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P ABCD 底面是直角梯形, E F B A C D P （第

,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE 6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC A B C D E F G M

P E D C B A 的中点. 求证：AB 12 1中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； (4)利用对应线段成比例 9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、 BD 上的点，且SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC （5）利用面面平行 10、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面，90BCA ∠=o ，PB=BC=CA ， 为的中点，为的中点，点在上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面； （2）求证：//CM 平面；

如何证明线面垂直

如何证明线面垂直∵PA⊥平面α，直线L∈平面α ∴PA⊥L========================① ∵PB⊥平面β，直线L∈平面β ∴PB⊥L========================② 综合①②得： 直线L⊥平面PAB(垂直于平面两条相交直线的直线垂直于这个平面) ∴L⊥AB(垂直于平面的直线垂直于平面内的任一直线) 线面垂直的判定定理证明，我一直觉得证明过程太过复杂。前年曾经这样证明，今天写在这里。m和n为平面中两条相交直线，通过平移或者说原本就在，使得l经过m、n的交点O，我们只需证明l垂直与平面中的任意一条直线g 即可!在m、n上分别以O点为中点截取AC、BD，则得到平行四边形ABCD。此时不难由三角形全等的知识得到l⊥g。 答案补充 证明：已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直，L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线(重合或平行直接可得它与L1平行) 在L3上取E、F令OE=OF，分别过E、F作ED、FB交L2于D、B (令OD=OB)则⊿OED ≌⊿ OFB (SAS) 延长DE、BF分别交 L1于A、C 则⊿OEA≌⊿OFC(ASA)(注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等)。所以OA=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC(SAS)所以AD=CB 因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB 所以⊿MAD≌⊿MCD(SSS)所以角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF(SAS) 所以ME=MF，所以⊿MOE≌⊿MOF(SSS)，所以角MOE=角MOF 又因为角MOE与角MOF互补，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L3 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

高中立体几何证明线面平行的常见方法

D A 1 A F 高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七） (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、 BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE （第1题图） A B C D E F G M

6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； （3） 利用平行四边形的性质 7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为 BB 1的中点，求证： D 1O//平面A 1BC 1; 8、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2 1 DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ； (4)利用对应线段成比例 9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且 SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC （5）利用面面平行 10、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，PB=BC=CA ， E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1 ）求证：BE ⊥ 平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ；

线面垂直的证明及应用(含答案)

线面垂直的证明及应用 一、单选题(共10道，每道10分) 1.若为平面，为直线，则下列选项中能得到的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定 2.如图，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，则图中一定与AC垂直的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定

3.如图，在三棱柱中，底面是正三角形，且侧棱，若E是BC的中点，则下列叙述正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质 4.在长方体中，已知AB=BC=1，，E是侧棱的中点，则直线 AE与平面所成角的大小为( ) A.60° B.90° C.45° D.以上都不正确

答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质 5.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，且SD⊥底面ABCD，则下列结论不正确的是( ) A.AC⊥SB B.AB∥平面SCD C.AC⊥平面SBD D.AB与SC所成的角等于CD与SA所成的角 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质 6.如图，在正方体中，O是底面ABCD的中心，，H为垂足，则与平面的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.斜交 D.以上都不对 答案：A

试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定 7.如图，在等边三角形ABC中，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点，现将△ACD 沿CD折起，使平面ACD⊥平面BCD，则下列结论中不正确的是( ) A.AB∥平面DEF B.CD⊥平面ABD C.EF⊥平面ACD D. 答案：C

用向量证明线面平行

用向量证明线面平行面垂直就是说直线是面的法向量。单位法向量当然平行这条直线，不过要排除与0向量的讨论。0向量与任何向量都平行。但0向量不垂直与面。 比如单位法向量是(x,y,z)直线的方向向量是m=(a,b,c) 那么m=a(x,y,z) 这不完全对。 比如单位法向量是(0,1,0)，难道m=0吗? 只能是a≠0是可以这样。 面面平行：可以证明两个平面的法向量平行。 不过不一定是单位法向量，单位法向量是模等于1的法向量，其实只需证明两平面的法向量垂直就可以了。 当然你要证明分别平行于两平面的直线平行， 或平行一平面的直线与另一平面的法向量垂直也未尝不可。 2 三维空间上一平面上一活动点钟(x,y, z) 而(m,n,p )是在原点与平面的垂线的交点, 我们得[(x,y,z) - (m,n,p) ] * (m,n,p) = 0 m(x-m)+n(y-n)+p(z-p)=0 mx+ny+pz=m^2+n^2+p^2 所以 ax+by+cz=d 中的a=m, b= n, c=p , d=m^2+n^2+p^2= 原点与平面的垂直距离 x+y+z=1是一个面它垂直和相交(1,1,1) 这支向量 [1,8,-3]×[4,-5,9]≠[0,0,0] 所以两直线的方向向量不平行 即两直线不平行 但是书后的答案说两直线是平行的。。。 你确定题没有写错吗? 其实直线很简单 [x,y,z]=[4,-3,2]+ t[1,8,-3] 表示通过点[4,-3,2]，沿着方向[1,8,-3]延伸 而[1,8,-3]跟[4,-5,9]方向不一样，两直线不平行 平行向量 平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。 加法运算 AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O 为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。 |a+b|≤|a|+|b|。 向量的加法满足所有的加法运算定律。 减法运算 与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。 (1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点(三角形法则) 数乘运算 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当

