Radon变换
Radon变换:
又称为Hough Transform (数字图像处理课程里学过——数字图像处理课件3-P37) 考虑b=ax+y，将原来的XY平面内的点映射到AB平面上。则原来在XY平面上的一条直线的所有的点，在AB平面上都位于同一个点。通过记录下AB平面上的点的积累厚度，可反知XY面上的一条线的存在。在新平面下得到相应的点积累的峰值，可得出原平面的显著的线集。
例如：XY平面上的一个直线 y=2x-3;
变换 -3=-2x+y; 其中：a=-2,b=-3
假设有两个点在XY平面:〔0，-3〕，〔2，1〕，此两点都过直线，则可知有AB平面上，此两点在(-2,-3)AB平面上。
一种更好的表示方法是用ρ和θ来代替ab。即：xcosθ+ysinθ=ρ
基础补充：
直角坐标系：xcosa+ycosa=0 〔a为一个常角，特如45度，则明显是y= -x的直线〕
下面通过极坐标转换来更进一步说明其普遍性：
因为直角坐标与极坐标变换公式为x=ρcosθ，y=ρsinθ，其中ρ是极半径，θ是极角。代入所给的直线方程得ρcosθcosa+ρsinθsina=0，即
ρcos(θ-a)=0，而ρ≠0，所以有cos(θ-a)=0，θ-a=π/2，即此直线方程为
θ=a+π/2。
极坐标的参量：是角度和极半径〔也等于弦长吗〕
设原点O到直线L的距离为p并且L的垂线OD的倾斜角为a，则L的方程为xcosa+ysina=p〔a、p 为常数，a为与X轴夹角，P为直线与原点距离〕
D点的坐标：xd=pcos a
yd=psin a
直线L上任一点A的坐标设为：〔x，y〕，
根据两点式直线方程，可得出：〔x-xd〕/(yd-y)=tan a,
即：(x-pcos a)/(psin a-y) = sin a / cos a,
最后导出： xcos a+ysin a =p
以图像的中心为极坐标原点，直线X`即为新的投影坐标， 为角度。我们所要求的原坐标上的一条直线，是一条垂直于上图X`的一条直线，而非X`本身。
如下例：
function radontest
I=zeros(200,200);
%I(100:170,100:170)=1;
A=eye(100,100);
I(101:200,1:100)=A;
figure, imshow(I);title('orginal image');
orginal image
theta=0:180;
[R,xp]=radon(I,theta); % R是点的数量多少
% xp是R对应的坐标位置,即为X`，另一解释为直线跟原点间距离
% 0-180代表0到180度
% 此变换是以图像的中心点为原点的变换
figure,imagesc(theta,xp,R); title('R_theta X');
xlabel('theta(degree)');
ylabel('X\prime');
colormap(hot);
colorbar;
即所求 =45度，X`=-75左右。意思是在原XY坐标下的45度的直线X`上，距离原点75的位置有条与X`垂直的直线。此直线真正的45+90=135度，右移-75/sin45=100的距离。
(6)
由(6)式可见，f(x) 的Radon变换是f(x) 沿不同θ方向的投影；而 f(x) 的脊波变换看作是先对 f(x) 进行Radon变换，然后沿着每个积分方向做一维小波变换的结果，即：
(7)
正因为脊波变换在Radon域上对各个方向进行一维小波变换，将图像的线奇异性转换为点奇异性，充分利用小波变换对点奇异性的良好表示特性来得到具有线奇异性图像的稀疏表示。脊波逆变换可以通过沿每一方向做一维小波逆变换，然后进行Radon逆变换得到。
然而Randon变换的离散化是一个比较复杂的问题，在众多的离散化算法中，有些存在大量的冗余，有些虽然克服了大的冗余度，但是得到其所对应的逆变换又比较困难。其中有限Radon变换FRAT〔Finite Radon Transform〕[6][7]是其中比较好的离散化算法之一。有限Radon变换是有限大小的二维离散图像实现Radon 变换的离散化方法。
一个N×N〔N要求是一个素数〕大小的图像 f(i,j)，其中｛0,1,2…,N －1｝。它的有限Radon变换FRAT定义为：
(8)
其中，是满足斜率 k和截距 l 的直线上的所有象素点的集合，定义如下：
, 当k∈｛0,1,2…,N－1｝
, 当
(9)
由式〔8〕(9)可知，有限Radon变换是满足要求的直线上的图像象素点灰度值的累加和。一个N×N大小的图像经有限Radon变换后，将得到(N＋1)×N 大小的矩阵，它有N＋1个斜率方向，每个方向上有N个系数。
有限Radon变换的逆变换可以通过有限逆投影变换FBP〔Finite Back Projection〕来得到：
(10)
指的是所有通过点(i,j)的直线的斜率k 和截距 l 的集合，即：其中P
ij
…
(11)
为了获得更好的能量集中性，由式(8)和(10)所定义的有限Radon变换〔FRAT〕和反变换FBP要求变换的图像均值为零[8]，对于均值不为零的图像可以在变换前先减去均值，以保证变换前的图像均值为零；反变换回来后再加上图像均值即可恢复原图像。
