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初中几何辅助线做法大全

线、角、相交线、平行线

规律1.如果平面上有n (n ≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出

n (n

－1)条.

规律2.平面上的n 条直线最多可把平面分成〔

n (n +1)+1〕个部分.

规律3.如果一条直线上有n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为

n (n －1)条.

规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 例：如图，B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点.

求证：MN =

证明：∵M 是AB 的中点，N 是BC 的中点

∴AM = BM =

AB ,BN = CN =

∴MN = MB+BN = 12

AB +

BC =

(AB + BC)

∴MN =

练习：1.如图，点C 是线段AB 上的一点，M 是线段BC 的中点.

求证：AM =

12(AB + BC)

2.如图，点B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点.

求证：MN =

12BC

3.如图，点B 在线段AC 上，N 是AC 的中点，M 是BC 的中点. 求证：MN = 12

规律5.有公共端点的n 条射线所构成的交点的个数一共有

n (n －1)个.

规律6.如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n （n －1）个. 规律7. 如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成n （n －1）对对顶角.

规律8.平面上若有n （n ≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出1

n (n －1)(n －2）个.

规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o . 规律10.平面上有n 条直线相交，最多交点的个数为

n (n －1)个.

规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.

规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂

直.

例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.

规律13.已知AB ∥DE,如图⑴～⑹,规律如下： H G F E D B C A H G

E D B C A

H G F E D B C A N

规

律

14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所

成的角等于另两个内角和的一半.

例：已知，BE 、DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ，若∠A = 45o ,∠C = 55o ,求∠E 的度数.

解：∠A ＋∠ABE =∠E ＋∠ADE ①

∠C ＋∠CDE =∠E ＋∠CBE ② ①＋②得

∠A ＋∠ABE ＋∠C ＋∠CDE =∠E ＋∠ADE ＋∠E ＋∠CBE ∵BE 平分∠ABC 、DE 平分∠ADC ， ∴∠ABE =∠CBE ，∠CDE =∠ADE ∴2∠E =∠A ＋∠C

∴∠E =

(∠A ＋∠C)

∵∠A =45o ,∠C =55o , ∴∠E =50o

三角形部分

规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使

结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 例：如图，已知D 、E 为△ABC 内两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE.

证法（一）：将DE 向两边延长，分别交AB 、AC 于M 、N

在△AMN 中， AM ＋ AN ＞MD ＋DE ＋NE ① 在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ②

在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ③ ①＋②＋③得

AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE

证法（二）延长BD 交AC 于F ，延长CE 交BF 于G ,

在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有， ①AB ＋AF ＞BD ＋DG ＋GF ②GF ＋FC ＞GE ＋CE ③DG ＋GE ＞DE ∴①＋②＋③有

AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE

注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或

几个三角形中去然后再证题.

练习：已知：如图P 为△ABC 内任一点，求证：

(AB ＋BC ＋AC)＜PA ＋PB ＋PC ＜AB ＋BC ＋AC

规律16．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.

F G

N M E

A +=∠CDE

∠ABC ∠BCD 2()

E D

-=∠CDE ∠ABC

∠BCD 3()

-=∠CDE

∠ABC ∠BCD 4()

B A

+=∠CDE ∠ABC

∠BCD 5()

C B A

+=∠CDE

∠ABC ∠BCD 6()

E D

例：如图，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC 的外角∠ACE的平分线，它与BD的延长线交于D.

求证：∠A = 2∠D

证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的平分线

∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2

∵∠A = ∠ACE －∠ABC

∴∠A = 2∠1－2∠2

又∵∠D =∠1－∠2

∴∠A =2∠D

规律17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半.

例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，求证：∠BDC = 90o＋1

∠A

证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB ∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180o

∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠A①

∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)

∴(∠1＋∠2) = 180o－∠BDC②

把②式代入①式得

2(180o－∠BDC)= 180o－∠A

即：360o－2∠BDC =180o－∠A

∴2∠BDC = 180o＋∠A

∴∠BDC = 90o＋1

∠A

规律18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半.

例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB，求证：∠BDC = 90o－1

∠A

证明：∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB

∴∠EBC = 2∠1、∠FCB = 2∠2

∴2∠1 =∠A＋∠ACB ①

2∠2 =∠A＋∠ABC ②

①＋②得

2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A

2（∠1＋∠2）= 180o＋∠A

∴（∠1＋∠2）= 90o＋1

∠A

∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)

∴∠BDC = 180o－(90o＋1

∠A)

∴∠BDC = 90o－1

∠A

规律19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半. 例：已知，如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC.

求证：∠EAD = 1

2(∠C－∠B)

证明：∵AE平分∠BAC

∴∠BAE =∠CAE =1

2∠BAC

∵∠BAC =180o－(∠B＋∠C)

∴∠EAC = 1

2〔180

o－(∠B＋∠C)〕

∵AD⊥BC

∴∠DAC = 90o－∠C

∵∠EAD = ∠EAC－∠DAC

∴∠EAD = 1

2〔180

o－(∠B＋∠C)〕－(90o－∠C)

C E

= 90o －12

(∠B ＋∠C)－90o ＋∠C

= 12

(∠C －∠B)

如果把AD 平移可以得到如下两图，FD ⊥BC 其它条件不变，结论为∠EFD =

(∠C －∠B).

注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自

己举一反三、灵活应变的能力.

规律20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或

延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.

例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC

证法（一）：延长BD 交AC 于E ，

∵∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC ＞∠DEC 同理：∠DEC ＞∠BAC

∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角，

∴∠BDF ＞∠BAD

同理∠CDF ＞∠CAD

∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC

规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，

求证：BE ＋CF ＞EF

证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC 在△BDE 和△NDE 中，

DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED ∴△BDE ≌△NDE ∴BE = NE 同理可证：CF = NF

在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF

规律22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.

例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF

证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM

△BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD

∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE

又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4

∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o ∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o

∴∠FDM = ∠EDF = 90o

△EDF 和△MDF 中 ED = MD

∠FDM = ∠EDF DF = DF

∴△EDF ≌△MDF

∴EF = MF

∵在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF

E F

F A B

C D

E D C B A 43

21N F E D

C B

M A B C D E F

123

（此题也可加倍FD ，证法同上）

规律23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD

证明：延长AD 至E ，使DE = AD ，连结BE

∵AD 为△ABC 的中线 ∴BD = CD

在△ACD 和△EBD 中

BD = CD ∠1 = ∠2 AD = ED

∴△ACD ≌△EBD

∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD

规律24.截长补短作辅助线的方法

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等. 这两种方法统称截长补短法.

