高中立体几何公理及推论及定理总汇表

高中立体几何公理及推论及定理总汇表

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。（1）判定直线在平面内的依据

（2）判定点在平面内的方法

公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线。（1）判定两个平面相交的依据

（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上

公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（1）确定一个平面的依据（2）判定若干个点共面的依据

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。（1）判定若干条直线共面的依据

（2）判断若干个平面重合的依据

（3）判断几何图形是平面图形的依据

推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。

推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。

立体几何直线与平面

空间二直线平行直线

公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

异面直线

空间直线和平面位置关系

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线和平面平行——没有公共点

立体几何直线与平面

直线与平面所成的角

（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角

（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角

（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角

三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直

三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直

空间两个平面两个平面平行判定

性质

（1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行

（2）垂直于同一直线的两个平面平行

（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面

相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面

二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角

平面角是直角的二面角叫做直二面角

两平面垂直判定

性质

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面

（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内

立体几何多面体、棱柱、棱锥

多面体

定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。

棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。

直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。

球

到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。

欧拉定理

简单多面体的顶点数V，棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2

立体几何公理及定理

立体几何公理及定理 一、空间点、线、面之间的关系 1、两条直线的位置关系有： 2、两个平面的位置关系有： 公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。 推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。 公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。 二、平行关系 直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。 平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 平面与平面平行的性质定理： 1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 2、两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。 4、平行于同一平面的两个平面平行。 三、垂直关系 直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 直线与平面垂直的性质定理： 1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。 平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 平面与平面垂直的性质定理： 如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 1. ①与α终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ

立体几何公理、定理推论汇总(修订)

立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈I I 且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：////a b a c ??? 图形语言：

线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言：////a b a a b ααα???????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （3） 符号语言：////a b a a b βαβα??????=?I 图形语言： 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=?????? I 图形语言： 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言：,,//oo oo ααββ???? ⊥⊥ 图形语言： 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6） 符号语言：////a a b b αγβγαβ? ?=???=?I I 图形语言： 面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（7） 符号语言：////a a βααβ????? 图形语言： 面面平行的性质 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。（8） 符号语言：//a a ββαα????⊥⊥ 图形语言： 面面平行的性质3 平行于同一个平面的两个平面平行。（9） 符号语言：//////αβαγγβ??? 图形语言：

初中数学知识内容概况：公理和定理

初中数学知识内容概况《公式和法则》 一、数的有关概念和运算 1、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数. 2、零的相反数是零 3、一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零； 一个负数的绝对值是它的相反数. 4、两个负数，绝对值大的反而小. 5、有理数的运算： （1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数. （2）有理数减法法则:减去一个数，等于加上这个数的相反数. （3）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.任何数同零相乘，都得零.不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正. 几个数相乘，有一个因数为零，积就为零. （4）有理数除法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数. (注意：0不能作除数.) 有理数除法符号法则:两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 零除以任何一个不等于零的数，都得零. （5）有理数乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. （6）有理数混合运算的运算顺序规定如下：① 先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算，按照从左至右的顺序进行；③如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 6、（1）加法交换律：a+b =b+a ；加法结合律：a+b+c =a+（b+c ）；乘法交换律：a ·b =b ·a ；乘法结合律：abc =a （bc ）；乘法分配律：a （b +c ）=ab +ac . （2）幂的运算：a m ·a n =a m+n （m 、n 为正整数）；mn n m a a =)(（m 、n 为正整数）；()n n n b a ab =（n 为正整数）；n m n m a a a -=÷（m 、n 为正整数，m >n ，a ≠0），a 0=1（a ≠0）；n n a a 1=-（a ≠0，n 为正整数）. （3）乘法公式：平方差公式：()()2 2b a b a b a -=-+；完全平方公式：()2b a +=222b ab a ++ 二、式的有关概念和运算 1、合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变． 2、去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不变符号；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号． 3、添括号法则：所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号． 4、整式加减的一般步骤可以总结为： (1) 如果有括号，那么先去括号；(2) 如果有同类项，再合并同类项． 5、二次根式的运算：()0,0≥≥=?b a ab b a ；b a b a =（0,0>≥b a ）