Radon变换
Radon变换: 又称为Hough Transform (数字图像处理课程里学过——数字图像处理课件3-P37) 考虑b=ax+y，将原来的XY平面内的点映射到AB平面上。则原来在XY平面上的一条直线的所有的点，在AB平面上都位于同一个点。通过记录下AB平面上的点的积累厚度，可反知XY面上的一条线的存在。在新平面下得到相应的点积累的峰值，可得出原平面的显著的线集。 例如：XY平面上的一个直线 y=2x-3; 变换 -3=-2x+y; 其中：a=-2,b=-3 假设有两个点在XY平面:〔0，-3〕，〔2，1〕，此两点都过直线，则可知有AB平面上，此两点在(-2,-3)AB平面上。 一种更好的表示方法是用ρ和θ来代替ab。即：xcosθ+ysinθ=ρ 基础补充：
直角坐标系：xcosa+ycosa=0 〔a为一个常角，特如45度，则明显是y= -x的直线〕 下面通过极坐标转换来更进一步说明其普遍性： 因为直角坐标与极坐标变换公式为x=ρcosθ，y=ρsinθ，其中ρ是极半径，θ是极角。代入所给的直线方程得ρcosθcosa+ρsinθsina=0，即 ρcos(θ-a)=0，而ρ≠0，所以有cos(θ-a)=0，θ-a=π/2，即此直线方程为 θ=a+π/2。 极坐标的参量：是角度和极半径〔也等于弦长吗〕 设原点O到直线L的距离为p并且L的垂线OD的倾斜角为a，则L的方程为xcosa+ysina=p〔a、p 为常数，a为与X轴夹角，P为直线与原点距离〕 D点的坐标：xd=pcos a yd=psin a 直线L上任一点A的坐标设为：〔x，y〕， 根据两点式直线方程，可得出：〔x-xd〕/(yd-y)=tan a, 即：(x-pcos a)/(psin a-y) = sin a / cos a, 最后导出： xcos a+ysin a =p
radon变换原理
radon变换原理 Radon变换原理是一种常用于图像处理和分析的数学方法，它能够将二维图像转换为一维信号，并提取图像中的特征信息。通过对图像进行Radon变换，可以实现对图像的边缘检测、形状分析、图像重建等多种应用。 Radon变换的基本原理是利用投影将二维图像转换为一维信号。首先，将图像沿着一定方向进行投影，得到一系列的投影线。然后，将每条投影线上的像素值相加，得到一维信号。通过变换不同的方向，可以得到一系列的一维信号，从而提取出图像中的特征信息。 Radon变换的过程可以用数学公式来表示，但为了避免输出公式，下面通过描述来解释Radon变换的原理。假设有一幅二维图像，其像素值可以表示为一个矩阵。我们需要将这个矩阵转换为一维信号，首先选择一个方向，比如水平方向。然后，将每一行的像素值相加，得到一个一维信号。这个一维信号表示了图像在水平方向上的投影信息。同样地，我们可以选择其他的方向，比如垂直方向、45度方向等，得到相应方向上的投影信息。 通过Radon变换，我们可以得到图像在不同方向上的投影信息，从而实现对图像的特征提取。例如，通过对图像进行Radon变换，并对变换结果进行适当的处理，可以实现边缘检测。边缘是图像中像素值变化较大的区域，通过对投影信息进行分析，我们可以找到这
些变化较大的区域，从而实现边缘检测。 除了边缘检测，Radon变换还可以应用于形状分析和图像重建等领域。在形状分析中，通过对图像进行Radon变换，并对变换结果进行分析，可以得到图像中不同形状的特征信息，从而实现对形状的识别和分类。在图像重建中，可以利用Radon变换将图像进行投影，然后通过逆变换将投影信息转换回原始图像，从而实现图像的重建。 Radon变换是一种常用的图像处理方法，通过将二维图像转换为一维信号，并提取图像中的特征信息，可以实现对图像的边缘检测、形状分析、图像重建等多种应用。虽然Radon变换的原理可以用数学公式来表示，但通过描述也能够清晰地理解其基本原理和应用。希望通过本文的介绍，读者对Radon变换有更深入的了解。
Radon变换多次波压制方法及应用研究
Radon变换多次波压制方法及应用研究 林文;魏大力;王建民;刘建颖;王维红 【期刊名称】《物探化探计算技术》 【年(卷),期】2009(031)004 【摘要】多次波在地震资料中是普遍存在的.Radon变换是现行商业地震资料多次波压制处理软件应用最多的模块之一.这里在详细阐述Radon变换基本原理和离散采样计算的基础上,给出了理论模拟地震数据的多次波压制算法和计算结果.进而将Radon变换多次波压制方法应用于松辽盆地地震资料处理中,在对实际的cRP道集合理设计滤波切除函数后,应用本文的Radon变换算法,得到多次波压制的地震剖面.对比多次波压制前、后的叠前时间偏移地震剖面,压制多次波后地震剖面的信噪比很高,地质构造特征清晰,可应用于后续的地质构造解释,地震属性提取和油气储层预测.该方法的计算效率较高,算法易于实现.理论和实际地震数据的多次波压制结果表明,该算法具有高精度和实用性强的特点. 【总页数】5页(P344-348) 【作者】林文;魏大力;王建民;刘建颖;王维红 【作者单位】大庆油田有限责任公司,勘探开发研究院,黑龙江,大庆,163712;大庆油田有限责任公司,勘探开发研究院,黑龙江,大庆,163712;大庆油田有限责任公司,勘探开发研究院,黑龙江,大庆,163712;大庆油田有限责任公司,勘探开发研究院,黑龙江,大庆,163712;大庆油田有限责任公司,勘探开发研究院,黑龙江,大庆,163712 【正文语种】中文