当已知或求证中涉及到线段a 、b 、c 、d 有下列情况之一时用此种方法： ①a ＞b ②a ±b = c ③a ±b = c ±d

例：已知，如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1 = ∠2，P 为AD 上任一点，

求证：AB －AC ＞PB －PC

证明：⑴截长法：在AB 上截取AN = AC ，连结PN

在△APN 和△APC 中， AN = AC ∠1 = ∠2

AP = AP

∴△APN ≌△APC

∴PC = PN

∵△BPN 中有PB －PC ＜BN ∴PB －PC ＜AB －AC ⑵补短法：延长AC 至M ，使AM = AB ，连结PM 在△ABP 和△AMP 中 AB = AM

∠1 = ∠2

AP = AP ∴△ABP ≌△AMP ∴PB = PM

又∵在△PCM 中有CM ＞PM －PC ∴AB －AC ＞PB －PC 练习：1.已知，在△ABC 中，∠B = 60o ,AD 、CE 是△ABC

的角平分线,并且它们交于点O 求证：AC = AE ＋CD

2.已知，如图，AB ∥CD ∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4.

求证：BC = AB ＋CD

规律25.证明两条线段相等的步骤：

①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。 ②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等. ③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.

例:如图，已知，BE 、CD 相交于F ，∠B = ∠C ，∠1 = ∠2，求证：DF = EF

证明：∵∠ADF =∠B ＋∠3

∠AEF = ∠C ＋∠4

又∵∠3 = ∠4

∠B = ∠C

∴∠ADF = ∠AEF 在△ADF 和△AEF 中

∠ADF = ∠AEF

∠1 = ∠2

12D B A P 12

N C

B A

A B C D

21P A 4321E D C

B A

AF = AF

∴△ADF ≌△AEF ∴DF = EF

规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.

例：已知，如图Rt △ABC 中，AB = AC ，∠BAC = 90o ，过A 作任一条直线AN ，作BD ⊥AN 于D ，CE ⊥AN 于E ，

求证：DE = BD －CE

证明：∵∠BAC = 90o , BD ⊥AN

∴∠1＋∠2 = 90o ∠1＋∠3 = 90o ∴∠2 = ∠3

∵BD ⊥AN CE ⊥AN ∴∠BDA =∠AEC = 90o 在△ABD 和△CAE 中， ∠BDA =∠AEC ∠2 = ∠3

AB = AC

∴△ABD ≌△CAE ∴BD = AE 且AD = CE

∴AE －AD = BD －CE

∴DE = BD －CE

规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等. 例：AD 为△ABC 的中线，且CF ⊥AD 于F ，BE ⊥AD 的延长线于E

求证：BE = CF 证明：（略）

规律28.条件不足时延长已知边构造三角形.

例：已知AC = BD ，AD ⊥AC 于A ，BCBD 于

B 求证：AD = BC

证明：分别延长DA 、CB 交于点E

∵AD ⊥AC BC ⊥BD ∴∠CAE = ∠DBE = 90o 在△DBE 和△CAE 中 ∠DBE =∠CAE BD = AC

∠E =∠E

∴△DBE ≌△CAE ∴ED = EC ，EB = EA ∴ED －EA = EC － EB

∴AD = BC

规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题. 例：已知，如图，AB ∥CD ，AD ∥BC 求证：AB = CD

证明：连结AC （或BD ）

∵AB ∥CD ，AD ∥BC ∴∠1 = ∠2

在△ABC 和△CDA 中，

∠1 = ∠2 AC = CA

∠3 = ∠4

∴△ABC ≌△CDA ∴AB = CD 练习：已知，如图，AB = DC ，AD = BC ，DE = BF ，

求证：BE = DF 规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等

腰归”.

例：已知，如图，在Rt △ABC 中，AB = AC ，∠BAC = 90o ，∠1 =

∠2 ，CE ⊥BD

21N E D C

B A

21D

C B A F E

D C B A

321D

C B A

F D

B A

的延长线于E 求证：BD = 2CE

证明：分别延长BA 、CE 交于F

∵BE ⊥CF

∴∠BEF =∠BEC = 90o 在△BEF 和△BEC 中 ∠1 = ∠2 BE = BE ∠BEF =∠BEC ∴△BEF ≌△BEC

∴CE = FE =

∵∠BAC = 90o , BE ⊥CF ∴∠BAC = ∠CAF = 90o ∠1＋∠BDA = 90o ∠1＋∠BFC = 90o ∠BDA = ∠BFC

在△ABD 和△ACF 中 ∠BAC = ∠CAF ∠BDA = ∠BFC AB = AC

∴△ABD ≌△ACF ∴BD = CF ∴BD = 2CE

练习：已知，如图，∠ACB = 3∠B ，∠1 =∠2,CD ⊥AD 于D ，

求证：AB －AC = 2CD

规律31.当证题有困难时，可结合已知条件，把

图形中的某两点连接起来构造全等三

角形.

例：已知，如图，AC 、BD 相交于O ，且AB = DC ，AC = BD ，求证：∠A = ∠D 证明：（连结BC ，过程略）

规律32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件. 例：已知，如图，AB = DC ，∠A = ∠D 求证：∠ABC = ∠DCB

证明：分别取AD 、BC 中点N 、M ，连结NB 、NM 、NC （过程略）规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做

垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.

例：已知，如图，∠1 = ∠2 ，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC = 2BD ，

求证：∠BAP ＋∠BCP = 180o 证明：过P 作PE ⊥BA 于E ∵PD ⊥BC ，∠1 = ∠2 ∴PE = PD 在Rt △BPE 和Rt △BPD 中 BP = BP PE = PD

∴Rt △BPE ≌Rt △BPD ∴BE = BD

∵AB ＋BC = 2BD ，BC = CD ＋BD ，AB = BE －AE ∴AE = CD

∵PE ⊥BE ，PD ⊥BC ∠PEB =∠PDC = 90o

1E F D

O A B D

A D

C 2

B A

N P

D C

B A 2

在△PEA 和△PDC 中 PE = PD

∠PEB =∠PDC AE =CD

∴△PEA ≌△PDC ∴∠PCB = ∠EAP

∵∠BAP ＋∠EAP = 180o ∴∠BAP ＋∠BCP = 180o

练习：1.已知，如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 与∠NCA 的平分线，它们交于P ，

PD ⊥BM 于M ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线

2. 已知，如图，在△ABC 中，∠ABC =100o ，∠ACB = 20o ，CE 是∠ACB 的平分线，D 是AC 上一点，若∠CBD = 20o ，求∠CED 的度数。

规律34.有等腰三角形时常用的辅助线 ⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC ，BD ⊥AC 于D ，

求证：∠BAC = 2∠DBC

证明：（方法一）作∠BAC 的平分线AE ，交BC 于E ，则∠1 = ∠2 =

∠BAC

又∵AB = AC ∴AE ⊥BC

∴∠2＋∠ACB = 90o

∵BD ⊥AC

∴∠DBC ＋∠ACB = 90o

∴∠2 = ∠DBC ∴∠BAC = 2∠DBC

（方法二）过A 作AE ⊥BC 于E （过程略）（方法三）取BC 中点E ，连结AE （过程略）

⑵有底边中点时，常作底边中线

例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，D 为BC 中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，

求证：DE = DF 证明：连结AD.

