函数单调性的应用
函数单调性的应用
授课人：刘晓健
教学内容：函数单调性的应用
教学目的：利用单调性解决二次函数最值，含参数的函数问题，及解决抽
象函数问题。
教学重点：含参数问题的讨论，抽象函数问题。
教学难点：单调性的综合应用。
教学过程：
一 ．教材预知
1. 用定义证明函数单调性的步骤是（1） ，（2） ，
（3） ，（4） ，（5） 。
2. 若函数y=f(x)在某区间上是增（减）函数，则y=- f(x)在这个区间上为 函数；若函数y=f(x) 和 y=g(x)在某个公共区间上都是增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在这个区间上是 函数。
3. 若函数y=f(x) 在闭区间[a, b]上具有单调性，则它在这个区间上必取得最大值和最小值，当
f(x)在[a, b]上递增时，y max = ,y min = ;当f(x)在[a, b]上递减时, y max = ,y min = 。
二．基础自测
1. 已知f(x) , g(x)定义在同一区间上，f(x)是增函数，g(x)是减函数，且g(x)≠0，则（ ）
A. f(x) + g(x) 为减函数
B. f(x) - g(x)为增函数 C ．f(x)·g(x)是减函数 D. f(x) g(x) 是增函数 2. 函数y=f(x) 在R 上单调递增，且f(m 2)>f(-m)，则实数m 的取值范围是（ ）
A. (-∞,-1 )
B. ( 0,+∞)
C.(-1,0 )
D. (-∞,-1 )∪( 0,+∞)
3.已知x ∈[0,1]，则函数y=2x+2-1-x 的最大值为 ，最小值
为 。
三．例题精选
类型一 函数的最值问题
例1：函数f(x)= ax 2-2ax+2+b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a, b 的值.
解题过程（略）
点评：二次函数在某个区间[a ,b]上的最值只可能在两个端点或顶点处取得。
即时突破：已知函数f(x)= -4x 2+4ax-4a-a 2在[0,1]内有最大值-5，求a 的值。 类型二 已知单调性求参数值或取值范围 例2：已知函数f(x)=x-a /x+a /2在( 1,+∞)上是增函数，求实数a 的取值范围。 解题过程（略）
点评：已知函数f(x)在区间A 上是增（减）函数，确定某个与该函数有关的参数值或取值范围问题，基本思路是：（1）设x 1
即时突破：(1) 已知函数f(x)= x 2-2（1-m ）x+2的单调减区间是(-∞,4]，求实数m 的值。
(2)已知函数f(x)= x 2-2（1-m ）x+2在区间(-∞,4]上是减函数，求实数m 的取值范围。
类型三 利用函数的单调性解不等式
例3．已知f(x)是定义在R 上的函数，并且对任意x, y ，都有f(x+ y)=f(x)+f(y)-1成立，当x>0时，f(x)>1,
（1）证明f (x)在R 上是增函数;
（2）若f(4)=5,求f(2)的值;
（3）若f(4)=5，解不等式f (3 m 2-m-2)<3.