【中图分类】P631.4 【相关文献】 1.λ-f域抛物Radon变换多次波压制方法 [J], 王维红;张振;石颖;李莹 2.λ-f域抛物Radon变换多次波压制方法 [J], 王维红;张振;石颖;李莹; 3.基于Radon变换和CMP道集的多次波压制的方法研究 [J], 李铭铭;姬姝全;李奥宁 4.基于低频约束的高分辨率Radon变换多次波压制方法研究 [J], 刘仕友;马继涛;孙万元;应明雄 5.基于SLA范数的高阶高分辨率λ-f域Radon变换多次波压制方法（英文） [J], 孙文之;李振春;曲英铭;李志娜 因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买
MatLab代码大全
第2章图像获取 2.3.2 二维连续傅里叶变换 例2.2 figure(1); %建立图形窗口1 [u,v] = meshgrid(-1:0.01:1); %生成二维频域网格 F1 = abs(sinc(u.*pi)); F2 = abs(sinc(v.*pi)); F=F1.*F2; %计算幅度频谱F=|F(u,v)| surf(u,v,F); %显示幅度频谱，如图2.3(b) shading interp; %平滑三维曲面上的小格 axis off; %关闭坐标系 figure(2); %建立图形窗口2 F1=histeq(F); %扩展F的对比度以增强视觉效果 imshow(F1); %用图像来显示幅度频谱，如图2.3(c) 第3章图像变换 3.4.4 二维FFT的MATLAB实现 例3.2 简单图像及其傅里叶变换 MATLAB程序： %建立简单图像d并显示之 d = zeros(32,32); %图像大小32⨯32 d(13:20,13:20) = 1; %中心白色方块大小为8⨯8 figure(1); %建立图形窗口1 imshow(d,'notruesize')；%显示图像d如图3.5(a)所示 %计算傅里叶变换并显示之 D = fft2(d); %计算图像d的傅里叶变换，fft2(d) = fft(fft(d).').' figure(2); %建立图形窗口2 imshow(abs(D),[-1 5],'notruesize'); %显示图像d的傅里叶变换谱如3.5(b)所示 例3.3 MATLAB图像及其傅里叶变换谱 MATLAB程序： figure(1); load imdemos saturn2; %装入MA TLAB图像saturn2 imshow(saturn2); %显示图像saturn2如图3.6(a)所示 figure(2); S= fftshift(fft2(saturn2)); %计算傅里叶变换并移位 imshow(log(abs(S)),[ ]); %显示傅里叶变换谱如3.6(b)所示 例3.4 真彩图像及其傅里叶变换谱 MATLAB程序： figure(1); A=imread('image1.jpg'); %装入真彩图像，见图1.1(b) B=rgb2gray(A); %将真彩图像转换为灰度图像
radon变换 (2)
radon变换 简介 Radon变换是一种在医学影像处理和图像处理中广泛应用的数据变换技术。它被用于从投影的二维片上恢复出原始图像的信息，并在CT扫描和核医学中进行图像重建。 Radon变换是针对傅里叶切片定理的一种离散化实现。它通过将空间物体的投影数据转换为在Radon坐标空间上的数据，从而实现对空间物体在不同角度上的特征分析。 原理 Radon变换的原理是通过在空间中根据不同的角度对物体进行投影，从而得到物体在每个投影方向上的一维函数。这些一维函数被称为Radon变换的投影。 Radon变换公式如下所示：
其中，x和y是图像坐标，θ是投影角度。Radon变换将一个二维函数f(x, y)映射到一个角度θ上的一维函数R(θ, p)。p是沿着θ方向的投影距离。 应用 CT扫描 CT扫描是使用X射线对人体进行断层扫描的一种医学成像技术。在CT扫描中，Radon变换被用于重建图像。通过在不同角度上对人体进行X射线投影，得到一系列的投影数据。然后使用Radon变换将投影数据转换为图像，从而得到人体的内部结构信息。 CT扫描的Radon变换过程包括以下几个步骤： 1. X射线束从不同角度通过人体，得到一系列的投影数据。 2. 使用Radon变换将投影数据转换为在Radon坐标空间上的数据。 3. 对Radon坐标空间上的数据进行重建，得到人体的内部结构图像。 核医学 核医学是一种使用放射性物质对人体进行诊断和治疗的技术。在核医学中，Radon变换被用于重建正电子发射断层扫