∵D 为BC 中点， ∴BD = CD 又∵AB =AC

∴AD 平分∠BAC ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴DE = DF ⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，在BA 延长线和AC 上各取一点E 、F ，使AE = AF ，求证：EF ⊥BC 证明：延长BE 到N ，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC

∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC

∵∠B ＋∠ACB ＋∠ACN ＋∠ANC = 180o ∴2∠BCA ＋2∠ACN = 180o

∴∠BCA ＋∠ACN = 90o

即∠BCN = 90o ∴NC ⊥BC ∵AE = AF

∴∠AEF = ∠AFE

又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE

F M N P B

E D

B A

1E D B A

F E D C B A

F E C

B A

∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC

∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC

∴∠AEF = ∠ANC

∴EF∥NC

∴EF⊥BC

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F 求证：DF = EF

证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，

∵AB = AC，

∴∠B = ∠ACB

∴∠B =∠DNB

∴BD = DN

又∵BD = CE

∴DN = EC

在△DNF和△ECF中

∠1 = ∠2

∠NDF =∠E

DN = EC

∴△DNF≌△ECF

∴DF = EF

（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略）

⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线

例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE，连结DE 求证：DE⊥BC

证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则

∠AFE =∠B

∠AEF =∠C

∵AB = AC

∴∠B =∠C

∴∠AFE =∠AEF

∵AD = AE

∴∠AED =∠ADE

又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o

∴2∠AEF＋2∠AED = 90o

即∠FED = 90o

∴DE⊥FE

又∵EF∥BC

∴DE⊥BC

（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略）

（证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略）

⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o,P为形内一点，若∠PBC = 10o∠PCB = 30o求∠PAB 的度数.

解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE

则∠BAE =∠ABE = 60o

AE = AB = BE

∵AB = AC

∴AE = AC ∠ABC =∠ACB

∴∠AEC =∠ACE

∵∠EAC =∠BAC－∠BAE

= 80o－60o = 20o

∴∠ACE = 1

2(180

o－∠EAC)= 80o

∵∠ACB= 1

2(180

o－∠BAC)= 50o

∴∠BCE =∠ACE－∠ACB

= 80o－50o = 30o

∵∠PCB = 30o

N F

F E

∴∠PCB = ∠BCE

∵∠ABC =∠ACB = 50o , ∠ABE = 60o

∴∠EBC =∠ABE －∠ABC = 60o －50o =10o ∵∠PBC = 10o ∴∠PBC = ∠EBC 在△PBC 和△EBC 中 ∠PBC = ∠EBC BC = BC

∠PCB = ∠BCE ∴△PBC ≌△EBC ∴BP = BE ∵AB = BE ∴AB = BP

∴∠BAP =∠BPA

∵∠ABP =∠ABC －∠PBC = 50o －10o = 40o ∴∠PAB =

(180o －∠ABP)= 70o

解法二：以AC 为一边作等边三角形，证法同一。

解法三：以BC 为一边作等边三角形△BCE ，连结AE,则

EB = EC = BC ，∠BEC =∠EBC = 60o ∵EB = EC

∴E 在BC 的中垂线上同理A 在BC 的中垂线上

∴EA 所在的直线是BC 的中垂线 ∴EA ⊥BC

∠AEB =

∠BEC = 30o =∠PCB

由解法一知：∠ABC = 50o

∴∠ABE = ∠EBC －∠ABC = 10o =∠PBC

∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB ∴△ABE ≌△PBC ∴AB = BP

∴∠BAP =∠BPA

∵∠ABP =∠ABC －∠PBC = 50o －10o = 40o ∴∠PAB =

(180o －∠ABP) =

(180o －40o )= 70o

规律35.有二倍角时常用的辅助线

⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角

例：已知，如图，在△ABC 中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C ，

求证：AB ＋BD = AC

证明：延长AB 到E ，使BE = BD ，连结DE

则∠BED = ∠BDE

∵∠ABD =∠E ＋∠BDE ∴∠ABC =2∠E ∵∠ABC = 2∠C ∴∠E = ∠C

在△AED 和△ACD 中 ∠E = ∠C ∠1 = ∠2

AD = AD ∴△AED ≌△ACD

∴AC = AE

∵AE = AB ＋BE ∴AC = AB ＋BE 即AB ＋BD = AC

⑵平分二倍角

例：已知，如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，∠BAC = 2∠DBC

求证：∠ABC = ∠ACB

21E D C

证明：作∠BAC 的平分线AE 交BC 于E ，则∠BAE = ∠CAE = ∠DBC

∵BD ⊥AC

∴∠CBD ＋∠C = 90o ∴∠CAE ＋∠C= 90o ∵∠AEC= 180o －∠CAE －∠C= 90o

∴AE ⊥BC

∴∠ABC ＋∠BAE = 90o

∵∠CAE ＋∠C= 90o

∠BAE = ∠CAE

∴∠ABC = ∠ACB ⑶加倍小角

例：已知，如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，∠BAC = 2∠DBC

求证：∠ABC = ∠ACB

证明：作∠FBD =∠DBC,BF 交AC 于F （过程略）

规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.

例：已知，如图，△ABC 中，AB = AC ，∠BAC = 120o

，EF 为AB 的垂直平分线，EF 交BC 于

F ，交AB 于E

求证：BF =

证明：连结AF ，则AF = BF

∴∠B =∠FAB ∵AB = AC ∴∠B =∠C ∵∠BAC = 120o

∴∠B =∠C ∠BAC =

(180o －∠BAC) = 30o

∴∠FAB = 30o

∴∠FAC =∠BAC －∠FAB = 120o －30o =90o 又∵∠C = 30o

∴AF =

12FC ∴BF =12

练习：已知，如图，在△ABC 中，∠CAB 的平分线AD 与BC 的垂直平分线DE 交于点D ，DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC

延长线于N

求证：BM = CN

规律37. 有垂直时常构造垂直平分线.

