浅谈隐函数及其应用

浅谈隐函数及其应用

分类号：

学校代码：11460

学号：11201910

南京晓庄学院本科生毕业论文

浅谈隐函数及其应用

On the implicit function and its application

所属院(部)：信息工程学院

学生姓名：王林林

指导教师：马圣容

研究起止日期：二○一四年十一月至二○一五年五月

【摘要】本文从隐函数定理的内容、隐函数的概念、证明方法，以及隐函数定理的应用几个方面进

行了简单的介绍。首先从隐函数定理出发，介绍并证明隐函数组定理和反函数组定理。通过这些推论，我们知道了隐函数定理的在很多方面都有着广泛的用途。最后讨论了隐函数定理在计算偏导数和导数、几何应用这几个方面的应用并做了具体的论述.

【关键词】隐函数定理；应用；导数；证明

【Abstract】 In this paper, the contents of the implicit function theorem, the concept of

implicit function, the proof method, and the application of the implicit function theorem are briefly introduced.. From the implicit function theorem, we introduce and prove the implicit function theorem and inverse function group theorem.. Through these inferences, we know that the implicit function theorem is widely used in many aspects.. At last, the application of the implicit function theorem in the calculation of partial derivative and derivative, and its application in geometrical application are discussed.

【Key words】implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof

目录

摘要................................................................... I Abstract .............................................................. II 绪论. (1)

第1章隐函数 (2)

1. 1 隐函数 (2)

1. 2 隐函数组的概念 (2)

1. 3 反函数组的概念 (3)

第2章隐函数定理 (4)

2. 1 隐函数定理 (4)

2. 2 隐函数组定理 (6)

2. 3 反函数组定理 (7)

第3章隐函数定理的应用 (9)

3. 1 计算导数和偏导数 (9)

3. 1. 1 隐函数的导数 (9)

3. 1. 2 隐函数组的导数 (9)

3. 1. 3 对数求导法 (10)

3. 1. 4 由参数方程所确定的函数的导数 (10)

3. 2 几何应用 (11)

3. 2. 1 空间曲线的切线与法平面 (11)

3. 2. 2 空间曲面的切平面与法线 (13)

结论 (18)

参考文献 (19)

致谢 (20)

绪论

我们平时所遇到的大多是显函数，但是在实际问题中，有些问题显函数是无法解决的。隐函数的产生为现实生活中的很多问题带来了便捷。本论文就隐函数的定理做了一些研究，并列举了一些实例，对此进行了有效的验证。通过对隐函数的几个方面的研究，使我对加深了对隐函数的认识。

文章主要介绍了隐函数定理等相关推论，并给出了隐函数定理在计算偏导数和导数、几何应用这两个方面上的应用.

第一章 隐函数

1.1 隐函数

函数)(x f （对应关系）大多是用自变量的数学表达式来表示的，通常称这样的函数为显函数. 例如2)(+=x x f ，)(x f =x cos .

定义1.1 如果方程f (x ,y )=0能确定y 是x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数

例如，01=-+y xy 能确定一个定义在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上的隐函数y=f(x),如果从方程中把y 解出，这个函数也可以用表示为隐函

数形式x

y +=11 不是所有的隐函数都能写成)(x f y =的形式，如1

22

=+y x

，所以隐函数不一定是函数，而是方程.

换句话说，方程不一定是函数，但函数都是方程。 1.2 隐函数组的概念 定义1.2

设有方程组?

??==. 0),,,(,

0),,,(v u y x G v u y x F

其中),,,(),,,,(v u y x G v u y x F 为定义在4

R V ?上的4元函数，若存在平面区域

D ，2R

E ?，对于D 中每一点（x,y)，有唯一的E v u ∈),(,使得V v u y x ∈),,,(，且满足方程组，则称由方程组确定了隐函数组

,),(,),(),,(),

,(E v u D y x y x g v y x f u ∈∈?

?

?== 并在D 上成立恒等式

.),(,0)),(),,(,,(,

0)),(),,(,,(D y x y x g y x f y x G y x g y x f y x F ∈??

?==

第二章 隐函数定理

2.1隐函数定理

定理2.1 定理2. 1 若函数),(y x F 满足下列条件

(1)F 在),(0

y x P 以内点的某一区域2

R D ?上连

续，

(2)0),(0

=y x F (通常成为初始条件）

(3)F 在内存在连续的偏导数),(y x F y

(4)0),(0

≠y x F y

则有下列结论成立： ①)(x f y =在区间)

,(00

ρρ+-x x

内连续；

②存在点0

P 的某领域 ,)(0

D P U ? 在 )(0

P U . 上方程

),(=y x F 唯一地决定了一个定义在某区间)

,(0αα+-x x 上的（隐）函数 )(x f y = 使得当 )

,(00αα+-∈x x x 时， )())(,(0

P U x f x ∈且0

)(,0))(,(y x f x f x F ==

证 先证明隐函数f 的存在性与惟一性. ∵0),(0

≠y x F y

，∴),(y x F y

是连续的，

∵我们知道),(y x F y

的连续性与局部保号性，

且闭矩形域

=D )

(],[],[0'0'0'0'0p U y y x x ?+-?+-ρρρρ

有

0),(>y x F y )

),((D y x ∈?

∴，对任意的]

,['0'0

ρρ+-∈x x x ，),(y x F 在]

,['0'0

ρρ+-y y

上

严格单调增加.