描（PET）图像。PET技术通过注射放射性示踪剂，然后使用PET机器测量示踪剂在体内的分布情况。 PET图像的Radon变换过程包括以下几个步骤： 1. 测量示踪剂在体内的分布情况，得到一系列的投影数据。 2. 使用Radon变换将投影数据转换为在Radon坐标空间上的数据。3. 对Radon坐标空间上的数据进行重建，得到示踪剂在体内 的分布图像。 图像处理 除了在医学影像中的应用，Radon变换也被广泛应用于图 像处理中。Radon变换可以用于图像的边缘检测、图像的纹 理分析、图像的形状描述等方面。 在图像处理中，Radon变换通过将图像的每个像素沿着不 同的角度进行投影，从而得到图像在不同角度上的一维函数。通过对这些一维函数进行特征分析，可以提取出图像中的边缘、纹理等特征。 总结 Radon变换是一种在医学影像处理和图像处理中广泛应用 的数据变换技术。它通过将空间物体的投影数据转换为在
radon变换和中心切片定理关系
一、概述 Radon变换和中心切片定理是在医学影像学、地球物理学和其他领域经常使用的数学工具。它们通过对数据的变换和分析，能够提供关于物体内部结构的重要信息。本文将介绍Radon变换和中心切片定理的基本概念、原理和应用，并探讨它们之间的关系。 二、Radon变换的概念和原理 1. Radon变换的基本概念 Radon变换是一种数学变换，用于将一个函数在一定范围内的各个方向上的投影转换为另一个函数。它最早由数学家约翰·瑞登(John Radon)于1917年提出，并在20世纪50年代被广泛应用于医学影像学中。Radon变换可以将二维或三维空间中的物体投影到较低维度的空间中，并提供了物体在不同方向上的投影信息。 2. Radon变换的原理 对于一个平面上的函数f(x, y)，其在方向θ上的Radon变换可表示为Rf(ρ, θ)，其中ρ表示在方向θ上的截距，θ表示投影的方向。Radon 变换可以看作是对函数在不同方向上的一维积分，通过对这些一维投影的分析，可以获取原始函数的重要信息。 三、中心切片定理的概念和原理
1. 中心切片定理的基本概念 中心切片定理是指信号的傅里叶变换的绝对值的平方等于信号的Radon变换。它是傅里叶变换和Radon变换之间的重要关系，在不同的领域中都有着广泛的应用。中心切片定理的提出，为遥感图像处理、医学影像重建等方面的问题提供了重要的理论支持。 2. 中心切片定理的原理 中心切片定理可以表示为：假设f(x, y)是一个平面上的函数，其Radon变换为Rf(ρ, θ)，则f(x, y)的二维傅里叶变换的绝对值的平方等于Rf(ρ, θ)的积分。这一定理为进一步分析信号的频谱提供了重要的数学工具。 四、Radon变换和中心切片定理的关系 1. 两者的数学表示 Radon变换和中心切片定理之间有着直接的数学通联，在数学上可以表示为： f(x, y)的傅里叶变换的绝对值的平方 = f(x, y)的Radon变换 这一等式表明了两者之间的紧密关系，对于信号在频域和投影域的分析具有重要的意义。
radon变换在地震数据中的应用
radon变换在地震数据中的应用 应用radon变换在地震数据中 地震是指地球内部的能量释放，导致地震波的传播和地壳的震动。地震数据的采集和分析对于了解地壳结构、预测地震活动以及保护人们的生命财产安全具有重要意义。而radon变换作为一种有效的信号处理方法，在地震数据的分析中得到了广泛的应用。 radon变换是指将二维信号转换为一种新的坐标系下的表示方法，它可以将信号在频率域上进行分解，从而提取出信号的特征信息。在地震数据中，radon变换可以用于提取地震波的运动信息，对地壳结构进行进一步的分析。 radon变换可以用于地震数据的去噪。地震数据中常常伴随着各种干扰信号，如噪声、多路径传播等。这些干扰信号会影响地震波的传播和观测结果，使得地震数据的解释变得困难。利用radon变换可以将地震数据转换到新的坐标系下，通过滤波等方法去除噪声和干扰信号，从而提高地震数据的质量和可靠性。 radon变换可以用于地震数据的成像。地震数据的成像是指根据地震波的传播和反射特性，重建地下地层的分布情况。传统的成像方法需要进行大量的计算和模型假设，而利用radon变换可以将地震数据转换到新的坐标系下，通过简化计算和数据处理的方式实现快速成像。这样可以提高成像的效率和准确性，为地震勘探和地质研
究提供更可靠的依据。 radon变换还可以用于地震数据的波速分析。地震波在地下的传播速度与地下介质的物理性质密切相关，通过对地震数据进行radon 变换，可以提取出地震波的传播速度信息。这样可以帮助地震学家和地质学家研究地下结构和地震活动的机制，为地震预测和防灾减灾提供科学依据。 radon变换还可以用于地震数据的异常检测和异常分析。地震活动往往伴随着地下构造和地质异常的变化，通过对地震数据进行radon变换，可以将地震波在频率域上进行分解，并提取出异常信号。这样可以帮助地震学家和地质学家发现地下构造和地质异常，进一步研究地震活动的机制和演化规律。 radon变换在地震数据的分析中具有重要的应用价值。它可以用于地震数据的去噪、成像、波速分析以及异常检测和异常分析等方面，为地震学家和地质学家提供了一种有效的信号处理方法。随着地震数据采集和处理技术的不断发展，相信radon变换在地震数据分析中的应用将会越来越广泛，为地震研究和地震预测提供更可靠的数据支持。