例：已知，如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D

求证：CD = AB ＋BD

证明：（一）在CD 上截取DE = DB ，连结AE ，则AB = AE

∴∠B =∠AEB ∵∠B = 2∠C ∴∠AEB = 2∠C

又∵∠AEB = ∠C ＋∠EAC ∴∠C =∠EAC

∴AE = CE

D E

C B A

F D C B A

M E C B A

E D C

B A

又∵CD = DE＋CE

∴CD = BD＋AB

（二）延长CB到F，使DF = DC，连结AF则AF =AC（过程略）

规律38.有中点时常构造垂直平分线.

例：已知，如图，在△ABC中，BC = 2AB, ∠ABC = 2∠C,BD = CD

求证：△ABC为直角三角形

证明：过D作DE⊥BC，交AC于E，连结BE，则BE = CE，

∴∠C =∠EBC

∵∠ABC = 2∠C

∴∠ABE =∠EBC

∵BC = 2AB，BD = CD

∴BD = AB

在△ABE和△DBE中

AB = BD

∠ABE =∠EBC

BE = BE

∴△ABE≌△DBE

∴∠BAE = ∠BDE

∵∠BDE = 90o

∴∠BAE = 90o

即△ABC为直角三角形

规律39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.

例：已知，如图，在△ABC中，∠A = 90o，DE为BC的垂直平分线

求证：BE2－AE2 = AC2

证明：连结CE，则BE = CE

∵∠A = 90o

∴AE2＋AC2 = EC2

∴AE2＋AC2= BE2

∴BE2－AE2 = AC2

练习：已知，如图，在△ABC中，∠BAC = 90o，AB = AC，P为BC上一点求证：PB2＋PC2= 2PA2

规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.

例：已知，如图，在△ABC中，∠B = 45o，∠C = 30o，

求AC的长.

解：过A作AD⊥BC于D

∴∠B＋∠BAD = 90o，

∵∠B = 45o，∠B = ∠BAD = 45o，

∴AD = BD

∵AB2 = AD2＋BD2，

∴AD = 1

∵∠C = 30o，AD⊥BC

∴AC = 2AD = 2

C B

四边形部分

规律41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.

例：已知,□ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长多8cm ，求这个四

边形各边长.

解：∵四边形ABCD 为平行四边形

∴AB = CD ，AD = CB ，AO = CO ∵AB ＋CD ＋DA ＋CB = 60

AO ＋AB ＋OB －(OB ＋BC ＋OC) = 8 ∴AB ＋BC = 30，AB －BC =8 ∴AB = CD = 19，BC = AD = 11

答：这个四边形各边长分别为19cm 、11cm 、19cm 、11cm.

规律42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. （例题如上）

规律43.有平行线时常作平行线构造平行四边形

例：已知，如图，Rt △ABC ，∠ACB = 90o ，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH ∥AB 交BC 于

求证：CE = BH

证明：过F 作FP ∥BC 交AB 于P ，则四边形FPBH 为平行四边形 ∴∠B =∠FPA ，BH = FP ∵∠ACB = 90o

，CD ⊥AB

∴∠5＋∠CAB = 45o ，∠B ＋∠CAB = 90o ∴∠5 =∠B ∴∠5 =∠FPA 又∵∠1 =∠2，AF = AF ∴△CAF ≌△PAF ∴CF = FP

∵∠4 =∠1＋∠5，∠3 =∠2＋∠B ∴∠3 =∠4 ∴CF = CE ∴CE = BH

练习：已知，如图，AB ∥EF ∥GH ，BE = GC 求证：AB = EF ＋GH

规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 例：已知，如图，在□ABCD 中，AB = 2BC ，M 为AB 中点

求证：CM ⊥DM

证明：延长DM 、CB 交于N

∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AD = BC ，AD ∥BC

∴∠A = ∠NBA ∠ADN =∠N 又∵AM = BM

∴△AMD ≌△BMN ∴AD = BN

∴BN = BC ∵AB = 2BC ，AM = BM ∴BM = BC = BN

∴∠1 =∠2，∠3 =∠N

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N = 180o ， ∴∠1＋∠3 = 90o ∴CM ⊥DM

规律45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等. 如图：OE = OF

432

P H

F E C

B A G

H F E B A

21N

M B A D C

E D

规律46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于

平行四边形面积的一半. 如图：S △BEC =

S □ABCD

规律47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个

三角形中，

不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半. 如图：S △AOB ＋ S △DOC = S △BOC ＋S △AOD =

S □ABCD

规律48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条

线段

的平方和相等.

如图：AO 2＋OC 2 = BO 2 ＋DO 2

规律49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.

如图：四边形GHMN 是矩形

（规律45～规律49请同学们自己证明）规律50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线. 例：已知，如图，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE = ED ，

P 为对角线

BD 上一点，PF ⊥BE 于F ，PG ⊥AD 于G 求证：PF ＋PG = AB

证明：证法一：过P 作PH ⊥AB 于H ，则四边形AHPG 为矩形

∴AH = GP PH ∥AD ∴∠ADB =∠HPB ∵BE = DE ∴∠EBD = ∠ADB

∴∠HPB =∠EBD 又∵∠PFB =∠BHP = 90o

∴△PFB ≌△BHP

∴HB = FP

∴AH ＋HB = PG ＋PF 即AB = PG ＋PF

证法二：延长GP 交BC 于N ，则四边形ABNG 为矩形，（证明略）规律51.直角三角形常用辅助线方法： ⑴作斜边上的高

例：已知，如图,若从矩形ABCD 的顶点C 作对角线BD 的垂线与∠BAD 的平分线交于点E

求证：AC = CE

证明：过A 作AF ⊥BD ，垂足为F ，则AF ∥EG

∴∠FAE = ∠AEG ∵四边形ABCD 为矩形 ∴∠BAD = 90o OA = OD

∴∠BDA =∠CAD ∵AF ⊥BD

∴∠ABD ＋∠ADB = ∠ABD ＋∠BAF = 90o ∴∠BAF =∠ADB =∠CAD ∵AE 为∠BAD 的平分线 ∴∠BAE =∠DAE

∴∠BAE －∠BAF =∠DAE －∠DAC

即∠FAE =∠CAE

N P

H G F E D C B A

O F E

D C

B A

O D

M H

G D

B A A D

B O

O B

C D A

∴AC = EC

⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：

①有斜边中点时

例：已知，如图，AD、BE是△ABC的高，F是DE的中点，G是AB的中点求证：GF⊥DE

证明：连结GE、GD

∵AD、BE是△ABC的高，G是AB的中点

∴GE = 1

AB，GD =

∴GE = GD

∵F是DE的中点

∴GF⊥DE

②有和斜边倍分关系的线段时

例：已知，如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且DA⊥BA于A，AC = 1

求证：∠ACB = 2∠B

证明：取BD中点E，连结AE，则AE = BE = 1

∴∠1 =∠B

∵AC = 1

2BD

∴AC = AE

∴∠ACB =∠2

∵∠2 =∠1＋∠B

∴∠2 = 2∠B

∴∠ACB = 2∠B

规律52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.