∵0),(0

=y x F ，∴可得

),(,0),('00'00>+<-ρρy x F y x F

又由于)

,(),,('0'0

ρρ+-y x F y

x F 在]

,['0'0

ρρ+-x x

上是连续的，∴存在)(0'

ρρρ<>，使得

))

,((0),(,0),(00'0'0ρρρρ+-∈>+<-x x x y x F y x F

∴对每一个固定的)

,(00

ρρ+-∈x x

x ，),(y x F 在]

,['0'0

ρρ+-y y

上都是单调递增的连续函数，

),(,0),('0'0>+<-ρρy x F y x F

∵零点存在定理，存在惟一的]

,['0'0

ρρ+-∈y y

y ，使得

),(=y x F . 因此由y 与x 的对应关系就确定了一个

函数)(x f y =，其定义域为)

,(00

ρρ+-x x

，值域包含于]

,['0'0ρρ+-y y ，记为：

)

,(),()('0'0000ρρρρ+-?+-=y y x x P V

从而结论①得以证明.

再证明)(x f 的连续性. 对于 )

,(00

αα+-x x

上的任意点 )(,_

__x f y x =,则由上

述结论可知 .

0_

βεβ+--y y y

＜＜ 任给 0＞β且ε 足够小，使得β

εεβ+≤+-≤-0_

_

_

y y y y y

＜＜

由0),(_

_

=y x F 及 ),(y x F 关于y 严格递增，可得

),0),(_

_

_

_

＞（，＜εε+-y x F y x F ，根据保号性，知存在_

x 的某

领域 )

,(),(00

_

_ααδδ+-?+-x x

x x ，使得当 ),(_

_δδ+-∈x x x 时同

样有，＞，＜0),(0),(_

_

εε+-y x F y x F

因为存在唯一的y ，使得 0),(=y x F , 即ε＜_

),(y y x f y -=这就证明了当δ＜_x x - 时,ε＜_)()(x f x f - ，即)(x f 在_

x 连续，由 _

x 得任意性，可得 )(x f 在 )

,(00

αα+-x x 上

连续

最后证明隐函数)(x f y =的可微性. 任取x 和x x ?+都属于)

,(00

ρρ+-x x

，它们相对应的隐函

数值为)(x f y =和)(x x f y y ?+=?+，那么

),(,0),(=?+?+=y y x x F y x F

由多元函数微分中值定理，可得

y

y y x x F x y y x x F y x F y y x x F y x ??+?++??+?+=-?+?+=),(),(),(),(0θθθθ

在这里， 10<<θ. 因此，当y x ??,充分小时

)

,(),(y y x x F y y x x F x y

y x ?+?+?+?+-=??θθθθ.

因为),(y x F x

和),(y x F y

是连续的，取极限0→?x 可得

)

,(),()('y x F y x F dx dy

x f y x -==

且)

('

x f

在)

,(00

ρρ+-x x

内连续.

相应的，我们能够得出由方程0),,,,(2

1

=y x x x F n

所确定的n 元隐函数的存在定理：

定理2.2如果f(x)满足下列几个条件 (1)0

),,,,(000201

=y x x x

F n ；

(2)在点),,,,(0

002

1

y x x x P n

的一个邻域?)(0

P U 1

+n R 内,函数

)

,,,,(21y x x x F n 连续；

(3) 0

),,,(002

01

≠y x

x x F n n

y

，

那么则有以下结论成立：

①),,,(2

1

n

x x x f y =在邻域n

R R U ?)(0

内连续；

②),,,(2

1

n

x x x f y =在邻域n

R R U ?)(0

内具有连续的偏导

数，满足

n i y x x x F y x x x F x y

n y n x i i ,,2,1,)

,,,,(),,,,(2121 =-=??.

例 2. 1 验证方程0

),(=+=x y

e xe

y x F 在原点)

0,0(的某邻域内确定唯一的连续函数)(x f y =.

证明 由于),(y x F 与x

y

y

e xe

F +='都在2R 上连续，当

然在点)0,0(的邻域内连续，且01)0,0(,0)0,0(≠='=y

F F

由此可知方程0),(=y x F 在点)0,0(的某邻域内确

定唯一连续的隐函数)(x f y =.

例2.2

2.2隐函数组定理

定理 2.3

设),,,(),,,,(v u y x G v u y x F 以及它们的一阶偏导数在以点),,,(0

v u y x P 为内点的某区域?V 4

R 内

连续，且满足

(1)0),,,(,0),,,(0

==v u y x G v u y x F

(2)0

)

,(),(0

≠=

??=P v

u

v

u G G F F

v u G F J

则?

?

?==0

),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ，在0

P 的某邻域)(0

P U 内唯一确定两个隐函数),(y x f u =，),(y x g v =，结论如下： ①)

,(),,(000000

y x g v y x f u

==，则有

??

?≡≡0

)),(),,(,,(0),(),,(,,(y x g y x f y x G y x g y x f y x F

②),(),,(y x g v y x f u ==在邻域2

)(R R U ?内具有连续的一阶

偏导数，且

),(),(1,),(),(1x u G F J x v v x G F J x u ??-=????-=??

)

,(),(1,),(),(1y u G F J y v v y G F J y u ??-=????-=??

例 2. 2

验证方程组?

?

?=+--=++-4

28

22

222

v

u y x

v u y x 在点)

1,2,1,3(-的邻域内确定隐函数组，并求x u ??，x

v

??. 解 令

8

2),,,(-++-=v u y x v u y x F ，

42),,,(2

222-+--=v u y x v u y x G

则：

)1,2,1,3(,0)1,2,1,3(=-=-F G

F

与G 以及它们的一阶偏导数都连续

且)

(22211)

,()

,(v u v

u v u G F +=-=

??，0

6)

,()

,()

1,2,1,3(≠=??-v u G F

所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组

??