双曲线radon变换衰减多次波技术在和15工区的应用
双曲线radon变换衰减多次波技术在和15工区的应用 双曲线radon变换衰减多次波技术在和15工区的应用 1. 介绍 •双曲线radon变换衰减多次波技术是一种常用于勘探地震学领域的信号处理方法，通过消除或减弱地震数据中的多次反射波来提 高地震图像的质量和解释能力。 •在和15工区中，双曲线radon变换衰减多次波技术已经被广泛应用于勘探活动中，下面将列举几个具体的应用示例。 2. 地层切割 •双曲线radon变换衰减多次波技术可以通过对地震数据进行处理，将多次反射波从数据中去除，从而清晰地展示目标地层的信息。•在和15工区的勘探活动中，地层切割是一项重要的任务，通过双曲线radon变换衰减多次波技术，可以将地震图像中的多次反 射波减弱或消除，从而更好地识别目标地层。 3. 目标检测 •双曲线radon变换衰减多次波技术可以帮助识别和定位潜在的油气储层。通过去除地震图像中的多次反射波，可以提高图像的清 晰度和对比度，从而更好地识别出潜在的目标层位。
•在和15工区的勘探活动中，目标检测是一项重要的任务，通过双曲线radon变换衰减多次波技术，可以辅助勘探人员更准确地定位和评估潜在的油气储层。 4. 缺陷识别 •双曲线radon变换衰减多次波技术可以帮助勘探人员识别地质构造中的缺陷或异常。通过分析地震数据中的多次反射波，可以发现一些异常反射波形态，并进一步推断可能存在的地质构造或油气藏。 •在和15工区的勘探活动中，缺陷识别对于油气勘探的成功至关重要。双曲线radon变换衰减多次波技术可以帮助勘探人员在数据处理过程中更好地识别出地质中的缺陷。 5. 资源评估 •双曲线radon变换衰减多次波技术可以提高地震图像的质量和清晰度，从而准确评估潜在的油气资源量。通过去除多次反射波，可以获得更准确的地震数据，进而提高对油气资源量的估计准确度。 •在和15工区的勘探活动中，资源评估是一项关键任务，通过双曲线radon变换衰减多次波技术，可以帮助勘探人员更准确地评估油气资源的含量和分布情况。
运动模糊角度估算
运动模糊图像处理（一）----- 模糊角度估计的算法研究及 matlab实现 运动模糊图像复原研究的整体思路主要是用matlab中的imfilter（）函数对图像进行线性空间滤波，产生运动模糊图像，建立退化模型→通过radon变换来获取模糊参数，即点扩散函数PSF →最后由估计得出的PSF再用维纳滤波对图像进行复原。由仿真实验得知，在已知PSF的情况下使用自相关函数的维纳滤波法对图像进行复原可以获得较好的复原效果，因此难点在于如何精确地估计运动模糊参数PSF。 1、基本原理： 点扩散函数PSF主要有两个重要参数：（1）模糊方向；（2）模糊尺度。本次主要是针对第一个参数----模糊方向的估计进行了研究。运动模糊方向是指运动方向与水平方向的夹角，由文献得知运动模糊主要是降低了运动方向的高频成分，而对其他方向的高频成分影响较小。常见的辨识方法有频域法和倒谱法，wym 两种方法都试过，仿真实验结果表两种方法各有好处。 频域法的原理是将退化图像进行二维傅里叶变换，得到具有相互平行的规则明暗条纹的频谱。设暗纹与x 轴正向夹角为φ ，运动模糊方向与x 轴夹角为θ ，图像尺寸为M × N,根据傅里叶变换的时频特性可以知道，可通过公式tan(θ) = tan(φ − 90°) × M/N 得到模糊角度θ ,因此只要通过Radon 变换检测出频谱暗条纹与水平方向的夹角即可到运动模糊方向。 倒谱法的主要原理是先将退化图像进行二维傅里叶变换，然后取对数，再进行反傅里叶变换得到退化图像的倒频谱,分离出退化图像的模糊信息，进而通过Radon 变换得到运动模糊方向。 Radon 变换是对频谱图上某一指定角度进行线积分，通过计算1°~180°的Radon变换得到180列的矩阵R，每一列向量是图像在一个角度上沿一族直线的积分投影，因为积分直线束与频谱中的亮暗条纹平行，所以所得的投影向量中应有一个最大值，在频域法中最大值所对应的列数就等于模糊方向与x轴正方向水平夹角；在倒谱法中，最大值对应的列数 ±90°即为所求的模糊角度。 具体理论和公式推导就不列出来了。。有兴趣的同学请STFW。。（什么？不知道什么是STFW? 请自行STFW。。） 2、算法实现： （1）频域法 1) 对模糊图像进行灰度化，并计算其二维傅里叶变换； 2) 对傅里叶变换值的动态范围进行压缩；
利用傅立叶变换推导radon变换