例：已知，如图，过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F 求证：AP = EF

证明:连结AC 、PC

∵四边形ABCD为正方形

∴BD垂直平分AC，∠BCD = 90o

∴AP = CP

∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD = 90o

∴四边形PECF为矩形

∴PC = EF

∴AP = EF

规律53.有正方形一边中点时常取另一边中点.

例：已知,如图，正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N

求证：MD = MN

证明：取AD的中点P，连结PM，则DP = PA =1

2AD

∵四边形ABCD为正方形

∴AD = AB, ∠A =∠ABC = 90o

∴∠1＋∠AMD = 90o，又DM⊥MN ∴∠2＋∠AMD = 90o

∴∠1 =∠2

∵M为AB中点

∴AM = MB = 1

2AB

∴DP = MB AP = AM ∴∠APM =∠AMP = 45o ∴∠DPM =135o

∵BN平分∠CBE

P F

P N

M E

D C

∴∠MBN =∠MBC ＋∠CBN = 90o ＋45o = 135o 即∠DPM =∠MBN ∴△DPM ≌△MBN ∴DM = MN

注意：把M 改为AB 上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。

练习：已知，Q 为正方形ABCD 的CD 边的中点，P 为CQ 上一点，且AP = PC ＋BC

求证：∠BAP = 2∠QAD

规律54.利用正方形进行旋转变换

旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法.

旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件. 旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.

例：已知，如图，在△ABC 中，AB = AC ，∠BAC = 90o ，D 为BC 边上任一点求证：2AD 2 = BD 2＋CD 2

证明：把△ABD 绕点A 逆时针旋转90o 得△ACE

∴BD = CE ∠B = ∠ACE ∵∠BAC = 90o ∴∠DAE = 90o ∴DE 2 = AD 2＋AE 2 = 2AD 2

∵∠B ＋∠ACB = 90o

∴∠DCE = 90o ∴CD 2＋CE 2 = DE 2

∴2AD 2 = BD 2＋CD 2

注意：把△ADC 绕点A 顺时针旋转90o 也可，方法同上。

练习：已知，如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，BF 平分∠CBE 交CD 于F

求证：BE = CF ＋AE

规律55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形.

例：如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、

DA 的中点，BE 与CF 交于P 点求证：AP = AB

证明：延长CF 交BA 的延长线于K

∵四边形ABCD 为正方形

∴BC = AB = CD = DA ∠BCD =∠D =∠BAD = 90o ∵E 、F 分别是CD 、DA 的中点

∴CE =

CD DF = AF =

∴CE = DF ∴△BCE ≌△CDF

∴∠CBE =∠DCF ∵∠BCF ＋∠DCF = 90o ∴∠BCF ＋∠CBE = 90o ∴BE ⊥CF

又∵∠D =∠DAK = 90o DF = AF ∠1 =∠2 ∴△CDF ≌△KAF ∴CD = KA ∴BA = KA 又∵BE ⊥CF ∴AP = AB

练习：如图，在正方形ABCD 中，Q 在CD 上，且DQ = QC ，P 在BC 上，且AP = CD ＋CP

求证：AQ 平分∠DAP Q P D C

A E D C

B A

F E D C B A

E D C B A

规律56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形.

例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD = 3，AB = 4，BC = 7

求∠B的度数

解：过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD为平行四边形

∴AD = EC，CD = AE

∵AB = CD = 4,

AD = 3, BC = 7

∴BE = AE = AB = 4

∴△ABE为等边三角形

∴∠B = 60o

规律57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角形.

例：已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AC，∠BAC = 90o，BD = BC，BD交AC于O 求证：CO = CD

证明：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F则四边形AEFD为矩形

∴AE = DF

∵AB = AC，AE⊥BC，∠BAC = 90o，

∴AE = BE = CE =1

BC，∠ACB = 45o

∵BC = BD

∴AE = DF = 1

又∵DF⊥BC

∴∠DBC = 30o

∵BD = BC

∴∠BDC =∠BCD

= 1

2(180

o－∠DBC)

= 75o

∵∠DOC =∠DBC＋∠ACB = 30o＋45o = 75o

∴∠BDC =∠DOC

∴CO = CD

规律58.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形. 例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC = 10，DE⊥BC于E 求DE的长.

解：过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形∴AC = DF，AD = CF

∵四边形ABCD为等腰梯形

∴AC = DB

∴BD = FD

∵DE⊥BC

∴BE = EF =1

2BF

2(BC＋CF) =

2(BC＋AD)

2×10 = 5

∵AC∥DF，BD⊥AC ∴BD⊥DF

∵BE = FE

∴DE = BE = EF = 1

2BF = 5

答：DE 的长为5.

规律59.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形.

例：已知，如图，在四边形ABCD 中，有AB = DC ，∠B =∠C ，AD ＜BC

求证：四边形ABCD 等腰梯形

证明：延长BA 、CD ，它们交于点E

∵∠B =∠C ∴EB = EC

又∵AB = DC

∴AE =DE

∴∠EAD =∠EDA

∵∠E ＋∠EAD ＋∠EDA = 180o ∠B ＋∠C ＋∠E = 180o

∴∠EAD =∠B ∴AD ∥BC

∵AD≠BC ，∠B =∠C ∴四边形ABCD 等腰梯形

（此题还可以过一顶点作AB 或CD 的平行线；也可以过A 、D 作BC 的垂线）

规律60.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形. 例：已知,如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点，EF ⊥AB 于F

求证：S 梯形ABCD = EF·AB

证明：过E 作MN ∥AB ，交AD 的延长线于M ，交BC 于N ，则四边形ABNM 为平行四边形

∵EF ⊥AB

∴S □ABNM = AB·EF ∵AD ∥BC ∴∠M =∠MNC

又∵DE = CE ∠1 =∠2 ∴△CEN ≌△DEM ∴S △CEN = S △DEM

∴S 梯形ABCD = S 五边形ABNED ＋S △CEN = S 五边形ABNED ＋S △DEM = S 梯形ABCD = EF·AB

规律61. 有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形. 例：已知,如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD 于A ，DE = EC = BC

求证：∠AEC = 3∠DAE

证明：连结BE 并延长交AD 的延长线于N

∵AD ∥BC ∴∠3 =∠N

又∵∠1 =∠2 ED = EC ∴△DEN ≌△CEB

∴BE = EN DN = BC

∵AB ⊥AD ∴AE = EN = BE

∴∠N =∠DAE

∴∠AEB =∠N ＋∠DAE = 2∠DAE ∵DE = BC BC = DN ∴DE = DN ∴∠N =∠1 ∵∠1 =∠2 ∠N =∠DAE ∴∠2 =∠DAE

∴∠AEB ＋∠2 = 2∠DAE ＋∠DAE 即∠AEC = 3∠DAE

规律62.梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线.