?==)

,(),(y x v v y x u u

在方程两端同时对x 求导得

??

???

=???+???-=??+??+0

22201x v v x u u x x v x u

解得v u u x x u +-=??，v

u u

x x v ++-

=??

2.3反函数组定理

定理2. 4若函数组),(),,(y x v v y x u u ==满足如下条件：

(1)),(),,(y x v v y x u u ==均具有连续的偏导数

(2)0)

,()

,(≠??=y x v u J 则函数组),(),,(y x v v y x u u ==可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组

)

,(),,(v u y y v u x x ==

且有

y

v

J u x ??=

??1，y u J v x ??-=??1，x v J u y ??-=??1，x

u J v y ??=??1 及

)

,()

,(1

),(),(y x v u v u y x ??=

??或

1)

,()

,(),(),(=?????v u y x y x v u

定理2. 5 若函数组

???

?

?==)

,,(),,(212111n n n

n x x x y y x x x y y 满足如

下条件： (1)n

y y

y ,

21

,均具有连续的偏导数

(2)0)

,,()

,,(2

1

2

1≠??n

n x x x y y y 则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组

???

?

?==)

,,(),,(212111n n n

n y y y x x y y y x x

且

有

1

)

,,()

,,(),,(),,(21212121=?????n n n n x x x y y y y y y x x x

例：设平面上点P 的直角坐标),(y x 与极坐标),(θr 之间的坐标变换公式为 θθsin ,cos r y r x ==求反函数组

解：由于

θ

θ

θθ

θcos sin sin cos ),(),(r r r y x -=

??r =

∴反函数组是22y x r +=，

??

???

+0

,arctan 0,arctan ＜＞x x y

x x y πθ

第三章 隐函数定理的应用

3.1计算导数和偏导数 3.1.1隐函数的导数 例 求由方程0cos 23

=+-+y xy e x

x 所确

定的函数)(x f y =的导数y

.

解 将方程两端对x 求导数，

由于方程中的y cos 是y 的函数，从而y cos 是x 的复合函数。 于是x

x x y xy e x

''23

)0()cos (=+-+ 0

')sin ()21(3'22=?-+??+?-+y y y y x y e x x

得

y

xy y e x y x sin 232

2'

+-+=

3.1.2对数求导法 例3. 3 求函数 3

2a

x x y -=

的导数

解：等号两端绝对值的对数，有 a x x a x x y --=-=ln 3

1

ln 32ln

ln 3

2

由隐函数的求导法则，有

)

(32131132'a x x a

x a x x y y --=

-?-?=

即32

'

)(32a

x x a x x a x y ---=

3.1.3由参数方程所确定的函数的导数

由参数方程?

?

?==)

()

(t y t x ??确定了y 是x 的函数，)(x y y =则称这个函数为有参数方程所确定的函数，其中

t

为参数．

参数方程所确定的函数求导法：

设函数)(t x ?=的单调连续的反函数为)(x t t =，而

且)(x t t =能与函数)(t y ?=复合成复合函数，由此所确定的函数)(x y y =可以当做是)(t y ?=与)(x t t =复合而成的函数))(()(x t x y y ?==，如果)(t x ?=，)(t y ?=都是可导函数，且0)(≠'t ?，则：

dt

dy dx dy =；dt

dy

dx dt =

；)()(1t t dt

dx ??''= 即

dt

dx

dt dy

t t dx dy =''=)()(??

若)(),(t y t x ??==都二阶可导，则有：

3

22))(()

()()()()(t t t t t dx dy dx d dx y d ?????''''-'''==

例3.4 已知抛物体的运动轨迹的参数方

程为

??

?

??-==2

2121gt t v y t v x 求抛物体在此时刻t 的运动速度的

大小和方向.

解 水平方向：因为速度的水平分量为

1v dt

dx

=，垂直分量为gt

v

dt

dy -=2

，所以抛物体运动速度

为

222122)()()(

gt v v dt

dy

dt dx v -+=+=

速度方向：轨道的切线方向，设α是切线的倾角，则

12tan v gt

v dt

dx dt dy

dx dy -=

==α

二次函数的应用(几何问题)

二次函数的应用（几何问题） 一、选择题 1.（2012甘肃兰州4分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax 2 ＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【 】 A ．k ＜－3 B ．k ＞－3 C ．k ＜3 D ．k ＞3 【答案】 D 。 【考点】二次函数的图象和性质。 【分析】根据题意得：y ＝|ax 2＋bx ＋c|的图象如右图， ∵|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根， ∴k＞3。故选D 。 二、填空题 三、解答题 1. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a ＜b ）的顶点为P （x 0，y 0），点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在该抛物线上． （Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P 的坐标；②求A B C y y y -的值； （Ⅱ）当y 0≥0恒成立时，求A B C y y y -的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x 2+4x+10。 ①∵y=x 2+4x+10=（x+2）2+6，∴抛物线的顶点坐标为P （－2，6）。 ②∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在抛物线y=x 2+4x+10上， ∴y A =15，y B =10，y C =7。∴A B C y 15==5y y 107 --。 （Ⅱ）由0＜2a ＜b ，得0b x 12a <=--。

