中科大少年班数学考试专题练习-初等数论

，，

是整数）.ABC

(2)ABC的面积

【分析】（1）根据方程可得两根分别为

2）根据（

1）

因为关于x的方程

故ABC 为直角三角形，(1

2

ABC

S

=

．求能使2【答案】不存在两整数平方之和为【分析】根据整除性的性质可得

【详解】22m mn -5mn m n -+(2m m n +-又1m n ≥≥,∴m -2m n ==,．求证：对于正整数和无穷多个偶数（【答案】证明见解析212101100M M b c c c +，

2

(2)

11

N d ∈Q ，矛盾！

同理可证明数列中有无穷多个偶数．

中有无穷多个奇数和无穷多个偶数． {}2020

arctan

x x k

=（这里

完整word版,高中数学竞赛辅导-初等数论(不定方程)

不定方程 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题. 1．几类不定方程 （1）一次不定方程 在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程 )0,0(,0≠>=++b a c by ax ①通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有 如下定理. 定理一：二元一次不定方程c b a c by ax ,,,=+为整数.有整数解的充分必要条件是c b a |),(. 定理二：若00,,1),(y x b a 且=为①之一解，则方程①全部解为at y y bt x x -=+=00,. （t 为整数）。 （2）沛尔)(pell 方程 形如12 2 =-dy x （*d N ∈，d 不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的 解，则其的全部正整数解由111111111[()()]2)()] n n n n n n x x x y x x ?=+-?? ??=-?? （1,2,3,n =L ）给 出. ①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ②n n y x , 满足的关系：1(n n x y x y +=+；112 11222n n n n n n x x x x y x y y ----=-?? =-? ， （3）勾股方程2 2 2 z y x =+ 这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素. 这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。容易看出y x ,一奇一偶，无妨设y 为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。 定理三：方程2 2 2 z y x =+满足1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为 2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且

初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第22章[x]与{x}试题新人教版

第22章[]x与{}x 求1-的值． 解析因为 1200712006 +， 又 =<， 所以200612007 <． 故12006 =． 若n是正整数，求的值． 解析因为3321 n n n n <+++ ()3 32 3311 n n n n <+++=+， 所以1 n n <=+， 所以n =． 数1232008 A=????的末尾有多少个连续的零? 解析A的质因数分解式中，5的最高次方幂为 40080163499 =+++=， 所以1232008 A=????的末尾有499个零． 评注在() !12 n n =???中，质数p的最高次幂是 () 2 ! m n n n p n p p p ?????? =+++ ?????? ?????? ， 其中m p n ≤，且1m p n +>． 设 222 111 1 232007 S=++++，求[]S． 解析要求[]S，只需证明S介于两个连续的整数之间．所以需要对S进行适当的变形，通过放大、缩小 的手段求出S的范围，从而确定[]S的取值． 由题设知，1 S>．考虑到 () 2 1111 11 k k k k k <=- -- ，k=2，3，4，…，2007，可以得到

1222007 =-<， 所以[]1S =． 评注 上述解题过程中，首先对S 进行了“放缩”，又通过“拆项”的方法使和式中前后两项能够相互抵消一部分，使和式化简，从而得到了S 的范围． 在对和式取整时，利用和式本身的性质进行“缩放”的方法非常重要，需要在平时的学习中多积累一 些和式的性质以及变形技巧． 计算和式 的值． 解析 因为（23，101）=1，所以，当1,2,,100n =时，23101n 都不是整数，即23101n ?????? 都不为零．又因为 ()2310123101101 n n -+ =23， 而()231012302101101n n -????<+

中科大少年班考试内容

中科大少年班考试内容 中科大少年班考试内容 背景介绍 •中科大少年班是中国科学技术大学主办的面向中学生的优秀培养项目。 •考试内容是选拔学生的重要标准之一。 数学 •数学是中科大少年班考试中的重点科目之一。 •数学考试内容主要包括： 1.算术运算：四则运算、整数、分数、小数等的运算。 2.代数与方程：函数、方程、不等式等的基本概念与运算。 3.几何与图形：点、线、面的基本概念、三角形、多边形的 性质等。 4.数据与统计：数据图表的解读与分析、概率与统计的基本 概念。 物理 •物理是中科大少年班考试中的重要科目之一。