例：已知,如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ⊥BC

求证：∠B =∠C

证明：过E 作EM ∥AB, EN ∥CD,交BC 于M 、N ，则得□ABME ，□NCDE

∴AE = BM ，AB ∥= EM ，DE = CN ，CD = NE ∵AE = DE ∴BM = CN

又∵BF = CF

∴FM = FN 又∵EF ⊥BC

E D

A 21

N M F E D B A 3

N E

21D C

B A

E D A

∴∠1 =∠2

∵AB∥EM，CD∥EN

∴∠1 =∠B ∠2 =∠C

∴∠B = ∠C

规律63. 任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半.

例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，且AC⊥BD，AC = 4，BD = 3.4, 求梯形ABCD的面积.

解：∵AC⊥BD

∴S△ABD =1

2 AO·BD

S△BCD = 1

2 CO·BD

∴S梯形ABCD = S△ABD ＋S△BCD

AO·BD＋

CO·BD

(AO＋CO)·BD

即S梯形ABCD = 1

AC·BD =

×4×3.4

=6.8

答：梯形ABCD面积为6.8.

规律64.有线段中点时，常过中点作平行线，利用平行线等分线段定理的推论证题.

例:已知：△ABC中，D为AB中点，E为BC的三等分点，（BE＞CE）AE、CD交于点F 求证：F为CD的中点

证明：过D作DN∥AE交BC于N

∵D为AB中点

∴BN = EN

又∵E为BC的三等分点

∴BN = EN = CE

∵DN∥AE

∴F为CD的中点

规律65.有下列情况时常作三角形中位线.

⑴有一边中点；

⑵有线段倍分关系；

⑶有两边（或两边以上）中点.

例：如图，AE为正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O

求证：OF =1

证明：取AE的中点N，连结ON,则ON为△ACE的中位线

∴ON∥CE，ON =1

2CE

∴∠6 =∠ONE

∵四边形ABCD为正方形

∴∠3 =∠4 = 45o

∴∠5 =∠3＋∠1, ∠6 =∠4＋∠2 ∵∠1 =∠2

∴∠5 =∠6

∵∠6 =∠ONE

∴∠ONE =∠5

∴ON = OF

∴OF =1

2CE

规律66.有下列情况时常构造梯形中位线

⑴有一腰中点

⑶涉及梯形上、下底和

例1：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB = 90o ,E为CD的中点，连结AE、BE

求证：AE = BE

证明：取AB的中点F，连结EF，则

EF∥AD

∴∠DAB =∠EFB =90o

∴EF⊥AB

∴EF为AB的中垂线

∴AE = BE

例2：从□ABCD的顶点ABCD向形外的任意直线MN引垂线AA’、BB’、CC’、DD’，垂足分别为A’、B’、C’、D’

求证：AA’＋CC’ = BB’＋DD’

证明：连结AC、BD，它们交于点O，过O作OE⊥MN于E，则AA’∥OE∥CC’

∵四边形ABCD为平行四边形

∴AO = CO

∴A’E = C’E

∴AA’＋CC’ = 2OE

同理可证：BB’＋DD’ = 2OE

∴AA’＋CC’ = BB’＋DD’

规律67.连结任意四边形各边中点所得的四边形为平行四边形.

规律68.连结对角线相等的四边形中点所得的四边形为菱形.

规律69.连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形.

规律70.连结对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形为正方形.

规律71.连结平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形各边中点所得的四边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形、菱形.

规律72.等腰梯形的对角线互相垂直时，梯形的高等于两底和的一半（或中位线的长）.

以上各规律请同学们自己证明.（利用中位线证明）

规律73.等腰梯形的对角线与底构成的两个三角形为等腰三角形.

例：已知，如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，AD = BC，对角线AC、BD相交于O，∠AOB = 60o，且E、F、M分别为OD、OA、BC的中点

求证：△MEF是等边三角形

证明：连结BF、CE

∵四边形ABCD为等腰梯形

∴AD = BC，AC = BD

又∵AB为公共边

∴△ABD≌△BAC

∴∠CAB =∠DBA

∴OA = OB

∵∠AOB = 60o

∴△ABO为等边三角形

又∵F为AO中点

∴BF⊥AC

∵M为BC中点

∴MF =1

同理可证：ME =1

2BC

∵E、F分别为OD、OA中点

∴EF =1

2AD

∵AD = CB

∴ME = MF = EF

∴△MEF为等边三角形

规律74.如果矩形对角线相交所成的钝角为120o，则矩形较短边是对角线长的一半. 例：已知，四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB = 120O.

求证：AB =1

2BD

F E

B'A'

D C

初中几何辅助线技巧大全

初中几何辅助线技巧大全一初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。二由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1．如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。图1-1 B D B C

初中数学几何辅助线技巧

几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，倍长中线得全等。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为三角或平四。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆形

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径联。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。由角平分线想到的辅助线一、截取构全等：如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自己试一试。二、角分线上点向两边作垂线构全等：如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180 分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。三、三线合一构造等腰三角形：如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。四、角平分线+平行线：如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。

初中几何常见辅助线和题型(无答案)

一、角平分线半垂直，补全垂直试试看，角平分线加垂线，三线合一试试看 1、已知，△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD延长线于点E，EF∥AC交AB于点F. 求证：AF =FB 2、已知，如图△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于D. 求证：∠BAD=∠CAD +∠C 3、已知，如图Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CD⊥BE交BE延长线于点D. 求证：BE=2CD 4、已知，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AD，∠EAD=∠BAD. 求证：AB=AE+CE

5、已知，如图△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 于E . 求证：)(2 1 AB AC BE -= 6、(2011?大连25)已知，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ,点D 在线段BC 上，∠C=2∠EDB ，BE ⊥DE ，垂足为点E ，DE 与AB 相交于点F . (1)求∠EBF . (2)探究BE 与FD 的数量关系，并证明. 二、证明线段和差倍，截长补短试试看 1、如图，在△ABC 中，81BAC ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+. 求ABC ∠的度数. 2、已知△ABC 中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，

试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明． 3、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作 60 DMN ∠=?，射线MN与DBA ∠外角的平分线交于点N，试判断DM与MN有怎样的数量关系，并证明. 4、如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？并证明你的结论. 5、已知：如图，ABCD是正方形，∠F AD=∠F AE. 求证：BE+DF =AE.