解题过程（略）
点评：本例中的（3）要解不等式，就必须寻找关于m 的不等式，即依据函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系。
即时突破：已知函数f(x)的定义域为（-1，1），且满足下列条件：
（1）f(x)=- f(-x);
（2）f(x)在定义域上单调递增；
（3）f (1-a)=- f(1-a2)<0
求实数a的取值范围。
四．课堂小结：
函数单调性是函数的一个重要性质，在研究函数时有着非常广泛的应用，应重点掌握下列三个方面的问题：
（1）利用函数的单调性比较函数值的大小。
（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化。
（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值。
专题5 导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)
〖专题5〗导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解 [典例1]讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间． 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1]讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．
2函数的单调性及其应用高三复习专题
函数的单调性 1.单调性与单调区间： 例1.下列函数中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的是（ ） A ．()f x =1x B ．()f x =2(1)x - C ．()f x =x e D ．()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数：①1 2y x =，②12 log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 例2.函数2()21 x f x x -= -的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________ 演变1. 函数()f x =__________ 例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________ 演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________ 2.利用单调性求参数范围： 例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ 演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________ 例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+
函数单调性的应用毕业论文
安阳师范学院人文管理学院 本科毕业论文（设计） 学号： 函数单调性的应用 系别 专业 班级 姓名 指导教师 2013年5月8日
摘要 函数单调性是函数的重要性质之一，同时也是解决实际问题求最值的重要方法。本课题从函数单调性的概念与定义入手，主要介绍函数单调性的若干性质和判别方法，然后深入探讨和总结单调性在数学领域的相关应用，继而联系实际，分析单调性在解决实际问题中的重要作用，从而总结出函数单调性所适用的条件，应用的围等。所以，无论是从研究教学来讲，还是实际应用来讲，研究函数的单调性都具有重要理论意义和现实意义。 关键词：函数单调性，判别，导数，应用 Abstract Monotonic function not only is one of the important natures of the function , but also is an important method for the practical problems. This project plan to start with the concept and definition of the function monotonicity, mainly introduces some properties of monotone functions and discriminant methods, and then further discussed and summarized monotonic related applications in the field of mathematics, and then contact with practice, analysis what’s the important role of monotonic in solving practical problems, thus summed the conditions applied, the application scope and so on. So, whether it is from research and teaching, or from its practical application, monotonicity also has important theoretical and practical significance. Keywords：Monotonic function,Distinguish,Derivative,Application
函数单调性的应用
函数单调性的应用 一、比较大小 例1 若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小. 解 依题意可知f (x )的对称轴为x ＝2， ∴f (－1)＝f (5). ∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (2) (3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错. 三、求参数的值或取值范围 例3 已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围. 解任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1 《函数单调性的应用》教案 一、教材分析-----教学内容、地位和作用 本课是北师大版新课标普通高中数学必修一第二章第三节《函数的单调性》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值。总课时安排为3课时，《函数单调性的应用》是本节中的第三课时。