•物理考试内容主要包括： 1.力学：运动学、静力学、动力学等基本概念和公式的掌握 与运用。 2.热学：温度、热量、热传导等基本概念和公式的理解与应 用。 3.光学：光的传播与反射、折射等基本概念和现象的了解与 分析。 4.电学：电流、电压、电阻等基本概念和电路的组成与分析。化学 •化学是中科大少年班考试的一门重要科目。 •化学考试内容主要包括： 1.元素与化合物：元素的周期表、化合物的命名与反应等的 掌握与应用。 2.反应与平衡：酸碱中和反应、氧化还原反应等的基本概念 与原理的理解。 3.物质的结构与性质：分子结构、化学键、物质性质的了解 与分析。 4.化学实验：常见实验操作、实验室安全等的掌握与应用。

总结 •中科大少年班的考试内容涵盖了数学、物理和化学等多个科目。•考试内容旨在选拔具备创造力和独立思考能力的优秀学生。•学生在备考过程中应重点关注各科目的基础知识和理解能力的培养。 注意：以上内容仅供参考，具体考试内容以中科大少年班官方发布为准。

初中数学培优暨强基计划专题讲座16：初等数论解题方法导引讲座

初中数学培优暨强基计划专题讲座—— 第十六讲 初等数论解题方法导引 方法导引 专题1 数的表示 1、若k 个连续正整数之和为2010，则k 的最大值是 ． 解：设(1) 2010(1)(2)()2 k k n n n k kn +=++++ ++=+ ，则(21)4020k n k ++=， 注意21k n k <++，而2 402023567=⨯⨯⨯，为使k 值最大，当把4020表成最接近的一对因数之积，为40206067=⨯，所以60k =． 2、正整数n 满足以下条件：任意n 个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n 。 解：由于2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43这14个合数都小于2009且两两互质，因此n ≥15。 而n =15时，我们取15个不超过2009的互质合数1215,, ,a a a 的最小素因子1215,,,p p p ，则 必有一个素数≥47，不失一般性设1547p ≥，由于15p 是合数15a 的最小素因子，因此 21515472009a p ≥≥>，矛盾。因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素 数。综上所述，n 最小是15。 3、若两个实数a,b,使得,2 a b +与2 a b +都是有理数，称数对(a,b )是和谐的。 ①试找出一对无理数，使得(a ，b )是和谐的； ②证明：若(a ，b )是和谐的，且a +b 是不等于1的有理数，则a ,b 都是有理数； ③证明：若(a ，b )是和谐的，且 a b 是有理数，则a ,b 都是有理数； 解：①不难验证11 (,),22 a b =是和谐的。 ②由已知2 2 ()()()(1)t a b a b a b a b =+-+=-+-是有理数，a b s +=是有理数，因此 1 t a b a b -= +-，解得121t a s s ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是有理数，当然b =s −a 也是有理数。

高考数学应试技巧之初等数论

高考数学应试技巧之初等数论高考数学是高考考试中最为重要的一科，数学成绩对于考生的总成绩起着举足轻重的作用。而在数学中，初等数论作为数学的一个分支，是高考试题中的重要方面之一。 初等数论是指对于自然数的性质研究，常常涉及到质数、因数分解、同余、递推等概念。在高考数学试卷中，初等数论的应用非常广泛。因此，考生需要掌握一些初等数论的应试技巧。 一、质因数分解 质因数分解是初等数论中最重要的应试技巧之一。在高考试题中，经常会涉及到质因数的概念，例如求最大公约数、最小公倍数等。 对于一个自然数，它可以分解成多个质数的积，例如 36=2×2×3×3，80=2×2×2×2×5。利用这个性质，可以对一个较大的数进行因数分解，然后利用质因数分解的结果求最大公约数或最小公倍数。

二、同余模运算 同余模运算也是初等数论中常见的应试技巧之一。在高考数学试卷中，常常会涉及到同余模运算，例如求方程的解。 同余模运算是指在模n的情况下，两个数的余数相等。例如：3≡1(mod2)，表示3除以2的余数与1除以2的余数相等，即它们在模2的情况下是同余的。 三、数列与递推 数列和递推也是初等数论中的一个重要内容。在高考数学试卷中，常常会涉及到数列和递推的问题。 数列是指按照一定规律排列的一组数，而递推是指按照一定的递推公式计算数列的下一项。 例如，有一个数列：1，2，4，7，11，16，22，……。观察这个数列可以发现，它前面的项相加后得到后一项。因此，这就是