初中几何辅助线大全最全

三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ，求证：AD ＝BC 分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义）在△DBE 与△CAE 中 ∵?? ???=∠=∠∠=∠)()() (已知已证公共角AC BD CAE DBE E E ∴△DBE ≌△CAE （AAS ） ∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）二、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图9-1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CE 与 ∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。 ∵BE ⊥CF （已知） ∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义）在△BEF 与△BEC 中， 1 9-图D C B A E F 1 2 A B C D E 1 7-图O

初中几何辅助线大全(很详细哦)

初中几何辅助线一克胜秘籍等腰三角形 1?作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2?作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形 1. 连接两对角 2.做高平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线一一把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高一一形内形外都要注意矩形 1. 对角线 2.作垂线很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB, 就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。解几何题时如何画辅助线？ ①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用

初中几何常用辅助线专题

初中几何常见辅助线做法一、三角形常见辅助线做法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍；含有中点的题目，常常做三角形的中位线，把结论恰当的转移例1、如图5-1：AD 为△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。【分析】：要证AB ＋AC ＞2AD ，由图想到： AB ＋BD ＞AD,AC ＋CD ＞AD ，所以有AB ＋AC ＋ BD ＋CD ＞AD ＋AD ＝2AD ，左边比要证结论多BD ＋CD ，故不能直接证出此题，而由2AD 想到要构造2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，则AE ＝2AD ∵AD 为△ABC 的中线（已知） ∴BD ＝CD （中线定义）在△ACD 和△EBD 中 ?? ???=∠=∠=)()()(辅助线的作法对顶角相等已证ED AD EDB ADC CD BD ∴△ACD ≌△EBD （SAS ） ∴BE ＝CA （全等三角形对应边相等） ∵在△ABE 中有：AB ＋BE ＞AE （三角形两边之和大于第三边） ∴AB ＋AC ＞2AD 。例2、如图4-1：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：延长ED 至M ，使DM=DE ，连接 CM ，MF 。在△BDE 和△CDM 中， ∵?? ???=∠=∠=)()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MD ED CDM CD BD ∴△BDE ≌△CDM （SAS ）又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知） ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义） ∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF ＝90° 1 4-图A B C D E F M 123 4A B C D E 1 5-图

1初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1倍长中线法;构造中位线法

学生姓名学生年级学校上课时间辅导老师科目教学重点中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法;构造斜边中线法）教学目标系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线开场:1.行礼;2.晨读；3.检查作业;4.填写表格新课导入知识点归纳 1.已知任意三角形(或者其他图形)一边上的中点,可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形)；2．已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线；３．已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线； 4．已知等腰三角形底边中点，可以考虑:连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质. 新课内容做辅助线思路一：倍长中线法经典例题1:如图所示，在△AＢC中,AB＝20，ＡC=12,求ＢC边上的中线AＤ的取值范围．【课堂训练】 1.如图，已知CB、ＣＤ分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且ＡＣ=AB,给出下列结论： ①AＥ=2AC；②CE=２CD；③∠ACＤ=∠BＣE；④CB平分∠DCＥ，则以上结论正确的是 ( ） A．①②④ B．①③④ C.①②③ D.①②③④ 第1题图第２题图 2.如图,在正方形ABCD中，Ｅ为AB边的中点,G、F分别为ＡD，BC边上的点，若AG＝1， BF＝2，∠GEＦ＝90°，则GＦ的长为（) Ａ. ２ B. 3 C. 4 D. 5 3.如图，在△ABC中,点D、E为边BC的三等分点,则下列说法正确的有( ） ①BD=DE=EC;②ＡＢ+AE＞2AＤ；③ＡD＋AＣ>2AE;④AB＋AC>AＤ＋AE。 A. 1个Ｂ. 2个 C. 3个 D. 4个

4.如图,在△ＡBC 中,A Ｂ＞BC,E 为BC 边的中点，ＡＤ为∠BAC 的平分线,过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交C Ａ的延长线于G,求证：BF=ＣＧ．５.如图所示,已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点,连接BE 并延长交ＡC 于点Ｆ，AE ＝ＥF ，求证：AC ＝B Ｆ. 6.如图所示,在△ABC 中，分别以ＡB 、ＡＣ为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ＡCE,F 为BC 边上中点，FA 的延长线交DE 于点G ，求证：①DE=２AF ；②ＦG ⊥DE ． F G E D B C A F D B C A E G F B C A D E

初中几何常见辅助线作法口诀

初中几何常见辅助线作法口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

作辅助线的常用方法

在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点, 求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一）将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ，在△AMN 中，AM+AN > MD+DE+NE;（1）在△BDM 中，MB+MD>BD ；（2）在△CEN 中，CN+NE>CE ；（3）由（1）+（2）+（3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2）延长BD 交 AC 于F ，廷长CE 交BF 于G ，在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有： AB+AF> BD+DG+GF （三角形两边之和大于第三边）…（1） GF+FC>GE+CE （同上）………………………………..（2） DG+GE>DE （同上）…………………………………….（3）由（1）+（2）+（3）得： AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC 。一、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC 。因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；证法一：延长BD 交AC 于点E ，这时∠BDC 是△EDC 的外角， A B C D E N M 1 1-图A B C D E F G 2 1-图A B C D E F G 1 2-图

八年级数学三角形辅助线大全(精简、全面)

三角形作辅助性方法大全 1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 证法（一）：延长BD 交AC 于E ， ∵∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC ＞∠DEC 同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ，并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角， ∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD ∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC 2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：在DA 上截取DN = DB ，连结NE 、NF ，则DN = DC 在△BDE 和△NDE 中， DN = DB ∠1 = ∠2 ED = ED ∴△BDE ≌△NDE ∴BE = NE 同理可证：CF = NF 在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF 3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形. 例：已知，如图，AD 为△ABC 的中线，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 证明：延长ED 到M ，使DM = DE ，连结CM 、FM △BDE 和△CDM 中， BD = CD ∠1 = ∠5 ED = MD ∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE 又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4 ∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o F A B C D E D C B A 43 21N F E D C B A

初中数学证明题常见辅助线作法规律.