立体几何公理推论

立体几何 平面的基本性质及推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论3 经过两条平行线有且只有一个平面。 空间中直线与直线的位置关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 空间中直线与平面之间的位置关系 (1)直线在平面内—有无数个公共点； (2)直线与平面相交—有且只有一个公共点； (3)直线与平面平行—没有公共点。 平面与平面之间的位置关系 (1)两个平面平行—没有公共点； (2)两个平面相交—有一条公共直线。 直线与平面平行的判定 定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 平面与平面平行的判定 定理一个平面的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 推论一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个面的两条相交直线，则这两个面平行。直线与平面平行的性质 定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。平面与平面平行的性质 定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 直线与平面垂直的判定 定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 平面与平面垂直的判定 定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 直线与平面垂直的性质 定理垂直同一个平面的两条直线平行。

初中几何公理、定理

初中几何公理、定理 一、线与角 1、两点之间，线段最短 2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线 3、对顶角相等；同角的余角（或补角）相等；等角的余角（或补角）相等 4、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 5、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”） 6、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行②内错角相等，两直线平行③同旁内角 互补，两直线平行④平行于同一直线的两直线平行⑤垂直于同一直线的两直线平行 7、平行线的性质： ①经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行 ③两直线平行，同位角相等④两直线平行，内错角相等⑤两直线平行，同旁内角互补 ⑥平行线间的距离处处相等 9、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 10、垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 二、三角形、多边形 11、三角形中的有关公理、定理： （1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ②三角形的外角和等于360° （2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180° （3）三角形的任何两边的和大于第三边、两边的差小于第三边 （4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 12、多边形中的有关公理、定理： （1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180° （2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360° （3）欧拉公式：顶点数 + 面数－棱数=2 13、等腰三角形中的有关公理、定理：

高中立体几何公理定理汇编

高中数学立体几何模块公理定理汇编 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． ?．（作用：证明直线在平面内） ∈，Bα ∈?lα ∈，B l A l ∈，且Aα 公理2过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（作用：确定平面） 推论①直线与直线外一点确定一个平面． ②两条相交直线确定一个平面． ③两条平行直线确定一个平面． 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ∈，且Pβ ∈．（作用：证明三点/多点共线） Pα ＝l，且P l ∈?αβ 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．（平行线的传递性） 空间等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 线面平行判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 面面平行判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行． 线面平行性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行． 面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行． 线面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行． 三垂线定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直． 逆定理如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条直线的射影垂直． 射影定理从平面外一点出发的所有斜线段中，若斜线段长度相等则射影相等，斜线段较长则射影较长，斜线段较短则射影较短． 面面垂直判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 线面垂直性质定理1如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线． 线面垂直性质定理2垂直于同一个平面的两条直线平行． 面面垂直性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 面面垂直性质定理2两个平面垂直，过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．

最新初一数学中的公理定理

（一）学过的公理： 1、直线公理：两点确定一条直线。 2、线段公理：两点之间，线段最短。 3、垂线公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4、平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 5、平行线判定公理：同位角相等，两直线平行。 6、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。 7、全等三角形性质公理：全等三角形对应边相等，对应角相等 （二）学过的定理及推论 1、三角形内角和定理：三角形内角和等于180° ?推论1：直角三角形两锐角互余 ?推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 ?推论3：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。 2、公理：两点之间，线段最短。 ?定理：三角形两边之和大于第三边 ?推论：三角形两边之差小于第三边。 3、补角的性质：同角或等角的补角相等 4、余角的性质：同角或等角的补角相等 5、对顶角的性质：对顶角相等 6、垂线的性质：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短。 7、平行线公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相 平行。 8、平行线判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两 条直线平行，简记为：同位角相等，两直线平行。 ?定理1：内错角相等，两直线平行。 ?定理2：同旁内角互补，两直线平行 9、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。 ?定理1：两直线平行，内错角相等。 ?定理2：两直线平行，同旁内角互补。 推论：垂直于同一直线的两直线的互相平行。