一个递推数列。利用递推公式可以计算出这个数列的任意一项，同时也可以计算出这个数列的前n项和。 四、题目分析 在高考数学试卷中，有许多初等数论的应用题。这些题目需要考生灵活运用各种初等数论的知识和技巧进行分析和解题。 例如，有一个数学问题：一个自然数的平方加上1是另外一个自然数的三次方，求这两个数。这个问题看似难解，但通过对题目的分析和运用初等数论的知识可以得到这两个数的解。 总之，初等数论是高考数学试卷中的一个重要内容。掌握一些应试技巧能够对考生在考试中取得好成绩起到积极作用。因此，考生需要加强对初等数论的学习和掌握，提高应试技巧。

浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文

浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文 浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文 1小学教育专业开设初等数论课程的必要性 初等数论是一门古老的数学基础学科，主要研究整数的基本性质，它的理论和方法已广泛用于现代密码学、算子理论、最优设计、组合代数及信息科学等诸多领域.师范院校小学教育专业开设的初等数论课程作为一门专业主干课程，主要研究整数的整除与同余及不定方程，其中的许多内容如整除、约数、倍数、分解质因数等概念和性质都是现行小学数学的主要内容，对小学数学的教学和研究具有重要的指导作用，而小学教育专业的数学类课程设置的目标是为了培养合格的小学数学教师，所以小学教育专业开设初等数论课程很有必要。 由于初等数论要求论证严格，所以它是进行思维训练的有效工具，学习初等数论能发展学生的逻辑数学思维能力。 数论的许多问题本身很容易弄懂，容易引起人们的兴趣，例如哥德巴赫猜想，但要想解决却非常困难。古今中外许多数学家都是由于被数论问题吸引而投身数学研究，并做出了巨大的贡献，在初等数论课程中有许多简明而又具创造性的问题，它们都是培养学生创造性的很好材料，所以学习初等数论能激发学生对数学的兴趣和创造力。 2小学教育专业初等数论课程例题和练习题的重要性 例题和练习题是初等数论教材的重要组成部分，例题是实现课程目标、实施教学的重要资源，具有示范引领、揭示方法、介绍新知、巩固新知、思维训练等功能，而练习题则是将所学的知识进行应用的一个载体，也是教师检查学生学习状况的一个手段，所以初等数论课程的例题和练习题的选择很重要.当前高等院校数学系所开设的初等数论课程所用的教材虽然由于使用的时间长教材所配置的例题和练习题大部分比较合适，但也存在例题和练习题都偏少且练习题难度偏大和基础性的题目所占比例太小等问题[}z}，更何况小学教育专业是最近几年开设的新专业，所用的教材也是近几年编的，大部分的教材在教材内容的选取上比较适合小学教育专业，但例题和练习题的配置大部分

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题15 初等数论(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题15 初等数论 （50题竞赛真题强化训练） 一、填空题 1．（2020·浙江·高三竞赛）将1~2020的数字按顺时针方向围成一个圆圈，然后从1开始，按顺时针依次隔一个数拿走，即拿走1，3，5，…，这个过程一直进行下去，直到剩下最后一个数字，则最后剩下的数字是___________. 【答案】1992. 【解析】 【详解】 在第一轮中，从1开始到拿走1991，共取走996个数，此时余下1024个数， 1991后一项偶数为1992，此后共取10次，余下的数为1992， 故答案为:1992. 2．（2021·全国·高三竞赛）关于x 、y 的方程1111 2007 x y xy ++=的正整数解(,)x y 的个数为________． 【答案】48 【解析】 【详解】 解析：由11112007x y xy ++=得2007200720070xy x y ---=，整理得 32(2007)(2007)2007200823223251x y --=⨯=⨯⨯⨯， 从而，原方程的正整数解有(31)(21)(11)(11)48++++=（个）． 故答案为：48. 3．（2021·全国·高三竞赛）{}n a 为正整数列，满足112,n a a +=为213133n n a a -+的最小素因子， 12,,,,n a a a ，构成集合A ，P 为所有质数构成的集合，则集合P A 的最小元素为 ___________． 【答案】5 【解析】