利用傅立叶变换推导radon变换 全文共四篇示例，供您参考 第一篇示例： 傅立叶变换是信号处理领域中的一种重要技术，它可以将一个信号分解成许多不同频率的正弦和余弦函数，从而方便对信号进行分析和处理。而Radon变换则是在医学成像和地球成像等领域被广泛应用的技术，它可以将二维平面上的函数变换为一维函数，从而方便对图像或数据进行处理。本文将探讨如何利用傅立叶变换推导Radon变换的过程。 ### 一、傅立叶变换的基本原理 在介绍如何利用傅立叶变换推导Radon变换之前，我们首先需要了解傅立叶变换的基本原理。傅立叶变换可以将一个信号从时域转换到频域，它的数学表达式为： F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} dt f(t)是输入信号，F(ω)是其傅立叶变换，ω是频率。傅立叶变换将信号分解成不同频率的正弦和余弦函数，可以帮助我们理解信号的频谱结构，方便进行滤波、频谱分析等操作。 ### 二、Radon变换的概念与应用
Radon变换最早是由奥地利数学家约翰·拉登（Johann Radon）于1917年提出的，它主要应用于医学成像和地球成像领域。Radon变换可以将二维平面上的函数变换为一维函数，它的定义如下： R(s,\theta) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\delta(x\cos\theta + y\sin\theta - s) dxdy f(x, y)是输入的二维函数，R(s, θ)是其Radon变换，s是平面上的一个参数，θ是旋转角度。Radon变换可以提取图像或数据中的直线信息，对于医学成像中的计算机断层扫描（CT）等技术具有重要意义。 ### 三、利用傅立叶变换推导Radon变换 在实际的图像处理中，我们有时需要对图像进行Radon变换来提取其直线特征，而傅立叶变换可以作为一种有效的数学工具来推导Radon变换。 我们将二维函数f(x, y)进行傅立叶变换，得到其频谱表示： F(u, v) = \iint f(x, y)e^{-i2\pi(ux+vy)} dxdy 然后，我们对频谱F(u, v)进行一定的变换，使得其可以表示成Radon变换的形式。具体来说，我们可以将频谱F(u, v)进行适当的投影，得到一维函数： P_\theta(\rho) = \int_{-\infty}^{\infty} F(u, v) \delta(u\cos\theta + v\sin\theta - \rho) dudv
基于Radon变换与灰度投影积分极值方法的矩形检测
基于Radon变换与灰度投影积分极值方法的矩形检测 侯和平;郭凯铭;刘凯;李改霞 【摘要】针对现有的矩形检测方法存在计算量大、检测精度不足等问题，提出基于 Radon变换（Ra-don Transform，RT）与灰度投影积分极值（Gray Proj ection Integral Extreme Value，GPIEV）方法相结合的矩形快速检测方法，该方法运用Radon变换在小角度搜索范围内对矩形图像进行快速准确的旋转校正，随后对校正后的图像的垂直和水平方向使用灰度投影积分极值方法确定矩形2对平行直线位置，完成矩形的角度快速校正与重构。该检测方法利用了 Radon变换对直线倾斜角度检测的准确性和灰度投影积分极值方法检测直线的准确性，弥补了这两种方法各自的不足。实验结果表明，该检测方法可应用在矩形等规则平面的几何图形检测识别中，检测精度高，且检测速度快。%In view of most existing detection methods with various disadvantages,such as large calculating quantity and low detection precision,the present paper proposed a rapid detection method which integrates Radon Transformation (RT)and Gray Proj ection Integral Extreme Val-ue method (GPIEV).Firstly,Radon transformation is used to quickly and accurately correct a rectangular image by rotating it within a small angle range.Secondly,the positions of the parallel lines in the collected image are determined by applying Gray Proj ection Integral Extreme Value method along the vertical and horizontal directions of the image.In this way,the angle correction and reconstruction of the rectangular image can be rapidly achieved.This detection method makes full use of the accuracy of Radon transformation and Gray Proj ection Integral Extreme Value method in detecting line and