由题意，如图过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1， 则AA 1=y A ，OA 1=1。 连接BC ，过点C 作CD⊥y 轴于点D ， 则BD=y B －y C ，CD=1。 过点A 作AF∥BC，交抛物线于点E （x 1，y E ），交x 轴于点 F （x 2，0）。 则∠FAA 1=∠CBD。∴Rt△AFA 1∽Rt△BCD。 ∴11 AA FA BD CD = ，即2 21x yA 1x yB yC 1-==--。 过点E 作EG⊥AA 1于点G ，易得△AEG∽△BCD。 ∴AG EG BD CD =，即A E 1B C y y 1x y y -=--。 ∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）、E （x 1，y E ）在抛物线y=ax 2 +bx+c 上， ∴y A =a+b+c ，y B =c ，y C =a －b+c ，y E =ax 12 +bx 1+c ， ∴()()()211a b c ax bx c 1x1c a b c ++-++=---+，化简，得x 12 ＋x 1－2=0， 解得x 1=－2（x 1=1舍去）。 ∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1。 则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3。 ∴yA yB yC -的最小值为3。 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。 【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。 ①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。 ②将A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）分别代入解析式，即可求出y A 、 y B 、y C 的值，然后计算A B C y y y -的值即可。

第十八章 隐函数定理及其应用

第十八章 隐函数定理及其应用 知识脉络 1．隐函数的存在定理（不证），会判断是否存在隐函数，会求隐函数的导数 2. 隐含数组的存在定理，不判断是否存在隐函数组，还要会求隐函数组的导数 3 隐函数的几何应用：平面曲线的切线与法平面、空间曲线的切线与法平面、空间曲 面的切平面与法线 4. 会求条件极值问题的解 一、填空题 1．函数y y x =()由方程12+=x y e y 所确定，则 d d y x = __________. 3. 设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则 ??z y = __ _____.z x ?? 4．由xyz x y z +++=222 2所确定函数z z x y =(,)在点(1,0,1)-处的全微分d z =_ __ _. 5. 设0),,(=+++z y x y x x F ，其中F 可微，则 x z ??= ，y z ??= . 6. 设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，则 =z x ?? .（其中x y +≠0） 7．设(,)F x y 具有连续偏导数，已知(,)0x y F z z =，则dz = . 8.设函数(,)f x y 满足(,)(,)(,)x y xf x y yf x y f x y +=，(1,1)3x f -=，点(1 ,1,2)P -在曲面(,)z f x y =上，则在点(1,1,2)P -的切平面方程为 ． 9.设f z g y (),()都可微，则曲线x f z z g y ==(),()在点(,,)x y z 000处的法平面为 . 10.设f y z (,)与g y ()都是可微函数，则曲线x f y z z g y ==(,),()在点(,,)x y z 000处的切线方程是 . 11.曲线t t z t y t x cos sin ,sin ,cos +===在0=t 处切线与平面0=-+z By x 平行，=B ___ 12.z z x y =(,)由方程 12 355242 2x xy y x y e z z +--+++=确定， 则函数z 的驻点是____ . 13.函数f x y z x (,,)=-22 在x y z 2 2 2 22--=条件下的极大值是_____ __. 14. 设2sin(23)23x y z x y z +-=+-，证明y z x z ??+??=__ ___ __. 二、选择题

二次函数与几何综合压轴题题型归纳88728

学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此 抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解? ?? ?==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。 （3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法 三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2 ）与一次函数（h kx y ＋＝） （1）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。 （2）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02 ＝－＋－＋h c x k b ax ，通过?可判断两个图象的交点 的个数 有两个交点 ? 0＞?

一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题

2012届一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题 1、某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是 会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书， 若每月租书数量为x 册. （1）写出零星租书方式应付金额y 1(元)与租书数量x （册）之间的函数关系 式； （2）写出会员卡租书方式应付金额y 2(元 )与租书数量x (册)之间的函数关 系式； （3）小军选取哪种租书方式更合算？ 2、某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知 大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购 车总费用为y （万元）． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最 省的方案，并求出该方案所需费用． 3、如图，抛物线y = 2 1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． 4、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物 线交x 轴于另一点C （3,0）. 第3题图

⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求 出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 5、已知双曲线x k y 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积, 6、已知函数y=mx 2－6x ＋1（m 是常数）． ⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 7、如图所示，二次函数y =-x 2+2x +m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一 个交点为B ，且与y 轴交于点C ． 第5题图

数学分析 隐函数定理及其应用

第十八章隐函数定理及其应用 教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数； 2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件； 3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。 教学重点难点：本章的重点是隐函数定理； 教学时数：14学时 § 1 隐函数 一．隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. 隐函数及其几何意义: 以为例作介绍. 1. 2.隐函数的两个问题:ⅰ>隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性 质. 二.隐函数存在条件的直观意义: 三.隐函数定理: Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: 在以为内点的某一区域D上连续 ; ⅰ> 函数 ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件 )

ⅲ> 在D内存在连续的偏导数 ; ⅳ> . 的某邻域()D内 , 方程唯一地确定一个定义 则在点 在某区间内的隐函数 时()且 ⑴, . 在区间内连续 . ⑵函数 ( 证略 ) 四.隐函数可微性定理: 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D内 Th 2 设函数 存在且连续 . 则隐函数 且 . ( 证略 ) 例1 验证方程 在点满足隐函数存在 唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . P149例1 . 其中为由方程所确 例2 定的隐函数 . 求. P150例2 ( 仿 )

在点的某邻域内 例3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数 有连续的导函数 函数 , 并求反函数的导数. P151例4 五. 元隐函数: P149 Th3 例4 . 验证在点存在 的隐函数 , 并求偏导数 . P150 例3 平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为. 有 一. . 切线方程为, 法线方程为 . 求Descartes叶形线在点处的切线和 例1 二.空间曲线的切线与法平面 : 1.曲线由参数式给出 : . 切线的方向数与方向余弦.