由于122,3a a ==，故2,3A ∈，所以集合P A -的最小元素5≥． 假设存在正整数n ，使得5(3)n a n =≥，则2 11513133n n a a ---+， 故()2 1512n a -++，这不可能，因为()2 12n a ++除以5的余数为1,3， 所以5P A ∈-．集合P A -的最小元素为5． 故答案为：5. 4．（2021·全国·高三竞赛）质数p 和正整数m 满足32(2)1p m p m p ++=++，则 p m +=___________. 【答案】7 【解析】 【详解】 由()22 1(1)p p m m +-=-，易见1m ，所以1p m -. 设()1m kp k N +-=∈，则()2222 ,,(1)p p kp k p p k k p k k +=+==-. 所以2k =，2,5p m ==，7p m +=. 5．（2021·浙江·高三竞赛）已知集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，n 为正整数.若对任意的1i j n ≤≠≤， i j a a -被4整除，但不被16整除，则n 的最大值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】 考虑同余： 对任意的1,i j i j n a a ≤≠≤-被4整除,则有(mod 4)i j a a k ≡≡,其中{0,1,2,3}k ∈, 而这类型的数模16的余数至多只有4种,所以n 最大值为4. 故答案为：4. 6．（2021·浙江·高二竞赛）设数列123n n n a a a +⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，1n =，2，…，7这里[]x 表示不超过x 的最大整数.若88a =，则正整数1a 有______种可能的取值情况.

中科大少年班试卷

中科大少年班试卷 摘要： 一、引言 1.中科大少年班的背景与意义 2.中科大少年班试卷的难度与选拔标准 二、中科大少年班的发展历程 1.成立初衷 2.发展现状 3.社会影响力 三、中科大少年班试卷的难度分析 1.选拔对象的年龄特点 2.考试科目的广度和深度 3.与其他高校选拔试题的对比 四、中科大少年班试卷的选拔标准 1.学术能力 2.创新思维 3.心理素质 五、中科大少年班的教育模式与成果 1.因材施教的教育理念 2.优秀的师资力量 3.毕业生的发展前景

六、对我国青少年教育的启示 1.培养青少年创新思维 2.注重青少年个性化发展 3.提高青少年心理素质 正文： 一、引言 中国科学技术大学（简称中科大）少年班，作为我国首个针对青少年英才的培养项目，自1978 年成立以来，一直备受关注。中科大少年班选拔的试卷，因其高难度和选拔标准严格而成为热门话题。本文将对中科大少年班试卷的难度及选拔标准进行深入分析，并探讨其对我国青少年教育的启示。 二、中科大少年班的发展历程 1.成立初衷 中科大少年班成立之初，是为了选拔和培养我国优秀的青少年科技人才。这一特殊教育模式旨在为有天赋的青少年提供一个提前接受高等教育的机会，使他们能在自己感兴趣的领域迅速成长，为国家和社会作出贡献。 2.发展现状 经过四十多年的发展，中科大少年班已经形成了一套成熟的教育模式，培养出了大量优秀的科技人才。如今，中科大少年班已成为我国教育界的一面旗帜，得到了广泛的认可和赞誉。 3.社会影响力 中科大少年班的成功，激发了社会对青少年英才培养的关注和重视。许多高校纷纷效仿，开设了类似的英才班，为有天赋的青少年提供了更多的发展机

初等数论整除练习题

初等数论整除练习题 初等数论是数学中的一个分支，主要研究自然数的性质和整数的性质。在初等 数论中，整除是一个重要的概念。整除是指一个数能够被另一个数整除，也就 是能够被另一个数整除的数称为这个数的倍数。 在初等数论中，整除的性质和应用非常广泛。下面我将通过一些练习题来帮助 大家更好地理解和应用整除的概念。 1. 练习题一：判断是否整除 题目：判断以下数能否被2整除：12、17、20、25、30。 解析：能否被2整除就是判断一个数是否为偶数。偶数的特点是个位数为0、2、4、6、8。因此，我们可以逐个判断这些数的个位数是否满足这个条件。 答案：12、20、30可以被2整除，17、25不能被2整除。 2. 练习题二：最大公约数 题目：求以下两组数的最大公约数：（a）12和18；（b）24和36。 解析：最大公约数是指能够同时整除两个数的最大正整数。我们可以通过列举 两个数的所有因数，然后找出它们的公共因数，再从中找出最大的那个。 答案：（a）12和18的公约数有1、2、3、6，其中最大的是6，所以最大公约 数为6。（b）24和36的公约数有1、2、3、4、6、8、12，其中最大的是12，所以最大公约数为12。 3. 练习题三：最小公倍数 题目：求以下两组数的最小公倍数：（a）8和12；（b）15和20。 解析：最小公倍数是指能够同时被两个数整除的最小正整数。我们可以通过列 举两个数的倍数，然后找出它们的公共倍数，再从中找出最小的那个。