澳洋医院办公楼及综合楼 网络方案 目录 第一章．概述 ................................................................................................... 错误!未定义书签。 1.1建筑群网络建设背景.................................................................... 错误!未定义书签。 1.2建网需求分析................................................................................ 错误!未定义书签。 1.2.1 一般建网需求.......................................................................... 错误!未定义书签。 1.2.2 网络安全需求分析和对策...................................................... 错误!未定义书签。第二章．总体网络设计和网络特点................................................................ 错误!未定义书签。 2.1 网络设计的原则................................................................................ 错误!未定义书签。 2.2 网络拓扑 ........................................................................................... 错误!未定义书签。 2.3 方案说明 ........................................................................................... 错误!未定义书签。 2.4方案特色技术简介............................................................................. 错误!未定义书签。 2.4.1 路由规划.................................................................................. 错误!未定义书签。 2.4.2 IP地址规划.............................................................................. 错误!未定义书签。 2.5无线方案 ....................................................................................... 错误!未定义书签。 2.5.1无线网络优势........................................................................... 错误!未定义书签。 2.5.2无线局域网总体架构选择....................................................... 错误!未定义书签。 2.5.3供电问题................................................................................... 错误!未定义书签。 2.5.4频率规划................................................................................... 错误!未定义书签。 2.5.5频率复用................................................................................... 错误!未定义书签。 2.5.6信号覆盖范围控制................................................................... 错误!未定义书签。 2.5.7 AP防盗设计............................................................................. 错误!未定义书签。 ?

高中立体几何公理及推论及定理总汇表

高中立体几何公理及推论及定理总汇表 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。（1）判定直线在平面内的依据 （2 ）判定点在平面内的方法 公理2 :如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线（1）判定两个平面相交的依据 （2）判定若干个点在两个相交平面的交线上 公理3 :经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（2）判定若干个点共面的依据 推论1 :经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。的依据 （2）判断若干个平面重合的依据 （3）判断几何图形是平面图形的依据（1）确定一个平面的依 据 （1）判定若干条直线共 面 推论2 :经过两条相交直线，有且仅有一个平面。 推论3 :经过两条平行线，有且仅有一个平面。 立体几何直线与平面 空间二直线平行直线 公理4 :平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 并且方向相同，那么这两个角相异面直线 空间直线和平面位置关系 （1）直线在平面内一一有无数个公共点 （2 ）直线和平面相交一一有且只有一个公共点 （3 ）直线和平面平行一一没有公共点 立体几何直线与平面 直线与平面所成的角 （1 ）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 （2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 （3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角 三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条 斜线垂直

三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直 空间两个平面两个平面平行判定 性质 （1 ）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （2）垂直于同一直线的两个平面平行 （1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 （3 ）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线, 两条射线所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 两平面垂直判定 性质 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 （2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 立体几何多面体、棱柱、棱锥 多面体 定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。 棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。 球 到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。 欧拉定理 简单多面体的顶点数V,棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2

立体几何三大公理-的应用

一、共线问题 例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内； (2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图). 例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR ∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线. 例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。 二、共面问题 例4.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.

例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内. 已知：如图，直线l 1，l 2，l 3，l 4两两相交，且不共点. 求证：直线l 1，l 2，l 3，l 4在同一平面内 例6. 已知：A 1、B 1、C 1和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线l 1和l 2上的任意三点，M 、N 、R 、T 分别是A 1A 2、B 1A 2、B 1B 2、C 1C 2的中点.求证：M 、N 、R 、T 四点共面. 例7. 在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足MB AM ＝NB CN ＝QD AQ ＝PD CP ＝k. (1)求证：M 、N 、P 、Q 共面. (2)当对角线AC ＝a,BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示) 三、共点问题 例8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.