数学分析学年论文隐函数有关定理及其应用

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1 隐函数 (1) 1.1隐函数的定义 (1) 1.2. 隐函数存在定理 (2) 1.3. 隐函数的可导条件 (2) 2.隐函数组 (4) 2.1 隐函数组概念 (4) 2.2 隐函数组存在条件 (4) 3 隐函数的几何应用 (6) 3.1 平面曲线的切线与法线 (6) 3.2 空间曲线的切线与法平面 (6) 3.3空间曲面的切平面与法线 (8) 参考文献 (9)

摘 要：本文主要介绍了隐函数与隐函数组的相关定理,并讨论了此类定理在求平面的法线及切平面方面的应用. 关键词：隐函数;唯一性;隐函数组;可微性 Theorem and application of Implicit function Abstract ：we will discussion of Implicit function existence,and differentiability and the Geometry application in the solution of the normal to plane and tangent plant. Keywords :Implicit function; uniqueness; implicit function group; differentiable 前言 这篇论文我们将重点介绍有关隐函数定理的的条件及隐函数存在的条件,掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用,会把实际问题抽象为条件极值并予以解决,这样既是解决实际问题的需要,也为后来的函数系统的完善打下基础. 1 隐函数 1.1隐函数的定义 设,X R Y R ??,函数:.F X Y R ?→对于方程 (,)0F x y = ()1 若存在集合I X J Y ??与对于任何x I ∈,恒有唯一确定的y J ∈,它与x 一起满足方程(1),则称由方程(1)确定一个在I 上,值域含于J 的隐函数.若把它记为 (),,,f x y x I y J =∈∈ 则成立恒等式 (,())0F x f x ≡,x I ∈. 例如方程 10xy y +-= 能确定一个定义在(,1)(1,)-∞-?-+∞上的隐函数.

数学分析18.1隐函数定理及其应用之隐函数

第十七章 隐函数定理及其定理 1隐函数 一、隐函数的概念 设E ?R 2,函数F:E →R 2.如果存在集合I,J ?E,对任何x ∈I, 有惟一确定的y ∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称 F(x,y)=0确定了一个定义在I 上, 值域含于J 的隐函数. 若把它记为 y=f(x), x ∈I, y ∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x ∈I. 注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1. 二、隐函数存在性条件的分析 隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P 0(x 0,y 0), 使F(x 0,y 0)=0, y 0=f(x 0). 要使隐函数y=f(x)在点P 0连续，需F 在点P 0可微，且(F x (P 0),F y (P 0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P 0存在切平面. 要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P 0可微, 则在F 可微的假设下， 通过F(x,y)=0在P 0处对x 求导，由链式法则得：F x (P 0)+F y (P 0)0 x x dx dy ==0. 当F y (P 0)≠0时，可得0 x x dx dy ==- ) (P F ) (P F 0y 0x , 同理，当 F x (P 0)≠0时，可得 y y dy dx ==- ) (P F )(P F 0x 0y .

三、隐函数定理 定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件： (1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D?R2上连续； (2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)； (3)F在D内存在连续的偏导数F y(x,y)； (4)F y(x0,y0)≠0. 则 1、存在点的P0某邻域U(P0)?D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x), 使得 当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0), 且F(x,f(x))≡0, y0=f(x0)； 2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续. 证：1、由条件(4), 不妨设F y(x0,y0)>0(若F y(x0,y0)<0,则讨论-F(x,y)=0). 由条件(3)F y在D上连续，及连续函数的局部保号性知， 存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]?D, 使得 在其上每一点都有F y(x,y)>0. ∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β], F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续. 由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)<0, F(x0,y0+β)>0. 又由F的连续性条件(1), 知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0+β]上也是连续的，由保号性知， 存在0<α≤β, 当x∈(x0-α,x0+α)时， 恒有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0. 如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值， 在A’B’边上F取正值.

二次函数与几何综合运用精品教案

二次函数与几何综合运用 能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型． 重点 应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题． 难点 函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得． 一、引入新课 上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共同研究二次函数与几何的综合应用． 二、教学过程 问题1：教材第49页探究1. 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l 为多少米时，场地的面积S最大？ 分析： 提问1：矩形面积公式是什么？ 提问2：如何用l表示另一边？ 提问3：面积S的函数关系式是什么？ 问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 分析： 提问1：问题2与问题1有什么不同？ 提问2：我们可以设面积为S，如何设自变量？ 提问3：面积S的函数关系式是什么？ 答案：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 提问4：如何求解自变量x的取值范围？墙长32 m对此题有什么作用？ 答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 提问5：如何求最值？ 答案：x＝－b 2a＝－ 60 2×（－2） ＝15时，S max＝450. 问题3：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 提问1：问题3与问题2有什么异同？ 提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？ 提问3：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？

二次函数与几何综合(习题及答案)

二次函数与几何综合（习题） ?例题示范 例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a 与x 轴交于A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点C，且OA=OC，连接AC． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值． （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 第一问：研究背景图形 【思路分析】 读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，可以求解A(-3，0)，B(1，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式． 再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形． 【过程示范】 解：（1）由y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1) 可知A(-3，0)，B(1，0)， ∵OA=OC， ∴C(0，-3)， 将C(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a， 解得，a=1， ∴y=x2+2x-3． 1