答案：（a）8和12的倍数有8、16、24、32、40、48，其中最小的是24，所 以最小公倍数为24。（b）15和20的倍数有15、30、45、60、75、90，其中 最小的是60，所以最小公倍数为60。 4. 练习题四：素数判断 题目：判断以下数是否为素数：13、21、29、35、41。 解析：素数是指只能被1和自身整除的数，大于1的自然数中只有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41等为素数。我们可以逐个判断这些数 是否能被这些素数整除。 答案：13、29、41是素数，21、35不是素数。 初等数论中的整除是一个非常重要的概念，它不仅在数论中有着广泛的应用， 也在其他数学分支中发挥着重要的作用。通过以上练习题的训练，我们可以更 好地掌握整除的性质和应用，提高数学解题的能力。 总结起来，初等数论中的整除是一个重要的概念，它在数学中有着广泛的应用。通过练习题的训练，我们可以更好地理解和应用整除的概念，提高数学解题的 能力。希望大家能够通过学习初等数论，更好地理解和应用整除的知识。

数学竞赛筑阶系列讲座02—初等数论之二 (1)

数学竞赛筑阶系列讲座——初等数论之二 讲解人：凌 彬 姓名__________ 专题二：奇数与偶数 一、基本知识 奇数的特征：它被2除得的余数是1；即任何奇数都是21n +的形式，其中n Z ∈． 偶数的特征：它被2除得的余数是0；即任何偶数都是2n 的形式，其中n Z ∈． 奇数与偶数的一个最明显的性质是：任何奇数决不会与一个偶数相等． 奇数与偶数还有几条运算性质： 1．奇数与奇数的和是偶数；2．奇数与偶数的和是奇数；3．偶数与偶数的和是偶数； 4．奇数与奇数的积是奇数；5．奇数与偶数的积是偶数；6．偶数与偶数的积是偶数． 几个常用的结论： 1．两个连续整数的积(1)n n +是偶数； 2．整数a 的幂n a 与a 奇偶性相同； 3．整数a 和b 有“a b ±”与“n n a b ±”的奇偶性相同． 这些性质都是很平凡的，但灵活地应用它们却能解决许多问题，包括看上去“无从下手”的问题；下面给出的一些例子，解答除了应用奇偶性之外，还包含了一些非常有用的解题思想；利用奇偶性解题的方法叫奇偶性分析法．这个方法是数学竞赛中特别活跃的方法之一． 二、例题选讲 例1．证明：不存在整数x 、y 满足：221990y x =+． 例22 例3．证明：不存在这样的整数a 、b 、c 、d ，使得abcd a -、abcd b -、abcd c -、abcd d - 都是奇数．

例4．证明：改变一个自然数各位数码的顺序后得到的数，与原数之和不能等于1989 99 9． 例5．设129, , , a a a 是正整数，任意改变这九个数顺序后记为129, , , b b b ； 证明：112299()()()A a b a b a b =---是偶数． 例6．平面上有15个点，任意三点都不在一条直线上，试问：能不能从每个点都引三条线段， 且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论． 例7．已知一奇数β，使得整系数二次三项式2ax bx c ++的值2a b c ββ++也是奇数，其中c 是 奇数；求证：方程20ax bx c ++=没有奇数根． 例8．圆周上有1989个点，给每一个点染两次颜色：或红、蓝，或全红，或全蓝；最后统计知； 染红色1989次，染蓝色1989次．试证：至少有一点被染上红、蓝两种颜色． 例9．黑板上写着三个整数，任意擦去其中的一个，将它改写成为其它两数的和减去1；这样继 续下去，最后得到19，2007，2009，问原来的三个数能否是2，2，2．

三套大学初等数论期末考试试卷

期末考试卷(A) 一、填空题（每空3分，共45分） 1. 若a ︱b ，b ＜a ，则b= ；a ︱b ，b ︱a ，则a= 。 2. (36，108，204)= ；[30，45，84]= 。 3. 300 000的质因数标准分解为 ，它的所有正约数的个数 是 ，所有正约数的和是 。 4. 。 5. 四位数b a 27能同时被2，3，5整除，则a= ；b= 。 6. 用m ϕ（)表示数0,1,2,1m -中与数m 互质的数的个数，则 ϕ（20)= ，ϕ（120)= 。 7. 循环小数0.01001001000100010001……的循环节的长度h= 。 8. 已知费马（Fermat ）数为2F 21n n =+，n N ∈，则前四个费马质数是 。 9. 设今天是星期一，则10 2天后是星期 。 二、从0、3、5、7四个数中任意选三个，排成能同时被2、3、5 整除的三位数，求这样的三位数，且确定有多少个这样的三位数。（7分） 三、（16分） 1、求4063的个位数。