关于线面,面面平行证明题

. 线面，面面平行证明 一．线面平行的判定 1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 3.符号表示为：,,////a b a b a ααα??? 二．面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 符号语言:_____________________________________________________________________ 选择题 1．已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α, 那么2l 与平面α的关系是（ ）. A. 1l ∥α B. 2l ?α C. 2l ∥α或2l ?α D. 2l 与α相交 2．以下说法（其中a ，b 表示直线，α表示平面） ①若a ∥b ，b ?α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ?α，则a ∥b 其中正确说法的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是（ ）. A. b ∥α B. b 与α相交 C. b ?α D. b ∥α或b 与α相交 4．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB ?α 5．如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面（ ）. A. 只有一个 B. 恰有两个 C. 或没有，或只有一个 D. 有无数个 6 .已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与平面α的位置关系 ( ) A ｂ∥α B ｂ与α相交 C ｂ?α D ｂ∥α或ｂ与α相交 7．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题： ① ////m m αββα????? ② //////m n n m β β? ??? ③ ,m m n n αβ?? ????异面 其中假命题有 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 8．若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为 ( ) A ｌ?α B ｌ?α C ｌ≠α D ｌ∩α＝? 9．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 异面 D 平行或相交或异面 10．下列命题中正确的是( ) ① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行 ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行

线面垂直习题精选

线面垂直的证明中的找线技巧 ◆ 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D - 中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥ 1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =， ∴DB ⊥平面 11A ACC ，而1 AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2 234MO a =． 在Rt △11A C M 中，2 21 94 A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． ◆ 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ． 证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ． 因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ， AD ?平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ?平面PBC ， ∴ AD ⊥BC ． ∵PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ． （另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）． 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直． 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直???→←???判定性质 线面垂直???→←??? 判定性质 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明 问题．下面举例说明． 3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过 A 且垂直于SC 的平面分别交S B S C S D ，，于 E F G ，，．求证：AE SB ⊥， AG SD ⊥． 证明：∵SA ⊥平面ABCD ， ∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ?平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC BC =，∴CF AB ⊥． ∵AD BD =，∴DF AB ⊥． 又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ?平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥． ∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =， ∴ AH ⊥平面BCD ．

判断或证明线面平行的或垂直常用方法

同学们早上先把下面知识点看完然后做后面的四个题。做完后再看看另一个知识点解析几何常见题型。都发布在作业里面。 线线平行的证明方法： 三线间平行的传递性，三角形中位线，平行四边形对边平行且相等，梯形的上下底平行，棱柱圆柱的侧棱平行且相等，两平行面被第三面所截交线平行，成比例（相似）证平行等等。 判断或证明线面平行的常用方法包括： (1)利用线面平行的定义，一般用反证法； (2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)． 【垂直类证明方法总结】 证垂直的几种方法：勾股定理、等腰（边）三角形三线合一、菱形对角线、矩形（含正方形）、90度、相似三角形（与直角三角形）、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理（三垂线定理）、线面垂直、面面垂直等 证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化； 1.．如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且， .

（1）求证：平面； （2）若，且，求三棱锥的体积. 2.如图，四棱锥中，平面底面，△是等边三角形，底面为梯形，且，∥，. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求到平面的距离. 3.如图，在几何体中，底面四边形是边长为4的菱形，， ，，平面，且，. （1）证明：平面平面；

（2）求三棱锥的体积. 4. 已知数列的通项公式为，为其前项和，则数列的前8项和为__________．答案1.（1)∵四边形是菱形，∴,∵, ∴平面，又?平面，∴．∵,是的中点， ∴，∵，∴平面. （2）菱形的边长为，又是等边三角形，则. 由（1）知，，又是的中点，， 又是等边三角形，则.在中， ， 2.（Ⅰ）由余弦定理得， ∴，∴，∴. 又平面底面，平面底面，?底面， ∴平面， 又?平面，∴. （Ⅱ）设到平面的距离为 取中点，连结,∵△是等边三角形，∴. 又平面底面，平面底面，?平面， ∴底面，且，

立体几何线面与面面垂直的证明

理科数学复习专题 立体几何 线面垂直与面面垂直专题复习 【知识点】 一．线面垂直 (1)直线与平面垂直的定义： 如果直线l 和平面α的__________一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作__________． 重要性质：__________________________________________________________ (2)直线与平面垂直的判定方法： ①判定定理：一条直线与一个平面的两条__________都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．用符号表示为： ②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号可表示为： (3)直线与平面垂直的性质： ①由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的_______直线． ②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．用符号可表示为： 二、面面垂直 (1)平面与平面垂直的定义： 两平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条__________，那么这两个平面互相垂直．简述为“线面垂直，则面面垂直”， 用符号可表示为： (3)平面与平面垂直的性质： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号可表示为： 【题型总结】 题型一 小题：判断正误 1．“直线l 垂直于平面α的无数条直线”是“l ⊥α”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2．已知如图，六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ．则下列结论不正确的是( )． A.CD ∥平面PAF B.DF ⊥平面PAF C.CF ∥平面PAB D ．CF ⊥平面PAD 2. 设m ，n, l 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，判断命题正误： α αααααββααβαβα//n ,,m //,,n ,//,,//,//,,则⑤则④则③则②则①n m n m n m n m m m m m m ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ γ αβγβαγαγββααα⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥则，⑩则⑨则，⑧则⑦则⑥,//m ,//,m //,//m ,,m n ,//,n m l l n n l l n n m