△ 第二问：铅垂法求面积 【思路分析】 （1） 整合信息，分析特征： 由所求的目标入手分析，目标为 S △ACP 的最大值，分析 A ，C 为定点，P 为动点且 P 在直线 AC 下方的抛物线上运动，即 -3＜x P ＜0； （2） 设计方案： 注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达 S △ACP ． 【过程示范】 如图，过点 P 作 PQ ∥y 轴，交 AC 于点 Q ， 易得 l AC ：y =-x -3 设点 P 的横坐标为 t ，则 P (t ，t 2+2t -3)， ∵PQ ∥y 轴， ∴Q (t ，-t -3)， ∴PQ =y Q -y P =-t -3-(t 2+2t -3)=-t 2-3t （-3＜t ＜0）， ∴ S = 1 PQ ? (x - x ) = - 3 t 2 - 9 t （-3＜t ＜0） △ ACP 2 C A 2 2 ∵ - 3 < 0 ， 2 ∴抛物线开口向下，且对称轴为直线t = - 3 ， 2 ∴当t = - 3 时，S ACP 最大，为 27 ． 2 8 第三问：平行四边形的存在性 【思路分析】 分析不变特征： 以 A ，B ，E ，F 为顶点的四边形中，A ，B 为定点，E ，F 为动点，定点 A ，B 连接成为定线段 AB ． 分析形成因素： 要使这个四边形为平行四边形．首先考虑 AB 在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则 AB 既可以作边，也可以作对角线． 画图求解： 先根据平行四边形的判定来确定 EF 和 AB 之间应满足的条 2

数学分析18隐函数定理及其应用总练习题

第十八章 隐函数定理及其定理 总练习题 1、方程：y 2-x 2(1-x 2)=0在哪些点的邻域内可惟一地确定连续可导的隐函数y=f(x). 解：由y 2=x 2(1-x 2)知1-x 2≥0, ∴|x|≤1; 且 y 2=x 2(1-x 2 )≤2 2221??? ? ? ?-+x x =41, ∴|y|≤21 . 记F=y 2-x 2(1-x 2), 则F, F x =2x 3-2x(1-x 2)=4x 3-2x, F y =2y; 由F y ≠0得y ≠0, 即x ≠0且x ≠±1. 令D={(x,y)||x|≤1,|y|≤ 2 1 且y ≠0 }, 则F 在D 内每一个邻域内有定义, 且F, F x , F y 在D 上处处连续. 又由F(x,y)=0, F y ≠0知 原方程在D 上唯一确定隐函数y=f(x). 2、设函数f(x)在区间(a,b)内连续，函数φ(y)在区间(c,d)内连续，而且φ’(y)>0, 问在怎样条件下，方程φ(y)=f(x)能确定函数y=φ-1(f(x)). 并研究例子(1)siny+shy=x; (2)e -y =-sin 2x. 解：记F(x,y)=φ(y)-f(x), 由F y =φ’(y)>0知, 若f[(a,b)]∩φ[(c,d)]≠?, 就存在点(x 0,y 0), 满足F(x 0,y 0)=0, 即 可在(x 0,y 0)附近确定隐函数y=φ-1(f(x)). (1)设f(x)=x, φ(y)=siny+shy, 由f,φ在R 上连续且φ’(y)=cosy+chy>0, 又 f(R)∩φ(R)=R ≠?, ∴原方程可确定函数y=y(x). (2)∵f(x)=-sin 2x ≤0, φ(y)=e -y >0, ∴f(R)∩φ(R)=?, ∴原方程不能确定函数y=y(x).

隐函数定理及其应用.

S F 01（数） Ch 18 隐函数定理及其应用计划课时： 6 时 P 231 — 236 2002. 09.20 .

231 Ch 18 隐函数定理及其应用 ( 6 时 ) § 1 隐函数 ( 2 时 ) 一． 隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. 1. 隐函数及其几何意义: 以0),(=y x F 为例作介绍. 2. 隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质. 二. 隐函数存在条件的直观意义: 三. 隐函数定理: Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: ⅰ> 函数),(y x F 在以),(000y x P 为内点的某一区域D 2 R ?上连续 ; ⅱ> ),(00y x F 0=; ( 通常称这一条件为初始条件 ) ⅲ> 在D 内存在连续的偏导数),(y x F y ; ⅳ> ),(00y x F y 0=/. 则在点0P 的某邻域 (0P )?D 内 , 方程0),(=y x F 唯一地确定一个定义在某区间 ) , (00αα+-x x 内的隐函数)(x f y =, 使得 ⑴ )(00y x f =,∈x ) , (00αα+-x x 时()∈)( , x f x (0P )且()0)( , ≡x f x F . ⑵ 函数)(x f 在区间) , (00αα+-x x 内连续 . ( 证 ) 四. 隐函数可微性定理: Th 2 设函数),(y x F 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D 内),(y x F x 存在且连续 . 则隐函数)(x f y =在区间) , (00αα+-x x 内可导 , 且

北师大版二次函数的应用教案

第二章二次函数 2.4 二次函数的应用（1） 一、知识点 1.利用二次函数求几何图形面积最大值的基本思路. 2.求几何图形面积的常见方法. 二、教学目标 知识与技能： 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值． 过程与方法： 1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力． 2.通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力． 情感与态度： 1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值． 2.能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格． 3.进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力． 三、重点与难点 重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题. 难点：把实际问题转化成函数模型.