2、 求 1001006 ！约分后的分母。 四．解方程（16分）。 ＝0 ； 2. 525x ＋231y=42。 五．证明题、（16分） 1. 求证：77733337|(333777) 。

2．设p为质数，a为整数，且a2≡b2(mod p)，证明：a≡b(mod p)或a≡-b(mod p)。 中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考讧 数学专业初等数论试题 2007年7月 一、单项选择题(每题4分，共24分) 1．如果b，d，e，b，则( )． A．a＝b B．a＝-b C．a≥b D．a＝±b 2．如果2|n, 15|n，则30( )n． A. 整除B．不整除 c. 等于D．不一定 3．大于10且小于30的素数有( )． A．4个B．5个 C 6个D．7个 4．模5的最小非负完全剩余系是( )． A．一2，一1，O，1，2 B．一5，一4，一3，一2，一1 C．1，2，3，4，5 D．0，1，2，3，4 5．如果( )，则不定方程ax+by＝c 有解． A．(a，b)|c B．c|(a，b) C．a|c D．(a，b)|a 6．整数637693能被( )整除． A．3 B．5 C．7 D．9 二、填空题(每题4分，共24分) 1．x=[x]+ · 2．同余式111x≡75(mod321)有解，而且解的个数． 3．在176与545之间有是17的倍数． 4．如果ab>o，则[a,b](a,b)= · 5. a,b的最小公倍数是它们公倍数的· S．如果(a，b)＝1，那么(ab，a+b)= ． 三、计算题(共32分) 1．求(336，221，391)＝? 2．求解不定方程4x+12y=8． 3．解同余式12x+4≡0(mod 7)． 4．解同余式x2≡2(mod 23) 四、证明题(第1小题10分，第2小题10分，共20分) 1．如果(a,b)＝1，则(a十b，a-b)＝l或2． 2．证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数． 试卷代号：1077 中央广播电视大学2006—2007学年度第二学期“开放本科”期末考试 2007年7月 一、单项选择题(每题4分，共24分) 1．B 2．D 3．B 4．A 5．D 6．A 二、填空题(每题4分，共24分) 1．{x} 2．3 3．12

初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第19章整数的整除性(下半部分)试题新人教版(2021年整理)

第19章 整数的整除性 综上可知，命题成立． 评注如果两个互质的正整数之积是一个完全平方数，则这两个正整数都是完全平方数．这一命题是我们证明此题的出发点． 19．4．27★★★如果正整数、、满足． 证明:数和都可以表示为两个正整数的平方和． 解析 巧妙运用下述命题：如果正整数可表示为两个正整数的平方和,则也可表示 为两个整数的平方和．事实上，设，这里、、都是正整数．则 ．于是，可表示为两个整数和的平方和，命题获证． 注意到，由条件有 ． 利用已证命题，可知 ． 记，，由可知、都是正整数，并且 ．若、不同为偶数，则由平方数或，可知或，这是一个矛盾．所以，、都是偶数，从而 ,这就是 要证的结论． 评注 这里本质上只是恒等式 的应用，在处理竞赛问题时，代数式变形能力显得十分重要． 19．4．28是否存在正整数、使得是完全平方数？ 解析 分如下三种情形讨论： （1）若m 、都是偶数，则，，所以 ， 故此时不是完全平方数． （2）若、都是奇数，则，，所以 ， 故此时不是完全平方数． （3）若、是一奇一偶，不妨设是奇数，是偶数，则，，所以,故此时不是完全平方数． 综上所述，对于任意正整数、，正整数都不是完全平方数． 评注 判断一个数不是完全平方数，我们也可以用“模”的方法，例如,我们知道，偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1，所以，若一个整数同余2或者3模4，则它一定不是完全平方数;类似地，若一个整数同余2模3，则它一定不是完全平方数;一个整数同余2、3模5，则它一定不是完全平方数等等． 其实，考虑末位数也是用“模"的方法，即模10． a b c 222 c a b =+2c ab +2 c ab -x 2x 22 x u v =+x u v ()()2 2 22222xu v u v u v =+=++-2x u v +u v -() ()2 2222222c a b c a a b b c a b ±=+±+=+±() ()()2 2 2 4c a bc a b c a b ±=+±+-c a b x +±=c a b y -=222 c a b =+ x y ()2224c a b x y ±=+x y ≡()1m o d42 2 1x y +≡()2m o d4x y 222 22x y c a b ⎛⎫⎛⎫±=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()()()2 2 22 2uv u v u v +=++-m n 331m n a =++m n ()31m o d 4m ≡()31m o d 4n ≡()3313m o d 4m n a =++≡a m n ()33m o d 4m ≡()33m o d 4n =()3313m o d 4m n a =++≡a m n m n ()33m o d 8m ≡ ()31m o d 8n ≡()3315m o d 8m n a =++≡a m n 331m n a =++