基于谱图-Radon-二维小波变换方法
基于谱图-Radon-二维小波变换方法 Chapter 1: Introduction - Background and motivation - Objective and scope of the study - Overview of the dissertation Chapter 2: Literature Review - Overview of medical imaging and its importance - Overview of spectral analysis in medical imaging - Overview of the Radon transform and its applications in image analysis - Overview of the 2D Discrete Wavelet Transform (DWT) Chapter 3: Research Methodology - Overview of the proposed method - Details of the Radon transform and its implementation - Details of the 2D DWT and its implementation - Details of the combination of Radon transform and 2D DWT - Evaluation and comparison with other methods Chapter 4: Results and Discussion - Description of datasets used in the experiments - Presentation of the experimental results - Discussion of the results and their implications - Comparison with other methods Chapter 5: Conclusion and Future Work - Summary of the findings - Contributions to the field - Limitations and future directions
Radon-Wignel变换的计算
Radon-Wignel 变换的计算 Radon 变换回顾 Radon 变换：将原直角坐标旋转α角得到新的直角坐标),(v u ，这时以不同的u 值平行于v 轴积分，所得的结果即为Radon 变换。 二元函数),(ωt f 的Radon 变换 ⎰ =线 PQ dv t f u P ),()(ωα （2.1.1） 利用三角运算，可以得出),(ωt 与),(v u 两平面坐标之间的关系为: ⎩⎨⎧+=-=ααωα αcos sin sin cos v u v u t （2.1.2） 将（2.1.2）代入（2.1.1）得 ⎰ +-= 线 PQ dv v u v u f u P )cos sin ,sin cos ()(ααααα （2.1.3） 由（2.1.3）可以看出Radon 变换)(u P α是关于α和u 的二维函数，通常用符号),(αu P f 表示),(ωt f 的Radon 变换。 Wigner Radon -变换的定义 Wigner Radon -变换是对Ville Wigner -分布的时－频平面作直线积分投影的Radon 变换。在上一节讨论的Radon 变换中，如果将（2.1.1） 图2.1.1 Radon 变换的几何关系 ω f
中的变换对象由一般的二维函数),(ωt f 代之以信号)(t z 的Ville Wigner -分布),(ωt W z ，则所得Radon 变换即是信号)(t z 的Wigner Radon -变换，常用符号),(αu D z 来表示。 Wigner Radon -变换就是信号)(t z 的Ville Wigner -分布),(ωt W z 的Radon 变换。 即 )],([)]([),(ωαωt W t z u D z z ℜ=ℜ= ⎰ +-=线 PQ z dv v u v u W )cos sin ,sin cos (αααα（2.2.4） 用ω 轴的截距0ω和斜率m 为参数来表示直线，因此当需要沿作直线积分时，这两对参数之间的关系为 α ωαsin /,cot 0u m =-= （2.2.5） 现以参数（0,ωm ）表示积分路径，求)(t z 的Wigner Radon -变换 ),(αu D z ⎰+-=线PQ z dv v u v u W )cos sin ,sin cos (αααα α ωα ωα sin /cot 00),(sin 1u m z dt mt t W =-=∞ ∞ -⎰ += α ωα ωsin /cot 02 0),(1u m z dt mt t W m =-=∞ ∞ -⎰ ++= （2.2.6） （2.2.6）表明，若)(t z 是参数为0ω和m 的LFM 信号，则积分值最大；而当参数偏离0ω和m 时，积分值将会迅速减小，即对一定的LFM 信号，其Wigner Radon -变换会在对应的参数（0,ωm ）处呈现尖峰， 若将积分路径的直线参数改用t 轴的载距0t 和相对于ω轴的斜率p 表示，写成ωp t t +=0的形式，参数间的关系为 ααcos /,tan 0u t p =-= （2.2.7） 那么信号)(t z 的Wigner Radon -变换的另外一种形式可写为 ⎰ ⎰ ⎰ ∞ ∞-∞ ∞ --==线 PQ z z z dv du u u t W dv t W u D '''' )(),(),(),(δωωα