平面几何定理公理总结

平面几何定理公理总结 一、线与角 1.两点之间，线段最短。线段的长叫两点间的距离。 2.直线外一点到直线，垂线段最短，垂线段的长叫该点到直线的距离。 3.一组平行线中，一条直线上一点到另一条直线的距离，叫两条平行线间的距离。 4.经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。 5.不在同一直线上的三点确定一个角。 6.两直线相交，对顶角相等。 7.同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。 8.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 9.经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 10.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。 11.如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。 12.平行线 (1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 (2)平行线的判定方法： (3)①两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 (4)②两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 (5)③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。 (6)④如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。 (7)平行线的性质： (8)①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 (9)②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 (10)③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 (11)④如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么这条直线也和另一条平行。 (12)⑤如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。 (13)⑥平行线间的距离处处相等；夹在两条平行线间的平行线段相等。 13.平行线等分线段定理： (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相 等。 (2)推论1：经过三角形一边的中点，且与另一边平行的直线必等分第三边。 (3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必等分另一腰。 14.平行线分线段成比例定理： (1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 (2)推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）成比例。 15.线段的垂直平分线： (1)性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 (2)判定：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 16.角平分线： (1)性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

立体几何公理定理推论汇总

立体几何公理定理推论 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 符号语言：//////a b a c c b ? ??? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ? ??? 图形语言： 线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言：////a b a a b ααα?? ? ????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα ? ? ????=? 图形语言： 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=? ? ???? 图形语言： 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言： ,,//oo oo ααββ? ??? ⊥⊥ 图形语言： 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6） 符号语言：////a a b b αγβγαβ? ?=???=? 图形语言： 面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（7） 符号语言：////a a βααβ? ???? 图形语言：

初中数学常用的定理(公理)汇总

初中常用的定理（公理）大全汇总 初中常用的定理（公理）大全汇总。本文旨在让学生了解初中数学中的初中数学几何定理、初中数理化公式定理等知识点概念，最后灵活运用到中考当中。另外初中数学网也为大家准备了初中数学公式定理、初中数学... 初中常用的定理（公理）大全汇总。本文旨在让学生了解初中数学中的初中数学几何定理、初中数理化公式定理等知识点概念，最后灵活运用到中考当中。另外初中数学网也为大家准备了初中数学公式定理、初中数学几何定理等复习资料。 初中常用的定理（公理）大全 1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

2017立体几何公理、定理推论汇总(修订)

立体几何公理、定理推论汇总 、公理及其推论 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：AI,BI,A , B l 作用：① 用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的。 公理21如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P P| P| I且P I 作用：①用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：A, B,C不共线A, B,C确定一个平面 推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a 有且只有一个平面，使A a, a 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P 有且只有一个平面，使a ，b 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：a//b 有且只有一个平面，使a ，b 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 |平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 a // b 符号语言： a // c 图形语言: c // b 作用：用来证明线线平行。 公理4平行于冋一条直线的两条直线平行（平行公理）。(1) a a // b c//b b 符号语言： a // c图形语言： c 、平行关系

线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （2） a 符号语言：b a // a // b 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行。 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ?（ 4） （3） 符号语言: a// a//b 图形语言: 图形语言: (a ,b ),ap|b O 符号语言: a// // b 〃 图形语言: 面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 (5) 符号语言: oo // oo 图形语言: 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 // n a a // b b 图形语言: 面面平行的性质1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。 符号语言: // a a// 图形语言: 符号语言: (6) (7)

立体几何三大公理的应用

立体几何三大公理-的应用

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一、共线问题 例1.若^ AB C所在的平面和△ A i B i Ci所在平面相交，并且直线AA、BB、CC i相交于一点0,求证： (1) AB和A i B i、BC和B 1 C、AC和A i C i分别在同一平面内； (2 )如果AB和A i B i、BC和B i C 1、AC和A 1C分别相交，那么交点在同一直线上(如图). 例2. 点P、QR分别在三棱锥A -BCD的三条侧棱上,且PCT BC = X,QRQ CD=Z, P RT BD =Y.求证:X、Y、Z三点共线. 例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面a交于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线。 a、b、C都相交,交点为A B、C、D、E、 F, B 二、共面问题 例4.直线m、n分别和平行直线