2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第三篇 初等数论 第20章 同余试题 新人教版

2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第三篇 初等数论 第20章 同余试题 新人教版 20.1.1★(1)证明：任意平方数除以4，余数为0或1； (2)证明：任意平方数除以8，余数为0、1或4． 解析 (1)因为 奇数()2 22214411(mod 4)k k k =+=++≡， 偶数， 所以，正整数 (2)奇数可以表示为，从而 奇数()22441411k k k k =++=++． 因为两个连续整数、中必有一个是偶数，所以是8的倍数，从而 奇数． 又，偶数(为整数)． 若偶数，则． 若奇数，则 ()()2 2244211644(mod8)k t t t =+=++≡． 所以，平方数()()()0mod8,1mod8,4mod8. ⎧⎪≡⎨⎪⎩ 评注 事实上，我们也可以这样来证：因为对任意整数，有，±1，2()，所以，，1()；又0，±1，±2，±3，4()，所以，0，1，． 20.1.2★求证：一个十进制数被9除所得的余数，等于它的各位数字被9除所得的余数． 解析 设这个十进制数． 因101()，故对任何整数≥1，有 ． 因此 1110101010n n n n a a a a --=⨯+⨯+ +⨯+ ()110mod9n n a a a a -≡++++． 即被9除所得的余数等于它的各位数字之和被9除所得的余数． 评注 (1)特别地，一个数能被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除．(2)算术中的“弃九 验算法”就是依据本题的结论． 20.1.3★★求证：(1)； (2)； (3)． 解析 (1)因，所以 ，

()19995517117160mod8+≡-+=≡， 于是． (2)因为，，所以，即 ． (3)因为，，所以 ()()()25025010004191911mod17=≡-≡， 于是 ． 20.1.4★★对任意的正整数，证明：2903803464261n n n n A =--+能被1897整除． 解析 ，7与271互质．因为 ，， ，， 所以()290380346426155220mod7n n n n n n n n A =--+≡--+=，故7| 又因为 ， ， ， 所以 2903803464261n n n n A =--+ ()1932611932610mod271n n n n ≡--+=，故271| 因(7，271)=1，所以1897整除． 20.1.5★证明：能被7整除． 解析 因为，， 所以 ()22222222222205555444162mod 7≡≡⋅≡≡． 因为 ，，，所以 ． 于是 ()()()222255555555222225mod 70mod 7+≡+≡， 即 ． 20.1.6★★求最大的正整数，使得能被整除． 解析 因为 ()()() ()()1024512256112831313313131+-=+++-，① 而对于整数≥1，有 ()()2231112mod4k k +≡-+=， 所以，①式右边的11个括号中，(3+1)是4的倍数，其他的10个都是2的倍数，但不是4的倍数．故的最大值为12．

大学数学初等数论

大学数学初等数论 在数学的学习中，数论是一个非常重要的分支，它研究的是数的性质和规律。在大学数学中，初等数论是数论的基础课程，它主要包括了以下几个方面的内容： 整除性理论：整除性理论是数论的基础，它主要研究的是整数之间的除法性质。通过研究素数和分解定理，我们可以更好地理解整数的内部结构和性质。 同余理论：同余理论是数论的核心内容之一，它主要研究的是整数之间的同余关系。通过研究同余方程和模逆元，我们可以解决许多与整数相关的问题。 椭圆曲线理论：椭圆曲线理论是数论的一个重要分支，它主要研究的是椭圆曲线上的点的性质和规律。椭圆曲线是一个非常复杂的对象，但通过一些特定的方法和技巧，我们可以找到它的内部结构和性质。密码学应用：数论在密码学中有着广泛的应用。例如，RSA加密算法就是基于数论中的一些特殊性质和规律设计的。通过学习数论，我们可以更好地理解密码学的原理和方法。 在学习初等数论的过程中，我们需要掌握一些基本的数学知识和方法，