Radon-Wigner 变换
Radon-Wigner 变换及应用 主要内容： 1、Radon变换 2、Radon-Wigner 变换的定义 3、Radon-Wigner 变换的性质 4、Radon-Wigner 变换的应用 一、Radon变换 1、提出的原因：时变信号中，线性调频（LFM）信号特别引人关注：一方面，作为大时间-频带积的扩频信号，LFM信号广泛应用于各种信息系统，如通信、雷达、声纳和地震勘探等；另一方面，探测系统的目标多普勒频率与目标速度近似成正比，当目标作等加速运动时，回拨即为线性调频。因此重点研究这种信号具有重要的意义。 前面已经提到，用Wigner-Wille分布研究单分量LFM信号是十分有利的。但LFM信号存在多个分量时，分量之间的交叉项就会使时频平面变得模糊不清。虽然使用核函数可对Wigner-Wille分布交叉项起到平滑抑制作用，但在对交叉项制的同时，信号项的时频聚集性也会下降。但由于理想LFM信号的Wigner-Wille 分布为直线型冲激函数，有限长的LFM信号的Wigner-Wille分布为背鳍状，所以对其Wigner-Wille分布的时频平面沿相应直线作积分平滑，是抑制交叉项的一种理想选择。而Radon-Wigner 变换就是在此基础上提出来的。它是对Wigner -Wille分布的时频平面作直线积分投影的Radon变换，统称对信号作Radon -Wigner 变换。 来源：Radon变换是J. Radon于1917年提出的。在Fourier变换及它们对应的卷积可以快速计算之前，Radon变换的计算几乎没有引起人们的兴趣。现在Radon变换已经成为医学成像和许多遥感成像等的主要工具而受到广泛重视。1962年，P. Hough又从图形特征检测的角度提出了Hough变换。由于以直线图形为特征的Hough变换与Radon变换相当，所以在有些文献里，也成Radon -Wigner 变换为Hough-Wigner 变换。这里，我们只结合Wigner-Wille分布阐述Radon-Wigner 变换有关的理论、方法及应用。 2、Radon变换的定义 Radon-Wigner 变换是一种直线积分的投影变换。作为直线积分变换，我们在第六章讨论Wigner-Wille分布的性质时已经碰到过，这就是Wigner-Wille分布的边缘积分。 在时频平面（t－ω）上，沿时间t轴作积分，得到信号的功率谱，对不同t值平行于频率ω轴作积分，则此边缘积分给出信号的瞬时功率。
几种车牌图像倾斜角度矫正算法
汽车牌照图像倾角矫正方法研究 首先我们对汽车牌照图像进行边缘检测，找出图像与背景的交线，然后就可以通过一定算法确定图像的倾斜角度了。这里采用了Sobel水平方向算子对图像中的水平边缘直线进行检测[2]。 检测出图像中的直线后，我们要对其倾角进行计算，这里选用了Hough变换法、Radon变换法、最小二乘法和两点法四种方法来计算直线的倾角，下面将具体研究这四种方法并对其优缺点做出比较。 1 Hough变换法 利用Hough变换法提取直线是一种变换域提取直线的方法，它把直线上的坐标变换到过点的直线的系数域，巧妙的利用了共线和直线相交的关系。 它的原理很简单：假设有一条与原点距离为s，方向角为θ的一条直线，如图3.1所示： 图1 一条与原点距离为s，方向角为θ的直线 直线上的每一点都满足方程： θs i n θ =（3.1） s+ x c o s y 证明过程如下：
图2 坐标变换原理图 如图3.2所示： θθc o s c o s x ob oc == （3.2） θθs i n s i n y nb nc == （3.3） 所以 ： θθs i n c o s y x nc oc s +=+= （3.4） m 为直线l 上任意一点 )1(,1x x md y y nd --=-= （3.5） 因为： θθs i n )1(s i n y y nd df -== （3.6） θθc o s )1(c o s x x md df --== （3.7） 所以： θθθθc o s 1c o s s i n 1s i n x x y y +-=- （3.8） 所以： θθθθs i n 1c o s 1s i n c o s y x y x s +=+= （3.9） 所以直线上任意一点都满足 θθs i n c o s y x s += （3.10）