四、创设情境，引入新知(放幻灯片2、3、4） 1.(1)请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园. (2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？ 设计意图：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路. 2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米. (1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 . 设计意图：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化，增大难度，同时板书解题过程，让学生明确规范的书写过程. 五、探究新知(放幻灯片5、6、7） 探究一：如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上，AN=40m ，AM=30m. (1)设矩形的一边AB=x m,那么AD 边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为2ym ,当x 取何值时,y 的最大值是多少? 探究二：在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A 和点D 分别在两直角边上,BC 在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？ 探究三：如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG,使得EF 在BC 上,点D 、G 分别在边AB 、AC 上.问矩形DEFG 的最大面积是多少? M N D C B A P M N D C B A F G E D C B A

第十八章隐函数定理及其应用

第十八章 隐函数定理及其应用 一、证明题 1.证明:设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数,则当 时,有 2.设tgx y u =,x sin y v =.证明:当2x 0π<<,y>0时,u,v 可以用来作为曲线坐标;解出x,y 作为u,v 的函数;画出xy 平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线;计算 ()()y ,x v ,u ??和()() v ,u y ,x ??并验证它们互为倒数. 3.将以下式子中的(x,y,z)变换成球面从标()?θ,,r 的形式: 2 221z u y u x u u ??? ????+???? ????+??? ????=?, 2222222z u y u x u u ??+??+??=?. 4.证明对任意常数ρ,?,球面2222z y x ρ=++与锥面2 222z tg y x ??=+是正交的. 5.试证明:函数()y ,x F 在点()000y ,x P 的梯度恰好是F 的等值线在点P 0的法向量(设F 有连续一阶偏导数). 6.证明:在n 个正数的和为定值条件 x 1+x 2+x 3+…+x n =a 下,这n 个正数的乘积x 1x 2x 3…x n 的最大值为n n h a .并由此结果推出n 个正数的几何中值不大于算术中值. ≤????n n 21x x x n x x x n 21+???++ 二、计算题 1．方程 能否在原点的某邻域内确定隐函数 或 . 2.方程 在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出一个变量为另外两个变量的函数. 3.求下列方程所确定的隐函数的偏导数: (1)x+y+z= ,求Z 对x,y 的一阶与二阶偏导数; (2)F(x,x+y,x+y+z)=0,求 , 和 .

中考数学分类解析 专题 二次函数的应用(几何问题)

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题） 专题22：二次函数的应用（几何问题） 一、选择题 1.（2012甘肃兰州4分）二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax 2 ＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【 】 A ．k ＜－3 B ．k ＞－3 C ．k ＜3 D ．k ＞3 【答案】 D 。 【考点】二次函数的图象和性质。 【分析】根据题意得：y ＝|ax 2 ＋bx ＋c|的图象如右图， ∵|ax 2 ＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根， ∴k＞3。故选D 。 二、填空题 三、解答题 1. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax 2 +bx+c （0＜2a ＜b ）的顶点为P （x 0，y 0），点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在该抛物线上． （Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P 的坐标；②求 A B C y y y -的值； （Ⅱ）当y 0≥0恒成立时，求 A B C y y y -的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x 2 +4x+10。 ①∵y=x 2 +4x+10=（x+2）2 +6，∴抛物线的顶点坐标为P （－2，6）。 ②∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在抛物线y=x 2 +4x+10上， ∴y A =15，y B =10，y C =7。∴ A B C y 15 ==5y y 107 --。

（Ⅱ）由0＜2a ＜b ，得0b x 12a <=- -。 由题意，如图过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1， 则AA 1=y A ，OA 1=1。 连接BC ，过点C 作CD⊥y 轴于点D ， 则BD=y B －y C ，CD=1。 过点A 作AF∥BC，交抛物线于点E （x 1，y E ），交x 轴于点 F （x 2，0）。 则∠FAA 1=∠CBD。∴Rt△AFA 1∽Rt△BCD。 ∴ 11AA FA BD CD = ，即221x yA 1x yB yC 1-==--。 过点E 作EG⊥AA 1于点G ，易得△AEG∽△BCD。 ∴ AG EG BD CD = ，即A E 1B C y y 1x y y -=--。 ∵点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）、E （x 1，y E ）在抛物线y=ax 2 +bx+c 上， ∴y A =a+b+c ，y B =c ，y C =a －b+c ，y E =ax 12 +bx 1+c ， ∴ ()()() 211a b c ax bx c 1x1c a b c ++-++=---+，化简，得x 1 2＋x 1－2=0， 解得x 1=－2（x 1=1舍去）。 ∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1。 则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3。 ∴ yA yB yC -的最小值为3。 【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。 【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。 ①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。 ②将A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）分别代入解析式，即可求出y A 、

数学分析第十八章隐函数定理及其应用复习

一、( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: ⅰ> 函数在以为内点的某一区域D上连续 ; ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件 ) ⅲ> 在D内存在连续的偏导数; ⅳ> . 则在点的某邻域()D内 , 方程唯一地确定一个定义在 某区间内的隐函数, 使得 ⑴,时()且 . ⑵函数在区间内连续 . 二、隐函数可微性定理: Th 2 设函数满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D内 存在且连续 . 则隐函数在区间内可导 , 且 . ( 证 )

例1 验证方程 在点 满足隐函数存在唯一性定 理的条件 , 并求隐函数的导数 . P149例1 例2 . 其中 为由方程 所确定的隐函 数 . 求 . P150例2 ( 仿 ) 例3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数 在点 的某邻域内有连续的导函数 , 且 , . 用隐函数定理验证存在反函数 , 并求反函数的导数（后面的例题P162） . 0),() ,( (iv);, (iii));0(),,,( 0,),,,( (ii); ),,,(),,,(),,,( (i) : 00000000400000≠??===?P v u G F J G F V v u y x G v u y x F R V v u y x P v u y x G v u y x F 具有一阶连续偏导数内在初始条件内连续为内点的区域在以和若满足下列条件隐函数组定理)( 18.4 定理 性质三：雅可比