如代数、分析、几何等。我们还需要具备一些基本的数学素养，如逻辑推理、抽象思维、证明能力等。只有具备了这些基础和能力，我们才能够更好地理解和掌握数论的基本概念和原理。 大学数学初等数论是一门非常重要的课程，它不仅可以帮助我们更好地理解整数的基本性质和规律，还可以在密码学等领域中有着广泛的应用。通过学习这门课程，我们可以提高自己的数学素养和思维能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。 中学数学奥林匹克是培养学生数学兴趣和选拔数学人才的重要途径。其中，初等数论问题作为数学奥林匹克中的重要组成部分，可以有效提高学生的数学能力和逻辑思维能力。本文将对中学数学奥林匹克中的初等数论问题进行深入研究，探讨其背景、特点及解决方法。 初等数论是数学的基础分支之一，主要研究整数的性质和结构，以及它们之间的相互关系。中学数学奥林匹克中的初等数论问题，主要涉及以下几个方面： 整除与因数分解：研究整数的整除性质和因数分解的方法，以及它们在数学奥林匹克中的应用。 质数与合数：研究质数和合数的性质与判定方法，探讨质数在数学奥

初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第21章不定方程试题新人教版

第 21 章 不定方程 § 21.1 二元一次不定方程 21.1.1 ★求不定方程 x y 2 的正整数解． 解析 因为 3 1 2， 4 2 2， 5 3 2，⋯，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是 x n 2, y n, 其中 n 可以取一切正整数． 21.1.2 ★求 11x 15y 7 的整数解． 解析 1 将方程变形得 7 15y x ． 11 因为 x 是整数，所以 7 15y 应是 11的倍数．由观察得 x 0 2， y 0 1是这个方程的一组整数解， 所以方程的解为 x 2 15t, t 为整数． y 1 11t, 解析 2 先考察 11x 15y 1 ，通过观察易得 11 4 15 3 1 ， 所以 11 4 7 15 3 7 7 ， 可取 x 0 28 ， y 0 21．从而 评注 如果 a 、 b 是互质的整数， c 是整数，且方程 ax by c ① 有一组整数解 x 0、 y 0 ．则此方程的一切整数解可以表示为 x x 0 bt, y y 0 at, 其中 t 0，± 1，± 2，± 3，⋯． 21.1.3 ★求方程 6x 22y 90 的非负整数解． 解析 因为（6 ， 22）=2 ，所以方程两边同除以 2 得 3x 11y 45 ． ① 由观察知， x 1 4 ， y 1 1是方程 3x 11y 1 ② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 28 21 15t , t 为整数．

x 0 45 4 180, y 0 45 1 45, 所以方程①的一切整数解为 x 180 11t, y 45 3t. 因为要求的原方程的非负整数解，所以必有 180 11t ≥ 0, ③ 45 3t ≥ 0.④ 由于 t 是整数，由③、④得 15≤ t ≤16，所以只有 t 15，t 16 两种可能． 当 t 15 时， x 15 ， y 0 ；当 t 16 时， x 4， y 3 ．所以原方程的非负整数解是 x 15, x 4, y 0, y 3. 21.1.4 ★求方程 7x 19y 213的所有正整数解． 解析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数 的方法使系数变小，最后再用观察法求解． 用方程 x 25 19t, t 0, 1, 2, y 2 7t. 由于要求方程的正整数解，所以 25 19t 0, 2 7t 0. 解不等式，得 t 只能取 0，1．因此得原方程的正整数解为 x 25, x 6, y 2, y 9. 21.1.5 ★求方程 37x 107y 25 的整数解． 解析 因为107 2 37 33，37 1 33 4， 33 8 4 1． 为用 37 和 107 表示 1，我们把上述辗转相除过程回代，得 1=33- 8×4=37-4- 8×4=37- 9×4 =37-9 × (37-33)=9 ×33-8 ×37 =9×(107-2 ×37)-8 ×37=9×107-26 ×37 =37× (-26)+107 ×9, 由此可知 x 1 26， y 1 9是方程 37x 107y 1 的一组整数解．于是 x 0 25 26 650, y 0 25 9 225 7x 19y 213 ① 的最小系数 7 除方程①的各项， 并移项得 213 19y x 7 30 2y 3 5y 7 ．② 因为 x 、 y 是整数，故 3 5y 7 3 2u ．③ 5 u 也是整数，于是有 5y 7u 3 ． 再用 5 除此式的两边得 3 7u y 3 57u 令 3 2u 5 2u 5v 由观 察知 （ 整数 ） ，由此得 3． u ④ 1， v 1 是方程④的一组解．将 u 1代入③得 y 2． y 2代入②得 x =25．于 是方程①有一组解 x 0 25， y 0 2 ，所以它的一切解为