例7 .在空间四边形 ABCD 中, M> N 、P Q 分别是四边上的点，且满足 刎 = MB C N=AQ = CP = k. NB QD PD (1)求证：M N 、P 、Q 共面. 当对角线A C = a, B D=b ,且MNP Q 是正方形时,求AC 、ED 所成的角及 k 的值(用 表示) 共点问题 例8.三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行 例6. M 、N 、 已知A 、 R 、T 分别是A B 1、 1A 2C 和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线1 1和I 2上的任意三点， B A 2、B 1B 2、C C 2的中点.求证：M 、N 、RT 四点共面 . ⑵ a, b 例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内 已知:如图，直线I 1, I 2 ,l 3, l 4两两相交，且不共点.

立体几何公理

立体几何公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 （1）判定直线在平面内的依据 （2）判定点在平面内的方法 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过该点的公共直线。 （1）判定两个平面相交的依据 （2）判定若干个点在两个相交平面的交线上 公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 （1）确定一个平面的依据 （2）判定若干个点共面的依据 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。 （1）判定若干条直线共面的依据 （2）判断若干个平面重合的依据 （3）判断几何图形是平面图形的依据 推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。 推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。 公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。 异面直线 空间直线和平面位置关系 （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线和平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线和平面平行——没有公共点 直线与平面所成的角 （1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 （2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 （3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角 三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直

三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直 空间两个平面两个平面平行判定 性质 （1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （2）垂直于同一直线的两个平面平行 （1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 两平面垂直判定 性质 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 　（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 （2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 多面体定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。 球到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。 欧拉定理 简单多面体的顶点数V，棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2

立体几何常考定理总结(八大定理)

l m β α α b a 立体几何的八大定理 一、线面平行的判定定理：线线平行?线面平行 文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内． 的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα?? ? ???? ?//a α 关键点．．．：．在．平面内．．．找一条与．．．．平面外．．．的．直线平行的线．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行?线线平行 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．． ，那么这条直线就和交线．． 平行. 符号语言：//l l m α βαβ? ? ????=? ?//l m 关键点：需要．．．．．．借助一个．．．．经过已知直线．．．．．．的．平面．．，接着找交线。．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行? 面面平行 文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．． ，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αα αβββ ?????? = ?????? ∥∥ 关键点：．．．．在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行?线线平行、面面平行?线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言: ////a a b b αβαγβγ? ? ?=????=? 关键点．．．：找．．第三个平面．．．．．与已知平面都相．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．． 文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面. 符号语言://,//a a αβαβ?? 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．

高中立体几何公理与推论与定理总汇表

高中立体几何公理及推论及定理总汇表 公理 1 ：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 （1）判定直线在平面内的依据 （2）判定点在平面内的方法 公理 2 ：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线。（1）判定两个平面相交的依据 （2）判定若干个点在两个相交平面的交线上 （ 1）确定一个平面的依据 公理 3 ：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 （2 ）判定若干个点共面的依据 （1）判定若干条直线共面 推论 1 ：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。 的依据 （2 ）判断若干个平面重合的依据 （3 ）判断几何图形是平面图形的依据 推论 2 ：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。 推论 3 ：经过两条平行线，有且仅有一个平面。 立体几何直线与平面 空间二直线平行直线 公理 4 ：平行于同一直线的两条直线互相平行 并且方向相同，那么这两个角相 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行， 等。 异面直线 空间直线和平面位置关系 （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线和平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线和平面平行——没有公共点 立体几何直线与平面 直线与平面所成的角 （1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 （2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 （3 ）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00 的角 三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条 斜线垂直

三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线 的射影垂直 空间两个平面两个平面平行判定 性质 （1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （2）垂直于同一直线的两个平面平行 （1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线 叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 两平面垂直判定 性质 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 （2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一 个平面内 立体几何多面体、棱柱、棱锥 多面体 定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。 棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的 棱锥叫正棱锥。 球 到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。 欧拉定理 简单多面体的顶点数V，棱数 E 及面数 F 间有关系： V+F-E=2