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、最值，比较两个函数值的大小或自变量的大小、求参变量的取值范围以及解函数不等式等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性的应用考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 在本节课是以函数的单调性的应用为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。 二、学情分析 教学目标的制定与实现，主要取决于我们对学习者掌握的程度。只有了解学习者原来具有的认知结构，学习者的准备状态，学习风格，情感态度等，我们才能制定合适的教学目标，安排合适的教学活动与评价标准。不同的教学环境，不同的学习主体有着不同的学习动机和学习特点。 我所教授的班级的学生具体学情具体到我们班级学生而言有以下特点：学习习惯不太好，需要不断的引导和规范；数学基本功不太扎实，演算不能做到又准又快；独立解决问题能力弱，畏难情绪严重，探索精神不足。只有少部分学生学习习惯良好，学风严谨，思维缜密。 三、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： (一)三维目标 1 知识与技能： （1）.会利用函数单调性求最值或值域. （2）.会利用函数单调性比较两个函数值或两个自变量的大小. （3）.会利用函数单调性求参变量的取值范围. （4）.会利用函数单调性解函数不等式. （5) .通过函数单调性应用的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力； 2 过程与方法： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过合作探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3 情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。。（二）重点、难点 重点：利用函数单调性求最值或值域，求参变量的取值范围 对数函数的单调性及其性质 一、相关内容 1、当0 2、选择题 1) 若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．122lg x x x >> B ．122lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．1 2lg 2x x x >> 2) 若b a ,是任意实数,且b a >，则（ ） A 22b a > B 1-b a D b a ??? ??0 B ．a 1－a >1 C ．log a (1－a )<0 D ．(1－a )2>a 2 6) 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100 7) 已知log 12b 函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“ 2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往 往还是考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值范围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围. 二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； 若a ＝)3 1(log 2 f ，b ＝)2 1 (log 3 f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞ 【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】 因为log 2 3 函数的性质——单调性 欧阳光明（2021.03.07） 【教学目的】使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤； 【重点难点】重点：函数的单调性的有关概念； 难点：证明或判断函数的单调性 一、增函数与减函数 ⒈增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2. ⑴若当x1 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集； ⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x 1,x 2那样的特定位置上，虽然使得 f(x 1)<(fx 2)，但显然此图象表示的函数不是一 个单调函数； ⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x 1)<(fx 2) 或f(x 1)>(fx 2) ”改为“f(x 1)≤(fx 2) 或f(x 1)≥(fx 2)”即可； ⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. ⒊ 例题 例1图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 练习：1、函数11-=x y 的增减性的正确说 法是： A ．单调减函数 B.在)0,(-∞上是减函数,在),0(+∞上是减函 导数应用：含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 函数单调性的应用 授课人：刘晓健 教学内容：函数单调性的应用 教学目的：利用单调性解决二次函数最值，含参数的函数问题，及解决抽 象函数问题。 教学重点：含参数问题的讨论，抽象函数问题。 教学难点：单调性的综合应用。 教学过程： 一 ．教材预知 1. 用定义证明函数单调性的步骤是（1） ，（2） ， （3） ，（4） ，（5） 。 2. 若函数y=f(x)在某区间上是增（减）函数，则y=- f(x)在这个区间上为 函数；若函数y=f(x) 和 y=g(x)在某个公共区间上都是增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在这个区间上是 函数。 3. 若函数y=f(x) 在闭区间[a, b]上具有单调性，则它在这个区间上必取得最大值和最小值，当 f(x)在[a, b]上递增时，y max = ,y min = ;当f(x)在[a, b]上递减时, y max = ,y min = 。 二．基础自测 1. 已知f(x) , g(x)定义在同一区间上，f(x)是增函数，g(x)是减函数，且g(x)≠0，则（ ） A. f(x) + g(x) 为减函数 B. f(x) - g(x)为增函数 C ．