. ) ,() ,(1 ,),(),(1, ),() ,(1 ,),(),(1 ,)()),(),,0y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u Q U y x g y ??- =????-=????- =????-=??且内有一阶连续偏导数在 并求其偏导数数附近能确定怎样的隐函在讨论方程组 ,)2,1,1,2( ,01),,,(,0),,,( 0222P xy v u v u y x G y x v u v u y x F ?? ?=+-+-==--+= 例1 ; )2,1,1,2(,1,1 ,, ,2,2,1,2 3 ; 0)()( 2 ;)2,1,1,2(, 1 0o 00o 0o 的邻域内连续在的邻域内连续在解：P G G x G y G v F u F F x F P G P F P G F v u y x v u y x =-=-=-===-=-=== : 6! 2!2! 4)2,1,1,2(4 240o 个雅克比式处在=?=C P .01 144 ),() ,(, 0,61 14 2 ),() ,( 00 0=--=??≠=-==??P P v u v u P v x G F G G F F v u G F 仅 . ,,,)2,1,1,2(0变量的隐函数变量可以作为其余两个任何两个的隐函数外难以确定为附近除在u y v x P ?? ? ??===.cos , sin sin , cos sin ),,(),,(θ?θ?θ?θr z r y r x r z y x 之间的变换公式 与球坐标讨论直角坐标 例4 几何应用 平面曲线的切线和法线； .0))(,())(,( ), () ,() ,( :000000000000=-+--- =-y y y x F x x y x F x x y x F y x F y y y x y x 即则切线方程

二次函数的最值几何应用教学案

二次函数的最值几何应用教学案 【教学目标】 1．理解二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质在平面几何问题中的应用，特别是用来求几何图形面积的最大值或最小值． 2．理解二次函数在求解几何问题中的一般方法和步骤． 【重点、难点】 重点：二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质在平面几何中的应用. 难点：如何将几何问题转化为二次函数的图象和性质问题. 【知识要点】 1．一次函数的最值：在函数的取值范围的两个端点，考察该函数的最值； 2．二次函数的最值：在函数的取值范围的两个端点考察该函数的最值； 3．函数的最大值与最小值 最大值： ()()()()()()(). 0max 0000x f y x f y x f x f x f x f x x f y ==≤=记作叫做函数都成立，那么不等式处的函数值是在设函数几何解释： (1) 函数图像的最高点，纵坐标最大的值 在将一条平行于横坐标的直线从y 坐标。 ()()()()()()().0in 0000x f y x f y x f x f x f x f x x f y m ==≥=记作的最小值， 叫做函数都成立，那么不等式处的函数值是在设函数 几何解释： (2) 函数图像的最高点，纵坐标最小的值 (3) 在将一条平行于横坐标的直线从y 轴的负向向正向平移的过程中，与函数的第一个交点的纵坐标。 【经典例题】 例1．求下列函数的最值(自变量范围是R). 132)1(2+-=x x y 32)2(2++-=x x y

例2．已知实数a,b 满足等式5)3(22=+-b a ，求 a b 的最大值和最小值。 例3．已知二次函数2 (1)2y x =-- （1）当23x ≤≤时，求函数的最值。 （2）当03x ≤≤时，求函数的最值。 例4．方程()()22160x m x m +-+-=有一根不大于1，另一根不小于1。 （1）求m 的取值范围 （2）求方程两根平方和的最大值与最小值

隐函数定理及其在几何上的应用

隐函数定理及其在几何上的应用 【摘要】 隐函数(组)是函数关系的另一种表现形式。讨论隐函数(组)的存在性、连续性与可微性，是深刻了解这类函数本身的需要。同时在求以隐函数(组)的形式为方程出现的曲线和曲面的切线或切平面时，都要用到隐函数(组)的微分法。 【关键词】隐函数存在惟一性定理、隐函数可微性定理 、隐函数组定理、隐函数定理在几何上的应用 1 定理及证明 隐函数存在惟一性定理 设方程 ()0,=y x F 中的函数()y x F ,满足以下四个条件： (i) 在以 为内点的某一区域D 上连续 ; (ii) ; (初始条件 ); (iii) 在D 内存在连续的偏导数 ; (iv) . 则在点0P 的某邻域()D P U ∈0内 , 方程()y x F ,＝0唯一地确定一个定义 在某区间()αα+-∈00,x x x 内的隐函数()x f y =，使得 ⑴ 当()00y x f = ，()αα+-∈00,x x x 时， 有(())()0,P U x f x ∈且()()0,≡x f x F ； ⑵ 函数()x f 在区间()αα+-∈00,x x x 内连续。 证 首先证明隐函数的存在与惟一性． 证明过程归结起来有以下四个步骤

(a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设()0,00>y x F y 因为()y x F y ,连续，所以根据保号性0>?β 使得()0,>y x F y ，()S y x ∈, 其中[][]D y y x x S ?+-?+-=ββββ0000,, (b) “正、负上下分 ” 因()0,>y x F y ，()S y x ∈,， 故[]ββ+-∈?00,x x x ，把()y x F ,看做y 的函数， 它在[]ββ+-00,y y 上严格递增，且连续（据条件 (i)） 特别对于函数()y x F ,0 ，由条件 可知 ()0,00<-βy x F ，()0,00>+βy x F (c) “同号两边伸” 因为()β-0,y x F ，()β+0,y x F 关于x 连续， 故由（b ）的结论，根据保号性α?，()βα≤<0，使得 ()β-0,y x F ＜0，()β+0,y x F ＞0，()αα+-∈00,x x x (a) 一点正,一片正 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ x 0x 0 x β-0x β+?0y 0y β -0 y β+y S O (b) 正、负上下分 ＋ ＋＋? ? ?_ _ _ + _ 0 x y O 0x β -0x β+0x 0y β +0y β -0 y (c) 同号两边伸 ? ＋＋＋＋ － － － － x 0 x y 0 y O 0x α -0x α+0-y β 0y β+? ?