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图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。

中考数学几何辅助线秘籍

中考数学几何辅助线秘籍等腰三角形 1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2.作一腰上的高； 3.过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。梯形 1.垂直于平行边 2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3.平行于两条斜边 4.作两条垂直于下底的垂线 5.延长两条斜边做成一个三角形菱形 1.连接两对角 2.做高平行四边形 1.垂直于平行边 2.作对角线--把一个平行四边形分成两个三角形 3.做高--形内形外都要注意矩形 1.对角线 2.作垂线很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关

问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线。

初中几何辅助线大全

初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。一．添辅助线有二种情况： 1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（7）相似三角形：

初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全

初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全人教版北师大初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。一(添辅助线有二种情况: 1按定义添辅助线: 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90?;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线: 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”～这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下: (1)平行线是个基本图形: 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 (2)等腰三角形是个简单的基本图形: 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 (3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形: 1

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 (4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 (5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当

初中几何添加辅助线的条规律

规律1 如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。规律2 平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)/2+1〕个部分。规律3 如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。规律4 线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。规律5 有公共端点的n条射线所构成的角的个数一共有n(n－1)个。规律6 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n （n－1）个。规律7 如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。规律8 平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。规律9 互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。规律10 平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。规律11 互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。规律12 当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。规律13 在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：

（1）当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可。（2）如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。规律14 成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。规律15 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。规律16 三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。规律17 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。规律18 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半。规律19 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半。注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力。规律20 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题。规律21

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初中几何辅助线—克胜秘籍等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 . 过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形 1. 连接两对角 2. 做高平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形

3. 做高——形内形外都要注意矩形 1. 对角线 2. 作垂线很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD .................... 这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD另= 一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A 字形等。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。解几何题时如何画辅助线?

①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。

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初中几何辅助线大全-最全三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1 :已知AC= BD, AD丄AC于A , BC丄BD于B, 求证：AD= BC 分析：欲证AD = BC,先证分别含有AD, BC的三角形全等，有几种方案：△KDC与ABCD , △XOD与△BOC’MBD与ABAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA CB它们的延长交于E点, ?/ AD丄AC BC丄BD （已知） ???/ CAE=Z DBE = 90 ° （垂直的定义）在厶DBE与△ CAE中 E E（公共角） DBE CAE（已证） BD AC（已知） ? A DBE^A CAE （AAS ?ED= EC EB = EA （全等三角形对应边相等） ?ED- EA= EC— EB 即：AD= BC （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图9-1 :在Rt△ ABC中，AB= AC, / BAC= 90°,/ 1 = Z 2, CEL BD的延长于E。求证：BD= 2CE

分析：要证BD = 2CE，想到要构造线段2CE，同时CE

与/ABC的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA CE交于点F。 ?/ BEX CF （已知） ???/ BEF=/ BEC= 90°（垂直的定义）在厶BEF与厶BEC中， 1 2（已知） BE BE（公共边） BEF BEC（已证） 1 ? △ BEF^A BEC（ASA ?- CE=FE」CF （全等三角形对应边相等） 2 ?// BAC=90 BE 丄CF （已知） ???/ BAC=/ CAF= 90°/ 1 + / BDA= 90°/ 1 + Z BFC= 90° ???/ BDA=/ BFC 在厶ABM A ACF中 BAC CAF （已证） BDA BFC （已证） AB = AC（已知） ? △ ABD^A ACF （AAS ? BD= CF （全等三角形对应边相等）? BD= 2CE 四、取线段中点构造全等三有形。例如：如图11-1 : AB= DC / A=/ D 求证：/ ABC=/ DCB 分析：由AB = DC ,ZA =/D，想到如取AD的中点N，连接NB , NC,再由SAS公理有△ ABN也Q CN，故BN = CN , ZABN =ZDCN。下面只需证/ NBC =ZNCB，再取BC的中点 M，连接MN，则由SSS公理有△ NBM也A CM，所以/NBC = ZNCB。问题得证。证明：取AD, BC的中点N、M连接NB NM NC贝U AN=DN BM=C皿在厶ABN和厶DCN

1初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1(倍长中线法;构造中位线法)资料

精品文档学生姓名上课时间学生年级辅导老师学校科目教学重点教学目标中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法；构造斜边中线法）系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格新课导入知识点归纳 1.已知任意三角形（或者其他图形）一边上的中点，可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形）； 2.已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线； 3.已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线； 4.已知等腰三角形底边中点，可以考虑：连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质. 做辅助线思路一：倍长中线法经典例题1：如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围. 【课堂训练】 1.如图，已知CB、CD分别是钝△角AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论： ①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 新课内容第1题图第2题图 2.如图，在正方形A BCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若A G＝1， BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（） ①BD＝DE＝EC；②AB＋AE＞2AD；③AD＋AC＞2AE；④AB＋AC＞AD＋AE。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4.如图，在△ABC中，AB＞BC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G，求证：BF＝CG． G B A F E D C 5.如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，连接BE并延长交AC 于点F，AE＝EF，求证：AC＝BF. A E F B D C 6.如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC为直角边向外做等腰直角三角△形ABD和△ACE，F 为BC边上中点，FA的延长线交DE于点G，求证：①DE＝2AF；②FG⊥DE． D G E A B F C

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初中几何辅助线解题举例大全(最全版) 三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义）在△DBE 与△CAE 中 ∵?? ???=∠=∠∠=∠)()() (已知已证公共角AC BD CAE DBE E E ∴△DBE ≌△CAE （AAS ） ∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）二、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CE 与 ∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。 ∵BE ⊥CF （已知） D A E F 1 2 A B C D E 1 7-图O

∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义）在△BEF 与△BEC 中， ∵ ?? ???∠=∠=∠=∠)() () (21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC （ASA ）∴CE=FE= 2 1 CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE ⊥CF （已知） ∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中 ?? ? ??∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC ∴△ABD ≌△ACF （AAS ）∴BD ＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD ＝2CE 四、取线段中点构造全等三有形。分析：由AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，想到如取AD 的中点N ，连接NB ，NC ，再由SAS 公理有△ABN ≌△DCN ，故BN ＝CN ，∠ABN ＝∠DCN 。下面只需证∠NBC ＝∠NCB ，再取BC 的中点M ，连接MN ，则由SSS 公理有△NBM ≌△NCM ，所以∠NBC ＝∠NCB 。问题得证。证明：取AD ，BC 的中点N 、M ，连接NB ，NM ，NC 。则AN=DN ，BM=CM ，在△ABN 和△DCN 中 ∵ ?? ???=∠=∠=)() () (已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN ∴△ABN ≌△DCN （SAS ） ∴∠ABN ＝∠DCN NB ＝NC （全等三角形对应边、角相等）在△NBM 与△NCM 中 ∵?? ???)()() (公共边＝辅助线的作法＝已证＝NM NM CM BM NC NB 1 11-图D C B A M N

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