f(x)·g(x)是减函数 D. f(x) g(x) 是增函数 2. 函数y=f(x) 在R 上单调递增，且f(m 2)>f(-m)，则实数m 的取值范围是（ ） A. (-∞,-1 ) B. ( 0,+∞) C.(-1,0 ) D. (-∞,-1 )∪( 0,+∞) 3.已知x ∈[0,1]，则函数y=2x+2-1-x 的最大值为 ，最小值 为 。 三．例题精选 类型一 函数的最值问题 例1：函数f(x)= ax 2-2ax+2+b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a, b 的值. 解题过程（略） 点评：二次函数在某个区间[a ,b]上的最值只可能在两个端点或顶点处取得。 即时突破：已知函数f(x)= -4x 2+4ax-4a-a 2在[0,1]内有最大值-5，求a 的值。 类型二 已知单调性求参数值或取值范围 例2：已知函数f(x)=x-a /x+a /2在( 1,+∞)上是增函数，求实数a 的取值范围。 解题过程（略） 点评：已知函数f(x)在区间A 上是增（减）函数，确定某个与该函数有关的参数值或取值范围问题，基本思路是：（1）设x 1 浅谈函数单调性的应用 贵州省习水县第一中学袁嗣林 摘要：函数的单调性是函数的一条重要性质，本文概括、总结了五种方法判断函数的单调性. 同时对每种方法的特点及适用范围、注意事项采用举例的方式作了具体的介绍，这有助于读者更好地理解和掌握这些方法，从而能轻松的解决有关函数单调性的问题. 函数的单调性是函数的一条重要性质，反映了函数值的变化规律. 在高考中历考弥新，考查的深度远远高于课本。 在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集. 接下来我就来谈谈函数单调性的应用。 一、函数单调性的判别 单调性是函数最重要的性质之一．导数的引入虽然给单调性的研究带来了极大的方便，但是它并不能解决与单凋性有关的所有问题．本文结合近几年的试题谈谈判断单调性的几种方法。． 1.定义法（自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数） 例1 判断函数的单调性 解因为==，显然当为正数且逐 渐增加时, 也逐渐增加，则其倒数逐渐减小，即函数值逐渐减小，所以函数 在区间(0，+∞)上为减函数． 2.函数变换法 由上面的定义法我们不难得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若f(x)、g(x)都是单凋增(减)函数，则f(x)+g(x)也是单凋增(减)函数；若f(x)单凋递增，g(x)单凋递减，则f(x)-g(x)单调递增；若f(x)单凋递减，g(x)单凋递增，则f(x)-g(x )单调递减. 例2 判断函数的单调性. 解设，显然当x>0时，函数g(x)单凋递增，而函数f(x)单调递减．由上面的运算法则知函数f(X)在区间(0，+∞)上为增函数. 3.复合函数法 设函数f(x)由两个函数g(x)与h(X)复合而成，则g(x)与h(x)单调性相同时，f(x)单调递增；g( x)与h(x)单调性不同时，f(x)单调递减，即通常所说的同增异减．多层复合，依此类推． 例3已知函数y=f(x)的图象与函数的图象关于直线对称，记，若y=g(x)在区间[ 1/2，2]上是增函数，则实数a的取值范围( ) (A)（０，+∞） (B)（0，1)U(1，2) (C) (D) 解因为， 所以-1 函数x x y ln =的单调性及其应用 1 函数x x y ln = 的单调性及其相应的结论 用导数可证得： 定理1 (1)函数x x y ln = 在),e [],e ,0(+∞上分别是增函数、减函数(其图象如图1所示). 图1 (2)②当e b a ≤<<0时，a b b a <； ②当b a e <≤时，a b b a >； ③当10≤时，a b a b a b b a b a b a >=<,,均有可能． 2 定理1的应用 2.1 推广2014年高考湖北卷文科压轴题的结论 高考题1 (2014年高考湖北卷第22题)π为圆周率，e=2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数x x x f ln )(= 的单调区间； (2)(文)求3 e e 3 ,3,,e ,3,e ππππ这6个数中的最大数与最小数； (理)将3 e e 3 ,3,,e ,3,e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 下面给出这道高考题的解法． 解 (1)增区间为(0,e)，减区间为),e (+∞． (2)(文)由(1)的结论还可证得结论：当b a <≤e 时，a b b a >． 由此结论，得3e e 33,e ,3e ππππ>>>． 又由幂函数、指数函数的单调性，得e e 333,e e 3>>>>ππππ． 所以所求最大数与最小数分别是e 3,3π． (由此解法还可得结论：若e a b c ≤<<，则,,,,,b a c a c b a b a c b c 中的最大者、最小者分 别是,c a b b ．) (理)由(1)的结论可得e)0(e 1ln << 分段函数单调性及其应用 基本理论 函数???>≤=a x x f a x x f x f ),(,),()(2 1在R 上单调递增，则)(x f 满足两个条件： （1） )(1x f 在],(a -∞上单调递增，)(2x f 在),(+∞a 上单调递增； （2） ).()(21a f a f ≤ 数学应用 1.(直接应用）已知???≥<+-=1, log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是________________. ` 变式拓展：若函数x a x x x f 2)(+-=在R 上单调递增，求实数a 的取值范围. 已知函数.,1)(2 R a a x x x f ∈+-+=求)(x f 得最小值. 【 2（从反方向角度考查） 设? ??>-≤+-=,1,1,1,)(2x ax x ax x x f 若存在2121,,x x R x x ≠∈，使得)()(21x f x f =成立，求实数a 的取值范围. · 3（从数列问题函数化角度考查） 设数列)(7, ,7,4)2(*N n n a n n n a a n ∈?? ?<+≥++-=是递增数列，则实数a 的取值范围是_______________. 4.（从“间断点”处回归函数考查） 已知函数)(0,)3()4(,0),1()(22222R a x a x a a x x a k x k x f ∈?????<-+-+≥-+=.若对任意的非零实数1x ，都存在唯一的非零实数2x ，使得)()(21x f x f =成立，求实数k 的取值范围. 函数的性质——单调性 【教学目的】使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤； 【重点难点】重点：函数的单调性的有关概念； 难点：证明或判断函数的单调性 一、增函数与减函数 ⒈增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域I某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2. ⑴若当x1 ⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x 1)<(fx 2) 或f(x 1)>(fx 2) ”改为“f(x 1)≤(fx 2) 或f(x 1)≥(fx 2)”即可； ⑷定义的涵与外延：涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. ⒊ 例题 例1 图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 练习：1、函数1 1-=x y 的增减性的正确说法是： A ．单调减函数 B.在)0,(-∞上是减函数,在),0(+∞上是减函数 C. 在)1,(-∞是减函数,在),1(+∞是减函数 D.除1=x 点外,在),(+∞-∞上是单调递减函数 二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ， 当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0 例1、判断函数+= +x 2y x 1在(-1，+∞)上的单调性. 例2、求函数的单调区间 例3、已知函数f (x )＝a －1|x | .(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 二、应用函数的单调性：1．应用函数的单调性可求解的问题(1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小；(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系；(3)求解析式中参数的值或取值范围；(4)求函数的最值；(5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状. 例4(1)若f(x)为R 上的增函数，则满足f(2-m) 高一数学必修1 函数的单调性和奇偶性的综合应用 对称有点对称和轴对称： 数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。 1、函数的单调性：应用：若()y f x =是增函数，12()()f x f x > ? 1x 2x 应用：若()y f x =是减函数，12()()f x f x > ? 1x 2x 相关练习：若()y f x =是R 上的减函数，则(1)f 2(22)f a a ++ 2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b =+、k y x = 、2y ax bx c =++ 相关练习：若()f x ax =，()b g x x =-在(,0)-∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是 函数（增、减） 3、函数的奇偶性： 定义域关于原点对称，()()f x f x -= ? ()f x 是偶函数 定义域关于原点对称，()()f x f x -=- ? ()f x 是奇函数 （当然，对于一般的函数，都没有恰好()()f x f x -=±，所以大部分函数都不具有奇偶性） 相关练习：（1）已知函数21()4f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b (2)若2 ()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。 (3)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f = 。 (4)函数()y f x =的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像 O 点对称：对称中心O 轴对称： 4、单调性和奇偶性的综合应用 【类型1 转换区间】 相关练习：（1）根据函数的图像说明，若偶函数()y f x =在(,0)-∞上是减函数，则()f x 在(0,)+∞上是 函数（增、减） (2) 已知()f x 为奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()x = (3)R 上的偶函数在(0,)+∞上是减函数，3()4 f - 2(1)f a a -+ (4)设()f x 为定义在（(,)-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为增函数，则(2)f -、()f π-、 (3)f 的大小顺序是（ ） A. ()(3)(2)f f f π->>- B. ()(2)(3)f f f π->-> C. ()(3)(2)f f f π-<<- D. ()(2)(3)f f f π-<-< (5)如果奇函数()f x 在区间[3,7]上的最小值是5，那么()f x 在区间[7,3]--上( ) A. 最小值是5 B. 最小值是－５ C. 最大值是－５ D. 最大值是5 (6)如果偶函数()f x 在[3,7]上是增函数，且最小值是－５那么()f x 在[7,3]--上是( ) A. 增函数且最小值为－５ B. 增函数且最大值为－５ C. 减函数且最小值为－５ D. 减函数且最大值为－５ (7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上()f x 是单调增函数，那么当10x <，20x >且120x x +<时，有（ ） A. 12()()f x f x ->- B. 12()()f x f x -<- C. 12()()f x f x -=- D. 不确定 (8)如果()f x 是奇函数，而且在开区间(,0)-∞上是增函数，又(2)0f =，那么()0x f x ?< 的解是（ ） A. 20x -<<或02x << B. 20x -<<或2x > C. 2x <-或02x << D. 3x <-或3x > 偶函数奇函数奇函数奇函数函数单调性的应用 教案
对数函数的单调性及其应用
函数奇偶性与单调性的综合应用--专题
2021年函数单调性的定义与应用
导数应用：含参函数的单调性讨论(一)
函数单调性的应用
浅谈函数单调性的应用
4 函数 的单调性及其应用
分段函数单调性及其应用
函数单调性的定义和应用
2014函数的单调性及应用+练习题
高一数学必修1函数的单调性和奇偶性的综合应用